problemas de geomeria descriptiva

COMPENDIO DE PROBLEMAS PARA EL CURSO DE

DIBUJO DE INGENIERÍA II Autor: Ing. Esteban Ortiz Bosmans

Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II Ciclo 2013-2

Capítulo 1: PUNTO Y RECTA

Capítulo 1: PUNTO Y RECTA Nivel de Dificultad I (Vacío)

Nivel de Dificultad II 1)

2003-1-P01I-prob1 Un trípode OABC descansa sobre un suelo nivelado. La pata OA tiene 7 metros de longitud, forma un ángulo de 50º con el suelo y tiene una orientación N45ºE. Las otras dos patas OB y OC tiene longitudes de 6.48 y 5.72 metros respectivamente. En la proyección horizontal las patas figuran igualmente espaciadas es decir, con una separación de 120º entre sí. Sabiendo que B está a la izquierda de C, determinar las coordenadas de los puntos B, C y O. Además determinar las orientaciones y pendientes de las patas OB y OC. A ( 25, 30, 0 )

2)

2003-1-P01I-prob2 Se tienen los puntos A, B, C y D que en su proyección horizontal forman los vértices de un cuadrado. Las pendientes de los segmentos BC y CD son el doble y el triple de la pendiente del segmento AB respectivamente. Determinar las coordenadas de los puntos B y D y las pendientes de los segmentos AB y AD, sabiendo que D está más al oeste que C. A ( 10, 10, 10 ) C ( 15, 17, 20 )

3)

2003-1-P01J-prob1, 2003-1-P01L-prob1 La pendiente del segmento AB es 55% descendente. Hallar la orientación y la pendiente de BC sabiendo que B está más al Norte que A. A ( 10, 10, 10 ) B ( 8, ¿?, 3 ) C ( 30, -5, 25 )

4)

2003-1-P01K-prob1 Una paloma se encuentra en el punto A situado sobre un árbol a una altura de 5 metros del suelo nivelado. En un momento dado, la paloma alza vuelo y sigue la dirección N30ºE con una pendiente de 30º. Cuando la paloma alcanza una altura de 20 metros recibe el impacto de un proyectil disparado por un cazador desde el punto B. El punto B está situado a 10 metros al este y 2 metros al sur de A y a una altura de 1.5 metros del suelo. Hallar las características del recorrido del proyectil (orientación, pendiente y longitud) y las coordenadas del punto de impacto con la paloma. A ( 10, 5, 5 ) Rpta:

5)

pe=74.95%asc

long=30.8455metros

OK

2003-1-EXPK-prob1, 2006-2-P01H-prob1 La dirección de vuelo de un jet que parte del punto A es N45ºE y gana altura a razón de 300m/km. ¿Cuál es la diferencia de altura entre el obstáculo PQ y el avión en el instante que cruza dicho obstáculo? A ( 7.5, 2, 12 ) km P ( 9, 4.5, 10 ) km Q ( 12, 3.5, 12) km Rpta:

6)

P(22.9904,27.5,20) or=N6º58’E

∆h=2.4546km

2003-2-P01H-prob1 Determinar la orientación y pendiente del segmento BC si se sabe que el segmento AB mide 10 3 unidades. Se sabe también que el punto B está 8 unidades al oeste y 5 unidades al sur del punto A y también que está encima del punto C. A ( 10, 8, 6 ) B ( ¿?, ¿?, ¿? ) C ( 1, 6, 4 ) Rpta:

7)

B(2,3,20.5258)

or=N18º26’6”O

pe=79º10’02”desc

2006-1-P01H-prob1 El segmento PQ tiene una pendiente de 40% ascendente y una longitud de 100 unidades. El alejamiento de Q es el doble del apartamiento de P. Completar las coordenadas de P y Q. P ( ¿?, 0, 0 ) Q (0, ¿?, ¿? ) Rpta:

xP1=41.5227 xP2=-41.5227

Esteban Ortiz Bosmans

yQ1=83.0455 yQ2=-83.0455

zQ1=37.1391 zQ2=37.1391

OK

2/70


8)

2006-1-P01H-prob2 Completar las coordenadas del punto B y determinar la orientación y pendiente del segmento AB sabiendo que la relación entre las pendientes de AB y BC es de 5/2. A ( 17, 18, 45 ) B ( 28, 45, ¿? ) C ( 69, 12, 10 ) Rpta:

9)

OK

inf=(30,23.3333,22.1716)

sup=(30,23.3333,43.3333)

∆z=21.1617m

OK

or=N57º24’36”E

v=0.1575km/h

A’(23.6878,34.6011,23.6921)

B’(23.6878,34.6011,35.4608)

C’(23.6878,34.6011,25.3648)

zR=69.6391 or(RS)=Sur

yS=12.5813 pe(RS)=332.66%desc

M(22,17.3636,40.9091)

or=N57º25’E

vel=0.1575km/h

2007-3-P01G-prob1 Desde una torre de control, T, se ve un avión antes de alzar vuelo con una orientación N18ºO y bajo un ángulo de 20º. 2 segundos más tarde se le ve en dirección N70ºE y con un ángulo de elevación (ascendente) de 15º y a una altura de 250m de la pista de aterrizaje (plano XY). Determinar la distancia recorrida por el avión (supuesta rectilínea), la orientación y pendiente de su dirección de vuelo y la velocidad (supuesta uniforme) en m/s. T ( ¿?, ¿?, 100 ) Rpta:

16)

long=38.4394metros

2007-1-P01I-prob1 Desde un punto situado a 250 metros sobre el nivel del mar se observa un barco en dirección N45ºO, bajo un ángulo de depresión de 20º30’. Cinco horas después el barco es observado en dirección N12ºE, bajo un ángulo de depresión de 15º15’. Determinar la dirección en que viaja el barco y la velocidad que lleva en km/h. Rpta.:

15)

pe=60.93%asc

2007-1-P01H-prob1 RS se corta con PQ en el punto M. Completar las coordenadas que faltan de R y S sabiendo que RM mide 30 unidades y va hacia abajo. Determinar además la orientación y pendiente de la recta RS. P ( 12, 11, 50 ) Q ( 34, 25, 30 ) R ( 22, 26, ¿? ) S ( 22, ¿?, 25 ) Rpta.:

14)

or=N12º53’8”E

2006-2-P01J-prob2 (anulado) Desde una torre vertical que tiene diferentes niveles se ha observado a tres puntos: A, B y C. Al punto A con pendiente descendente de 100%; a B con orientación N40ºE y pendiente descendente de 25º y a C con orientación S65ºE y pendiente descendente de 30%. Hallar las coordenadas de los puntos de observación y las respectivas distancias entre éstos y los puntos observados. A ( 5, 35, 5 ) B ( 45, 60, 20 ) C ( 55, 20, 15) Rpta:

13)

pe=69.7113%desc

2006-2-P01J-prob1 (anulado) Desde un punto situado a 250 metros sobre el nivel del mar se observa un barco en dirección N45ºO, bajo un ángulo de depresión de 20º30’. Cinco horas después el barco es observado en dirección N12ºE, bajo un ángulo de depresión de 15º15’. Determinar la dirección en que viaja el barco y la velocidad que lleva en km/h. Rpta:

12)

or=N22º09’59”E

2006-2-P01J-prob1 Un árbol vertical se ve desde los puntos A y D, según las direcciones AB y DE. La visual que parte de A va a la parte más baja del árbol con un ángulo de elevación de 30º y la visual que parte de D va a la parte más alta del árbol con una pendiente de 100%. Obtener las coordenadas de los extremos del árbol y encontrar su altura. A ( 10, 30, 10 ) B ( 25, 25, ¿? ) D ( 50, 50, 10 ) E ( 35, 30, ¿? ) metros Rpta:

11)

zB=24.6758

2006-1-P01J-prob1 En un concurso de tiro al platillo, el mecanismo que lanza el platillo está en un punto A y el tirador en un punto B situado 10 metros al Este y 2 metros al Sur de A. El platillo es lanzado en la dirección N30ºE y con un ángulo de 30º respecto a la horizontal. En el momento que el platillo alcanza una altura de 20 metros recibe el impacto del disparo. Hallar las características de la trayectoria del proyectil (orientación, pendiente y longitud recorrida). Suponer que no influye la gravedad ni la resistencia del aire y que el tirador y el aparato que lanza el platillo están sobre el mismo plano horizontal. Rpta:

10)


dist=663.8037m vel=331.90m/s

or=S83º29’E

pe=40.66%asc OK

2008-1-P01H-prob1 Un OVNI que desciende verticalmente es observado desde P en dirección N55ºE y pendiente descendente de 20%, y desde Q en dirección N50ºO y pendiente ascendente de 25º. Determinar las distancias entre los puntos de observación y el OVNI.


3/70


P ( 5, 20, 10 ) Rpta:

17)

pe=60.43%asc

dist=38.4394m

zB=34.0335 or=N63º26’O

zC=27.0977 pe=43.87%asc

zD=24.9044

49.4170m

zA=133.4768

or=S78º41’E

pe=190.14%desc

yQ1=55.4703 yQ2=84.5297

or1=N52º0’E or2=S69º8’E

pe1=63.04%asc pe2=74.75%asc

OK

zP=2cm

Q=(9,1.5505,3)cm

or=S50º46’E

pe=25.82%asc

2010-1-EXPI-prob1 Un avión vuela horizontalmente a una altura de 700 metros. Desde un punto P de observación en la tierra, se le ubica primero en la dirección N18ºO y bajo un ángulo de 30º; dos minutos más tarde en la dirección N32ºE y bajo un ángulo de 26º. Determinar la orientación que lleva su trayectoria, la distancia recorrida (supuesta rectilínea) y la velocidad del avión (supuesta uniforme). Rpta:

26)

or=N12º53’E

2010-1-P01I-prob1 La distancia entre los puntos P y Q es 4 cm. La cota de P es de 2 cm y la cota de Q es de 3 cm. Determinar las coordenadas de P y Q y obtener la orientación y pendiente de la recta PQ, sabiendo además que Q se encuentra 3 cm a la derecha de P. Considerar Q delante de P. P ( 6, 4, ¿? ) cm Rpta:

25)

pe1=6.77%desc pe2=7.01%desc

2010-1-P01H-prob1 Hallar la orientación y pendiente de QR, sabiendo que PQ tiene 45% de pendiente. Obtener todas las soluciones posibles. P ( 30, 70, 15 ) Q ( 60, ¿?, 30 ) R ( 85, 75, 50 ) Rpta:

24)

or1=N71º25’O or2=S79º3’O

2009-3-P01G-prob1 Determinar la cota de A y obtener la orientación y pendiente de AB si las distancias AB y BC están en la relación de 2 a 3. Tomar A arriba de B. A ( 15, 20, ¿? ) B ( 40, 15, 85 ) C ( 95, 50, 35 ) Rpta:

23)

yQ1=11.4581 yQ2=48.5419

2009-2-P01H-prob1 Un OVNI (objeto volador no identificado) desciende verticalmente y es observado desde A con una visual de orientación N50ºO y pendiente ascendente de 25%. Desde el punto B se le observa con una visual de orientación N55ºE y una pendiente de 20% descendente. Hallar la distancia recorrida por el OVNI. A ( 100, 85, 125 ) metros B ( 45, 65, 90 ) metros Rpta:

22)

S ( 78, 34, 33 )

2009-1-P01I-prob2 Las rectas AB, BC, CD y DE tienen igual pendiente. Determinar las coordenadas de los puntos B, C y D y la orientación y pendiente de la recta ED. A ( 5, 25, 45 ) B ( 25, 10, ¿? ) C ( 40, 15, ¿? ) D ( 40, 10, ¿? ) E ( 50, 5, 20 ) Rptas:

21)

R ( 19, 75, 24 )

distΔy=20.625

2009-1-P01I-prob1 Se tiene una paloma situada en el punto A y un tirador situado en el punto B. B está 10 metros al Este, 2 metros al Sur y a la misma altura que A. La paloma alza vuelo y sigue una dirección de N30ºE y con un ángulo de elevación de 30º. Cuando la paloma alcanza una altura de 20 metros respecto al punto A, recibe el impacto del proyectil. Hallar las características de la trayectoria rectilínea del proyectil: orientación, pendiente y distancia recorrida. Rpta:

20)

distQ=34.6332

2009-1-P01H-prob2 La pendiente de PQ es 55%. Hallar el alejamiento de Q y la orientación y pendiente de QR. Presente todas las soluciones posibles. P ( 100, 30, 40 ) Q ( 80, ¿?, 25 ) R ( 10, 35, 20 ) Rptas:

19)

Q ( 65, 25, 20 )

2008-1-P01I-prob1 ¿Cuán atrás está la recta PQ de la recta RS? P ( 61, 82, 12 ) Q ( 54, 42, 64 ) Rpta:

18)

distP=44.7624


or=N86º46’E

dist=1137.0146m

vel=9.4751m/s

2011-1-P01I-prob2 Mostrar la visibilidad de las tuberías, cuyos ejes son los segmentos de recta JL, MN, PQ y RS, cuando son observadas desde arriba (hacia abajo) y desde adelante (hacia atrás). Las tuberías son de 3


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unidades de diámetro y están abiertas en sus extremos. No mostrar las partes de las tuberías que están ocultas tras las otras tuberías y mostrar los extremos más cercanos al observador como elipses completas y los más lejanos como medias elipses, de manera similar al ejemplo contiguo. J ( 20, 14, 22 ) K ( 67, 44, 22 ) M ( 60, 50, 8 ) N ( 60, 6, 50 ) P ( 26, 50, 10 ) Q ( 44, 8, 48 ) R ( 18, 20, 40 ) S ( 68, 20,8) Rpta:

Ver solución al final del documento

Nivel de Dificultad III 27)

2003-1-P01J-prob2 Se tiene los puntos A, B, C, D y E que en su proyección horizontal forman los vértices de un pentágono regular cuyo centro está más al este que el punto D. Los segmentos AB, BC y CD tienen la misma pendiente. Los segmentos DE y EA tiene la misma pendiente. Determinar las coordenadas de los puntos B, C y E y las pendientes de los segmentos AB y DE. A ( 20, 50, 8 ) D ( 10, 12, 25 ) Rpta:

28)

C(30.3923,-3.3205,-2.0444) F(16.5359,19.7735,-20.1109) peAB=44.72%desc peAF=223.61%desc

D(16.9282,-3.5470,-8.0665)

yA=20.1505 yR=13

yB=4.7576 zS=3

(falta)

A’(23.6878,34.6011,23.6921) B’(23.6878,346011,35.4608) C’(23.6878,34.6011,25.3648)

distAA’=26.4346u distBB’=36.5835u distCC’=36.0704u

zB=102.6032

2006-1-P01J-prob2 La proyección de los segmentos AB, BC, CD y AD sobre el plano Horizontal resulta en un rectángulo tal que la relación de sus lados es de 2 a 1. Completar las coordenadas de los puntos A, B y D si se sabe que B está delante de A y que las pendientes de los segmentos AB, BC y CD son iguales entre sí y equivalen a la inversa de la pendiente del segmento AD. Considerar A debajo de B. A (40, 20, ¿?) C (70,70, 60) Rpta:

33)

B(36.9282,8.4530,3.9778) zE=-14.0887 orAB=S30º58’E orAF=S89º02’O

2003-1-EXSL-prob1 Hallar las coordenadas del punto B, sabiendo que la pendiente del segmento BC es la inversa de la pendiente del segmento AB y que B está encima de A. A ( 0, 10, 15 ) B ( 60, 45, ¿? ) C ( 110, 90, 30 ) Rpta:

32)

OK

2003-1-EXPJ-prob1, 2007-1-P01I-prob2 Desde una torre vertical que tiene diferentes niveles se ha observado a tres puntos: A, B y C. Al punto A con pendiente descendente de 100%; a B con orientación N40ºE y pendiente descendente de 25º y a C con orientación S65ºE y pendiente descendente de 30%. Hallar las coordenadas de los puntos de observación y las respectivas distancias entre éstos y los puntos observados. A ( 5, 35, 5 ) B ( 45, 60, 20 ) C ( 55, 20, 15 ) Rpta.:

31)

E(1.1957,34.6327,16.5000)

2003-1-EXPI-prob1 Desde un túnel vertical RS de 15 metros de longitud parten dos socavones hacia los puntos A y B. El que pasa por A tiene una orientación N40ºO y una pendiente ascendente de 90%. El que pasa por B tiene una orientación S20ºE y una pendiente descendente de 45%. Completar las coordenadas de los puntos A, B, R y S y hallar las longitudes de los socavones. A ( 14, ¿?, 14 ) B ( 23, ¿?, 12) R ( 20, ¿?, 20 ) S ( 20, 13, ¿? ) Rpta:

30)

C(34.2457,13.3795,19.3333) peDE=35.00%desc

2003-1-P01K-prob2 Se tienen los puntos A, B, C, D, E y F que en su proyección horizontal forman los vértices de un hexágono regular. Se sabe que las pendientes de los segmentos AB, BC, CD, DE, y EF son iguales y descendentes, y que la pendiente del segmento AF es la inversa del la pendiente del segmento AB. Además se sabe que B está a la derecha de A. Determinar las coordenadas de los puntos B, C, D, E y F y las pendientes de los segmentos AB y AF. A ( 30, 20, 10 ) E ( 10, 8, ¿? ) Rpta:

29)

B(40.4260,36.8648,13.6667) peAB=23.33%asc

zA=4.6827

B(66,18,23.1218)

D(44,72,78.4391)

2006-2-P01H-prob2 Completar las coordenadas de los puntos Q y R y determinar la orientación y pendiente del segmento PQ sabiendo que la pendiente de SR es dos veces la pendiente de PQ y tres veces la pendiente de QR.


5/70


P ( 17, 18, 45 ) Rpta:

34)

OK

zQ=68.1736

or=N30º57’50”E

pe=79.48%asc

OK

zB=17.5567

xP=32

yQ=64

zQ=35.7771

OK

2007-2-P01I-prob1 Completar las coordenadas de los puntos C y D si la recta CD tiene orientación N15ºO y está 20 unidades a la derecha de AB. A ( 80, 10, 70 ) B ( 15, 50, 30 ) C ( ¿?, 15, 25 ) D ( ¿?, 65, 75 ) Rpta:

38)

S ( 78, 50, 25 )

2007-2-P01H-prob1 El segmento PQ tiene una pendiente de 50% ascendente y una longitud de 80 unidades. El alejamiento de Q es el doble del apartamiento de P y ambos son positivos. Completar las coordenadas de P y Q. P ( ¿?, 0, 0 ) Q (0, ¿?, ¿? ) Rpta:

37)

R ( 69, 12, ¿? )

zR=137.6976

2007-1-P01H-prob2 Determinar la cota del punto B sabiendo que las pendientes de las rectas AB y BC son ascendentes y tienen valores inversos y que la longitud del segmento AB es menor que la del segmento BC. A ( 5, 35, 5 ) B ( 45, 60, ¿? ) C ( 50, 40, 95 ) Rpta.:

36)

Q ( 28, 45, ¿? )

2006-2-P01J-prob2 Completar las coordenadas del punto Q y determinar la orientación y pendiente del segmento PQ sabiendo que la pendiente de QR es 3 veces la pendiente de PQ, siendo PQ ascendente y QR descendente. P ( 15, 20, 45 ) Q ( 30, 45, ¿? ) R ( 70, 10, -5 ) Rpta:

35)

zQ=87.0687


xC=64.7340

xD=51.3365

2007-2-P01I-prob2 Completar las coordenadas del punto Q y determinar a orientación y pendiente del segmento PQ sabiendo que la pendiente de QR es 7 veces la pendiente de PQ. P ( 15, 20, 45 ) Q ( 30, 45, ¿? ) R ( 70, 10, 5 ) Rpta:

39)

pe=23.56%desc

A(30.8058,45.6004,0)

B(0,30.4003,30)

or=S63º44’O

pe=87.33%asc

2009-1-P01H-prob1 En un instante dado, un avión A y un barco B se cruzan sobre una misma vertical y a una distancia de 3 km. La trayectoria del avión sigue la dirección N45ºE, a una velocidad de 240 km/h y con un ángulo de descenso de 30º. El barco navega en la dirección N60ºO y a la velocidad de 120 km/h. Hallar la distancia entre el avión y el barco un minuto después. Rpta:

41)

or=N30º58’E

2008-1-EXPH-prob1 El punto A está contenido en el plano horizontal principal. El punto B está contenido en el plano principal de perfil. La cota del punto B es de 30 unidades y su alejamiento es media proporcional entre el apartamiento de A y la cota de B. El alejamiento de B es como 2 y el alejamiento de A es como 3. Completar las coordenadas de A y B y determinar la orientación y pendiente del segmento AB si se sabe además que su proyección frontal mide 43 unidades y asciende hacia la izquierda. Nota: Se dice que la longitud de un segmento m es media proporcional con respecto a las longitudes a y b de otros dos segmentos cuando se verifica la siguiente expresión: a m  m b . Rpta:

40)

zQ=38.1311

4.5372km

OK

2009-3-P01G-prob2 La pendiente de la recta ML es 6 veces la pendiente de MN. Completar las coordenadas de M y obtener la orientación y pendiente de LM. L ( 15, 35, 45 ) M ( 45, 25, ¿? ) N ( 60, 30, 30 ) Rpta:

42)

zM=26.1528

or=S71º34’E

pe=59.60%desc

2010-1-P01H-prob2 La pendiente de BA es proporcional a 3 y la pendiente de BC es proporcional a 2. Hallar la cota de B y la orientación y pendiente de AB. A ( 35, 5, 45 ) B ( 65, 25, ¿? ) C ( 85, 15, 15 ) Rpta:

zB=-6.1465


or=N56º19’E

pe=141.85%desc

6/70


43)

2010-2-P01H-prob1 * Una grúa está conformada por una torre vertical de 50 metros de altura, por un brazo recto y giratorio (vertical y horizontalmente) de 30 metros de longitud que nace del extremo superior de la torre y por un cable de longitud variable que cuelga (verticalmente) del extremo del brazo. Se desea usar la grúa para llevar un objeto pesado desde una posición inicial P a una posición final Q. El punto P se encuentra al nivel del suelo que tiene la misma cota que la base de la torre, pero que está 10 metros al sur y 15 metros al oeste de ésta. El punto Q se ubica a 20 metros al sur y 5 metros al este de la torre, pero 40 metros por encima del punto P. Determinar la orientación y pendiente del brazo de la grúa y la longitud de su cable al momento de levantar al objeto de P y de depositarlo en Q, considerando la menor longitud posible del cable. Rpta:

44)


orP=S56º19’O orQ=S14º2’E

peP=133.01%desc peQ=105.72%asc

longP=26.0208m longQ=31.7945m

2011-1-P01H-prob2, 2011-1-EXFI-prob1 Se tiene un avión que vuela con una orientación N40ºE, con una pendiente ascendente de 70% y que pasa por el punto P. Hay un segundo avión que es visto desde un punto T de una torre, con una visual de orientación S60ºE y pendiente ascendente de 50%. El segundo avión vuela con una orientación N40ºO y hace impacto con el primer avión a 300 metros por encima de T. Determinar la pendiente con la que vuela el segundo avión. P ( 15, 20, 20 ) metros T ( 35, 15, 10 ) metros Rpta:

I(281.2977,337.3613,310)

S(1037.4156,-563.7449,588.7449)

pe=23.76%desc

OK

Nivel de Dificultad IV 45)

2003-2-P01H-prob2 Sea el triángulo isósceles PQR donde los lados PQ y QR tienen igual longitud. Completar las coordenadas de los puntos P y R si la pendiente de PQ es la inversa de la pendiente de QR. R está encima de P y debajo de Q. P ( 12, 7, ¿? ) Q ( 6, 7, 8 ) R ( 8, 14, ¿? ) Rpta:

46)

zD=97.4270 or=S23º38’O

ZE=119.2813 pe=25.03%asc

OK

zB=16.2569 zF=398.8409

zD=97.4270 or=S23º38’O

zE=119.2813 pe=25.03%asc

OK

2009-1-EXFH-prob1 Completar las coordenadas que faltan de A, B, C, D y E y la orientación y pendiente de DE, si las rectas AB, BC, CD y DE tienen la misma pendiente. Se conoce que la recta AB tiene una orientación S25ºE, que CD tiene una orientación S70ºE y que M es el punto medio de BC. A ( 20, 30, 15 ) D ( 60, 25, ¿? ) E ( 80, 35, ¿? ) M ( 40, 20, 30 ) Rpta:

49)

zB=16.2569 zF=84.7606

2007-3-P01G-prob2 Completar las coordenadas que faltan y determinar la orientación y pendiente del segmento DE si las pendientes de los segmentos AB, BC, CD y DE están en la relación de 1:2:3:1 respectivamente y si las pendientes de BC y EF tienen valores inversos [pendiente(BC)*pendiente(EF)=1] . A ( 20, 15, 10 ) B ( 40, 30, ¿? ) C ( 25, 75, 40 ) D ( 100, 60, ¿? ) E ( 65, -20, ¿? ) F ( -30, 80, ¿? ) Rpta:

48)

zR=2.0000

2007-2-P01H-prob2, 2007-2-EXSH-prob1, 2008-1-P01H-prob2, 2008-1-P01I-prob2 Completar las coordenadas que faltan y determinar la orientación y pendiente del segmento DE si las pendientes de los segmentos AB, BC, CD, DE y EF están en la relación de 1:2:3:1:-1 respectivamente. A ( 20, 15, 10 ) B ( 40, 30, ¿? ) C ( 25, 75, 40 ) D ( 100, 60, ¿? ) E ( 65, -20, ¿? ) F ( -30, 80, ¿? ) Rpta:

47)

zP=0.7199

B(28.4244,11.9338,23.7833) zE=50.0195

C(51.5756,28.0662,36.2167) or=N63º26’E

zD=40.1669 pe=44.06%asc

2009-1-EXFH-prob2 Los alejamientos de A, B, C y D miden 10, 20, 30 y 50 unidades respectivamente. La proyección frontal de estos puntos forman un cuadrado de 40 unidades de lado (AFBF=BFCF=CFDF=DFAF=40). La proyección de perfil de BD mide 45 unidades (BPDP=45). Determinar las coordenadas de cada punto. Tomar a A y B arriba y a la izquierda de D. A ( 15, 10, 40 ) Rpta:

B(-24.5466,20,33.9944)


C(-18.5410,30,-5.5522)

D(21.0056,50,0.4534)

OK

7/70


50)

2010-1-P01I-prob2 La pendiente de la recta AB es inversa de la pendiente de BC. Determinar la cota de B y la orientación y pendiente de AB. Obtener todas las soluciones posibles. A ( 20, 25, 125 ) B ( 35, 5, ¿? ) C ( 45, 10, 90 ) Rpta:

51)

or1=or2=S36º52’E OK

zB=69.7909

zC=32.9323

zD=99.9788

OK

Q(63.0039,34.9341,50) or(PQ)=S83º17É

zR=77.1235 pe(QR)=173.21%asc

OK

2011-1-P01H-prob1 Trazar en el primer octante (x,y,z positivos) un segmento de recta AB que forma un ángulo de 30º con el plano Horizontal Principal (ángulo de inclinación) y uno de 45º con el plano Frontal Principal. Presentar las coordenadas completas del punto B y la orientación y pendiente de la recta AB. A ( 15, 20, 20 ) B ( ¿?, ¿?, 50 ) Rpta:

54)

zB2=112.6712 pe2=49.32%desc

2010-2-P01I-prob2 Completar las coordenadas de los puntos Q y R y determinar la orientación de PQ y la pendiente de QR si se sabe que el segmento PQ tiene una longitud de 50 unidades, que la orientación de RQ es S50ºO y que la pendiente de PQ es la inversa de la pendiente de QR. Tomar Q a la derecha de P. P ( 20, 40, 25 ) Q ( ¿?, ¿?, 50 ) R ( 75, 45, ¿? ) Rpta:

53)

zB1=102.3288 pe1=90.68%desc

2010-2-P01H-prob2 Completar las coordenadas de los puntos B, C y D si las pendientes de las rectas AB, BC, CD y DE están en la relación de 1, -2, 3 y -4 respectivamente. A ( 15, 20, 30 ) B ( 70, 90, ¿? ) C ( 60, 50, ¿? ) D ( 30, 90, ¿? ) E ( 10, 80, 60 ) Rpta:

52)


B(45,62.4264,50)

or=N35º16’E

pe=57.74%asc

2011-1-P01I-prob1, 2011-1-EXFH prob1 Trazar por el punto A, hacia la derecha y hacia abajo, una recta que forme con el plano Horizontal Principal un ángulo de 15º (ángulo de inclinación) y con el plano Frontal Principal, uno de 30º. Determinar su orientación, su pendiente y las coordenadas de su intersección con el plano Horizontal Principal. A ( 15, 20, 50 ) Rpta:


pe1=26.79%desc pe2=pe1

I1(174.6571,116.5926,0) I2(174.6571,-76.5926,0)

OK

Nivel de Dificultad V 55)

2009-2-P01H-prob2 Determinar el alejamiento de M y la orientación y pendiente de MN. Se sabe que la pendiente de LM es como 2 y la pendiente de MN es como 3. L ( 45, 50, 27 ) M ( 45, ¿?, 20 ) N ( 25, 15, 10 ). Rptas:

56)


zB=56.8193 or=N68º12’E

zC=71.2495 pe=53.59%asc

OK

2009-2-P01I-prob2 PQ y PR hacen un ángulo de 50º y tienen la misma pendiente descendente. PQ mide 30 unidades y tiene orientación N30ºE. PR mide 40 unidades y tiene orientación S40ºE. Determinar las coordenadas de Q y R. P ( 25, 50, 50 ) Rpta:

58)

or1=S61º8’O or2=N1º39’O

2009-2-P01I-prob1 Completar las coordenadas de los puntos B y C y determinar la orientación y pendiente de BC, sabiendo que la pendiente de AC es igual a la inversa de la pendiente de AB y también igual al doble de la pendiente de BC. Considerar B encima de A y C encima de A. A ( 30, 40, 40 ) B ( 20, 55, ¿? ) C ( 45, 65, ¿? ) Rpta:

57)

yM1=26.0221 yM2=-678.9489

Q(32.7388,63.4040,24.3009)

R(38.2651,34.1912,15.7346)

OK

2009-2-EXSI-prob1 PQ y PR hacen un ángulo de 50º y tienen la misma pendiente descendente. PQ mide 30 unidades y tiene orientación N30ºE. PR mide 40 unidades y tiene orientación S50ºE. Determinar las coordenadas de Q y R. P ( 20, 55, 40 ) Rpta:

Q(28.2753,69.3333,14.9785)


R(36.9047,40.8152,6.6380)

OK 8/70


59)


2010-2-P01I-prob1 * Los segmentos de recta AB y CD se cruzan de tal manera que, al proyectarse sobre el plano Horizontal, se cortan en sus puntos medios, y que, al proyectarse sobre el plano Frontal, se cortan en un punto I que divide a cada uno en dos segmentos cuya relación es de 3 a 1. Determinar las coordenadas de C y D y la orientación y pendiente de CD si se sabe que es frontal y que está 40 unidades a la derecha de AB. Tomar que el punto I está más cercano a BF que a AF y más cercano a DF que a CF. A ( 20, 30, 80 ) B ( 50, 60, 30 ) Rpta:

C(20,45,33.8462) or=Este


D(50,45,45.3846) pe=38.46%asc

OK

9/70


Capítulo 2: PLANOS E INTERSECCIONES

Capítulo 2: PLANOS E INTERSECCIONES Nivel de Dificultad I 60)

