Problema 2: El flujo sanguíneo conduce cierto medicamento hacia el interior de un órgano de
2 , y se determina que sale de él a la misma velocidad. El órgano tiene un volumen líquido de 120 . Si la concentración del medicamento en la sangre que entra en el órgano es de 0,3 , ¿cuál es la un ser humano a una razón de
concentración del medicamento en el órgano en el instante t, si inicialmente la persona no tenía ninguna muestra que indicara que había consumido el medicamento previamente?, ¿En qué tiempo, tiempo, la concentración concentración del medicamento en el órgano será de
0,2 ?
EJER EJERCI CICI CIO O Y SOL SOLUC UCII N
OBSERVACIONES, ANEXOS,
PLANTEADA
MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA
SOLUCION
Como planteamiento se propone tener en cuenta la siguiente ecuación
Como es un ejercicio de aplicación de ecuaciones diferenciales sobre problemas de mezclas, la situación descrita está asociada a la siguiente ecuación diferencial lineal:
`( `() = () ( () (()) ()
() = ( )
Donde se dice que
`( `() = () ()
que permite encontrar la ley de Planteamiento de los datos del problema variación de la cantidad de medicamento en un instante de Razón de ingreso y salida del medicamento tiempo t. 3
()
Los datos proporcionados son:
Nombre
2 ⁄
Volumen de líquido del órgano
Dato inicial
Volumen inicial Concentración del medicamento en la sangre que entra Razón de entrada Razón de salida
= 120 120 3 = 0,0,3/ 3/ 0.3 ⁄ 3 = 2 / = 2 / (), donde
Concentración del medicamento en la sangre
Como desarrollo y teniendo en cuenta la
Gramos
de
ecuación inicialmente planteada. Se tiene que:
(0) = 0
medicamento en el instante t Como se tiene la ecuación diferencial que modela la situación, se reemplazan los valores conocidos:
(3) = 2(0,3) 120 (2 2) Simplificando se tiene: (2) = 0,6 120 = 0,6 2 = 72 120 120 Se hace separación de variables: = 72 2 120 Integrando se obtiene: ∫ 722 = ∫ 120 1 |72 2| = 2 120 2 |72 2| = 120 Aplicando propiedades de los logaritmos neperianos:
+ 72 2 = − = Al despejar resulta: () = 72 − De acuerdo al valor inicial (0) = 0 () − 0 = 36 ⇒ = 36
Luego, la ecuación que representa la concentración del medicamento en el órgano en el instante t, es:
() = 72 36−
Para determinar el tiempo en el cual la concentración del medicamento en el
= = 2 3 , () = 120 Así mismo se presenta
() = 0.3 Por interpretación del problema tenemos un valor inicial de
0
Dado así:
2 (),(0) = 0 `() = 0.6 120 Se propone Plantear los límites de integración
−(− () = 0.6 ∫ quedaría entonces:
0.6(60 60 − ) Dado esto se propone que
() = ()
() = 0.3[60 60− ]/ 3 Finalmente se desarrolla.
= 0.2/ 3 0.2 = () = 0.3[60 60− ] = = 65.91segundos
0,2 , ( ) () = ()
órgano será de ecuación:
Por lo tanto,
se utiliza la
− 36 0,2 = 120
Simplificando y reacomodando términos:
72 = 36 36− 12 − = 36
Se aplican logaritmos y se obtiene:
= = Entonces, = 60,9167
Finalmente, el tiempo encontrado fue aproximadamente de 1,91 min.
Apreciados estudiantes, recuerden que: Cada estudiante debe hacer mínimo un aporte significativo al análisis del desarrollo presentado. Moderador o líder debe consolidar el trabajo final donde se incluya aportes individuales y grupales.
