1 PORTICOS ESTÁTICAMENTE DETERMINADOS 1.1 Definición Porticos se puede definir como un conjunto de elementos estructurales unidos en sus extremos mediante juntas rigidas o pernos, ademas se cumple que los ejes de las vigas no esta alineado. Introducción Pórtico es un sistema estructural de una sola planta con uno o varios vanos y constituido por barras rectas (vigas y pilares) Viga: dintel Pórtico doble empotrado Traslacional ¡Hiperestático!
Pilar Apoyos 2 vanos
Pórtico simple Articulado Intraslacional ¡Hiperestático!
Pórtico simple Articulado con vigas inclinadas Traslacional
Hipótesis de cálculo.
Los desplazamientos son muy pequeños respecto a las dimensiones de las barras del pórtico (la geometría no cambia).
El acortamiento de las barras debido a las flexiones es un infinitésimo de 2ºordencomparado con otras deformaciones
Es aplicable el principio de superposición porque bajo cualquiera de las cargas el comportamiento es elástico-lineal.
El efecto del esfuerzo cortante en los desplazamientos y giros es despreciable.
El efecto de la deformación axial es despreciable para los pórticos que, por definición, tienen un solo nivel.
Equilibrio de nudos. barra i Ni=Q j Qi=Ni Mi=M j
Q j=Ni M j=Mi N j = Qi barra j
Pórticos isostáticos Pórticos biapoyados atirantados.La figura representa una estructura tipo pórtico en la cual los nodos de los apoyos
Hipótesis de cálculo.
Los desplazamientos son muy pequeños respecto a las dimensiones de las barras del pórtico (la geometría no cambia).
El acortamiento de las barras debido a las flexiones es un infinitésimo de 2ºordencomparado con otras deformaciones
Es aplicable el principio de superposición porque bajo cualquiera de las cargas el comportamiento es elástico-lineal.
El efecto del esfuerzo cortante en los desplazamientos y giros es despreciable.
El efecto de la deformación axial es despreciable para los pórticos que, por definición, tienen un solo nivel.
Equilibrio de nudos. barra i Ni=Q j Qi=Ni Mi=M j
Q j=Ni M j=Mi N j = Qi barra j
Pórticos isostáticos Pórticos biapoyados atirantados.La figura representa una estructura tipo pórtico en la cual los nodos de los apoyos
están, a su vez, unidos entre sí mediante un tirante, elemento que, por definición, solo trabaja a tracción. Considérese el caso de una estructura como la mostrada en la figura: P
L
UA
Para analizar esta estructura, se retira de ella el tirante sustituyéndolo por su efecto sobre la misma: es decir, por dos fuerzas F iguales y opuestas. La condición obvia de compatibilidad es que el movimiento relativo entre los nodos de apoyo ha de ser igual al alargamiento del tirante sometido a las fuerzas F de tracción, alargamiento UA que está relacionado con la fuerza actuante mediante la expresión F= P
L
F
F
E *Ω UA L
F
F
Para aplicar el Teorema de Reciprocidad se consideran dos estados: uno el estado real de cargas y otro un estado, denominado ficticio, en el que las cargas son dos fuerzas unidad, iguales y opuestas, actuando en los puntos A y B, tal como se indica en la figura.
P
C
L
D
C
B
F
F
B
ESTADO I (Real)
D
1
1
A
ESTADO II (Ficticio)
método del pórtico: Método para el análisis de un armazón de muchos pisos de altura basado en la hipótesis de que se produzca un punto de inflexión en el punto central de todas las barras, y que la estructura actúa como una serie de pórticos independientes para los que las fuerzas laterales, que actúan sobre cada nivel, se distribuyen de forma proporcional a la superficie de suelo que soporta cada elemento estructural
1.2 Grado estático Se define como grados de libertad el número mínimo de parámetros necesarios para describir de manera única la figura deformada de la estructura. Estos parámetros corresponden a las rotaciones y traslaciones libres en cada uno de los nudos de la estructura. Para el análisis de estructuras podemos usar dos métodos que varían de acuerdo con las incógnitas a resolver, en uno se encuentran fuerzas y en el otro se encuentran deformaciones. En este curso solo analizáremos estructuras reticulares donde un elemento queda totalmente determinado si conocemos las deformaciones y rotaciones de sus extremos ( método de las deformaciones) o las fuerzas y momentos de sus extremos (método de las fuerzas). Para estructuras estáticamente determinadas el método de las fuerzas resulta mas apropiado ya que las fuerzas como incógnitas quedarían resueltas al aplicar las ecuaciones estáticas. En el caso de tener estructuras con grados de hiperestáticidad altos resulta mas ventajoso usar el método de las deformaciones, debido a que se cuenta con menos grados de libertad libres que número de fuerzas por determinar. En estos casos el grado de indeterminación se mide por el número de grados de libertad libres (posibles formas de moverse la estructura en sus uniones) y se denomina indeterminación cinemática de la estructura.
Para un elemento tipo viga sin ninguna restricción tendríamos 6 grados de libertad libres, tres en cada extremo:
Si la viga se le colocan apoyos de tal manera que queda estáticamente determinada y estable ella quedaría con un grado de indeterminación cinemática de 3.
