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Resolusión Del Examen Final de
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PROCESOS ESTOCASTICOS
enunciados proba
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Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´ M atem´aticas
Unive
MA3403-6. Probabilidades y Estad´ Estad´ ısticas 2016. na na Profesor: Vicente Acu˜ e Palacios Pala cios A., Obed Ulloa M. Auxiliar: Jos´ Fecha: 15 de Abril del 2016
Pauta auta Auxilia uxiliar r 6 Distribuci´ Distribucion on v.a. continuas ´
La funci´on on de distribuci´on on de una variable aleatoria continua X , de funci´on on de densidad f X es y
F (X ) =
P(X
≤ ≤ y) =
f X (t)dt
−∞
con esto se tiene que la relaci´on entre la funci´on on de densidad y la de distribuci´on est´a dada por f X (x) =
dF (X ) dx
Esperanza a v.a. continuas Para una variable aleatoria X que toma valores continuos en S con funci´on on de densidad f X , su esperanza se E (X ) =
t f X (t)dt
t∈S
·
Distribuci´ Distribucion on Uniforme ´
Se dice que X v.a. distribuye uniforme de par´ametros ametros a, b (X U (a, b)), con a densidad est´a dada por 1 f X (x) = 1[a,b] (x)
∼
b
Distribuci´ Distribucion on Exponencial ´
−a
Se dice que X v.a. distribuye exponencial de par´ametro ametro λ ( X exp(λ)), con λ dada por f X (x) = λe −λx 1[0,∞) (x)
∼ ∼
Master your semester with Scribd Recuerdo: Diferencia de cubos & The New York Times a − b = ( a − b)(a Special offer for students: Only $4.99/month. Problemas
3
3
≤ b, a, b ∈ R, cuando su
∈ R+, cuando su funci´on on de d
Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title
Useful Not useful 2 + ab + b2 ) Cancel anytime.
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Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas
P(X m = k )
= ( nkm ) pkm (1
Unive
m)
− p
=
nm ! pk (1 (nm k )!k! m
=
nm ! (nm k )!k!
=
1 λk nm ! k ! (nm k)! nkm
=
λk nm ! k ! (nm k)!nkm
=
λk nm(nm k!
nm −k nm −k m)
− p
− −
− −
k
nm −k
− − − − λ nm
λ nm
1
1
λ nm
1
λ nm
(λ = p m nm)
nm −k
nm
λ nm
1
−k
m
nm
− − − − · ·· − − − −
=
λk k!
=
λk (1) 1 k!
nm nm
− 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)(n − k)! 1 − λ (n − k)!n n (n − 1) (n − 2) · ·· (n − k + 1) m
m k m m
m
m
nm
1
1
nm
k
1
1
nm
nm
λ nm
1
−
nm
λ nm
1
nm
2
1
nm
m
m
nm
λ nm
1
1
−k
λ nm
Ahora procedemos a calcular el limite recordando que
You're Reading a Preview
−
x n l´ım 1 + = e x l´ım 1 n→∞ Unlocknfull access with a free n→∞ trial.
con esto
k n
=1
Download With Free Trial λk l´ım (1) 1 k! m→∞
nm
− − · ·· − − − − Master your semesterwith Scribd − − · ·· − − l´ım
P(X m = k )
m→∞
=
λk k!
= l´ım 1 & The New York Times m→∞
Special offer for students: Only $4.99/month. λk = (1 1 k!
1
nm
1
2
1
nm
nm
1
nm
1
λ nm
m Free Foron 30 Days k 1Read λthis Sign up to vote title l´ım 1 m→∞ nm Useful nm useful Not
n
l´ım 1
m→∞
Cancel anytime.
k
· · ·· 1) e · 1 = λk! e −λ
1
k
−λ
1
n
l´ım 1
m→∞
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Problemas del curso probabilidades y estadística Resolusión Del Examen Final de
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Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas
y
F X (y ) =
f X (x)dx =
−∞
+∞
E(X )
=
V(X )
= = = =
x2
1
−a
b
2
E(X
1
2
)
b a
b
−a −a −a 1
=0
0 (x)dx +
1 a,b [ ] −∞
b
−
2
=
1[a,b] (x)dx
b
x f X (x)dx
−∞
( a + b)2 1 b3 = 4 3 b
b
− 2
b
1[a,b] (x)dx +
a
=
a
y b
a a
si a
=1
si b
0
(x)dx
b
b
1
a + b
=
1 a,b [ ]
a
x1[a,b] (x)dx =
y
x
y
+∞
2
− − −
y
−∞
si y
a
0 (x)dx +
1 a,b [ ] −∞
+∞
b
1[a,b] (x)dx
−∞
a
1 b
a
1 b
−a 1 b2 − a2 a + b = = 2 b−a 2
− E(X ) x3
y
1
xf X (x)dx =
−∞
=
Unive
−a
2
=
xdx
a
b
1 b
−a
x2 dx
a
− ( a +4 b)
2
− a3 − ( a + b)2 −a 4
−a 3 1 b3 − a3 ( a + b)2 1 (b − a)(b2 + ab + a2 ) ( a + b)2 4(b2 + ab + a2 ) − 3(a + b)2 − − = = 3 b−a 4 3 4 12 b−a 2 2− 2− 2 2 2 2 4b + 4ab + 4a 3a 6ab − 3b (b − a) b − 2ab + a = = b
a
12
12
You're Reading a Preview
Con esto:
F X (y ) =
Unlock full access with a free trial.
