Ejercicios de Programacion Lineal

II. PROGRAMACION LINEAL A. MODELACION MATEMATICA DE PPL 1. FORMA GENERAL DE UN MODELO MATEMATICO DE UN PPL F.O. MAX Función Objetivo o Z = c1 X1 + c2 X2 + c3 X3 +............+ cn Xn

MIN Sujeto a: a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 +..........+ a1n Xn = b1 a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 +..........+ a2n Xn = b2 a31 X1 + a32 X2 + a33 X3 +..........+ a3n Xn = b3 -----

-----

-----

-----

-----

am1 X1 + am2 X2 + am3 X3 +..........+ +..........+ amn Xn = bm DONDE: Z = Repe!enta un pa"meto o canti#a# $ue !e #e!ea optimi%a &'a(imi%a o 'inimi%a). Ej.: *ne!o!, tii#a#e!, /o!to!, 0iempo #e ejecución #e un tabajo, etc. cj = /oeiciente #e popocionai#a#. aa eecto! #i#"ctico! e! una con!tante, peo en a eai#a# nomamente !u vao !e" pobabi!tico. Xj = 45R*567E8 45R*567E8 DE DE/*8*ON aij = /oeiciente #e popocionai#a#. aa eecto! #i#"ctico! e! una con!tante, peo en a eai#a# nomamente !u vao !e" pobabi!tico. bi = 4ao $ue epe!enta a #i!ponibii#a# #e un ecu!o & Limitación ), mite! #e po#ucción, #i!ponibii#a# #e mateia pima, #i!ponibii#a# #e 9oa! 9ombe, etc., requerimiento como #eman#a, compomi!o! #e entea, etc. 0o#a! ea! o un un requerimiento oman pate #e a! e!ticcione! #e entono. aa eecto! #i#"ctico! e! una con!tante, peo en a eai#a# nomamente !u vao !e" pobabi!tico. n = /anti#a# #e 4aiabe! 4aiabe! #e Deci!ión. m = /anti#a# #e Re!ticcione!. n no nece!aiamente #ebe !e iua a m

1) na in#u!tia abica te! po#ucto! $umico! 5, 6 ; /. E!to! po#ucto! !e obtienen po me#io #e cua$uiea #e #o! poce!o! o! poce!o! 1 ; 2. na 9oa #e ejecución #e poce!o 1 tiene un co!to #e 8<  ; !e obtienen 2 uni#a#e! #e po#ucto >5>, 1 uni#a# #e po#ucto >6> ; 1 uni#a# #e po#ucto >/>. o ota pate, una 9oa #e ejecución #e poce!o 2 cue!ta 8< 1 ; in#e  uni#a#e! #e po#ucto >5> ; 1 uni#a# #e po#ucto >6>. aa !ati!ace a #eman#a #e o! ciente! !e #ebean po#uci a o meno! ? uni#a#e! #e po#ucto >5>, @ uni#a#e! #e po#ucto >6> ; 3 uni#a#e! #e po#ucto >/>, #iaiamente. No ob!tante o anteio, a! e!timacione! #e #epatamento #e venta in#ican $ue a po#ucción #iaia m"(ima #e po#ucto 5 #ebea !e a o m"! #e 1A uni#a#e!. /a#a poce!o !e pue#e ejecuta como m"(imo B 9oa! a #a pue! e$uieen tiempo #e pepaación. a. C/u"nta! 9oa! #e ejecución #iaia! !e #eben impementa #e ca#a poce!o paa minimi%a e co!to ; cumpi con o! ciente! b. C/u"nta! uni#a#e! #e ca#a po#ucto !e po#uci"n c. C/u" e! e co!to #iaio mnimo, acan%abe con !u !oución 2) na empe!a po#uce #o! tipo! #e po#ucto, e po#ucto 1 ; e po#ucto 2. 5mbo! po#ucto! !e po#ucen en o! mi!mo! #epatamento! ; con a mi!ma ma$uinaia. E eente #e meca#otecnia cee $ue po#" ven#e to#o! o! po#ucto! 1 ; 2 $ue !ean capace! #e po#uci e pó(imo me!. 7o! antece#ente! ; e!ticcione! eevante! $ue !e 9an i#entiica#o en e !i!tema po#uctivo !on a! !iuiente!: 7o! po#ucto! 1 ; 2 #ejan una utii#a# unitaia #e < @ ; <  cu, e!pectivamente. E con!umo #e 9oa! m"$uina po uni#a# #e po#ucto ; a #i!ponibii#a# #e ea! paa e pó(imo me! !e in#ican en a taba:

Depatamento!  5 6

o o#ucto 1 1 2

Goa! o o#ucto 2 1@ 1

0ota Di!ponibe 1@ 1A

8e 9a e!tabeci#o con e !in#icato un nHmeo #e 9oa! mnima! #e tabajo paa e pe!ona #e a !ección conto #e cai#a# $ue e! #e 13@ 9oa!. /a#a po#ucto 1 $ue !e abi$ue e$uiee #e 3 9oa! #e conto ; ca#a po#ucto 2, 1 9oa!. /omo potica #e meca#o a eencia 9a #eini#o $ue !e #ebe abica a o meno! un po#ucto 2 po ca#a te! po#ucto! 1. n ciente impotante 9a o#ena#o un tota #e cinco uni#a#e! #e po#ucto, en cua$uie combinación #e tipo 1 ; tipo 2. 3) 7a empe!a N5IO /.5., e!t" en capaci#a# #e abica #o! tipo! #e po#ucto!, i#entiica#o! con 5 ; 6, ca#a uni#a# #e po#ucto 5 e$uiee paa !u po#ucción 

9oa! m"$uina!, 1 9oa! 9ombe! ; 12 Jioamo! #e mateia pima. /a#a uni#a# #e po#ucto 6 e$uiee  9oa! m"$uina!, 2 9oa! 9ombe! ; A Jioamo! #e mateia pima. E beneicio unitaio #e o! po#ucto! 5 ; 6 e! #e 6!. 1 ; ? e!pectivamente. 7a! #i!ponibii#a#e! #iaia! #e o! ecu!o! !on 2? 9oa!-m"$uina!, 12 9oa! 9ombe! ; B2 Jioamo! #e mateia pima. 8e peten#e #etemina. C/u"nta! uni#a#e! #iaia! #eben po#uci!e #e 5 ; 6 paa ma(imi%a e beneicio ) 8upona $ue un capinteo abica pueta! #e te! me#i#a!: pe$ueKa!, me#iana! ; an#e!. 7a utii#a# $ue !e obtiene po ca#a una #e ea! e! #e <1, < 13 ; < 1@, e!pectivamente. E tiempo #e eaboación e! #e @ 9oa! paa a pe$ueKa, B 9oa! paa a me#iana ; 1 9oa! paa a an#e. 5#em"!, e con!umo #e ma#ea e! #e 2, m2 en a pe$ueKa. 2,? m2 en a me#iana ; 3,2 m2 en a an#e. Finamente e capinteo e!tima $ue pue#e ven#e cuan#o muc9o te! pueta! pe$ueKa!, @ me#iana! ; @ an#e! !emanamente. 8i #i!pone #e  9oa!-9ombe! ; #e 3 m2 #e ma#ea po !emana. CLuM !e e ecomen#aa abica a capinteo @) En una anja #e poo! !e #a una #ieta >paa eno#a> con una compo!ición mnima #e 1@ uni#a#e! #e una !u!tancia  A ; ota! 1@ #e una !u!tancia B. En e meca#o !oo !e encuentan #o! ca!e! #e compue!to!: e tipo * con una compo!ición #e una uni#a# #e  A ; cinco #e B, ; e tipo ** con una compo!ición #e cinco uni#a#e! #e  A ; una #e B. E pecio #e tipo * e! #e 1 euo! ; e #e tipo ** e! #e 3 euo!. 8e peunta: CLuM canti#a#e! !e 9an #e compa #e ca#a tipo paa cubi a! nece!i#a#e! con un co!te mnimo A) Di!ponemo! #e 21  euo! paa inveti en bo!a. No! ecomien#an #o! tipo! #e accione!. 7a! #e tipo  A $ue in#en e 1 ; a! #e tipo B $ue in#e e ?. Deci#imo! inveti un m"(imo #e 13  euo! en a! #e tipo  A ;, como mnimo, A  euo! en a! #e tipo B. a#em"!, $ueemo! $ue a inve!ión en a! #e tipo  A !ea meno o iua $ue e #obe #e a inve!ión en B. C/u" tiene $ue !e a #i!tibución #e a inve!ión paa obtene m"(imo inteM! anua B) Re##; 'iJJ! /ompan; po!ee una pe$ueKa "bica #e pintua paa inteioe! ; e(teioe! #e ca!a!, paa !u #i!tibución a ma;oeo. 8e utii%an #o! mateiae! b"!ico! &5 ; 6) paa po#uci a! pintua!. 7a #i!ponibii#a# m"(ima #e &5) e! #e A tonea#a! #iaia!, a #e 6 e! #e ? tonea#a!. 7a nece!i#a# #iaia #e mateia pima po tonea#a! #e pintua paa inteioe! ; e(teioe! !e e!umen en a taba $ue !iue:

0onea#a! #e mateia pima po tonea#a! #e pintua E(teioe! *nteioe! Di!ponibii#a# 'ateia ima 5 1 2 A 'ateia ima 6 2 1 ? n e!tu#io #e meca#o 9a e!tabeci#o $ue a #eman#a #iaia #e pintua paa inteioe! no pue#e !e ma;o $ue a #e pintua paa e(teioe! en m"! #e una tonea#a. 5! mi!mo, e e!tu#io !eKaa $ue a #eman#a m"(ima #e pintua paa e(teioe! e!t" imita#a a 2 tonea#a! #iaia!. E pecio a ma;o po tonea#a e! #e <3 paa a pintua #e e(teioe! ; <2 paa pintua #e inteioe!. C/u"nta! pintua! paa e(teioe! e inteioe! #ebe po#uci a compaKa to#o! o! #a! paa ma(imi%a e ine!o buto ?) 7a empe!a 9itt in#oP tiene !óo te! empea#o! $ue 9acen #o! tipo! #e ventana! a mano con maco #e ma#ea ; con maco #e auminio. 7a anancia e! #e
Propiedad

Aea!i"# 1

Aea!i"# $

Aea!i"# %

Aea!i"# &

Aea!i"# '

 5uminio A 2@ @ 2 @  Zinc 1 1@ @ @   omo 3 A 1 3 1 /o!to 22 2 2@ 2 2B &<7iba) E objetivo e! #etemina a! popocione! #e e!ta! aeacione! $ue #eben me%ca!e paa po#uci nueva! aeación a un co!to mnimo. 8e pi#e con!tui un mo#eo #e poamación inea $ue a;u#e a e!ove e!te pobema. 11) na empe!a cuenta con 1 0m #e minea b, 2 0m #e minea bS ; @ 0m #e minea bT. 5 pati #e #ic9o! mineae! pue#en e(tae!e ; un#i!e o! po#ucto! X1, X2 ; X3. 7a empe!a #e!ea mantene a canti#a# #e ca#a po#ucto $ue #ebe abica, a pati #e o! mineae! apovec9abe!, paa obtene e m"(imo povec9o #e a opeación. E po#ucto X1 peci!a @ #e b, 1 #e bS ; 0m #e bT po  ca#a 0m. E po#ucto X2 peci!a @ #e b, ? #e bS ; @ #e bT po 0m. E po#ucto X3 peci!a 1 0m #e b, @ 0m #e bS ; ninuna #e bT paa ca#a 0m. E abicante obten#" <1 #e beneicio po 0m #e po#ucto X1, <2 po 0m #e X2 ; <@ po 0m #e X3. 8e #e!ea conoce a! canti#a#e! a abica #e ca#a uno #e o! po#ucto! X1, X2 ; X3, a! como e beneicio $ue !e obten#a. 12) na compaKa #e 04 po#uce #o! tipo! #e e$uipo! paa teevi!ión, e 5!to ; e /o!mo. Ga; #o! nea! #e po#ucción, una paa ca#a e$uipo #e teevi!o ; #o! #epatamento! ambo! intevienen en a po#ucción #e ca#a apaa#o. 7a capaci#a# #e nea #e po#ucción 5!to e! #e B teevi!oe! #iaio! ; a #e a nea /o!mo e! #e @. En e #epatamento 5 !e abican o! cine!copio!. En e!e #epatamento o! teevi!oe! 5!to e$uieen 1 9oa #e tabajo ; o! /o!mo 2 9oa!. 5ctuamente, en e #epatamento 5 !e pue#en a!ina un m"(imo #e 12 9oa! #e tabajo po #a a a po#ucción #e ambo! tipo! #e apaato!. En e #epatamento 6 !e con!tu;e e c9a!i!. En e!te #epatamento , o! teevi!oe!  5!to e$uieen 1 9oa #e tabajo iua $ue o! /o!mo. En a actuai#a# !e pue#e a!ina un m"(imo #e Q 9oa! #e tabajo #iaio a #epatamento 6 paa a po#ucción #e ambo! teevi!oe!. 7a utii#a# po apaato e! #e 2 ; 1 #óae!, e!pectivamente. Detemine e panteamiento #e mo#eo matem"tico. 13) 5 una pe!ona e tocan 1 mione! #e pe!o! en una otea ; e acon!ejan $ue a! invieta en #o! tipo! #e accione!, 5 ; 6. 7a! #e tipo 5 tienen m"! ie!o peo po#ucen un beneicio #e 1 . 7a! #e tipo 6 !on m"! !eua!, peo po#ucen !óo e B anua. De!puM! #e vaia! #eibeacione! #eci#e inveti como m"(imo A mione! en a compa #e accione! 5 ;, po o meno!, 2 mione! en a

compa #e accione! 6. 5#em"!, #eci#e $ue o inveti#o en 5 !ea, po o meno!, iua a o inveti#o en 6. C/ómo #ebe" inveti 1 mione! paa $ue e beneicio anua !ea m"(imo Detemine e panteamiento #e mo#eo matem"tico. 1) a e! un pe$ueKo abicante #e e$uipo ; acce!oio! #e o cu;o #i!tibui#o o convenció #e $ue e(i!te un meca#o tanto paa bo!a #e o #e pecio me#io, conoci#a como mo#eo e!t"n#a, como paa bo!a #e o #e pecio eeva#o, conoci#o como mo#eo #eu(e. E #i!tibui#o tiene tanta conian%a en e meca#o $ue !i a pue#e abica a! bo!a! a un pecio competitivo, e #i!tibui#o e!t" #e acue#o en a#$uii a! bo!a! $ue a pue#e abica en o! !iuiente! te! me!e!. n an"i!i! cui#a#o!o #e o! e$ueimiento! #e abicación #ieon como e!uta#o a taba !iuiente, $ue mue!ta a! nece!i#a#e! #e tiempo #e po#ucción paa a! cuato opeacione! #e manuactuea! e$uei#a! ; a e!timación po pate #e #epatamento #e contabii#a# #e contibución a a utii#a# po bo!a.

PRODUCTO

TIEMPO DE PRODUCCI(N )*ora+, /ote ; 0eKi#o

/o!tua

0emina#o

UTILIDAD POR -OLSA

*n!pección ; 8< Empa$ue E!t"n#a B1 12 1 11 1 Deu(e 1 @A 23 1 Q E #iecto #e manuactua e!tima $ue #uante o! !iuiente! te! me!e! e!ta"n #i!ponibe! A3 9oa! #e tiempo #e cote ; teKi#o, A 9oa! en co!tua, B? 9oa! #e tiempo #e temina#o ; 13@ 9oa! #e tiempo #e in!pección ; empa$ue paa a po#ucción #e bo!a #e o. 8i a empe!a #e!ea ma(imi%a a contibución tota a a utii#a#. C/u"nta! bo!a! #e ca#a mo#eo #ebe" abica /on!tui e aico.