1.3 Estabilidad geométrica son instalaciones formadas por elementos prefabricados específicos, ligeros, mínimos, sencillos, resistentes y manejables para que al montarlos, con facilidad y rapidez, encajen a la perfección y doten al conjunto de una estabilidad y resistencia óptimas. Se trata de una sucesión de pórticos paralelos de perfiles de aluminio extrusionado sobre placas de acero galvanizado ancladas al terreno. Algunos de estos pórticos se arriostran con barras de acero galvanizado en diagonal y/o cables de acero en forma de cruces de San Andrés, tanto en los techos como en las fachadas, para tensar el conjunto y garantizar su estabilidad. La situación de estos arriostraminetos depende de las dimensiones de la nave y es invariable, lo que muchas veces ocasiona un problema al coincidir con circulaciones o pasos previstos para el funcionamiento de la actividad que se desarrolle. Para solucionar esta coincidencia tan habitual existen los Pórticos de estabilidad. Un refuerzo estructural de los 2 pilares entre los que hay el arriostramiento de fachada a sustituir, que consiste en introducir un perfil de hierro dentro de cada pilar hueco de aluminio y unirlos con una viga, también de hierro galvanizado, liberando así el espacio entre pilares. Así vemos como una instalación aparentemente rígida en su configuración y distribución es capaz de flexibilizarse con un sencillo recurso.
1.4 Reacciones en los apoyos Los apoyos de vigas, son los elementos que le proporcionan la estabilidad a la viga y por lo general, se encuentran en los extremos o cerca de ellos. Las fuerzas en los apoyos que se generan son productos de las cargas aplicadas y se llaman reacciones y equilibran las cargas aplicadas. Analíticamente estas reacciones representan las incógnitas de un problema matemático.
Reacciones formada por una fuerza de dirección conocida Los apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son: rodillos, balancines, superficies lisas, bielas y cables cortos. Estos apoyos solo impiden el movimiento en una dirección. Las reacciones de este grupo solo proporcionan una incógnita, que consiste en la magnitud de la reacción y se pueden dirigir en uno u otro sentido a lo largo de la dirección conocida. Reacciones formada por una fuerza de dirección desconocida Los apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son: articulaciones, bisagras y superficies rugosas. Estos pueden impedir la traslación del cuerpo libre en todas las direcciones pero no impiden la rotación del cuerpo alrededor de la conexión. En las reacciones de este grupo intervienen dos incógnitas que se representan generalmente por sus componentes x e y. Reacciones formada por una fuerza y un par Estas reacciones son producidas por apoyos fijos o empotramientos que impiden cualquier movimiento inmovilizándolo por completo la viga. En las reacciones de este grupo intervienen tres incógnitas, que son generalmente las dos componentes de la fuerza y el momento del par. Cuando no se ve claramente el sentido de la fuerza o del par de las reacciones, no se debe intentar su determinación. El sentido de la fuerza o del par se puede suponer arbitrariamente y el signo de la respuesta indicará si la suposición fue conecta o no 1.5 pórticos simples y compuestos
Bajo cargas simétricas no sufren desplazamientos horizontales. Si está sometido a una carga no simétrica puede desglosarse en la superposición de un sistema simétrico y uno antimétrico. P/2
P
P/2
P/ 2 H/2 H
=
+
H/2 En el caso de cargas simétricas...
H/2
P/2
Si el número de vanos es par P
P
P/2
P
El nudo situado en el eje de simetría puede considerarse empotrado, siendo suficiente estudiar la parte de pórtico a un lado del eje de simetría. Si el número de vanos es impar P
P
P M U(M) θ(M)
Se estudia solamente la parte de pórtico situado a un lado del eje de simetría, atribuyendo a los puntos de la estructura que están en el eje giros y desplazamientos horizontales nulos. En el caso de cargas antimétricas... se estudia solamente una mitad del pórtico, impidiendo al punto A el desplazamiento vertical y aplicando en este punto un momento M y una fuerza M/h de modo que el movimiento de A sea igual al que tiene A como extremo superior del pilar central sometido a un momento 2M; si el pilar central está empotrado:
1.5 Fuerzas internas Introducción Hasta ahora se ha estudiado la parte del análisis estructural denominada mecánica donde se determina la resultante y se averigua si esta en equilibrio o no. Si la resultante es nula el cuerpo esta en equilibrio estático, condición general de las estructuras; si la resultante es diferente de cero, se suman las fuerzas inerciales para obtener un equilibrio dinámico. Por otra parte la rama denominada resistencia de materiales, establece las relaciones entre las cargas aplicadas y los efectos en el interior de los elementos estructurales1 partiendo de los principios de la mecánica. Definición Para estudiar los efectos de las cargas aplicadas, es necesario conocer la magnitud de las fuerzas internas. Las fuerzas internas son las que están en el interior de los elementos y son las que mantienen unidas todas las partes del cuerpo (Beer y Johnston, 1979; Singer y Pytel, 1982,). Formas de estudio La forma de obtener las fuerzas internas representa de forma global el procedimiento típico del análisis estructural, importante tener siempre en cuenta para cualquier estudio de un sistema estructural. Primero se aísla el elemento o miembro de una disposición particular de elementos estructurales. Sobre este se indica todas las fuerzas aplicadas y reacciones que actúan sobre él2. Esta indicación de fuerzas se denomina diagrama de cuerpo libre del elemento.
Figura 1. Plano de corte perpendicular (Nota: Según Resistencia de materiales. (p. 2), por Singer, F. y Pytel, A. 1982. México, D.F., México: Harla, s.a. de c.v.)
