UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE SANTIAGO (UTESA) Facultad de Arquitectura e Ingeniería Eléctrica
Controles de sistemas automáticos Problemas resueltos Temas: fundamentos matemáticos, diagrama de bloques, reducción de diagrama de bloque, grafo y diagrama de flujo, estabilidad, errores, análisis dinámico, diagrama de Bode Realizado por Ing. Daniel E. Taveras Email:
[email protected] Santiago de los caballeros República Dominicana Abril 2016
.
Índice
CAPITULO I Introducción al sistema de control ------------------------------------------------ ----------------------------------------
5
Fracciones parciales ------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------
8
Factores lineales no repetidos
15
Transformada inversa de Laplace ------------------------------------------- --------------------------------------------
17
Transformada de Laplace ----------------------------------------------- ------------------------------------------------------------
20
Teorema del valor final y valor inicial --------------------------------------------- -----------------------------------
21
Polos y ceros ------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------
25
Linealización -------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------
28
Ecuaciones diferenciales lineales e invariables en El tiempo ----------
35
Modelado -------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------
42
CAPITULO II Reducción de diagramas de bloques ----------------------------------------------- ---------------------------------
56
Diagrama de flujo ---------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
69
Estabilidad -------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------
71
CAPITULO III Tipo de Errores ---------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------
74
Constantes de error
85
Cálculo de magnitud y de fase ------------------------------------------------ -----------------------------------------------
96
Diagrama asintótico de Bode ---------------------------------------------- -----------------------------------------------------
100
Análisis dinámico -------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------
113
Índice
CAPITULO I Introducción al sistema de control ------------------------------------------------ ----------------------------------------
5
Fracciones parciales ------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------
8
Factores lineales no repetidos
15
Transformada inversa de Laplace ------------------------------------------- --------------------------------------------
17
Transformada de Laplace ----------------------------------------------- ------------------------------------------------------------
20
Teorema del valor final y valor inicial --------------------------------------------- -----------------------------------
21
Polos y ceros ------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------
25
Linealización -------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------
28
Ecuaciones diferenciales lineales e invariables en El tiempo ----------
35
Modelado -------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------
42
CAPITULO II Reducción de diagramas de bloques ----------------------------------------------- ---------------------------------
56
Diagrama de flujo ---------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
69
Estabilidad -------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------
71
CAPITULO III Tipo de Errores ---------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------
74
Constantes de error
85
Cálculo de magnitud y de fase ------------------------------------------------ -----------------------------------------------
96
Diagrama asintótico de Bode ---------------------------------------------- -----------------------------------------------------
100
Análisis dinámico -------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------
113
INTRODUCCION El siguiente trabajo es una recopilación de todos los ejercicios marcados como tarea de los diferentes libros que tratan sobre el control de los sistemas automáticos y las bases para el control de sistemas. Los ejercicios están organizados desde los concernientes al primer parcial hasta los del tercer parcial. Se podrá ver los diferentes temas al igual que los pasos y procedimientos utilizados para resolver los ejercicios marcados. Las fórmulas utilizadas utilizadas están realizadas directamente en el programa para que el lector al ver la limpieza de los ejercicios se interese aún más y entienda mejor lo realizado. Como ya se mencionó, está dividido en tres partes, la primera parte se refiere a lo que fue el primer parcial en donde se trataron los temas: introducción a los sistemas de control, en donde vimos los sistemas de lazo abierto y lazo cerrado y como elaborar un diagrama de bloques para representar dichos sistemas, también vimos lo que son polos y ceros y realizar la gráfica correspondiente a partir de una función de transferencia, también los modelados de sistemas físicos, en donde encontramos el modelo matemático de un sistema eléctrico y un sistema mecánico y también vimos la parte matemática, lo que es la Linealización y solución de ecuaciones diferenciales utilizando transformada de Laplace. En la segunda parte que es la del segundo parcial se tratan los temas: Reducción de diagramas de bloques, Grafo de flujo de señal y el test de Routh. La tercera y última parte es la correspondiente al tercer parcial cuyos temas son: Análisis en frecuencia, los errores y sistemas dinámicos.
