Problema del valor inicial En matemáticas matemáticas,, en el campo de ecuaciones diferenciales, diferenciales, problema del valor inicial es ecuación diferencial ordinaria junto ordinaria junto con el valor especificado, llamado condición inicial, de la función desconocida en un punto dado en el dominio de la solución. En física u otras ciencias, modelando un sistema ascienden con frecuencia a solucionar un problema del valor inicial; en este contexto, la ecuación diferencial es una ecuación de la evolución que especifica cómo, dado condiciones iniciales, el sistema desarróllese con tiempo. tiempo.
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1 Definición 2 Existencia y unicidad de soluciones 3 Ejemplo 4 Vea también 5 Referencias 6 Acoplamientos externos
Definición problema del valor inicial es una ecuación diferencial
junto con un punto en el dominio de f llamó condición inicial. A solución al valor inicial un problema es una función y eso es una solución a la ecuación diferencial y satisface
y(t 0) = y0. Esta declaración incluye problemas de una orden más alta, interpretando y como a vector . Para derivados de la segunda o más alta orden, nuevas variables (elementos del vector y) se introducen. Más generalmente, la función desconocida y puede tomar valores en espacios dimensionales infinitos, por ejemplo Espacios de Banach o espacios de distribuciones distribuciones..
Existencia y unicidad de soluciones Para una clase grande de los problemas del valor inicial, la existencia y la unicidad de una solución pueden ser demostradas. Teorema de Picard-Lindelöf Picard-Lindelöf garantiza garantiza una solución única en cierto contener del intervalo t 0 si f y su derivado parcial sea continuo en contener de la región t 0 y y0. La prueba de este teorema procede reformulando el problema como equivalente ecuación integral. integral. El integral se puede considerar un operador que traz una función en otra, tal que la solución es a punto fijo del operador. Teorema del punto fijo de Banach entonces se invoca para demostrar que existe un punto fijo único, que es la solución del problema del valor inicial. Una más vieja prueba del teorema de Picard-Lindelöf construye una secuencia de las funciones que convergen a la solución de la ecuación integral, y así, la solución del problema del valor inicial. Tal construcción a veces se llama el “método de Picard” o “el método de aproximaciones sucesivas”. Esta versión es esencialmente un caso especial del teorema del punto fijo de Banach.
Hiroshi Okamura obtuvo a condición necesaria y suficiente para la solución de un problema del valor inicial a ser único. Esta condición tiene que hacer con la existencia de a Función de Lyapunov para el sistema. En algunas situaciones, la función f no está de clase C 1, o aún Lipschitz, así que el resultado generalmente que garantiza la existencia local de una solución única no se aplica. Teorema de la existencia de Peano sin embargo prueba eso incluso para f simplemente continuas, las soluciones están garantizadas para existir localmente a tiempo; el problema es que no hay garantía de la unicidad. El resultado se puede encontrar en Coddington y Levinson (1955, teorema 1.3) o Robinson (2001, teorema 2.6).
Ejemplo La solución general de puede ser encontrado para ser
y(t ) = 2e − 3t + 2t + 1. De hecho,
y' + 3 y = (d / dt )(2e − 3t + 2t + 1) + 3 (2 e − 3t + 2t + 1) = ( − 6e − 3t + 2) + (6e − 3t + 6t + 3) = 6t + 5.