1 Estos efectos en los elementos estructurales son los esfuerzos y las deformaciones que producen las cargas. 2 Las reacciones se determinan por aplicación de las ecuaciones de la estática. En problemas hiperestáticos, las ecuaciones de la estática se complementa con consideraciones cinemáticas. En el punto en que se desee la magnitud del esfuerzo se hace pasar un plano de corte perpendicular al eje del cuerpo, y parte de éste, a uno u otro lado de la sección, se separa completamente (véase Figura 1). En la sección que se investiga se determina el sistema de fuerzas internas necesario para mantener en equilibrio la parte aislada del elemento. Una vez resuelto en forma apropiada el sistema de fuerzas que actúa en la sección, las fórmulas establecidas permitirán determinar los esfuerzos en la sección considerada. Si se sabe la magnitud del esfuerzo máximo en una sección, se podrá especificar el material apropiado para ella; o, recíprocamente, si se conocen las propiedades físicas de un material, es posible seleccionar un elemento del tamaño adecuado. En algunos otros problemas, el conocimiento de la deformación en una sección arbitraria de un elemento, originada por las fuerzas internas, permitirá predecir la deformación de la estructura en conjunto y, por tanto, si fuera necesario, diseñar elementos que no se flexionen o comben excesivamente. (Popov, 1996) Planos de estudio El efecto interno depende de la elección y orientación de la sección a estudiar. En general se estudia el plano XY donde desaparecen tres componentes y queda P, V, M. Si se orienta un plano de forma tal que se elimine el corte y la resultante sea perpendicular al plano, el efecto de tensión obtenido es el máximo; esta fuerza es la que en resistencia de materiales se estudia para que la estructura resista los efectos internos máximos a cualquier combinación de cargas. Conseguir esta orientación del plano es difícil de lograr, por lo tanto se analizan en planos colocados en la perpendicular al eje del elemento en cualquier sección (Singer y Pytel, 1982). Notación y componentes El primer subíndice indica el plano sobre la que actúa la fuerza y el segundo la dirección de cada una.
Figura 2. Componentes de fuerzas internas (Nota: Según Resistencia de materiales. (p. 3), por Singer, F. y Pytel, A. 1982. México, D.F., México: Harla, S.A. de C.V.) Las componentes según el esquema de la Figura 2 son: Fuerza Axial (Pxx): realiza la acción de tirar y se representa por la fuerza de tracción (tendencia al alargamiento) y de compresión (tendencia a acortarlo). Se simboliza por P (véase Figura 2 y 3).
P
P
P
P
(a) Figura 3. Efecto de tracción (a) y compresión (b).
(b)
Fuerza Cortante (Pxy, Pxz): realiza la acción de deslizamiento de una porción de la sección respecto a la otra. Se simboliza por V (véase Figura 2 y 4). V
Figura 4. Fuerza cortante.
V
Momento flector (Mxy, Mxz): realiza la acción de curvar el cuerpo o flexionarlo respecto a los ejes Y o Z. Se simboliza por My o Mz (véase Figura 2 y 5). M
M
Figura 5. Momento de flexión. Momento torsor (Mxx): realiza la torsión sobre el sólido (véase Figura 2 y 6). Se simboliza por T o Mt (Singer y Pytel, 1982). T
Figura 6. Momento de torsión
1.6 Diagrama de fuerzas internas Para el diseño de los sistemas de pórtico es necesario la determinación de las fuerzas internas: momento, cortante y fuerza axial; anteriormente se mostraron los diagramas de momento y fuerza cortante de una viga y se indicaron las convenciones típicas empleadas para el dibujo de esos diagramas. Esta determinación de las fuerzas internas es lo que se ha llamado tradicionalmente el «análisis» de una estructura. Para el análisis de un pórtico es necesario hacer algunas simplificaciones a la estructura real. Un pórtico tiene no solo dimensiones longitudinales, sino transversales, como el ancho y la altura de la sección transversal y estos valores influyen en el análisis de la estructura; sin embargo la determinación difinitiva de las dimensiones de los elementos es el objetivo final del denominado «diseño estructural». Este «círculo vicioso» lo rompe el diseñador suponiendo inicialmente unas dimensiones, de acuerdo al tipo de estructura y a su conocimienmto basado en la experiencia que ha tenido con esas estructuras. Una vez supuestas unas dimensiones, el análisis se hace con modelos matemáticos pertinentes, previas algunas simplificaciones. La simplificación más común, es analizar una estructura de dimensiones teóricas en que los elementos no tienen secciones fisicas, sino parámetros asociados a ellas como el área, el momento de inercia. Según se muestra en la figura 6.11, la estructura teórica para el análisis es la «punteada» que corresponde a una idealización por el eje neutro de los elementos. El estudiante debe entonces distinguir claramente la diferencia entre la longitud real de la viga, la longitud libre y la longitud teórica, que usa en los modelos matemáticos empleados para el análisis de la estructura. Al hacer esta idealización, secciones diferentes en la estructura como son el extremo de la viga y el extremo de la columna se juntan en un punto: el nudo rígido teórico (ver figura). Esto produce dificultades al estudiante, para aplicar las condiciones de equilibrio de los elementos, pero que no son insuperables y que la guía del profesor y el estudio personal, le permitirán sobrepasar con éxito.
Figura 6.11: diferencia entre luz libre y luz de cálculo (teórica) El conocimiento de las metodologías para dibujar los diagramas en los pórticos es importante para que el estudiante pueda entender cómo se afecta el diseño no solo por la magnitud y posición de las cargas, sino por las variaciones en las dimensiones de lassecciones transversales y vaya obteniendo criterios cualitativos y sentido de las magnitudes que le permitan criticar y usar de modo seguro la información obtenida mediante los modernos programas de computador; éstos le permiten obtener rápida y eficientemente no solo las variaciones, sino los valores máximos y mínimos, que se emplearán posteriormente en el diseño de los elementos de las estructuras, que también será hecho por programas de computador adicionales. Teniendo en cuenta que los pórticos tienen elementos horizontales y verticales (en el caso de pórticos rectangulares) es necesario definir algunas convenciones adicionales a las planteadas en las vigas, para evitar equívocos.