2003-1-P01L-prob2 Hallar las coordenadas de intersección de la recta RW con los planos MNP y STU. M ( 45, -15, 45 ) N ( 5, 35, 45 ) P ( 55, -15, 5 ) R ( 57, -53, 23 ) S ( 35, -15, 45 ) T ( 5, 85, 45 ) U ( 55, 65, 5 ) W ( 7, 99, 44 )

61)

2003-1-P02I-prob1 Hallar la coordenada del punto de intersección del plano ABC con la recta PQ. A ( 14, 6, 9 ) B ( 17, 36, 14 ) C ( 5, 36, 19 ) P ( 11, 32, 9 ) Q ( 8, 12, 21 ) Rpta:

62)

2003-1-P02I-prob2 Una paloma levanta vuelo desde el punto P en la dirección S45ºE y con una pendiente ascendente de 150%. Hallar la ubicación (coordenadas) de la paloma cuando ésta aparece ante los ojos de un observador que se encuentra el punto O sabiendo que entre la paloma y el observador existe un muro de 5 metros de altura (A es un punto que pertenece al borde superior del muro) y de una orientación N30ºE. Asumir que el suelo es horizontal en z=0 (plano XY). A ( 11, 3, 5 ) O ( 20, 7, 2 ) P ( 6, 10, 0) Rpta:

63)

(9.6592,23.0615,14.3631)

(9.2009,6.7991,6.7902)

OK

2003-1-P02J-prob1 Hallar las coordenadas del punto de intersección del plano ABC con la recta PQ. A ( 34, 32, 18 ) B ( 28, 22, 78 ) C ( 10, 42, 18 ) P ( 25, 10, 6 ) Q ( 16, 46, 66 ) Rpta:

(19.3184,32.7263,43.8771)

64)

2003-1-P02K-prob2 La base de una antena de frecuencia modulada (transmisora) de 34 metros de altura se encuentra en A y la base de la receptora en B. La máxima altura de obstrucción es CD. ¿Cuál será la altura mínima de la antena receptora para recibir una señal en línea recta desde la transmisora, estando B 9 metros debajo de A? A ( 5, 32, 10 )m B ( 35, 16, ¿? )m C ( 27, 39, 34 )m D ( 65, 7, 59 )m

65)

2003-1-P03K-prob1 La incidencia de los rayos solares sobre un obstáculo produce una sombra en el suelo horizontal (plano XY). Hallar la orientación del límite entre la luz y la sombra en el suelo sabiendo que el segmento MN es el borde superior del obstáculo y que la orientación y la pendiente de los rayos solares son S50ºE y 90% descendente respectivamente. M ( 10, 5, 8 ) N ( 6, 10, 4 )

66)

2011-1-P02H-prob1 Trazar por el punto C la horizontal del plano dado por la recta AB y el punto C. Obtener las coordenadas del punto de intersección de dicha horizontal con la recta AB y también la orientación y pendiente del plano. A ( 35, 25, 30 ) B ( 35, 5, 5 ) C ( 5, 10, 15 ) Rpta:

I(35, 13,15)

or=N84º17’E

pe=125.62%SE

Nivel de Dificultad II 67)

2003-1-P02L-prob1, 2006-2-P02J-prob1 Sobre los puntos A, B y C se han efectuado 3 perforaciones verticales hasta llegar al nivel del agua subterránea alcanzando profundidades de 40, 70 y 20 metros respectivamente. Con el fin de determinar la velocidad del agua del subsuelo se perfora un cuarto pozo vertical D desde el cual se inyecta una sustancia química. Hallar la posición del pozo E donde debe detectarse dicha sustancia después de que recorra 30 metros e indicar su profundidad. A ( 20, 20, -40 ) B ( 30, 35, -70 ) C ( 45, 10, -20 ) D ( 45, 30, ¿? )


10/70

Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II Ciclo 2013-2 Rpta:

68)

E(45,43.4164,-86.8328)

prof=86.8328m

OK

2003-1-P03I-prob1 Una esfera se suelta desde el punto A y resbala sobre dos planos P y Q siguiendo la trayectoria AB y BC (AB Є plano P y BC Є plano Q). Determinar las orientaciones de los planos P y Q. A ( 5, 8, 13 ) B ( 13, 12, 10 ) C ( 19, 5, 5 ) Rpta:

69)

zD=-60


orP=N26º33’54”O

orQ=N49º23’55”E

OK

2003-1-P04J-prob2 Determinar las coordenadas del punto C sabiendo que el plano ABC tiene una orientación de N80ºO. Se sabe también que C equidista de A y B y que a su vez equidista de los planos XY y XZ. A ( 2, 6, 4 ) B ( 7, 9, 1 ) Rpta:

C(7.5,4.4491,4.4491)

OK

70)

2003-1-EXPL-prob1 Determinar el menor ángulo vertical θ que debe hacer un ángulo de teodolito situado en B para ver una recta vertical (estadía) que tiene su pie en el punto C; entre B y C, la máxima altura de obstrucción es EG. B ( 2, 0.5, 1 ) C ( 7.5, 2, 0.5 ) E ( 3, 2, 1.5 ) G ( 7, 0.5, 1 )

71)

2006-2-P02H-prob1 Un plano tiene una orientación N75ºO y una pendiente 55%NE. Su borde inferior es una recta horizontal que pasa por el punto P. ¿En qué punto del plano se debe colocar una esfera para que, al resbalar por su superficie una longitud de 50 unidades, llegue al borde y caiga sobre el punto M? M ( 35, 60, 0 ) P ( 25, 45, 20 ) Rpta:

72)

yM2=2.3726 yN2=-48.7159

OK

zP=15 S(52.0174,-3.6139,38.6139)

Q(21.0438,7.3551,27.6449) T(60.9736,9.0310,25.9690)

R(32.0525,-4.4519,39.4519) U(49.9649,20.8379,14.1621)

OK

zp=-4.2760 (6.8519)

zQ=63.1591 (53.2407)

(revisar)

2007-3-EXPH-prob2 La pendiente de la recta PQ es 55%. Hallar la orientación y pendiente de la recta QR si se sabe que el alejamiento y el apartamiento del punto Q están en la relación de 1 a 3. Tomar Q a la izquierda de P. P ( 105, 30, 40 ) Q ( ¿?, ¿?, 25 ) R ( 10, 35, 20 ) Rpta:

77)

yM1=47.6274 yN1=98.7159

2007-1-P02I-prob1 Las rectas PQ y RS pertenecen a un mismo plano. La recta RS es una de las que hace el mayor ángulo con el plano frontal principal de entre todas las rectas del plano. Completar las coordenadas de P y Q. P ( 5, 30, ¿? ) Q ( 65, 15, ¿? ) R ( 15, 50, 50 ) S ( 50, 5, 20 ) Rpta.:

76)

OK

2007-1-P02H-prob1 MN es un segmento de recta contenido en un plano ortoperfil que a su vez contiene un hexágono regular y P es uno de los vértices de dicho hexágono cuyos lados miden 20 unidades. Determinar las coordenadas de los vértices del hexágono sabiendo que el centro de la circunferencia en que está inscrito está contenido en el segmento MN. M ( 20, 25, 10 ) P ( 30, 20, ¿? ) N ( 45, 5, 30 ) Rpta.:

75)

(50.8876,16.3491,37.8885)

2006-2-EXPJ-prob1 Determinar las coordenadas que faltan de los vértices del triángulo LMN si se sabe que LM es la recta de máxima pendiente del plano que lo contiene cuyo valor es 50%. L ( 43, 25, 9 ) M ( 15, ¿?, 27 ) N ( 10, ¿?, 45 ) Rpta:

74)

OK

2006-2-EXFH-prob1 Un plano tiene una orientación N70ºE y una pendiente 50%NO. Su borde inferior es una recta horizontal que pasa por el punto O. ¿En qué punto del plano se debe colocar una esfera para que, al resbalar por su superficie una longitud de 40 unidades, llegue al borde y caiga sobre el punto M? M ( 35, 60, 0 ) O ( 25, 45, 20 ) Rpta:

73)

(19.2411,1.1868,44.0959)

Q(78.0212,26.0071,25)

or=N82º28’0

pe=7.29%desc

2008-1-P02H-prob1 Completar las coordenadas del plano MNP sabiendo que tiene una orientación N55ºE y una inclinación 55ºNO. Además indicar el ángulo que hace con el plano frontal y el plano de perfil. M ( 22, 18, 20 ) N ( 13, 30, ¿? ) P ( 30, 34, ¿? ) Rpta:

zN=-1.4108 angF=47º51’


zP=7.8353 angP=61º59’ 11/70


78)

2008-1-P02H-prob2 AB es recta de máxima pendiente del plano ABC. Determinar las coordenadas de C y la orientación y pendiente del plano ABC sabiendo que la altura trazada de C a AB mide 20 unidades y que el ángulo ACB es 70º. Tomar C atrás de B. A ( 16, 33, 8 ) B ( 53, 57, 35 ) Rpta:

79)

zc=17

or=N71º34’O

pe=126.49%NE

zA=23.3330 yM=26

zB=-25.5546

zC = 27.3509 ó 79.0735

or = N7º58’O ó S7º58’E

pe = 47.56%desc ó 47.56%asc

yX=14.2265

or1=S13º3’O or2=S76º57’O

X1(55.6627,56.2906,28.0466) X2(41.2906,70.6627,28.0466)

zP=68.4064

zQ=5.1608

pe=181.63%NE

2010-2-EXPI-prob1 Se dan las rectas PQ y RS. Hallar una recta TU que tenga una orientación N40ºE y una pendiente descendente de 60% de tal manera que los extremos T y U estén sobre las rectas PQ y RS. Obtener las coordenadas de T y de U. P ( 25, 45, 5 ) Q ( 55, 25, 25 ) R ( 15, 10, 40 ) S ( 45, 20, 25 ) Rpta:

87)

yD=21.1325 angP=69º18’

2010-2-EXPH-prob1 Completar las coordenadas de los vértices del triángulo PQR y obtener la pendiente del plano que lo contiene sabiendo que su orientación es S60ºE y que PQ tiene una longitud de 75 unidades. Tomar P encima de Q. P ( 15, 25, ¿? ) Q ( 50, 45, ¿? ) R ( 25, 50, 20 ) Rpta:

86)

yC=24.0192 angF=52º14’

2010-2-P02I-prob1 Dibujar una recta BX de 30 unidades de longitud, que tenga 120% de pendiente ascendente y esté contenida en el plano ABC. Obtener su orientación y las coordenadas del punto X. Dar todas las soluciones. A ( 45, 65, 30 ) B ( 60, 75, 5 ) C ( 75, 45, 20 ) Rpta:

85)

yB=52.8868 angH=45º0’

2010-1-P02I-prob1 Los puntos X e Y pertenecen a un estrato plano que tiene un rumbo de N60ºO (orientación) y un buzamiento de 45ºSO (pendiente). Completar las coordenadas de X. X ( 25, ¿?, 10 ) Y ( 45, 20, 25 ) Rpta:

84)

OK

2009-2-EXPH-prob1 LM es recta de máxima pendiente de un plano “R” que tiene una pendiente de 40°NO. PQ es recta de máxima pendiente de un plano “T” que tiene una pendiente de 30°NE. Se sabe que el punto N pertenece a los planos “R” y “T”. Hallar la orientación y pendiente de la intersección de los planos “R” y “T”. L ( 30, 30, ¿? ) M ( 50, 20, ¿? ) N ( 55, 28, 75 ) P ( 80, 25, ¿? ) Q ( 90, 45, ¿? ) Rpta:

83)

pe=61.22%SO

2009-2-P02I-prob1 Completar las coordenadas de los vértices del triángulo isósceles ABC (BA = BC = 60 unidades). Se sabe que el punto M pertenece a AB, que B está debajo de A y que C está encima de B. A ( 23, 17, ¿? ) B ( 34, 50, ¿? ) C ( 10, 35, ¿? ) M ( 26, ¿?, 10 ) Rpta:

82)

or=N32º58’O

2009-1-EXPH-prob1 Los planos AQR y BQR se intersecan con el plano ABC según dos rectas paralelas. Completar las coordenadas del punto C y hallar la orientación y pendiente del plano ABC. A ( 50, 30, 5 ) B ( 25, 30, 15 ) C ( 35, 25, ¿? ) Q ( 30, 45, 15 ) R ( 55, 20, 35 ) Rpta:

81)

C(41.7870,73.5657,34.7598)

2008-1-P02I-prob1, 2008-1-EXSI-prob1 ABCD es un plano que tiene orientación S60ºE y una inclinación de 100%SO. Completar las coordenadas de ABCD. Además indicar el ángulo que hace con los planos principales de proyección. A ( 40, 50, 75 ) B ( 65, ¿?, 90 ) C ( 65, ¿?, 65 ) D ( 40, ¿?, 50 ) Rpta:

80)


T(33.9476,16.3159,30.5262)

U(46.1725,30.8850,19.1150)

2011-1-P02I-prob2 Determinar las coordenadas del vértice V de un tetraedro PQRV si se sabe que los puntos L, M y N pertenecen a los planos de las caras PQV, QRV y PRV respectivamente.


12/70


L ( 75, 45, 25 ) P ( 35, 20, 60 ) Rpta:

M ( 40, 35, 15 ) Q ( 60, 5, 80 )


N ( 70, 10, 15 ) R ( 80, 45, 40 )

V(63.4821,31.7857,43.3036)

Nivel de Dificultad III 88)

2003-1-P03J-prob2 M, N y P son los puntos medios de los segmentos AB, BC y AC respectivamente. El ángulo MNP es de 60º y el plano ABC es ortoperfil. Determinar las coordenadas de los puntos A, B y C, sabiendo que el punto P está al sur de la recta MN y dista 18 unidades de éste. M ( 5, 5, 19 ) N ( 23, 13, 5 ) Rpta:

89)

zB=12.4111

C(13.4205,5.1151,11.6452)

OK

C1(5.9874,5.9874,3.4664)

C2(711.8955, -711.8955,462.0970)

OK

zB=32.4808

zC=5.4904

(17.7404,13.7658,28.8493)

OK

zP=21.8182

or1=N58º05’07”E

or2=N49º54’51”O

OK

(67.7998,46.1843,0)

zE=57.6070

zM=13.1321

OK

2006-1-EXFJ-prob1 PQ es la recta descendente de máxima pendiente del triángulo PQR. El ángulo en P es 35º, el ángulo en Q es 70º y la longitud de PQ es 50 unidades. Determinar las coordenadas del punto R si éste punto tiene igual cota y alejamiento y está delante de Q. P ( 20, 35, ¿? ) Q ( 35, 15, ¿? ) Rpta:

96)

OK

2006-1-P02H-prob1 Una esfera pequeña parte de un punto M contenido en el plano limitado por el triángulo ABC, rueda sobre este y cae verticalmente al plano normal limitado por el triángulo DEF; rueda también sobre este y cae verticalmente al suelo (z=0). Obtener la posición final de la esfera. A (25, 10, 45) B (55, 50, 20) C (83, 25, 65) D (30, 45, 20) E (58, 65, ¿?) F (83, 17, 7) M (66, 22, ¿?) Rpta:

95)

B2(32.5130,17.4535,8.2111)

2003-1-P06J-prob1 Determinar la orientación de un segmento PQ de 75% de pendiente descendente que esté contenido en el plano LMN. L ( 25 , 30, 15 ) M ( 10, 35, 10 ) N ( 30, 10, 40) P ( 20, 25, ¿? ) Rpta:

94)

B1(29.7118,16.4339,8.2111)

2003-1-P04J-prob1 Dado el plano limitado por el triángulo ABC cuya orientación es N60ºO y cuya pendiente es 100% NE. ¿En qué punto del plano ABC se debe colocar una esfera para que al resbalar por dicho plano una longitud de 30 unidades llegue al borde del plano, y luego de caer llegue al punto M?. Además, complete las coordenadas de los puntos B y C. A ( 10, 40, 10 ) B ( 17, 10, ¿? ) C ( 45, 25, ¿? ) M ( 30, 35, 0 ) Rpta:

93)

OK

2003-1-P04I-prob2 Determinar las coordenadas del punto C sabiendo que el plano ABC tiene una orientación de N80ºO. Se sabe también que C equidista de A y B y que a su vez equidista de los planos XZ y YZ. A ( 2, 6, 4 ) B ( 7, 9, 1 ) Rpta:

92)

C(45.2696,10.9079,8.6612)

2003-1-P04I-prob1 Completar las coordenadas de los vértices del triángulo ABC. Se sabe que AB es la recta de máxima pendiente del plano que contiene a dicho triángulo, que el ángulo en B es 70º y que el ángulo en A es 30º. Además la altura trazada de C al lado AB mide 2.5 unidades (tomar B encima de A, y C al este de B) A ( 10, 5, 8 ) B ( 12, 3, ¿? ) Rpta:

91)

B(0.7304,15.0921,1.3388)

2003-1-P03K-prob2 Completar las coordenadas de los extremos del segmento AB de 4 unidades de longitud, cuya pendiente es 50% descendente y que está contenido en un plano de orientación N70ºE y pendiente 55% SE A ( 30, 20, 10 ) Rpta:

90)

A(9.2696,-5.0921,36.6612)

zP=36.8289

zQ=-6.4723

R(9.6336,2.3219,2.3219)

OK

2006-2-P02H-prob2 El punto I es la intersección de las diagonales de un rectángulo ABCD cuyos lados están en la relación de 1 a 2. El plano del rectángulo tiene orientación S65ºO y una pendiente de 45%NO. Determinar las coordenadas de sus vértices si se sabe que el lado menor está contenido en el plano principal de perfil. El punto A está al sur del punto B y al oeste del punto D. I ( 35, 25, 25 )


13/70


97)

OK

P(30,29.5774,15.4226) (42.1175,3.2067,41.7933)

(10.3935,19.5047,25.4953) (49.6065,19.5047,25.4953)

(17.8825,3.2067,41.7933) OK

2007-1-P02H-prob2 El triángulo ABC tiene orientación S40ºE. Completar las coordenadas de B y C y determinar la pendiente del plano si el lado BC está contenido en un plano normal que pasa por el origen de coordenadas. A ( 15, 45, 20 ) B ( 30, 15, ¿? ) C ( 35, 35, ¿? ) Rpta.:

99)

B(0,39.1260,12.5826) D(70,10.8740,37.4174)

2006-2-P02J-prob2 P es un vértice de un pentágono regular contenido en un plano ortoperfil e inscrito en una circunferencia cuyo diámetro es QR. Obtener las coordenadas de sus vértices sabiendo que P está más abajo que R y 15 unidades a la derecha de Q. Q ( 15, 25, 20 ) R ( 45, 5, 40 ) Rpta.:

98)

A(0,6.2190,26.0034) C(70,43.7810,23.9966)


zB=18.5556

zC=21.6482

pe(ABC)=18.53%SO

OK

2007-1-P02I-prob2 El triángulo ABC es recto en A e isósceles. Completar las coordenadas del triángulo ABC y determinar su orientación y pendiente considerando que su proyección horizontal se ve como un triángulo equilátero y que C está a la derecha y abajo de B. A ( 23, 23, 10 ) B ( 40, 40, ¿? ) Rpta.:

zB=27 or(ABC)=N75ºE

C(46.2224,16.7776,-7) pe(ABC)=141.42%SE

100) 2007-2-P02H-prob1 Sea el triángulo LMN, determinar las coordenadas de un hexágono regular que está inscrito en la circunferencia inscrita en el triángulo, sabiendo que dos de sus lados son frontales. L ( 11, 27, 18 ) M ( 25, 55, 4 ) N ( 40, 13, 33 ) Rpta:

(26.9572,23.9137,23.4321) (19.2973,38.4526,12.8451)

(17.4158,23.9137,21.3118) (28.8387,38.4526,14.9654)

(13.5858,31.1831,16.0183) (32.6687,31.1831,20.2589)

OK

101) 2007-2-P02I-prob1 Dado el plano limitado por el triángulo ABC cuya orientación es S60ºE y cuya pendiente es 40ºNE. ¿En qué punto del plano ABC se debe colocar una esfera para que al resbalar por dicho plano una longitud de 30 unidades llegue al borde del plano y, luego de caer verticalmente, llegue al punto M? Completar además las coordenadas de los puntos B, C y M. A ( 7, 41, 16 ) B ( 14, 12, ¿? ) C ( 43, 26, ¿? ) M ( 26, ¿?, 5 ) Rpta:

zB=34.1369 I(14.5093,13.1809,33.0651)

zC=11.7964

yM=33.0833

102) 2007-2-P02I-prob2, 2007-2-EXSI-prob1 Las rectas PQ y RS pertenecen a un mismo plano. La recta PQ es de máxima pendiente en dicho plano. Completar las coordenadas de los puntos P y Q y obtener la orientación y pendiente del plano, sabiendo que P está delante de Q. P ( 35, ¿?, 45 ) Q ( 55, ¿?, 15 ) R ( 25, 15, 45 ) S ( 75, 35, 25 ) Rpta:

yP=11.1090 or=N68º44’O ó S68º44’E

yQ=62.5095 pe=54.39%NE

OK

103) 2007-3-P02G-prob1 Completar las coordenadas de los vértices del triángulo PQR y obtener la orientación y pendiente del plano que lo contiene. Se sabe que PQ es recta de máxima pendiente, que el ángulo en Q es 70º y que el ángulo en P es 30º. Además, la altura trazada de R al lado PQ mide 25 unidades. Tomar Q encima de P y R a la derecha de Q. P ( 10, 50, 5 ) Q ( 25, 30, ¿? ) Rpta:

zQ=51.0523 or=N53º08’E

R(42.3953,48.4730,43.0554) pe=184.21%NO

OK

104) 2007-3-P02G-prob2, 2007-3-P02H-prob2 LM es recta de máxima pendiente de un plano que contiene a un pentágono regular. El pentágono está inscrito en una circunferencia cuyo diámetro es LM. Hallar las coordenadas de los vértices del pentágono, sabiendo que su lado delantero es frontal. L ( 25, 40, 50 ) M ( 45, 10, 85 ) Rpta:

(42.4178,8.4353,84.8734) (41.9033,45.4751,54.6796)


(16.4124,8.4353,70.8705) (58.1721,31.3272,74.8669)

(16.0944,31.3272,52.2097) OK

14/70



105) 2008-1-P03I-prob2 Los planos AQR y BQR se intersecan con el plano ABC según dos rectas paralelas. Completar las coordenadas del punto C. A ( 50, 25, 35 ) B ( 25, 30, 25 ) C ( 35, 20, ¿? ) Q ( 30, 45, 25 ) R ( 55, 20, 10 ) Rpta:

zC=19

106) 2009-1-P02H-prob1 Completar las coordenadas de los vértices del triángulo rectángulo ABC, sabiendo que es recto en A e isósceles y que su proyección horizontal es un triángulo equilátero. Determinar también la orientación y pendiente del plano que lo contiene. Toma C delante y abajo de A. A ( 33, 46, 30 ) B ( 65, 73, ¿? ) Rpta:

zB=59.6057 or=N79º51’E

C(72.3827,73,59.6057) pe=100%SE

107) 2009-1-EXPH-prob2 Determinar las coordenadas de los vértices del rectángulo ABCD. La recta LM se corta con la diagonal AC en el punto O. El punto D pertenece a la recta LM y está más cerca a L que a M. Se sabe que AC es ascendente y mide 50 unidades y que los lados AB y BC están en la relación de 3 a 2, respectivamente. A ( 25, 35, ¿? ) C ( 50, 50, ¿? ) L ( 10, 55, ¿? ) M ( 45, 40, ¿? ) O ( ¿?, ¿?, 45 ) Rpta:

zA=23.5616 D(14.8437,52.9241,42.1305)

B(60.1563,32.0758,45.6128) O(38.1944,42.9167,45)

zC=64.1818

108) 2009-1-EXPI-prob1 O es el centro de gravedad de un triángulo equilátero de lado igual a 40 unidades, que es la base de una pirámide regular de 50 unidades de altura. El lado izquierdo tiene una orientación N50ºE. La base está contenida en un plano de orientación S60ºE e inclinación 20ºSO. Hallar las coordenadas de los vértices de la pirámide y la orientación y pendiente de su altura, sabiendo que es descendente desde O. O ( 20, 35, 40 ) Rpta:

(-2.2026,31.3398,34.8057) (28.5505,49.8099,-6.9846)

(26.7903,55.6678,47.7504) or=N30ºE

(35.4123,17.9924,37.4439) pe=274.75%desc

109) 2009-2-P02H-prob1 Una bolita resbala en el plano PQR partiendo del punto O de dicho plano. Después de haber recorrido 45 unidades, llega al borde y cae verticalmente 10 unidades llegando al punto M del piso. Determinar las coordenadas de los puntos O, P y Q y también la orientación y pendiente del plano PQR, sabiendo que PN es una horizontal del plano PQR. M ( 35, ¿?, 0 ) N ( 42, 3, ¿? ) O ( 22, 20, ¿? ) P ( 10, 15, ¿? ) Q ( 30, 18, ¿? ) Rpta:

zO=35.5778 or=N69º27’O

zP=41.7229 pe=69.08%NE

zQ=34.9309 OK

110) 2009-2-EXPI-prob1 Completar las coordenadas del plano ABC sabiendo que M pertenece a dicho plano. El plano ABC tiene orientación S70°E y AB mide 40 unidades. Obtener todas las soluciones posibles. A ( 18, ¿?, 15 ) B ( 37, ¿?, 5 ) C ( 40, 15, ¿? ) M ( 23, 30, 8 ) Rptas:

yA1=50.6034 yA2=3.3547

yB1=16.8543 yB2=37.1038

zC1=4.7159 zC2=10.1671

111) 2009-3-P02G-prob1 En el punto O, contenido en el plano ABC, se deja caer una billa metálica que, por efectos de la inclinación del plano, resbala sobre él hasta el borde hasta P. Luego cae verticalmente, encontrando, en Q, un segundo plano de la misma pendiente, sobre el cual resbala hasta llegar finalmente al punto R. Obtener la orientación y pendiente de ambos planos y determinar la longitud total del recorrido OPQR. Considerar que O está 15 unidades detrás y 10 unidades debajo de B. A ( 45, 70, 25 ) B ( 60, 45, 35 ) C ( 75, 60, 15 ) R ( 70, 65, 5 ) Rpta:

orABC=N52º8’O or“QR”=N3º4’O

peABC=pe“QR”=95.01%NE long=26.1705u

112) 2010-1-P02H-prob1, 2010-1-EXSH-prob1 Completar las coordenadas del triángulo PQR sabiendo que tiene pendiente 75%SO y que QR determina su orientación. P ( 20, 30, 5 ) Q ( 50, 40, ¿? ) R ( 65, 10, ¿? ) Rpta:

zQ=zR=28.4787


ok

15/70



113) 2010-1-EXPH-prob1 Una billa recorre la trayectoria E-F-G-H-I. La billa parte del punto E de un plano Q y resbala sobre los planos Q, R y S pasando por el punto F de la intersección de los planos Q y R, luego por el punto G de la intersección de los planos R y S y finalmente llega al punto H ubicado en el borde del plano S, desde donde cae verticalmente hasta el punto I. Las orientaciones de los planos Q, R y S son N60ºE, S30ºE y N45ºE, respectivamente. La pendiente de Q es 100%SE, R se inclina hacia el NE y tiene la mitad de la pendiente de S. Sabiendo que EF mide 30 unidades y que la caída vertical HI mide 10 unidades, Obtener las coordenadas de los puntos F, G y H y hallar las pendientes de R y S. E ( 10, 65, 40 ) I ( 55, 50, 5 ) Rpta:

F(20.6066,46.6288,18.7868) peR=6.62%NE

G(44.5484,60.4516,16.9568) peS=13.24%SE

H(55,50,15)

114) 2010-2-P02H-prob1 Trazar hacia la derecha el segmento de recta JK de 50 unidades de longitud que tenga 80% de pendiente descendente y que se corte con AB. Obtener su orientación y las coordenadas del punto K. A ( 45, 55, 10 ) B ( 75, 70, 30 ) J ( 60, 80, 40 ) Rpta:

K(85.6164,50.5349,8.7652)

or=S41ºE

115) 2010-2-P02I-prob2 PQ es recta de máxima pendiente del plano PQR. Hallar las coordenadas del punto R sabiendo que el ángulo en R mide 50º y que el punto R está 15 unidades a la derecha del punto P y que está delante de él. P ( 35, 70, 30 ) Q ( 55, 85, 15 ) Rpta:

R(50,50.3314,29.8807)

116) 2011-1-P02I-prob1 En el plano dado por las rectas que se cortan AB y CD, trazar una recta frontal KL. Completar las coordenadas de los puntos D y K y obtener la orientación y pendiente del plano ABCD y de la recta KL, sabiendo que K es la intersección entre AB y CD y que KL va hacia la derecha. A ( 5, 30, 15 ) B ( 30, 20, 10 ) C ( 5, 15, 0 ) D ( 30, 30, ¿? ) Rpta:

zD=20 K(20,24,12)

orABCD=N78º41’O peABCD=101.98%SO

orKL=Este peKL=20%asc

Nivel de Dificultad IV 117) 2006-1-P02H-prob2, 2010-1-EXSI-prob1 Dados los puntos Q y R de un plano PQR, determinar la orientación y pendiente de dicho plano eligiendo un punto P tal que diste 40 unidades del origen de coordenadas, que el segmento PQ sea horizontal y que el plano PQR tenga la menor pendiente posible. P ( ¿?, ¿?, ¿? ) Q ( 25, 45, 25 ) R ( 20, 15, 80 ) Rpta:

P(-12.5027,28.6126,25)

or=N66º23’47”E

pe=215.79%NO

OK

118) 2006-1-P02J-prob1 El segmento AB es de perfil, mide 70 unidades y tiene una pendiente de 150% descendente hacia el norte. La distancia del punto C al origen de coordenadas es de 30 unidades. Completar las coordenadas de los vértices del triángulo ABC de tal forma que la recta de orientación del plano que lo contiene forme el menor ángulo posible con el meridiano (Norte-Sur). A ( 60, 0, 80 ) B ( ¿?, ¿?, ¿? ) C ( ¿?, ¿?, 0 ) Rpta:

B(60,38.8290,21.7565)

C(26.8662,-13.3495,0)

OK

119) 2006-1-EXPH-prob1 * Determinar la orientación del plano ABC si se sabe que la relación entre las longitudes de los segmentos ascendentes AB y CA es la misma que la relación entre sus proyecciones horizontales (|AB|/|CA|=|AHBH|/|CHAH|). A ( 15, 25, 20 ) B ( 35, 55, ¿? ) C ( 65, 5, ¿? ) Rpta:

or=N72º44’45”E

OK

120) 2006-1-EXPJ-prob1 * Determinar la orientación del plano ABC si se sabe que la relación entre las longitudes de los segmentos ascendentes AB y AC es la misma que la relación entre sus proyecciones horizontales (|AB|/|AC|=|AHBH|/|AHCH|). A ( 15, 25, 20 ) B ( 35, 55, ¿? ) C ( 65, 5, ¿? ) Rpta:

or=N17º15’15”O


OK

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121) 2006-2-EXPH-prob1 Del punto I que pertenece a la recta AB del plano ABC parte una bolita y resbala sobre dicho plano hasta cortar con la recta horizontal que pasa por A después de haber recorrido 20 unidades. Completar las coordenadas de los vértices del triángulo ABC sabiendo que tiene una inclinación de 50%NO. A ( 40, 30, 10 ) B ( 70, 5, ¿? ) C ( 65, 35, ¿? ) I ( 60, ¿?, ¿? ) Rpta:

I(60,13.3333,18.9443)

ZB=23.4164

ZC=8.2891

OK

122) 2007-1-EXSH-prob2 LM (ascendente) es recta de máxima pendiente del plano que contiene al triángulo LMN. El ángulo en L es 30º y el ángulo en M es 50º. Se sabe que el punto N está contenido en la recta RS. Completar las coordenadas de los vértices del triángulo y obtener la orientación y pendiente del plano que lo contiene. L ( 35, 20, 20 ) M ( 65, 25, ¿? ) R ( 30, 25, ¿? ) S ( 60, 40, ¿? ) Rpta.:

zM=35.7598 pe=51.82%SO

N(53.0192,36.5096,30.6166) or = N9º28’O ó S9º28’E

OK

123) 2007-2-P02H-prob2 Las rectas AB y CD pertenecen a un mismo plano. La recta CD es aquella que hace el mayor ángulo posible con el plano frontal. Completar las coordenadas de los puntos C y D sabiendo que D está encima de C. A ( 55, 30, 25 ) B ( 110, 15, 25 ) C ( 70, 50, ¿? ) D ( 100, 10, ¿? ) Rpta:

zC=-19.7932

zD=39.3676

124) 2007-2-EXPI-prob2 LM (descendente) es recta de máxima pendiente del plano que contiene al triángulo LMN. El ángulo NLM es 30º y el ángulo en LMN es 50º. Se sabe que el punto N está contenido en la recta RS. Completar las coordenadas de los vértices del triángulo y obtener la orientación y pendiente del plano que lo contiene. L ( 35, 20, 20 ) M ( 65, 25, ¿? ) R ( 30, 25, ¿? ) S ( 60, 40, ¿? ) Rpta:

zM=4.2402 or=N9º28’O

N(53.0192,36.5096,9.3834) pe=51.82%NE

OK

125) 2008-1-P02I-prob2 Completar las coordenadas de R y obtener la orientación y pendiente del plano PQR, sabiendo que el ángulo en R es 60º y que PQ es horizontal. Tomar R debajo de P. P ( 7, 31, 35 ) Q ( 41, 25, 35 ) R ( 36, 33, ¿? ) Rpta:

zR=9.3154

or=N80ºO

pe=366.43%NE

126) 2009-2-EXPH-prob2 Completar las coordenadas de los vértices del triángulo ABC recto en C y determinar la pendiente del plano que lo contiene. El plano ABC tiene orientación S80°E. C está debajo de B. A ( 50, 20, 40 ) B ( 65, 10, ¿? ) C ( 75, 15, ¿? ) Rpta:

zB=95.1448

zC=44.4372

pe=761.32%NE

OK

127) 2009-3-P02G-prob2 Completar las coordenadas del cuadrilátero ABED y determinar la orientación y pendiente del plano que lo contiene, sabiendo que los ángulos AEB y BDE son iguales. Tomar BE ascendente. A ( 50, 30, ¿? ) B ( 75, 35, 45 ) D ( 40, 15, 30 ) E ( 65, 10, ¿? ) Rpta:

zA=23.3605 or=N46º54’E

zE=63.4052 pe=161.13%NO

OK

128) 2009-3-EXFG-prob2 Completar las coordenadas de los vértices del triángulo PQR y determinar la orientación y pendiente del plano que lo contiene si se sabe que PR desciende y es recta de máxima pendiente y que el ángulo en P (ángulo RPQ) mide 120º. P ( 35, 40, 30 ) Q ( 20, 45, ¿? ) R ( 50, 55, ¿? ) Rpta:

zQ=34.0825 or=N45ºO

zR=17.7526 pe=57.74%NE

OK

129) 2010-2-P02H-prob2 Las rectas AB y CD se cortan en el punto X. Si el ángulo AXC es de 40º y el plano formado por las dos rectas tiene orientación S30ºE, completar las coordenadas que faltan y obtener la pendiente del plano. Tomar B debajo de A. A ( 30, 40, ¿? ) B ( 40, 60, ¿? ) C ( 25, 65, 50 ) D ( 45, 55, ¿? ) Rpta:

zA=72.5249 pe=275.71%NE


zB=21.0773

zD=16.0315 OK

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130) 2011-1-P02H-prob2 La recta de intersección de los planos PQR y LMN tiene una pendiente descendente de 10º y va hacia la derecha. Completar las coordenadas de L. L ( 15, 15, ¿? ) M ( 30, 30, 25 ) N ( 50, 15, 5 ) P ( 10, 25, 20 ) Q ( 30, 5, 40 ) R ( 50, 35, 10 ) Rpta:

zL=16.8088

OK

131) 2011-1-EXPI-prob2 BC es recta de máxima pendiente del triángulo ABC. El ángulo en A es 50º, siendo AK bisectriz del ángulo en A. K pertenece al lado BC y se cumple que CK:KB=2:3. Obtener las coordenadas de A sabiendo que está a la izquierda de B. B ( 15, 50, 20 ) C ( 35, 70, 40 ) Rpta:

K(27,62,32)

A(13.1614,90.7545,39.4580)

OK

Nivel de Dificultad V 132) 2006-1-P02J-prob2 Del punto P de un plano parte una bolita que resbala sobre su superficie llegando a un segundo plano por el punto Q (Q pertenece a ambos planos). En el segundo plano, la bolita pasa por los puntos R y S, siendo M un punto de este plano. Determinar la pendiente del primer plano sabiendo que tiene orientación N30ºE. M ( 42, 38, 11 ) P ( 24, 17, 30 ) R ( 50, ¿?, 15 ) S ( 75, 25, 5 ) Rpta:

pe=52.21%SE

OK

133) 2007-3-EXPH-prob1 * La pendiente del plano ABC es 6 veces la pendiente del plano BCD. Determinar la orientación y pendiente de ambos planos sabiendo además que su intersección es una recta horizontal y que ambos descienden hacia el sureste. A ( 32, 75, 83 ) B ( 65, 60, 37 ) D ( 76, 23, 14 ) Rpta:

or(BCD)=N57º39’E


pe(ABC)=151.67%SE

pe(BCD)=61.92%SE

OK

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Capítulo 3: PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

Capítulo 3: PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Nivel de Dificultad I 134) 2003-1-P02K-prob1 Dadas las coordenadas del punto A, determinar las coordenadas que resultan de la intersección, con los ejes cartesianos principales, de un plano que contiene al punto A y que es perpendicular al segmento que resulta de unir el origen de coordenadas O con el punto A. A ( 20, 15, 10 ) O ( 0, 0, 0 )

Nivel de Dificultad II 135) 2003-1-P02L-prob2 Ubicar un punto X que pertenezca a los planos PQR y LMN pero que equidiste de los puntos A y B. A ( 39, 13, 19) B( 20, 3, 8) L ( 39, 17, 17) M (45, 4, 1 ) N (55, 15, 5) P ( 0, 13, 13 ) Q ( 18, 17, 17 ) R ( 8, 3, 4 ) Rpta:

X(37.8638,2.4713,4.0796)

136) 2003-1-P04K-prob2 Por el punto B trazar un segmento BP de 8 unidades contenido en el plano ABC y perpendicular a la recta MN. Se pide determinar las coordenadas del punto P A ( 2, 6, 4 ) B ( 7, 9, 1 ) C ( 10, 3, 5 ) M ( 11, 3, 2 ) N ( 15, 7, 4 ) Rpta:

(10.9800,3.1519,4.7363)

(3.0200,14.8481,-2.7363)

137) 2003-1-EXPK-prob2 Se hace una perforación vertical en el punto A del terreno y se encuentra un punto B de la capa superior de un estrato y C un punto de la capa inferior del mismo estrato. Luego se efectúa otra perforación oblicua en el punto D encontrando un punto E de la capa superior y F un punto de la capa inferior del mismo estrato. Hallar la orientación y pendiente de las capas superior e inferior del estrato considerando que las capas son paralelas. Completar las coordenadas del punto F. A ( 6.5, 4, 7.5 ) B ( 6.5, 4, 6.5 ) C ( 6.5, 4, 4.5 ) D ( 10, 3, 7 ) E ( 9, 2.5, 6 ) F ( 8, ¿?, ¿? ) 138) 2006-1-P03H-prob1 Obtener las coordenadas del punto P si la recta PQ es perpendicular a QR, tiene orientación N45ºE y una longitud de 30 unidades. Q ( 25, 50, 10 ) R ( 65, 30, 40 ) Rpta:

P(84.1881,49.1881,27.2080)

139) 2006-2-P03J-prob1 La recta LN es perpendicular a las rectas AB y CD. Se sabe que el punto M equidista de L y N. Determinar las coordenadas de N. A (13, 25, 45) B (55, 45, 15) C (70, 45, 25) D (90, 5, 50) L (85, 30, 10) M (90, 25, 30) Rpta:

N(91.8432,46.1303,30.3340)

140) 2006-2-EXRE-prob1 Ubicar un punto X que pertenezca a los planos ABC y DEF pero que equidiste de los puntos GH. A ( 0, 13, 13 ) B ( 18, 17, 17 ) C ( 8, 3, 4) D ( 39, 17, 17 ) E ( 45, 4, 1 ) F ( 55, 15, 5 ) G ( 39, 13, 19 ) H ( 20, 3, 8 ) Rpta:

X(37.8638,2.4713,4.0796)

OK

141) 2007-1-P03H-prob1, 2003-1-P04K-prob1 PQR es un triángulo equilátero. El punto R tiene igual cota y alejamiento. Determinar las coordenadas de R si está debajo de P. P ( 40, 35, 20 ) Q ( 20, 15, 5 ) Rpta.:

R(51.0428,7.6184,7.6184)


OK

19/70



142) 2007-1-P03I-prob1 Completar las coordenadas que faltan si el plano PQR es paralelo al plano ABCD. El plano ABCD es tal que contiene a la horizontal AB y al segmento CD que baja de C a D y mide 40 unidades de longitud. A ( 10, 45, 35 ) B ( 50, 35, ¿? ) C ( 35, 30, ¿? ) D ( 35, 10, ¿? ) P ( 100, 35, 40 ) Q ( 65, 45, ¿? ) R ( 80, ¿?, 15 ) Rpta.:

zB=35 zQ=42.1651

zC=19.8446 yR=25.5662

zD=-14.7965 OK

143) 2007-1-P03I-prob2 RSTU es un rectángulo y también la base de una pirámide regular de 50 unidades de altura y de vértice V. Completar las coordenadas de la pirámide si su base está encima de la pirámide. R ( 35, 50, 55 ) S ( 50, ¿?, 65 ) U ( 5, 25, 75 ) Rpta.:

yS=40

T(20,15,85)

V(30.2639,-0.6674,32.6867)

144) 2007-1-EXPI-prob1 Determinar las coordenadas de los vértices del pentágono regular ABCDE si B está a 15 unidades encima y está delante de C. A ( 20, 40, 45 ) C ( 60, 15, 15 ) Rpta.:

B(29.2371,10.2793,30)

D(69.7755,47.6383,20.7295)

E(45.0541,63.0891,39.2705)

145) 2007-1-EXSH-prob1 PQ tiene 70% de pendiente, va hacia atrás y es perpendicular al plano ABC. Completar las coordenadas de los vértices del triángulo ABC. A ( 20, 20, 15 ) B ( 45, 25, ¿? ) C ( 50, 45, ¿? ) P ( 15, ¿?, 30 ) Q ( 10, ¿?, 20 ) Rpta.:

zB=9.1911

zC=33.4553

146) 2007-2-P03I-prob1 Se hace una perforación vertical en el punto A de la superficie del terreno y se encuentra un punto B de la capa superior de un estrato y un punto C de la capa inferior del mismo estrato. Luego se efectúa otra perforación recta en el punto D de la superficie del terreno, encontrando un punto E de la capa superior y un punto F de la capa inferior del mismo estrato. Hallar la orientación y pendiente de las capas superior e inferior del estrato considerando que son planas y paralelas y completar las coordenadas de F. A ( 10, 50, 50 ) B ( 10, 50, 40 ) C ( 10, 50, 20 ) D ( 45, 40, 45 ) E ( 35, 35, 35 ) F ( 25, ¿?, ¿? ) Rpta:

F(25,30,25)

or=N48º49Ó

pe=96.64%NE

147) 2008-1-P03H-prob1 Por el punto B, trazar un segmento de 40 unidades contenido en el plano ABC y perpendicular a la recta MN. Dar todas las soluciones posibles de las coordenadas del otro extremo de este segmento. A ( 6, 30, 38 ) B ( 31, 45, 52 ) C ( 47, 15, 32 ) M ( 50, 13, 46 ) N ( 71, 36, 37 ) Rptas:

(53.8792,17.2561,34.4838)

(8.1202,72.7439,69.5162)

148) 2008-1-P03I-prob1 Las rectas AB y CD se cruzan. Si no son perpendiculares, desplazar C verticalmente hasta que lo sean. Determinar la nueva posición del punto y la distancia recorrida. A ( 10, 17, 30 ) B ( 23, 4, 7 ) C ( 6, 29, 35 ) D ( 25, 12, 30 ) Rpta:

C’(6,29,9.6522)

dist=25.3478

OK

149) 2009-1-P02I-prob1 Desplazar el punto D paralelamente a una recta que tiene orientación S30ºO y una pendiente de 60% ascendente hasta una posición D’, de tal manera que la nueva recta CD’ sea perpendicular a la recta AB. Determinar D’ y la orientación y pendiente de un plano paralelo a AB y a CD’. A ( 70, 15, 40 ) B ( 100, 40, 20 ) C ( 50, 40, 20 ) D ( 70, 60, 35 ) Rpta:

D’(61.7781,45.7593,44.8663)

or=N53º6’E

pe=1008.71%NO

OK

150) 2009-2-EXFH-prob1 Trazar un segmento BO descendente, de 40 unidades de longitud, contenido en el plano ABC y perpendicular a la recta MN. Determinar las coordenadas de O y la orientación y pendiente de BO. A ( 5, 30, 35 ) B ( 30, 45, 50 ) C ( 45, 15, 30 ) M ( 50, 15, 45 ) N ( 70, 35, 35 ) Rpta:

O(49.8998,15.7595,31.3186)


or=S34º14’E

pe=52.82%desc

OK

20/70



151) 2009-2-EXFI-prob1 Los segmentos de recta AB y CD se cruzan y son perpendiculares. La distancia vertical entre ambos segmentos es de 15 unidades. Determinar las coordenadas de D y la orientación y pendiente de CD si mide 50 unidades de longitud. Tomar AB debajo de CD. A ( 80, 35, 35 ) B ( 45, 5, 10 ) C ( 90, 10, 5 ) Rpta:

D(56.3037,19.5829,40.6753)

or=N74º7’O

pe=101.84%asc

OK (otra solución)

152) 2010-1-EXFH-prob1 * Determinar las coordenadas de los vértices del triángulo isósceles de base BC sobre la recta MN y cuyo vértice A está situado sobre la recta EF. La base BC ha de ser igual a la altura AK del triángulo, con la particularidad de que K está contenido en MN. Determinar además la orientación y pendiente del plano que contiene al triángulo E ( 10, 15, 15 ) F ( 30, 10, 35 ) K ( ¿?, 25, ¿? ) M ( 15, 35, 5 ) N ( 50, 15, 5 ) Rpta:

A(24.6875,11.3281,29.6875) K(32.5,25,5)

B ó C(19.7881,32.2639,5) or=N60º15Ó

C ó B(45.2119,17.7361,5) pe=156.78%NE

153) 2010-2-EXSH-prob1 Trazar un segmento QL de 40 unidades de longitud contenido en el plano PQR y perpendicular a la recta MN. Obténganse todas las posibles soluciones de las coordenadas de L y de la orientación y pendiente de QL. M ( 50, 15, 45 ) N ( 70, 35, 35 ) P ( 5, 30, 40 ) Q ( 30, 45, 50 ) R ( 45, 15, 30 ) Rpta:

L1(49.4029,15.8957,30.5971) L2(10.5971,74.1043,69.4029)

or1=S33º41’E or2=N33º41’O

pe1=55.47%desc pe2=55.47%asc

OK

154) 2011-1-EXPH-prob1 ABCD es la base superior de un prisma recto y EFGH es la base inferior. AE es una arista. Si ambas bases son paralelogramos, encontrar las coordenadas que faltan de los vértices del prisma y la orientación y pendiente de sus bases. A ( 35, 22, 25 ) D ( 22, 33, ¿? ) E ( 23, 10, 20 ) F ( 5, ¿?, 35 ) Rpta:

B(17,33.75,40) G(-8,32.75,39.8)

C (4,44.75,44.8) H(10,21,24.8)

zD=29.8 or=N45ºO

yF=21.75 pe=339.41%NE

155) 2011-1-EXSH-prob1 La cara superior de un hexaedro regular es ABCD y está contenida en un plano de orientación N45ºO y pendiente 30%SO, siendo A el vértice más bajo de dicha cara. La arista AB mide 40 unidades y tiene orientación N60ºE. Hallar las coordenadas de los vértices del hexaedro. A ( 25, 45, 30 ) Rpta:

B(58.2722,64.2097,41.1331) E(33.1274,53.1274,-8.3131) H(12.4658,87.2585,-5.4558)

C(37.6106,98.3408,43.9904) F(66.3996,72.3371,2.8200)

D(4.3383,79.1311,32.8573) G(45.7380,106.4682,5.6773) OK

Nivel de Dificultad III 156) 2003-1-P02J-prob2 Dado el triángulo ABC, construir la pirámide que se forma al hallar un punto V que equidiste de los vértices ABC y que esté contenido en el plano Horizontal (plano XY). Determinar las coordenadas del punto V. A ( 14, 6, 9 ) B ( 17, 36, 14 ) C ( 5, 36, 19 ) V ( ¿?, ¿?, ¿? ) Rpta:

V(4.1250,24.0542,0)

OK

157) 2003-1-P03I-prob2, 2003-1-P03J-prob1 Los planos ABP y CDP se intersecan en una recta de orientación N75ºO y pendiente 120% ascendente. Completar las coordenadas del punto P. A ( 90, 15, 55 ) B ( 40, 75, 55 ) C ( 30, 10, 50 ) D ( 5, 115, 60 ) P ( 15, ¿?, ¿? ) Rpta:

P(15,110.2339,48.0237)

OK

158) 2003-1-EXPI-prob2 AB es un lado de la base pentagonal de una pirámide regular de vértice V. Completar las coordenadas de los vértices de la pirámide V-ABCDE. Nota: AB lado de mayor cota. A( 10, 45, 35 ) B ( 35, 25, 35 ) V ( 50, ¿?, 5 ) Rpta:

yV=69.3750 D(17,2387,28,4233,-13.5417)


C(39.4737,14.7551,4.9996) E(-0.9771,47.1157,4.9996)

OK 21/70



159) 2003-1-EXPJ-prob2, 2007-1-P03H-prob2 Determinar las coordenadas de los vértices de una pirámide recta V-ABCDE cuya base es un pentágono regular y la cara VAB es un plano horizontal. La cara VAB está encima de la pirámide. A ( 90, 40, 80 ) B ( 100, 25, 80 ) V ( 65, ¿?, 80 ) Rpta:

yV=12.5 D(87.0574,27.2049,53.9522)

C(98.1814,17.0922,63.9016) E(82.0010,41.3627,63.9016)

OK

160) 2003-1-EXPL-prob2 Sea un triángulo rectángulo RST, recto en S perpendicular a la recta AB. El lado descendente RT corta a la recta AB. La perpendicular trazada desde S hasta AB es la altura relativa a la hipotenusa, que divide a esta en dos segmentos que están en la relación de 3 a 2. Determinar las coordenadas de los vértices R y T. A ( 9, 1.5, 5.5 ) B ( 11, 3.5, 10 ) S ( 11.5, 0, 6) Rpta:

R1(7.5151,-0.5610,8.0204) R2(8.1103,0.2263,7.4059)

T1(10.4914,3.3755,4.9480) T2(11.0867,4.1628,4.3336)

161) 2006-1-P03J-prob1 Determinar las proyecciones de un punto K que equidiste de los puntos A y B. El punto K se encuentra por encima y a una distancia de 10 unidades del plano ortofrontal CDE, a 30 unidades del punto V y detrás de A. A (7, 34, 21) B (34, 4, 53) C (63, 50, 41) D (78, 25, 50) E (94, 37, ¿?) V (51, 10, 26) Rpta:

zE=59.6

K(37.1622,34.1658,37.1592)

OK

162) 2006-2-P03H-prob1 Completar las coordenadas de los vértices del triángulo rectángulo ABC, recto en B si el plano que lo contiene es perpendicular a la recta MN. Se sabe que el cateto AB es frontal y mide 20 unidades y que la hipotenusa AC se corta con MN. Tomar A debajo de B. A ( 25, 20, 10 ) M ( 10, 45, 10 ) N ( 30, 25, 30 ) 163) 2006-2-P03H-prob2 PQ es una arista de un tetraedro regular y M un punto de la recta que une los puntos medios de las aristas opuestas PQ y RS. Hallar las coordenadas de los vértices que faltan del tetraedro. M ( 33, 55, ¿? ) P ( 15, 45, 55 ) Q ( 37, 65, 35 ) Rpta:

zM=52.7

R ó S = (35.6446,69.8661,70.4751) S ó R = (50.4434,40.1339,57.0217)

OK

164) 2006-2-P03J-prob2, 2006-2-EXFJ-prob1 V es el vértice de una pirámide regular y PQ es una recta de máxima pendiente de su plano de base. Completar las coordenadas de sus vértices sabiendo que su base es un triángulo equilátero de lado igual a 30 unidades y que su lado izquierdo es de perfil. Se sabe además que la altura de la pirámide es 20 unidades y que el vértice está debajo del plano de la base. P ( 10, 40, 20 ) Q ( 35, 20, 60 ) V ( 45, ¿?, 30 ) Rpta:

yV= 29.9297 (25.9424,24.6108,47.5647)

(25.9424,48.2603,29.1065)

(46.5368,46.1807,50.8217)

OK

165) 2007-1-EXPH-prob1 Los segmentos AB y CD son perpendiculares. Si AB tiene 40% de pendiente descendente y CD es horizontal, determinar las coordenadas de D sabiendo que está delante de C. A ( 13, ¿?, 27 ) B ( 35, ¿?, 3 ) C ( 6, 28, 13 ) D ( 29, ¿?, 13 ) Rpta.:

yD=18.9353

166) 2007-2-P03H-prob1 Completar las coordenadas de L, M y Q sabiendo que la recta PQ es paralela al plano LMN. LM mide 60 unidades y es la recta de máxima pendiente del plano LMN. Considerar M detrás de L. L ( 15, ¿?, 35 ) M ( 30, ¿?, 15 ) N ( 40, 25, 30 ) P ( 30, 45, 5 ) Q ( 55, ¿?, 15 ) Rpta:

yL=17.2081

yM=71.7516

yQ=8.7904

OK

167) 2007-2-P03H-prob2 El punto V es el vértice y AB es una arista de la base cuadrada ABCD de una pirámide recta. Si CD está a la derecha de AB, completar las coordenadas de los vértices de la pirámide. A ( 80, 50, 25 ) B ( 90, 30, 35 ) V ( 80, 25, ¿? ) Rpta:

C(108.2978,31.0116,18.7355) D(98.2878,51.0116,8.7355)


22/70



168) 2007-2-P03I-prob2 MN es el eje de un prisma recto ABC-DEF cuyas bases son triángulos equiláteros con centros en M y N y con lados que miden 30 unidades. El vértice A de la base inferior está 10 unidades a la izquierda y detrás de N. Obtener las coordenadas de los vértices del prisma. B delante de C. M ( 45, 15, 50 ) N ( 20, 50, 15 ) Rpta:

A(10,55.7691,27.9119) D(35,20.7691,62.9119)

B(14.7888,36.6081,5.3304) E(39.7888,1.6081,40.3304)

C(35.2112,57.6228,11.7577) F(60.2112,22.6228,46.7577)

169) 2007-2-EXPI-prob1 Cortar las dos rectas que se cruzan AB y CD con una recta KM perpendicular al plano dado por el triángulo EFG. Obtener las coordenadas de los puntos K y M y determinar la orientación y pendiente de KM sabiendo que K está en AB y que M está en CD. A ( 85, 40, 45 ) B ( 104, 12, 15 ) C ( 107, 48, 43 ) D ( 143, 22, 55 ) E ( 44, 45, 9 ) F ( 68, 13, 9 ) G ( 33, 13, 40 ) Rpta:

K(99.7694,18.2346,21.6799) or=N53º8’E

M(123.5345,36.0584,48.5115) pe=90.32%asc

170) 2007-3-P03G-prob1 El punto O es el centro de la base superior de una plancha hexagonal (prisma recto) de 10 unidades de espesor. La base superior tiene orientación S60ºE y una pendiente de 120%NE y, además, dos de sus lados son de perfil y miden 25 unidades. Determinar las coordenadas de los vértices de la base inferior considerando que el hexágono es regular. O ( 30, 40, 40 ) Rpta:

(6.1691,48.0067,30.3572) (46.1486,18.6873,36.8391)

(26.1589,50.6814,15.5837) (26.1589,16.0126,51.6126)

(46.1486,36.0217,18.8247) (6.1691,30.6723,48.3716)

OK

171) 2007-3-EXFG-prob1, 2007-3-EXFH-prob1 Determinar las coordenadas de los vértices del tetraedro regular V-ABC sabiendo que P pertenece a la cara VBC. La cara VBC tiene orientación S60ºE y pendiente 30%SO. La distancia del punto A al plano VBC es 20 unidades. La arista VA tiene orientación N60ºE. Tomar A encima de V y B a la derecha de C. P ( 10, 30, 60 ) V ( 20, 20, ¿? ) Rpta:

lado= 24.4949 A(27.2003,24.1571,81.9426)

zV= 58.9019 B(43.5245,24.8617,63.6937)

C(26.6968,42.5407,65.7627)

OK

172) 2008-1-P03H-prob2 Completar las coordenadas de los puntos A y B sabiendo que en los planos LMN y PQR existe un lugar geométrico común de los puntos que equidistan de A y B. A ( 55, ¿?, 80 ) B ( 75, ¿?, 65 ) L ( 20, 20, 45 ) M ( 30, 55, 105 ) N ( 50, 50, 35 ) P ( 10, 55, 55 ) Q ( 50, 40, 65 ) R ( 50, 10, 80 ) Rpta:

yA=73.7227

yB=46.4823

173) 2008-1-EXPI-prob1 La recta LM tiene una orientación N50ºE y es perpendicular a JK. La recta JK está contenida en un plano paralelo a las rectas PQ y RS. Completar las coordenadas de L y M y determinar la pendiente de LM. J ( 25, ¿?, 42 ) K ( 45, ¿?, 38 ) L ( 85, 5, ¿? ) M ( 95, ¿?, 74 ) P ( 10, 30, 79 ) Q ( 28, 38, 68 ) R ( 20, 47, 50 ) S ( 30, 28, 62 ) Rpta:

zL=27.6807

yM=13.3910

pe=354.83%asc

174) 2008-1-EXPI-prob2 AB es un segmento de recta ascendente de 50 unidades de longitud y paralela a un plano 100%N. Completar las coordenadas de A y B. A ( 5, ¿?, 30 ) B ( 25, 25, ¿? ) Rpta:

yA=57.4037

zB=62.4037

175) 2008-1-EXFI-prob2 AB es una arista de un tetraedro regular ABCD. La arista opuesta CD tiene orientación N60ºE. Completar las coordenadas del tetraedro y determinar la orientación y pendiente de la base ABC. Tomar CD detrás de AB. A ( 30, 35, 10 ) B ( 47, 51, 25 ) Rpta:

C(19.5167,54.2707,26.9923) or=N87º48’O

D(32.7561,61.9145,3.8344) pe=90.13%SO

OK

176) 2008-1-EXSH-prob1 Completar las coordenadas de los puntos A y B sabiendo que los puntos en común de los planos LMN y PQR son un lugar geométrico de puntos que equidistan de A y B. A ( 55, ¿?, 80 ) B ( 75, ¿?, 65 ) L ( 20, 25, 45 ) M ( 30, 60, 105 ) N ( 50, 55, 35 ) P ( 10, 60, 55 ) Q ( 50, 45, 65 ) R ( 50, 15, 80 ) Esteban Ortiz Bosmans

23/70


yA=78.7227


yB=51.4823

177) 2009-1-P02I-prob2 Completar las coordenadas de los vértices del cuadrado PQRS, sabiendo que la recta MN está contenida en el plano del cuadrado, que el vértice R pertenece a la recta QO y que PQ es ascendente. M ( 50, 40, 35 ) N ( 75, 25, 35 ) O ( 115, 0, ¿? ) P ( 55, 50, ¿? ) Q ( 60, 20, ¿? ) Rpta:

zp=14.4745 R(106.4408,3.1124,39.7731)

zQ=57.1044 S(101.4408,33.1124,-2.8568)

178) 2009-1-EXPI-prob 2 La recta de intersección de los planos PQR y STU pertenece al plano mediatriz del segmento LM. Completar las coordenadas de los puntos L y M. L ( 55, ¿?, 80 ) M ( 75, ¿?, 65 ) P ( 10, 55, 55 ) Q ( 50, 45, 65 ) R ( 50, 10, 80 ) S ( 20, 20, 45 ) T ( 30, 55, 100) U ( 60, 50, 35 ) Rpta:

yL=72.9746

yM=43.6037

179) 2009-1-EXFI-prob1 Determinar las coordenadas de los vértices de un prisma recto y la orientación y pendiente de sus bases cuadradas ABCD y EFGH. Se sabe que el punto C pertenece a la recta AX y que AE y BF son aristas. Tomar D debajo de A. A ( 15, 20, 20 ) H ( 20, 35, 35 ) X ( 40, 40, 15 ) Rpta:

B(29.8415,18.1691,16.8838) E(18.1748,19.8357,35.2171) or=N2º58’E

C(31.6667,33.3333,16.6667) F(33.0163,18.0048,32.1009) pe=20.89%SE

D(16.8252,35.1643,19.7829) G(34.8415,33.1691,31.8838)

180) 2009-1-EXSI-prob1 Completar las coordenadas de los vértices del cuadrado PQRS, sabiendo que la recta horizontal MN está contenida en el plano del cuadrado, que el vértice R pertenece a la recta QO y que PQ es ascendente. M ( 50, 40, 40 ) N ( 75, 25, 40 ) O ( 110, 0, ¿? ) P ( 55, 50, ¿? ) Q ( 60, 20, ¿? ) Rpta:

zP=16.9341 R(110.0403,-0.0161,47.0829)

zQ=64.8402 S(105.0403,29.9839,-0.8233)

OK

181) 2009-2-P02I-prob2 PQ es la recta de máxima pendiente del plano PQR. JK mide 40 unidades y es perpendicular a PQ. Completar las coordenadas de PQ y determinar la orientación y pendiente del plano PQR. Considerar que JK va hacia delante y PQ va hacia atrás. J ( 15, ¿?, 40 ) K ( 30, ¿?, 25 ) P ( 5, ¿?, 45 ) Q ( 15, ¿?, 25 ) R ( 30, 10, 35 ) Rpta:

yp=18.4370 or=N53º0’O

yQ=31.7067 pe=120.37%NE

OK

182) 2009-2-EXPI-prob2 Encontrar las coordenadas de un cubo 12345678 que tiene su cara inferior 3487 contenida en el plano RST. El punto 1 es un vértice del cubo y está sobre la arista más alta. Se sabe también que dicho cubo tiene cuatro aristas horizontales. Tomar 2 a la derecha de 1. 1 ( 45, 25, 65 ) R ( 50, 40, 50 ) S ( 30, 45, 70 ) T ( 10, 20, 55 ) Rptas:

2(59.6296,33.8823,65) 5(50.2496,16.3536,51.1941) 8(43.0846,28.1547,41.0789)

3(52.4647,45.6834,54.8848) 6(64.8792,25.2359,51.1941)

4(37.8351,36.8011,54.8848) 7(57.7142,37.0370,41,0789) (¿otra solución?)

