PROBLEMAS Introducción a La Programación Lineal 2017

Tema 1: Introducción a la Programación Lineal Problemas

1. Un comerciante acude al mercado a comprar naranjas. Dispone de 2000 € y en su furgoneta caben 1400 kg. En el mercado mercado disponen de naranjas naranjas de tipo A a 1.10 €/kg y de tipo B a 1,60 €/kg. Él las podrá vender a 1,20 €/kg las de tipo A y a 1,75 €/kg las de tipo B, y se cuestiona cuántos kilogramos de cada tipo debería comprar para conseguir que los beneficios sean lo más altos posible. Plantee el PPL y resuélvalo utilizando el método gr áfico. 2. En una confitería se elaboran tartas de NATA y de MANZANA. Cada tarta de nata requiere medio Kilo de azúcar y 8 huevos; huevos; y una de manzana, manzana, 1 kg de azúcar y 6 huevos. En la despensa quedan 10 kg de azúcar y 120 huevos. ¿Cuántas tartas de cada tipo se deben hacer si pretendemos que los ingresos por su venta sean máximos? máximos? Plantee el PPL y resuélvalo resuélvalo utilizando utilizando el método gráfico. Considera estos casos: a. Sus precios son: nata, 12 €; manzana, 15 €. b. Sus precios son: nata, n ata, 16 €; manzana, 12 €. c. Sus precios son: nata, 15 €; manzana, 10 €. 3. Una persona persona quiere quiere invertir invertir 100 000 € en dos tipos de acciones acciones A y B. Las de tipo A tienen tienen más más riesgo, pero producen producen un beneficio del 10%. Las de tipo B son más seguras, pero pero producen solo el 7% nominal. Decide invertir como como máximo 60 000 € en la compra de acciones acciones A y, por lo menos, 20 000 € en la compra de de acciones B. Además, Además, quiere que lo lo invertido invertido en en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo debe invertir inv ertir los 100 000 € para que el beneficio anual sea máximo? 4. Un sastre tiene 80 m2 de tela de de algodón y 120 m2 de tela de de lana. Un traje de caballero caballero requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana y un vestido de señora necesita 2 m2 de cada una de las telas. Halla el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden por el mismo precio. 5. La compañía WorldLight produce dos dispositivos para lámparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto debe fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricos. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no genera ganancia, por lo que fabricar más de esa cantidad está fuera de consideración. Problemas de Introducción a la Programación Lineal

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Formule un modelo de programación lineal. Y utilice el método gráfico para resolver este modelo. ¿Cuál es la ganancia total que resulta? 6. Un inversionista tiene oportunidad de invertir al principio de cada uno de los próximos 5 años en 4 tipos diferentes de instrumentos de inversión: A, B, C y D. Cada dólar invertido en A al principio de cualquier año, retribuye $ 1.40 (una ganancia de $0.40) 2 años después (a tiempo para la reinversión inmediata). Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye $1.70, 3 años después. Las inversiones C y D estarán disponibles para inversión una sola vez en el futuro. Cada dólar invertido en C al principio del año 2 da $1.90 al final del año 5. Cada dólar invertido en D al principio del año 5 retribuye $1.30 al final de ese año. El inversionista tiene $60000 para iniciar y desea determinar un plan de inversión que maximiza la cantidad de dinero acumulada al principio del año 6. Formule el modelo de programación lineal para este problema y resuélvalo con la ayuda del ordenador

7. Utilice el método gráfico para resolver este problema min  = 3 + 2 . .  + 2 ≤ 12 2 + 3 = 12 2 +  ≥ 8  ,  ≥ 0

8. Considere el siguiente problema, donde el valor de  no se ha determinado. max  =   + 2 . . 4 +  ≤ 12  −  ≥ 2  ,  ≥ 0

Use el método gráfico para determinar las soluciones óptimas en función de los valores de . 9. Considere el siguiente modelo min  = 40 + 50 . . 2 + 3 ≥ 30  +  ≥ 12 2 +  ≥ 20  ,  ≥ 0

a. Use el método gráfico para resolver este problema b. ¿Cómo varía la solución óptima si la función objetivo cambia a  = 40 + 70? c. ¿Cómo varía la solución óptima si la tercera restricción funcional fuese 2 +  ≥ 15 ?

