Problemas Resueltos de Programacion Lineal Asc

UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRIÓN FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS

Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada t onelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el costo diario de la operación es de 2000 dólares en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?

PRODUCCION DE MINERAL DE CALIDAD BAJA

CALIDAD MEDIA

CALIDAD ALTA

COSTO DIARIO DE PRODUCCION ($)

MINA A

1

3

5

2000

MINA B

2

2

2

2000

REQUERIMIENTO

80

160

200

UNIDAD MINERA



Sea: x = Número de días que opera la mina A y = Número de días que opera la mina B



OBJETIVO: Min z = 2000x + 2000y



(función objetivo)

Restricciones para los datos: x + 2y ≥ 80 3x + 2y ≥ 160 5x + 2y ≥ 200 x, y ≥ 0……………………………. Condición de no negatividad



Graficando se tiene:

INVESTIGACION DE OPERACIONES MINERAS

SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS DE P.L MEDIANTE GRAFICOS


Se observa que el Punto óptimo = C (40,20), por tanto: Número de días que opera la mina A = 40 Número de días que opera la mina B = 20 Entonces se tiene en la Función Optima: Se va a organizar organizar el taller taller de mantenimiento de una mina donde van a trabajar trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades necesidades de la Empresa, es necesario necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que el de electricistas electricistas y que el número de de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles disponibles 30 electricistas electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la Empresa por guardia guardia es de 250 dólares dólares por electricista y 200 dólares dólares por mecánico. ¿Cuántos ¿Cuántos trabajadores de cada cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cuál es este beneficio?

ELECTRICISTAS MECANICOS INVESTIGACION DE OPERACIONES MINERAS

NUMERO DISPONIBLE DE TRABAJADORES

BENEFICIO UNITARIO /GUARDIA ($)

30

250

20

200 SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS DE P.L MEDIANTE GRAFICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRIÓN FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS 

Sea:



x = Numero de Electricistas y = Numero de Mecánicos OBJETIVO: Maximizar la función. Max Z = 250x + 200y



Restricciones a partir de los datos: y≥x x – y ≤ 0 y ≤ 2x 2x – y ≥ 0 x ≤ 30 y≤2



(función objetivo)

x ≤ 30 y ≤ 20 x, y ≥ 0…………………. Condición de no negatividad

A partir de ello se tiene la gráfica:

Se observa que el Punto óptimo = C (20,20), por tanto: Número de Electricistas = 20 Número de Mecánicos = 20 Entonces se tiene en la Función Optima: INVESTIGACION DE OPERACIONES MINERAS



Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones de dólares y el coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones ycada una de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?

COSTO DE CONSTRUCCIÓN ($)

COSTO DE VENTA ($)

BENEFICIO ($)

CAPITAL DISPONIBLE ($)

Tipo A

13 000 000

16 000 000

3 000 000

600 000 000

Tipo B

8 000 000

9 000 000

1 000 000

TIPO DE VIVIENDA



Sea: x = Número de casas del tipo A y = Número de casas del tipo B



OBJETIVO: Max z = 3000000x + 1000000y

(función objetivo)

13000000x + 8000000y ≤ 6000000; simplificando se tiene:

El número de casas del tipo A ha de ser, al menos, el 40% del total x ≥ 40%(x + y ); simplificando se tiene:

El número de casas del tipo B, es el 20%, por lo menos del total x ≥ 20%(x 20%(x + y); simplificando se tiene : 

Las restricciones para los datos será: 13x + 8y ≤ 600 3x – 2y ≥ 0 x – 4y ≤ 0 x, y ≥ 0……………………………. Condición de no negatividad







Se observa que el Punto óptimo = C (40,10), por tanto: Número de Casas del tipo A = 40 Número de Casas del tipo B = 10 Entonces se tiene en la Función Optima:

PROBLEMA 4. Una empresa constructora dispone dispone de dos tipos de camiones C1 y C2 y quiere transportar 100 ton de arena a una obra. Sabiendo que dispone de 6 camiones tipo C1 con capacidad para 15 ton y con un coste de 40 dólares viaje y de 10 camiones tipo C2 con una capacidad de 5 ton y con un coste de 30 dólares por viaje.

NÚMERO DISPONIBLE TIPO DE DE CAMIONES CAMIONES

CAPACIDAD (TON)

COSTO ($/VIAJE Ó $/CAMIÓN)

C1

6

15

40

C2

10

5

30



UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRIÓN FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS 

Sea: x = Número de camiones camiones del Tipo C1 y = Número Número de camiones del Tipo Tipo C2



OBJETIVO: Min z = 40x + 30y

(función objetivo)

Restricciones a partir de los datos: 15x + 5y ≥ 100 x≤6 y ≤ 10 x, y ≥ 0……………………………. Condición de no negatividad neg atividad

Realizando el grafico:

Se observa que el Punto óptimo = C (6,2), por tanto: Número de Camiones del tipo C1 = x = 6 Número de Camiones del tipo C2 = y = 2 Entonces se tiene en la Función Optima:




Una empresa fabricante de maquinas perforadoras fabrica los modelos 1 y 2; y es suficientemente afortunada como para vender todo lo qu e puede producir actualmente. Cada modelo de maquina perforadora requiere de un tiempo de facturacion en los tres departamentos y la disponibilidad de una cantidad fija de horas – hombre por semana en cada departamento; tal como se muestra en el cuadro siguiente: MODELO

TIEMPO DE MANUFACTURACION (HORAS) DEPARTAMENTO A DEPARTAMENTO B DEPARTAMENTO C

1

2

1

4

2

2

2

2

H -H DISP/SEM

160

120

280

El problema consiste en determinar que cantidad de cada modelo del equipo debe manufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitantes de produccion, sabiendo que la ganancia por cada unidad del equipo de perforacion del modelo 1 es $20 y del equipo de perforacion modelo 2 es $30.



Sea: x = Máquina perforadora del modelo 1 y = Máquina perforadora del modelo 2



OBJETIVO: Max z = 20x + 30y



(función objetivo)

Restricciones para los datos: 2x + 2y ≤ 160 x + 2y ≤ 120 4x + 2y ≤ 280 x, y ≥ 0……………………………. Condición de no negatividad







Se observa que el Punto óptimo = C (40, 40), por tanto:

Máquina perforadora del modelo 1 = x = 40 Máquina perforadora del modelo 2 = y = 40 Entonces se tiene en la Función Optima: Una compañía produce dos tipos de máquinas perforadoras. Cada máquina del primer tipo requiere el doble de tiempo en mano de obra que el segundo tipo. Si todas las maquinas son solamente del segundo tipo, la compañía puede producir un total de 500 máquinas al día. El mercado limita las ventas diarias del primer y segundo tipo a 150 y 250 máquinas perforadoras. Suponga que los beneficios por maquina son $ 8 para el tipo 1 y $ 5 para el tipo 2. Determinar el número de máquinas que deben producirse de cada tipo a fin de maximizar el beneficio.



Sea: x = Máquina perforadora del tipo 1 y = Máquina perforadora del tipo 2






OBJETIVO: Max z = 8x + 5y

(función objetivo)

Por condición del problema respecto al tiempo de fabricación de las máquinas (Cada máquina del primer primer tipo requiere el doble de tiempo tiempo en mano de obra que el segundo segundo tipo):  

=

2 1

De donde: y = x En consecuencia la primera restricción respecto al tiempo de fabricación será (Si todas las máquinas son solamente del segundo tipo, tipo, la Compañía puede producir un total de 500 máquinas al día): Respecto a la demanda del mercado, tenemos:

Por la condición de no negatividad:



Las restricciones para los datos serán: x + y ≤ 500 x ≤ 150 y ≤ 250 x, y ≥ 0……………………………. Condición de no negatividad







Se observa que el Punto óptimo = C (125, 250), por tanto:

Máquina perforadora del tipo 1 = x = 125 Máquina perforadora del tipo 2 = y = 250 Entonces se tiene en la Función Optima: Una empresa minera proyecta la construcción de viviendas para sus trabajadores ubicadas en la zona residencial de la ciudad de lima. La empresa va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones de dólares y el costo de c ada casa del tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas del tipo A ha de ser, al menos, del 40% del total y el de tipo B, el 20% por lo menos, del total. Si cada casa del tipo A se vende a 16 millones y cada una del tipo B en 9 millones. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el b eneficio máximo?

COSTO DE CONSTRUCCIÓN ($)

COSTO DE VENTA ($)

BENEFICIO ($)

CAPITAL DISPONIBLE ($)

Tipo A

13 000 000

16 000 000

3 000 000

600 000 000

Tipo B

8 000 000

9 000 000

1 000 000

TIPO DE VIVIENDA






Sea: x = Número de casas del tipo A y = Número de casas del tipo B



OBJETIVO: Max z = 3000000x + 1000000y



(función objetivo)

Las restricciones para los datos será: 13x + 8y ≤ 600 3x – 2y ≥ 0 x – 4y ≤ 0 x, y ≥ 0……………………………. Condición de no negatividad




Se observa que el Punto óptimo = C (40,10), por tanto: Número de Casas del tipo A = 40 Número de Casas del tipo B = 10 Entonces se tiene en la Función Optima:




 

Maximizar la función: Max z = x + y Sujeto a las siguientes restricciones 5x + 10y ≤ 50 x+y≤0 x≥0 y≥0



5x + 10y = 50



x+y=0

Para x = 0; y = 5 Para x = 10; y = 0

Para x = 0; y = 0 Para x = 0; y = 0 Determinando la gráfica se tiene:

Por lo tanto la función no se puede maximizar ya que no tiene una región óptima y por ende un punto óptimo. INVESTIGACION DE OPERACIONES MINERAS



 

Maximizar la función: Max z = 5x Sujeto a las siguientes restricciones x+y≤2 -x - 5y ≥ -10 x≥0 y≥0



x+y=2



-x - 5y = -10

Para x = 0; y = 2 Para x = 2; y = 0 Para x = 0; y = 2 Para x = 10; y = 0

Determinando la gráfica se tiene:

Se observa que el Punto óptimo = A (0,2), por tanto: INVESTIGACION DE OPERACIONES MINERAS



 

Maximizar la función: Max z = x + y Sujeto a las siguientes restricciones x-y≤1 x ≤2 x+y≤3 x≥0 y≥0



 

x-y=1

Para x = 0; y = -1 Para x = 1; y = 0

x=2 x+y=3 Para x = 0; y = 3 Para x = 3; y = 0


Se observa que dos Puntos óptimos = B (0,3) = C (2,1), por tanto: INVESTIGACION DE OPERACIONES MINERAS



 

Minimizar la función: Max z = 2x + 3y Sujeto a las siguientes restricciones x+y≤4

6x + 2y = 8 x + 5y ≥ 4 x≤2 y≤3 x≥0 y≥0



x+y=4



6x + 2y = 8

Para x = 0; y = 4 Para x = 4; y = 0 Para x = 0; y = 4 Para x = 1.3; y = 0



x + 5y = 3 Para x = 0; y = 0.6 Para x = 3; y = 0

 

x=2 y=3





Se observa que no existe la region factible, por lo tanto no se puede determinar Min z. INVESTIGACION DE OPERACIONES MINERAS



En los problemas desarrollados se consideró a (en clase se trabajó con x2), el resultado es similar, se hizo el cambio de variable respectivo debido a que se trabajó con una aplicación de programación lineal la cual realizaba los gráficos en base a los ejes e .



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