183) 2009-3-EXPG-prob1 Obtener la orientación y pendiente del plano RST y las coordenadas de los vértices del cubo 12345678 que tiene su cara inferior 3487 contenida en dicho plano. El punto 1 es un vértice del cubo y está sobre la arista más alta 12. Se sabe también que dicho cubo tiene cuatro aristas horizontales. Tomar 2 a la izquierda de 1. R ( 60, 45, 70 ) S ( 80, 35, 45 ) T ( 40, 20, 55 ) 1 ( 75, 25, 65 ) Rpta:

or=N59º18’E 2(60.5068,16.3946,65) 5(80.1736,16.2865,51.5310) 8(73.2972,27.8679,41.3973)

pe=132.91%SE 3(53.6303,27.9760,54.8663) 6(65.6804,7.6865,51.5310)

lado=16.8554 4(68.1236,36.5814,54.8663) 7(58.8040,19.2625,41.3973)

184) 2009-3-EXPG-prob2 ABCDE es un pentágono regular, base de una pirámide recta de vértice V. Determinar las coordenadas que faltan de los vértices de la pirámide, sabiendo que D está a la derecha de C. Esteban Ortiz Bosmans

24/70


A ( 25, 25, 45 ) Rpta:

C ( 45, 40, 20 )

B(24.5610,34.3246,25.2436) yV=61.6667


V ( 35, ¿?, 50 )

D(58.0710,34.1830,36.5158) O(39.6685,31.6840,35.7452)

E(45.7103,24.9125,51.9666) lado=21.8508u

OK

185) 2010-1-P02H-prob1 Vienen dadas las rectas EF, MN, KL y HI. Construir el rectángulo ABCD, en el cual el lado AB es paralelo a la recta EF, el vértice A se encuentra sobre la recta KL, el vértice B, sobre la recta MN y el vértice C, sobre la recta HI. Obtener las coordenadas de sus vértices y la orientación y pendiente del plano que lo contiene. E ( 5, 5, 55 ) F ( 20, 15, 45 ) H ( 50, 5, 55 ) I ( 60, 10, 55 ) K ( 35, 40, 35 ) L ( 55, 15, 45 ) M ( 15, 30, 55 ) N ( 30, 20, 35 ) Rpta:

A(37.3529,37.0588,36.1765) D(59.0931,12.2917,44.0196)

B(20.8824,26.0784,47.1569) or=N63º12’O

C(42.6225,1.3113,55) pe=63.74%NE

OK

186) 2010-1-P02I-prob2 Vienen dados el plano del triángulo LMN y las rectas AE y FG. Construir un paralelogramo, en el cual el lado AD está situado sobre la recta AE, el lado AB es paralelo al plano del triángulo, el vértice B pertenece a la recta FG, y la diagonal BD es perpendicular al lado AD. Obtener las coordenadas de sus vértices y la orientación y pendiente del plano que lo contiene. A ( 40, 5, 25 ) E ( 50, 30, 20 ) F ( 25, 15, 20 ) G ( 45, 25, 5 ) L ( 20, 25, 15 ) M ( 0, 5, 30 ) N ( 0, 10, 25 ) Rpta:

B(42.5,23.75,6.875) or=N25º9’E

C(50.2917,43.2292,2.9792) pe=317.62%NO

D(47.7917,24.4792,21.1042)

187) 2010-1-EXPH-prob2 MN tiene orientación N40ºE y es el eje de un prisma recto cuyas bases son cuadrados que bajan hacia el suroeste (M y N son los centros de las bases). La base que pasa por N es el cuadrado ABCD. Obtener las coordenadas que faltan de los vértices del prisma y la orientación y pendiente del plano ABCD, si MN mide 25 unidades. Tomar a B como el vértice de menor cota. A ( 50, 55, 10 ) M ( 20, 45, 15 ) Rpta:

B(35.7552,46.3145,-12.8396) E(36.7870,39.2534,24.2289) H(17.4578,59.4321,28.6108) or=N50ºO

C(16.4260,66.4932,-8.4578) F(22.5422,30.5679,1.3893) N(33.2130,60.7466,0.7711) pe=144.46%SO

D(30.6707,75.1787,14.3819) G(3.2130,50.7466,5.7711)

188) 2010-2-EXPH-prob2 Hallar las coordenadas que faltan de los vértices del octaedro regular ABCDEF cuya cara CDF está contenida en un plano que pasa por M y que tiene orientación N60ºE y pendiente 45ºSE. AC, BD y EF son las diagonales interiores del octaedro. La arista FD tiene orientación S45ºE. Considerar a la arista BE a la derecha de A. Obtener además la orientación y pendiente de la cara ADF. A ( 35, 30, 25 ) M ( 15, 40, 15 ) Rpta:

B(45.5635,49.3218,36.4515) E(58.1870,36.6984,19.2075) or=N23º8’O

C(50.3353,59.7571,14.4425) F(27.1483,53.0587,20.2350) pe=259.31%NE

D(39.7717,40.4352,2.9910) lado=24.8205

189) 2010-2-EXPI-prob2 Determinar las coordenadas de los vértices del cubo ABCD-EFGH, sabiendo que la arista AE está contenida en la recta MN y que el vértice G pertenece a una recta que pasa por L, que tiene orientación N36ºE y que es perpendicular a MN. Obtener además la orientación y pendiente de la cara ABCD. Tomar EG ascendente y B a la izquierda de A. A ( 18, ¿?, ¿? ) L ( 15, 10, 50 ) M ( 20, 40, 30 ) N ( 30, 15, 10 ) Rpta:

A(18,45,34) D(28.0981,40.2565,44.9785) G(21.7534,19.2953,41.7576) or=N68º12’E

B(6.9886,35.7055,40.1125) E(22.6667,33.3333,24.6667) H(32.7648,28.5898,35.6451) pe=134.63%NO

C(17.0868,30.9620,51.0909) F(11.6553,24.0388,30.7791) lado=15.6525u

190) 2010-2-EXSI-prob1 Ubicar un punto I que pertenezca a los planos PQR y LMN, pero que equidiste de S y T. Obtener las coordenadas de I y la orientación y pendiente del segmento SI. L ( 85, 35, 35 ) M ( 95, 10, 70 ) N ( 120, 30, 60 ) P ( 5, 25, 45 ) Q ( 45, 35, 35 ) R ( 20, 5, 60 ) S ( 65, 25, 30 ) T ( 45, 5, 55 ) Rpta:

I(67.2524,13.3116,50.9512)

or=S10º54’E

pe=176.01%asc

OK

191) 2011-1-EXPI-prob1 RS mide 30 unidades, tiene una pendiente de 80% ascendente, va hacia adelante y es perpendicular a PR. Hallar las coordenadas de S y la orientación y pendiente del plano PRS. P ( 20, 35, 35 ) R ( 40, 20, 10 ) Esteban Ortiz Bosmans

25/70


S(46.5593,-2.4890,28.7409)

or=N32º34’O

Capítulo 3: PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD pe=284.80%NE

OK

Nivel de Dificultad IV 192) 2006-1-P03H-prob2 Los puntos A y C son vértices opuestos de la cara ABCD de un cubo y M es un punto contenido en la cara ABFE del mismo. Completar las coordenadas de los vértices del cubo si se sabe que el vértice A es el de menor cota. A ( 10, 43, 10 ) C ( 37, 30, 28 ) M ( 15, 50, 30 ) Rpta:

B(29.3243,52.7097,21.9705) F(15.9581,53.7062,42.7396)

D(15.6757,20.2903,16.0295) G(23.6338,30.9965,48.7690)

E(-3.3662,43.9965,30.7690) H(4.3095,21.2869,36.7985)

OK

193) 2006-1-P03J-prob2 Hallar las coordenadas de los puntos extremos P y Q de un segmento de recta frontal que se encuentran contenidos en las rectas horizontales RS y TU, respectivamente; sabiendo además que O es el punto medio de PQ y está contenido en el plano LMN. L (50, 20, 25) M (70, 55, 70) N (100, 35, 50) R (35, 40, 75) S (85, 75, 75) T (85, 75, 30) U (115, 40, 30) Rpta:

O(74.9802,39.9308,52.5)

P(34.9012,39.9308,75)

Q(115.0593,39.9308,30)

OK

194) 2006-2-EXPH-prob2, 2007-1-EXFH-prob2 * Determinar las coordenadas de los vértices del cubo ABCD-EFGH, donde ABCD es la base inferior y la arista AE es paralela a la recta MN. Se sabe que el punto P pertenece a la arista BF, que el punto Q pertenece a la diagonal AG del cubo y que el punto R pertenece a la cara ADHE. M ( 85, 45, 35 ) N ( 90, 80, 80 ) P ( 55, 50, 35 ) Q ( 35, 60, 35) R ( 30, 35, 40 ) Rpta:

A(40.5044,22.9898,35.6964) C(31.8289,50.9166,14.9396) E(42.7199,38.4983,55.6360) G(34.0444,66.4251,34.8791)

B(53.4939,39.4573,21.4451) D(18.8394,34.4491,29.1909) F(55.7094,54.9658,41.3846) H(21.0549,49.9576,49.1304)

OK

195) 2006-2-EXPJ-prob2 * Determinar las coordenadas de los vértices del prisma recto ABCD-EFGH, donde ABCD es la base inferior cuadrada, la arista lateral AE es paralela a la recta MN y mide el doble del lado de la base. Se sabe también que el punto P pertenece a la arista BF, que el punto Q pertenece a la diagonal AG del prisma y que el punto R pertenece a la cara ADHE. M ( 75, 40, 30 ) N ( 80, 75, 75 ) P ( 50, 50, 35 ) Q ( 30, 60, 35 ) R ( 25, 35, 40 ) Rpta:

A(33.6166,9.7753,18.7064) C(24.9516,37.7021,-2.0505) E(38.0476,40.7924,58.5855) G(29.3722,68.7192,37.8286)

B(46.6061,26.2428,4.4551) D(11.9516,21.2346,12.2009) F(51.0371,57.2599,44.3342) H(16.3826,52.2517,52.0800)

OK

196) 2007-1-EXPH-prob2 Determinar las coordenadas de los vértices del rectángulo ABCD y la orientación y pendiente del plano que lo contiene si se sabe que la diagonal AC está contenida en la recta LM y sigue el mismo sentido, y que los puntos B y D están contenidos en las rectas PQ y RS respectivamente. L ( 20, 29, 15 ) M ( 50, 9, 15 ) P ( 8, 40, 28 ) Q ( 20, 17, 8 ) R ( 31, 17, 28 ) S ( 47, 28, 4 ) Rpta.:

A(17.8646,30.4236,15) B(15.9160,24.8277,14.8067)

C(37.5892,17.2739,15) D(39.5378,22.8697,15.1933)

or=N56º19’O pe=3.37%SO

OK

197) 2007-3-P03G-prob2 Determinar la longitud del mínimo recorrido L-M-N y determinar las coordenadas de M y N, estando el punto M en el plano PQR y el punto N en la recta AB. A ( 47, 67, 86 ) B ( 74, 48, 48 ) L (24, 36, 46 ) P ( 15, 38, 70 ) Q ( 25, 63, 95 ) R ( 55, 31, 55 ) Rpta:

long=52.9594u

M(46.1253,39.6592,65.9654)

N(60.3953,57.5737,67.1474)

OK

198) 2008-1-EXPH-prob2 Completar las coordenadas de los vértices del triángulo isósceles PQR (PQ=PR) si se sabe que el plano PQR tiene orientación S50ºE. Tomar Q encima de P. P ( 104, 12, 10 ) Q ( 59, 20, ¿? ) R ( 50, 40, ¿? ) Rpta:

zQ=59.3453


zR=38.7046

OK

26/70



199) 2009-1-P02H-prob2 Dado el tetraedro PQRS, determinar las coordenadas del centro de un cubo inscrito en él, tal que los cuatro vértices de una de sus caras estén contenidos en el plano PQR, otros dos vértices de una arista estén contenidos en el plano PQS y los dos vértices restantes estén contenidos en las caras PRS y QRS, respectivamente. P ( 60, 60, 35 ) Q ( 15, 55, 75 ) R ( 35, 25, 45 ) S ( 70, 40, 70 ) Rpta:

O(44.9480,46.3153,53.5012)

OK

200) 2010-1-EXPI-prob2 Completar las coordenadas de los vértices de la pirámide VABCD de 24 unidades de altura cuya base ABCD es un rombo situado en un plano de orientación S60ºE e inclinación θºSO, sabiendo que la longitud de los lados del rombo es media proporcional entre las longitudes de la altura de la pirámide y la diagonal AC. Además determinar la orientación y pendiente de la cara VAB. Tomar a B como el vértice de menor cota. Nota: Se dice que la longitud de un segmento m es media proporcional con respecto a las longitudes a y b de otros dos segmentos cuando se verifica la siguiente expresión: a m  m b . A ( 25, 65, 10 ) C ( 30, 50, ¿? ) V ( 10, 45, 25 ) Rpta:

B(10.2274,53.5294,2.0327) or=N45º50’E

zC=5.1744 pe=385.42%NO

D(44.7726,61.4706,13.1417) ladorombo=20.3294u

201) 2011-1-EXPH-prob2 Por la recta horizontal LM, pasar un plano cuyas intersecciones con los planos verticales PQR y RST sean rectas que formen 90º entre sí. Obtener las coordenadas del punto de intersección de los tres planos, sabiendo que está debajo de L. L ( 20, 15, 85 ) P ( 5, 5, 5 ) S ( 40, 40, 45 ) M ( 95, 35, ¿? ) Q ( 25, 30, 25 ) T ( 55, 30, ¿? ) Rpta:

I(35.4348,43.0435,74.8034)

Nivel de Dificultad V 202) 2006-1-EXPJ-prob2 Se da la proyección horizontal de las aristas AB, AD y AE de un paralelepípedo rectángulo ABCD-EFGH. Determinar sus tres dimensiones (largo, ancho y altura) considerando que la altura es la dimensión de la arista de mayor pendiente y que el vértice A es el de mayor cota. A ( 55, 50, 80 ) B ( 95, 65, ¿? ) D ( 35, 70, ¿? ) E ( 60, 30, ¿? ) Rpta:

zB=70 largo=43.8748

zD=30 ancho=22.9129

zE=70 altura=57.4456

OK

203) 2008-1-EXFH-prob2, 2010-1-EXSH-prob2 Completar las coordenadas de los vértices de la pirámide regular truncada ABCD-A’B’C’D’. Las bases paralelas son rectángulos donde ABCD es la base inferior. Recomendación: empiece usando la proyección horizontal de la pirámide. A ( 50, 25, 43 ) B ( 77, 33, ¿? ) D ( 50, 48, ¿? ) A’ ( 35, 60, ¿? ) D’ ( 35, 70, ¿? ) Rpta:

zB=54.0586 zA’=77.6942 zD’=70.4600

C(77,56,37.42) B’(46.7391,63.4783,82.5023)

zD=26.3614 C’(46.7391,73.4783,75.2681)

204) 2009-2-P02H-prob2, 2009-2-EXSH-prob2 ABCD es la base cuadrada de una pirámide recta de vértice V. Sobre las rectas AM y AN se encuentran contenidos los lados AD y AB respectivamente. El lado del cuadrado mide 25 unidades y la altura VO es los 6/5 del lado. Determinar las coordenadas de sus vértices si el eje OV ascendente tiene orientación N30ºO. A ( 20, 40, 35 ) M ( 50, 45, ¿? ) N ( 10, 10, ¿? ) Rpta:

B(14.2416,22.7249,52.1292) V(15.9027,54.4335,66.4227)

C(36.3210,26.4047,63.2630)

D(42.0794,43.6799,46.1337)

205) 2009-2-EXSI-prob2 Determinar las coordenadas de los vértices del tetraedro regular DABC. Las aristas AD y BC son opuestas y tienen orientación N30ºE y N70ºE respectivamente. M es el punto medio de la arista BC y N es el punto medio de la arista AD. M ( 70, 15, 70 ) N ( 50, 30, ¿? ) Rpta:

A(41.4784,15.2402,55.7183) C(78.1579,17.9692,53.7580)


B(61.8421,12.0308,86.2420) D(58.5216,44.7598,69.6752) 27/70


Capítulo 4: POLIEDROS

Capítulo 4: POLIEDROS Nivel de Dificultad I (Vacío)

Nivel de Dificultad II 206) 2003-1-P05I-prob1 (tentativo) AD, BE Y CF son las diagonales de un octaedro regular. Completar sus coordenadas y obtener la longitud de la intersección con el plano de orientación N45ºO y pendiente 50%SO que está limitado por el hexágono regular de centro O y 12 unidades de lado, el cual tiene dos lados paralelos al plano frontal. Se sabe que E está debajo de B y C está más adelante que F. A ( 3, 17, ¿? ) B ( 13, 12, 25 ) D ( 23, 7, ¿? ) E ( 13, 12, ¿? ) O ( 16, 12, 16 ) 207) 2003-1-P05J-prob1 (tentativo) AD, BE Y CF son las diagonales de un octaedro regular. Completar sus coordenadas y obtener la longitud de la intersección con el plano de orientación N75º0 y pendiente 400%NE que está limitado por la circunferencia de centro O y de 11 unidades de radio. Se sabe que E está detrás de B y C está más arriba que F. A ( 3, ¿?, 17 ) B ( 13, 5, 12 ) D ( 23, ¿?, 7 ) E ( 13, ¿?, 12 ) O ( 15, 13, 12 ) 208) 2003-1-P05J-prob2 (tentativo) Determinar la longitud del polígono espacial obtenido de la intersección del tetraedro PQRS con el paralelepípedo ABCD-EFGH. A ( 3, 1, 1 ) B (1, 3, 6 ) C ( 4, 3, 11 ) E ( 5, 4, 3 ) P ( 11, 5, 5 ) Q ( 5, 9, 5 ) R ( 4, 2, 5 ) S ( 12, 5, 13 ) 209) 2003-1-P05K-prob1 (tentativo) Dibujar el polígono de intersección del hexaedro regular ABCD-EFGH con el plano horizontal de cota 27 unidades. El vértice C está 10 unidades más abajo que el vértice B y la arista EF está a la derecha de la arista AB. Además, presentar como resultado las coordenadas del vértice H y el perímetro del polígono de intersección. A ( 10, 30, 10 ) B ( 20, 10, 30 ) 210) 2003-1-P05K-prob2 (tentativo) Determinar la longitud de cada uno de los polígonos espaciales generados de la intersección del prisma triangular oblicuo ABC-DEF con el paralelepípedo PQRS-TUVW. A ( 3, 7, 5 ) B ( 4, 10, 4 ) C ( 5, 9, 10 ) D ( 16, 7, 5 ) P ( 12, 1, 6 ) Q ( 9, 1, 1 ) R ( 7, 3, 6 ) T ( 14, 14, 8 ) 211) 2003-1-P05L-prob2 (tentativo) Determinar la longitud del polígono espacial obtenido de la intersección del tetraedro PQRS con el paralelepípedo recto ABCD-EFGH de base rectangular y 30 unidades de altura. E está encima de A. A ( 60, 20, 60 ) B ( 60, 120, 60 ) C ( 10, 120, 60 ) P ( 55, 70, 30 ) Q ( 35, 120, 10 ) R ( 110, 80, 75 ) S ( 15, 90, 125 ) 212) 2006-1-P04H-prob1 Determinar la longitud total de la intersección del octaedro regular PQRSTU con el plano limitado por la circunferencia horizontal con centro en O y radio 30 unidades. PS, QT y RU son diagonales interiores al octaedro. Tomar Q delante de S. O ( 60, 50, 25 ) P ( 25, 50, 10 ) Q ( ¿?, ¿?, 10 ) S ( 65, 30, 40 ) Rpta:

Q(45.0697,17.6394,0)

long=76.0696u

213) 2006-1-P04J-prob1 Determinar la longitud total de la intersección de la pirámide PQRST-V con el plano limitado por la circunferencia horizontal con centro en O y radio 30 unidades. La base PQRST de la pirámide es un pentágono regular y la proyección del vértice V al plano de la base es el punto medio de la diagonal PR. Considerar al punto P como el vértice de la base de menor cota. Esteban Ortiz Bosmans

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O ( 55, 25, 15 ) Rpta:

P ( 25, 50, 10 )

xV=43.75


R ( 65, 30, 40 )

Q(58.0877,47.4099,12.4897)

V ( ¿?, 0, 0 )

long=103.8507u

214) 2007-1-P04I-prob1 Determinar la longitud total de la intersección del octaedro regular PQRSTU con el plano limitado por la circunferencia horizontal con centro en O y radio 30 unidades. PS, QT y RU son diagonales interiores al octaedro. Tomar Q delante de S. O ( 30, 50, 20 ) P ( 25, 50, 10 ) Q ( ¿?, ¿?, 15 ) S ( 5, 30, 40 ) Rpta.:

long=81.7284u

(verificar)

215) 2007-3-P04G-prob1 Determinar la longitud total de la intersección del octaedro regular PQRSTU con el plano de orientación N15ºE y pendiente 20%NO, limitado por una elipse. La elipse tiene centro en O, tiene un eje mayor de 40 unidades de longitud y de orientación S40ºE y tiene un eje menor de 25 unidades de longitud. PS, QT y RU son diagonales interiores al octaedro. Tomar Q delante de S. O ( 60, 50, 25 ) P ( 25, 50, 10 ) Q ( ¿?, ¿?, 10 ) S ( 65, 30, 40 ) Rpta:

Q(45.0697,17.6394,10)

long=36.4024u

OK

216) 2008-1-P04I-prob1 Determinar la longitud total de la intersección de la pirámide PQRST-V con el plano limitado por la circunferencia horizontal con centro en O y radio 30 unidades. La base PQRST de la pirámide es un pentágono regular y la proyección del vértice V al plano de la base es el punto medio de la diagonal PR. Considerar al punto P como el vértice de la base de menor cota. O ( 55, 25, 15 ) P ( 25, 50, 10 ) R ( 65, 30, 40 ) V ( ¿?, 0, 0 ) Rpta:

xV=43.75

Q(58.0877,47.4099,12.4897)

long=103.8507u

217) 2011-1-P03I-prob1 Se dan incompletas las tres proyecciones principales de un sólido. Completar las líneas que falten y además dibujar su vista tridimensional (en modo alámbrico), mostrándola con una visual que tiene orientación N30ºO y pendiente 60% descendente. Dibujar las líneas ocultas como discontinuas.

Rpta:


Nivel de Dificultad III 218) 2003-1-P05J-prob1 Dibujar la intersección del prisma triangular oblicuo ABC-DEF con el paralelepípedo PQRS-TUVW. A ( 3, 7, 5 ) B ( 4, 10, 4 ) C ( 5, 9, 10 ) D ( 16, 7, 5 ) P ( 12, 1, 6 ) Q ( 9, 1, 1 ) R ( 7, 3, 6 ) T ( 14, 14, 8 ) 219) 2003-1-P05K-prob1 Dibujar la intersección del tetraedro PQRS con el paralelepípedo recto ABCD-EFGH de base rectangular y 30 unidades de altura. Tomar E encima de A. A ( 60, 20, 60 ) B ( 60, 120, 60 ) C ( 10, 120, 60 ) P ( 55, 70, 30 ) Q ( 35, 120, 10 ) R ( 110, 80, 75 ) S ( 15, 90, 125 ) Rpta:

long=238.3343u

220) 2003-1-P05L-prob1 Dibujar la intersección del tetraedro PQRS con el paralelepípedo ABCD-EFGH. Determinar la longitud de la intersección entre sus superficies. A ( 3, 1, 1 ) B (1, 3, 6 ) C ( 4, 3, 11 ) E ( 5, 4, 3 ) P ( 11, 5, 5 ) Q ( 5, 9, 5 ) R ( 4, 2, 5 ) S ( 12, 5, 13 ) Rpta:

long=13.7283u


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221) 2006-2-P04H-prob1, 2007-2-P04I-prob * Se desea soldar una viga de acero a una plancha vertical delgada de área infinita ubicada en el plano principal de perfil. La viga de acero tiene como eje la recta AB, la cual tiene una orientación S70ºO y una pendiente 30% ascendente, donde B está contenido en el plano principal de perfil. La viga de acero tiene una sección transversal (perpendicular al eje) en forma de I, es decir, está formada por tres planchas de acero previamente unidas entre sí (dos alas y un alma) que tienen un espesor de 50mm cada una. El plano de su alma es vertical. El peralte de la viga es de 400mm y el ancho de las alas es de 250mm. Determinar la longitud total de la soldadura que se debe emplear si se soldará por todo el contorno de la viga. A ( 650, 800, 100 ) mm Rpta:

long=1798.0130mm

222) 2006-2-P04J-prob1 Se desea soldar dos poliedros cuyas caras están formadas por planchas metálicas muy delgadas. El primer poliedro ABCD-EFGH es un prisma recto truncado de base ABCD cuadrada y horizontal (tomar C a la izquierda de A), cuya arista AE mide 68 unidades, y donde el plano que lo trunca es el superior y tiene una pendiente 40%E. El segundo poliedro PQRS-TUVW es un prisma de base cóncava PQRS y de arista frontal de 75 unidades de longitud y 30% de pendiente ascendente hacia la derecha. A ( 105, 40, 20 ) B ( 80, 85, 20 ) P ( ¿?, 37, 65 ) Q ( 15, 32, 97 ) R ( 30, 70, 63 ) S ( 23, 20, 27 ) i) Dibuje el poliedro ABCD-EFGH completo y determine las coordenadas de sus vértices D y H. ii) Dibuje poliedro PQRS-TUVW completo y determine las coordenadas de los vértices P y T. iii) Dibuje las líneas de soldadura. iv) Determine la longitud total de soldadura. Rpta:

D(60,15,20) T(93.1531,37,86.5511)

H(60,15,106) long=495.8282u

P(21.3162,37,65)

223) 2007-1-P04H-prob1 Las bases de un prisma recto son triángulos equiláteros siendo ABC la base inferior. Determinar las coordenadas de los puntos de intersección del prisma con la recta MN sabiendo que H es el punto medio del lado BC, que el segmento AH es frontal, que el punto A está detrás de B y que la longitud de las aristas laterales del prisma es 30 unidades. A ( 30, 40, 45 ) C ( 60, ¿?, ¿? ) H ( 45, ¿?, 75 ) M ( 25, 5, 70 ) N ( 40, 55, 85) Rpta.:

M’(33.4429,33.1430,78.4429)

N’(35,38.3333,80)

224) 2007-1-P04H-prob2 Determinar la longitud total de la intersección del tetraedro ABCD con el prisma recto de base inferior cóncava PQRS y altura 75 unidades. A ( 30, 10, 30 ) B ( 70, 30, 100 ) C ( 70, 75, 80 ) D ( 110, 15, 30 ) P ( 65, 35, ¿? ) Q ( 95, 30, 25 ) R ( 65, 75, 40 ) S ( 30, 20, 35 ) Rpta.:

long=372.7186u

225) 2007-1-P04I-prob2 ABCDE es un pentágono regular horizontal, base superior de un prisma recto de 15 unidades de altura. Se tiene otro prisma cuya base superior es el triángulo LMN de 20 unidades de altura. Determinar la longitud de la intersección si se sabe que existe. A ( 15, 11, 30 ) C ( 10, 8, 30 ) L ( 20, 15, 20 ) M ( 20, 10, 25 ) N ( 17, 12, 25 ) Rpta.:

long=28.6923u


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226) 2007-2-P04H-prob * Se desea soldar una viga de acero a la cara de una plancha vertical de acero ubicada en el plano principal de perfil. La viga de acero tiene como eje la recta AB, la cual tiene una orientación S65ºO y una pendiente 35% ascendente. La viga de acero tiene una sección transversal (perpendicular al eje) constante en forma de C, es decir, está formada por una plancha de acero que tiene un espesor de 50mm previamente doblada, formando así dos alas y un alma. El plano de su alma es vertical y está delante del eje. El peralte de la viga es de 400mm y el ancho de las alas es de 200mm. Determinar la longitud total de la soldadura que se debe emplear, si se soldará por todo el contorno de la viga. A ( 550, 800, 150 ) mm Rpta:

1628.3530u

227) 2007-3-P04G-prob2 Determinar la longitud total de la intersección del prisma recto ABC-A’B’C’ con el tetraedro DEFG. La base ABC es la cara inferior del prisma el cual tiene una altura de 75 unidades. A ( 25, 30, 95 ) B ( 40, 70, 65 ) C ( 35, 20, 30 ) D ( 30, 10, 30 ) E ( 105, 30, 70 ) F ( 80, 75, 70 ) G ( 30, 15, 110 ) Rpta: 366.1691

228) 2008-1-P04H-prob1 Determinar la longitud total de la intersección del octaedro regular PQRSTU con el plano de orientación N15ºE y pendiente 20%NO, limitado por una elipse. La elipse tiene centro en O, tiene un eje mayor de 40 unidades de longitud y de orientación S40ºE y tiene un eje menor de 25 unidades de longitud. PS, QT y RU son diagonales interiores al octaedro. Tomar Q delante de S. O ( 75, 50, 35 ) P ( 40, 50, 20 ) Q ( ¿?, ¿?, 20 ) S ( 80, 30, 50 ) Rpta:

Q(60.0697,17.6394,20)

long=36.4024u

229) 2008-1-P04H-prob2 ABCDE es un pentágono regular horizontal, base inferior de un prisma recto de 80 unidades de altura. Se tiene otro prisma cuyas bases son los triángulos PQR y P’Q’R’. Determinar la longitud de la intersección de los prismas. Tomar E delante de A. A ( 95, 40, 70 ) C ( 155, 80, ¿? ) P ( 210, 50, 145 ) Q ( 190, 95, 105 ) R ( 165, 155, 115 ) Q’ ( 50, 60, 90 ) Rpta:

long=337.1571u

230) 2008-1-P04I-prob2 Hallar la longitud de la intersección del prisma recto vertical ABCD-A’B’C’D’ con el prisma PQR-P’Q’R’. A ( 20, 28, 50 ) B ( 40, 20, 50 ) C ( 55, 30, 50 ) D ( 33, 40, 50 ) A’ ( 20, 28, 10 ) P ( 7, 40, 43 ) Q ( 15, 23, 33 ) R ( 10, 35, 25 ) P’ ( 67, 30, 30 ) Rpta:

long=148.8099u

231) 2009-1-P03H-prob2 Dadas las proyecciones H, F y P de un poliedro, dibujar una vista tridimensional, mostrada desde el Sureste. Dibujar las líneas ocultas como discontinuas.


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232) 2009-1-P03I-prob2 Dadas las proyecciones H, F y P de un poliedro, dibujar una vista tridimensional, mostrada desde el Sureste. Dibujar las líneas ocultas como discontinuas.

