Problemas de Programación Lineal

LOCALIZACIÓN Una empresa tiene la exclusiva para la distribución de un producto en 4 poblaciones. En un estudio de mercado se a determinado la demanda potencial! se"#n se muestra en la si"uiente tabla$ %oblación &

%oblación '

%oblación (

%oblación 4

3000 unidades

2000 unidades

2500 unidades

2700 unidades

)e sabe *ue los costes de transporte son de +.+', por -m  unidad transportada. La distancia en -m existente entre los pueblos es la *ue /"ura en la tabla si"uiente$ %oblación &

%oblación '

%oblación (

%oblación 4

%oblación &

-

25

35

40

%oblación '

25

-

20

40

%oblación (

35

20

-

30

%oblación 4

40

40

30

-

%ara abaratar los costes de transporte se decide instalar un almac0n con capacidad para 1+++ unidades en dos de estas cuatro poblaciones. 2eterminar en *u0 poblaciones se deben instalar los almacenes.

Determinar las variables de decisión y expresarlas algebraicamente. En este caso •

•

!i" cantidad enviada del almac#n i a la población "  $i almac#n almac#n situado en en la población población i %0 indica &ue no 'ay ning(n almac#n y ) &ue s* lo 'ay+

Determinar las restricciones y expresarlas como ecuaciones o inecuaciones dependientes de las variables de decisión. Dic'as restricciones restricciones se deducen de la siguiente manera

•

•

,as unidades &ue se env*an a cada población desde los almacenes deben cumplir con la demanda de dic'a población o

!))  !2)  !3)  !4)  3000

o

!)2  !22  !32  !42  2000

o

!)3  !23  !33  !43  2500

o

!)4  !24  !34  !44  2700

/olo se crearn dos almacenes o

•

 $)  $2  $3  $4 1 2

,a cantidad de unidades &ue puede enviar cada almac#n debe ser menor o igual &ue la capacidad de #ste o

!))  !)2  !)3  !)4  000$)

o

!2)  !22  !23  !24  000$2

o

!3)  !32  !33  !34  000$3

o

!4)  !42  !43  !44  000$4

Expresar todas las condiciones impl*citamente establecidas por la naturalea de las variables &ue no puedan ser negativas6 &ue sean enteras6 &ue solo puedan tomar determinados valores6 ... En este caso las restricciones son &ue las unidades enviadas desde cada almac#n no pueden ser negativas y adems la variable &ue determina si se crear o no un almac#n debe ser booleana %0 no se crea6 ) se crea+ •

•

!i"  0  $i es booleano

Determinar la unción ob"etivo •

8inimiar 9 1 0.5!)2  0.7!)3  0.:!)4  0.5!2)  0.4!23  0.:!24  0.7!3)  0.4!32  0.!34  0.:!4)  0.:!42  0.!43

%3OLE5A 2E LA 2IE6A El problema de la dieta ue uno de los primeros sobre optimiación. ;eorge  os 306 el problema de r#gimen alimenticio óptimal para tratar de satisacer la preocupación del e"#rcito americano por 'allar la manera ms económica de alimentar a sus

tropas asegurando al mismo tiempo unos determinados re&uerimientos nutricionales. Este tipo de problema se puede plantear en distintas ormas tales como minimiar los gastos de la compra6 dieta para el ganado6 una dieta adelgaante &ue cumpla unos determinados niveles de calor*as6 prote*nas6 'idratos de carbono6 ...

E7emplo )e propone alimentar el "anado de una "ran7a con la dieta m8s económica posible. 2ica dieta debe contener cuatro tipos de nutrientes identi/cados como A! ! C!  2. Estos componentes se encuentran en dos tipos de piensos 5  N. La cantidad! en "ramos! de cada componente por 9ilo de estos piensos viene dada en la tabla si"uiente$ A



C

2

5

)00

-

)00

200

N

-

)00

200

)00

La dieta diaria de un animal debe estar compuesta por al menos +.4-" del componente A! +.1-" del componente ! '-" del componente C!  &.:-" del componente 2. El compuesto 5 cuesta +.',;-"  el compuesto N +.+<,;-". =>u0 cantidades de piensos 5  N se deben ad*uirir para *ue el "asto en comida sea el menor posible?