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10. Utilice el método gráfico paras demostrar que el siguiente modelo no tiene soluciones factibles. max  = 5 + 7 . . 2 −  ≤ 1 − + 2 ≤ −1  ,  ≥ 0

11. Resuelva el siguiente PPL utilizando el método gráfico max  = 2 +  . .  ≤ 10 2 + 5 ≤ 60  +  ≤ 18 3 +  ≤ 44  ,  ≥ 0

12. Resuelva el siguiente PPL utilizando el método gráfico max  = 10 + 20 . . − + 2 ≤ 15  +  ≤ 12 5 + 3 ≤ 45  ,  ≥ 0

13. ChemLabs utiliza las materias primas I y II para producir dos soluciones de limpieza doméstica, A y B. Las disponibilidades diarias de las materias primas I y II son de 150 y 145 unidades, respectivamente. Una unidad de solución A consume .5 unidades de la materia prima I, y 0.6 unidades de la materia prima II, en tanto que una unidad de la solución B consume 0.5 unidades de la materia prima I, y .4 unidades de la materia prima II. Las utilidades por unidad de las soluciones A y B son de $8 y $10, respectivamente. La demanda diaria de la solución A es de 150 unidades, y la de la solución B es de 200 unidades. Determine las cantidades de producción óptimas de A y B. 14. Wyoming Electric Coop posee una planta generadora de energía de turbina de vapor. Como en Wyoming abundan los depósitos de carbón, la planta genera su vapor con carbón. Esto, sin embargo, puede conducir a emisiones que no satisfagan las normas de la Agencia de Protección Ambiental (EPA, por sus siglas en inglés). Las normas de la EPA limitan la descarga de dióxido de azufre a 2000 partes por millón por tonelada de carbón quemado, y la descarga de humo por las chimeneas de la planta a 20 lb por hora. La empresa recibe dos tipos de carbón pulverizado, C1 y C2, para usarlos en la planta de vapor. Los dos tipos se suelen mezclar antes de la combustión. Por simplicidad, se supone que la cantidad de azufre contaminante descargado (en partes por millón) es un promedio ponderado de la proporción de cada tipo utilizado en la mezcla. Los siguientes datos se basan en el consumo de 1 tonelada por hora de cada uno de los dos tipos de carbón.


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Determine la proporción óptima para mezclar los dos tipos de carbón. Determine el efecto de rebajar el límite de descarga de humo en una libra sobre la cantidad de vapor generado por hora. 15. Hoy es su día de suerte. Acaba de ganar un premio de $10 000. Dedicará $4 000 a impuestos y diversiones, pero ha decidido invertir los otros $6 000. Al oír esta noticia, dos amigos le han ofrecido una oportunidad de convertirse en socio en dos empresas distintas, cada una planeada por uno de ellos. En ambos casos, la inversión incluye dedicar parte de su tiempo el siguiente verano y dinero en efectivo. Para ser un socio pleno en el caso del primer amigo debe invertir $5 000 y 400 horas, y su ganancia estimada (sin tomar en cuenta el valor de su tiempo) sería de $4 500. Las cifras correspondientes para el segundo caso son $4 000 y 500 horas, con una ganancia estimada igual a la anterior. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían asociarse con cualquier fracción de participación que quiera. Si elige una participación parcial, todas las cifras dadas para la sociedad plena (inversión de dinero y tiempo, y la ganancia) se pueden multiplicar por esta fracción. Como de todas formas usted busca un trabajo de verano interesante (máximo 600 horas), ha decidido participar en una o ambas empresas en alguna combinación que maximice su ganancia total estimada. Usted debe resolver el problema de encontrar la mejor combinación

16. Programación de personal (adaptado de Hillier y Lieberman 2010) UNION AIRWAYS va a agregar vuelos desde y hacia su aeropuerto base, por lo cual necesita contratar más agentes de servicio a clientes. Sin embargo, no está claro cuántos más debe contratar. La administración reconoce la necesidad de controlar el costo y al mismo tiempo proporcionar de manera permanente un nivel satisfactorio de servicio. Por todo esto, un equipo de IO estudia la forma de programar a los agentes para proporcionar un servicio satisfactorio con el menor costo en personal. Con base en la nueva programación de vuelos, se ha realizado un análisis del número mínimo de agentes de servicio a clientes que deben encontrarse de guardia en diferentes momentos del día para proporcionar un nivel satisfactorio de servicio. La columna de la derecha de la tabla 3 muestra el número de agentes necesario para los periodos dados en la primera columna. Los otros datos de la tabla reflejan uno de los acuerdos del contrato colectivo vigente entre la compañía y el sindicato que representa a los agentes de servicio a clientes. El acuerdo es que cada agente trabaje un turno de 8 horas 5 días a la semana, y los turnos autorizados son: Turno 1: 6:00 a.m. a 2:00 p.m. Turno 2: 8:00 a.m. a 4:00 p.m. Turno 3: 12:00 a.m. (mediodía) a 8:00 p.m. Problemas de Introducción a la Programación Lineal

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Turno 4: 4:00 p.m. a 12 p.m. (medianoche) Turno 5: 10:00 p.m. a 6:00 a.m.

