ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES Distribuciones Muestrales
Logro Al finalizar la sesión, el alumno estima la media poblacional en base a las medias muestrales muestrales y aplica el teorema teorema del límite límite central.
Estadística I : Distribuciones Muestrales
2
Distribuciones Muestrales Se sabe que una estadística es una función t(x 1, ..., x n ) de los valores de las observaciones de una muestra muestra de tamaño n. Además, se sabe que en una població población n de N elemento elementos s se puede puede obtener: obtener: N n ó P(N, n) muestras posibles de tamaño n. En este sentido, la D i s t r i b u c i ó n M u e s t r a l o d e M u e s t r e o es es la distribución de probabilidad de la estadística muestral que tiene tantos valo valore res s dife difere rent ntes es como como mues muestr tras as posi posibl bles es de tama tamaño ño n se pued pueden en obtener. Para determinar la distribución muestral de una estadística es necesario conocer: La
población y el parámetro,
Todas
la muestras posibles y
Todos
los datos posibles
Distribuciones Muestrales Cuando la población es infinita, la distribución muestral se debe considerar como una d i s t r i b u c i ó n m u e s t r a l teórica , dado que no es posible conocer todas las muestras posibles. Cuan Cuando do la pobl poblac ació ión n es fini finita ta y de un tam tamaño año mode modera rado do,, se pued puede e cons onstrui truirr la dist distrribuc ibució ión n muest uestra rall y se deb debe con conside sidera rarr como omo una una d i s t r i b u c i ó n m u e s t r a l experimental . En este último caso, se puede obtener todas las muestras posibles de tama tamaño ño n, calcu alcula land ndo o sus sus resp respec ecttivas ivas estad stadís ísti tica cas, s, así com como sus probabilidades de ocurrencia. Cuando estudiamos una distribución muestral es necesario conocer: Su
forma funcional,
Su valor esperado esperado y
Su
varianza.
TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE Al aumentar el e l tamaño de la muestra (n>30), la distribución de las estadísticas est adísticas muestrales se aproxima a una distribución normal, sin importar la forma de la distribución de la población de donde proviene la muestra. E STA D ÍS T ICA IC A MUESTRAL Es una función t(x1, ..., xn ) de los valores observados de la muestra, como por ejemplo:
x x
Este es el que estamos analizando el día de hoy
i
n
s2
xi2
x p n
i
n ( x )2 n 1 caso favo favora rabl ble e 1 caso siendo : x i 0 caso contrario
EJEMPLO 1 Se tiene una población, cuyos elementos son: { 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 } El objetivo es obtener una muestra de tamaño n =2. En ese sentido, se tiene que: N=8 Tamaño de la Población n=2 Tamaño de muestra Media de la Población = 13,5 2 = 5,25 5,25 Varian rianza za de la Pobla oblaci ción ón En este este caso caso,, como como se desea desea extr extrae aerr una mues muestr tra a de tamañ tamaño o n=2, n=2, es posible obtener: Nn
8 2 64
P(N, n)
N! (N n)!
muestras posibles con reemplazo ó
56
muestras posibles sin reemplazo
EJEMPLO 1 Si se usa usa un muestr muestreo eo sin reem reempl plaz azam amie ient nto, o, las 56 serían tal como se detallan a continuación: Muestra
Observaciones
Media Muestral
Muestra
Observaciones
Media Muestral
Muestra
mues muestr tras as posi posibl bles es Observaciones
Media Muestral
1
10
11
10.5
20
12
16
14.0
39
15
13
14.0
2
10
12
11.0
21
12
17
14.5
40
15
14
14.5
3
10
13
11.5
22
13
10
11.5
41
15
16
15.5
4
10
14
12.0
23
13
11
12.0
42
15
17
16.0
5
10
15
12.5
24
13
12
12.5
43
16
10
13.0
6
10
16
13.0
25
13
14
13.5
44
16
11
13.5
7
10
17
13.5
26
13
15
14.0
45
16
12
14.0
8
11
10
10.5
27
13
16
14.5
46
16
13
14.5
9
11
12
11.5
28
13
17
15.0
47
16
14
15.0
10
11
13
12.0
29
14
10
12.0
48
16
15
15.5
11
11