/e pretende meclar los tipos de pienso para obtener una dieta e&uilibrada &ue contenga las cantidades diarias recomendadas de cada nutriente para los animales. Determinar las variables de decisión y expresarlas algebraicamente. En este caso •

!) cantidad de pienso 8 en ?g

•

!2 cantidad de pienso @ en ?g

Determinar las restricciones y expresarlas como ecuaciones o inecuaciones dependientes de las variables de decisión. Dic'as restricciones se deducen de la composición re&uerida para la dieta diaria %en ?g+ •

Aomponente B 0.)!)  0!2  0.4

•

Aomponente C 0!)  0.)!2  0.

•

Aomponente A 0.)!)  0.2!2  2

•

Aomponente D 0.2!)  0.)!2  ).7

Expresar todas las condiciones impl*citamente establecidas por la naturalea de las variables &ue no puedan ser negativas6 &ue sean enteras6 &ue solo puedan tomar determinados valores6 ... En este caso6 la (nica restricción es &ue las cantidades de pienso &ue orman la dieta no pueden ser negativas •

!)  0

•

!2  0

Determinar la unción ob"etivo •

8inimiar 9 1 0.2!)  0.0:!2

63AN)%O36E 2E 63O%A) Un destacamento militar @ormado por + soldados in"enieros! (1 Bapadores! '' de las @uerBas especiales!  &'+ soldados de in@antera como tropa de apoo! a de transportarse asta una posición estrat0"ica importante. En el par*ue de la base se dispone de 4 tipos de veculos A! ! C!  2! acondicionados para transporte de tropas. El n#mero de personas *ue cada veculo puede transportar es &+! :! 1!  D! de la @orma en *ue se detalla en la si"uiente tabla$ In"enieros

Zapadores

uerBas especiales

In@antera

A

3

2

)

4



)

)

2

3

C

2

)

2

)

2

3

2

3

)

El combustible necesario para *ue cada veculo lle"ue asta el punto de destino se estima en &1+! <+! 4+!  &'+ litros respectivamente. )i *ueremos aorrar combustible! =cu8ntos veculos de cada tipo abr8 *ue utiliBar para *ue el consumo sea el mnimo posible?

Determinar las variables de decisión y expresarlas algebraicamente. En este caso •

!i n(mero de ve'*culos de cada tipo &ue se usen

•

!) n(mero de ve'*culos de tipo B

•

!2 n(mero de ve'*culos de tipo C

•

!3 n(mero de ve'*culos de tipo A

•

!4 n(mero de ve'*culos de tipo D

Determinar las restricciones y expresarlas como ecuaciones o inecuaciones dependientes de las variables de decisión. Dic'as restricciones se deducen de los soldados &ue deben ser transportados •

ngenieros 3!)  !2  2!3  3!4  50

•

9apadores 2!)  !2  !3  2!4  3

•

ueras especiales !)  2!2  2!3  3!4  22

•

nanter*a 4!)  3!2  !3  !4  )20

Expresar todas las condiciones impl*citamente establecidas por la naturalea de las variables &ue no puedan ser negativas6 &ue sean enteras6 &ue solo puedan tomar determinados valores6 ... En este caso las restricciones son &ue la cantidad de ve'*culos no puede ser negativa y debe ser adems un n(mero entero •

!i  0

•

!i son enteros

Determinar la unción ob"etivo •

8inimiar 9 1 )0!)  :0!2  40!3  )20!4

63AN)%O36E 2E 5E3CANCIA Fara este tipo de problemas6 aun&ue pueden ser resueltos por el m#todo del /implex6 existe un m#todo espec*=co de ms cil resolución el m#todo del transporte o m#todo simpli=cado del /implex para problemas de transporte. Este m#todo a'orra bastante tiempo y clculos rente al m#todo del /implex tradicional. /in embargo el problema se modela de la misma orma. E"emplo