TABLA 3 Datos del probl ema de prog ramación de personal en Union Airw ays Periodos cubiertos Turno Periodo

1

6:00 a.m. a 8:00 a.m. 8:00 a.m. a 10:00 a.m. 10:00 a.m. a 12 a.m. 12 a.m. a 2:00 p.m. 2:00 p.m. a 4:00 p.m. . 4:00 p.m. a 6:00 p.m. 6:00 p.m. a 8:00 p.m. 8:00 p.m. a 10:00 p.m.. 10:00 p.m. a 12:00 p.m. 12:00 p.m. a 6:00 a.m.

✔

Costo diario por agente

2

3

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✔

✔

4

5

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✔

✔

✔ ✔ ✔

✔ ✔

$170

$160

$175

$180

Número mínimo necesario de agentes

48 79 65 87 64 73 82 43 52 15

$195

Las marcas en el cuerpo principal de la tabla 3 muestran las horas cubiertas por los turnos respectivos. Como algunos turnos son menos deseables que otros, los salarios que se especifican en el contrato difieren de uno a otro. En el último renglón se muestra la compensación diaria — con las prestaciones— por cada agente para cada turno. Plantee un PPL para determinar cuántos agentes deben asignarse a los turnos respectivos cada día para minimizar el costo total de personal debido a los agentes, de acuerdo con este último renglón, al mismo tiempo que se cumplen (o se sobrepasan) las necesidades de servicio dados en la columna de la extrema derecha. Resuelva el problema con la ayuda de la computadora.

SOLUCIÓN: (48,31,39,43,15). Costo total diario de personal= $30610.

17. Una cooperativa agropecuaria posee 50 hectáreas de terreno cultivable y tiene unos fondos de $40,000 para invertir. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas- hombre de mano de obra durante los meses de invierno y 4000 horas-hombre durante el verano. En caso de que no se necesite una parte de estas horas-hombre, los cooperativistas las emplearán para trabajar para otra empresa agrícola por $5 la hora durante los meses de invierno y por $6 la hora en el verano. Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha: soya, maíz y avena y dos tipos de animales de granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión inicial, pues ya tienen el terreno y semillas; pero cada vaca requerirá un desembolso de Problemas de Introducción a la Programación Lineal

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$1200 y cada gallina costará $9. Cada vaca necesita 0.7 hectáreas, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas-hombre durante el verano; y cada una producirá un ingreso anual neto de $1000 para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son: nada de terreno , 0.6 horas-hombre durante el invierno, 0.3 horas hombre en el verano y un ingreso anual neto de $5. Caben 300 gallinas en el gallinero de la cooperativa, y el corral limita el ganado a un máximo de 32 vacas. Las estimaciones de las horas-hombre y el ingreso por hetárea plantada por cada tipo de cosecha se indican en la tabla. Soya Horas-hombre en invierno 20 Horas-hombre en verano 50 Ingreso neto anual 600

Maíz

Avena

35 75 900

10 40 450

Se quiere determinar cuántas hectáreas sembrar con cada tipo de cosecha y cuántas vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso neto. Desea saber también cuántas horas deberán trabajar en la empresa agrícola. Formule el modelo de PL para resolver este problema. Resuélvalo utilizando la computadora 18. Fred Jonasson administra la granja de su familia. Para complementar varios alimentos que se cultivan en la granja, Fred también cría cerdos para venta y desea determinar las cantidades de los distintos tipos de alimento disponibles (maíz, pienso y alfalfa) que debe dar a cada cerdo. Como éstos se comerán cualquier mezcla de estos tipos de alimento, el objetivo es determinar cuál de ellas cumple ciertos requisitos nutritivos a un costo mínimo. En la siguiente tabla se presentan las unidades de cada tipo de ingrediente nutritivo básico que contiene 1 kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos de nutrición diarios y los costos de los alimentos.

Ingrediente nutritivo

Kilogramo Kilogramo Kilogramo de de de pienso maíz alfalfa

Carbohidratos Proteína Vitaminas

90 30 10

20 80 20

40 60 60

Costo (¢)

84

72

60

Requerimiento minimo diario

200 180 150

Plantee el PPL y resuélvalo con Excel. 19. La compañía manufacturera VITRIX tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de producción. Las tres pueden fabricar un determinado producto y la gerencia ha decidido usar parte de la capacidad adicional para esto. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y pequeño, que darán una ganancia neta de $420, $360 y $300, respectivamente. Las plantas tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diarias cada una, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate. La Problemas de Introducción a la Programación Lineal