233) 2009-2-P03H-prob1 Dadas las proyecciones H y F de un poliedro, dibujar una vista de perfil y su correspondiente vista tridimensional (en modo alámbrico), mostrada desde el Sureste. Dibujar las líneas ocultas como discontinuas.


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234) 2009-2-P03I-prob1 Dadas las proyecciones H y F de un poliedro, dibujar una vista de perfil y su correspondiente vista tridimensional (en modo alámbrico), mostrada desde el Sureste. Dibujar las líneas ocultas como discontinuas.

235) 2009-3-P03G-prob1 Dadas las proyecciones H y F de un poliedro, dibujar una vista de perfil y su correspondiente vista tridimensional (en modo alámbrico), mostrada desde el Sureste. Dibujar las líneas ocultas como discontinuas.

236) 2010-2-P03H-prob1 Dadas las proyecciones frontal (F) y de perfil (P) de un sólido, dibujar su correspondiente vista tridimensional (en modo alámbrico), mostrada en la dirección del segmento 12. Dibujar las líneas ocultas como discontinuas. Todas las superficies del sólido son paralelas a los planos principales, con excepción de las superficies cilíndricas. Rpta:


237) 2011-1-P03H-prob1 Se dan incompletas las tres proyecciones principales de un sólido. Completar las líneas que falten y además dibujar su vista tridimensional (en modo alámbrico), mostrándola con una visual que tiene orientación N30ºO y pendiente 60% descendente. Dibujar las líneas ocultas como discontinuas.

Rpta:



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Nivel de Dificultad IV 238) 2003-1-P05I-prob2 Dibujar la intersección del prisma cóncavo oblicuo ABCD-EFGH con la pirámide PQRS. Determinar la longitud del polígono espacial generado. A(7.93,1.32,0.33) B(1.00,8.25,4.95) C(12.73,4.35,12.21) D(7.60,4.62,6.27) E(23.00,24.00,1.00) P(14.60,8.40,-4.60) Q(24.20,16.80,-4.60) R(5.00,18.00,5.00) S(14.60,18.00,24.20) 239) 2003-1-P05J-prob1 Dibujar la intersección del prisma cóncavo oblicuo ABCD-EFGH con la pirámide PQRS. Determinar la longitud total de las intersecciones entre sus superficies. A(90.0,13.2,53.8) B(20.7,82.5,100.0) C(138.0,43.5,172.6) D( 86.7,46.2,113.2) E(250.7,240.0,60.5) P(160.0,84.0,10.0) Q( 256.0,168.0,10.0) R(64.0,180.0,106.0) S(160.0,180.0,298.0) 240) 2006-1-P04H-prob2 Determinar la longitud total de la intersección del prisma cóncavo recto ABCD-A’B’C’D’ con el tetraedro EFGH. La base ABCD es la cara inferior del prisma el cual tiene una altura de 75 unidades. A ( ¿?, 35, 65 ) B ( 25, 30, 95 ) C ( 40, 70, 65 ) D ( 35, 20, 30 ) E ( 30, 10, 30 ) F ( 105, 30, 70 ) G ( 80, 75, 70 ) H ( 30, 15, 110) Rpta:

long=383.4015u

241) 2006-1-P04J-prob2 Determinar la longitud total de la intersección del prisma cóncavo recto ABCD-A’B’C’D’ con el tetraedro EFGH. La base ABCD es la cara inferior del prisma el cual tiene una altura de 75 unidades. A ( 65, 35, ¿? ) B ( 95, 30, 25 ) C ( 65, 70, 40 ) D ( 30, 20, 35 ) E ( 30, 10, 30 ) F ( 70, 30, 105 ) G ( 70, 75, 80 ) H ( 110, 15, 30 ) Rpta:

long=383.4015u

242) 2010-1-P03I-prob1 Dadas las proyecciones H, F y P de un poliedro, dibujar la vista tridimensional (en modo alámbrico), mostrada en la dirección del segmento 12. Dibujar las líneas ocultas como discontinuas.

Rpta:


243) 2010-2-P03I-prob1 Dadas las proyecciones frontal (F) y de perfil (P) de un sólido, dibujar su correspondiente vista tridimensional (en modo alámbrico), mostrada en la dirección del segmento 12. Dibujar las líneas ocultas como discontinuas. Todas las superficies del sólido son paralelas a los planos principales, con excepción de las superficies cilíndricas. Rpta:



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Nivel de Dificultad V 244) 2010-1-P03H-prob1 Dadas las proyecciones H y F de un poliedro, dibujar una vista de perfil y su correspondiente vista tridimensional (en modo alámbrico), mostrada en la dirección del segmento 12. Dibujar las líneas ocultas como discontinuas.

Rpta:



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Capítulo 5: SUPERFICIES CURVAS

Capítulo 5: SUPERFICIES CURVAS Nivel de Dificultad I (Vacío)

Nivel de Dificultad II 245) 2003-1-P05I-prob2 Ubicar un punto P en el plano ABC que se encuentre a 20 unidades del punto R y a 30 unidades del punto S. Tomar P más al oeste que R. A ( 10, 36, 83 ) B ( 41, 25, 97 ) C ( 27, 10, 69 ) R ( 27, 18, 93 ) S ( 27, 4, 79 ) 246) 2006-1-P05J-prob1 Unir las rectas AB y CD mediante un segmento EF de longitud igual a 10 unidades y que además sea paralelo al plano LMN. Tomar E en AB, F en CD y EF ascendente. A ( 15, 20, 30 ) B ( 45, 30, 20 ) C ( 20, 25, 15 ) D ( 35, 5, 45 ) L ( 10, 25, 50 ) M ( 15, 5, 60 ) N( 25, 15, 40 ) Rpta:

E(25.2544,23.4181,26.5819)

F(27.7914,14.6115,30.5828)

OK

247) 2006-2-EXSH-prob1 ABC es un triángulo equilátero. El vértice B está en la recta AD y el vértice C está en la recta perpendicular al plano ADE que pasa por M. Determinar las coordenadas de B y C y también la orientación y pendiente del plano ABC. Tomar C arriba de B. A ( 82, 12, 65 ) D ( 45, 20, 82 ) E ( 57, 40, 45 ) M ( 72, 30, 72 ) Rpta:

B(54.7979,17.8815,77.4983) or=N49º23’E

C(76.8709,38.9224,78.4027) pe=56.37%SE

OK

248) 2007-1-P06H-prob1 Conectar los segmentos de recta AB y CD por uno tercero EF que mida 40 unidades y que tenga una pendiente de 40º. Obtener las coordenadas de los puntos E y F si están contenidas en AB y CD respectivamente. A ( 40, 80, 80 ) B ( 95, 20, 15 ) C ( 45, 65, 60 ) D ( 25, 40, 5 ) Rpta.:

E(63.2180,54.6712,52.5605)

F(32.9451,49.9314,26.8490)

OK

249) 2007-1-P06I-prob1 Determinar en la recta LM los puntos V y W de tal manera que los ángulos PVQ y PWQ sean 90º. L (45, 40, 40 ) M ( 70, 10, 80 ) P ( 10, 15, 75 ) Q ( 40, 55, 35 ) Rpta.:

V ó W = (55.8882,26.9342,57.4211)

W ó V = (38.1118,48.2658,28.9789)

OK

250) 2007-1-P06I-prob2 Conectar los segmentos de recta AB y CD por uno tercero EF que mida 35 unidades y que tenga una pendiente de 40º. Obtener las coordenadas de los puntos E y F si están contenidas en AB y CD respectivamente. A ( 30, 60, 80 ) B ( 85, 0, 15 ) C ( 35, 45, 60 ) D ( 15, 20, 5 ) Rpta.:

E(51.3716,36.6855,54.7427)

F(24.9073,32.3841,32.2451)

ok

251) 2007-2-P06H-prob1 Ubicar un punto K en el plano limitado por el triángulo PQR que se encuentre a 20 unidades de I y a 30 unidades de J. I ( 55, 20, 5 ) J ( 55, 5, 20 ) P ( 40, 35, 15 ) Q ( 70, 25, 5 ) R ( 55, 10, 30 ) Rpta:

L(43.2534,32.2489,15.5822)

252) 2007-2-P06I-prob2 El punto L está contenido en el plano horizontal principal y dista 75 unidades del origen de coordenadas. El segmento LM asciende con una orientación N30ºE y una pendiente de 200%. Determinar las coordenadas de los puntos L y M si se sabe que el segmento MN es horizontal y mide 50 unidades. Tomar M atrás de N. N ( 100, 75, 50 ) Esteban Ortiz Bosmans

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L(38.7012,64.2434,0)


M(51.2012,85.8940,50)

253) 2008-1-P06H-prob1 AC es diagonal de un rectángulo. El punto B se encuentra en RS y está delante de A. Determinar las coordenadas de los vértices B y D del rectángulo. A ( 43, 15, 35 ) C ( 67, 30, 20 ) R ( 58, 5, 40 ) S ( 75, 35, 20 ) Rpta:

B(61.1748,10.6026,36.2649)

D(48.8252,34.3974,18.7351)

254) 2008-1-P06I-prob1 El cuadrado ABCD es un plano normal, donde M es el punto medio de BC (B es el vértice más bajo). O es el centro de una esfera y el punto T está contenido en la esfera. El cuadrado ABCD produce en la esfera una sección circular de radio 16 unidades y centro O’, siendo O’ también centro del cuadrado ABCD. Hallar las coordenadas de O A ( 30, 53, 43 ) M ( 51, 95, 17 ) T ( 69, 62, 62 ) Rpta:

B(57.3561,73.2314,9.1306)

O(56.2640,84.8843,49.2340)

OK

255) 2009-1-EXSI-prob2 AM es la altura de un triángulo equilátero ABC. P pertenece al lado AB. Hallar las coordenadas de los vértices del triángulo ABC y la orientación y pendiente del plano que lo contiene. Obténganse todas las soluciones posibles. A ( 10, 25, 20 ) M ( 35, 40, 10 ) P ( 20, 40, ¿? ) Rpta:

B1(29.7290,54.5935,18.7128) C1(40.2710,25.4065,1.2872) or1=N30º50’E pe1=72.57%SE

B2(25.2347,47.8520,-2.6353) C2(44.7653,32.1480,22.6353) or2=N74º58’E pe2=124.91%NO

256) 2010-2-P03I-prob2 Desde A trazar un segmento AB de 30 unidades de longitud, con pendiente de 60º y que corte a MN. Obtener todas las soluciones posibles de las coordenadas de B. A ( 45, 55, 35 ) M ( 25, 60, 10 ) N ( 70, 70, 20 ) Rpta:

B1(32.1737,62.7772,9.0192)

B2(50.8203,68.8248,9.0192)

Nivel de Dificultad III 257) 2003-1-P06K-prob2 Trazar por el punto P una recta horizontal PQ de 35 unidades, cuyo extremo Q se encuentre en la superficie del cilindro recto de eje O1O2 y radio igual a 20 unidades. O1 ( 30, 50, 10 ) O2 ( 60, 150, 140 ) P ( 8, 120, 60 ) Q ( ¿?, ¿?, ¿? ) Rpta: Q1(21.1184,87.5515,60)

Q2(42.4061,113.5798,60)

258) 2003-1-P06L-prob1 Determinar las coordenadas del punto de mayor cota que pertenezca al plano ilimitado MNP y que diste 5 unidades del eje Z. M ( -10, 1, 2 ) N ( 20, -9, 12 ) P ( 0, 11, 32 ) Rpta:

(2.2361,4.4721,21.1803)

259) 2003-1-EXSI-prob2 Los segmentos AB y CD son perpendiculares entre sí y miden 50 y 40 unidades respectivamente. Considerando CD ascendente. Se pide completar las coordenadas de A y B. A ( 50 , 30, ¿?) B ( 40 , ¿?, 30) C ( 30 , 60, ¿?) D( 10 , 40, ¿?) Rpta:

zA1=6.6269 yB1=73.0546

zA2=62.8012 yB2=-6.3879

OK

260) 2006-1-P05H-prob1 Pasar por la recta MN un plano que corte a los otros dos, ABC y ABD, según dos rectas perpendiculares entre sí. Determinar las coordenadas del punto L contenido en los tres planos considerando la solución de mayor alejamiento (mayor Y). A ( 20, 15, 30 ) C ( 60, 25, 10 ) B ( 20, 55, 35 ) D ( 20, 45, 50 ) N ( 45, 35, 15 ) M ( 25, 35, 45 ) Rpta:

L(20,50.2626,34.4078)

OK

261) 2006-2-P05H-prob1 V es el vértice de un cono y O es el centro de su base. La base es un plano normal de pendiente 60% Oeste, que se ve como una circunferencia de radio 20 unidades en la proyección horizontal. Determinar las intersecciones de la recta AB con el cono. A ( 25, 10, 25 ) B ( 25, 35, 30 ) O ( 20, 45, 40 ) V ( 20, 5, 5 ) Rpta:

I1=(25,16.7551,26.3510)


I2=(25,45.3066,32.0613)

OK 37/70



262) 2006-2-P05J-prob1 VP y VQ son dos generatrices de un cono recto, estando P y Q en la directriz circular del cono de centro O. VP y VQ forman 60º entre sí y la altura del cono es de 20 unidades. El vértice V está 10 unidades detrás de P. Determinar la orientación y pendiente del eje OV del cono y el radio de su base si O está por debajo de P. P (10, 23, 10) Q (28, 10, 25) Rpta:

V(34.6798,33,12.9842) or=N26º11’E

O(26.1124,15.5813,8.1689) pe=24.81%asc

r=17.8326u OK

263) 2006-2-EXFJ-prob2 Un panetón apoyado sobre el plano horizontal, cuya base tiene 15 centímetros de diámetro y cuya altura total es de 20 centímetros se corta en la dirección de un plano de orientación N50ºE y pendiente 200% NO. El panetón está formado por un cilindro donde el eje coincide con el eje coordenado Z y por una semiesfera en su copa de igual diámetro que el cilindro. Se desea untar con mantequilla una de las dos superficies cortadas. Determinar el área que se untará si el plano de corte pasa por el punto C. Recomendación: usar los comandos region y area. C ( 5, 5, 5 ) Rpta:

área= 260.0480cm2

264) 2006-2-EXSJ-prob2 AC es la diagonal de un rectángulo ABCD. El vértice B pertenece a la recta LM y al plano limitado por el triángulo PQR. Obtener las coordenadas de los vértices que faltan del rectángulo. A ( 43, 13, 35 ) C ( 65, 32, 22 ) L ( 45, 9, 15 ) M ( 74, 13, ¿? ) P ( 48, 12, 35 ) Q ( 60, 22, 40 ) R ( 71, 1, 35 ) Rpta:

zM=53.0917

B(61.6326,11.2941,36.8470)

D(46.3674,33.7059,20.1530)

265) 2006-2-EXRE-prob2 El punto L está contenido en el plano horizontal principal y dista 75 unidades del origen de coordenadas. El segmento LM asciende con una orientación N30ºE y una pendiente de 200%. Determinar las coordenadas de los puntos L y M si se sabe que el segmento MN es horizontal y mide 50 unidades. Tomar M atrás de N. N ( 100, 75, 50 ) Rpta:

L(38.7012,64.2434,0)

M(51.2012,85.8940,50)

OK

266) 2007-1-P06H-prob2 El cuadrado ABCD está contenido en un plano normal, donde M es el punto medio del lado BC y B es el vértice más bajo del cuadrado. El punto O es el centro de una esfera y el punto T está contenido en la superficie de la misma. El plano del cuadrado ABCD produce en la esfera una sección circular de radio 20 unidades y centro O’, siendo también O’ el centro del cuadrado. Determinar las coordenadas del centro de la esfera y la longitud de su radio. A ( 15, 25, 45 ) M ( 30, 45, 30 ) T( 40, 30, 55 ) 267) 2007-2-P06H-prob2 Se dan un plano ABC y un segmento de recta MN. Determinar las coordenadas de un punto L contenido en el plano limitado por el triángulo ABC, talque el ángulo MLN sea recto y que las suma de las longitudes de los segmentos LM y LN sea de máxima longitud. A ( 25, 35, 40 ) B ( 85, 35, 40 ) C ( 85, 60, 40 ) M ( 40, 60, 45 ) N ( 70, 30, 55 ) Rpta:

L(71.8604,54.5251,40)

268) 2007-2-P06I-prob1 La longitud de los segmentos PQ y QR están en la relación de 10 a 2. Completar las coordenadas que faltan si la pendiente de PR es 40% descendente. Tomas Q a la derecha de R. P ( 45, 40, 40 ) Q ( ¿?, 15, 0) R ( 70, 10, ¿? ) Rpta:

xQ=120.5121

zR=24.3795

269) 2007-2-EXPH-prob1 AM es la altura de un triángulo equilátero ABC. El punto N pertenece al lado AB ascendente. Completar las coordenadas de los vértices del triángulo. A ( 30, 25, 20 ) M ( 58, 40, 10 ) N ( 43, 42, ¿? ) Rpta:

B(53.3577,55.5447,20.3188)

C(62.6423,24.4553,-0.3188)

zN=20.1774

270) 2007-3-P06G-prob1 Los puntos de intersección de la recta MN con la superficie del cilindro circular recto cuyo eje es la recta EF, distan 30 unidades entre sí. Determinar el radio del cilindro y las coordenadas de os puntos de intersección. Esteban Ortiz Bosmans

38/70


E ( 30, 15, 40 ) Rpta:

F ( 15, 30, 30 )

R=6.4597


M ( 15, 30, 25 )

I1(23.2418,25.8791,27.7473)

N ( 45, 15, 35 )

I2(-2.4725,38.7363,19.1758)

271) 2007-3-P06G-prob2 Determinar las coordenadas de los vértices que faltan del rectángulo ABCD, sabiendo que la pendiente de BD es de 60% y que la relación entre los lados BA y BC es de 3 a 2, respectivamente. Tomar B delante de A. A ( 50, 20, 40 ) C ( 70, 35, 15 ) Rpta:

B(69.5060,15.6925,18.4049)

D(50.4940,39.3075,36.5951)

OK

272) 2008-1-P06H-prob2 La intersección de un cono circular recto con un plano es una elipse. El cono tiene su vértice en V y su eje es la recta VO. El punto O divide a al eje mayor AB de la elipse tal que AO es a OB como 3 es a 2. Determinar la longitud de la elipse. Tomar V encima de B. A ( 95, 40, 70 ) O ( 70, 60, 40 ) V ( 25, 75, ¿? ) Rpta:

long=222.1884u

273) 2008-1-P06I-prob2 Completar las coordenadas de la recta descendente AB sabiendo que mide 35 unidades. La recta AB es perpendicular a RS. RS mide 40 unidades. Tomar R debajo de S. A ( 5, ¿?, 12 ) B ( 20, 23, ¿? ) R ( 30, 27, ¿? ) S ( 30, 7, ¿? ) Rpta:

yA=50.3861

zB=-3.8114

274) 2009-1P03H-prob1 C es el centro de un círculo que tiene orientación N60ºE, inclinación 30ºSE y radio 35 unidades. La recta LM pertenece a un plano paralelo al círculo. Hallar un punto X en la circunferencia de tal manera que XL sea perpendicular a XM. LM mide 45 unidades, va hacia adelante y M está a la derecha y 20 unidades debajo de L. C ( 15, 15, 65 ) L ( 20, 30, 80 ) Rptas:

X1(47.3283,9.3433,52.8393)

X2(35.37934,42.3686,72.8030)

275) 2009-1-P03I-prob1 C es el centro de un círculo que tiene orientación N60ºE, inclinación 30ºSE y radio 33 unidades. La recta LM pertenece a un plano paralelo al del círculo. Hallar un punto X en la circunferencia de tal manera que XL sea perpendicular a XM. LM mide 45 unidades, va hacia adelante y M está a la derecha y 20 unidades debajo de L. C ( 13, 17, 66 ) L ( 22, 31, 80 ) Rpta:

X1(41.4594,6.8679,52.7184)

X2(32.8576,42.4167,72.9760)

OK

276) 2010-1-P03H-prob2 Dadas las proyecciones horizontal y frontal de una superficie de revolución, determinar las coordenadas de los puntos A y B contenidos en su superficie. Tomar A delante de B. Rpta:

A(-2.5,-3.7889,3)


B(3,1.5,5.4963)

39/70



277) 2011-1-P03H-prob2 Dadas las proyecciones horizontal y frontal de una superficie de revolución, determinar las coordenadas de los puntos A y B contenidos en su superficie. Tomar A delante de B. Rpta:

A(-2,-2.0508,3)

B(1.5,1,8.2239)

278) 2011-1-P03I-prob2 Dadas las proyecciones horizontal y frontal de una superficie de revolución, determinar las coordenadas de los puntos A y B contenidos en su superficie. Tomar A delante de B.

Rpta:

A(-2,-4.3301,3)

B(3,2,6.9282)

Nivel de Dificultad IV 279) 2003-1-P06I-prob1 Dado un punto P y un cono recto de ápice V con base de centro O y radio igual a 20 unidades. Se pide determinar las coordenadas de un punto Q situado sobre la superficie del cono de tal forma que el segmento PQ tenga 50 unidades de longitud y a su vez sea paralelo al plano ABC. A ( 41, 38, -20 ) B ( -30, 40, 10 ) C ( 16, 115, 5 ) O ( 30, 20, 0 ) P ( 10, 60, 50 ) V ( 30, 20, 50 ) Rpta:

Q1(26.2141,15.2235,34.7628) Q2(37.0388,22.1966,31.5662)

280) 2003-1-P06L-prob2 Determinar un punto R sobre el plano ABC tal que CR tenga 90 unidades de longitud y VR tenga 250% de pendiente descendente. A ( 78, 16, 5 ) B ( 3, -19, 20 ) C ( -16, 95, 25) R ( ¿?, ¿?, ¿? ) V ( 30, 20, 50 ) 281) 2006-1-P05J-prob2 PQRS es un tetraedro regular y M es el punto medio de RS. El plano PQR tiene una orientación N30ºE y una pendiente de 50% SE. Determinar las coordenadas que faltan de los vértices del tetraedro. Tomar R detrás de P y a la izquierda de Q. P ( 10, 43, 10 ) M ( 15, ¿?, 30) Rpta:

yM= 66.2118 Q(34.4020,68.9410,5.9189)


R(2.8975,76.2411,21.3857)

S(27.1025,56.1825,38.6143)

OK 40/70



282) 2006-2-P05J-prob2 * El triángulo ABC tiene de perímetro 100 unidades y sus lados AB, BC y AC están en la relación de 1, 2 y 6 respectivamente. Determinar las coordenadas de sus vértices si se sabe que AB tiene orientación N60ºO y pendiente 30% ascendente y que el vértice C está contenido en el segmento MN. A ( ¿?, 50, 35 ) M ( 35, 25, 50 ) N ( 90, 65, 20 ) Rpta:

xA=85.0256

B(69.8040,58.7882,40.2729)

C(44.8885,32.1916,44.6063)

OK

283) 2007-2-EXFI-prob1 * Una esfera muy pequeña resbala por la superficie superior de una esfera grande a partir del punto I. Luego, cae verticalmente sobre un cilindro, resbala por su superficie y cae verticalmente sobre un cono. Al llegar al borde del cono, cae verticalmente sobre el plano horizontal principal. Determinar la posición final de la esfera pequeña y la longitud de su recorrido. La esfera grande tiene centro en M y radio 30 unidades. El cilindro es circular recto, de radio 20 unidades y de eje horizontal que pasa por el punto N y que tiene orientación N45ºE. El cono es circular y recto, de vértice en V y cuya base es de 50 unidades de radio con centro en O. Considérese que la gravedad es tan grande que no permite que la esfera pequeña deje de estar en contacto con la superficie por la que resbala. I ( 75, 30, ¿? ) M ( 80, 20, 80 ) N ( 50, 15, 40 ) O ( 70, 55, 10 ) V ( 70, 55, 40 ) Rpta:

long=141.4580u

F(20.6755,46.8090,0)

284) 2007-2-EXFI-prob2 * Un cono circular recto de eje AB y un cilindro circular recto de eje CD tiene en común una generatriz. Obtener el radio del cilindro y la orientación y pendiente de otra generatriz del cono que se sabe pasa por el punto P. A ( 25, 40, 30 ) B ( 40, 80, 45 ) C ( 30, 20, 20 ) D ( 65, 35, 50 ) P ( 50, 60, 60 ) Rpta:

or=N62º36’E pe=109.21%asc

R=27.4476u V(28.2762,48.7364,33.2762)

OK

285) 2008-1-P07H-prob2, 2008-1-EXSH-prob2, 2008-1-EXSI-prob2 Una de las curvas de intersección de un cono circular recto con un cilindro circular recto es una elipse. La elipse está contenida en un plano que hace 70º con el eje de cono. Las generatrices del cono forman un ángulo de 30º con su eje. Determinar el ángulo que forman los ejes del cilindro y del cono.

Rpta:

ang1=3º16’

Elipse

ang2=43º16’

286) 2009-2-P03H-prob2 * Un plano vertical de orientación S70ºE contiene un triángulo ABC de 90 unidades de perímetro. Determinar las coordenadas de sus vértices si A está contenido en la recta DE y está a la izquierda de C. B ( 20, ¿?, 50 ) C ( 40, ¿?, 20 ) D ( 15, 20, 5 ) E ( 70, 70, 25 ) Rpta:

A(31.9064,35.3695,11.1478)

yB=39.7031

yC=32.4237

OK

287) 2009-2-P03I-prob2 * Los puntos A, B y C son los vértices de un triángulo contenido en un plano frontal. El punto A pertenece al segmento DV, el punto B pertenece al segmento EV y el punto C pertenece al segmento FG. Determinar las coordenadas de los vértices si se sabe que el ángulo ACB mide 120º y que C está debajo de A. D ( 55, 20, 30 ) E ( 20, 10, 45 ) F ( 40, 35, 10 ) G ( 40, 60, 60 ) V ( 30, 80, 20 ) Rpta:

A(45.9544,41.7094,26.3818)

B(24.5299,41.7094,33.6752)

C(40,41.7094,23.4187)

OK

288) 2010-1-P03I-prob2, 2010-1-EXSI-prob2 Una superficie cónica tiene como directriz el arco de circunferencia PQR de centro O, y su vértice V dista 50 unidades de los segmentos PQ y QR. Hallar la longitud de la curva de intersección de la superficie Esteban Ortiz Bosmans

41/70



cónica con el plano ABC. Se sabe además que VO es perpendicular al plano del arco y que V está a la derecha de O. A ( 45, 20, 30 ) B ( 30, 10, 90 ) C ( 40, 80, 20 ) P ( 10, 25, 40 ) Q ( 10, 50, 20 ) R ( 10, 75, 40 ) Rpta:

O(10,50, 45.625) long=26.4370u eje mayor = 22.7364u I(36.9018,50,45.625) Oelipse(36.3526,50.7828,42.2777)

V(55.8215, 50, 45.625) eje menor= 21.4661 OK

289) 2011-1-EXSI-prob2 O Y O’ son los centros de dos esferas de 40 y 20 unidades de diámetro respectivamente. Trazar por P un plano tangente a las dos esferas. Determinar su orientación, su pendiente y su intersección con el eje Z de todas las soluciones posibles. O ( 55, 15, 70 ) O’ ( 75, 30, 75 ) P ( 55, 40, 85 ) Rpta:

N1(79.2964,11.6014,52.3435)

N2(71.2042,44.5285,71.1431)

M(100.1741,15.3078,60)

OK

Nivel de Dificultad V 290) 2006-1-P05H-prob2 * Completar las coordenadas de un cuadrilátero plano ABCD tal que al orientación de AB sea N15ºO y que la medida de los ángulos ACB y ADB sean ambas iguales a 60º. A ( ¿?, 0, 0 ) B ( 0, ¿?, 0 ) C ( ¿?, 20, 20 ) D ( 0, 0, ¿?) Rpta:

xA=7.2368 xC=-6.4415

yB=27.0080 zD=17.3975

OK

291) 2006-2-P05H-prob2 * Sea un triángulo PQR cuyo perímetro es de 130 unidades y cuyo ángulo PQR mide 30º. Determinar las coordenadas de sus vértices si se sabe que PQ tiene orientación N45ºE y que el vértice R está contenido en el segmento MN. M ( 35, 25, 50 ) N ( 90, 65, 20 ) P ( ¿?, 20, 35 ) Q ( ¿?, 60, 45 ) Rpta:

xP=67.9873


xQ=107.9873

R(68.4258,49.3097,31.7677)

OK

42/70


Capítulo 6: ÁNGULOS

Capítulo 6: ÁNGULOS Nivel de Dificultad I (Vacío)

Nivel de Dificultad II 292) 2003-1-P05J-prob2 Hallar, en la recta TU, las coordenadas de un punto W tal que el segmento VW forme un ángulo de 40º con el plano LMN. Tomar W más al oeste que V. L ( 8, 4, 15 ) M ( 2, 4, 20 ) N ( 5, 8, 12 ) T ( 3, 10, 7 ) U ( 13, 5, 12 ) V ( 10, 9, 16 ) Rpta:

W(3.7700,9.6150,7.3850)

293) 2003-1-P05K-prob2 Determinar la orientación de una recta horizontal que pase por el punto V y que haga un ángulo de 30º con el plano MNP. M ( 10, 57, 22 ) N ( 41, 83, 4 ) P ( 62, 60, 43 ) V ( 28, 75, 37 ) Rpta:

N72º12’08”O

S72º12’08”E

N30º46’54”E

S30º46’54”O

294) 2006-2-P06H-prob1 Determinar las coordenadas de los vértices de la pirámide V-ABC sabiendo que las aristas hacen ángulos iguales con la base ABC, que la longitud de VC es de 40 unidades, que C está contenido en el segmento VC’, que VA tiene orientación Oeste y pendiente 80% descendente, y que VB es horizontal y tiene orientación S50ºO. Determinar también el ángulo que hacen las aristas con la base ABC. C’ ( 40, 10, 20 ) V ( 46, 55, 40 ) Rpta:

A(14.7652,55,15.0122) ang=54º56’

B(15.3582,29.2885,40)

