Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas Llamamos: a: cantidad de científicos del grupo A b: cantidad de científicos del grupo B c: cantidad de científicos del grupo C Sabemos que:
El CONICET recibió una donación de $1.360.000 para realizar investigaciones sobre métodos de prevención de posibles ataques bacteriológicos. El dinero se dividió entre 100 científicos de 3 grupos de investigación: A, B, C. Cada científico del grupo A recibió $20.000; cada científico del B $8.000 y cada uno del C recibió $10.000. El grupo de investigación B recibió 1 / 5 de los fondos del grupo A. ¿Cuántos científicos pertenecen a cada grupo?
a + b + c = 100 20.000 a + 8.000 b + 10.000 c = 1.360.000 20.000 a = 8.000 b 5
o el sistema equivalente: a + b + c = 100 10 a + 4 b + 5 c = 680 a = 2 b
Lo resolvemos? a = 2b
b = 20
9 b = 180
a = 40
3 b + c = 100 24 b + 5 c = 680
24 b + 5 ( 100 – 3b ) = 680
c = 40
c = 100 – 3b
Solución: { ( 40, , 20 , 40 ) } Respuesta: Al grupo A pertenecen 40 científicos, 20 pertenecen al B y 40 al C. DEFINICIÓN Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas es un sistema de ecuaciones de la forma: a 1 x + b1 y + c1z = d1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a x + b y + c z = d 3 3 3 3 ai , bi , ci , di ∈ R
EJEMPLO x + y + z = 10 x + 4 y + 5z = 6 x + 23 z = - 7
i = 1, 2, 3
123
Recuerda que si a, b y c son tres números reales no simultáneamente nulos, la gráfica de la ecuación ax + by + cz + d = 0 es un plano en el espacio R 3. El sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas a 1 x + b1 y + c1 z = d1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a x + b y + c z = d 3 3 3 3
determina en R 3 tres planos que pueden tomar las siguientes posiciones:
1- Los tres planos se intersecan en un punto. En este caso el sistema tiene como solución única la terna de números reales ( x0 , y0 , z0 ) que representan las coordenadas del punto P. El sistema de ecuaciones es compatible determinado.
2- Dos de los planos son coincidentes ó bien los tres se cortan según una recta. El sistema tiene infinitas soluciones, todas las ternas (x, y, z ) que representan las coordenadas de los puntos de la recta. El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado.
124
3- Dos de los planos son paralelos ó dos tienen una recta en común y el otro los corta. El sistema no tiene solución. El sistema de ecuaciones es incompatible.
4- Los tres planos son paralelos. El sistema no tiene solución. El sistema es incompatible
5- Los planos son coincidentes. El sistema tiene infinitas soluciones, todas las ternas (x, y, z ) que representan las coordenadas de los puntos del plano. El sistema es compatible indeterminado
Cómo representarías esta situación geométrica?
Como vemos, nuevamente, hay sólo tres casos posibles de soluciones: J Solución única. J Infinitas soluciones. J No tiene solución. 125
Resolución de algunos sistemas
Sea el sistema
x + y+z =2 2x - y = 0 . y+ z=-3
Despejamos y de las tres ecuaciones
x+y+z=2
2x - y = 0
y + z = -3
y=2–x-z
y = 2x
y = -3 - z
2 - x – z = 2x
2 – x – z = -3 - z
Igualamos
2-x=-3 2x + z = - 3
Queda determinado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
y=2–x-
2 x = -3 - z
z = - 13
z = -3 – 2x
x =5 z = - 3 - 2 x
x=5
y = 10
El sistema es compatible determinado. Su solución es: { ( 5, 10, -13 ) }
126
EJERCICIOS 1- Resolver: a)
x + y + z = 2 2y - z = 1 4y - 2z = 3
b)
x + y-z =2 2x + 2y - 2z = 3 -x-y+z =4
2- Don Osvaldo había comprado una gran partida de huevos de gallina, de pato y de pavo. Enterada de la novedad Haydée corrió hasta el almacén de aquél y le dijo: “Me contó una vecina que tiene usted para vender huevos de todas clases, se me ha ocurrido un plato de comida original. Me tiene que ayudar, aquí tiene $ 22 y quiero 22 huevos surtidos.” Don Osvaldo se rascó la cabeza, hizo unos cuantos números y luego le entregó los 22 huevos “surtidos” a Doña Haydée. ¿Cuántos de cada clase había en el paquete, si los de gallina costaban $6 la docena, $ 24 los de pato y $36 los de pavo? Exactamente debo darle: 16 de gallina, 4 de pato y 2 de pavo.
Los sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones y más de tres incógnitas no se pueden representar geométricamente, pero en ellos se verifica también que son compatibles determinados, compatibles indeterminados o incompatibles. Para su resolución hace falta sistematizar los métodos, esto se desarrolla en el curso de Matemática C.
127