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cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también una limitación en las tasas de producción del nuevo producto. Se cuenta con 1300, 1200 y 500 metros cuadrados de espacio en las plantas 1, 2 y 3, para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. Cada unidad grande, mediana y pequeña que se produce requiere 2, 1.5 y 1.2 m2 respectivamente. Los pronósticos de mercado indican que se puede vender 900, 1200 y 750 unidades diarias, correspondientes a los tamaños grande, mediano y pequeño, respectivamente. Con el fin de mantener una carga uniforme de trabajo entre las plantas y para conservar alguna flexibilidad, la gerencia ha decidido que la producción adicional que se les asigne emplee el mismo porcentaje de la capacidad adicional con que cuentan. El gerente quiere saber cuántas unidades de cada tamaño debe producir en cada planta para maximizar la ganancia. Formule el PPL para este problema y resuélvalo con la ayuda del ordenador. 20. La compañía de seguros Primo está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es de $5 por el seguro de riesgo especial y de $2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes:

Horas de trabajo por unidad Departamento

Riesgo especial

Hipoteca

Horas de trabajo disponibles

Suscripciones Administración Reclamaciones

3 0 2

2 1 0

2 400 800 1 200

Formule un modelo de programación lineal y use el método gráfico para resolver el modelo.

21. La compañía manufacturera Omega discontinuó la producción de cierta línea de productos no rentables. Esta medida creó un exceso considerable de capacidad de producción. La administración quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llamados 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción:


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El número de horas-máquina que se requieren para elaborar cada unidad de los productos respectivos es

El departamento de ventas indica que las ventas potenciales de los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son de 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, para los productos 1, 2 y 3, respectivamente. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. Formule un modelo de programación lineal para este problema. Utilice una computadora para resolver este modelo (Excel) 22. Web Mercantile vende muchos productos para el hogar mediante un catálogo en línea. La compañía necesita un gran espacio para almacenar los productos. En la actualidad planea alquilar espacio para los siguientes 5 meses. Se sabe cuánto espacio necesitará cada mes, pero como dicha superficie es muy variable, puede ser más económico alquilar sólo la cantidad necesaria cada mes con contratos mensuales. Por otro lado, el costo adicional de alquilar espacio para meses adicionales es menor que para el primero, y puede ser menos costoso alquilar el espacio máximo los 5 meses. Otra opción es el enfoque intermedio de cambiar la cantidad total de espacio alquilado (con un nuevo contrato y/o la terminación del anterior) al menos una vez pero no cada mes. E l espacio que se requiere y los costos de los periodos de arrendamiento son los siguientes:

Formule y resuelva un PPL para este problema.

23. La Medequip Company produce equipos de precisión de diagnóstico médico en dos fábricas. Se han recibido pedidos de tres centros médicos para la producción de este mes. La tabla presenta el costo unitario de envío desde cada fábrica a cada centro. Además, muestra el número de unidades que se producirán en cada fábrica y el número de unidades ordenadas por cada cliente.


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Ahora debe tomar la decisión sobre el plan de cuántas unidades enviar de cada fábrica a cada cliente. Formule un modelo de programación lineal. y resuélvalo.

24. Metalco Company desea hacer una nueva aleación con 40% de aluminio, 35% de zinc y 25% de plomo a partir de varias aleaciones disponibles que tienen las siguientes propiedades Aleación Propiedad

1

2

3

4

5

Porcentaje de aluminio

60 10

25 15

45 45

20 50

50 40

Costo ($/libra)

77

70

88

84

94

El objetivo es determinar las proporciones de estas aleaciones que deben mezclarse para producir la nueva aleación a un costo mínimo. Formule y resuelva el PPL con la ayuda de una computadora. 25. Joyce y Marvin tienen una guardería. Intentan decidir qué dar a los niños de almuerzo. Desean mantener sus costos bajos, pero también deben cumplir con los requerimientos nutritivos de los niños. Ya decidieron darles sándwiches de mantequilla de maní y mermelada y alguna combinación de galletas, leche y jugo de naranja. El contenido nutritivo de cada alimento y su costo se presenta en la siguiente tabla.


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Los requerimientos nutritivos son los siguientes. Cada niño debe recibir de 400 a 600 calorías. No más de 30% de las calorías totales deben provenir de grasas. Cada niño debe consumir al menos 60 mg de vitamina C y 12 g de proteína. Todavía más, por razones prácticas, cada niño necesita 2 rebanadas de pan (para un sándwich), al menos el doble de mantequilla de maní que de mermelada y al menos una tasa de líquido (leche y/o jugo de naranja). Joyce y Marvin desean seleccionar las opciones de alimento para cada niño que minimice el costo mientras cumple con los requerimientos establecidos. Formule un modelo de programación lineal para este problema

26. Burroughs Garment Company fabrica camisas para caballero y blusas de dama para las tiendas de descuento Wallmart, corporación que aceptará toda la producción surtida por Burroughs. El proceso de producción incluye el corte, la costura y el empaque. Burroughs emplea 25 trabajadores en el departamento de corte, 35 en el de costura, y 5 en empaque. La fábrica trabaja un turno de 8 horas, 5 días a la semana. La siguiente tabla muestra los requerimientos de tiempo y utilidades por unidad para las dos prendas:

Determine el programa de producción semanal óptimo

27. OilCo está construyendo una refinería para producir cuatro productos: diesel, gasolina, lubricantes y combustible para avión. La demanda mínima (en barriles por día) de cada uno de esos productos es de 14,000, 30,000, 10,000 y 8000, respectivamente. Iraq y Dubai firmaron un contrato para enviar crudo a OilCo. Debido a las cuotas de producción especificadas por la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo), la nueva refinería puede recibir por lo menos 40% de su crudo de Iraq y el resto de Dubai. OilCo pronostica que la demanda y las cuotas de petróleo crudo no cambiarán durante los próximos 10 años. Las especificaciones de los dos crudos conducen a mezclas de productos diferentes: Un barril de crudo de Iraq rinde .2 barriles de diesel, .25 barriles de gasolina, 1 barril de lubricante y 0.15 barriles de combustible para avión. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: 0.1, 0.6, 1.5 y 0.1, respectivamente. OilCo necesita determinar la capacidad mínima de la refinería (barriles por día). 28. Un centro de reciclaje industrial utiliza dos chatarras de aluminio, A y B, para producir una aleación especial. La chatarra A contiene 6% de aluminio, 3% de silicio, y 4% de carbón. La chatarra B contiene 3% de aluminio, 6% de silicio, y 3% de carbón. Los costos por tonelada de las chatarras A y B son de $100 y $80, respectivamente. Las especificaciones de la aleación especial requieren que (1) el contenido de aluminio debe ser mínimo de 3% y máximo de 6%; (2) el contenido de silicio debe ser de entre 3 y 5%, y (3) el contenido de carbón debe ser de entre 3 y 7%. Determine la mezcla óptima de las chatarras que deben usarse para producir 1000 toneladas de la aleación.


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29. Fox Enterprises está considerando seis posibles proyectos inmobiliarios durante los próximos 4 años. Fox puede emprender cualquiera de los proyectos en parte o en su totalidad. La ejecución parcial de un proyecto prorrateará proporcionalmente tanto el rendimiento como los desembolsos de efectivo. Los rendimientos al finalizar el proyecto (valor presente) y los desembolsos de efectivo que ha de realizar cada año (en miles de dólares) para los proyectos se dan en la siguiente tabla.

Formule el problema como un programa lineal, y determine la combinación óptima. Suponga que los fondos no utilizados al final de un año se utilizan en el año siguiente. Halle la nueva solución óptima, y determine qué tanto cada año “le pide prestado” al año anterior. Por sencillez, pase por alto el valor del dinero en el tiempo.

30. HiRise Construction puede licitar por la adjudicación de dos proyectos de 1 año. La siguiente tabla da el flujo de efectivo trimestral (en millones de dólares) para los dos proyectos.

HiRise dispone de fondos en efectivo que ascienden a $1 millón a principios de cada trimestre, y puede pedir prestado un máximo de $1 millón a una tasa de interés anual nominal de 10%. Cualquier dinero pedido a préstamo debe ser devuelto al final de cada trimestre. El efecto excedente puede ganar un interés trimestral a una tasa anual nominal de 8%. La acumulación neta al final de cada trimestre se invierte en el siguiente. Suponga que a HiRise se le permite una participación parcial o completa en los dos proyectos. Determine el nivel de participación que maximizará el efectivo neto acumulado el 31 de diciembre.


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31. Las facturas en una casa se reciben mensualmente (por ejemplo, servicios e hipoteca de la casa), trimestralmente (pagos de impuestos estimados), semestralmente (como los seguros), o anualmente (renovaciones y pagos vencidos de suscripciones). La siguiente tabla da las facturas mensuales durante el próximo año.

Para solventar estos gastos, la familia aparta $1000 cada mes, cantidad que es el promedio del total dividido entre 12 meses. Si el dinero se deposita en una cuenta de ahorros convencional, puede ganar un interés anual de 4%, siempre que permanezca en la cuenta por lo menos 1 mes. El banco también ofrece certificados de depósito a 3 y 6 meses que pueden ganar el 5.5% y 7% de interés anual, respectivamente. Desarrolle un programa de inversión de 12 meses que maximizará la ganancia total de la familia durante el año. Establezca cualesquier suposiciones o requerimientos necesarios para llegar a una solución factible. (Los intereses anuales se pueden pasar a mensuales simplemente dividiéndoles por 12). 32. La demanda de helado durante los tres meses de verano (junio, julio y agosto) en All- Flavor Parlor se estima en 500, 600 y 400 cartones de 20 galones, respectivamente. Dos mayoristas, 1 y 2, le surten helado a All-Flavors.Aunque los sabores de los dos proveedores son diferentes, son intercambiables. El máximo de cartones que cada proveedor puede surtir es de 400 por mes. Además, el precio de los dos proveedores cambia de un mes al siguiente, según la tabla:

Para aprovechar la fluctuación del precio, All-Flavor puede comprar más de lo que necesita en un mes y guardar el excedente para satisfacer la demanda en un mes posterior. El costo de refrigerar un cartón de helado es de $5 por mes. En la presente situación es realista suponer que el costo de refrigeración está en función de la cantidad de cartones promedio disponibles durante el mes. Desarrolle un modelo para determinar el programa óptimo de compra de helado a los dos proveedores, y determine la solución óptima. 33. La demanda de un artículo durante los siguientes cuatro trimestres es de 300, 400 y 250 unidades, respectivamente. El precio por unidad es de $20 en el primer trimestre y se incrementa $2 cada trimestre en lo sucesivo. El proveedor no puede surtir más de 400 unidades en cualquier trimestre. Aunque podemos aprovechar los bajos precios en los primeros trimestres, se incurre en un costo de almacenamiento de $3.50 por unidad de trimestre. Además, el máximo de unidades que puede conservar de un trimestre al siguiente no puede exceder de 100. Desarrolle un modelo de PL para determinar el programa de compra óptimo del artículo para satisfacer la demanda y determine la solución óptima. Problemas de Introducción a la Programación Lineal

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34. Se contrató a una compañía para que manufacturara dos productos, A y B, durante los meses de junio, julio y agosto. La capacidad de producción total (expresada en horas) varía mensualmente. La siguiente tabla proporciona los datos básicos de la situación:

Las tasas de producción por hora son .75 y 1 para los productos A y B, respectivamente. Se debe satisfacer toda la demanda; sin embargo, la de un mes posterior se puede satisfacer con la producción de uno anterior. Para cualquiera de los productos A y B guardados de un mes al siguiente, los costos de retención son de $.90 y $.75 por unidad, respectivamente. Los costos de producción unitarios de los dos productos, A y B, son de $30 y $28, respectivamente. Desarrolle un modelo de PL para determinar el programa de producción óptimo para los dos productos.

35. En una compañía camionera de cargas pequeñas, los andenes de la terminal incluyen trabajadores eventuales contratados temporalmente para que se encarguen de las cargas pico. En el andén de Omaha, Nebraska, la demanda mínima de trabajadores eventuales durante los 7 días de la semana (a partir del lunes) es de 20, 14, 10, 15, 18, 10 y 12 trabajadores. Cada trabajador es contratado para que labore 5 días consecutivos. Desarrolle el modelo de PL y determine una práctica de contratación semanal óptima.

36. Hi-V produce tres tipos de jugos enlatados, A, B y C, utilizando fresas, uvas y manzanas frescas. El abasto diario se limita a 200 toneladas de fresas, 100 toneladas de uvas y 150 toneladas de manzanas. El costo por tonelada de fresas, uvas y manzanas es de $200, $100 y $90, respectivamente. Cada tonelada rinde 1500 lb de jugo de fresa, 1200 lb de jugo de uva, y 1000 lb de jugo de manzana. La bebida A es una mezcla de 1:1 de jugo de fresa y jugo de manzana. La bebida B es una mezcla de 1:1:2 de jugo de fresa, jugo de uva y jugo de manzana. La bebida C es una mezcla de 2:3 de jugo de uva y jugo de manzana. Todas las bebidas se envasan en latas de 1 lb. El precio por lata es de $1.15, $1.25 y $1.20 paa las bebidas A, B y C, respectivamente. Desarrolle un modelo de PL para determinar la mezcla de producción óptima de las tres bebidas, y halle la solución.

37. All-Natural Coop fabrica tres cereales, A, B y C, a partir de cuatro ingredientes: copos de avena, pasas, coco rallado y almendras fileteadas. Las disponibilidades diarias de los ingredientes son 5 toneladas, 2 toneladas, 1 tonelada y 1 tonelada, respectivamente. Los costos de compra correspondientes por tonelada son $100, $120, $110 y $200. El cereal A es una mezcla de 50:5:2 de avena, pasas y almendras. El cereal B es una mezcla de 60:2:3 de avena, coco y almendras. El cereal C es una mezcla de 60:3:4:2 de avena, pasas, coco y almendras. Los cereales se producen en tamaños jumbo de 5 lb. All-Natural vende los cereales A, B y C a $2, $2.50 y $3.00 por caja, Problemas de Introducción a la Programación Lineal

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respectivamente. La demanda diaria mínima de los cereales A, B y C es de 500, 600 y 500 cajas, respectivamente. Desarrolle un modelo de PL para determinar la mezcla de producción óptima de los cereales, así como las cantidades asociadas de ingredientes, y halle la solución.