14
12.5
30
14
11
12.5
49
16
17
16.5
12
11
15
13.0
31
14
12
13.0
50
17
10
13.5
13
11
16
13.5
32
14
13
13.5
51
17
11
14.0
14
11
17
14.0
33
14
15
14.5
52
17
12
14.5
15
12
10
11.0
34
14
16
15.0
53
17
13
15.0
16
12
11
11.5
35
14
17
15.5
54
17
14
15.5
17
12
13
12.5
36
15
10
12.5
55
17
15
16.0
18
12
14
13.0
37
15
11
13.0
56
17
16
16.5
19
12
15
13.5
38
15
12
13.5
EJEMPLO 1 La distribución de los valores de la media muestral en las 56 muestras posibles es la siguiente:
x
x
Frecuencia
10.5
2
0.03571
11.0
2
0.03571
11.5
4
0.07143
12.0
4
0.07143
12.5
6
0.10714
13.0
6
0.10714
13.5
8
0.14286
14.0
6
0.10714
14.5
6
0.10714
15.0
4
0.07143
15.5
4
0.07143
16.0
2
0.03571
16.5
2
0.03571
P
Ejemplo 1 El valor esperado de la media muestral esta dado por:
x
=E( x )
x P( x )
13,5
La varianza de la media muestral esta dado por: 2 x
2
=V( x )
x P( x )
E( x )
Sabiendo que los parámetros de la población son: = 13,5 y 2 = 5,25 La distribución de la media muestral estaría dada:
2
x ~N
;
N n
n N 1
x ~ N 13 13,5 ,5;;
5,2 ,25 5 8 2
x ~ N( N(13 13,, 5; 2, 25)
2
8 1
2
2, 25
Distribución muestral de la media Caso d e varianza
2 c o n o c i d a
o
n > 30
Si se tiene una población con varianza conocida 2, se puede afirmar que e l a Media a Media esta dada por: la Distribución Muestral d e l
2 x N ; n ~
E( x) x z Error Estándar de la media muestral
x
n
V( x) x x
x
~
x 2
2
N(0,1)
n
Ejemplo 2 El gerente de créditos de un banco afirma que el número de días que tardan los clientes para pagar sus prestamos se ajusta a una distribución normal y en promedio tardan 5 días con desviación estándar de 2,15 días. Si se escogen al azar las cuentas de 40 clientes: a) ¿Cuál es la probabilidad de observar que, en promedio, se tardan en pagar a lo más 6 días? b) ¿Cuál será el número máximo de días que, en promedio, tardan en pagar con probabilidad 0.90? Solución
X : Número de días que q ue tardan los clientes para pagar sus prestamos. X N( 5; 2,15 2 ) = 5 = 2,15 n 40
x
~
2,152 N 5; x 5, 40
x
n
0,340
Ejemplo 2 a) ¿Cuál es la probabilidad de observar que, en promedio, se tardan en pagar a lo más 6 días?
P x
6 P
P x6
x
6 / n
P(Z 2,94)
5
0,340
Ejemplo 2 a) ¿Cuál es la probabilidad de observar que, en promedio, se tardan en pagar a lo más 6 días?
P x
6 P
x
6 / n
P(Z 2,94) P x 6 0,99836
P x6
5
0,340
Ejemplo 2 b) ¿Cuál será el número máximo de días que, en promedio, tardan en pagar con probabilidad 0.90? P( x A ) 0,90
x A 5 P 0, 90 / n 0,340
P Z
A 5 0, 90 0,340
Ejemplo 2 b) ¿Cuál será el número máximo de días que, en promedio, tardan en pagar con probabilidad 0.90? P( x A ) 0,90
x A 5 P 0, 90 / n 0,340
P Z
A 5 0, 90 0,340
A 5 0,340 A
1, 28
5, 43 4352 52
Cierre
1. ¿Qué tipos de muestreos se puede realizar?
2. ¿Qué entiendes por el teorema de límite central?
3. ¿Cuándo usas el teorema del límite central?
4. Los choferes de camiones de una empresa recorren en promedio 8,500 km. cada trimestre, con una desviación estándar de 1,950 Km. Si se toma una muestra de 36 choferes, Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea mayor a 8,500 Km.
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Cierre
1. ¿Qué tipos de muestreos se puede realizar? -Con reemplazo y sin reemplazo 2. ¿Qué entiendes por el teorema de límite central? - Teorema Teorema que nos sirve para trabajar con las medias muestrales con tamaños de muestras mayores que 30 (n>30). 3. ¿Cuándo usas el teorema del límite central? -Cuando necesito calcular probabilidades de promedio muestral.
4. Los choferes de camiones de una empresa recorren en promedio 8,500 km. cada trimestre, con una desviación estándar de 1,950 Km. Si se toma una muestra de 36 choferes, Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea mayor a 8,500 Km. -Revisar la respuesta en la tarea 19
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