Gn abricante desea despac'ar varias unidades de un art*culo a tres tiendas  H)6 H26 y H3. Dispone de dos almacenes desde donde realiar el env*o6 B y C. En el primero dispone de 5 unidades de este art*culo y en el segundo )0. ,a demanda de cada tienda es de :6 56 y 2 unidades respectivamente. ,os gastos de transporte de un art*culo desde cada almac#n a cada tienda estn expresados en la tabla  

H)

H2

H3

B

)

2

4

C

3

2

)

IAómo 'a de realiar el transporte para &ue sea lo ms económico posibleJ

Determinar las variables de decisión y expresarlas algebraicamente. En este caso •

•

•

•

•

•

•

!i n(mero de unidades transportadas desde cada almac#n a cada tienda !) n(mero de unidades transportadas desde el almac#n B 'asta la tienda H) !2 n(mero de unidades transportadas desde el almac#n B 'asta la tienda H2 !3 n(mero de unidades transportadas desde el almac#n B 'asta la tienda H3 !4 n(mero de unidades transportadas desde el almac#n C 'asta la tienda H) !5 n(mero de unidades transportadas desde el almac#n C 'asta la tienda H2 ! n(mero de unidades transportadas desde el almac#n C 'asta la tienda H3

Determinar las restricciones y expresarlas como ecuaciones o inecuaciones dependientes de las variables de decisión. Dic'as restricciones se deducen de la disponibilidad de unidades &ue 'ay en cada almac#n as* como de la demanda de cada tienda •

Disponibilidad en el almac#n B !)  !2  !3 1 5

•

Disponibilidad en el almac#n C !4  !5  ! 1 )0

•

Demanda de la tienda H) !)  !4 1 :

•

Demanda de la tienda H2 !2  !5 1 5

•

Demanda de la tienda H3 !3  ! 1 2

Expresar todas las condiciones impl*citamente establecidas por la naturalea de las variables &ue no puedan ser negativas6 &ue sean enteras6 &ue solo puedan tomar determinados valores6 ... En este caso las restricciones son &ue la cantidad de unidades no puede ser negativa y debe ser adems un n(mero entero •

!i  0

•

!i son enteros

Determinar la unción ob"etivo •

8inimiar 9 1 !)  2!2  4!3  3!4  2!5  !

A3OLE) 3U6ALE) Un a"ricultor tiene una parcela de 14+mF para dedicarla al cultivo de 8rboles @rutales$ naran7os! perales! manBanos  limoneros. )e pre"unta de *u0 @orma debera repartir la super/cie de la parcela entre las variedades para conse"uir el m8ximo bene/cio sabiendo *ue$ •

•

•

•

cada naran"o necesita un m*nimo de )mK6 cada peral 4mK6 cada manano :mK y cada limonero )2mK. dispone de L00 'oras de traba"o al a>o6 necesitando cada naran"o 30 'oras al a>o6 cada peral 5 'oras6 cada manano )0 'oras6 y cada limonero 20 'oras. a causa de la se&u*a6 el agricultor tiene restricciones para el riego le 'an asignado 200mM de agua anuales. ,as necesidades anuales son de 2mM por cada naran"o6 3mM por cada peral6 )mM por cada manano6 y 2mM por cada limonero. los bene=cios unitarios son de 506 256 206 y 30 N por cada naran"o6 peral6 manano y limonero respectivamente.