Figura 6.12: convenciones de las fuerzas internas Se usará como elemento auxiliar la denominada «fibra positiva», que se dibuja gráficamente en la parte inferior de las vigas y en el interior de los pórticos, con el fin de evitar las confusiones comunes al manejar ecuaciones de equilibrio, según se mostró en el caso de las vigas. También aquí y en el resto del texto se dibujarán los momentos del lado de la fibra a tensión. Esta convención, que no es universal, sobre todo en los textos de origen, se adopta con el fin de facilitarle al estudiante el diseño en concreto reforzado, en el cual se coloca el refuerzo del lado de tensión. En el tema adicional se presenta un ejemplo en el cual se muestra el proceso para obtener las fuerzas internas en un pórtico y dibujar los diagramas de momento flector y cortante.
Figura 6.13: comparación entre pórticos estables e inestables Una consideración necesaria para el uso de un pórtico en una construcción es garantizar su «estabilidad» bajo las cargas a que estará sometido; se debe tener una idea de la tipología de su comportamiento (según se mostró en figura anterior) y de cómo mejorar esa estabilidad en el caso de que no se tenga. En la figura se muestran algunos ejemplos de inestabilidad y cómo superarla.
1.7 Elementos, apoyos y cargas inclinadas Cuando se modela una estructura se deben hacer definiciones a priori, es decir antes del análisis de la misma. Estas definiciones incluyen la geometría, el tipo de material y las cargas actuantes. La definición de la geometría incluye el especificar en cuales puntos y en qué grados de libertad (cada punto posee 6 grados de libertad) se conoce el valor del desplazamiento. DEFINICION: se llama APOYO a todo punto en el cual SE CONOCE el valor que toma uno o más de sus grados de libertad. Atendiendo a la observación 2 anterior también se puede decir que se llama apoyo a todo punto de desplazamiento conocido. Este valor puede ser nulo o distinto de cero. Cuando el valor es distinto de cero se dice que el apoyo tiene un DESPLAZAMIENTO PREFIJADO. Al especificar las condiciones a priori, deben tenerse en cuenta las siguientes consideraciones: En todo punto de una estructura, se conoce el desplazamiento o se conoce la carga. Si se conoce el desplazamiento (apoyo) no se conoce la carga (reacción de apoyo). Si en un punto no se conoce el desplazamiento, entonces se conoce la carga (esta puede ser nula o no). Una estructura está isostáticamente apoyada cuando se han impedido todos sus desplazamientos de cuerpo rígido y no más que estos. Si la estructura es espacial,
deberán restringirse 6 grados de libertad. Si es un pórtico plano o un emparrillado plano deberán restringirse 3 grados de libertad. Más adelante se tratan este tipo de estructuras con mayor detalle. En la Tabla 1.3 se muestran algunos apoyos. En la Tabla 1.3 no se han incluido los denominados apoyos elásticos (resortes). Estos pueden restringir la traslación o la rotación de un punto de la estructura. Se entiende por apoyo elástico un punto donde el desplazamiento depende de la magnitud de la fuerza o reacción. Los que restringen la traslación, tienen asociada una fuerza (F = k u) cuya dirección coincide con el eje del resorte y es proporcional, a través de su rigidez, al desplazamiento del extremo libre del resorte. Por lo tanto, desde el punto de vista de la estructura los resortes se comportan como los apoyos de 1ra especie, es decir representan una fuerza incógnita según la dirección del resorte. En realidad, lo que se representa, es la fuerza interna que aparece o reemplaza la acción del resorte sobre la estructura. Si el resorte restringe la rotación, lo hará respecto de un eje, y en consecuencia el giro según ese eje debe considerarse como incógnita. Desde el punto de vista de la estructura debe aplicarse un momento incógnita según la dirección (dada por el vector que representa al giro que se rigidiza) en que actúa el resorte. En este caso el momento es proporcional al giro (M = k_ _) :
2 CABLES 2.1 Definición Por su simplicidad, versatilidad, resistencia y economía, los cables se han convertido en un elemento imprescindible en muchas obras de ingeniería. Pensemos en los puentes colgantes, no solo los grandes sino también los pequeños construidos para comunicar veredas en zonas rurales, las garruchas, los sistemas de transporte de productos agrícolas en los cultivos, los sistemas de interconexión eléctrica, los cables para postensado en una obra de hormigón, los tensores o contravientos para luminarias y postes, pagodas o techos, etc. Por su flexibilidad, los cables solo aguantan fuerzas de tracción, se comportan de forma inversa a los arcos, en los cuales, debido a su curvatura, los esfuerzos cortantes y de flexión se pueden hacer nulos y los esfuerzos de compresión se convierten en el soporte de la estructura. En el caso de un cable, la geometría que él adquiere al aplicar las cargas, es tal, que asegura el cumplimiento de las leyes de equilibrio con el solo trabajo a tracción del elemento. El tipo de geometría que adquiere un cable depende del tipo de cargas actuantes. Para cables sometidos a cargas uniformes en la proyección horizontal, adquieren una forma parabólica siguiendo la forma del diagrama de momentos de una viga simple; cables sometidos a cargas puntuales adquieren una forma discontinua en cada punto de aplicación de las cargas y cables sometidos a su propio peso (en este caso no es una carga uniforme) forman una curva llamada catenaria. Un ejemplo de este último caso es el de las redes de energía. En el caso de que la flecha del cable (distancia vertical desde los extremos hasta el punto mas bajo) no sea muy grande, esta catenaria se puede aproximar a una parábola. Para el análisis se consideran totalmente flexibles e inextensibles de tal manera que en toda su longitud los esfuerzos solo serán axiales de tracción y siempre tangenciales a la curva del cable. Pilón trabajando
Parábola, bajo carga uniforme
a compresión Cable tensionado
Muerto para anclaje de cable
Catenaria, bajo su propio peso
Carga por peso propio, forma catenaria
flecha
La forma de la catenaria se puede suponer parabólica siempre y cuando longitud sea pequeña. (¿Qué tan pequeña?, se justifica hacer un estudio de la flecha en función de la longitud cuando un cable está sometido a carga uniforme en proyección horizontal y compararla con la flecha para peso propio para poder sacar un límite en esta relación).