38. Una fundidora de acero, aluminio y hierro colado produce dos tipos de lingotes de metal, I y II, con límites específicos en el contenido de aluminio, grafito y silicio. En el proceso de fundición pueden usarse briquetas de aluminio y silicio para satisfacer las especificaciones deseadas. Las siguientes tablas establecen las especificaciones del problema:

Desarrolle un modelo de PL para determinar la mezcla óptima que la fundidora debe fundir, y determine la solución

39. Hawaii Sugar Company produce azúcar morena, azúcar procesada (blanca), azúcar glas, y melazas a partir del jarabe de caña de azúcar. La compañía compra 4000 toneladas de jarabe semanalmente y la contratan para que suministre cada semana un mínimo de 25 toneladas de cada tipo de azúcar. El proceso de producción se inicia con la fabricación de azúcar morena y melaza a partir del jarabe. Una tonelada de jarabe produce .3 toneladas de azúcar morena y .1 tonelada de melaza. El azúcar blanca resulta de procesar el azúcar morena. Se requiere una tonelada de azúcar morena para producir .8 toneladas de azúcar blanca. El azúcar glas se produce a partir del azúcar blanca mediante un proceso de molienda especial cuya eficiencia de conversión es de 95% (una tonelada de azúcar blanca produce .95 toneladas de azúcar glas). Las utilidades por tonelada de azúcar morena, azúcar blanca y melaza son $150, $200, $230 y $35, respectivamente. Formule el problema como un programa lineal, y determine el programa de producción semanal.


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40. La NORI & LEETS CO., una de las mayores productoras de acero del mundo occidental, está localizada en la ciudad de Steeltown. La contaminación no controlada del aire debida a los altos hornos de la planta está en camino de arruinar la apariencia de la ciudad y de poner en peligro la salud de sus habitantes, por lo que se ha decidido reducir la emisión de contaminantes. Los tres tipos principales de contaminantes son partículas de materia, óxidos de azufre e hidrocarburos. Los nuevos estándares de aire limpio requieren que la compañía reduzca su emisión anual de estos contaminantes en las cantidades que se presentan en la siguiente tabla. Contaminante

Partículas Óxidos de azufre Hidrocarburos

Reducción requerida de las tasas de emisión anual (millones de toneladas) 60 150 125

Tabla 1.1- Estánd ares de aire limpio

La fabricación de acero tiene dos fuentes principales de contaminación: los altos hornos para fabricar el arrabio (lingotes de hierro) y los hornos Siemens-Martin para transformar el hierro en acero. En ambos casos, los ingenieros determinaron que los métodos de abatimiento más eficaces son: 1) aumentar la altura de las chimeneas, 2) usar filtros (con trampas de gas) en ellas y 3) incluir limpiadores de alto grado en los combustibles de los hornos. Todos estos métodos tienen limitaciones tecnológicas en cuanto al nivel en que pueden usarse. La Tabla 1.2 siguiente muestra la cantidad de emisión (en millones de toneladas anuales) que se puede eliminar de cada tipo de horno mediante el empleo del método de abatimiento al máximo límite tecnológico. Para fines de análisis se supone que cada método se puede usar a un nivel menor para lograr cualquier fracción de reducción de las tasas de emisión que se presentan en esta tabla. Más aún, las fracciones pueden ser diferentes para los altos hornos y los hornos Siemens-Martin, y el uso simultáneo de otro método no afecta de manera significativa la reducción de emisiones que alcanza cada uno de ellos

Chimeneas más altas

Contaminante

Alt os hornos

Partículas Óxidos de azufre Hidrocarburos

12 35 37

Hornos Siem ens Martin

9 42 53

Mejores combustibles

Filtros

Al to s hornos

25 18 28

Hornos SiemensMartin

20 31 24

Alt os hornos

17 56 29

Hornos Siem ens Martin

13 49 20

Tabla 1.2- Reducción de l a tasa de emisión (en millones de toneladas por año) c on el uso máximo factible del método de abatimiento

Después de obtener estos datos, quedó claro que ningún método por sí solo podía lograr las reducciones requeridas. Por otro lado, la combinación de los tres métodos a toda su capacidad — lo que sería demasiado caro si se quiere que los productos tengan precios competitivos— genera