C(41.1621,18.7159,23.8737) OK

295) 2006-2-EXSJ-prob1 PQ y RS hacen un ángulo de 30º. Completar las coordenadas del punto S y determinar la orientación y pendiente de la recta RS. Elegir la solución más corta para RS. P ( 31, 43, 55 ) Q ( 57, 56, 40 ) R ( 22, 62, 63 ) S ( 50, 68, ¿? ) Rpta:

zS=62.6491

or=N77º54’E

pe=1.23%desc

296) 2007-1-P07H-prob1 Determinar la orientación de una recta que pase por P, que sea ortogonal a la recta LM y que haga un ángulo de 30º con el plano ABC. A ( 20, 55, 70 ) B ( 40, 20, 50 ) C ( 55, 45, 85 ) L ( 25, 35, 80 ) M ( 25, 35, 60 ) P ( 50, 45, 65 ) Rpta.:

or1=N13º32’O

or2=N85º25’E

or3=S13º32’E

or4=S85º25’O

297) 2008-1-P07I-prob1 LM hace un ángulo de 30º con el plano PQR. Completar las coordenadas del punto M sabiendo que está debajo de R. L ( 13, 25, 40 ) M ( 42, 38, ¿? ) P ( 6, 40, 35 ) Q ( 24, 15, 15 ) R ( 46, 33, 50 ) Rpta:

zM=45.7597

298) 2009-2-P04H-prob1 La recta LM hace 60º con el plano vertical ABC. Completar las coordenadas de M y determinar la orientación y pendiente de LM. Presentar todas las soluciones posibles. A ( 5, 20, 80 ) B ( 25, ¿?, 40 ) C ( 60, 65, 95 ) L ( 5, 20, 70 ) M ( 50, ¿?, 50 ) Rpta:

yB=56.8182 yM1=24.8509 (-4.9560) yM2=141.5321 (-247.1751)


or1=N83º51’E or2=N20º19’E


43/70



299) 2009-2-P04I-prob1 La recta AL hace un ángulo de 30º con el plano ABC. Completar las coordenadas de L y determinar la orientación y pendiente de AL. Presentar todas las soluciones posibles. A ( 5, 29, 17 ) B ( 18, 3, 35 ) C ( 32, 18, 8 ) L ( 30, 25, ¿? ) Rpta:

zL1=23.7669 zL2=-86.6423

or1=S80º55’E or2=or1

pe1=26.73%asc pe2=409.36%desc

300) 2009-3-EXFG-prob1 La recta descendente LM hace un ángulo de 50º con el plano normal ABCD. Hallar la cota de M y la orientación y pendiente de LM. A ( 20, ¿?, 20 ) B ( 45, ¿?, 35 ) L ( 15, 10, 40 ) M ( 50, 30, ¿? ) Rpta:

zM=21.3026

or=N60º15’E

pe=46.38%desc

301) 2010-2-P04H-prob1 PQ hace un ángulo de 70º con el plano ABC. Completar las coordenadas de los puntos P y Q, si P pertenece al plano ABC. Presentar todas las soluciones posibles. A ( 24, 15, 20 ) B ( 37, 24, 32 ) C ( 59, 11, 53 ) P ( 41, 16, ¿? ) Q ( 70, 20, ¿? ) Rpta:

zQ1= 20.2923

zQ2= -30.2117

302) 2010-2-P04I-prob1 Determinar todas las soluciones posibles de las coordenadas del vértice J de un tetraedro AJMC sabiendo que los ángulos diedros interiores en AM, AC y CM miden 30º, 60º y 115º respectivamente. A ( 38, 30, 85 ) C ( 60, 48, 70 ) M ( 48, 38, 90 ) Rpta:

J1(68.1110,40.3837,76.2101)

J2(54.3560,57.4137,76.4721)

303) 2010-2-EXFH-prob1 Trazar por R un segmento de recta RS de 50 unidades de longitud que corte con PQ y que haga un ángulo de 30º con LM. Obtener las coordenadas de S y la orientación y pendiente de RS. L ( 40, 5, 40 ) M ( 60, 15, 40 ) P ( 35, 45, 25 ) Q ( 55, 20, 10 ) R ( 25, 25, 25 ) Rpta:

S1(70.5906,30.6434,5.2605) S2(52.6397,66.5452,21.8306)

or1=N82º57É or2=N33º38É


OK

304) 2010-2-EXFI-prob1 Se da el espejo ABC y el rayo incidente ST. Determinar las coordenadas del punto de incidencia del rayo sobre el espejo y la orientación y pendiente del rayo reflejado. A ( 70, 25, 45 ) B ( 40, 65, 65 ) C ( 30, 45, 45 ) S ( 35, 90, 20 ) T ( 45, 65, 40 ) Rpta:

I(52.5,46.25,55)

or=N74º56É

pe=74.28%desc

Nivel de Dificultad III 305) 2003-2-P08H-prob2 Hallar las coordenadas del segmento MN que forma ángulos de 50º con los segmentos PQ y RS. M pertenece al segmento PQ y N pertenece al segmento RS. P ( 0, 60, 60 ) Q ( 60, -20, 20 ) R ( 10, 65, 10 ) S ( 90, 5, -10 ) Rpta:

M1(45.8433,-1.1245,29.4378) N1(29.8591,50.1057,5.0352) M2(24.1567,27.7911,43.8956) N2(60.3973,27.2020,-2.5993)

306) 2006-1-P06H-prob1 Un rayo luminoso parte del punto P, incide sobre un espejo plano en el punto Q, se refleja y llega al punto R. Determinar la longitud de la trayectoria y la orientación y pendiente del plano del espejo, sabiendo que QN es un segmento perpendicular al plano del espejo, tal que N divide al segmento PR en la relación de 3 a 2 (|PN|/|NR|=3/2). Tomar Q arriba de R. P (20, 15, 30 ) Q ( 45, 55, ¿? ) R (20, 55, 35) Rpta:

zQ=65.2869 or=N32º37’09”O

long=98.1802u pe=91.93%NE

OK

307) 2006-1-P06J-prob1 Un rayo luminoso parte del punto P, incide sobre un espejo plano en el punto Q bajo un ángulo de 60º con dicho espejo, se refleja y llega al punto R. Determinar la longitud de la trayectoria y la orientación y pendiente del plano del espejo. Toma Q arriba de P. P ( 20, 15, 30 ) Q ( 45, 25, ¿? ) R ( 20, 55, 30 ) Rpta:

zQ=50.5525 or=N16º25’34”E


long=78.0028u pe=126.82%SE

OK 44/70



308) 2006-2-P06J-prob1 PQ y RS son los ejes de dos tuberías de agua que deben ser conectadas mediante una tercera tubería MN (M en PQ y N en RS). Para esto se usarán Yees de 45º como la que se muestra en la figura. Determinar dónde deberán ubicarse los puntos de conexión M y N. P ( 5, 25, 50 ) R ( 40, 80, 50 ) Q ( 35, 79, 62 ) S ( 50, 55, 60 ) Rpta:

M1(29.7102,69.4784,59.8841) N1(37.8251,85.4373,47.8251) M2(39.3194,86.7749,63.7277) N2(44.8426,67.8935,54.8426)

OK

309) 2006-2-EXSH-prob2 Los triángulos PQR y RST tienen orientación N30ºE y el ángulo entre ellos es de 120º. Si PQR desciende hacia el SE y RST hacia el NO, completar las coordenadas de los vértices de ambos triángulos. P ( 20, 30, 20 ) Q ( 25, 5, ¿? ) R ( 30, 30, ¿? ) S ( 20, 15, ¿? ) T ( 40, 8, 12 ) Rpta:

zQ=-1.2104

zR=9.0858

zS=8.9138

310) 2007-2-P07I-prob1 El segmento de recta AE es ascendente, mide 40 unidades y forma ángulos iguales con los planos ABC, ABD y ACD. Obtener las coordenadas del punto E y el ángulo que forma AE con los planos. A ( 50, 60, 30 ) B ( 100, 50, 30 ) C ( 60, 90, 80 ) D ( 50, 20, 70 ) Rpta:

E(73.0094,51.9067,61.7028)

ang=29º35’

OK

311) 2007-3-P07G-prob1 Pasar por la recta PQ un plano que haga ángulos iguales con las rectas AB y CD. Obtener la orientación y pendiente del plano. A ( 40, 40, 45 ) B ( 55, 45, 50 ) C ( 30, 10, 55 ) D ( 45, 25, 55 ) P ( 40, 35, 70 ) Q ( 60, 15, 70 ) Rpta:

or=N45ºO

pe1=204.84%NE

pe2=16.27%SO

OK

312) 2009-1-EXFI-prob2 El hexágono regular horizontal ABCDEF es base inferior de una pirámide cuyo vértice V se encuentra a la derecha de D. Los ángulos diedros AB=FA, BC=EF, CD=DE, AV=150º, DV=135º. Completar las coordenadas del poliedro. A ( 15, 40, 15 ) D ( 70, 40, 15 ) Rpta:

B ó F (28.7500,16.1843,15) F ó B (28.7500,63.8157,15)

C ó E (56.2500,16.1843,15) E ó C (56.2500, 63.8157,15)

V(126.9576,40,73.6597)

OK

313) 2009-1-EXSH-prob2 Trazar un segmento de recta PQ que mida 40 unidades y forme con el plano ABC un ángulo de 60º. El segmento PQ se corta con LM. Determinar las coordenadas del punto Q tal que esté a la derecha de A. A ( 5, 10, 25 ) B ( 25, 30, 30 ) C ( 20, 25, 5 ) L ( 40, 25, 15 ) M ( 15, 10, 15 ) P ( 35, 10, 20 ) Rpta:

Q(17.3821,41.3719,2.5239)

OK

314) 2009-3-P04G-prob1 Determinar el ángulo que forman dos caras contiguas de un dodecaedro regular (sus caras son 12 pentágonos regulares). Rpta:

ang=116º34’

315) 2010-1-P04H-prob1 Están dadas dos rectas que se cruzan PQ y RS. Trazar el segmento de recta TU que corta a dichas rectas y que forma con la recta PQ un ángulo de 46º y con la recta RS un ángulo de 53º. Dar las soluciones de las coordenadas de los extremos del segmento (T en PQ y U en RS) en las que se encuentren dentro de los límites del primer octante (x, y, z positivos). P ( 15, 35, 30 ) Q ( 25, 10, 50 ) R ( 30, 35, 25 ) S ( 45, 5, 40 ) Rpta:

T(11.1431,44.6423,22.2862)

U(19,0895,56.8210,14.0895)

316) 2010-1-P04I-prob1 Trazar por el punto S una recta que forma con las rectas dadas AB, CD y EF un mismo ángulo. Obtener su orientación y pendiente. A ( 5, 30, 35 ) B ( 10, 10, 55 ) C ( 10, 25, 35 ) D ( 20, 5, 40 ) E ( 25, 20, 25 ) F ( 35, 5, 55 ) S ( 40, 35, 25 ) Rpta:

or1=N89º33’O or2=N52º19’E or3=N69º28’E


pe1=68.10%asc pe2=20.85%asc pe3=2.31%desc 45/70

Compendio de Problemas para el Curso de Dibujo de Ingeniería II Ciclo 2013-2 or4=S89º33’E or5=N46º11’O



(hay 3 soluciones más)

317) 2011-1-P04H-prob1 Pasar por la recta AB un plano ABC de manera que la intersección de éste plano con el plano vertical PQR haga un ángulo de 50º con la recta AB. Determinar el ángulo entre ambos planos. A ( 88, 39, 35 ) B ( 88, 7, 27 ) P ( 77, 8, ¿? ) Q ( 100, 30, ¿? ) Rpta:

ang1=66º14’

OK

ang2=?

318) 2011-1-P04I-prob1 Trazar hacia la derecha un segmento de recta ascendente TU de 30 unidades de longitud, pero que haga un ángulo de 45º con RS y 30º con PQ. Determinar las coordenadas del punto U. P ( 40, 25, 70 ) Q ( 55, 10, 75 ) R ( 55, 45, 50 ) S ( 75, 40, 45 ) T ( 45, 35, 65 ) Rpta:

U(69.3111,26.7326,80.5119)

319) 2011-1-EXSI-prob1 La cara superior de un hexaedro regular es ABCD y está contenida en un plano de orientación N45ºO y pendiente 30%SO, siendo A el vértice más bajo de dicha cara. La arista AB mide 40 unidades y tiene orientación N60ºE. Hallar las coordenadas de los vértices del hexaedro. A ( 25, 45, 30 ) Rpta:

P(27.7549,63.4899,31.5101)

or=S69º52’E

pe=34.43%asc

Nivel de Dificultad IV 320) 2009-1-P04I-prob2 Pasar por RS un plano cuyo ángulo diedro con el plano vertical ABC sea igual al ángulo diedro con el plano ortofrontal ABD. Obtener dicho ángulo. R pertenece a ambos planos dados. A ( 22, 20, 30 ) B ( 52, 28, 13 ) R ( 27, ¿?, ¿? ) S ( 46, 14, 26 ) Rpta:

R(27,21.3333,27.1667)

ang1=56º8’

ang2=49º28’

OK

Nivel de Dificultad V 321) 2009-1-P04H-prob2 AB y CD son las aristas opuestas de un tetraedro y miden 30 y 45 unidades, respectivamente. Hallar las coordenadas de sus vértices si se sabe que el ángulo diedro en AB mide 50º y en CD mide 40º. AB y CD están contenidas en las rectas PQ y RS, respectivamente. P ( 10, 35, 40 ) Q ( 40, 15, 40 ) R ( 5, 5, 15 ) S ( 55, 25, 35 ) Rpta:

4 tetraedros: A1B1C3D3, A1B1C4D4, A2B2C3D3, A2B2C4D4 A1 ó B1 (7.3838,36.7442,40) B1 ó A1 (32.3453,20.1032,40) C3 ó D3 (-3.1818,1.7273,11.7273) D3 ó C3 (35.9857,17.3943,27.3943)


A2 ó B2 (45.5119,11.3254,40) B2 ó A2 (70.4734,-5.3156,40) C4 ó D4 (47.0663,21.8265,31.8265) D4 ó C4 (86.2338,37.4935,47.4935)

OK

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Capítulo 7: GIROS

Capítulo 7: GIROS Nivel de Dificultad I 322) 2010-2-P04I-prob2 Obtener la posición final del punto X y el menor ángulo que debe rotar alrededor de la recta AB para que se ubique 10 unidades a su derecha. A ( 35, 6, 35 ) B ( 63, 28, 7 ) X ( 42, 6, 13 )

Nivel de Dificultad II 323) 2003-1-P08J-prob2 Girar el plano determinado por el triángulo LMN alrededor de un eje normal que pasa por E de tal manera que el punto K se encuentre en este plano. Presentar las coordenadas finales del triángulo LMN. E ( 67, 5, 78 ) K ( 91, 116, 89 ) L ( 14, 111, 43 ) M ( 35, 135, 81 ) N ( 54, 98, 45 ) Rpta:

Para ang=12º18’42”: L’(22.6820,111,32.5037) Para ang=169º28’37”: L’(125.5008,111,102.7318)

M’(35.0963,135,74.1076)

N’(61.3356,98,42.9869)

M’(97.9139,135,69.2062)

N’(85.8082,98,108.0707)

324) 2003-1-EXFI-prob2 Rotar el plano ABC hasta que sea paralelo a la recta LM. El eje de giro es vertical y pasa por el punto E. Se pide determinar las nuevas coordenadas de los puntos A, B y C luego de efectuada la rotación considerando el menor ángulo de giro. A ( 35, 22, 3 ) B ( 59, 40, 12 ) C ( 49, 12, 28 ) E ( 80, 30, 20 ) L ( 82, 15, 31 ) M ( 106, 30, 13 ) 325) 2006-2-P06H-prob2 Rotar la recta PQ alrededor del eje EF hasta que sea perpendicular a la recta RS. Obtener el menor ángulo de giro y las coordenadas finales de la recta rotada. E ( 55, 25, 30 ) F ( 20, 65, 20 ) P ( 5, 25, 50 ) R ( 50, 55, 80 ) Q ( 30, 70, 60 ) S ( 40, 80, 70 ) Rpta:

P’(25.8033,26.9004,-15.2100) Q’(-4.1140,32.0381,27.5516)

ang=97º21’

OK

326) 2006-2-P06J-prob2 El tetraedro regular ABCD tiene su base ABC con orientación N45ºE y altura AH (H en BC). Se hace rotar al tetraedro alrededor de cierto eje hasta que la cara BCD esté contenida en el plano frontal. Determinar la intersección de este eje con el plano horizontal. Tomar D debajo de A. A ( 50, 100, 70 ) H ( 55, 30, 10 ) Rpta:

B ó C(9.8816,9.7349,29.8827) C ó B(100.1184,50.2651,-9.8827) D(7.2129,99.4538,-27.6506) I(249.9819,0,0)

Nivel de Dificultad III 327) 2003-1-P08I-prob2 Utilizando el eje vertical que pasa por E se pide determinar ¿Cuál es el menor ángulo que deberá girar la recta PQ de tal forma que llegue a ser perpendicular a RS? E ( 60, 7, 5 ) P ( 39 , 65 , 55 ) Q ( 67 , 91 , 31 ) R ( 5 , 74 , 41 ) S ( 36 , 103 , 20 ) Rpta:

108º18’54”

-107º53’28”

328) 2003-1-P08K-prob2 Hallar el ángulo de giro y las coordenadas de P cuando se rota la recta PR alrededor de un eje perpendicular al plano XZ que pasa por R, hasta que sea perpendicular a la recta QS. P (40, 10, 30) Q ( 130, 110, 50) R ( 40, 90, 70) S ( -10, 50, -20) 329) 2003-1-P08L-prob2 Hallar el ángulo de giro y las coordenadas respectivas del plano ABC cuando se rota alrededor de un eje perpendicular al plano XY que pasa por C, hasta que sea paralelo a la recta LM. Esteban Ortiz Bosmans

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A ( 55, -5, 56 ) L ( 65, 55, 29 )

B ( 35, 20, 25 ) M ( 32, 12, 0 )

Capítulo 7: GIROS

C ( 80, 8, 40 )

330) 2003-1-EXFJ-prob2 Rotar el segmento AB alrededor del eje normal que pasa por E hasta que corte al segmento CD. Se sabe que AB y el eje están contenidos en un mismo plano. Obtener las coordenadas finales de AB luego de efectuada la rotación considerando el mínimo ángulo de giro. A ( 9, 4, 5 ) B ( 10, 8, ¿? ) C ( 1, 7, 12 ) D ( 10, 4, 12 ) E ( 6, 15, 8 ) 331) 2003-1-EXFK-prob2 Rotar el plano LMN alrededor de un eje vertical que pasa por el punto E hasta que sea perpendicular al plano PQR. Determinar las coordenadas finales de los puntos L, M y N luego de efectuada la rotación considerando el menor ángulo de giro. E ( 33, 24, 20 ) L ( 55, 30, 30 ) M (72, 23, 65 ) N ( 50, 20, 60 ) P ( 30, 12, 20 ) Q ( 11, 8 ,25 ) R ( 9, 21, 32 ) Rpta:

L’(54.4011,16.1264,30)

M’(64.1887,0.5636,65)

N’(44.5277,10.8809,60)

OK

332) 2003-1-EXFL-prob2 Determinar el menor ángulo de giro necesario para que al rotar el plano LMN sea perpendicular a la recta PQ. L ( 55, 30, 30 ) M (72, 23, 65 ) N ( 50, 20, 60 ) P ( 30, 12, 20 ) Q ( 9, 21, 32 ) 333) 2003-1-EXSK-prob2 La recta MN interseca al cono circular recto en dos puntos tales que las generatrices que los contienen forman entre sí un ángulo de 30º. Hallar las coordenadas de N y de los puntos de intersección de MN con el cono de vértice V, centro de base O y radio de la base 30 unidades. M ( 5, -20, 20 ) N ( n, n, 9) O ( 0, 0, 0 ) V ( 0, 0, 40 ) 334) 2003-2-P08H-prob1 Hallar el menor ángulo que debe girar el segmento OL para que sea perpendicular al plano XY. Se sabe que dicho segmento forma ángulos de 70º y 60º con los segmentos AB y CD respectivamente. A ( 60, 20, 0 ) B ( 0, 50, 40 ) C ( 80, 0, 60 ) D ( 0, 20, 40 ) O ( 0, 0, 0 ) Rpta:

ang1=69º59’11”

ang2=84º38’24”

335) 2006-1-P06H-prob2 Indicar el ángulo que debe girar el punto A alrededor del eje EF sabiendo que la posición final del punto rotado es A’. El punto A está 10 unidades a la derecha de A’ y el radio de giro es 25 unidades. Obtener la solución que tenga un menor ángulo de giro y completar las coordenadas de A y A’. A ( 30, ¿?, ¿? ) A’( 20, ¿?, 15 ) E ( 10, 20, 5 ) F ( 35, 15, 10 ) Rpta:

A(30,12.4172,-16.0856)

A’(20,-6.4972,15)

ang=98º00’17”

OK

336) 2007-1-P07H-prob2 Rotar el plano PQR hasta que sea paralelo a la recta ST. El eje de giro pasa por R y es ortofrontal. Obtener el menor ángulo de giro y las coordenadas finales de los vértices del triángulo. P ( 35, 20, 90 ) Q ( 60, 40, 80 ) R ( 50, 15, 65 ) S ( 80, 15, 60 ) T ( 110, 30, 80 ) Rpta.:

áng=69º29’ Q’(21.3281,20,59.7158)

P’(39.4575,40,79.6238) R’(50,15,65)

337) 2007-1-P07I-prob2 Rotar la recta PQ alrededor de un eje que pasa por el punto E hasta que sea paralela a la recta RS. Obtener las coordenadas de los puntos P y Q luego del giro, el menor ángulo de giro y la orientación y pendiente del eje. E ( 50, 40, 30 ) P ( 60, 10, 10 ) Q ( 60, 10, 25 ) R ( 40, 10, 20 ) S ( 55, 25, 5 ) Rpta.:

P’(75.7735,25.7735,6.9060) áng=54º44’

Q’(67.1132,17.1132,15.5662) or=N45ºO o S45ºE

pe=0%

OK

338) 2007-2-P07H-prob2 Rotar el segmento de recta PQ alrededor de un eje normal que pasa por el punto P (hasta una posición P’Q’) y luego volver a rotarlo (rotar P’Q’) alrededor de un eje horizontal de orientación N20ºE que pasa por el punto M hasta que contenga al punto N. Obtener los ángulos de giro considerando los de menor magnitud y las coordenadas de la posición final de los extremos de PQ (P”Q”). M ( 5, 50, 40 ) N ( 10, 45, 90 ) P ( 40, 90, 20 ) Q ( 10, 40, 70 ) Esteban Ortiz Bosmans

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ang1=97º22’ ang2=175º33’

Capítulo 7: GIROS

P”=(5.4150,102.5879,61.4322) Q”=(10.8796,33.9522,95.4805)

339) 2007-2-P07I-prob2 Rotar el segmento de recta PQ alrededor de un eje paralelo a él que pasa por el punto L (hasta una posición P’Q’) y luego volver a rotarlo (rotar P’Q’) alrededor de un eje normal que pasa por el punto M hasta que contenga al punto N. Obtener los ángulos de giro considerando los de menor magnitud y las coordenadas de la posición final de los extremos de PQ (P”Q”). L ( 10, 20, 60 ) M ( 40, ¿?, 33 ) N ( 70, 15, 45 ) P ( 40, 90, 20 ) Q ( 10, 40, 70 ) Rpta:

ang1=153º15’ ang2=152º4’

P”(23.1499,61.9184,73.2645) Q”(73.0772,11.9184,43.1436)

OK

340) 2009-1-P04H-prob1 Rotar el triángulo de perfil LMN alrededor del eje Y hasta que el área del triángulo que se encuentra bajo el plano horizontal principal sea de 800 unidades cuadradas. Determinar el menor ángulo de giro y la posición final del vértice L. L ( 50, 0, 50 ) M ( 50, 0, 100 ) N ( 50, 100, 100 ) Rpta:

ang=57º26’

L’(69.0522,0.0000,-15.2247)

341) 2009-1-P04I-prob1 Rotar el rectángulo de frontal KLMN alrededor del eje X hasta que el área del rectángulo que se encuentra bajo el plano horizontal principal sea de 1000 unidades cuadradas. Determinar el menor ángulo de giro y la posición final del vértice K. K ( 0, 50, 50 ) L ( 50, 50, 50 ) M ( 50, 50, 100 ) N ( 0, 50, 100 ) Rpta:

ang=54º28’

K’(0,69.7486,-11.6248)

342) 2009-2-P04H-prob2 Girar la recta RS alrededor del eje normal E hasta que sea paralelo al plano ABC. Obtener el menor ángulo de giro y las coordenadas finales de RS luego del giro. A ( 30, 40, 65 ) B ( 50, 35, 85 ) C ( 45, 20, 55 ) E ( 70, ¿? , 70 ) R ( 80, 35, 90 ) S ( 95, 20, 65 ) Rpta:

ang=39º12’

R’(90.3888,35,79.1813)

S’(86.2161,20,50.3267)

OK

343) 2009-2-P04I-prob2 Girar la recta RS alrededor del eje vertical E hasta que sea paralelo al plano ABC. Obtener el menor ángulo de giro y las coordenadas finales de RS luego del giro. A ( 30, 65, 40 ) B ( 50, 85, 35 ) C ( 45, 55, 20 ) E ( 70, 70, ¿? ) R ( 80, 90, 35 ) S ( 95, 65, 20 ) Rpta:

ang=39º12’

R’(90.3888,79.1813,35)

S’(86.2161,50.3267,20)

344) 2009-3-P04G-prob2 Elegir convenientemente un eje que pase por el punto E, alrededor del cual se gire la recta CD el menor ángulo posible hasta que sea paralela a la recta AB. Obtener la orientación y pendiente del eje de giro, el ángulo de giro y la posición final de la recta CD. A ( 30, 40, 65 ) B ( 50, 35, 85 ) C ( 70, 80, 70 ) D ( 80, 35, 90 ) E ( 95, 20, 65 ) Rpta:

or=N75º58’O C’(37.2090,44.5591,47.4770)

pe=103.08%asc D’(72.1982,35.8118,82.4661)

ang=55º08’

345) 2010-1-P04H-prob2 * A’B’ es la posición final descendente de la recta AB luego de ser girada alrededor de cierto eje. Determinar la posición de este eje y la magnitud del ángulo de giro. Expresar la posición de dicho eje mediante su orientación, pendiente e intersección con el plano frontal. A ( 5, 5, 45 ) B ( 20, 35, 30 ) A’ (40, 5, ¿? ) B’ (40, 35, 45 ) Rpta:

zA’’=66.2132 int=(48.1066,0,13.3579)


or=N ang=45º0’

pe=0%

49/70


Capítulo 7: GIROS

346) 2010-1-P04i-prob2 Obtener el menor ángulo de giro y la posición final del punto A luego de ser rotado alrededor del eje EF hasta que se ubique sobre la superficie del toro mostrado en la figura.

Rpta:

ang=24º5’ A’(-16.1025,26.7006,-10)

347) 2010-1-EXFH-prob2 El plano ABC contiene a P’Q’ que es la posición final luego de la rotación del segmento de recta PQ alrededor de cierto eje vertical. Completar las coordenadas de P’ y Q’ y determinar las coordenadas de la intersección del eje con el plano Horizontal Principal. Considerar el menor ángulo de giro. A ( 60, 60, 0 ) B ( 40, 60, 40 ) C ( 40, 20, 20 ) P ( 30, 10, 90 ) Q ( 10, 50, 30 ) P’ ( ¿?, ¿?, ¿? ) Q’ ( 20, ¿?, ¿? ) Rpta:

P’(-16.4706,-65.8824,90)

Q’(20,-40,30)

I(-37.5,-0.8333,0)

Nivel de Dificultad IV 348) 2006-1-P06J-prob2 Determinar el menor ángulo que deben girar las rectas AB y CD alrededor del eje vertical que pasa por el punto E para que sus proyecciones frontales sean paralelas. A ( 20, 25, 35 ) B ( 50, 45, 15 ) C ( 30, 15, 10 ) D ( 60, 5, 25 ) E ( 55, 25, ¿? ) Rpta:

ang=84º33’35”

OK

349) 2007-2-EXSH-prob2 * Rotar el segmento de recta PQ alrededor de un eje normal que pasa por el punto P (hasta una posición P´Q´) y luego volver a rotarlo (rotar P’Q’) alrededor de un eje horizontal de orientación N20ºE que pasa por el punto M hasta que contenga al punto N. Obtener los ángulos de giro considerando los de menor magnitud y las coordenadas de la posición final de los extremos de PQ (P”Q”). M ( 15, 40, 30 ) N ( 20, 35, 80 ) P ( 50, 80, 10 ) Q ( 20, 30, 60 ) Rpta:

P”(15.4150,92.5879,51.4322) Q”(20.8797,23.9522,85.4805) P”( 16.8334,92.0716,52.5872) Q”( 20.5041,25.9145,84.3640)

ang1=97º22’ ang2=175º33’ ang1= 109º04’ ang2=171º37’

(revisar)

350) 2008-1-P07H-prob1 Rotar el plano ABC alrededor del eje DE hasta que su proyección sobre el plano de perfil se vea como una recta. Determinar el menor ángulo y su posición final luego de la rotación. A ( 20, 40, 25 ) B ( 70, 30, 50 ) C ( 35, 70, 80 ) D ( 10, 65, 15 ) E ( 90, 0, 75 ) Rpta:

ang.= 59º15’ A’(29.5524,44.0220,16.6206)

B’(64.6330,32.3803,59.7347)

C’(5.4984,28.4432,74.3156)

OK

351) 2008-1-P07I-prob2 Rotar el plano ABC alrededor del eje DE hasta que su proyección sobre el plano frontal se vea como una recta. Determinar el menor ángulo y su posición final luego de la rotación. A ( 20, 40, 25 ) B ( 70, 30, 50 ) C ( 35, 70, 80 ) D ( 10, 65, 15 ) E ( 90, 0, 75 ) Rpta:

ang=60º6’ A(17.3384,47.0587,36.1957)


B(67.0593,20.7132,43.8601)

C(71.0743,81.6106,44.4790)

OK

50/70


Capítulo 7: GIROS

352) 2010-2-EXFH-prob2, 2010-2-EXFI-prob2 * Rotar la recta PQ alrededor de cierto eje ortofrontal hasta que pase por el origen de coordenadas y tenga una pendiente de 100%. Presentar el ángulo de giro y las coordenadas de la posición final de la recta y de la intersección del eje con el plano frontal. Considerar el menor ángulo de giro. P ( 20, 10, 35 ) Q ( 35, 20, 45 ) Rpta:

ang=20º16’ E(72.4270,0,-1.4854)

P’(10.6066,10,14.5774)

Q’(21.2132,20,29.1548) OK

353) 2011-1-P04H-prob2 Girar la recta AB alrededor del eje E hasta que la distancia entre sus intersecciones C y D con los planos principales Frontal y de Perfil sea 50 unidades. Determinar el menor ángulo de giro que dé solución al problema y las coordenadas de los puntos C y D sabiendo que CD se ubica en el primer octante. A ( 20, 15, 7 ) B ( 50, 30, 20 ) E ( ¿?, 12, 25 ) Rpta:

ang=169º14’

C(41.6989,0,36.0326)

D(0,23.8574,49.8900)

354) 2011-1-P04I-prob2 Determinar la orientación, pendiente e intersección con el plano Horizontal Principal del eje de giro que pertenece al plano ABC, para que, al rotar este plano alrededor de él, contenga al punto N y sea paralelo al plano DEF. A ( 10, 20, 35 ) B ( 45, 40, 50 ) C ( 32, 5, 20 ) D ( 65, 15, 45 ) E ( 82, 5, 5 ) F ( 95, 25, 20 ) N ( 50, 20, 10 ) Rpta:


pe1=72.57%asc pe2=72.57%desc

I(10.1464,-19.4901,0)

Nivel de Dificultad V (Vacío)


51/70


Capítulo 8: DISTANCIAS

Capítulo 8: DISTANCIAS Nivel de Dificultad I (Vacío)

Nivel de Dificultad II 355) 2003-1-P06J-prob2 Dadas dos rectas AB y CD, se pide determinar las coordenadas de los puntos de intersección con el plano XY de las rectas que cortan a AB, son paralelas a CD y se encuentran a una distancia de 5 unidades de ésta última. A ( 2, 6, 12 ) B ( 11, 2, 10 ) C ( 5, 2, 4 ) D ( 11, 6, 12 ) Rptas:

(5.5450,-3.5843,0)

(-4.1989,-0.8003,0)