0 y b
1
12
si y < a
−a −a
a + b
E(X Trial siDownload )= a y b With Free
≤ ≤
2
V(X ) =
(b
− a)2 12
si b < y
P3 Para medir la velocidad del aire se usa un tubo que permite medir la diferencia de presi´on. Esta diferenc Master your semester with Scribd por R = dV , con d la densidad del aire (supuesta constante) yRead velocidad del viento V laup Free Foron 30 Days Sign to vote this title (en km/h). funci´ on de densidad de probabilidad uniforme en (10, 20), encontrar la funci´on de densidad de probabi & The New York Times Useful Not useful Soluci´ on: 1 2
2
Cancel anytime.
Special offer for students: Only $4.99/month. Sabemos las funciones de densidad y distribuci´on de una uniforme, luego
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Unive
dF R (r) d = f R (r) = dr dr
Por lo tanto, la funci´on de densidad de R es:
− √ √ √
f R (r) =
2r d
10
=
10
1 √ 10 2rd
1
2 r
50d
2
10 d
=
1 √ 10 2rd
≤ r ≤ 200d
e. La hora de llegada de cada uno es independien P4 Un hombre y una mujer deciden encontrarse en un caf´
distribuida uniformemente entre la 18:00 y las 19:00. Como cada uno es impaciente, solo esperar´a 10 m otro llegue; pasados los 10 minutos, quien sea que haya llegado primero, si el otro a´un no llega, se ir´ Determine la probabilidad de que ambos se encuentren Soluci´ on:
Sean las variables aleatorias
M : Hora a la que llega la mujer H : Hora a la que llega el hombre
Donde sabemos que M , H
∼ U (0, 60) y que M y H son independientes.
obs . Anotamos que distribuyen uniforme entre 0 y 60 porque es en el lapso de 60 minutos que distribu la hora de llegada de cada uno, y no usamos 1 hora porque tenemos que el tiempo de espera de cada un You're Reading en minutos, y ser´ıa poco pr´ actico trabajar con 1/6 de hora.a Preview Unlock full access with a free trial.
con esto, veamos la probabilidad de que se encuentren
With Trial P(Download P( M ) =Free se encuentren H
| − | ≤ 10)
Ahora como M y H son dos variables, y queremos ver la probabilidad de la intersecci´on, debemos la densidad conjunta, esto es f M,H (m, h), pero usaremos una propiedad que nos dice que si ambas v independientes, la densidad conjunta es el producto de las densidades, al igual que ocurr´ıa en el caso Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title 1 useful Useful Not m, h [0, 60] Cancel anytime. 1 1 3600 1[0,60] (m) 1[0,60] (h) = M,H (m, h) = f M (m)f H (h) = Special offer for students: Onlyf $4.99/month. 60 60 0
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·
∈
∼
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Unive
A
Luego separamos el valor absoluto en dos desigualdades:
|M − H | ≤ 10 ⇔ M ≤ H + 10 ∧ H − 10 ≤ M You're Reading a Preview
≤ H + 10 ⇓
M
H
Unlock full access with a free trial.
− 10 ≤ M ⇓
Download With Free Trial A with Scribd Master your semester & The New York Times S 1
1
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Not useful S 2 Cancel anytime.
Useful
A
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A1 S
|M − H | ≤ 10 =⇒
A2
Con esto el ´area de la regi´on S se puede calcular calculando el ´area de la regi´on A menos el ´area de lo A1 , A2 . ´ (S ) = Area ´ (A) Area
−
∴
´ You're ´ (Aa2 )Preview (A1 ) Reading + Area = 60 60 Area
P(se
·
Unlock full access with a free trial.
encuentren ) =
´ (S ) Area 3600
=
−
1100 3600
Download With Free Trial
50 50 50 50 + 2 2
·
·
= 1100
≈ 0,305
P5 Sea X v.a. con ley exponencial de par´ametro λ . Calcule su distribuci´on, esperanza y varianza. Soluci´ on:
que X ∼ exp(λ), entonces MasterPrimero yourtenemos semester with Scribd f (x) = λe & The New York Times X
Special offer for students: Only $4.99/month. Luego
0
−λx
Read Free Foron 30this Days Sign up to vote title 1[0,∞) (x) Useful
Not useful Cancel anytime.
