PROBLEMA # 1
Se requiere realizar una cimentación para poder transmitir cargas de cierta edificación. Se sabe que se necesitan pilares que se apoyaran en las capas más profundas del suelo. Se desea diseñar los pilares con ciertas medidas, que contiene un volumen de 3
24 m ; las medidas son , ! y ", la medida es el doble de !, las tres medidas llenan su capacidad y las dos primeras lo llenan #asta la mitad $%u& medida tiene cada pilar'
Análisis:
(a cimentación es el con)unto de elementos estructurales cuya misión es transmitir las cargas de la edificación o elementos apoyados a este al suelo distribuy&ndolas de forma que no superen su presión admisible ni produzcan cargas zonales. *ebido a que la resistencia del suelo es, generalmente, menor que la de los pilares o muros que soportará, el área de contacto entre el suelo y la cimentación será proporcionalmente más grande que los elementos soportados. (a cimentación es importante porque es el grupo de elementos que soportan a la superestructura. Planteamiento:
+ -edida del pilar -edida del pilar ! / -edida del pilar " 0or lo el sistema quedara d la siguiente manera • • •
+ 1 2 +55/ 1 24 +5 1 32
3 2 6
*espe)amos la ecuación 3 para igualarlo con 7 y obtener sistema de ecuaciones
• • •
+ 8 2 1 7 3 + 5 5 / 1 24 2 +5 1 32 6
9l m&todo por el cual nosotros resolveremos este problema será por el de :auss
0ara resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este m&todo, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial >na vez #ec#o esto, a continuación se procede a convertir dic#a matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma
?-atriz identidad?
382 7 7 3 3 3 24 (@nea 2 8 (@nea 3 3 3 7 32 (@nea 6 8 (@nea 3
3 2 7 7 7 6 3 24 (@nea 2 dividida entre de 6 7 6 7 32 2
3 8 2 7 7 (@nea 3 5 (@nea 2 multiplicada por 2
3 7
1
3 3
3
1
B
7 6 7 32 (@nea 6 8 (@nea 2 multiplicada por 6
2
3 7
3
3
7 3
3
B
7 7 3 32 (@nea 6 entre 3
2
3A (@nea 3 8 (@nea 6 -ultiplicados por
1
7 3
3A
3
3
7 7 3
BC
7 3 7
4
1
B (@nea 2 8 (@nea 6 -ultiplicados por
3
7 7 3
32
7 7 3 32
s@ obtenemos que + 1 B 1 4 / 1 32 Derificamos nuestro resultado en el sistema de ecuaciones original B 8 24
1 7
B 5 4 5 32 1 24 B54
1 32
0or lo tanto sabemos que (a medida del pilar es igual a B
3
m
3
(a medida de pilar ! es igual a 4
m
(a medida del pilar " es igual a 32
m
3
PROBLEMA #2
>n ingeniero civil supervisa la producción de cuatro tipos de mezcla de concreto para la elaboración de prefabricados. Se requieren para este traba)o cuatro clases de recursos • • • •
-ano de obra EorasEombre :rava rena gua
9n el cuadro siguiente se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de mezclas. Si se dispone diariamente de F74 #oras#ombre, 3GH7 Ig. *e grava, GH7 Ig. *e arena y A73 (itros $"uántas mezclas de cada tipo se pueden realizar por d@a' -ezcla 3 2 6 4
-ano de Jbra 6 4 H 27
:rava 27 2F 47 F7
rena 37 3F 27 22
gua 37 B 37 3F
Análisis:
9l concreto es el producto resultante de la mezcla de un aglomerante generalmente cemento, arena, grava o piedra mac#acada y agua que al fraguar y endurecer adquiere una resistencia similar a la de las me)ores piedras naturales. 9l cemento )unto a una fracción del agua del concreto componen la parte pura cuyas propiedades dependen de la naturaleza del cemento y de la cantidad de agua utilizada.
"J-0JK9KL9S 9l concreto está constituido por una mezcla, en proporciones definidas de •
"emento.
•
gua.
•
Mridos. (os áridos lo forman arenas, gravas generalmente no mayores de F cm; el cemento es de fraguado lento, generalmente 0ortland. 9l agua debe estar limpia y eNenta de limos y sales. 9n el concreto, la grava y la arena constituyen el esqueleto, mientras que la pasta que se forma con el cemento, que fragua primero y endurece despu&s, rellena los #uecos uniendo y consolidando los granos de los áridos. l concreto se le puede añadir aditivos para me)orar algunas de sus propiedades . (os elementos prefabricados de concreto, como su nombre lo sugiere, son elementos de concreto fabricados con anterioridad a las obras, de manera que durante la obra se colocan directamente, a#orrando tiempo y recursos. Eay una infinidad de usos y tipos de productos prefabricados que se pueden elaborar, desde cercos perim&tricos #asta casas completas. (os beneficios más notables de este tipo de productos var@an entre facilidad y velocidad de colocación, econom@a, est&tica, durabilidad, practicidad, entre otros, de acuerdo al tipo de prefabricados utilizados y a su uso .
Planteamiento:
O -ano de obra + :rava rena / gua 0or lo el sistema quedara d la siguiente manera • • • •
6O 5 27+ 5 37 5 37/ 5
4O 5 2F+ 5 3F 5 B/ 5
HO 5 27O 1 F74 F7+ 5 F7+ 1 3GH7 27 5 22 1 GH7 37/ 5 3F/ 1 A73
Solución
9l m&todo por el cual nosotros resolveremos este problema será por el de la regla de cramer (a regla de "ramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en t&rminos de determinantes. (a regla de "ramer se aplica para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones 1
9l n=mero de ecuaciones es igual al n=mero de incógnitas.
2
9l determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
Lales sistemas son sistemas compatibles determinados y se denominan sistemas de "ramer.
"on los recursos dados diariamente se puede deducir la cantidad de mezclas que se pueden realizar por cada tipo
• • • •
-ezcla 3 37 -ezcla 2 32 -ezcla 6 3B -ezcla 4 3F