356) 2003-1-EXFJ-prob1 Determinar el lugar geométrico de los puntos que disten 20 unidades del punto P y a su vez equidisten de las rectas LM y LN. Definir el tipo de lugar geométrico y sus propiedades principales. L ( 43, 15, 42 ) M ( 53, 30, 7 ) N ( 70, 56, 10 ) P ( 27, 40, 32 ) 357) 2003-1-EXSI-prob1 EF es la menor distancia entre las rectas AB y CD. Completar las coordenadas que faltan. (E  AB y F  CD). A ( 16, 45, 32 ) B ( 42, 7, 17 ) C ( 23, ¿?, 38 ) D ( 52, ¿?, 51 ) E ( 33, ¿?, ¿? ) F ( 30, ¿?, ¿? ) Rpta:

yC=6.5885 E(33,20.1538,22.1923)

yD=23.3014 F(30,10.6227,41.1379)

OK

358) 2003-1-EXSJ-prob1 EF es la menor distancia entre las rectas AB y CD. Completar las coordenadas que faltan. (E  AB y F  CD). A ( 30, ¿?, 69 ) B ( ¿?, 88, ¿? ) C ( 12, 83, 66 ) D ( 39, 107, 44 ) E ( 39, ¿?, 66 ) F ( 23, ¿?, ¿? ) Rpta:

yA=71.0241 (69.8169) yE=82.9938 (77.4938)

B(42.7641,88,64.7453) (51.3169,88,47.6831) F(23,92.7778,57.0370) (23,92.7778,57.0370)

359) 2006-1-P07H-prob1 El segmento EF es la menor distancia entre las rectas AB y CD. Completar las coordenadas que faltan (E  AB y F  CD). A ( 15, 45, 30 ) B ( 40, 5, 15 ) C ( 25, ¿?, 40 ) D ( 50, ¿?, ¿? ) E ( 35, ¿?, ¿? ) F ( 30, ¿?, 40 ) Rpta:

yC=3.8228 E=(35,13,18)

D=(50,-7.1662,40) F=(30,1.625,40)

OK

360) 2006-1-P07J-prob1 Hallar en la recta CD un punto cuya distancia a la recta AB sea de 15 unidades. Obtener la solución de mayor apartamiento. A ( 38, 30, 23 ) B ( 53, 14, 40 ) C ( 23, 9, 40 ) D ( 45, 32, 20 ) Rpta:

P(49.5314,36.7374,15.8805)

361) 2006-1-EXFH-prob1 El plano PQR equidista de los puntos A, B, C y D. Completar las coordenadas del plano y determinar su orientación y pendiente, considerando que está encima de A, B y C y debajo de D. A ( 50, 30, 20 ) B ( 80, 25, 10 ) C ( 90, 50, 30 ) D ( 70, 10, 50 ) P ( 20, 45, ¿? ) Q ( 45, 40, ¿? ) R ( 40, 15, ¿? ) Rpta:

zP=64.375 or=N77º54’19”E

zQ=55.3125 pe=89.48%SE

zR=34.375

362) 2006-1-EXSH-prob1 Trazar un plano que pase por la recta LM y cuya distancia al punto dado A sea el triple de su distancia a otro punto dado B. Obténgase la orientación y pendiente del plano. Esteban Ortiz Bosmans

52/70


A ( 22, 10, 30 ) Rpta:

B ( 40, 35, 12 )



L ( 20, 18, 10 )

M ( 10, 35, 30 )

pe1=104.93%SE pe2=110.83%SE

363) 2006-1-EXSJ-prob1 Trazar un plano paralelo a LM y que equidiste del punto P y de la recta QR. Determinar la orientación y pendiente del plano y las coordenadas de su intersección con el eje z. L ( 50, 40, 35 ) M ( 50, 15, 20 ) P ( 30, 15, 30 ) Q ( 10, 20, 20 ) R ( 20, 35, 10 ) 364) 2006-2-P07H-prob1 EF es la menor distancia entre las rectas AB y CD (E en AB y F en CD). Completar las coordenadas que faltan. A ( 25, 30, 45 ) B ( 50, 15, 5) C ( 35, 40, ¿? ) D ( 25, 50, ¿? ) E ( 45, ¿?, ¿? ) F ( 40, ¿?, ¿? ) Rpta:

zC=15.0789 E(45,18,13)

zD=38.2368 F(40,35,3.5)

OK

365) 2006-2-P07J-prob1 Completar las coordenadas del punto E si se sabe que dista 30 unidades de la recta MN y 40 unidades del plano ABC. A ( 100, 50, 30 ) B ( 50, 60, 30) C ( 60, 90, 80 ) E ( 60, ¿?, ¿? ) M ( 65, 10, 35 ) N ( 15, 30, 70 ) Rpta:

E1(60,34.9465,69.2285)

E2(60,-6.3891,4.6416)

OK

366) 2007-1-P08H-prob1 En un hexaedro regular cuya base superior es ABCD y su base inferior es EFGH. Hallar la mínima distancia entre HC y EG si la arista del cubo mide 50 unidades. Rpta.:

dist=28.8675u

OK

367) 2008-1-P08H-prob2 Trazar por P un plano paralelo a la recta AB y que haga un ángulo de 50º con el plano vertical LMN. Determinar la orientación y pendiente del plano trazado. Obtenga todas las soluciones posibles. A ( 5, 37, 20 ) B ( 22, 28, 35 ) L ( 8, 37, 18 ) M ( 40, 28, 10 ) P ( 12, 28, 31 ) Rpta:

or1=N33º21’O or2=N74º35’E

pe1=162.07%SO pe2=113.68%NO

368) 2008-1-P08I-prob1 En un exaedro regular cuya base superior es ABCD y su base inferior es EFGH. Hallar la mínima distancia entre HC y EG si la arista del cubo mide 50 unidades. Rpta:

28.8675

369) 2009-1-P05I-prob1 Hallar en la recta MN los puntos que equidisten de los planos ABC y BCD. A ( 10, 15, 80 ) B ( 30, 45, 60 ) C ( 60, 15, 40 ) D ( 45, 25, 90 ) M ( 10, 40, 60 ) N ( 60, 0, 85 ) Rpta:

L1(36.6831,18.6535,73.3415)

L2(2.6730,45.8616,56.3365)

370) 2009-3-P05G-prob1 Determinar la mínima distancia absoluta y la mínima distancia horizontal entre las rectas PQ y RS. P ( 70, 40, 30 ) R ( 15, 30, 15 ) Q ( 10, 80, 60 ) S ( 60, 60, 80 ) Rpta:

distabs=13.9631u

disthor=16.6716u

Nivel de Dificultad III 371) 2003-1-P06I-prob2 Determinar sobre el plano principal XY la orientación del lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos más cercanos entre dos rectas que se cruzan AB y CD. Determinar también su intersección con el eje Y. A ( 11, 19, 10 ) B ( 18, 13, 4 ) C ( 11, 10, 4 ) D ( 18, 16, 10 ) Rpta:

or=Este


y=7.5u

OK

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372) 2003-1-P07I-prob1 Unir las rectas AB y CD por una tercera PQ de mínima longitud y que haga un ángulo de 30º con el plano vertical LMN. Determinar las coordenadas de los puntos P y Q si se sabe que P pertenece a AB y que Q pertenece a CD. A ( 10, 6, 39 ) B ( 17, 15, 47 ) C ( 32, 11, 22 ) D ( 13, 27, 36 ) L ( 30, 35, 19 ) M ( 35, 25, 6 ) N ( 40, 15, 16 ) Rpta:

P(14.2272,11.4350,43.8311)

Q(17.6665,23.0703,32.5615)

OK

373) 2003-1-P07L-prob1 Determinar las coordenadas de un punto R situado sobre el segmento de recta MN de tal manera que la suma de los segmentos PR y QR sea mínima. M ( 5, 1, 15 ) N ( 3, 9, 8 ) P ( 8, -7, 3 ) Q ( 6, 9, 10 ) Rpta:

R(3.5890,6.6439,10.0616)

OK

374) 2003-1-P08I-prob1 Determinar las coordenadas de los puntos extremos del segmento de mínima distancia que une dos rectas AB y CD, pero que sea paralela al plano LMN. A ( 150, 80, 20 ) B ( 40, 55, 80 ) C ( 120, 35, 15 ) D ( 45, 110, 65 ) L ( 23, 27, 41 ) M ( 105, 120, 25 ) N ( 80, -6, 20 ) Rpta:

en AB: (146.7001,79.2500,21.8000) long=71.3180u

en CD: (78.5502,76.4498,42.6332)

375) 2003-1-P08J-prob1 Determinar las coordenadas de los puntos extremos del segmento de mínima distancia que une dos rectas AB y CD, pero que forme un ángulo de 50º con el plano RST. A ( 30, 78, 73 ) B ( 160, 108, 20 ) C ( 112, 48, 13 ) D ( 40, 128, 57 ) R ( 150, 45, 10 ) S ( 20, 2, 15 ) T ( 45, 75, 20 ) Rpta:

en AB: (83.7329,90.3999,51.0935) long=18.4638u

en CD: (71.0710,93.4767,38.0122) OK

376) 2003-1-P08K-prob1 Determinar las coordenadas de los puntos extremos del segmento de mínima distancia que une dos rectas AB y CD, pero que forme un ángulo de 45º con el plano LMN. A ( 111, 38, 10 ) B ( 36, 118, 54 ) C ( 150, 98, 17 ) D ( 31, 58, 70 ) L ( 136, 90, 25 ) M ( 11, 58, 2 ) N ( 28, 135, 15 ) Rpta:

en AB: (74.1283,77.3298,31.6314) en CD: (84.8246,76.0923,46.0277) long= 17.9777u

OK

377) 2003-1-P08L-prob1 Determinar las coordenadas de los puntos extremos del segmento de mínima distancia que une dos rectas AB y CD , que sea paralela al plano RST. A ( 140, 85, 15 ) B ( 30, 55, 70 ) C ( 110, 35, 10 ) D ( 35, 100, 55 ) R ( 115, 80, 5 ) S ( 45, 10, 10 ) T ( 6, 100, 15 ) Rpta:

en AB: (95.9054,72.9742,37.0473) en CD: (59.3550,78.8924,40.3870)

378) 2006-1-P07H-prob2 Determinar la longitud y las coordenadas de los extremos del segmento más corto que une las rectas PQ y RS de tal manera que forme un ángulo de 60º con el plano frontal. P ( 100, 75, 20 ) Q ( 55, 105, 115 ) R ( 90, 25, 40 ) S ( 50, 140, 70 ) Rpta

long=19.0646u

M en PQ=(83.3523,86.0985,55.1452) N en RS=(74.4911,69.5880,51.6317)

OK

379) 2006-1-P07J-prob2 Determinar la longitud y las coordenadas de los extremos del segmento más corto que une las rectas PQ y RS de tal manera que forme un ángulo de 60º con la recta TU. P ( 40, 20, 50 ) R ( 80, 10, 30 ) T ( 20, 45, 35 ) Q ( 80, 75, 80 ) S ( 70, 80, 60 ) U ( 60, 50, 30 ) Rpta:

long=19.4806u

M en PQ=(65.5818,55.1749,69.1863) N en RS=(72.4434,62.8963,52.6699)

OK

380) 2006-2-P07H-prob2 Determinar la longitud y las coordenadas de los extremos del segmento más corto y más largo que une las rectas PQ y RS de tal manera que forma 50º con la recta TU. P ( 40, 20, 50 ) Q ( 80, 75, 80 ) R ( 80, 10, 30 ) S ( 70, 80, 60 ) T ( 20, 45, 35 ) U ( 60, 50, 30 ) Esteban Ortiz Bosmans

54/70



M1(62.5200,50.9650,66.8900) N1(73.0398,58.7211,50.8805) long1=20.6671u long2=no existe, tiende al infinito

OK

381) 2006-2-P07J-prob2 Determinar la longitud y las coordenadas de los extremos de los segmentos más corto y más largo que unen las rectas PQ y RS de tal manera que tengan 100% de pendiente. P ( 30, 40, 20 ) R ( 40, 90, 20 ) Q ( 50, 15, 45 ) S ( 10, 40, 70 ) Rpta:

M1(27.1429,43.5714,16.4286) N1(27.1429,68.5714,41.4286) long1=35.3553u long2=infinito

OK

382) 2006-2-EXFH-prob2 Obtener la orientación y pendiente del plano ABC tal que BC tenga la menor longitud posible. Se sabe que el punto A está contenido en la recta PQ, que el punto B dista 25 unidades de la recta PQ, que el punto C está contenido en la recta RS y que AB tiene 5% de pendiente ascendente. P ( 45, 75, 30 ) Q ( 100, 50, 60 ) R ( 70, 30, 0 ) S ( 40, 20, 80 ) Rpta:

or=N6º07’O A(56.3301,69.8499,36.1801)

pe=57.66%SO B(62.0425,40.6921,37.6657)

C(57.2498,25.7499,34.0006)

OK

383) 2006-2-EXRE-prob3 El segmento TU es la mínima distancia entre las rectas PQ y RS y tiene una pendiente de 50% ascendente (T en PQ y U en RS). Completar las coordenadas que faltan. P(10,¿?,¿?) Q(3,15,40) R(22,27,¿?) S(42,¿?,¿?) T(20,12,¿?) U(30,23,¿?) Rpta:

yP=13.7647 zS=21.7369

zP=32.4107 zT=21.5688

zR=33.8450 zU=29.0018

OK

384) 2007-1-P07I-prob1 Determinar las coordenadas de los extremos del segmento más corto RS paralelo al plano LMN, que conecte a las rectas AB y CD pero que haga un ángulo de 30º con AB. A ( 45, 45, 50 ) B ( 70, 30, 50 ) C ( 35, 55, 55 ) D ( 50, 60, 35 ) L ( 75, 25, 65 ) M ( 35, 15, 55 ) N ( 55, 50, 45 ) Rpta.:

RAB: (23.0506,58.1697,50)

SCD: (34.3086,54.7695,55.9218)

385) 2007-1-P08H-prob2 Unir las rectas PQ y RS mediante un segmento de mínima y máxima longitud pero que haga un ángulo 30º con el plano vertical LMN. Determinar las longitudes y las coordenadas de sus extremos. L ( 40, 30, ¿? ) M ( 50, 15, 25 ) P ( 20, 5, 50 ) Q ( 25, 15, 60 ) R ( 40, 15, 30 ) S ( 20, 30, 45 ) Rpta.:

en PQ: (22.7208,10.4415,55.4415) en RS: (25.0450,26.2163,41.2163)

mín=21.3683u máx = no existe (hipérbola)

OK

386) 2007-1-P08I-prob2 Determinar las coordenadas de los extremos de los segmentos de mínima y máxima distancia que hacen las rectas PQ y RS pero que tengan una pendiente de 100%. P ( 10, 10, 60 ) Q ( 40, 40, 90 ) R ( 0, 85, 20 ) S ( 50, 50, 70 ) Rpta.:

en PQ: (43.8235,43.8235,93.8235) en RS: (58.8235,43.8235,78.8235)

mín=21.2132u máx = no existe (parábola)

OK

387) 2007-1-EXFI-prob1 Determinar la orientación, pendiente y coordenadas de los extremos del segmento más corto RS paralelo al plano LMN, que conecte a las rectas AB y CD pero que haga un ángulo de 30º con AB (R en AB y S en CD). A ( 30, 50, 45 ) B ( 55, 35, 45 ) C ( 20, 60, 50 ) D ( 35, 65, 30 ) L ( 60, 30, 60 ) M ( 20, 20, 50 ) N ( 40, 55, 40 ) Rpta.:

R(8.0506,63.1697,45) or=S73º12’E

S(19.3086,59.7695,50.9218) pe=50.35%asc

OK

388) 2007-2-P08I-prob1 Determinar las coordenadas de los puntos Q y R tal que la trayectoria PQR sea la de menor longitud (PQ y QR son segmentos de recta) sabiendo que Q está contenido en la recta MN y R está contenido en el plano ABC. A(35, 40, 65) B(75, 45, 85) C(60, 10, 50) M(60, 45, 60) N(65, 40, 65) P(75, 55, 50) Rpta:

Q(67.3893,37.6107,67.3893)


R(65.5735,33.8062,71.9720)

55/70



389) 2007-3-P08G-prob1 Conectar los ejes de los segmentos de tubería PQ y RS por una tercera de mínima longitud pero que haga 60º con PQ. Obtener su longitud y las coordenadas de sus extremos. P (35, 35, 35 ) R ( 40, 35, 5 ) Q ( 5, 30, 20 ) S ( 20, 50, 20 ) Rpta:

long=21.1434u I1  PQ: (11.4506,31.0751,23.2253) I2  PQ: (30.1551,34.1925,32.5775)

J1  RS: (23.7183,47.2113,17.2113) J2  RS = J1

OK

390) 2008-1-P08H-prob1 Conectar los ejes de las tuberías AB y CD por una tercera de mínima longitud pero que haga 60º con AB. Obtener su longitud y las coordenadas de sus extremos. Obtenga todas las soluciones posibles. A ( 34, 37, 15 ) B ( 6, 28, 32 ) C ( 42, 37, 44 ) D ( 20, 50, 30 ) Rpta:

E1(13.8180,30.5129,27.2534) E2(30.8217,35.9784,16.9297) F1=F2=(24.0974,47.5788,32.6075)

OK

391) 2009-1-P05H-prob1 Unir las rectas AB y CD mediante un segmento MN que haga un ángulo de 30º con una recta ortoperfil (M en AB y N en CD). Obtener la solución de menor longitud. A ( 45, 25, 20 ) B ( 10, 55, 50 ) C ( 60, 80, 50 ) D ( 30, 50, 80 ) Rptas:

M(38.9966,58.9966,71.0034)

N(6.9908,57.5793,52.5793)

OK

392) 2009-2-P05H-prob1 Conectar las rectas AB y CD por un segmento de recta EF de mínima longitud, pero que sea horizontal. Determinar la longitud de EF y las coordenadas de sus extremos. A ( 23, 35, 30 ) B ( 55, 25, 55 ) C ( 35, 5, 45 ) D ( 50, 20, 30 ) Rpta:

E(35.1036,31.2176,39.4560)

F(40.5440,10.5440,39.4560)

long=21.3774u

393) 2009-2-P05I-prob1 Conectar las rectas AB y CD por un segmento de recta EF de mínima longitud, pero que tenga una pendiente de 30º. Determinar la longitud de EF y las coordenadas de sus extremos. A ( 27, 22, 54 ) B ( 54, 33, 36 ) C ( 37, 23, 17 ) D ( 56, 4, 33 ) Rpta:

E(51.7679,32.0906,37.4881)

F(47.5545,12.4455,25.8880)

long=23.2001u

OK

394) 2010-P05H-prob1 Construir una recta CD, paralela a la recta AB y que está a la distancia de 17 unidades de esta última. Completar las coordenadas de sus extremos. Obtener todas las soluciones posibles. A ( 5, 5, 30 ) B ( 20, 20, 5 ) C ( 25, 5, ¿? ) D ( 35, ¿?, ¿? ) Rpta:

zC1=27.9145 D1(35,15,11.2479)

zC2=-1.2479 D2(35,15,-17.9145)

OK

395) 2010-1-EXFI-prob1 Están dados los puntos A, L, M y N. Determinar las coordenadas de los vértices del paralelogramo ABCD, en el cual el vértice B se encuentra en el plano Horizontal Principal, el lado CD está situado sobre una recta cuyos puntos equidistan de los puntos L, M y N, y el vértice D equidista de los planos Frontal y Horizontal Principales. Determinar además la orientación y pendiente del plano que contiene al paralelogramo. A ( 50, 15, 25 ) L ( 5, 10, 25 ) M ( 25, 20, 25 ) N ( 40, 5, 40 ) Rpta:

B(58.3333,-1.6667,0) or=N54º38’E pe=135.76%SE

C1(60.8333,-76.6667,-85) C2(36.8333,-28.6667,-13)

D1(52.5,-60,-60) D2(28.5,-12,12)

396) 2010-2-P05I-prob1 Determinar la longitud del segmento de mínima distancia que une las rectas AB y CD, pero que hace un ángulo de 50º con el plano de perfil. Obténgase además las coordenadas de sus extremos. A ( 10, 5, 40 ) B ( 15, 15, 45 ) C ( 30, 10, 20 ) D ( 15, 25, 35 ) Rpta:

long=16.2146u

en AB: (20.5466,26.0931,50.5466) en CD: (8.1255,31.8745,41.8745)

OK

397) 2011-1-P05H-prob2 Trazar un segmento de recta LM de 40 unidades de longitud, que pase a una distancia de 10 unidades de N, pero que tenga una pendiente de 45º ascendente. Obtener todas las soluciones posibles de las coordenadas de M. L ( 40, 25, 5 ) N ( 30, 15, 10 ) Rpta:

M1(11.8175,22.6033,33.2843) M2(37.6033,-3.1825,33.2843)


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398) 2011-1-P05I-prob1 Determinar la intersección con el plano horizontal principal de una recta que está contenida en el plano vertical PQR, que tiene 30º de pendiente y cuya mínima distancia a la recta LM es de 15 unidades. Obtener sólo una de las soluciones e indicar cuántas soluciones habrá. L ( 38, 28, 67 ) M ( 53, 46, 52 ) P ( 16, 26, 40 ) Q ( 42, 40, 52 ) Rpta:

I1(-103.4159,-38.3009,0) I3(105.1815,74.0208,0)

I2(50.2266,-44.4297,0) I4(159.5427,103.2922,0)

Nivel de Dificultad IV (Vacío)

Nivel de Dificultad V 399) 2003-1-P07K-prob1 La perpendicular común a las rectas LM y PQ mide 10 unidades. Entre todos los segmentos que van desde PQ hasta LM con una pendiente de 50% ascendente, RS es el de mínima longitud. Determinar las coordenadas que faltan. Tomar M debajo de Q. L ( 22, 27 , ¿? ) M ( 42, 17, ¿? ) P ( 10, 10, ¿? ) Q ( 35, 15, 40 ) R ( 30, 23, ¿?) S ( 20, 12, ¿?) Rpta:

zL=28.9599 zR=27.8624

zM=26.2161 zS=45.5791

zP=49.2985 OK

400) 2007-3-P08G-prob2 MN es la mínima distancia con pendiente de 30º entre AB y CD. La perpendicular que conecta AB y CD mide 15 unidades. Completar las coordenadas que faltan si MN desciende hacia el sureste. (M en AB y N en CD) A ( 45, ¿?, 55 ) B ( 75, 55, 70 ) C ( 55, ¿?, 35 ) D (80, ¿?, 60 ) M ( 55, ¿?, ¿? ) N ( 65, ¿?, ¿? ) Rpta:

yA=33.1060 M(55,40.4040,60)

yC=5.9991 N(65,16.4248,45)

yD=32.0634

401) 2011-1-P05H-prob1 RS es la mínima distancia horizontal entre AB y CD (R en AB y S en CD). La perpendicular común a las rectas AB y CD tiene 200% de pendiente descendente de AB a CD. Completar las coordenadas de B, C, D, R y S. A ( 30, 17, 50 ) B ( 52, 26, ¿? ) C ( 45, 5, ¿? ) D ( 68, 9, ¿? ) R ( 40, ¿?, ¿? ) S ( 61, ¿?, ¿? ) Rpta:

zB=56.8825 R(40,21.0909,53.1284)


zC=47.1158 S(61,7.7826,53.1284)

zD=55.7589

57/70


Capítulo 9: TANGENCIA

Capítulo 9: TANGENCIA Nivel de Dificultad I (Vacío)

Nivel de Dificultad II 402) 2003-1-P06K-prob1 Dados un punto V y una esfera con centro en O y con radio igual a 20 unidades; determinar las coordenadas de un punto W ubicado sobre la superficie esférica de tal modo que la recta VW sea tangente a la esfera y a su vez paralela al plano ABC. A ( 40, -19, 2 ) B ( 61, 21, 22 ) C ( 4, 7, 12 ) O ( 40, 40, 0 ) V ( 0, 45, 0 ) Rpta:

W1(32.0988,56.7902,7.4606)

W2(28.2035,25.6277,-7.3675)

403) 2003-1-EXSJ-prob2 Hallar la longitud, orientación y pendiente del eje PQ del cilindro circular oblicuo de bases horizontales, cuyo extremo inferior Q pertenece al plano XY y que es tangente a los planos YZ y LMN. L ( 10, 35, 8 ) M ( 23, 30, 6 ) N ( 9, 25, 30 ) P ( 22, ¿?, 20 ) Rpta:

or=Norte

pe=210.37%desc

long=22.1446u

404) 2003-1-EXSK-prob1 PQ mide 40 unidades y es la menor distancia trazada desde el punto P al plano LMN. Completar las coordenadas del punto L si Q está debajo de P. L ( 13, 74, ¿? ) M ( 40, 122, 6 ) N ( 80, 68, 50) P ( 14, 98, 50 ) Rpta:

zL1=10.7931

zL2=-374.2499

405) 2006-1-P08J-prob1 Trazar por P una recta que tenga 120% de pendiente que esté contenida en un plano de 200% de pendiente que pasa por Q. Determinar la orientación de dicha recta. Presentar la solución que desciende hacia el cuadrante NO. P ( 60, 40, 20 ) Q ( 30, 40, 30 ) Rpta:

or=N43º32’10”O

OK

406) 2006-2-P08H-prob1, 2006-2-EXRE-prob3 Trazar por P un plano paralelo a MN pero que pase a una distancia de 15 unidades del punto Q. Obtenga la orientación y pendiente del plano más empinado. M ( 30, 30, 5 ) P ( 20, 35, 5 ) N ( 50, 35, 15) Q ( 50, 20, 10 ) Rpta:

or=N88º46’O

pe=184.24%NE

407) 2006-2-P08J-prob1 Por el punto M de la superficie de un cono circular oblicuo, trazar una recta MN normal a ella. El cono tiene una base horizontal con centro en O y radio 10 unidades y su vértice es V. Completar las coordenadas del punto M y obtener la orientación y pendiente de dicha normal. M ( 55, 50, ¿? ) O ( 60, 45, 10 ) V ( 75, 70, 30 ) Rpta:

zM=14

or=Oeste

pe=125%asc

OK

408) 2007-1-P09H-prob1 Pasar por P un plano paralelo a la recta AB y que haga un ángulo de 50º con el plano vertical LMN. Obtener su intersección con el eje Z. A ( 25, 35, 20 ) B ( 40, 33, 35 ) L ( 25, 5, 20 ) M ( 45, 15, 5 ) P ( 30, 28, 30 ) Rpta.:

I1(0,0,19.5425)

I2(0,0,-118.7549)

OK

409) 2007-1-P09I-prob1 Pasar por P un plano paralelo a AB pero que pase a una distancia de 15 unidades del punto O. Obtener su intersección con el eje Z. A ( 30, 30, 10 ) B ( 45, 38, 20 ) O ( 50, 20, 10 ) P ( 28, 28, 10 ) Rpta.:

I1(0,0,-5.4306)


I2(0,0,-66.4113)

OK

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410) 2007-2-P08H-prob1 Desplazar el punto D paralelamente a una recta que tiene orientación N30ºE y pendiente ascendente de 25% hasta una posición D’ de tal manera que la mínima distancia entre las rectas AB y CD’ sea de 15 unidades. Determinar las coordenadas de D’. A ( 13, 30, 40 ) B ( 38, 50, 15 ) C ( 10, 25, 15 ) D ( 30, 17, 25 ) Rpta:

D’(34.6788,25.1040,27.3394)

OK

411) 2009-1-P05H-prob2 Pasar por PQ un plano que haga 30º con RS. Determinar su orientación y pendiente para todas las soluciones posibles. P ( 5, 30, 70 ) Q ( 35, 45, 60 ) R ( 10, 40, 65 ) S ( 40, 30, 65 ) Rptas:


pe1=60.74%SE pe2=174.74%NE

412) 2009-2-P05I-prob2 Pasar por LM un plano que tenga 120% de pendiente. Obténgase su orientación y su intersección con el eje Z, en todas las soluciones posibles. L ( 50, 65, 40 ) M ( 70, 60, 20 ) Rpta:

or1=N50º5’E or2=N22º1’O

zint1=18.6627 zint2=124.8667

OK

413) 2010-1-EXFI-prob2 Construir un cono circular recto tangente al plano ABC, si el punto O es el centro de la base y está situada sobre el plano PQR. Determinar la altura, el radio de la base y las coordenadas del ápice y del centro de la base del cono. A ( 20, 60, 45 ) B ( 35, 35, 35 ) C ( 5, 40, 30 ) P ( 60, 60, 0 ) Q ( 40, 60, 40 ) R ( 40, 20, 20 ) O ( 35, 30, ¿? ) Rpta:

V(27.6829,31.8293,31.3415) h=8.3828u

O(35,30,35) r=2.4687u

OK

Nivel de Dificultad III 414) 2003-1-P07J-prob1 Desplazar el punto P verticalmente hasta que la menor distancia entre el punto R y la recta PQ sea 11 unidades. Determinar las coordenadas de la posición final del punto P. P ( 24 , 13, 28 ) Q ( 28, 5, 20 ) R ( 10, 20, 12 ) Rpta:

P’1(12,13,19.0659)

P’2(24,13,13.7565)

OK

415) 2003-1-P07K-prob2 Sean AB y AC dos rectas tangentes a una esfera de centro O. Determinar la coordenadas de O sabiendo que está a la derecha de P, que los puntos P y Q pertenecen a la superficie esférica y que el punto Q pertenece al plano ABC. A ( 67, 27, 40 ) B ( 40, 22, 25 ) C ( 58, 8, 10 ) P ( 30, 5, 25 ) Q ( 25, 10, ¿? ) Rpta:

zQ=3.3654

O(40.3681,8.2650,11.3855)

OK

416) 2003-1-P07L-prob2 Determinar las coordenadas del centro O de la base del cono circular recto que es tangente al plano XY y cuyas generatrices son los segmentos AV y BV. A ( 10.5 , 36 , 50 ) B ( 10.5 , 14 , 60 ) O ( ¿? , ¿? , ¿? ) V(0,0,0) Rpta:

O1(-25.1459,14.1629,31.1585) O2(35.7400,13.8358,30.4387)

(revisar) OK

417) 2003-1-EXFI-prob1 VP y VQ son generatrices de un cono circular recto (V es el ápice). Los puntos P y Q no están en la base del cono. El cono es tangente a un plano que pasa por la recta AB. Determinar la orientación y pendiente del eje VO del cono. A ( 85, 5, 41 ) B ( 108, 14, 11 ) P ( 70, 6, 18 ) Q ( 58, 23, 18 ) V ( 90, 27, 18 ) Rpta:

or=N63º14’E

pe1=39.93%desc

pe2=191.94%asc

OK

418) 2003-1-EXSL-prob2 Desplazar el punto M en forma ascendente y paralelamente a una recta de orientación N30ºE y pendiente 80% hasta M’ de tal manera que la mínima distancia entre PQ y LM’ sea 30 unidades. Se pide determinar las coordenadas del punto M’. L ( 18, 79, 63 ) M ( 26, 42, 35 ) P ( 10, 36, 39 ) Q ( 41, 62, 19 ) Rpta:

M’1(38.1982,63.1279,54.5171) M’2=69.0874,116.6296,103.9398)


OK 59/70



419) 2006-1-P08H-prob1 Determinar las coordenadas del punto K de una recta contenida en el plano PQR que tenga una pendiente de 70% pero que pase a una distancia de 15 unidades de L. K ( 50, ¿?, ¿? ) L ( 55, 25, 20 ) P ( 45, 15, 15 ) Q ( 55, 30, 35 ) R ( 30, 30, 25 ) Rptas:

K1(50,5.0131,6.3473) K3(50,30.9304,33.9924)

K2(50,8.0211,9.5559) K4(50,46.8254,50.9471)