CAPITULO I Fundamentos matemáticos Introducción a los sistemas de control Establecer cuáles de los siguientes sistemas de control son en lazo abierto o en lazo cerrado y explicar las razones que lo justifiquen: a) Un refrigerador.
Lazo cerrado, porque la salida se retroalimenta en la entrada para controlar el proceso este usa un termostato quien es el dispositivo de retroalimentación para mantener el refrigerador frio b) Los semáforos en un cruce de calles pueden ser un sistema de control de lazo abierto o lazo cerrado. Explicar cómo diferencian los sistemas.
El semáforo es de lazo abierto ya que no tiene un dispositivo que detecte el flujo vehicular, sino, que funciona siempre igual
Dibujar, utilizando un diagrama de bloque sencillo, los siguientes sistemas de control en lazo cerrado a)
Un horno controlado por un termostato
b)
Una luz automática enciende cuando se oscurece y se apaga cuando se aclara.
En el pasado, los sistemas de control utilizaban un operador humano como parte de un sistema de control de lazo cerrado. Dibújese el diagrama de bloques del sistema de control de la válvula que se muestra en la figura p1.2.
Fracciones parciales Desarrollo de coeficiente de fracciones parciales
1)
Aplicando transformada inversa de Laplace
Aplicando transformada inversa de Laplace
Aplicando transformada inversa de Laplace
Aplicando transformada inversa de Laplace
-5C=1
+2B-3C=1
=0
-2C-3C=1
Aplicando transformada inversa de Laplace
Factores lineales no repetidos
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⌈ ⌉ ⌈ ⌉ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +C
∫ ∫ ∫ ∫ ⌈⌉ ⌈ ⌉ ⌈ ⌉ ∫ ∫ ∫ +C
∫ ∫ ∫ ⌈ ⌉ ⌈ ⌉ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⌈⌉ ⌈ ⌉ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⌈ ⌉ ⌈ ⌉ +C
+C
Transformada inversa de Laplace Determinar F(s) si f(t) es:
1)
2)
Entonces
3)
De la tabla de integrales tenemos:
De donde
Entonces:
{} 4)
5)
Transformada de Laplace Encontrar f(t) si tengo F(S)
Por el método de sustitución se obtienen los valores de las variables A=1-B
-B=3-2
A+(-1)=1
2(1-B)+B=3
-B=1
A=1+1
2-2B+B=3
B=-1
A=2
Volvemos a la ecuación original y sustituimos a y b por los valores encontrados
Aplicando transformada inversa de la place se tiene
Este caso se debe utilizar el método de la división larga así:
entonces
Se escoge esta parte para el cálculo de las variables
A=1-B
2(1-B) +B=3
B=-1
2-2B+B=3
A+ (-1) =1
-B=3-2
A=1+1
-B=1
A=2
() {}
Teorema del valor final y valor inicial Aplicando el teorema valor final, encuentre el valor final de f (t), cuya transformada de Laplace se obtiene mediante:
Determine los valores de f (0+) y f (0+) (Use el valor de teorema de valor inicial). Teorema de valor inicial
Teorema de valor final
Polos y ceros
Ceros
Polos
Ceros
Polos
Polos
Ceros
Polos
Ceros
Entonces los ceros son:
Polos
Los polos son:
Encontrar Las funciones de transferencia dados los polos y los ceros 1. Polos en -1, -2; sin ceros Sin ceros =1 en El numerador Los polos son:
La función de transferencia es entonces:
2. Polos en 1, -2; ceros en 0
Cero en cero = S Los polos son: (S-1) y (S+2) La función de transferencia es entonces:
3. Polos en -2±1j; cero en 2
Cero en 2= (S-2)
Los polos son:
4. Polos en 6±10j y -3±4j; ceros en cero y -2±5.
Los ceros son:
Para 6±10j los polos son:
Para -3±4j los polos son:
La función de transferencia es entonces
5. Polo en -6±2j; ceros en -1, 2
Los ceros son: Los polos son:
Linealización Encontrar la ecuación lineal o no lineal de las siguientes ecuaciones
En la región definida por
Sustituyendo
Linealice la ecuación no lineal
Aplicando derivadas con respecto a cada variable se puede obtener
Al sustituir se tiene
Encuentre una ecuación linealizada para y = 0.2 X 3 alrededor de un punto x = 2.
