Hidráulica Alumno: Dayan Saynes Saynes _______________________ ___________________________________ _______________________ _______________________ _______________________ ____________ _ Problema 1: La
velocidad de una ola depende de la amplitud h de la ola, de la tensión de superficie σ del fluido, el peso específico γ del fluido y de la aceleración debida a la ravedad ! "tilice el análisis dimensional para hallar la forma funcional no dimensional para hallar la velocidad # de la ola! #
= f (h, σ , γ , )
$raba%ando en el Sistema &L$:
& L $
γ
σ 1 -1 0
h 0 1 0
0 1 -2
1 -3 0
# 0 1 -1
m ' ( variables n ' ) dimensiones fundamentales Se tienen tienen ( variabl variables es y ) dimens dimension iones es fundam fundament entale ales, s, lueo lueo el $eorema orema de *uc+inham aseura la formación formación de m − n = 2 rupos adimensionales:
∏1 = γ ⋅ h a ⋅ σ b ⋅ c ∏ 2 = # ⋅ h d ⋅ σ e ⋅ f ara
∏1 : ( &L−3 )( L ) a ( &L−1 ) b ( L$ −2 ) c
&: L: $:
= & 0 L0$ 0
1+ b = 0 −3+ a −b + c = 0 − 2c = 0
= 2 ,
De donde se obtiene: a Lueo:
b
= −1 , c = 0
∏ 1 = γ ⋅ h 2 ⋅ σ −1 ⋅ 0 h2 ⋅ ∏1 = γ
σ
ara
∏2 : ( L$ −1 )( L) d ( &L−1 ) e ( L$ −2 ) f
&: L: $:
e
= & 0 L0$ 0
=0
1 + d − e + f = 0 1 − 2 f = 0
De donde se obtiene: d = −1 / 2 , e Lueo:
= 0 , f = −1 / 2
∏ 2 = # ⋅ h −1 / 2 ⋅ σ 0 ⋅ −1 / 2
∏
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes Saynes _______________________ ___________________________________ _______________________ _______________________ _______________________ ____________ _ #
∏2 =
⋅ h
&inalmente:
γ ⋅ h 2 = φ σ ⋅ h #
estudio de mareas se va a modelar a escala 1/300! 1/300! -n el estuario, se esper espera a .ue .ue la má/im má/ima a velo veloci cida dad d del del aua aua sea 4m0s y el periodo de la marea es apro/ apro/ima imadam dament entee 12.5 horas horas 1.u2 1.u2 veloci velocidad dad y period periodo o corre correspo spondi ndient entee debería deberían n observarse en el modelo3
Problema 2: "n
4a .ue se trata de una superficie libre, la seme%an5a se s e cumplirá si el n6mero de &roude &roude permanece constante tanto para el modelo como como para el prototipo: prototipo: -ntonces:
# m m ⋅ L m
# p
=
p ⋅ L
p
7omo el modelo y prototipo están sometidas a la misma ravedad: m = p
Lueo:
Lm
# m
= # p ⋅
# m
= ( 4m / s ) ⋅
# m
=
t m t p
=
L p
1 300 0.231m / s
Lm # m L p # p −1 / 2
t m
Lm # p Lm L p 1 / 2 Lm Lm = t p ⋅ = ⋅ = ⋅ t t p p # L L L p m p m L p L p
1/ 2
L = t p ⋅ m L p
t m
= (12 .5horas) ⋅
t m
= 0.722horas
1 300
"n sistema .ue consiste de dos tan.ues cilíndricos interconectados, con D1 = 30cm y D 2 = 12cm , se usa para determinar el coeficiente de descara en un
Problema 3:
corto tramo de tubo en el cual se coloca un orificio orificio de diámetro diámetro D0 = 5mm instalado en 2l! Al principio 8 t = 0 s 9, las alturas del fluido en los tan.ues son h1 = 50 cm y h2 = 15cm , a los 170 s los niveles en los dos tan.ues se iualan y se detiene el flu%o, determine el coeficiente de descara de orificio en la placa! o considerar aluna otra p2rdida asociada asociada con 2ste flu%o!