OK

420) 2006-1-P08H-prob2 AB y AC son rectas tangentes a una esfera de centro O. Determinar las coordenadas del centro y el radio de la esfera más pequeña sabiendo que los puntos M y N pertenecen a su superficie y que el punto N pertenece al plano ABC. A ( 65, 27, 35 ) B ( 37, 22, 22 ) C ( 55, 8, 9 ) M ( 62, 4, 15 ) N ( 48, 9, ¿? ) Rpta:

zN=8.5415

O(43.7034,-0.7570,30.6400)

R=24.5358u

OK

421) 2006-1-P08J-prob2 C es el centro de una circunferencia horizontal de 15 unidades de radio que es el contacto de una esfera inscrita a un cono circular recto. La recta LM es tangente a éste cono. Hallar las coordenadas del vértice V y el centro O de la esfera, considerando la esfera de mayor radio. C ( 70, 30, 20 ) L ( 65, 45, 5 ) M ( 40, 25, 30 ) Rpta:

V(70,30,8.2410)

O(70,30,39.1343)

OK

422) 2007-1-P09H-prob2 Obtener las coordenadas del centro y el radio de una esfera que es tangente a los planos VAB, VBC y VAC y que contiene en su superficie al punto P. A ( 25, 30, 20 ) B ( 80, 55, 70 ) C ( 40, 20, 100 ) P ( 40, 40, 65 ) V ( 25, 80, 40 ) Rpta.:

O1(42.6486,47.8546,55.9379) R1=12.2814u O2(54.8615,25.6097,66.9670) R2=20.7801u

OK

423) 2007-2-P08H-prob2 Las rectas VP y VQ son rectas que contienen a las generatrices de un cono circular recto. El cono tiene 40 unidades de altura y es tangente a un plano que pasa por la recta RS. Determinar las coordenadas del centro de su base O, considerando la base de menor radio y a VO descendente. P ( 18, 7, 70 ) Q ( 6, 24, 70 ) R ( 34, 5, 50 ) S ( 57, 15, 80 ) V ( 40, 27, 70 ) Rpta:

O(5.9523,12.0838,55,2264)

OK

424) 2007-2-P08I-prob2 El plano vertical LMN es tangente a un cono circular recto de eje VO, siendo la recta CD la generatriz de tangencia. La recta AB está contenida en la superficie del cono. Determinar la orientación y pendiente del eje VO del cono. A ( 25, 40, 30 ) B ( 40, ¿?, 45 ) C ( 43, ¿?, 40 ) D ( 50, ¿?, 40 ) M ( 38, 10, ¿? ) N ( 63, 40, ¿? ) Rpta:

V(35,6.4,40)

or=N9º32’E

pe=0%

OK

425) 2008-1-P08I-prob2 Trazar por P un plano paralelo a LM pero que pase a una distancia de 15 unidades del punto O. Obtener su orientación y pendiente. Obtenga todas las soluciones posibles. L ( 8, 32, 7 ) M ( 25, 37, 15 ) O ( 28, 20, 6 ) P ( 6, 28, 7 ) Rpta:


pe1=744.22%NO pe2=87.76%NO

426) 2008-1-EXFH-prob1 Desplazar el punto Q paralelamente a una recta de orientación N60ºO y pendiente 100% ascendente hasta Q’ de tal manera que PQ’ diste 15 unidades de O. Obtener las coordenadas de Q’ y la orientación y pendiente de PQ’. O ( 29, 25, 25 ) P ( 48, 8, 14 ) Q ( 49, 23, 16 ) Rpta:

Q’(44.0268,25.8713,21.7426)

or=N12º32’O

pe=42.29%asc

OK

427) 2009-1-P05I-prob2 Pasar desde P un segmento de recta de 65 unidades que se corte con la recta LM y que pase a una distancia de 20 unidades del punto Q. Obtener las coordenadas de su extremo para todas las soluciones posibles. L ( 10, 40, 30 ) M ( 30, 15, 35 ) P ( 40, 45, 20 ) Q ( 15, 20, 50 ) Rptas:

R1(-15.1061,20.8015,44.5510) R2(19.9716,-10.1332,48.0035)


60/70



428) 2009-2-P05H-prob2 Pasar por P un segmento de recta PQ de 40 unidades de longitud que pase a una distancia de 15 unidades de RS, pero que tenga una pendiente de 45º ascendente. Obténgase su orientación y las coordenadas del punto Q, en todas las soluciones posibles. P ( 27, 18, 13 ) R ( 17, 38, 25 ) S ( 5, 22, 12 ) Rpta:

or1=S81º57’O or2=S77º27’E or3=N73º15’E or4=N26º49’E

Q1(-1.0051,14.0357,41.2843) Q2(54.6085,11.8543,41.2843) Q3(54.0850,26.1487,41.2843) Q4(39.7568,43.2441,41.2843)

OK

429) 2009-3-P05G-prob2 Pasar por el punto L una recta LM de 60 unidades de longitud, de pendiente ascendente 30º, pero que diste 20 unidades de la recta AB. Determinar las coordenadas de M sabiendo que está a la derecha de L. A ( 65, 25, 30 ) B ( 85, 20, 30 ) L ( 50, 25, 5 ) Rpta:

M(84.7658,-13.6179,35)

OK

430) 2010-1-P05H-prob2 Completar las coordenadas de plano PQR, si se le conoce una recta horizontal RS y que la distancia del punto K al plano es de 10 unidades. S pertenece a PQ. Obtener todas las soluciones posibles. K ( 15, 40, 25 ) P ( 5, 40, ¿? ) Q ( 20, 50, ¿? ) R ( 31, 30, 15 ) S ( 12, ¿?, ¿? ) Rpta:

S(12,44.6667,15)

zP1=11.9267 zQ1=18.5123

zP2=15 zQ2=15

OK

431) 2010-2-EXSH-prob2, 2010-2-EXSI-prob2 * Obtener la orientación, la pendiente y la intersección con el eje Z de un plano que diste 20 unidades de A, 30 unidades de B y 40 unidades de C. Indicar cuántas soluciones tiene el problema y presentar sólo una de ellas. A ( 15, 30, 40 ) B ( 90, 50, 50 ) C ( 5, 70, 70 ) Rpta:

Z1=-13.1981 Z2=13.7757 OK Z3=28.9326 OK Z4=86.5890

or1=N14º52’O or2=N74º14’E or3=N87º56’E OK or4=N35º31’E

pe1=107.42%SO pe2=23.00%SE pe3=17.38%SE pe4=29.28%SE

Nivel de Dificultad IV 432) 2003-1-P05L-prob2 Determinar el centro “O” de una esfera que pasa por los puntos A, B y C. La recta PQ es tangente a la esfera. A(22,12,28) B(32,20,36) C(41,28,23) P (5,10,10) Q (22,4,36) Rpta:

O1(2.8470,53.7077,24.4835)

O2(48.1811,-0.8011,22.3247)

OK

433) 2003-1-P07I-prob2 Hallar el radio y las coordenadas del centro de una esfera que es tangente al plano PQR y que además pasa por los puntos A, B y C. A ( 53, 9, 13 ) B ( 72, 33, 13 ) C ( 87, 13, 13 ) P ( 20, 21, 30 ) Q ( 43, 62, 10 ) R ( 67, 42, 30 ) Rpta:

O(69.4730,15.4797,23.0085)

r=20.3351u

434) 2003-1-P07J-prob2 Hallar el radio y las coordenadas del centro de una esfera que pasa por los puntos A, B y C. El plano LMN es tangente a la esfera. A ( 20, 16, 25 ) B ( 42, 5, 25 ) C ( 48, 20, 25 ) L ( 10, 32, 29 ) M ( 37, 47, 37 ) N ( 33, 26, 2 ) Rpta:

O1(34.1666,16.8333,18.5786) R1=15.5764u O2(34.1666,16.8333 52.9953) R2=31.3867u

OK

435) 2003-1-EXFK-prob1 Dado un cubo ABCD-EFGH se pide determinar las coordenadas del centro y el radio de la esfera que es tangente a dos caras que tienen a GH como arista común y que además pasa por los puntos A y B. (EFGH encima de ABCD). A ( 160, 60, 50 ) B ( 60, 60, 50 ) C ( 60, 156, 22 ) D ( 160, 156, 22) Rpta:

O(110,100.0366,71.9555)


r=67.7124u

OK

61/70



436) 2003-1-EXFL-prob1 Hallar las coordenadas del centro de la esfera que es tangente a las rectas VP, VQ, VR siendo A un punto que pertenece a la superficie esférica. A ( 32, 30, 36 ) P ( 36, 20, 20) Q ( 26, 34, 20 ) R ( 26, 20, 26 ) V ( 26, 20, 20 ) Rpta:

O1(32.8604, 26.8604,26.8604) O2(83.1396,77.1396,77.1396)

OK

437) 2007-2-EXFH-prob2 * Una esfera con centro en A es tangente interior a un cono circular recto y tangente exterior a un cilindro circular recto. Determinar el centro y el radio de la esfera. Se sabe que el cono y el cilindro tienen como eje el segmento BC (B es el vértice del cono) y que ambas superficies pasan por el punto D. Obtener la solución de menor radio. A ( 65, 90, ¿? ) B ( 10, 25, 70 ) C ( 50, 40, 30 ) D ( 40, 10, 50 ) Rpta:

zA=22.5446

R=19.9814u

OK

438) 2007-2-EXSI-prob2 El plano vertical LMN es tangente a un cono circular recto de eje VO, siendo la recta CD la generatriz de tangencia. La recta AB está contenida en la superficie del cono. Determinar la orientación y pendiente del eje VO del cono. A ( 40, 15, 30 ) B ( ¿?, 30, 45 ) C ( ¿?, 20, 40 ) D ( ¿?, 55, 40 ) M ( 10, 28, ¿? ) N (40, 53, ¿? ) Rpta:

V(6.4,25,40) or1=N80º28’E pe1=pe2=pe3=pe4=0%

xB=-10.4 or2=S80º28’O

xC=0.4 or3=?

xD=42.4 or4=? OK

439) 2009-2-EXSH-prob1 Determinar la orientación y pendiente de un plano que haga 60º con el plano frontal y de perfil. Rpta:

or1=or2=N45ºO or3=or4=N45ºE

pe1=100%NE pe3=100%NO

pe2=100%SO pe4=100%SE

440) 2010-2-P05I-prob2 Dado un cilindro, trazar un plano tangente a él, pero que haga un ángulo de 60º con el plano vertical PQR. El cilindro es circular oblicuo de eje ST y bases horizontales de radio 11 unidades. Indicar cuántas soluciones tiene el problema y presentar sólo la intersección con el eje Z de una de ellas. P ( 87, 7, ¿? ) Q ( 106, 23, ¿? ) S ( 36, 28, 43 ) T ( 71, 22, 71 ) Rpta:

z1=11.8759 z3=-87.8770

z2=29.2634 z4=-193.4401

OK

441) 2011-1-EXSH-prob2 O Y O’ son los centros de dos esferas de 40 y 20 unidades de diámetro respectivamente. Trazar por P un plano tangente a las dos esferas. Determinar su orientación, su pendiente y su intersección con el eje Z de todas las soluciones posibles. O ( 55, 15, 70 ) O’ ( 75, 30, 75 ) P ( 55, 40, 85 ) Rpta:


pe1=24.36%NE pe2= 375.55%SE

I1(0,0,99.2747) I2(0,0,-30.9890)

OK

Nivel de Dificultad V 442) 2007-3-EXFG-prob2 Pasar por M un plano que pase a una distancia de 15 unidades de N y que tenga una pendiente de 100%. Obtener la orientación de uno de los planos de solución y su intersección con el eje Z. M ( 5, 25, 25 ) N ( 25, 15, 20 ) Rpta:


z1=12.925 z2=46.8030

OK

443) 2007-1-P09I-prob2 Obtener la intersección con el eje Z del plano de 30% de pendiente, que forma un ángulo de 40º con la recta PQ y que contiene al punto M. M ( 10, 10, 60 ) P ( 0, 85, 20 ) Q ( 50, 50, 70 ) Rpta.:

I1(0,0,64.2423)

I2(0,0,55.9951)

OK

444) 2011-1-P05I-prob2 Los puntos A y B pertenecen a la superficie de una esfera. Los planos principales horizontal y frontal son tangentes a dicha esfera. Determinar las coordenadas del centro y el radio de dicha esfera. Obtener sólo una de las soluciones. A ( 12, 27, 7 ) B ( 30, 27, 22 ) Esteban Ortiz Bosmans

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O1(19.6463,16.1245,16.1245) O2(-4.2037,44.7444,44.7444) r1=16.1245u r2=44.7444u


Capítulo 9: TANGENCIA OK

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Capítulo 10: VARIADOS

Capítulo 10: VARIADOS Nivel de Dificultad I (Vacío)

Nivel de Dificultad II 445) 2006-1-EXSJ-prob2 Determinar las coordenadas de los vértices de la pirámide V-ABC sabiendo que las aristas hacen ángulos iguales con la base ABC, que la longitud de VC es de 43 unidades, que C’ está contenido en la recta VC, que VA tiene orientación Oeste y pendiente 100% descendente, y que VB es horizontal y tiene orientación S40ºO. Determinar también el ángulo que hacen las aristas con la base ABC. C’ ( 40, 10, 20 ) V ( 46, 55, 40 ) 446) 2006-2-P08J-prob2 Rotar la recta AB alrededor de un eje vertical que pasa por el punto E hasta que diste 20 unidades de la recta CD también vertical. Determinar el menor ángulo de giro. A ( 45, 75, 30 ) B( 100, 50, 60 ) C ( 40, 20, 0 ) E ( 70, 30, 0 ) Rpta:

ang=62º30’

A’(18.5409,28.5990,30)

B’(66.1092,65.8450,60)

OK

447) 2007-1-P08I-prob1 Hallar en el segmento de recta CD un punto cuya mínima distancia a la recta AB sea de 15 unidades. A ( 40, 30, 25 ) B ( 55, 15, 40 ) C ( 30, 10, 40 ) D ( 45, 30, 20 ) Rpta.:

en CD: (34.1342,15.5122,34.4878)

448) 2010-2-P05H-prob1 Ubicar los posibles puntos C en el plano RST de tal manera que su distancia a los puntos A y B sea 20 y 10 unidades respectivamente. A ( 42, 12, 26 ) B ( 41, 29, 21 ) R ( 28, 30, 23 ) S ( 54, 26, 36 ) T ( 46, 15, 8 ) Rpta:

C1(31.0959,28.3319,22.2094)

C2(33.5981,30.0756,27.6374)

OK

Nivel de Dificultad III 449) 2006-1-EXPH-prob2 PQRS es un tetraedro regular y M es el punto medio de RS. El plano PQR tiene una pendiente de 50% Este. Determinar las coordenadas que faltan de los vértices del tetraedro. Tomar R detrás de P y a la izquierda de Q. Recomendación: usar los comandos scale por referencia y align P ( 10, 43, 10 ) M ( 15, ¿?, 30 ) Rpta:

yM=80.3832

Q(39.6650,79.4690,-4.8325) S(33.4162,70.8088,43.2919)

R(-3.4162,89.9575,16.7081) OK

450) 2006-1-EXSH-prob2 * Un rayo luminoso parte del punto P, incide en el punto Q sobre un espejo curvo y al reflejarse llega al punto R. La superficie del espejo curvo es el exterior de un cilindro circular recto de eje vertical cuya base tiene centro en O y radio 35 unidades. Determinar las coordenadas del punto R y la longitud total de la trayectoria sabiendo que la longitud de PQ y QR son iguales. O ( 10, 10, 0 ) P ( 50, 80, 50 ) Q ( 40, ¿?, ¿? ) R ( ¿?, ¿?, 30 ) 451) 2007-1-EXPI-prob2 LO es un lado descendente de un cuadrado LMNO. La recta horizontal PQ y el punto J están contenidos en el plano del cuadrado y además el punto J está en la prolongación del lado ON. Completar las coordenadas de los vértices del cuadrado y determinar la orientación y pendiente del plano que los contiene. J ( 50, 5, ¿? ) L ( 7, 42, ¿? ) O ( 12, 18, ¿? ) P ( 4, 33, 25 ) Q ( 22, 20, 25 ) Rpta.:

zJ=31.8180 M(37.9933,31.3970,54.9602) or=N54º10’O


zL=39.5790 N(42.9933,7.3970,28.3408) pe=161.05%SO

zO=12.9596

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452) 2007-1-EXFH-prob1 Conectar los segmentos de recta AB y CD por uno tercero EF que mida 40 unidades y que tenga una pendiente de 100% descendente. Obtener la orientación de EF y las coordenadas de los puntos E y F si están contenidas en AB y CD respectivamente. A ( 45, 70, 90 ) B ( 100, 10, 25 ) C ( 50, 55, 70 ) D ( 30, 30, 15 ) Rpta.:

E(65.4787,47.6595,65.7978)

F(38.1868,40.2334,37.5136)

or=S74º47’O

OK

453) 2007-1-EXSI-prob1 Determinar las coordenadas del punto D, sabiendo que está contenido en un plano vertical que pasa por M y tiene orientación S50ºE. La distancia de AB a CD es 10 unidades y la distancia de CD a EF es 7.5 unidades. Obtener sólo una de las soluciones posibles. A ( 10, 15, 23 ) B ( 23, 24, 12 ) C ( 21, 29, 34 ) E ( 26, 16, 25 ) F ( 37, 8, 30 ) M ( 40, 30, ¿? ) Rptas:

(194.4548,-99.6030,-250.2145) (23.5079,43.8385,39.1193) (35.7269,33.5856,44.3470) (140.9593,-54.7149,610.5045)

OK

454) 2009-1-EXSH-prob1 Pasar por PQ un plano que haga 30º con RS. Determinar su orientación y pendiente para todas las soluciones posibles. P ( 10, 30, 70 ) Q ( 35, 45, 60 ) R ( 10, 40, 65 ) S ( 40, 30, 65 ) Rpta:


pe1=154.40%NO pe2=57.95%SE

455) 2010-1-P05I-prob1 Vienen dados la recta PQ y el punto O. Trazar por P rectas que corten a PQ bajo un ángulo de 30º y que se encuentren a la distancia de 20 unidades del punto O. Dar todas las soluciones posibles de la orientación y pendiente de estas rectas. O ( 35, 10, 30 ) P ( 20, 35, 0 ) Q ( 5, 15, 25 ) Rpta:

or1=N1º44’E OK or2=S1º44’O OK

pe1a=264.20%desc pe2a=264.20%asc

pe1b=62.92%desc OK pe2b=62.92%asc OK

456) 2010-1-P05I-prob2 Trazar una recta equidistante de las rectas AB, CD y EF y paralela a la recta GK. Determinar la distancia común y la intersección de la recta con el plano horizontal. Presentar sólo una de las soluciones A ( 5, 0, 12 ) B ( 19, 27, 30 ) C ( 26, 4, 35 ) D ( 42, 25, 18 ) E ( 60, 28, 10 ) F ( 73, 4, 20 ) G ( 37, 32, 25 ) K ( 58, 12, 37 ) Rpta:

dist1=12.4308u dist2=25.2613u dist3=29.0552u dist4=155.2307u

I1(-05892,35.4374,0) I2(0.3913,99.9869,0) I3(,,0) I4(,,0)

OK OK

457) 2010-2-P03H-prob2 Unir las rectas AB y CD mediante un segmento de recta EF de longitud igual a 10 unidades y que además sea paralelo al plano LMN. Obtener todas las soluciones posibles de las coordenadas de E y F. Tomar E en AB y F en CD. A ( 40, 18, 56 ) B ( 73, 29, 42 ) C ( 47, 25, 38 ) D ( 61, 7, 70 ) L ( 35, 24, 73 ) M ( 44, 7, 81 ) N ( 52, 15, 62 ) Rpta:

E1(52.9021,22.3007,50.5264) E2(44.7645,19.5882,53.9787)

F1(55.0960,14.5909,56.5051) F2(50.4070,20.6196,45.7874)

458) 2010-2-P05IH-prob2 El plano LMN tiene pendiente 60º y pasa a una distancia de 15 unidades de la recta PQ. Completar las coordenadas de LMN. Indicar cuántas soluciones tiene el problema y presentar sólo una de ellas. L ( 28, 34, ¿? ) M ( 50, 36, ¿? ) N ( 42, 23, ¿? ) P ( 20, 7, 33 ) Q ( 35, 20, 44 ) Rpta:

zL1=101.0342 zL2=51.2653 zL3=41.0342 zL4=-8.7347

zM1=89.8091 zM2=82.3686 zM3=29.8091 zM4=22.3686

zN1=74.2174 zN2=81.8232 zN3=14.2174 zN4=21.8232

Nivel de Dificultad IV 459) 2006-1-EXFH-prob2 El segmento AD es una diagonal mayor del hexágono regular ABCDEF. Completar las coordenadas de los vértices del hexágono considerando al vértice B como aquel que dista de GH lo más posible. Recomendación: capturar perpendicular hacia una elipse Esteban Ortiz Bosmans

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A ( 10, 45, 10 ) Rpta:

D ( 40, 30, 30 )

B(26.9699,41.5142,0.9933) E(23.0301,33.4858,39.0067)


G ( 15, 50, 30 )

H ( 55, 70, 80 )

C(41.9699,34.0142,10.9933) F(8.0301,40.9858,29.0067)

OK

460) 2006-1-EXFJ-prob2 * Rotar el segmento AB alrededor de un eje vertical que pasa por el punto E hasta que sea tangente a un cono circular recto de eje vertical OV. El vértice del cono es el punto V y su base tiene el centro en el punto O y un radio de 20 unidades. Determinar el menor ángulo de giro. A ( 75, 45, 30 ) B ( 50, 100, 60 ) E ( 30, 70, 0 ) O ( 20, 40, 10 ) V ( 20, 40, 90 ) Rpta:

ang=76º12’36”

OK

461) 2006-2-P08H-prob2 * Rotar el segmento AB alrededor de un eje vertical que pasa por el punto E hasta que sea tangente a un cono circular recto de eje también vertical. El punto V es el vértice del cono y su base tiene 20 unidades de radio y centro en O. Determinar el menor ángulo de giro. A ( 45, 75, 30 ) B ( 100, 50, 60 ) E ( 70, 30, 0 ) O ( 40, 20, 10 ) V ( 40, 20, 80 ) Rpta:

ang=78º33’

OK

462) 2007-1-EXFI-prob2 * PQ es un segmento de 300% de pendiente descendente que dista 20 unidades de la recta horizontal RS. El punto P está contenido en la recta TU y el punto Q también dista 20 unidades de la recta RS. Determinar las coordenadas de los puntos P y Q de tal manera que el segmento PQ sea el de mayor longitud posible. R ( 35, 30, 30 ) S ( 65, 55, 30 ) T ( 70, 0, 35 ) U ( 35, 80, 70 ) Rpta.:

P(36.9371,75.5723,68.0629)

Q(46.4092,64.2058,23.6754)

OK

463) 2007-1-EXSI-prob2 Un plano π se interseca con el plano PQR y con el plano STU según las rectas HI y JK respectivamente. Las rectas HI y JK hacen un ángulo de 60º. Hallar la orientación, pendiente e intersección con el plano horizontal de la recta de intersección de los planos PQR y STU si se sabe que HK es frontal y que HI va hacia atrás. H ( 49, 15, 22 ) I ( 60, ¿?, 16 ) J ( 73, ¿?, 20 ) K ( 85, 15, 25 ) P ( 36, 42, 54 ) S ( 67, 4, 37 ) Rpta.:

or1=N39º03’E or2=S39º03’O int3=int4=(64.7022,-19.9914,0) or3=N29º39’O or4=S29º39’E int1=int2=(76.2373,62.5202,0)

pe1=64.84%desc pe2=64.84%asc pe3=232.81%asc pe4=232.81%desc

OK OK

464) 2007-2-P07H-prob1 Girar el plano ABC alrededor de un eje frontal que pasa por el punto D paralelo al plano hasta que forme el mayor ángulo (agudo) posible con la recta EF. Obtener las coordenadas finales de los puntos A, B y C luego efectuar el menor giro posible. A ( 25, 30, 45 ) B ( 50, 15, 5) D ( 35, 40, 55 ) C ( 50, 75, 5) E ( 45, 50, 90 ) F ( 40, 15, 65 ) Rpta:

A’(39.0475,23.2033,53.7797)

B’(75.4259,16.4982,20.8912)

C’(29.9123,43.3187,-7.5548)

OK

465) 2007-2-EXPH-prob2 Dado el tetraedro irregular VPQR, determinar la orientación y pendiente de un plano en el cual el tetraedro se proyecta como un paralelogramo. P ( 60, 8, 52 ) Q ( 60, 47, 100 ) R ( 60, 33, 15 ) V ( 3, 50, 63 ) Rpta:

or1=N21º6’O Vertical

OK

or2=N26º10’E pe2=85.82%SE

OK

or3=N44º30’E pe3=83.24%NO

466) 2007-2-EXFH-prob1 * Una esfera muy pequeña resbala por la superficie superior de un cilindro a partir del punto I. Luego, cae verticalmente sobre una esfera grande, resbala por su superficie y cae verticalmente sobre un cono. Al llegar al borde del cono, cae verticalmente sobre el plano horizontal principal. Determinar la posición final de la esfera pequeña y la longitud de su recorrido. El cilindro es circular recto, de radio 15 unidades y de eje horizontal que pasa por el punto M y que tiene orientación N45ºE. La esfera grande tiene centro en N y radio 30 unidades. El cono es circular y recto, de vértice en V y cuya base es de 50 unidades de radio con centro en O. Considérese que la gravedad es tan grande que no permite que la esfera pequeña deje de estar en contacto con la superficie por la que resbala. I ( 90, 40, ¿? ) M ( 80, 20, 80 ) N ( 90, 50, 40 ) O ( 70, 15, 10 ) V ( 70, 15, 40 ) Esteban Ortiz Bosmans

66/70


zI=93.2288

long=125.7370u

Capítulo 10: VARIADOS F(59.3006,63.8418,0)

OK

467) 2007-3-P07G-prob2 Girar el plano LMN alrededor del eje vertical que pasa por el punto E hasta que se encuentre a la distancia de 20 unidades del punto O. Obtener el menor ángulo de giro y las coordenadas de las posiciones finales de los puntos L, M y N luego del giro. E ( 80, 35, ¿? ) L ( 50, 30, 70 ) M ( 60, 45, 80 ) N ( 70, 40, 60 ) O ( 95, 35, 75 ) Rpta:

ang=22º10’ L’(50.3308,41.6887,70)

M’(65.2513,51.8070,80)

N’(72.6256,43.4035,60)

OK

468) 2008-1-EXFI-prob1 Completar las coordenadas de la recta ascendente PQ sabiendo que mide 35 unidades. La recta PQ es perpendicular a RS. RS mide 40 unidades. Tomar R debajo de S. P ( 5, ¿?, 15 ) Q ( 20, 25, ¿? ) R ( 30, 25, ¿? ) S ( 30, 5, ¿? ) Rpta:

yP=-2.3861

zQ=30.8114

OK

469) 2009-2-EXFH-prob2 * PQR es un triángulo cuyo perímetro mide 100 unidades. Obtener todas las soluciones posibles de Q, R y U tal que el ángulo entre UV y PQ sea máximo. Se sabe que Q es el punto medio de PV y que UV contiene al vértice R. P ( 30, 20, 15 ) U ( 15, ¿?, 25 ) V ( 5, 20, 100 ) Rpta:

Q(17.5,20,57.5)

R1(12.3258,7.2287,45.0565) R2(12.3258,32.7713,45.0565)

yu1=2.5666 yu2=37.4334

OK

470) 2009-2-EXFI-prob2 El punto S pertenece al lado PQ de un triángulo PQR. El segmento RS mide 50 unidades. Elegir un punto P tal que el ángulo PQR sea máximo. Obtener el alejamiento de P. P ( 50, ¿?, 40 ) Q ( 70, 30, 20 ) R ( 70, 60, 80 ) Rpta:

y=93.1513

OK

471) 2009-3-P03G-prob2 * Determinar las coordenadas de los vértices del triángulo ABC, contenido en un plano vertical, sabiendo que A pertenece a la recta PQ, que C pertenece a la recta RS, que AB tiene orientación N80ºO y pendiente 20%asc, y que el ángulo ACB es de 110º. Tomar C arriba de A. B ( 20, ¿?, ¿? ) P ( 55, 25, 15 ) Q ( 15, 90, 80 ) R ( 45, 60, 20 ) S ( 10, 15, 60 ) Rpta:

A(48.3492,35.8075,25.8075)

B(20,40.8063,31.5648)

C(28.8569,39.2446,38.4493)

OK

472) 2011-1-EXFH-prob2 * Cierto plano contiene a un cuadrilátero ABCD. Se sabe que la diagonal AC del cuadrilátero mide 40 unidades, que las longitud de AB es el doble de la longitud de BC, que el ángulo ABC mide 50º, que el perímetro del cuadrilátero es de 150 unidades y que la recta LM contiene al vértice D. Determinar las coordenadas de los vértices del cuadrilátero y la orientación y pendiente del plano que lo contiene. Tomar A a la izquierda de C, B Arriba de C y D abajo de A. A ( ¿?, 25, 25 ) B ( ¿?, 40, ¿? ) C ( ¿?, 50, 50 ) L ( 80, 50, 5 ) M ( 55, 20, 85 ) Rpta:

xA=61.9273 xC=80.6356

B(73.8117,40,72.6314) D(78.5661,48.2793,9.5885)

or=N36º4’E pe=6121.56%NO

473) 2011-1-EXFI-prob2 * Cierto plano contiene a un cuadrilátero ABCD. Se sabe que la diagonal AC del cuadrilátero mide 40 unidades, que las longitud de AB es el doble de la longitud de BC, que los ángulos ABC y ADC miden 50º cada uno y que la recta LM contiene al vértice D. Determinar las coordenadas de los vértices del cuadrilátero y la orientación y pendiente del plano que lo contiene. Tomar A a la izquierda de C, B Arriba de C y D abajo de A. A ( ¿?, 25, 25 ) B ( ¿?, 40, ¿? ) C ( ¿?, 50, 50 ) L ( 80, 50, 5 ) M ( 55, 20, 85 ) Rpta:

xA=62.5411 or=N36º4’E


xC=81.2494 pe=6121.56%NO

B(74.4255,40,72.6314) D(81.7815,52.1378,-0.7007)

OK

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Nivel de Dificultad V 474) 2010-2-P04H-prob2 Mediante un solo giro, rotar la recta AB alrededor de un eje que convenientemente elegirá el alumno hasta que sea perpendicular a la recta CD, para obtener el menor ángulo de giro posible y la orientación y pendiente del dicho eje. A ( 25, 15, 75 ) B ( 45, 35, 55 ) C ( 55, 25, 70 ) D ( 75, 35, 75 ) Rpta:

ang=39º3’


or1=N30º58’O or2=S30º58’E

pe1=34.30%asc pe2=34.30%desc

OK

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Capítulo 11: SOLUCIONES

Capítulo 11: SOLUCIONES

Solución 26) 2011-1-P01I-prob2: Solución 217) 2011-1-P03I-prob1:

Solución 236) 2010-2-P03H-prob1: Solución 237) 2011-1-P03H-prob1:


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Capítulo 1:

Solución 242) 2010-1-P03I-prob1:

Solución 244) 2010-1-P03H-prob1: Solución 243) 2010-2-P03I-prob1:


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problemas de geomeria descriptiva

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