Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de de Ingeniería Eléctrica Ingeniería Electromecánica Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I Semestre !"# "IE$"% &argas' Eliades (iranda' (ónica
Taller de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias) *+licaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden)
Profesor: Fermín Pineda
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias)
Profesor: Fermín Pineda)
Pro,lema %) Un resorte sus+endido de un tec-o tiene una constante de " l,.+ie) Un +eso de /l, se coloca en el resorte' 0 cuando se alcan1a el e2uili,rio' el +eso se eleva 3 +ulg +or encima de la +osición de e2uili,rio 0 se gol+ea -acia arri,a con una velocidad de 3 +ies.seg) Descri,a el m ovimiento dando la am+litud' +eriodo 0 frecuencia) ") Datos 4onstante del resorte
56"
Peso del o,7eto
86/
l,.+ie
l,
) 4ondiciones iniciales
−5
Posición inicial
x o=−5 pulg=
&elocidad inicial
x´ o=−5 pies / seg
12
pie=−0,42 pie
Dado 2ue en el +ro,lema no se -a,la de ninguna fuer1a e9terna' se su+one 2ue Ft;' es igual a cero' siendo así' +ara calcular m se divide el valor del +eso entre la fuer1a gravitacional)
m=
W 8 lb 1 = = slug g 32 pie / se g 2 4
4omo el +ro,lema da el valor de la constante del resorte' se +rocede a sustituir los valores en la ecuación general +ara movimiento li,re no amortiguado) 2
d x m 2 + kx = 0 d t 2
d x + 12 x =0 2 d t
1 4 2
d x + 48 x =0 2 d t Una ve1 se tiene esta e9+resión se calculan las raíces' em+leando la ecuación au9iliar) 2
m + 48= 0 < como era +revisto se o,tienen un 7uego de raíces com+le7as con7ugadas)
m=± 4 √ 3 i
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=a forma general de la ecuación 2ue descri,e el des+la1amiento +ara este caso sería la siguiente)
x ( t )=C 1 cos ωo t + C 2 senω o t x ( t )=C 1 cos 4 √ 3 t +C 2 sen 4 √ 3 t Si se deriva la ecuación anterior se o,tiene la e9+resión 2ue define la velocidad)
x´ =−4 √ 3 C 1 sen 4 √ 3 t + 4 √ 3 C 2 cos4 √ 3 t 4omo se tienen las condiciones iniciales del sistema masa resorte' es decir tanto como su +osición inicial como la velocidad' cuando el tiem+o es igual a cero' se +ueden evaluar en am,as e9+resiones o,tenidas anteriormente' como sigue)
x ( 0 )=C 1−0= C 1 =
−5 12
−5 12
x´ =0 + 4 √ 3 C 2=−5 C 2 =
−5 √ 3 12
Se sustitu0en estos valores en la ecuación +ara el des+la1amiento) Se +uede reali1ar un factor com>n de $3." +ara sim+lificar la e9+resión)
x ( t )= x ( t )=
−5 12
−5 12
5 3 − √ sen 4 √ 3 t
cos 4 √ 3 t
12
( cos4 √ 3 t + √ 3 sen 4 √ 3 t )
Es +osi,le e9+resar la ecuación en función de otras constantes * 0 ' las cuales se calcularán como se muestra a continuación)
√( ) ( )
2 − 5 A = √ C + C = + −5 √ 3 2 1
A =
2 2
5
12
2
12
6
−5
❑
sin θ=
C 1 A
=
12 5
=
−1 2
−5 √ 3
❑
; cos θ=
C 2 A
=
6 −1
ϕ = π − tan
( ) sin θ
cos θ
12 5
− 3 = √ 2
6
( ) −1
=π − tan−1
2
−√ 3 2
( )
3 =π − tan−1 √ 3
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5
ϕ = π 6
Una ve1 se tienen estos valores se +ueden reem+la1ar en la ecuación general de la forma:
x ( t )= A sen ( ωt + ϕ ) 5
5
6
6
x ( t )= sen ( 4 √ 3 t + π ) x ( t )=0,8333 sen ( 4 √ 3 t + 2. 6180 ) Para dar res+uesta al inciso del +ro,lema 0 descri,ir el movimiento' se calcula el valor de la am+litud' el +eriodo 0 la frecuencia) Amplitud : Es el des+la1amiento má9imo de la masa con res+ecto al e2uili,rio) Fue calculada anteriormente +ara e9+resar la ecuación anterior)
A = √ C + C = 2 1
A =
5
T =
2 π
2 2
√( ) +( ) −5
2
−5 √ 3
12
12
6 Periodo.
T =
ωo
√
=2 π m
2 π
= √
3 π
4 √ 3 Frecuencia. 1
k
6
2 √ 3
1
f = = = T √ 3 π π 6
Calculos para realizar la grafica. Paso1: 4 √ 3 t + 2.6180 =0
t =
−2.6180 4 √ 3
=−0.38 seg
Paso2: 4 √ 3 t + 2.6180 =2 π
t =
−2.6180
2 π
4 √ 3
= 0.53 seg
2
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Tabla de valores para la grafica X vs t. Xpies!
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tsegundos !
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+scalas. ,X! - 1 cm : ".12 seg - 1 cm : ".1$ seg