y = 0.2 X 3
y=0.2(2)3 = 0.2(8)= 1.6
Rep. Y= 2.4(x-2)+1.6
Linealice la ecuación no lineal z = En la región definida por
y==3
+ 4xy + 6
8 ≤x≥10 y 2≤y≥4
x=
z=
+ 4xy + 6 =
+ 4(9)(3) + 6
= 243
La densidad del gas ideal se expresa mediante la siguiente formula
Donde M es el peso molecular y R la constante de los gases perfectos.
Encontrar la aproximación lineal de la densidad como función de T y p y evalúense los coeficientes para aire (M = 29) a 300K y presión atmosférica (101,300 N/m?). En unidades del SI la constante de los gases perfectos es R = 8.314 N-m/kgmol-K. Solucihz.
A partir de la ecuación (2-64), la aproximación lineal se da por:
Un termistor tiene una temperatura representada por:
Ecuaciones diferenciales lineales e invariables en El tiempo.
̈ ̇ ̇ De la tabla de ecuaciones diferenciales se tiene que:
Desarrollando
A=a-B
Sustituimos
Con x=0
cuando t=0
{}( ) {}( ) {}( ) {}( ) {}
¿Cuál es la solución de la siguiente ecuación diferencial?
Condiciones iniciales,
Factorizo el denominador:
⁄ ( ⁄)] [( ⁄) ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ( ⁄) ⁄ ⁄ ( ⁄) ⁄ ⁄
⁄ {} {} {} {}[ ] {} [ ] Resuelva la ecuación diferencial
Condiciones iniciales,
Resuelva la siguiente ecuación diferencial mediante la transformada de Laplace:
⁄ ( ⁄ ) {} ⁄
Modelado obtener la ecuacion de transferencia Y(s)/U(s) del siguiente sistema mec ánico
̈ ̇ ̇ ̈ ̇ ̇ Con la transformada de Laplace se Obtiene
Obtener las funciones de transferencia
Solución
Aplicamos la transformada de Laplace
Obtener la función de transferencia del sistema eléctrico siguiente:
∫ ∫ ∫ ∫
Utilizando transformada de Laplace tenemos
Obtener la ecuación de transferencia del sistema eléctrico correspondiente Ecuaciones del sistema
Aplicamos transformada de Laplace
∫ ∫ ∫
Aplicando transformada de Laplace
Modelado de sistemas hidráulicos El sistema hidráulico que se muestra en la figura, consiste en dos tanques con un caudal de entrada al primer tanque de W1 metros cúbicos por seg. Cada tanque introduce una capacitancia hidráulica y cada valvula una resistencia hidráulica. La presión en el fondo de cada tanque se expresa con respecto a la presión atmosférica que se observa en la salida de cada tanque. Determinar un conjunto de ecuaciones diferenciales para describir este sistema.
Atendiendo el área del fondo de cada tanque se tiene
Pero en este caso debemos tener en cuenta dos conceptos que son la capacitancia de cada tanque y la presión en el fondo De donde
Entonces se puede sustituir W 2(t) por la ecuación de la salida R 1
Despejando la salida del segundo tanque se tiene
Luego la salida R2= W3(t)
Se sustituye en la ecuación
Luego se puede calcular la ecuación de transferencia que sería la salida sobre la entrada del sistema total
CAPITULO II
Reducción de diagramas de bloques Reduzca el diagrama de bloques de la fig. A la forma con retroalimentación unitaria y encontrar la ecuación característica del sistema.