2.2 Partes de un cable Dentro de una estructura flexible se puede distinguir las siguientes partes: B
f
A L
A-B: puntos de arranque del cable L: luz(distancia horizontal (m)) f: flecha (distancia vertical, punto medio entre Ay B en (m))
Angulo de inclinación entre los puntos los puntos A y B
2.3 Funicularidad de las cargas Los cables sometidos a cargas puntuales adquieren una geometría tal que en cada punto de aplicación de una carga se forma un cambio de curvatura del cable. La forma final del cable dependerá de la magnitud de las cargas puntuales y de su punto de aplicación.
A
Ay m
Ax
θ
n
By Bx
Δ
P
¿Por qué se colocan como apoyos articulaciones o empotramientos cuando se trabaja con cables? Siempre la reacción será contraria a la acción ejercida por el cable, ley de acción y reacción, por lo tanto solo se ejercerán fuerzas, no momentos, en la misma dirección del último tramo de los cables. Con la articulación como apoyo se asegura que la reacción tenga dos componentes por hallar, la magnitud de la fuerza y su dirección. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio al cable tendríamos un sistema de tres ecuaciones independientes y cuatro incógnitas. Note que la dirección de las reacciones depende de la geometría del cable y que esta a su vez depende de las cargas aplicadas.
Fx 0 Ax Bx T Fy 0 Ay By P M 0 Ay * L P * n H
B
Si en el cable analizado, sus dos apoyos están al mismo nivel, se puede solucionar el análisis vertical, esto es, las componentes verticales de las reacciones o tensiones del cable. Para las componentes horizontales se requiere de otra ecuación que resulta de la geometría del cable. Si se conoce al menos una flecha del cable en cualquier tramo, se podría determinar la dirección de una de las reacciones y así la componente horizontal. Para este caso especial la cuarta ecuación sería:
tan
m
Ay Ax y en ese caso las componentes de las fuerzas de reacción se expresan en
función de θ.
Ax A. cos , Ay A.sen
Fx 0 A cos Bx A cos Bx T
H
M
B
0 Ay * L P * n
Ay
P * n L
cons tan te en toda la longitud By
P * m L
P * n Ax
Ay tan
T H L
P * n * m
* L
m P * m Bx
By tan
T H Bx
L
P * m * n
* L
n
Comprobamos que la fuerza horizontal es constante en toda la longitud del cable e inversamente proporcional a la flecha. En el caso de tener varias cargas aplicadas, se hace necesario conocer al menos una de las flechas del cable. Asumiendo que la flecha conocida sea central, se puede analizar el cable aplicando el método de los nudos, considerando cada punto de aplicación de carga como un nudo de cercha sometido a tracciones y cargas externas o el método de las secciones, cortando el cable por un punto donde se involucre la flecha conocida y tomando momentos con respecto al punto de corte. De esta manera se despeja la componente horizontal de la reacción. Tenga en cuenta que para apoyos alineados horizontalmente, las componentes verticales de las reacciones se determinan por el equilibrio externo. A continuación se muestra el diagrama de cuerpo libre cuando se utiliza el método de los nudos. En cada nudo se plantean dos ecuaciones de equilibrio, por cada tramo de cable resulta una incógnita por averiguar que corresponde a la tracción de este.
TBA
m
n
TED
q D
H1
H2
TBA
E
TCD
B
TBC
b
P1
C
P3
P2
Se deja al lector efectuar este cálculo por nudos. Para cables con apoyos no lineados horizontalmente, se puede plantear encontrando las reacciones en función de la distancia vertical entre el cable y la línea que une los dos puntos de apoyo, esta distancia se llama flecha:
Ay
X
Ax
x Tan Ym
P P
H
L Tan
Bx
m P
F
By
P
Ax Bx 0
Ax Bx H Este valor es constante en toda la longitud del cable ya que no depende de P.
M
B
Ay
H L Tan Ay L P nx L X n 0
P L X H L Tan nx
n
L
L
(Ecuación 1)
Cortando por m y realizando equilibrio en la sección izquierda:
M
m
Ay. X H . X m .Tan Y m P n,nm X X n 0
Donde
P
n , n m
( X Xn)
representa los momentos de las cargas externas con respecto al
punto m. Despejando Ay*X Ay. X H . X m .Tan H .Y m
P
n , n m
X X n (Ecuación 2)
Igualando la ecuación 1 por X con la ecuación 2: H . X m .Tan H .Y m
H * Y m H *Y m
P
n,nm
X X n
P nx L X n
P
n , n m
X X n P nx L X n
M m de las c arg as antes de m
X L
*
L
X H . X .Tan
X L
M
B de todas las c arg as
Donde B se considera el extremo derecho del cable y m un punto medido desde el extremo izquierdo del cable. Note que en esta ecuación no están involucradas las reacciones verticales, solo las cargas externas. Esta ecuación relaciona la componente horizontal de la tensión, la flecha del cable en un punto determinado y las cargas actuantes, se conoce como el teorema del cable: ·”En un punto cualquiera de un cable sometido a cargas verticales, el producto de la componente horizontal de la tensión por la flecha en ese punto, es igual al momento flector que actúa en esa sección si se considera el cable como una viga simplemente apoyada”. En el caso de que el apoyo en B esté por encima del apoyo A, la ecuación H * Y m
M
m
X L
*
M
B
se conserva. (Realice equilibrio y despeje)
B
Ym X Tan A X
Para despejar H o Ym de esta relación se necesita conocer al menos una de las dos. En el diseño de estructuras con cables, el diseñador tiene la opción de fijar la flecha deseada o fijar la componente horizontal de la tensión, la cual permanece constante en toda la longitud.
