Algoritmos de los Métodos de Gauss y de Gauss-JordanDescripción completa
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Problemas
Problema 9.16 resuelto (método de Gauss) G auss) La Texas Leather Inc. (TLI) RECIBE RE CIBE 2000 yardas cuadradas de cuero no curtido cada mes. La TLI produce cueros para sillas de montar y cubre asientos. Cada silla requiere 10 yardas cuadradas de cuero y cada cubre asiento requiere 15 yardas cuadradas. Antes de que el cuero pueda ser usado para cada uno de sus productos, tiene que ser curtido completamente. El cuero que va a ser usado en sillas de montar requiere 1 hora por yarda cuadrada para ser curtido y el de cubreasientos requiere 2 horas por yarda cuadrada para ser curtido. Se dispone de 200 horas de tiempo para curtir c urtir en la planta de la TLI en Houston. El precio de venta de cada cuero suficiente para una silla de montar es de $1000 y el de cada cubre asiento es de $275. a) Construya el modelo de programación lineal para la TLI b) Encuentre la combinación optima de curtido de cuero para silla de montar y cubre asiento usando el Método Simplex. SOLUCION: Datos:
Se reciben 2000 yardas cuadradas de cuero al mes Silla de montar requiere 10 yardas cuadradas y necesita 1 hora por yarda cuadrada para ser curtido Cubre asiento requiere 15 yardas cuadradas y necesita 2 horas por yarda cuadrada para ser curtido Y se disponen de 200 horas al mes para curtir. Precio de venta para la silla de montar es de $1000 y para el cubre asiento es de $275 Paso 1: Plantear modelo de PL
Paso 2: Agregar variables de holgura para hacer las
Paso 3: Igualar la función objetivo a 0 esto se hace pasando todas las variables a un solo lado y por
restricciones lineales
tanto los signos cambiaran.
10x1 + 15x2 + x3 = 2000 X1 + 2x2
Z = 1000x1 + 275x2 quedaría como sigue:
+x4 = 200
Z – 1000x1 – 275x2 = 0
Nota: A la función objetivo no se le agregan variables de holgura.
Paso 4: Construir tabla inicial
Z
X1
X2
X3
X4
R
Z
1
-1000
-275
0
0
0
X3 X4
0 0
10 1
15 2
1 0
0 1
2000 200
Paso 5: Elegimos la columna pivote que será la que tiene el mayor valor negativo en Z. En este caso la que está en verde.
Z
X1
X2
X3
X4
R
Z
1
-1000
-275
0
0
0
X3 X4
0 0
10 1
15 2
1 0
0 1
2000 200
Paso 6: Elegimos la fila pivote que será la que tenga el menor cociente de dividir R/Columna pivote. En este caso ambas tienen el mismo valor se toma cualquiera. Yo tome X4
Z
X1
X2
X3
X4
R
División(R/CP)
Z
1
-1000
-275
0
0
0
0/-1000 =0
X3 X4
0 0
10 1
15 2
1 0
0 1
2000 200
2000/10=200 200/1=200
Paso 7: Hacemos la nueva tabla tomando en cuenta lo anterior y elegimos el coeficiente pivote que seria 1 de acuerdo a lo que yo seleccione.
Z
X1
X2
X3
X4
R
División(R/CP)
Z
1
-1000
-275
0
0
0
0/-1000 =0
X3 X4
0 0
10 1
15 2
1 0
0 1
2000 200
2000/10=200 200/1=200
Paso 8: Dividir toda la fila pivote entre el coeficiente pivote .En este caso quedará igual ya que el coeficiente pivote es 1.
Z
X1
X2
X3
X4
R
Z
1
-1000
-275
0
0
0
X3 X4
0 0
10 1
15 2
1 0
0 1
2000 200
Paso 9: Aplicamos método de Gauss por lo que necesitamos hacer cero los dos valores que están sobre el coeficiente pivote. Fp = fila pivote
Z
Z
X1
X2
X3
X4
R
Gauss
1
-1000
-275
0
0
0
1000FP + Z
1 0
0 1
2000 200
-10FP+X3
X3 0 10 15 X4 0 1 2 Quedaría como sigue: para Z 0
1
1
0
1
200
1
-1000
-275
0
0
0
725
0
1000
200000
1
0
La fila X3 quedaría como sigue: 0
1
2
0
1
200
0
10
15
1
0
2000
0
0
-5
1
-10
0
Paso 10: Hacemos la tabla final con los nuevos valores.
Z
Z
X1
X2
X3
X4
R
1
0
725
1
1000
200000
X3 0 0 -5 1 -10 0 X4 0 1 2 0 1 200 Si bajamos desde Z al primer 1 obtenemos un valor de 200,000 Si bajamos hasta el primer 1 desde X1 obtenemos un valor de 200
CONCLUSION: Como ya no hay valores negativos en Z entonces hemos obtenido la solución óptima.
X1 = 200 X2 = 0 Z = 200000
Comprobando solución en función objetivo: Z = 1000X1 + 275X2 sustituimos los valores: Z =1000(200) + 275(0) = 200000 Por lo tanto la solución satisface la función objetivo. La TLI necesitara curtir 1000 yardas cuadradas de silla de montar y nada para cubre asiento para obtener la máxima ganancia.