Determinar las variables de decisión y expresarlas algebraicamente. En este caso •

!) n(mero de naran"os

•

!2 n(mero de perales

•

!3 n(mero de mananos

•

!4 n(mero de limoneros

Determinar las restricciones y expresarlas como ecuaciones o inecuaciones dependientes de las variables de decisión. Dic'as restricciones se deducen de las necesidades de cada rbol de terreno6 'oras de traba"o anuales6 y necesidades de riego •

@ecesidades de terreno )!)  4!2  :!3  )2!4  40

•

@ecesidades de 'oras anuales 30!)  5!2  )0!3  20!4  L00

•

@ecesidades de riego 2!)  3!2  !3  2!4  200

Expresar todas las condiciones impl*citamente establecidas por la naturalea de las variables &ue no puedan ser negativas6 &ue sean enteras6 &ue solo puedan tomar determinados valores6 ... En este caso las restricciones son &ue el n(mero de rboles no puede ser negativo y adems debe ser un n(mero entero •

!i  0

•

!i son enteros

Determinar la unción ob"etivo •

8aximiar 9 1 50!)  25!2  20!3  30!4

%3OLE5A 2E A)IGNACIÓN %E3)ONAL Una empresa a preseleccionado  candidatos para ocupar 4 puestos de traba7o *ue consisten en mane7ar 4 m8*uinas di@erentes Hun traba7ador para cada m8*uina. La empresa puso a prueba a los  traba7adores en cada una de las 4 m8*uinas realiBando el mismo traba7o! obteniendo los si"uientes tiempos$ 58*uina &

58*uina '

58*uina (

58*uina 4

Candidato A

)0





5

Candidato 

:

7





Candidato C

:



5



Candidato 2

L

7

7



Candidato E

:

7



5

2eterminar *u0 candidatos debe seleccionar la empresa  a *u0 m8*uinas debe asi"narlos.

Determinar las variables de decisión y expresarlas algebraicamente. En este caso •

!i" acción de &ue el traba"ador i es asignado a la m&uina " %0 indi ca &ue el traba"ador no 'a sido asignado y ) &ue s* 'a sido asignado+

Determinar las restricciones y expresarlas como ecuaciones o inecuaciones dependientes de las variables de decisión. Dic'as restricciones son &ue cada traba"ador debe ser asignado a una sola m&uina y no debe &uedar ninguna m&uina sin un traba"ador asignado a ella •

•

Aada traba"ador debe estar asignado a una sola m&uina o a ninguna si no se selecciona o

!B)  !B2  !B3  !B4  )

o

!C)  !C2  !C3  !C4  )

o

!A)  !A2  !A3  !A4  )

o

!D)  !D2  !D3  !D4  )

o

!E)  !E2  !E3  !E4  )

En cada m&uina debe 'aber un traba"ador o

!B)  !C)  !A)  !D)  !E) 1 )

o

!B2  !C2  !A2  !D2  !E2 1 )

o

!B3  !C3  !A3  !D3  !E3 1 )

o

!B4  !C4  !A4  !D4  !E4 1 )

Expresar todas las condiciones impl*citamente establecidas por la naturalea de las variables &ue no puedan ser negativas6 &ue sean enteras6 &ue solo puedan tomar determinados valores6 ... En este caso las restricciones son &ue las asignaciones de traba"adores a m&uinas no puede ser negativa y debe ser adems una variable booleana %0 no se asigna6 ) se asigna+ •

!i"  0

•

!i" es booleano

Determinar la unción ob"etivo

•

8inimiar 9 1 )0!B)  :!C)  :!A)  L!D)  :!E)  !B2  7!C2  !A2  7!D2  7!E2  !B3  !C3  5!A3  7!D3  !E3  5!B4  !C4  !A4  !D4  5!E4

Oealiar un cambio de variables con la siguiente correspondencia !B)

!B2

!B3

!B4

!C)

!C2

!C3

!C4

!A)

!A2

!)

!2

!3

!4

!5

!

!7

!:

!L

!)0

!A3

!A4

!D)

!D2

!D3

!D4

!E)

!E2

!E3

!E4

!))

!)2

!)3

!)4

!)5

!)

