PUC-RS Faculdade de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Pedro S. Carneiro
FUNÇÕES 1. Problemas de modelagem mo delagem O conceito de função, junto com sua representação gráfica, é certamente um dos mais importantes em Matemática. Mas o que é uma função? Uma função , de uma variável x, é uma relação que associa a cada valor de x um único número f(x), chamado de valor da função em x. A variável x é x é chamada de variável independente . O conjunto dos valores que a variável independente pode assumir é chamado de domínio da domínio da função. A imagem da imagem da função é o conjunto de valores que a função assume. As funções desempenham um papel muito importante na ciência. Frequentemente, se observa que uma grandeza é função de outra e, então, tenta-se encontrar uma fórmula razoável para representar essa função. A busca de uma função que representa uma determinada situação é chamada modelagem
matemática (e a função escolhida é o modelo matemático). No que segue, vamos resolver alguns problemas de modelagem. Como o número de problemas é ilimitado, fica muito difícil estabelecer regras para solucioná-los, porém podemos adotar a seguinte estratégia básica:
identificar as variáveis e as constantes do problema e sempre que for possível esboçar um gráfico ou tabela relacionando-as;
registrar os fatos conhecidos, assim como qualquer relação matemática entre as variáveis, buscando expressar uma delas em função da outra.
EXERCÍCIOS: E1) Em um carro que comporta até cinco passageiros, a despesa com a gasolina será dividida entre o número de pessoas que efetuará uma viagem. Se a despesa com gasolina é R$ 45,00, organize uma tabela que relacione o número de passageiros do carro e o valor a ser pago por cada um. Expresse uma lei que relacione essas variáveis.
E2) A tarifa de uma corrida de táxi em determinada cidade é composta de duas partes: uma parte fixa chamada bandeirada e uma parte variável que corresponde ao número de quilômetros que o táxi percorre. Sabe-se que a bandeirada custa R$ 2,80 e o preço por quilômetro rodado é de R$ 0,80. Expresse o preço a pagar y em função do número de quilômetros rodados x.
E3) Um botijão de gás contém 13 kg de gás. Em média, é consumido, por dia, 0,5 kg. a) Expresse a massa m de gás no botijão, em função de t (dias de consumo). b) Determine o domínio dessa função.
E4) Em um retângulo a medida da base é o dobro da medida da altura. Se a altura mede “x”, determine: a) o perímetro P desse retângulo em função de x; b) a área A desse retângulo em função de x; c) a área A desse retângulo em função de seu perímetro P.
E5) Um fazendeiro tem 100 m de cerca para construir um galinheiro retangular. Se x é o comprimento de um lado do galinheiro, determine a área cercada em função de x. Para quais valores de x a função área está definida?
E6) Uma vinícola tem o custo de R$ 10,00 para produzir uma garrafa de um certo vinho. O administrador da empresa observou que se a garrafa for vendida a um preço de x reais (para 0 < x < 100), a indústria vai vender uma quantidade q de garrafas por dia, sendo q = 100 – x. Expresse o lucro diário em função do preço de venda da garrafa.
E7) O número de bactérias numa certa cultura duplica a cada hora. Se no instante inicial a cultura possuía 1000 bactérias, responda: a) Qual o número de bactérias após 1 hora? E após 2 horas? b) Qual o número de bactérias após “t” horas?
E8) Num vôo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia aérea cobra R$ 200,00 por pessoa quando todos os lugares são ocupados. Se existirem lugares não ocupados, ao preço de cada passagem será acrescida a importância de R$ 4,00 por cada lugar não ocupado. Expresse o faturamento da companhia em função do número de lugares não ocupados.
E9) Certa população cresce a uma taxa de 20% ao ano. Sendo P o a população inicial, determine: a) Qual será a população após 1 ano? E após 2 anos? b) Qual será a população após “t” anos?
E10) Considere um quadrado de 10 cm de lado. Nesse quadrado foi escurecida uma superfície que varia de acordo com uma medida x, indicada na figura ao lado (0 < x < 5). Encontre a função que fornece:
a) a área da região escurecida. b) o perímetro da região escurecida.
E11) De uma folha de 30 cm por 16 cm é feita uma caixa aberta, cortando fora quadrados de mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando para cima os lados. a) Expresse o volume da caixa em função da medida x dos lados dos quadrados cortados. b) Determine o domínio contextual dessa função.
E12) Uma firma de materiais para escritório determina que o número de aparelhos de ano
x é
dado pela função
f (x )
= 50 + 4x +
2
x ,
onde
x =
fax vendidos
0 corresponde ao ano de 2000,
no
x = 1
corresponde ao ano de 2001, e assim sucessivamente. a) O que e quanto f (0) representa? b) Determine a quantidade de aparelhos de
fax que
podem ser vendidos em 2005.
E13) Com uma folha de cartolina de 20 cm por 20 cm, queremos construir uma caixa, retirando de cada canto, quadrados de lado x. a) Escrever a lei que expressa o volume V da caixa em função de x. b) Determine o domínio contextual dessa função.
E14) Uma caixa retangular aberta, com base quadrada, contém um volume de 27 m 3. O custo de 2
2
fabricação da caixa é de 8 reais por m para base e 4 reais por m para as laterais. a) Encontre o custo de fabricação da caixa em função da medida x do lado da base. b) Qual o domínio contextual dessa função?
E15) Um tanque sem tampa deve ter a forma de um cilindro circular reto e volume igual a 30 π m3. Qual a função, em termos do raio da base, que determina o custo de construção deste tanque, sabendo-se 2
que o custo do material empregado na base é de R$ 50,00 por m e o empregado nas paredes é de R$ 2
25,00 por m ?
RESPOSTAS: E1) y =
45
, com x
∈ {1,
2, 3, 4, 5}
x
E2) y = 2,80 + 0,80x E3) a) m = 13 – 0,5t
b) Df = [0, 26]
E4) a) P = 6x
b) A = 2x
2
2
c) A = P /18
2
E5) A = 50x - x , 0 < x < 50 E6) L(x) = (x – 10)(100 – x) E7) a) 2000
x
b) 4000
c) y = 1000 . 2
E8) f(x) = (100 – x).(200 + 4x) E9) a) Po.(1,2) e Po.(1,44) b) P = Po.(1,2) E10) a) A = 100 – 4x
2
t
b) P = 40
E11) a) V = (16 – 2x)(30 – 2x)x b) Dom = (0, 8) E12) a) f(0) = 50 e representa o número de aparelhos vendidos no ano 2000. E13) a) V = x.(20 – 2x)
2
2
E14) a) C(x) = 8x + 432/x 2
E15) C(r) = 50.π.r + 1500/r
b) D = (0, 10) b) D = (0,
+∞)
b) 95