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Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas +∞
E(X )
=
+∞
= =
=
−λx
xλe
dx
0
l´ım
y →∞
− −
xe
0
l´ım xe
y →∞
l´ım 0
y →∞
0
ye
2
=
E(X
=
)
+∞
2
0
−λy
−λy
e
l´ım
−λx
x λe
−
λ
y →∞
− E(X )
e
l´ım
−λy
=
e 0 λ
0
+
λ
+∞
1
=
λ
x2 f X (x)dx
−∞
dx
0
1 λ
− λ12
= = = =
=
l´ım
−λx
− λ2 +∞
x e
y →∞
l´ım x e
1
y →∞
2
y →∞
−λy
2 l´ım y e
Con esto:
x
λ
y
+ 2 l´ım
y→∞
e−λy y λ
−λy
e
y →∞
− −
−
−
du = dx −λx v = e λ
e−λx λ2
y
1 2
λ 0 0 Download With Free Trial
2 l´ım y
= Only = 2 Special offer for students: λ2 $4.99/month. λ2 λ
−
+∞ − Preview 1 eYou're Reading e aλx dv λ 0 λ λ2 0
e
y →∞
& The New York Times 2 1 1 y →∞
u = x dv = λe−λxdx
du = 2xdx v = e−λx
Unlock full access with a free trial.
2 l´ım
y e
0 −λy
x
y→∞
2 l´ım
y
2
l´ım
−λx
0
−λx
λ2
y −λx
y
y →∞
l´ım 0
0
0
y →∞
xe−λx dx
2
0
l´ım x2 e−λx 2
y
u = x 2 dv = λe −λxdx
1
− − − − − − − − − − − − Master your semester − with Scribd 2
−
y
e−λx λ
y→∞
2
du = dx v = e−λx
e−λx dx
y→∞
l´ım ye
u = x dv = λe −λxdx
0
l´ım
y
0 −λy
y →∞
+∞
y
−λx
−λx
Finalmente V(X )
− − − − −
xf X (x)dx =
−∞
=
Unive
λ
0 + 2 l´ım
y →∞
0
−λy
e λ
2 l´ım 2 y →∞
e0 λ2
−
e −λy λ2
0
−
1 λ2
2 1 Free Foron 30this Days Sign up to vote title +Read 2 2
− λ λ
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Useful
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Unive
Se nos dice que si consideramos la v.a. X : tiempo de reparaci´on de los acensores (en d´ıas), X dice que el tiempo medio de reparaci´on es 20 d´ıas, esto es
∼ exp
E(X )
= 20 =
⇒
1 λ
1 i.e.X λ = 20
= 20 =
⇒
∼ exp
1 20
Ahora con esto podemos proceder a hacer los calculos solicitados a)
P(se
demoren menos de 10 d´ias) =
P(X
≤ 10) = F
X (10)
=1
−e
1
− 20 ···10
1
−2
=1
− e ≈ 0,395
b) Si consideramos que cobran $ 50.000 pesos por hora o fracci´on, para que cobren $ 1.000.000, debe 20 horas, o 19 horas y fracci´on, que equivale a que se demoren 2.5 ( 20 ıas o menos y a la vez 8 ) d´ 19 2.375 ( 8 ) d´ıas. P(2,375 <
2,5
∗
≤ 2,5) = P(2,375 ≤ X ≤ 2,5)
X
=
2,375
=
1 − e 20
e−
x
20
2,375 2,5
1 20
·x
dx =
= e −
20 8
1
· 20
1 20
−
20e−
−
−e
19 1 · 20 8
x 20
2,5 2,375
= e −
1 8
19
− 160
−e
obs . (*) Considerar la desigualdad estricta o incluyendo los bordes no hace diferencia para di
continuas pues la probabilidad de un punto es cero (integral sobre un punto). c) Como se quiere saber el numero de d´ıas m´ınimo para que la probabilidad sea de 0 ,1, se busca que P luego procedemos a desarrollar esta expresi´on para obtener el valor de t . +∞
x t t 1 −x 0,1 = P(X > t) = e dx = e +∞ = e − You're Reading a Preview 20 t
luego 0,1 = e
t − 20
20
20
20
Unlock full access with a free trial. t t
= ln(0,1) = ln(e− ) =
⇒
20
− 20 =⇒
− l´ım
t =
y→∞
e
y
20
= e −
t 20
−20 ln(0,1) ≈ 46
Download as´ı el alumno debe volver a pasar por el acensorWith en 46Free d´ıasTrial para que la probabilidad de que aun n sea 0.1.
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