!)7

!):

!)L

!20

%3OLE5A 2E CA5INO 5INI5O ,os problemas conocidos como problemas del camino m*nimo o camino ms corto tratan6 como su nombre indica6 de 'allar la ruta m*nima o ms corta entre dos puntos. Este m*nimo puede ser la distancia entre los puntos origen y destino o bien el tiempo transcurrido para trasladarse desde un punto a otro. /e aplica muc'o para problemas de redes de comunicaciones. Este tipo de problemas pueden ser resueltos por el m#todo del /implex6 sin embargo existen otros m#todos ms e=cientes como por e"emplo el algoritmo de Di"Pstra o el de Cellman-ord.

E7emplo Una persona tiene *ue desplaBarse a diario de un pueblo A a otro G. Est8 estudiando cual es el traecto m8s corto usando un mapa de carreteras. Las carreteras  sus distancias est8n representadas en la /"ura si"uiente$

Determinar las variables de decisión y expresarlas algebraicamente. En este caso •

!i" acción de desplaarse del pueblo i al " %0 indica &ue no 'ay desplaamiento y ) &ue s* 'ay desplaamiento+

Determinar las restricciones y expresarlas como ecuaciones o inecuaciones dependientes de las variables de decisión. Dic'as restricciones se deducen del balance entre los posibles caminos &ue parten desde cada pueblo y los &ue llegan 'asta #l %obviando los caminos &ue regresen al punto de partida y a&uellos &ue provengan del punto de destino+ •

Calance de caminos del pueblo B !BC  !BA 1 )

•

Calance de caminos del pueblo C !CD  !CE - !BC - !DC - !EC 1 0

•

Calance de caminos del pueblo A !AD  !A - !BA - !DA - !A 1 0

•

Calance de caminos del pueblo D !DC  !DA  !DE - !CD - !AD !ED 1 0

•

Calance de caminos del pueblo E !EC  !ED  !E; - !CE - !DE 1 0

•

Calance de caminos del pueblo  !A  !; - !A 1 0

•

Calance de caminos del pueblo ; - !E; - !; 1 -)

Expresar todas las condiciones impl*citamente establecidas por la naturalea de las variables &ue no puedan ser negativas6 &ue sean enteras6 &ue solo puedan tomar determinados valores6 ... En este caso las

restricciones son &ue las variables deben ser booleanas %0 no se toma el camino6 ) se toma+6 y por lo tanto no pueden ser negativas •

!i"  0

•

!i" es booleano

Determinar la unción ob"etivo •

8inimiar 9 1 )2!BC  4!BA  5!CD  3!CE  2!AD  )0!A  5!DC  2!DA  )0!DE  3!EC  )0!ED  2!E;  )0!A  4!;

Oealiar un cambio de variables con la siguiente correspondencia !B C

!B A

! CE

!C D

!D C

!E C

!A D

! A

! A

! D A

! DE

!E D

!E ;

! ;

!)

!2

!3

!4

!5

!

!7

! :

! L

!) 0

!) )

!) 2

!) 3

!) 4

%3OLE5A 2E LOCALIZACIÓN Una empresa tiene la exclusiva para la distribución de un producto en 4 poblaciones. En un estudio de mercado se a determinado la demanda potencial! se"#n se muestra en la si"uiente tabla$ %oblación &

%oblación '

%oblación (

%oblación 4

3000 unidades

2000 unidades

2500 unidades

2700 unidades

)e sabe *ue los costes de transporte son de +.+', por -m  unidad transportada. La distancia en -m existente entre los pueblos es la *ue /"ura en la tabla si"uiente$ %oblación &

%oblación '

%oblación (

%oblación 4

%oblación &

-

25

35

40

%oblación '

25

-

20

40

%oblación (

35

20

-

30

%oblación 4

40

40

30

-

%ara abaratar los costes de transporte se decide instalar un almac0n con capacidad para 1+++ unidades en dos de estas cuatro poblaciones. 2eterminar en *u0 poblaciones se deben instalar los almacenes.