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un resultado mucho más elevado de lo que se pide. Por todo esto, la conclusión de los ingenieros fue que debían usar alguna combinación de métodos, tal vez con capacidades fraccionarias, basada en sus costos relativos. Aún más, debido a las diferencias entre los altos hornos y los hornos Siemens- Martin, es probable que la combinación sea diferente para cada t ipo de horno. Se llevó a cabo un análisis para estimar el costo total anual de cada método de abatimiento. El costo anual de un método incluye el aumento de los gastos de operación y mantenimiento al igual que la reducción de los ingresos debida a cualquier pérdida de eficiencia en el proceso de producción que pueda generar el uso del método. El otro costo importante es el costo fijo inicial (el capital inicial) que se requiere para instalar el método. El análisis permitió estimar los costos anuales totales (en millones de dólares), que se presentan en la Tabla 1.3 siguiente, en que se incurre al usar los métodos a toda su capacidad de abatimiento. Alto s hornos

Método

Hornos de corazón

más altas

8 10 Filtros 7 6 11 9 Mejores combustibles Tabla 1.3- Costo total anual por el uso máximo factible del método de abatimiento (millones de dól ares) Chimeneas

También se determinó que el costo de un método que se utiliza a un nivel menor es esencialmente proporcional a la capacidad fraccional de la capacidad de abatimiento que se logra, aspecto que se presenta en la Tabla 1.2. Entonces, para cualquier fracción que se logre, el costo total anual sería en esencia la fracción de la cantidad correspondiente de la Tabla 3. Formule un modelo de PL para calcular el plan de la compañía para disminuir la contaminación. Este plan debe especificar qué tipo de métodos de reducción deberán emplearse y a qué fracciones de su capacidad para: 1) los altos hornos y 2) los hornos Siemens-Martin, con el menor costo posible. Resuélvalo con la ayuda de una computadora. 41. La SAVE-IT COMPANY opera un centro de reciclado que recoge cuatro tipos de material de desecho sólido y los trata para amalgamarlos en un producto que pueda lanzarse al mercado. El tratamiento y el amalgamado son dos procesos diferentes. Se pueden obtener tres grados diferentes de este producto (vea la primera columna de la tabla 2.1), según la mezcla de materiales que se use. Aunque existe alguna flexibilidad para esta mezcla en cada grado, los estándares de calidad especifican una cantidad mínima y una máxima de la proporción de los materiales permitidos en ese grado. (La proporción es el peso del material expresado como un porcentaje del peso total del producto de ese grado.) Para los dos grados más altos se especifica un porcentaje fijo de uno de los materiales. Estas especificaciones se presentan en la tabla 2.1 junto con el costo de amalgamado y el precio de venta de cada grado.


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Tabla 2.1 Datos de productos de la Save-It Co. Grado

A

Am alg ama do , costo ($) por k g

Especificación

Material 1: no más de 30% del total Material 2: no menos de 40% del total Material 3: no más de 50% del total Material 4: exactamente 20% del total

Precio de venta ($) por kg

3.00

8.50

B

Material 1: no más de 50% del total Material 2: no menos de 10% del total Material 4: exactamente 10% del total

2.50

7.00

C

Material 1: no más de 70% del total

2.00

5.50

El centro de reciclado recoge los materiales de desecho sólido de ciertas fuentes habituales por lo que casi siempre puede mantener una tasa de producción estable para tratarlos. En la tabla 2.2 se muestran las cantidades disponibles para la recolección y tratamiento semanal, al igual que el costo del proceso de cada tipo de material. La Save-It Co. es propiedad de Green Earth, una organización dedicada a asuntos ecológicos, por lo que las ganancias se usan para apoyar las actividades de Green Earth. Esta organización ha logrado contribuciones y apoyos por la cantidad de 30 000 dólares semanales, que deben usarse exclusivamente para cubrir el costo del tratamiento completo de los desechos sólidos. El consejo directivo de Green Earth ha girado instrucciones a la administración de Save-It para que divida este dinero entre los materiales, de manera tal que se recolecte y se trate al menos la mitad de la cantidad disponible de cada tipo de material. Estas restricciones adicionales se enumeran en la tabla 2.2

. TABL A 2.2

Datos de los materiales de desechos sólidos de Save-lt Co.

Material

Kg por semana disponible

Costo del tratamiento ($) por kg

1 2 3 4

3 000 2 000 4 000 1 000

3.00 6.00 4.00 5.00

Restricciones adicionales

1. De cada material deben recolectarse y tratarse al menos la mitad de los kg disponibles por semana. 2. Deben usarse $30 000 semanales para tratar estos materiales.

Con las restricciones especificadas en las tablas anteriores, la administración desea determinar la cantidad que debe producir de cada grado y la mezcla exacta de materiales que usará para cada uno, de manera que se maximice la ganancia semanal neta —ingresos totales por ventas menos costo total del amalgamado—, independiente del costo del tratamiento fijo de 30 000 dólares por semana que será cubierto por donaciones. Plantee el PPL y resuélvalo con la computadora.


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PROBLEMAS Introducción a La Programación Lineal 2017

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