Primer paso se multiplican los dos bloques en serie
Determinar la salida c debida a U1, U2 y R.
Primer paso es hacer
y modificar el diagrama como sigue
Luego tengo
Segundo paso es hacer
y modificar el diagrama como sigue
Tercer paso es hacer
y modificar el diagrama como sigue
.
Reduzca a la forma canónica el diagrama de bloques y encuentre la transformada C de la salida. K es una constante.
Reduciendo la malla de retroalimentación
Reduciendo la malla de retroalimentación
Reducir el siguiente diagrama de bloques a un solo bloque Y/R
Reducir
Reducir el lazo de retroalimentación
Encontrar C/R
La trayectoria directa es:
Los lazos de retroalimentación son:
∑ ∑
Determine C para el siguiente sistema
Primer paso, hacer R2, R3, R4 = 0 R1 C
-
Reduciendo la malla de retroalimentación
-
Segundo paso, hacer R1, R3, R4 = 0 R2
C
-
Reduciendo
Tercer paso, hacer R1, R2, R4 = 0
Cuarto paso, hacer R1, R2, R3 = 0
Determine C/R2 para el siguiente sistema
Para resolver este problema resulta conveniente encontrar C/R1 Grafo de flujo de señal
Hacer como flujo de señal
∑ ∑
Para hallar C/R2 se hace R1=0
Como flujo de señal
∑ El delta no varía
Entonces C/R2 es:
∑ ∑ .
Lazos de retroalimentación
Diagrama de flujo
Obtener el grafo de flujo de señal.
Para calcular Y(S)/R(s) se debe hacer cero a N(s)
∑
Como se puede ver en el grafico G1(s) no tiene retroalimentación
Entonces el delta
es
La segunda parte nos pide Y(s)/N(s) Para esto hacemos igual a cero tanto R(s) como E(s) y nos queda lo siguiente
Y el grafo nos queda de esta forma
Y la relación salida sobre entrada
Entonces
∑
Como se puede notar se usa el delta de la figura completa
La segunda parte nos pide Y(s)/E(s) Para esto hacemos igual a cero tanto R(s) como N(s) y nos queda lo siguiente
Los lazos de retroalimentación serian
Pero se utiliza el delta del sistema completo
Entonces
∑
Aplique la fórmula de la ganancia a las sfg mostradas para encontrar las sgts. Funciones de transferencia.
LAZOS
∑
Encuentre las funciones de transferencia Y7/Y1 y Y2/Y1 de las sgts. Sfg.
Los pares de lazos que no se tocan
Encuentre la función de transferencia.
Calcular Y6/Y1 Para esto se debe hacer cero a Y7 y nos queda el siguiente diagrama de flujo
Las trayectorias directas son:
∑∑
Los lazos de retroalimentación son:
Hay un par de lazos que no se tocan son L1 y L2, estos se deben multiplicar así:
∑ ∑ Encuentre las funciones de transferencia del sgt diagrama.
a) La primera parte se encuentra haciendo N(s) N(s) igual a cero así:
Resolvemos primero esta parte
Luego se debe mover el punto de suma delante, entonces el diagrama queda como sigue:
El siguiente paso es sumar sumar las 2 ganancias que quedan en paralelo, estas son
Y vuelvo a modificar el diagrama
Y finalmente la salida sobre la entrada es
El primer paso consiste en mover el punto de suma adelante
Del siguiente diagrama de bloques encontrar las siguientes funciones
Al hacer cero N(S) me queda
Lo que lo coinvierto en un diagrama de flujo
∑ ∑ Modificando la ecuación
Estabilidad Usar al arreglo de Routh para determinar si los sistemas que tienen las funciones de transferencia con los siguientes polinomios son o no estables
1 4
8 12
1 4
1 1
0
8 12
1 2
0
3 0
1 1
1 2
3 0
Considerando el sistema de la figura, determine si el sistema es estable.