EJERCICIO (Ejercicio 5-9 del libro de Hibbeler). Determine la fuerza P necesaria para mantener el cable en la posición mostrada. Calcule también la flecha YB y la tensión máxima del cable.
Ay
Ey Ex
Ax YB
D
B
C
4kN
3m
6kN
P 6m
4m
3m
2m
Debido a que la componente horizontal siempre es constante, las tensiones máximas serán aquellas cuya componente vertical sea máxima, esta se presentará siempre en los apoyos. Como una de las incógnitas es una carga aplicada, el teorema del cable no nos ayuda a solucionar la componente horizontal. Aplicando el método de los nudos podemos despejar Ay : Equilibrio en el nudo B
Fy T y * sen 4kN 0 BA
T BA y 4kN
por equilibrio en A, T BAy=Ay=4kN
si tomamos momentos en C podemos expresar Ax en función de Ay conocida:
Mc 0 Ay *10 Ey * 5 4kN * 6m 6kN * 3m 0
6
Ey 8 6,8kN 5
Haciendo equilibrio vertical podemos encontrar P:
Fy 0 Ay Ey 6 4kN P
P 0,8kN
Conocida P podemos aplicar el teorema del cable para encontrar la componente horizontal: Semejando una viga simplemente apoyada y partiendo por E: M E Ey * 2 Ex * 3m Ex
6,8 * 2 3
4,53kN
Aplicando de nuevo la ecuación del cable en el punto B podemos encontrar la flecha en ese punto: M B Ay * 4 Ax * Y B
Y B
4kN * 4m 4,53 kN
3,53 m
La tensión máxima siempre es en los apoyos, en este caso el apoyo E tendrá mayor reacción que el apoyo A, ¿por qué? T max 6,8 2 4,532 8,2kN
2.4 Teorema del cable 2.5 Cargas concentradas y distribuidas Se considera que el peso produce una carga uniformemente distribuida en la proyección horizontal, caso de cables cuya relación flecha/longitud es pequeña. La forma que adquiere el cable es el de una parábola cuyo vértice representa el punto mas bajo de este. Existen dos maneras de analizar el cable, considerar el origen de la parábola en el centro o considerarlo desde un extremo. ω, uniformemente distribuida
en proyección horizontal B
A y C
a. Desde el centro
Y W=w x T
ω
D
y H
X
C
x
Se encuentra la componente horizontal de la tensión en función de las cargas y de un valor de la flecha Y en un punto determinado o se determina la coordenada Y de la forma de la curva del cable en función de la componente horizontal. Tomando momentos con respecto a D tenemos:
M
D
H * y
. x
2
2
0 y
. x
2
2 H
Esta ecuación define la altura del cable medida desde el punto C en cualquier posición x, note que la ecuación corresponde a una parábola. Para encontrar el valor de la componente horizontal H debemos conocer el valor de la flecha en un punto. En el caso de conocer la flecha máxima en C y considerando la simetría tenemos: H
.( L
2 2. y m
)
2
2
. L
8. y m
, en esta ecuación podemos observar que el momento máximo ejercido
por la componente horizontal de la tensión en uno de los apoyos corresponde al momento máximo de una viga simplemente apoyada.
Para encontrar el valor de la tensión en un punto determinado aplicamos equilibrio a la sección indicada:
Fy o Ty . L Ty .L Fx Tx H 0 Tx H El ángulo de inclinación del cable en cualquier punto es: Tan T
Ty Tx 2
. x
H
. x 2 H 2
La tensión máxima se ejerce en los apoyos cuando x=L/2: T max
2
.