Determinar las variables de decisión y expresarlas algebraicamente. En este caso •

•

!i" cantidad enviada del almac#n i a la población "  $i almac#n situado en la población i %0 indica &ue no 'ay ning(n almac#n y ) &ue s* lo 'ay+

Determinar las restricciones y expresarlas como ecuaciones o inecuaciones dependientes de las variables de decisión. Dic'as restricciones se deducen de la siguiente manera •

•

,as unidades &ue se env*an a cada población desde los almacenes deben cumplir con la demanda de dic'a población o

!))  !2)  !3)  !4)  3000

o

!)2  !22  !32  !42  2000

o

!)3  !23  !33  !43  2500

o

!)4  !24  !34  !44  2700

/olo se crearn dos almacenes o

•

 $)  $2  $3  $4 1 2

,a cantidad de unidades &ue puede enviar cada almac#n debe ser menor o igual &ue la capacidad de #ste o

!))  !)2  !)3  !)4  000$)

o

!2)  !22  !23  !24  000$2

o

!3)  !32  !33  !34  000$3

o

!4)  !42  !43  !44  000$4

Expresar todas las condiciones impl*citamente establecidas por la naturalea de las variables &ue no puedan ser negativas6 &ue sean enteras6 &ue solo puedan tomar determinados valores6 ... En este caso las restricciones son &ue las unidades enviadas desde cada almac#n no pueden ser negativas y adems la variable &ue determina si se crear o no un almac#n debe ser booleana %0 no se crea6 ) se crea+ •

•

!i"  0  $i es booleano

Determinar la unción ob"etivo •

8inimiar 9 1 0.5!)2  0.7!)3  0.:!)4  0.5!2)  0.4!23  0.:!24  0.7!3)  0.4!32  0.!34  0.:!4)  0.:!42  0.!43

%3OLE5A 2E INJE3)IÓN EN LA OL)A Una inversora dispone de +.+++, para invertir entre las cuatro si"uientes posibilidades$ bolsa K! bolsa ! bonos K!  bonos ! por el periodo de un aMo. Un m8ximo de &+.++, puede ser invertido en bonos K!  un m8ximo de &+.+++, en bonos . La inversión en la bolsa K conlleva un ries"o considerable por lo *ue se determina no invertir m8s de un cuarto de la inversión total. La cantidad invertida en la bolsa  debe ser al menos tres veces la cantidad invertida en la bolsa K. Adem8s! la inversora re*uiere *ue la inversión en bonos sea al menos tan "rande como la mitad de la inversión en las bolsas. Los retornos netos anuales se estiman se"#n se muestra en la si"uiente tabla$ olsa K

olsa 

onos K

onos   

20Q

)0Q

LQ

))Q

=Cu8l es la @orma óptima de realiBar la inversión para conse"uir las m8ximas "anancias?

Determinar las variables de decisión y expresarlas algebraicamente. En este caso •

!) inversión en bolsa !

•

!2 inversión en bolsa $

•

!3 inversión en bonos !

•

!4 inversión en bonos $

Determinar las restricciones y expresarlas como ecuaciones o inecuaciones dependientes de las variables de decisión. Dic'as restricciones se deducen de las decisiones tomadas por la inversora sobre la orma de invertir y de la inversión mxima &ue se puede realiar •

!)  !2  !3  !4  50000

•

!)  )2500

•

!3  )0500

•

!4  )0000

•

3!) - !2  0

•

0.5!)  0.5!2 - !3 - !4  0

Expresar todas las condiciones impl*citamente establecidas por la naturalea de las variables &ue no puedan ser negativas6 &ue sean enteras6 &ue solo puedan tomar determinados valores6 ... En este caso la (nica restricción es &ue las inversiones no pueden ser negativas •

!i  0

Determinar la unción ob"etivo •

8aximiar 9 1 0.2!)  0.)!2  0.0L!3  0.))!4