Ecuación característica.
1
12
11
6
12
6
10
10
0
6
10
0
20/3
0 0
0
Considerando el sistema de la figura, determinar si el sistema es estable. Explique detalladamente su respuesta.
CAPITULO III TIPOS DE ERRORES Determinar el tipo de los siguientes sistemas con realimentación unitaria para los cuales se dan a continuación las siguientes funciones de transferencia de trayectoria directa: Para determinar el tipo de sistema se deben calcular las constantes de error y de acuerdo al resultado se sabe cuál es su tipo. Por ejemplo si cuando j
Kp
Kv
Ka
0
0
0 1
0
2
K
3
a)
Kp
Kv
Ka
tipo de sistema
0
0
tipo 0
b)
Kp
.
Kv
Ka
tipo de sistema
0
0
tipo 0
Kv
Ka
tipo de sistema
K
0
tipo 1
c)
Kp
d)
Kp
Kv
Ka
tipo de sistema
K
tipo 2
Ka
tipo de sistema
e)
Kp
Kv
tipo 3
f)
Como tengo una S elevada al cubo en el denominador por simple inspeccion se pude notar que el sistema es de tipo 3, pues todos los resultados son infinitos.
Determine las constantes de error a escalón, a rampa y a parábola del siguiente sistema de control con realimentación unitaria. Las funciones de transferencia de la trayectoria directa son:
a)
b)
Porque
Porque c)
⌈⌉ ⌈⌉ d)
e)
f)
Las siguientes funciones de transferencia se dan para un sistema de control con realimentación no unitario de un solo lazo. Encuentre los errores en estado estable debido a una entrada escalón unitario, rampa o parabólica (t 2/2)us(t)
a)
Entrada escalón unitario
Entrada rampa
Entrada parabolica
y
b)
Entrada escalón unitario
Entrada rampa
Entrada parabolica
c)
Entrada escalón unitario
Entrada rampa
Entrada parabolica
Entrada escalón unitario
Entrada rampa
;
Entrada parabolica
Constantes de error En la figura 7P-7 se muestra el diagrama de bloque de un sistema de control. Encuentre las constantes de error al escalón, rampa y parábola. La señal de error se define como e(t). encuentre los errores en estado estable en termino de K y Kt cuando se aplican las siguientes entradas. Asumiendo que el sistema es estable.
Como se nos pide encontrar los errores em termino de K y Kt solo se debe obtener al encontrar Y(s)/E(s), por lo cual se reduce el diagrama como sigue:
Las constantes de error son:
La repuesta al escalón unitario de un sistema de control lineal se muestra en la figura 7P-12. Encontrar la función de transferencia de un sistema de segundo orden para modelar el sistema.
Asi que
√ Por tanto
√ √ La funcion de transferencia es entonces:
Para el sistema de control que se muestra en la figura 7P-7, encuentre los valores de K y K t, para que el sobrepaso máximo de la salida sea aproximadamente 4.3% y el tiempo de retardo td sea aproximadamente 0.1s. Utilice la ecuación 7.102 para la relación del tiempo de retardo. Simule el sistema con un programa de computadora para verificar la exactitud de su resolución. Partiendo del diagrama del problema 7.7 obtenemos:
Ahora 0.2
debe quedar sola así que dividimos entre la ecuación arriba y abajo entre
La ecuación característica para el tiempo de retardo es:
Y la ecuación característica del sistema es
Para el sobrepaso máximo de 4.3%
El factor de amortiguamiento relativo se obtiene a partir de la tabla 7.3 p407 la cual para el sobrepaso máximo de 4.3% es:
Entonces
Así que
es:
Así que Kt es
La función de transferencia es entonces
Step Response 1.4
1.2
1
0.8
e d u t i l p m A 0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (seconds)
Repetir el problema anterior ahora con sobrepaso máximo de 10% y un tiempo de retardo de 0.05s
La ecuación característica para el tiempo de retardo es:
Y la ecuación característica del sistema es
Para el sobrepaso máximo de 10%
0.7
El factor de amortiguamiento relativo se obtiene al extrapolarlo del obtenido en la tabla Donde
Entonces
Así que Kt es
La función de transferencia es entonces
Step Response 1.4
1.2
1
0.8
e d u t i l p m A 0.6
0.4
0.2
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Time ( seconds)
Repetir el problema anterior ahora con sobrepaso máximo de 20% y un tiempo de retardo de 0.01s Para el sobrepaso máximo de 20%
El factor de amortiguamiento relativo se obtiene al extrapolarlo del obtenido en la tabla 7.3 Donde
Entonces
Así que Kt es
La función de transferencia es entonces
¿Cuál es la magnitud y la fase de la funcion de repuesta en frecuencia de un sistema con la siguiente funcion de transferencia?