L2
4
H 2 H 1 tan 2
La tensión mínima se ejerce cuando X=0 y corresponde al valor de la componente horizontal de la tensión, H. b. Cables con apoyos no alineados horizontalmente:
Ay
L xm θ
H
Tanθ.xm
By
d
ym H
Tomando momentos con respecto a B y seccionando el cable por m y tomando momentos con respecto a m: Ay * L H * d
wL2 2
Ay * x m H ( x m tan y m )
wx m
2
2
Igualando Ay y despejando la H*ym
H . y m
M
m
x
M L
B
. x m
2
2
2
. L
2
*
x m L
Donde ym corresponde a la flecha medida desde la cuerda y x está medida desde el extremo izquierdo. Para xm=L/2 2
L
L 2 4 . L * 2 2 2 L
H . y m H . y m H . y m
2
. L
8
2
. L
4
2
. L
8
2
L
8
Que corresponde al valor del momento máximo desarrollado en una viga
horizontal con la misma carga w. La ecuación que define la forma del cable es una parábola con origen en el extremo izquierdo: H . y m
2
( L * xm xm ) 2
Para encontrar la abscisa del punto de tangencia cero, se expresa ym en función de H, se deriva e iguala a cero: dy dx
2 H
( L 2 xm )
Constituye la tangente en cualquier punto del cable
Para dy/dx=0 x
wL 2 H Punto de tangencia cero. Note que depende de H y a la vez H depende de la flecha,
por lo tanto se debe asumir uno de los dos valores o H o ym. Longitud del cable necesaria:
Y ds dy dx X
Expresando una longitud diferencial de cable en función de dx y dy tenemos: ds
dx 2 dy 2
Dividiendo por dx2 y multiplicando por dx fuera del radical: 2
dy ds 1 * dx dx
Se conoce la expresión dy/dx dy dx
2 H
( L 2 x)
Reemplazando: ds 1
4 H
2
* ( L 2 x ) 2 * dx
Integrando esta función se puede obtener la longitud del cable. En el caso de tener el centro de coordenadas en el punto de tangencia cero, el valor de dy/dx es: wx 2
y dy dx
2 H
L
wx H
1 (
wx H
)2
dx
Haciendo una sustitución de variables:
U L
wx H H
w
H
w
L
H
L
w * dx H
de
donde dx
H w
dU
1 U 2 du
U tan
L
dU
y
dU sec 2 * d
1 tan 2 * sec 2 d
sec w
3
d
H wx wx 1 wx 1 wx ln(sec(tan ). tan sec 2 w H H H H
, donde X es el valor de la proyección
horizontal de uno de los tramos de la cuerda medida desde el punto de tangencia cero. En el libro “Mecánica vectorial para ingenieros, estática” de Beer, Johnston y Eisenberg se
plantea otra solución para esta integral expandiendo el radical por medio del teorema del binomio. Esta solución está en términos de la flecha máxima y la distancia X desde el punto de flecha máxima a uno de los apoyos. Ejemplo: Un cable de un puente colgante se somete a una carga uniforme de 50kN/m. Si la altura máxima de los pilones donde se ancla el cable con respecto al tablero del puente es de 30m y se cuenta con cables de acero con resistencia última a tracción de 1800N/mm2, determinar el diámetro del cable mínimo que puede ser usado. Despreciar el peso del cable. Jugando con la altura del cable con respecto al tablero podría determinar el menor volumen de acero de cable a usar. Exprese volumen como longitud por área transversal y grafique versus altura del pilón.
30m
100m
En este caso se pide tener una geometría tal del cable que produzca la mínima tensión posible. Las componentes verticales son máximas en los apoyos e iguales a la mitad de la carga generada en toda la luz y no dependen de la geometría del cable. La componente horizontal de la tensión varía con la flecha, a mayor flecha menor componente horizontal, por lo tanto una tensión mínima se consigue con una flecha igual a la máxima posible, en este caso 30 metros. Reacciones verticales: Ay By
100 * 50kN / m 2500kN 2
Tomando momentos con respecto a uno de los apoyos en una sección de solo la mitad del cable se obtiene la componente horizontal de la tensión:
M
B
0 H * 30m
50 kN / m * 50 2 2
H 2083kN
T max 20832 25002 kN T max 3254kN
Área de cable mínima: Area T max/ resistenci a 3254 kN 1807 mm 2 2 1800 N / mm
2.6 Peso propio sd
2.7 Catenaria Vamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compañías eléctricas para llevar la corriente de alta tensión entre las centrales eléctricas y los centros de consumo. La catenaria como la cicloide son dos curvas importantes en la Física y en las Matemáticas. La curva que describe un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido a otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. La catenaria se confundió al principio con la parábola, hasta que el problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Huygens.
Formulación discreta Sea una cadena de bolitas metálicas como las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos. Supondremos que hay N bolitas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable.
Cada bolita estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha. La condición de equilibrio para la bolita i de masa m se expresa
Todas las componentes horizontales de la tensión del hilo son iguales, y la denominaremos T x. T x=T cos
0=
T cos
i=
T cos
cos
i+1 =T
N+1
Dividiendo la segunda ecuación por T x tenemos la siguiente relación entre el ángulo ángulo i+1
i
y el
A la cantidad constante cociente entre el peso de cada bolita mg y la componente horizontal T x para cada bolita i=1... N.
Catenaria simétrica Consideremos un cable de longitud L sujeto por sus dos extremos que están situados a la misma altura y que distan a uno del otro. Sea la densidad del cable (masa por unidad de longitud).
En la figura, se representa las fuerzas que actúan sobre una porción s de cable que tiene como extremo el punto más bajo A:
el peso,
la fuerza que ejerce la parte izquierda del cable sobre el extremo izquierdo A de dicho segmento, la fuerza que ejerce la parte derecha del cable sobre el extremo derecho P del segmento s.
La condición de equilibrio se escribe T cos T sen
=T 0
O bien,
Derivando con respecto de x, y teniendo en cuenta que la longitud del arco diferencial 2
2
2
ds =dx +dy
(1) Integrando esta ecuación, teniendo en cuenta que para x=a/2, (en el punto más bajo A de la curva) dy/dx=0.
Integrando de nuevo, con la condición de que para x=a/2, y=-h.
Como la catenaria es simétrica para x=a, y=0, por lo que la flecha h vale.
La ecuación de la catenaria es, finalmente
(2) La longitud de la catenaria es
(3) Las figuras, son una superposición de las imágenes generadas por los dos applets de esta página que muestran como la aproximación discreta y continua coinciden cuando el parámetro es grande y difieren cuando es pequeño. El parámetro x es el cociente entre el peso de cada bolita y la componente horizontal de la tensión del hilo, que es la misma en cada una de las bolitas.