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________
d# 1 A1 d5 1
π D1
= d# 2 = A2 d5 2
2
d5 1
4
π D 2
=
2
4
d5 2
2
d5 2
D = 1 d5 1 D2
Lueo: d5 = d5 1
+ d5 2 2 D1 d5 = d5 1 + d5 1 D2 d5 =
d51 Se sabe .ue:
=
D2
2
+ D12
D2
2
D2
2
D2
2
+ D1
2
d51
d5
8;9
< = Av
d# 1 dt
= Av
7omo la velocidad de salida en el orificio es de descara 7 d : A1
d5 1 dt
= 7 d A
dt =
A1
v =
2 5 y
considerando el coeficiente
2 5
⋅
d5 1
1/ 2 7 d A 2 5
>eempla5ando 8;9 en 8=9 y con h0 = h1 − h2 :
8=9
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________
A1 D2
dt = t
7 d A 2 ( D2
∫ 0
2
dt =
+ D12 )
2
A1 D 2
7 d A 2 ( D 2
2
+ D12 )
t =
2
D 2 ( D2
+ D12 )
2
2
7 d =
2
D1 D2 D 2 ( D2
2
+ D12 )
2
⋅ ∫ 0
d5 5 1 / 2
h0
+ D12 ) 2h0 1 7 d 2h0 1 t
7 d (π D 2 / 4) 2 ( D2 2
5 1 / 2 h0
2
D1 D2
d5
2
2(π D1 / 4) D2
t =
⋅
2
(0.3m) 2 (0.12m) 2
7 d
=
7 d
= 0.780
(0.005m) [(0.12m) 2
2
2(0.35m)
+ (0.3m) ] 2
9.81m / s
2
1 170 s
aua a 20º7 en una piscina de 10m de diámetro y 2m de altura desde el fondo, se debe vaciar cuando se abre la tapa de una tubería plástica hori5ontal de 3cm de diámetro y 25m de laro unida al fondo de la piscina! Determinar la descara inicial del aua a trav2s de la tubería y el tiempo .ue tardará en vaciarse totalmente la piscina, se supone .ue la entrada a la tubería está redondeada con p2rdidas despreciables! 7onsidere .ue el factor de fricción de la tubería es de 0.022 con la velocidad de descara inicial, verifi.ue si 2ste es un valor ra5onable para el factor de fricción ! Problema 4: -l
Aplicando la ecuación de la enería entre los puntos 1 y 2 : , 1 γ
7onsiderando: -ntonces:
, 1
+
v1
2
2
= 0 , , 2 = 0 ,
+ ? 1 =
, 2 γ
+
v1 = 0 , ? 1
h=
v2
2
2
v2
2
2
+ ? 2 + h f
= h , ? 2= 0 L v 2
+ f ⋅ ⋅
2
d 2
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________ 2 h 1 + fL d
=
v2
8;9
Aplicando el teorema de transporte de >eynolds y la ley de conservación de la masa: 0
d
=
dt 0
−
−
d#
=
0
− ∫ h
0
dh dt
vc
ρ d#
+ ∫∫ sc ρ #dA
ρ : constante d# dt
+ vA
= vA
dt 2 d π D h = dt 4
− D 2
∫∫∫
=
2 h 1 + fL d
⋅
π d
2
4
2 h ⋅ d 2 1 + fL d 2
d = ∫ 0 ⋅ ⋅ dt 1/ 2 1 + fL d D h 2 1 2 d h0 = ⋅ ⋅ ⋅ t 2 1 + fL d D dh
2 h
t
2
D t = d
2 h0
1 + fL d
8=9
La descara inicial se halla a partir de la ecuación 8;9: 2 h
v2
=
v2
= 1.425 m / s
1 + fL d
=
Lueo:
2(9.81m / s 2 )(2m) 1 + (0.022)(25m) (0.03m)
π
⋅ d 2
<0
= # 2 A2 = # 2 ⋅
<0
= 0.00101m / s = 1.01 × 10 −3 m 3 / s
<0
4
= (1.425m / s ) ⋅
π (0.03m )
2
4
3
-l tiempo .ue tarda la piscina en vaciarse se halla con la ecuación 8=9: 2
D 2h0 t = 1 + d t = 311965 s
fL
2
10 m = d 0.03m
2( 2 m ) 9.81m / s 2
1 + (0.022)( 25m) 0.03m
t = 86 .7 horas
&inalmente se verifica el valor del coeficiente de fricción f: Aua a 20º7:
ρ
= 998+ / m3 , µ = 1.003 × 10 −3 : ⋅ s / m 2
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________ ρ vd (998 + / m 3 )(1.425 m / s )( 0.03m ) = Re = µ 1.003 × 10 −3 : ⋅ s / m 2 Re = 42500
-ntonces:
ara una tubería plástica: ε = 0.0015 mm y la ruosidad relativa es: ε d
=
0.0015 × 10 −3 m
= 0.00005
0.03m
"tili5ando el diarama de @oody con los valores hallados de la ruosidad relativa y el n6mero adimensional de >eynolds, se encuentra el valor de f, el cual coincide num2ricamente con el valor propuesto inicialmente! "n tan.ue de 3m de diámetro, inicialmente está lleno de aua 2m sobre el centro de un orificio de borde audo y 10cm de diámetro! La superficie del tan.ue de aua está abierta a la atmósfera, y el orificio drena a la atmósfera! Se desprecia el efecto del factor de corrección de enería cin2tica (α = 1) , calcule : a9 la velocidad inicial de flu%o del tan.ue y b9 el tiempo .ue se re.uiere para vaciar el tan.ue 1el coeficiente de p2rdida de orificio provoca un aumento considerable en el tiempo de drenado del tan.ue3
Problema 5:
Aplicando la ecuación de la enería entre los puntos 1 y 2 : , 1 , 1
=
2
+ ? 1 =
, 2
+
v2
2
+ ? 2 + + ⋅
v2
2
γ 2 2 2 0 , , 2 = 0 , v1 = 0 , ? 1 = h , ? 2= 0 γ
7onsiderando: -ntonces:
+
v1
h= v2
=
v2
2
2
+ + ⋅
v2
2
2
2 h 1 + +
8;9
Aplicando el teorema de transporte de >eynolds y la ley de conservación de la masa: 0
=
d dt
∫∫∫
vc
ρ d#
+ ∫∫ sc ρ #dA
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________
ρ : constante 0 d#
−
−
d#
=
dt
= vA
dt 2 d π D h = dt 4 dh
− D 2 0
− ∫ h
0
dt
+ vA
2 h 1 + + 2 h
=
1 + +
⋅
π d
2
4
⋅ d 2 2
d = ∫ 0 ⋅ ⋅ dt 1/ 2 1 + + D h 2 1 2 d h0 = ⋅ ⋅ ⋅ t 2 1 + + D 2 D 2h0 (1 + + ) t = d dh
t
2 h
8=9
La velocidad inicial se halla con la ecuación 8;9 y + = 0.5 se e/trae de tablas, lueo: v2
=
2 h
=
2
2(9.81m / s )(2m )
1 + + v 2 = 5.11m / s
1 + 0 .5
-l tiempo .ue tarda la piscina en vaciarse se halla con la ecuación 8=9: 2
2
D 2h0 (1 + + ) = 3m t = d 0.1m t = 704 s t = 11.7 min
2( 2m ) 9.81m / s 2
(1 + 0.5 )
-l coeficiente + provoca un aumento en el tiempo de descara, entonces si + = 0 : 2
2
D 2h0 (1) = 3m t = d 0.1m t = 575 s t = 9.58 min
2( 2m ) 9.81m / s 2
(1)
Lueo, al calcular la variación del tiempo debido al coeficiente +:
704 − 575 × 100% 575
ξ =
ξ = 22.4%
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________ Al considerar el coeficiente + el tiempo de vaciado se incrementó en 22.4% "n tan.ue de 3m de diámetro, inicialmente está lleno de aua 2m arriba del centro de un orificio de borde audo y 10cm de diámetro! La superficie del aua del tan.ue está abierta a la atmósfera, y el orificio drena a la atmósfera a trav2s de una tubería de 100m de laro! -l coeficiente de fricción de la tubería se puede considerar como 0.015 y el efecto de factor de corrección de enería cin2tica se puede despreciar! Determine: a9 la velocidad inicial desde el tan.ue y b9 el tiempo .ue se necesita para vaciarlo! Problema 6:
Aplicando las ecuaciones deducidas anteriormente 8 problema 9 La velocidad inicial se halla con la siuiente ecuación: 2 h
v2
=
v2
= 1.57 m / s
1 + fL d
=
2(9.81m / s 2 )(2m) 1 + (0.015)(100m) (0.1m)
-l tiempo .ue tarda el tan.ue en vaciarse se halla con la siuiente ecuación: 2
2
D 2h0 1 + fL = 3m t = d d 0.1m t = 2299 s t = 38.3 min
1 + (0.015)(100m) 0.1m 9.81m / s 2 2( 2 m )
Se tiene aua a 20º7 .ue será bombeada desde un depósito ( ? A = 2 m ) hasta otro a una elevación mayor ( ? * = 9 m) a trav2s de dos tuberías de plástico de 25m de laro conectadas en paralelo! Los diámetros de las tuberías son de 3cm y 5cm! -l aua se bombeará con un acoplamiento de motor B bomba de 68% de eficiencia .ue e/trae 7+C de potencia el2ctrica durante la operación! Las p2rdidas menores se consideran despreciables ! Determine el flu%o total entre los depósitos y los flu%os a trav2s de cada una de las tuberías paralelas! Problema 7:
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________
, =
7omo:
=
hb
ρ
Aplicando la ecuación de la enería entre los puntos A y *: , A γ
, A
7onsiderando:
2
= ? A − ? * + hb
h f
= ? A − ? * +
h f
= ? A − ? * +
= 2m − 9m +
42.5 f 1v1
2
γ
+
v *
2
2
+ ? * + h f − hb
v A = 0 , v * = 0 , ? A
= 2m , ? * = 9m
, η ρ (< 1
+ <2 ) 4 , η
πρ ( D1
= ? A − ? * +
2
+ ? A =
, *
=< 1 + < 2 :
h f
42.5 f 1v1
2
2
= 0 , , * = 0 ,
Lueo y sabiendo .ue <
42.5 f 1 v1
+
v A
2
⋅v1 + D2 2 ⋅ v 2 ) 4 , η
πρ ( D1 ⋅v1 + D2 2
2
⋅ v2 )
4(7000Catt )(0.68) π (998+ / m
= −7 +
3
)(9.81m / s 2 )((0.03m) 2 v 1 + (0.05m) 2 v 2 )
619 0.9v 1 +2.5v 2
"nidades 8 S 9
8;9 7omo las p2rdidas de cara deben ser iuales para cada tubería en paralelo: h f 1
= h f 2 = h f
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________
f 1 f 1
v1
(25m)
L1 v1
2
D1 2
= f 2 = f 2
42.5 f 1v1
=
-n 8=9:
v2
= h f
(25m)
v2
2
(0.05m) 2(9.81m / s 2 )
= h f
= 25.5 f 2 v 2 2 = h f
2
= v1
v2
rimera iteración con valores de f 1
2
D2 2
2
(0.03m) 2(9.81m / s 2 )
42.5 f 1 25.5 f 2
= 0.02 :
f 2
= 1.29v1
42 .5(0.02 )v1
-n 8;9:
L2 v 2
2
= −7 +
619 0.9v 1 +2.5(1.29 v 1 )
v1 = 5.12 m / s v 2 = 6.60 m / s
Hallando nuevos coeficientes de fricción f, del diarama de @oody: $ubería ;: ρ v1 D1 Re 1 = µ ε
D1
f 1
=
D2
f 2
(998 + / m 3 )(5.12 m / s )( 0.03m ) 1.003 × 10 −3 : ⋅ s / m 2
0.0015 × 10 −3 m 0.03m
= 0.00005
=
=
(998 + / m 3 )(6.60 m / s )(0.05m) 1.003 × 10 −3 : ⋅ s / m 2
0.0015 × 10 −3 m 0.05m
= 328000
= 0.00003
= 0.0145
Seunda iteración con valores de f 1
= 0.0168 y
-n 8=9:
v2
-n 8;9:
= 153000
= 0.0168
$ubería =: ρ v 2 D2 Re 2 = µ ε
=
f 2
= 0.0145 :
= 1.39v1
42.5(0.0168)v1
2
= −7 +
619 0.9v 1 +2.5(1.39v 1 )
v1 = 5.27 m / s v 2 = 7 .33m / s
Hallando nuevos coeficientes de fricción f, del diarama de @oody:
8=9
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________ $ubería ;: ρ v1 D1 Re 1 = µ ε
D1
f 1
=
D2
f 2
1.003 × 10 −3 : ⋅ s / m 2
0.0015 × 10 −3 m
= 157000
= 0.00005
0.03m
= 0.0168
$ubería =: ρ v 2 D2 Re 2 = µ ε
=
(998 + / m 3 )(5.27 m / s )( 0 .03m )
=
= (998 + / m
3
)( 7.33m / s )( 0.05m )
1.003 × 10 −3 : ⋅ s / m 2
0.0015 × 10 −3 m 0.05m
= 365000
= 0.00003
= 0.0143
$ercera iteración con valores de f 1
= 0.0168 y
-n 8=9:
v2
= 1.40v1
42.5(0.0168)v1
-n 8;9:
= 0.0143 :
f 2
2
= −7 +
619 0.9v 1 +2.5(1.40 v 1 )
v1 = 5.26 m / s v2
= 7.36 m / s
Se toman como aceptables 2stas velocidades ya .ue no varían demasiado con respecto a las obtenidas en la iteración anterior! &inalmente se hallan los caudales: $ubería ;:
<1
= A1v1 =
π D1 2 v1
=
4 −3 3 <1 = 3.72 × 10 m / s 2
$ubería =:
<2
= A v = 2
π D 2 v 2
2
=
4 <2 = 14.5 × 10 m 3 / s
π (0.03m) 2 (5.26m / s ) 4
π (0.05m ) 2 (7.36m / s ) 4
−3
-l caudal total es: <
= <1 + <2
= 3.72 × 10 −3 m 3 / s + 14.5 × 10 −3 m 3 / s < = 18 .2 × 10 −3 m 3 / s <
7on la válvula cerrada, el aua fluye desde el tan.ue A al tan.ue *! 17uál es el caudal de aua en el tan.ue * cuando la válvula se abre para permitir .ue
Problema 8:
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________ el aua fluya hacia el tan.ue 7 3! Despreciar todas las p2rdidas menores y asumir .ue el factor de fricción es de 0.02 para todos los tubos!
h1
Si:
= f 1
L1 v 1
2
D1 2
= ? 1 − h D 2
L v 2 = ? 2 h2 = f 2 2 D 2 2 h3
= f 3
L3 v 3
− h D
2
D3 2
= ? 3 − h D
2
L v i = ? i hi = f i i Di 2
-ntonces:
vi
<1
$ambi2n se debe cumplir:
Donde: Asumiendo aua a 20º7:
=
2 Di ( ? i
− h D )
f i Li
+ < 2 + <3 = 0 ∑
ρ
− h D
=
π D i
2
vi
4
= 998+ / m3 , µ = 1.003 × 10 −3 : ⋅ s / m 2
Se comen5ará a iterar con un valor h D = 5m , .ue lueo se irá variando convenientemente, para finalmente llear a la converencia!
rimera iteración Depósit ? i (m) Di ( m ) Li ( m) o
h D (m ) ? i
− h D (m)
f i
3 # i ( m / s )
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________ 1 2 3
15 0 0
0.1 0.1 0.1
80 40 75
5 5 5
10 -5 -5
0.02 0.02 0.02
3.50 -3.50 -2.56
99.0 -99.0 -72.3
∑
-72.3
Seunda iteración Depósit ? i (m) Di ( m ) Li ( m) o 1 15 0.1 80 2 0 0.1 40 3 0 0.1 75
h D (m ) ? i
− h D (m)
2 2 2
13 -2 -2
f i
0.02 0.02 0.02
3
# i ( m / s )
3.99 -2.21 -1.62
112.9 -62.6 -45.7
∑
4.5
$ercera iteración Depósit ? i (m) Di ( m ) Li ( m) o 1 15 0.1 80 2 0 0.1 40 3 0 0.1 75
h D (m ) ? i
2.5 2.5 2.5
− h D (m) 12.5 -2.5 -2.5
f i
0.02 0.02 0.02
3 # i ( m / s )
3.92 -2.48 -1.81
110.7 -70.0 -51.1
∑
-10.4
7uarta iteración Depósit ? i (m) Di ( m ) Li ( m) o 1 15 0.1 80 2 0 0.1 40 3 0 0.1 75
h D (m ) ? i
2.2 2.2 2.2
− h D (m) 12.8 -2.2 -2.2
f i
0.02 0.02 0.02
3
# i ( m / s )
3.96 -2.32 -1.70
112.0 -65.7 -48.0
∑
-1.6
h D (m ) ? i
2.15 2.15 2.15
− h D (m) 12.85 -2.15 -2.15
f i
0.02 0.02 0.02
3 # i ( m / s )
3.97 -2.30 -1.68
112.2 -64.9 -47.4
∑
-0.1
4a .ue en 2sta ultima iteración el valor de ∑
v2
= 3.97 m / s = 2.30 m / s
v3
= 1.68m / s ,
v1
3 , <1 = 112m / h
, <2 <3
= 64.9m 3 / h = 47.4m 3 / h
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________ Problema 9: >epetir
el problema F si los factores de fricción no son conocidos, pero las tuberías son tubos de acero con ε = 0.045 mm .
rimera iteración Dep !
? i
(m)
1 2 3
15 0 0
Di
Li
h D ? i
( m) ( m) ( m)
0.1 0.1 0.1
80 40 75
− h D
f i
10 -5 -5
Re
ε / Di
348433 348433 254459
0.00045 0.00045 0.00045
Re
ε / Di
422298 234249 168705
0.00045 0.00045 0.00045
Re
ε / Di
419775 247051 177534
0.00045 0.00045 0.00045
Re
ε / Di
420601 245022 176060
0.00045 0.00045 0.00045
3
( m / s ) ( m / h)
(m)
5 5 5
# i
0.02 0.02 0.02
3.50 -3.50 -2.56
99.0 -99.0 -72.3
∑
-72.3
Seunda iteración Dep !
? i
(m)
1 2 3
15 0 0
Di
Li
h D ? i
( m) ( m) ( m)
0.1 0.1 0.1
80 40 75
− h D
f i
13 -2 -2
( m / s ) ( m / h)
(m)
2 2 2
# i
0.0177 4.24 0.0177 -2.35 0.0182 -1.70
∑
120.0 -66.6 -47.9 5.5
$ercera iteración Dep !
? i
(m)
1 2 3
15 0 0
Di
Li
h D ? i
− h D
( m) ( m) ( m)
(m)
0.1 0.1 0.1
12.7 -2.3 -2.3
80 40 75
2.3 2.3 2.3
f i
# i
( m / s ) ( m 3 / h)
0.0175 4.22 0.0183 -2.48 0.0189 -1.78
119.3 -70.2 -50.4
∑
-1.4
7uarta iteración Dep !
? i
(m)
1 2 3
15 0 0
Di
Li
h D ? i
( m) ( m) ( m)
0.1 0.1 0.1
80 40 75
2.25 2.25 2.25
− h D
(m)
12.75 -2.25 -2.25
f i
# i
( m / s ) ( m / h)
0.0175 4.23 0.0182 -2.46 0.0188 -1.77
119.5 -69.6 -50.0
∑
-0.1
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________ 4a .ue en 2sta ultima iteración el valor de ∑
v2 v3 Problema 10:
= 4.23m / s = 2.46m / s = 1.77m / s
3 , <1 = 120m / h
, <2 , <3
= 69.6m 3 / h = 50.0m 3 / h
Se utili5a una bomba para llenar un tan.ue desde un depósito, la cara
proporcionada por la bomba está dada por
< 2 h p = h0 1 − < 2 , donde má/
h0 es de 50m,
< es la descara a trav2s de la bomba y
Aplicando la ecuación de la enería entre los puntos ; y =: , 1 γ
7onsiderando: -ntonces:
, 1
+
v1
2
2
+ ? 1 + h p =
= 0 , , 2 = 0 ,
γ
+
v2
2
2
+ ? 2 + h f
v1 = 0 , v 2 = 0 , ? 1 = 0 , ? 2 = h
h p
nicialmente h
, 2
= h + f ⋅
L
⋅
v
2
D 2
= 0 , lueo:
< 2 L v 2 h0 1 −
<
v
>eempla5ando 8=9 en 8;9:
D 2
= π
=
4 4<
π D 2
8;9
v
8=9
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________
< 2 8 fL< 2 h0 1 −
<=
2
π D
5
5
2 2
π 2 (9.81m / s 2 )( 0.9 m ) 5 (50 m )( 2 m 3 / s ) 2 π 2 (9.81m / s 2 )( 0.9 m ) 5 (50 m ) + 8(0.018 )(30 m )( 2 m 3 / s ) 2
=
<
= 1.994 m 3 / s
=
h0
h0 + 8 fL
<
<
7omo:
π D
d#
=
d ( At h)
dt dh < = At dt
dt
H < dt = dh 0 A 0 t < t = H At t
∫
∫
t =
At H
=
(100 m 2 )( 40 m ) 1.994 m 3 / s
< t = 2006 s t = 0.557 horas
Las tuberías .ue se ilustran en el sistema de la fiura son todas de concreto! 7on un flu%o de 25cfs de aua, encuentre la p2rdida de cara y la división de flu%o en las tuberías A y *, supona .ue f = 0.030 para todas las tuberías! Problema 11:
h f 1
7omo:
f 1
L1 v1
= h f 2 = h f 3
2
D1 2
= f 2
L2 v 2
2
D 2 2
= f 3
L3 v 3
2
D3 2
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________
(0.03)
v1
(3000 ft )
2
= (0.03)
(14 / 12 ft ) 2(32.2 ft / s 2 )
1.198 ⋅ v1
2
= 0.9317 ⋅ v = 1.048 ⋅ v 2
2
v2
(2000 ft )
2
= (0.03)
(12 / 12 ft ) 2(32.2 ft / s 2 )
(3000 ft )
2 3
1 .198 ⋅ v1 0.9317
=
y
1.198
=
v3
1.048
⋅ v1
8;9
$ambi2n se debe cumplir .ue: 25 ft / s = <1 3
3
25 ft / s
=
π (14 / 12 ft )
2
+
v1
4
+ <2 + <3
π (12 / 12 ft )
31.83 = 1.361 ⋅ v1
2
4
v2
+
π (16 / 12 ft )
4
+ v2 + 1.778 ⋅ v3
>eempla5ando 8;9 en 8=9: 31 .83 = 1.361 ⋅ v1
Lueo:
1.198 1.198 ⋅ v1 + 1.778 ⋅ ⋅ v1 0 .9317 1.048 v1 = 7.241 ft / s
+
v2
= 8.211 ft / s
v3
= 7.742 ft / s
&inalmente los caudales en cada tubería son: π D 1
<1 =
$ubería ;:
v1 = 4 7.74 cfs
<1= <2=
$ubería =:
π D 2
<2= <3=
$ubería ):
2
2
v2 = 4 6.45cfs
π D 3
2
v3
4
=
π (14 / 12 ft )
2
4
π (12 / 12 ft )
2
(8.211 ft / s)
4
π (16 / 12 ft )
4
(7.241 ft / s)
2
(7.742 ft / s )
< 3 = 10.8cfs
Ahora se calcula la p2rdida de cara en el tramo A B *: h fA*
h fA*
h fA*
= h fA7 + h f 1 + h fD*
= f A7
=
L A7 v A7
2
+ f 1
D A7 2
8 f A7 L A7 < A7 π
2
5
D A7
L1 v1
2
D1 2
2
+ f 1
L1 v1
+ f D* 2
D1 2
+
L D* v D*
2
D D* 2
8 f D* L D* < D* π
2
D D*
5
2
2
(16 / 12 ft ) 2(32.2 ft / s 2 )
Lueo: v2
v3
2
v3
8=9
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________ 8(0.03)( 2000 ft )( 25 ft 3 / s ) 2
h fA*
=
h fA*
= 107 ft
+ (0.03)
π 2 (32.2 ft / s 2 )( 24 / 12 ft ) 5
(3000 ft ) (7.241 ft / s ) 2 (14 / 12 ft ) 2(32.2 ft / s 2 )
+
8(0.03)(3000 ft )( 25 ft 3 / s ) 2
π 2 (32.2 ft / s 2 )(30 / 12 ft ) 5
"na tubería .ue transporta petróleo a 40º7 a una ra5ón de 3m 3 / s se ramifica en dos tuberías paralelas fabricadas de acero comercial, .ue se vuelven a conectar corriente aba%o! La tubería ; mide 500m de laro y tiene un diámetro de 30cm, mientras .ue la tubería = mide 800m de laro y tiene un diámetro de 45cm! Las p2rdidas menores se consideran despreciables! Determine el caudal a trav2s de cada una de las tuberías paralelas! Problema 12:
3m 3 / s
Se debe de cumplir .ue: 3
3m / s
=
= <1 + < 2
π D1
2
π D 2
v1 +
2
v2
4 4 2 π (0.3m ) π (0.45 m ) 2 3 3m / s = v1 + v2 4 4 3.82 = 0.09 ⋅ v1 + 0.2025 ⋅ v 2
= h f 2
h f 1
$ambi2n:
f 1
L1 v1
2
D1 2
8;9
= f 2
L 2 v 2
2
D 2 2
500m f v 2 = 800m f v 2 1 1 2 2 0.3m 0.45m 2
1667 f 1v1 v2
=
= 1778 f 2 v2 2
1667 f 1 1778 f 2
rimera iteración con valores iniciales de f 1 v2
-n 8=9: -n 8;9:
3.82
=
⋅ v1
f 2
= 0.02 :
= 0.968 ⋅ v1
= 0.09 ⋅ v1 + 0.2025(0.968 ⋅ v1 )
8=9
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________
= 13.4m / s v 2 = 13 .0 m / s
v1
ara acero comercial se tiene ε = 0.046 mm y para el petróleo a 40°7 se tiene −6 2 ν = 6 × 10 m / s Hallando nuevos coeficientes de fricción f, del diarama de @oody: $ubería ;:
Re1 ε
D1
f 1
v1 D1
= =
=
ν
(13.4m / s)(0.3m)
= 670000
6 × 10 −6 m 2 / s
0.046 × 10 −3 m 0.3m
= 0.000153
= 0.0146
$ubería =:
Re 2 ε D2
f 2
= =
v 2 D2
ν
=
(13.0m / s )(0.45m) −6
6 × 10 m / s
0.046 × 10 −3 m 0.45m
2
= 975000
= 0.000102
= 0.0135
Seunda iteración con valores de f 1
= 0.0146 y
-n 8=9:
v2 3.82
-n 8;9:
f 2
= 0.0135 :
= 1.01 ⋅ v1
= 0.09 ⋅ v1 + 0.2025(1.01 ⋅ v1 ) v1
= 13.0m / s
v2
= 13 .1m / s
Se toman como aceptables 2stas velocidades ya .ue no varían demasiado con respecto a las obtenidas en la iteración anterior! &inalmente se hallan los caudales: 2
$ubería ;:
<1
= A1v1 =
<1 =
π D1 v1
4 3 0.919m / s
=
π (0.3m) 2 (13.0m / s )
2
$ubería =:
Problema 13: -n
π D2 v 2
<2
= A2 v2 =
<2
= 2.08m 3 / s
4
=
4
π (0.45m) 2 (13.1m / s) 4
el sistema mostrado hay una bomba .ue suministra una potencia de 40 H! 7alcular el asto en cada tubería! 7onsiderar f = 0.002 en todas las tuberías y una eficiencia del 100% en la bomba!
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________
La fiura muestra el proyecto del sistema de tubos para combatir incendios en una instalación industrial, en los puntos 1, 2, 3 y 4 se re.uiere instalar hidrantes para abastecer astos de 15, 30, 60 y 15 L / s respectivamente! Determinar el asto en los tubos del sistema 8 7oeficiente de ruosidad Ha5en B illiams 7 H = 95 9 considerando .ue la elevación de todos los nudos de la red es 70mG calcular la altura de las caras de presión en cada nudo! Problema 14:
7onsiderando .ue la ecuación de Ha5en B illiams en el S es la siuiente: <
= 0.2784 ⋅ 7 H ⋅ D 2.63 ⋅ S 0.54
Donde: 1 / 0.54
< S = 2 .63 ⋅ ⋅ 0 . 2784 7 D H
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________ .
7on:
$ambi2n:
7 H
= 95 ,
n
= 1.85
=−
∑h n⋅∑h <
y 1 L = 0.001m 3
rimera iteración I 7ircuit o
I
I 7ircuit o
I
I $uberí a 1-2 2-3 3-4 4-1
I $uberí a 1-2 2-3 3-4 4-1
<0
h0 <0
h0
L
D
( m)
(m)
( L / s )
S 0
(m)
200 800 200 800
0.3 0.25 0.25 0.25
60 30 -30 -45
4.47 3.01 3.01 6.37
0.89 2.41 -0.60 -5.10
14.9 80.2 20.0 113.2
-2.40 Seunda iteración
228.3
L
D
∑
<0
2
.0
<
3
( L / s )
0.006 0.006 0.006 0.006
65.68 35.68 -24.32 -39.32
.0
<
3
0.000 0.000 0.000 0.000
( s m ) ( m / s )
h0 <0
h0
2
(m)
( m)
( L / s )
S 0
( m)
( s m ) ( m / s )
( L / s )
200 800 200 800
0.3 0.25 0.25 0.25
65.7 35.7 -24.3 -39.3
5.28 4.14 2.04 4.96
1.06 3.32 -0.41 -3.97
16.1 92.9 16.8 101.0
65.69 35.69 -24.31 -39.31
-0.01
226.7
∑
Los resultados obtenidos son:
= 65.7 L / s = 35.7 L / s <3− 4 = 24.3 L / s <4 −1 = 39.3 L / s
<1− 2 <2 −3
y y y y
= 1.06 m = 3.32 m h3− 4 = 0 .41m h4 −1 = 3.97 m
h1− 2 h2 − 3
La p2rdida de cara en la tubería AJ;8 tan.ue al nudo ;9: 1 / 0.54
< A−1 = 2.63 0 . 2784 7 D ⋅ ⋅ − A 1 H
S A−1
ero:
-ntonces:
< A−1
= <1− 2 + <4−1 + 15 L / s = 65.7 L / s + 39.3 L / s + 15 L / s = 120 L / s
< A−1
= 0.12m 3 / s S A −1
S A−1
0 .12 = 2.63 0.2784(95)( 0.4) = 3.97
1 / 0. 54
× 1000
Hidráulica Alumno: Dayan Saynes ______________________________________________________________________ Lueo:
h A−1
=
h A−1
=
S A−1 ⋅ L A−1 1000 0.397 m
=
(3.97)(100m) 1000
Aplicando la ecuación de la enería entre el punto A hacia el punto i: , A
+ ? A =
, i
+ ? i + ∑ h f
γ γ Lueo se determina la cara de presión en el nudo i, considerando .ue , A h ,i
=
, i γ
= 0:
= ? A − ? i − ∑ h f
7álculo de la cara de presión en el nudo ;: h , 1 h , 1
= ? A − ? 1 − h A−1 = 100 m − 70m − 0.397 m = 29.6m
7álculo de la cara de presión en el nudo =:
= ? A − ? 2 − (h A−1 + h1− 2 ) = 100 m − 70m − (0.397 m + 1.06m) h , 2 = 28.5m h , 2
7álculo de la cara de presión en el nudo ):
= ? A − ? 3 − (h A−1 + h1− 2 + h2 −3 ) = 100m − 70m − (0.397m + 1.06m + 3.32m) h , 3 = 25 .2 m
h , 3
7álculo de la cara de presión en el nudo :
= ? A − ? 4 − ( h A−1 + h4−1 ) = 100m − 70m − (0.397 m + 3.97 m) h , 4 = 25.6m
h , 4