Calculo de magnitud y de fase
Cuando se presenta una situación como esta lo mejor es trabajar la función de transferencia por parte, algo similar a las fracciones parciales. Escogemos esta parte; entonces tenemos:
Se procede a realizar la multiplicación por el conjugado del denominador para no tener términos complejos en el mismo.
Luego se busca la magnitud y esta viene dada por:
Se calcula entonces la segunda parte
√ √ √ √ Se realiza la multiplicación por el conjugado
¿Cuáles son las magnitudes y las fases de los sistemas que tienen las siguientes funciones de transferencia?
√ √ Luego se busca la magnitud y esta viene dada por:
√ √
Diagrama asintótico de Bode Polo Real Dibujar el diagrama asintótico de bode de la siguiente función de transferencia:
1) Pasándolo al dominio de la frecuencia para buscar la magnitud y el ángulo de fase:
X=
y=
√ Fase (Ǿ) =
Ǿ =
2) Buscar la ganancia estática (K) suprimiendo las S:
Como la ganancia estática es positiva, significa (K=1), a la hora de hacer la tabla de la fase y posteriormente el diagrama de fase, su grafica empieza en cero grados 0⁰
3) Llevamos la ganancia estática K = 1 a decibelios así:
en 0⁰
Lo que significa que la grafica de magnitud empieza
De nuestra función de transferencia podemos ver que no hay ceros, solo un polo:
s1 = -5. Por lo que tenemos una frecuencia de 5 (W = 5) Entonces la gráfica de magnitud, inicia en cero y se mantiene allí hasta llegar a W = 5, donde empieza a decaer a razón de -20 decibeles por década. Buscamos las frecuencias media, baja y alta.
Para graficar la fase, como la ganancia estática K es positiva, (K = 1) se empieza en cero grados. 0⁰ Como es un polo simple (s+5) me aporta -45 grados desde w = 0.5 hasta w = 50 FASE
total
0
0
0
0
0
-45
-45
0
0
-45
-45
0
total
0
0
0
0
-45
0
0
-45
0
Diagrama asintótico de bode hecho en paint usando como plataforma la cuadricula dividida en décadas..
Usando matlab tenemos:
Realizar el diagrama asintótico de bode de la siguiente función de transferencia:
AMPLITUDES
45.2
total
0
0
0
0
0
20
20
20
0
0
0
-40
0
0
-20
-20
0
20
0
-40
Para encontrar el origen de la grafica se utiliza la siguiente ecuacion
Donde:
En el numerador se colocal el termino independiente de s y lo mismo en el denominador, tomando en cuenta que si hay varios factores estos se deben multiplicar, por ejemplo en el denominador de esta ecuacion tenemos , de donde escogemos los términos independiente los cuales dan como resultado .
Y para la fase se puede realizar la siguiente tablita para obtener los limites de la fase.
(√ ) 45.2
total
FASES
0
Luego se suman los resultados obtenidos en cada columna
FASES
45.2
0
total
Los resultados que son iguales se simplifican así:
La cantidad a simplificar en este caso es -90° que me aporta desde .3 hasta 10, entonces lo convierto a:0. Y se reduce el diagrama de fase para que pueda coincidir con el diagrama de magnitud
45.2
total
Diagrama de bode hecho a mano
FASES
0
Dibujar el diagrama asintótico de Bode de la siguiente función
AMPLITUDES
total
0
20
20
20
0
0
-20
-20
0
0
0
-20
0
20
0
-20
FASES
total
0
45
45
45
45
45
45
0
0
0
0
0
-45
-45
-45
-45
-45
-45
0
0
0
0
0
-45
-45
-45
-45
-45
-45
0
45
0
-45
-45
-45
-45
-90
-45
0
total
0
45
45
45
0
0
0
0
0
-45
-45
-45
0
0
0
0
0
-45
-45
-45
0
0
45
0
-45
-90
-45
0
FASE Para la magnitud, Según el cálculo la gráfica empieza en -15.6. Cuando llega a w = 1 aumenta 20 decibelios (hasta 4.4db) hasta w = 2 luego decrece 20 db hasta w =3
Para la fase como k es positive significa que la señal amplifica por lo que se empieza en cero grados.
Usando mathlab:
Dibujar el diagrama asintótico de bode de la siguiente función de transferencia: Polos complejos conjugados.
En este caso k = 1 por lo que la gráfica de la amplitud empieza en cero db. La tabla de la fase es como sigue: Termino
W<0.3
0.3
3
w>30
K=9
0
0
0
0
0
-90
-90
0
Total
0
-90
-90
0
Trazar el diagrama asintótico de bode de:
Buscamos la ganancia estática K.
Llevamos la ganancia a decibelios: 20 Log 16.66 = 24.4 db.
Las frecuencias (W) son
w1 = 0.1, w2 = 3, w3 = 5
Termino
W<0.1
0.1
3
w>5
(S+0.1)
0
-20
-20
-20
(S+3)
0
0
-20
-20
(S+5)
0
0
0
20
Total
0
-20
-40
-20
Buscamos las frecuencias media, baja y alta.
C
W<.0 1
0.01
o.1
1
30
w>5 0
(s+0.1 )-1
0
-45
-45
-45
-45
0
0
0
0
(s+3)-
0
0
0
-45
-45
-45
-45
0
0
(S+5)
0
0
0
0
45
45
45
45
0
Total
0
-45
-45
-90
-45
0
0
45
0
C
W<.01
.01
.3
0.5
1
30
w>5 0
(s+0.1 )-1
0
-45
-45
-45
0
0
0
0
(s+3)-
0
0
-45
-45
-45
-45
0
0
(S+5)
0
0
0
45
45
45
45
0
Total
0
-45
-90
-45
0
0
45
0
Diagrama de magnitud de la función de transferencia
Diagrama de fase de la función de transferencia
Análisis dinámico Dado el siguiente diagrama de bloque, determinar la repuesta escalón unitario Donde K=0.2
Reducción del diagrama de bloque
√ √ √ √ K=0. 2
CONCLUSIÓN Al finalizar podemos decir que la elaboración de este trabajo ha sido una gran ayuda para desarrollar y aplicar los conocimientos obtenidos a lo largo de nuestra carrera universitaria y a la vez aplicar los conocimientos nuevos adquiridos en cada tema expuesto en esta materia. Los sistemas de control como sabemos, están formados por un gran sistema en el que para comprender mejor su funcionamiento se dividen en partes, las mismas que analizamos en este trabajo, para de esta manera resolver algún problema en específico que se nos presente de una manera más rápida y eficiente ya que conociendo los funcionamientos individuales nos hacemos una idea de cómo trabajan las diferentes variables de un sistema de control automático. Esperamos que dicho material sea de su agrado ya que está elaborado con mucha dedicación y esfuerzo y tratamos, cada tema para que sea de fácil comprensión.