Ejemplo
En la figura, se muestra una catenaria simétrica de longitud L, cuya "luz" es a y la "flecha" h. Para dibujar la catenaria 1. Se resuelve la ecuación trascendente (3)
2. Se representa la catenaria
3. Se calcula el mínimo o la "flecha" h
Sea la longitud del cable L=1.0, y la "luz" a=0.5. Resolvemos por cualquier procedimiento numérico la ecuación trascendente, cuya solución es =4.354, y a continuación calculamos h=0.4 Si cambiamos la "luz" a=0.8, obtenemos
=1.478, y h=0.27
2.8 Ecuaciones fundamentales Se lleva a cabo la deducción paso a paso (en el texto consultado no se lleva a cabo así) del cálculo de la curva, flecha, tensión y longitud de un cable parabólico (el cual según se demuestra forma una parábola con el eje vertical), que soporta una carga uniformemente repartida sobre su proyección horizontal, como es el caso del cable de un puente colgante, y cables muy tirantes, con su flecha muy pequeña en comparación con su luz, como, los de las líneas eléctricas. Esta explicación es útil en la impartición de materias tales como: Estática, Diseño Mecánico, Instalaciones Mecánicas y Líneas de Transmisión, de la carrera de Ingeniero Mecánico electricista. DESARROLL O DEL TEM A
Consideremos un cable que está suspendido entre dos puntos y soporta una carga que está uniformemente repartida sobre la proyección horizontal de la curva funicular (según se ve en la figura siguiente), este cable adopta la forma de una parábola. Deduciremos las ecuaciones que nos dan la curva, la flecha, la tensión en los puntos de apoyo y la longitud del cable parabólico, considerando que los puntos de los que está suspendido el mismo se, se hallan en el mismo plano horizontal.
El cable de un puente colgante es un ejemplo de un cable que soporta una carga que muy aproximadamente está uniformemente repartida en la dirección horizontal, ya que el peso del tablero está uniformemente repartido en esa dirección, y los pesos del cable y tirantes son pequeños en comparación con el de aquel; y por lo tanto pueden despreciarse. Otro ejemplo es el de un cable muy tirante (esto es un cable en el que la flecha es pequeña en comparación con la, luz) que no soporta una carga mas que la de su propio peso; como por ejemplo el cable de una línea eléctrica de transmisión, un alambre de telégrafo, etc.
En este caso la carga soportada por el cable (su peso) está repartida uniformemente a lo largo de la curva asumida por el cable, pero, puesto que la flecha (f) es pequeña, la proyección horizontal de un arco de curva es aproximadamente igual a la longitud del arco y, por consiguiente la carga está con bastante aproximación uniformemente repartida en la dirección horizontal. Para resolver los problemas en que intervienen cables de esta naturaleza, se utiliza la ecuación de la curva asumida por el cable (la parábola) y las ecuaciones que expresan las relaciones entre la luz (a), la flecha (f), la longitud del cable (l), la tensión (T), etc. Con objeto de determinar la ecuación de la parábola consideramos una parte AB del cable como un cuerpo libre (figura b). Tomaremos como origen de coordenadas el punto más bajo del cable A, y la tensión en este punto la designaremos por H. La tensión en un punto cualquiera B la designaremos por T. Esto supuesto, la porción de cable AB está en equilibrio bajo la acción de las tres fuerzas H, T y la carga vertical wx que actúa en el punto medio D de la distancia entre A y C. Puesto que esas tres fuerzas están en equilibrio tienen que ser concurrentes y, por consiguiente, la línea de acción de T pasa por D. Las ecuaciones de equilibrio son: ∑FX = T cos α - H = 0, ……………... (1) ∑Fy = T sen α - wx = 0… ……………(2) Eliminando T en (1) y (2) tenemos:
De (1) T=
…..(3)
De (2) T=
…..(4)
Igualando (3) y (4) = Tan α =
…..(5)
Pero de la figura Tan α = Tan α =
………(6)
Luego, igualando 5 y 6 = y= …..(7) ECUACIÓN DE LA CURVA La curva es, pues, una parábola con el vértice en A y eje vertical. Eliminando α de (1) y (2), tenemos De 1) T Cos α = H
T2 Cos2α = H2 …..8)
De 2) T Sen α = wx
T2 Sen2α = w2x2….9)
Sumando 8) y 9) tenemos T2Cos2 + T2Sen2α = H2+w2x2 T2(Sen2α+Cos2d) = H2+w2x2 T=
…….(10)
Al aplicar las ecuaciones que antecedente lo que nos interesa es la tensión en el punto de apoyo, por ser en este punto donde la tensión es máxima. Por consiguiente, si designamos por a la luz y por f el valor máximo de y (esto es, la flecha) de las ecuaciones (3) y (4) se deduce:
Sustituyendo en (7) x =
y y por f tenemos
f=
f=
………(11)
En la ecuación 10, sustituyendo x por a/2 , la tensión en el punto de apoyo "T" será
T=
…….(12) Tensión en el punto de apoyo
Sustituyendo 11) en 12)
T=
T=
T= ….. (13) Tensión máxima en función de datos fácilmente medibles en el campo como son "a" y "f"
Determinaremos ahora la longitud del cable en función de la luz a y de la flecha f. La longitud de un arco de una curva cualquiera, se obtiene por medio de la ecuación.
s= De la ecuación 7)
y=
=
Por consiguiente, si designamos por "l" la longitud del cable, tenemos:
l=2 La expresión exacta de l, obtenida de esta integral, contiene una función logarítmica la cual es de difícil aplicación. Puede obtenerse una expresión más sencilla desarrollando la expresión contenida bajo el signo integral, la cual es de la forma
Para nuestro caso:
=
=1+
-
+…….
Sustituyendo H4 =
y H2 =
l: 2
l: 2
En la expresión anterior tenemos:
