primer parcial de álgebra del cbc ciencias económicas

Parcial Álgebra: cátedra Gutierrez, Cs. Económicas. U.B.A.

Álgebra (Cs Económicas): Primer Parcial Segundo cuatrimestre: 1998 1. L es la recta que pasa por P = (2; - 2) y Q = (3; 4). Hallar a tal tal que la recta que es paralela a L y pasa por (1; (1; a ) también pase por (2; 4) 2. El servicio de telefonía A cobra un abono mensual de $ 50 y $ 0,35 cada minuto de comunicación. La empresa B cobra un abono mensual de $ 60 y $0,25 cada minuto. ¿A partir de cuántos minutos mensuales de comunicación resulta más conveniente la empresa B? 3. Escribir en forma paramétrica todas las soluciones del sistema cuya matriz ampliada ampliada es:  −1 2 1 4   4 − 7 2 − 1    − 5 9 − 1 3 

+ x4 = 0  x − 5x 2 4. Encontrar una base base de S = {x ∈R 4 /  1 } − + = x x x 5 0 1 3 4 que contenga contenga al vector V = (1, 1, 1, 4) Respuestas: 1) Recta paralela: y = 6 x – 8 ; a = – 2. 2) A( x) = 0,35 x + 50 y B( x) = 0,25 x + 60. La empresa B es más conveniente después de 100 de comunicación. 3) L: x 3 (– 11, – 6, 1) + (12, 7, 0). 4) Base: < (1,1,1,4); (1,1,1,4); (1,0,0,-1)> (1,0,0,-1)> Segundo cuatrimestre: 1998 1. Encontrar α ∈ R tal que las rectas siguientes tengan un punto en común: L:3 x – y = 5 L’:λ(1,1) + (1,2) L”: λ(1,1) + (5, α) 2. Encontrar todas las soluciones del sistema S, que tengan la tercera la tercera y la cuarta coordenada iguales.  6 x1 − 4 x 2 − 4 x3 − 2 x 4 = −4  S − 2 x1 + 4 x 2 + 8 x3 + 2 x4 = 4  4 x 2 + 10 x 3 + 2 x 4 = 4  3. Encontrar una base del subespacio S = { x ∈ R 3 / x1 − x 2 + 3 x3 = 0} , que contenga al vector (1,1,0). 4. El precio de venta de un camión nuevo es de $100000, y al cabo de 6 años es posible venderlo a $40000. Si el monto de depreciación anual se calcula por año, y es fijo, plantear la ecuación lineal lineal que da el precio del camión al cabo de x años, y decir cuál es el precio del camión al cabo de 4 años. Respuestas: 1) L = L ´ + L”→ λ (1,3) + (0,–5) = λ(1,1) + (1,2) + λ(1,1) + (5, α) → λ = – 6, α = – 13 (x 1, x 2, x 3, x 4) = x 3 (– 1, – 3, 1, 1) + (0, 1, 0, 0) 2) Operando y despejando x 3: x 3) < (1,1,0) ; (3,0,1)> x, y ) = λ (– 1, 10000) + (0, 100000) 4) Puntos representantes: (0, 100000) y (6, 40000) → ( x,

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Álgebra – Primer Parcia Parciall – CBC CB C – Cátedra Cátedr a Thomson

(1) Álgebra – Primer Parcial – Cátedra Thomson: 2 do Cuat. 01 Tema 4 Sede: Uriburu 1) Responder por verdadero o falso: a) det(A + B) = det (A) + det (B) b) Toda Toda matr matriz iz diag diagon onal al tien tienee inv inver ersa sa – 1 – 1 – 1 c) (A.B) = B . A d) Cuando Cuando el rango de una matriz mat riz no coincide con el de la matriz ampliada, entonces, entonces, el sistema es indeterminado. e) El rango de una matriz está relacionado con el orden de la misma.

 1 3    2) Dadas las matrices: A =  2 5  , B =    − 1 2  8A – 2B + 3C – 4E sea matriz nula.

 − 2 0    1 4   , C =    − 7 5 

 − 1 1    4 6   Obtenga una matriz E tal que    − 7 3 

 1 2 4    3) Calcule la inversa de A =  3 1 0  si es posible.  2 2 1     1 1 − 1  1 1 1   1 1 − 1       a) A – 1 =  2 3 2  b) A – 1 =  2 3 2  c) no tiene inversa d) A – 1 =  2 3 2         4 2 0   4 2 0   4 − 2 0  2 x + 2 y + 3 z + w = 1 3 x − y + z + 3w = 2  4) La solución de − 2 x + 3 y − z − 2w = 4 es:  x + 5 y + 3 z − 3w = 2  2 x + 7 y + 3 z − 2 w = 8 a) (1, 2, – 2, – 1)

b) (1, 2, 2, 1)

c) (1, 2, – 2, 1)

d) (– 1, – 2, 2, 1)

2 x + 4 y + 6 z = 18  5) En el sistema dado 4 x + 5 y + 6 z = 24 , los rangos son: 3 x + y − 2 y = 4  a) r (A) = r (A’) = 3 b) r (A) ≠ r (A’)

c) r (A) = r (A’) = 2 d) r (A) = r (A’) = 1

 2 1 0    6) Dada la matriz A =  0 1 1  . La inversa A – 1 tiene como 3era columna:    1 2 0   − 1   a)  2     5 

 2    b)  − 4     1 

4   3   c)  − 8 3   5   3 

1   − 3   d)  2 3   2   − 3 

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Álgebra – Primer Parcia Parciall – CBC CB C – Cátedra Cátedr a Thomson 7) Señalar cuál de las siguientes estructuras no es grupo abeliano: a) (R – {0}; o)

b) (Z; o)

c) (Q; +)

d) ninguno de los anteriores.

 1 2   . El determinante det[(At . A –1 ). 3A] es: a) – 18 b) – 2 c) 6 d) 48   3 4 

8) Dada la matriz A = 

 1 9) Dada la matriz A =  0 1  a) Si α ≠ 1; r (A) (A) ≠ 3

0 α  4 0  . Señale cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:  0 1  

b) α = 1; r (A) (A) = 2

c) α = 1; r (A) (A) = 3

d) ninguna de las anteriores.

10) Sean 35 – 2 p – q = 0 y 11 + 6p – q = 0 ecuaciones de demanda y oferta, para un fabricante de un cierto producto. El ingreso total que se obtiene en el punto de equilibrio es: a) no es posible b) $ 87 c) $ 29 d) $ 32 e) ning ninguno uno de los anteri anteriore ores. s. Rta.: b

(2) Álgebra – Primer Parcial

Tema 2

1) Responda si es verdadero o falso, justificando. En caso de ser necesario ponga un ejemplo. a) A . D = N b) A . B = B . A siemp siempre re c) Si una línea de una matriz es el vector nulo, su determinante es no nulo d) Si se permutan dos filas de una matriz, los correspondientes determinantes son opuestos. e) El determinante de toda matriz que tenga dos filas idénticas es nulo.  x + 3 y − 5 z + w = 4 2) La solución del sistema  es: + − + = x y z w 2 5 2 4 6 

 y = 2 + 8 z + 2 w  x = −2 − 19 z + 7 w

a) 

 y = 2 + 8 z + 2 w  x = −2 − 19 z − 7w

b) 

 x = −2 − 19 z − 7w  y = 2 + 8 z − 2 w

c) 

 x − 2 y + 7 z = a  3) Dado el sistema 2 x + 6 y − 11 z = b ¿Qué condiciones se debe cumplir para que el sistema lineal  x + 2 y − 3 z = c 

dado sea compatible?. a) a, b, c ∈ R

b) 5c + 2b – a = 0

 4 0 4) Considerando la matriz A =   2  4 A

2

c) 5c – 2b = a 2

0 0 2

0  2 x + 2 2   . 2 x − 2 4  − 2 2 x − 6 8  

d) a, b, c ≠ 0

Rta.: c

Encuentre los valores de “ x ” para los cueles

− I es singular.


Álgebra – Primer Parcia Parciall – CBC CB C – Cátedra Cátedr a Thomson a) x ∈ {– 1, 1, 3}

b) x ∈ {– 2, 3}

c) x =

7 ± 313 4

 1 k 1  2k  5) Dadas las matrices A =  1 1 k  B =  0   k + 1 k 1   k 

d) x ∈ R – {3, – 2}

 x1  X =  x 2   x3 

Halle los valores de “k” para los cuales el sistema A . X = B admita: a) solución única b) infinitas soluciones c) ninguna solución Rta.: a) K ≠ 0 y K ≠ 1 b) K = 0 y K = 1 c) no hay valores de k.

1  6) Hallar y clasificar M – 1 si M = (A.B) – 1 + 2.C. A = 0 B = 3

− 1  2  C =    0 

 1 − 2 2  − 1 0 4   3,5 − 7 8 

 − 4 2 k 2     7) Siendo M – 3 I = 0 − 1 1  Todos los valores de k para para que M sea singular son:    1 2 − 5    a) k = ± 10 b) k ∈ {– 2, 2} c) k ≠ ± 10 8) igual que el problema 10 tema anterior.

≠ 2 ∧ k ≠ ≠ – 2 d) k ≠

Rta.: Rta.: b

 x + y − t = 0  9) ¿Para qué valor o valores de t el siguiente sistema es indeterminado?  x + ty − 1 = 0 t . x + y − 1 = 0  Rta.: t = 0 ó t = 1. 10) Considerando el siguiente cuadro de transacciones: S1 S1 S2 VA 18 P. T. 36 (en miles de $)

S2 14

DF P. T. 16 28 ////// ////// ////// .

 22  Completar y hallar la nueva matriz de P. T. si la de D. F. Varía a H =    . 11   Construir el nuevo cuadro.


CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2002 2002 -

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P rimer P P arcial de A Análisis C Ciencias E Económicas Cátedra de Gutiérrez Álgebra Cs. Ec. (71) – Primer Parcial – Drago: 07/05/2002

Tema 4

1. Dadas las rectas L1 : y = 6 x + 4 y L2 : x : x = = α (1, 3) + ( – 2, 7), hallar la ecuación paramétrica paramétrica de la recta L que no corta a L1 y pasa por el punto (–1, 5). Determinar la intersección de L y L 2.

2. Determinar todas las soluciones

x1 − x2 + x3 − x4 = 5   − x + 2 x + 3 x + x = −1  1 2 3 4  2 x1 − 3 x2 − 2 x3 − 2 x4 = 6 

3. Una maestra de arte decide preparar con sus alumnos un mural en tonos ocre. Para ello fabrica tres colores: I, II y III. En la composición de los mismas se utilizan pintura amarilla, bermellón y marrón en las siguientes proporciones: Color I: 20 % de bermellón, 40 % de amarillo y 40 % de marrón Color II: 80 % de bermellón, 10 % de de amarillo amarillo y 10 % de marrón marró n Color III: 20 % de amarillo y 80 % de marrón. La maestra dispone de 18 litros de pintura bermellón, 7 litros de pintura amarilla y 10 litros de pintura marrón. Si quiere agotar el stock, ¿qué cantidad de cada color se debe preparar?.

4. Determinar los os valores de k ∈ R para los cuales el subespacio s ubespacio S = <(2, – 1, 5), (1, 1, k); (0, k, 1)> tiene dimensión 2.

Respuestas: 1. Como L que no corta a L1, en dos dimensiones, debe ser paralela. Tiene la misma pendiente (1, 6) Como pasa por (–1, 5) podemos escribir a L: β (1, 6) + (– 1, 5) 5)..

Ahora hallemos la intersección entre L y L2. Para ello igualamos las ecuaciones y hallamos de esta manera los coeficientes (α y β).

α (1, 3) + ( – 2, 7) 7) = β (1, 6) + (– 1, 5) →

α – 2 = β – 1 → α = 1 + β = 1 + 5/3 = 8/3. 3α + 7 = 6β + 5 → 3(1 + β.) + 7 = 6β + 5 → β = 5/3

En ambos casos obtenemos el mismo resultado (es una manera de verificar que se han hecho bien las cuentas). L2: 8/3 (1, 3) + ( – 2, 7) = (2/3, 15)

L : 5/3 (1, 6) + (– 1, 5) = (2/3, (2/3, 15)

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2) Para resolver

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x1 − x2 + x3 − x4 = 5   − x + 2 x + 3 x + x = −1 expresemos  1 2 3 4  2 x − 3 x − 2 x − 2 x = 6 2 3 4  1

como matriz ampliada. Aquí lo resolveré

mediante pivote. Se toma el primer elemento de la primer columna como Pivote. Excepto ese valor toda la columna tendrá valor cero, mientras que la fila se la deja igual. Pivote

 1 − 1 1 − 1 5     − 1 2 3 1 − 1    2 − 3 − 2 − 2 6 

El valor de cada elemento de la matriz se calcula con la diferencia (resta) entre el producto del número por el pivote y el producto entre los elementos que pertenecen a su misma fila y columna

1 −1 −1   1 − 1 1 − 1 5  1 5      0 2.1− ( −1)( −1) 3.1− ( −1). 1 1.1− ( −1)( −1) −1.1− ( −1) 5  →  0 1 4 0 4       0 −3 .1− 2.( −1) − 2. 1− 2.1 − 2. 1− 2.( −1) 6.1 − 2.5   0 − 1 − 4 0 − 4  Ambas filas son iguales por lo tanto dejamos una sola.

 1 − 1 0 1 

1 4

− 1 5   0 4  

A partir de esta matriz calculamos los resultados del sistema indeterminado.

x2 + 4 x3 = 4 → x2 = 4 – 4 x3. x1 – x2 + x + x3 – x4 = 5 → x1 – (4 – 4 x3) + x3 – x4 = 5 → x1 – 4 + 5 x3 – x4 = 5 → x1 = 9 – 5 x3 + x + x4. ( x x1, x2, x3, x4) = (9 – 5 x 5 x3 + x + x4, 4 – 4 x 4 x3, x3, x4) = (9, 4, 0, 0) + x3 ( – 5, – 4, 1, 0) + x + x4 (1, 0, 0, 1) Cualquier solución del sistema pertenece al subespacio cuya base es:

<(9, 4, 0, 0); ( – 5, –

4, 1, 0); (1, (1, 0, 0, 1) >.

3. Se arma la matriz a partir de los datos que da el problema. Llamemos x x al al color I, y y al al color II y z al color III. Como sabemos los litros de pintura a utilizar armamos un sistema, expresando los porcentajes de manera numérica: 20% es 20/100 o sea 0,2.

0,2 x + 0,8 y + 0 z = 18 0,4 x + 0,1 y + 0,2 z = 7  0,4 x + 0,1 y + 0,8 z = 10 

Armamos la matriz correspondiente y la resolvemos (mediante el método

que te hayan enseñado en clase)

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 0,2   0,4   0,4

0,8 0,1 0,1

0 18 

   1 0, 2 7  →  0   0,8 10   0

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0

0 10 

1

x = 10; y 10; y = = 20; z 20; z = = 5. 0 20  → x =

  5 

0 1

Obtendremos: Obtendremos: 10 litros litros del color color I, 20 litros del color color II y 5 litros del color III. 4. Tenemos el subespacio S con tres vectores pero necesitamos que tenga dimensión 2, o sea, queremos que se vaya un vector; ya que deben quedar dos vectores para que tengamos dimensión dos. Así que expresamos al subespacio como una matriz, la triangulamos hasta que en una fila sólo quede una ecuación que nos permita calcular k , en los otros lugares debemos tener cero. S = <(2, – 1, 5), (1, 1, k); (0, k, 1)>

 2 − 1  1 1   0 k

 2 − 1  2 F 2 − F 1     → 0 3 k     1   0 k 5 

  2 − 1  kF 2 −3F 3     → 0 3 2 k − 5     1   0 0 5

  2k − 5  2k 2 − 5k − 3  5

Para que quede dimensión 2, la últimas fila debe desaparecer, dar cero. 2

Haciendo que 2k – 5k – 3 = 0 podemos podemos hallar los valores que que nos están pidiendo para que el subessube s paci pacio o que quede de de dime dimens nsió ión n dos dos.. Par Paraa ello ello aplic aplicam amos os la ecua ecuaci ción ón cuad cuadrá rátic ticaa (Ba (Basc scar ara) a)..

2k – 5k 5k – – 3 = 0 → 2

5± 5

2

− 4.2.( −3) 2.2

=

5 ± 49 4

=

5± 7

k 1 =

4 k 2

=

5+7 4 5− 7 4

=

=

12

−2 4

4

=3

=−1 2

De esta manera hemos determinado que si k = 3 o si k = – ½ el subespacio quedará de de dimensión dos.

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Cs. Económicas: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2003 2003 –

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Cs. Económicas: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2003 2003 – Parcial: 1º Cuat. de 2003 (1) Álgebra (71) Cs. Ec. – Paternal – Primer Parcial:

Pág. 1 Tema 4

1. Sea L la recta en R 3 que pasa por los puntos A = (1, 3, – 2) y B = (0, 1, 2). Hallar el punto de L que tiene tercera coordenada igual a 6. 2. Un estudiante estudiante puede viajar a su facultad en bicicleta, en tren o en colectivo. Cada día utiliza el mismo medio de transporte para ir y para volver. Cada viaje (ida y vuelta) dura: en bici: 1 hora; en tren: media hora; en colectivo 15 minutos. Cada boleto de tren le cuesta $ 0,5 y cada boleto de colectivo $ 0,75. En el mes de abril fue a clase 22 días, gastó $ 21 y estuvo viajando 23 horas. ¿Cuántos días viajó en bicicleta, cuantos en tren y cuantos en colectivo?.

 1 2  3. Dar un valor de a y uno de b para los cuales el sistema cuya matriz ampliada ampliada es  3 0   1 − 4

− 1  2 1  re a b  4

sulta incompatible. 4. Elegir vectores del conjunto {(1, 0, – 1); (1, 1, – 1); 1); (0, 0, 0); 0); (– (–3, 0, 3); (2, 1, 0)} para formar una 3 base base del del sube subesp spac acio io S = { x ∈ R : x1 – 2 x2 + x3 = 0}

Respuestas: 1) (– 1, – 1, 6) 2) Recta solución: z (½, – 3/2, 1) + (1, 21, 0) los valores a tomar de “z” deben dar resultados positivos. 3) a = – 6 y b ≠ 3. 4) {(1, 0, – 1); (2, (2, 1, 1, 0)}. 0)}. (turno noche) noche) – 1er Cuat. 2003 (2) Álgebra (71) Cs. Ec. – Primer Parcial: Paternal (turno

Tema 1

1. Sea L la recta que pasa por el punto P = (1, 3) y es paralela a L’: 20 x – 5 y = 3. Hallar el punto de L que contiene ordenada ordenada igual a 7. 2. Una empresa produce dos tipos de jugos a base de naranja y pomelo: El “Tropical” que lleva 60 ml de naranja por cada 40 ml de pomelo y el “Citral” que lleva 45 ml de naranja por cada 55 ml de pomelo. Se tiene un stock de 4800 litros de jugo de naranja y de 4000 litros de pomelo. ¿Cuántos litros de cada tipo de jugo debe producir para agotar el stock?.

 2 3. Hallar el valor de k para el cual (1, 2, 1) es solución del sistema cuya matriz ampliada es  1   1

1

−1 3 

0

k 2

1

  2 5  

Para ese valor, resolver completamente el sistema. 4. Hallar dos bases distintas del subespacio S ⊆ R 3, S = <(1, 0, 1); (0, 1, 1)>

Respuestas: 1) (2, 7) 2) Se obtienen 32000 de uno y 56000 del otro. 3) Ojo, si k = 3 el sistema es incompatible. El valor que piden es k = 1 y se saca directamente reemplazando el vector solución en la fila donde está k. 4) S1 = <(1, 0, 1); (1,1,2)> (1,1,2)> S2 = <(0, 1, 1); (1,1,2)> (sumar los vectores). vectores). Si necesitas clases para rendir parciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-67625436

Parciales de Álgebra – Ciencias Ciencia s Económicas Económic as – Cátedra Gutiérrez/Fauring Gutiérr ez/Fauring

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Álgebra Álgebra (71) – Primer Parcial – Paternal – 1er Cuat. 2005 1) Sean p = (– 3, 1) y q = (5, a). Hallar a ∈R tal que la recta que pasa por p y q sea paralela a la recta y = – 2 x + 5, y dar la ordenada al origen de la recta que pasa por p y q. 2) Hallar todas las soluciones del sistema – x2 – x3 + 5 x 4 = – 1 – x1 + 2x2 + x3 – x 4 = – 3 3 x1 – 5 x2 – 3 x3 + 7 x 4 = 5 x1

3) El verdulero aumentó hoy $0,30 el precio del Kg de tomates y $0,10 el precio del Kg de papas. Ayer, comprar 4 Kg de tomates y 5 Kg de papas costaba $16,30. Hoy, comprar 5 Kg de tomates y 8 kg de papas cuesta $23,90. Hallar el precio que tenían ayer el Kg de tomates y el Kg de papas. 4) Hallar, si es posible, una base de S = {(x 1, x2, x3, x4) ∈R 4 / 2x1 – 5x2 = 0} que contenga a los vectores v = (5; 2; 0; 0) y w = (0; 0; -1; 1) Respuestas 1) La recta es: L = α (1, – 2) + (– 3, 1). Al igualarla con (5, a) se puede calcular el valor de a, despejando. a = – 15. La ordenada al origen es cuando x = 0 por lo tanto se busca el valor de y. En este caso sería: (0, – 5) 2) El sistema es obviamente un sistema compatible determinado. Dependiendo de la variable que elijas tendrás, en este caso, un plano solución: S = α (1, 0, 1, 0) + β (– 9, – 4, 0, 1) + (– 5, – 4, 0, 0) 3) 1 kg. Tomates = $ 3,20; 1 kg. Papas = $ 0,70 4) Se tiene un subespacio dentro de R 4 con una sola ecuación, por lo que la base es de dimensión 3. Al despejar para hallar la base no hay que olvidar que cuando dicen “contenga a v = (5, 2, 0, 0) y w = (0, 0, – 1, 1)” implica que los dos vectores deben estar dentro de la base, por lo tanto hay más de una solución dependiendo del vector que elijas como tercera opción. B = {(5, 2, 0, 0); (0, 0, – 1, 1): (0, 0, 1, 0)}

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Álgebra – Primer Parcial – Montes de Oca – 1 er Cuat. 2005 1) Sean dos rectas en R 2 : L1 la recta que pasa por A= (1, 4) y B = (– 3, – 2) L2 la recta de ecuación y = x – 2 Hallar la ecuación de una recta a L1 que pase por el punto en que L2 corta al eje y. 2) Una empresa que hace excursiones de todo un día desde el centro hasta el Parque Nacional dispone de un auto, una camioneta y un ómnibus que utiliza según la cantidad de turistas. El uso de auto implica un gasto diario de $12 de combustible, $4 de peaje y $10 de mantenimiento. El uso de la camioneta implica un gasto diario de $18 de combustible, $6 de peaje y $16 de mantenimiento. El uso del ómnibus implica un gasto diario de $20 de combustible, $10 de peaje y $15 de mantenimiento. Si se gastaron $408 en combustible, $166 en peaje y $331 en mantenimiento. ¿Cuántos días se usó cada uno de los vehículos? 3) Encontrar todas las soluciones del sistema S 2 x – 3y + z = – 2 x + 3z = 1 – x + 3 y + 2z = 3 4) Dado el subespacio S = < (2, – 2, – 5); (–1, 4, 1); (1, 2, – 4) >. Hallar, si es posible, una base de S que contenga al vector v = (1, 8, – 7).

Soluciones: 1) y = 3/2 x – 2 ó L: α (2, 3) + (0, – 2) 2) Auto: 10 días, Camioneta: 6 días y Ómnibus: 9 días. 3) Es un sistema compatible indeterminado por lo tanto la respuesta será una recta. En este caso se ha despejado z, pero puede despejarse cualquiera de las letras (según te convenga) S = z (– (– 3, – 5/3, 1) + (1, 4/3, 0) 4) La base obtenida puede ser: S= {(–1, {(–1, 4, 1); 1) ; (1, 8, – 7)} ó S= {(1, 2, – 4); (1, 8, – 7)}


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Parciales de Álgebra – Ciencias Ci encias Económicas – Cátedra Gutiérrez/Fauring Gutiérr ez/Fauring

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(1) Álgebra (71) – Primer Parcial – 1º Cuat. 2005 1) Sea P el punto en el que la recta y = – 3 x + 5 corta al eje x , y sea L´ la recta paralela a L: + (1, 6) que pasa por P. Hallar el punto en que la recta L´ corta al eje y.

α

(2, -1)

2) Analizar para que valores de k el el siguiente sistema sea compatible determinado, indeterminado o incompatible: x – y = 2 2 x – y = 5 – x + 2 y = k

Hallar todas las soluciones del sistema, cuando sea indeterminado.

3) Tres empresas A, B y C discuten posibles funciones. La suma de los activos de A y B es igual al activo de C; el activo de B supera al de A en 3 millones y las tres empresas tienen, en conjunto, activos por 25 millones. Hallar los activos de cada una de las tres empresas. 4) Consideramos en R 4 el subespac s ubespacio io S: < ( 1, 0, -1, 2 ) ; ( 0, 1, 1, -2 ) >. Determinar los valores de a y b ∈R, tales que el vector ( a, 3, 5, b) pertenece a S. (2) Álgebra (71) – Primer Parcial – Paternal – 1 er Cuat. 2005 1) L1 es la recta que pasa por (2, -1) y (-1, 3), L 2 es la recta de dirección (2, 3) que pasa por (3, 4) y Q es el punto de L2 que pertenece al eje x. Hallar una ecuación paramétrica de una recta paralela a L 1 que pase por Q. 2) Determinar todos los valores de k ∈R para los cuales el sistema S es incompatible.

3) Un artesano vende aros de tres tamaños: grandes, medianos y pequeños. Los precios de venta de cada par son: $ 10, $ 8 y $ 2 respectivamente. El fin de semana anterior vendió 75 pares en total y recaudó $ 718. ¿Cuántos pares de cada tamaño vendió? Dar todas las posibilidades. 4) Dados el el subespacio subespacio S = { x ∈R 4 / 2 x 1 + x3 – 2 x 4 = 0} y el vector v = (1, 1, 2, 2). Hallar una base B de S y expresar, si es posible, v como combinación lineal de los vectores de B.


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Parciales Parciales de Álgebra – Ciencias Económicas – Cátedra Gutiérrez/Fauring

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Algebra Algebra (71) – Primer Parcial – 2 do Trim. 2005 – Tema 1. 1. L es la recta de ecuación X: α (1, – 1, 2) + (0, 4, 3); P es el punto de L que está en el plano x 1 x2 y Q = (–1, 5, 0). Dar la ecuación de la recta que pasa por P, Q. 2. Determinar los valores de a y b para que el sistema S = Sea i) Compatible determinado ii) Compatible indeterminado 3) Un pintor compró 40 latas de pintura para exterior, 40 latas de pintura para interiores y 5 latas de pintura pintura para metales, metales, se pagó $ 450. 450. Si hubiera comprado comprado el doble doble de latas para interiores, interiores, el doble doble de para metales y nada de las otras habría pagado $420. Si hubiera comprado el doble de latas para exteriores, el doble de para metales y nada de las otras habría pagado $580. ¿Cuánto pagó por 1 lata de cada clase de pintura? 4) Dar una base del subespacio S = < (1, 2, 1, – 1); (1, 4, 4, 0), (–1, 2, 5, 3) > Decidir si V = (1, 0, – 2, – 2) pertenece a S. En caso afirmativo, escribir V como combinación lineal de la base dada. Solución: 1) Que esté incluido en el plano x 1 x2 implica que las dos primeras coordenadas pueden tener cualquier valor pero la tercera x 3 tiene valor cero. α (1, – 1, 2) + (0, 4, 3) = ( x 1; x2 ; 0)

O sea que 0 = 2 α + 3. Por lo que puede calcularse alfa cuyo valor será – 3/2 Todos los puntos de la recta X = α (1, – 1, 2) + (0, 4, 3) pueden ser expresados como: x1 = α

por lo que x 1 = – 3/2

x2 = – α + 4 por lo que x 2 = 3/2 + 4 = 11/2 x3 = 2α + 3. por lo que x 3 = 2 (– 3/2) + 3 = 0

P = (– 3/2, 11/2, 0) y Q = (–1, 5, 0). Para calcular el vector director de la recta se restan P y Q : P – Q = (– 3/2, 11/2, 0) – (–1, 5, 0) = = (– ½, ½, 0) La recta que pasa por P y Q puede expresarse como: X: α (– ½, ½, 0) + (– 3/2, 11/2, 0) ó como X: α (– ½, ½, 0) + (–1, 5, 0) Ambas expresiones son igualmente válidas.


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Parciales Parciales de Álgebra – Ciencias Económicas – Cátedra Gutiérrez/Fauring

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2) El sistema puede expresarse como matriz y resolverse por varios métodos.

El más utilizado por esta cátedra es Gauss. Este método consiste en eliminar las filas de abajo mediante sumas o restas para obtener una matriz triangulada que permita hallar x , y, z .

El valor de a y b determinarán que tipo de sistema tendremos: i) Si a es distinto de 13 no nos interesa el valor de b, el sistema será siempre compatible determinado, o sea que siempre existirá una solución para el sistema, x, y, z tendrán un único valor. ii) Si a = 13 y b = 7 la fila de abajo se se irá, será todo todo cero, por lo tanto tendremos infinitas soluciones. El sistema será compatible in determinado. iii) Si bien esta opción no se ha pedido… aprovechemos para explicar que si a es igual 13 y b distinto de 7 no obtendremos ningún resultado. El sistema será incompatible. inco mpatible. 3) El problema debe escribirse como un sistema de ecuaciones para poder resolverse. En este caso x representará la pintura de interiores, y la de exteriores y z la la de metales. 40 x + 40 y + 5 z = = $ 450 80 x + 0 y + 10 z = = $ 420 0 x + 80 y + 10 z = = $ 580 El resultado de este sistema de ecuaciones es: x = 4, y = 6, z = 10. 4) Para ser una base los vectores de S deben ser generadores y linealmente independientes. Cuando se pide que sea combinación lineal se está pidiendo hallar: α (1, 2, 1, – 1) + β (1, 4, 4, 0) + γ (–1, (–1, 2, 5, 3) = (1, 0, – 2, – 2)

El valor de alfa, beta y gama debe ser uno solo. En este caso α = 2, β = – 1 y γ = = 0 Escrito como combinación lineal sería: 2 (1, 2, 1, – 1) – 1 (1, 4, 4, 0) + 0 (–1, 2, 5, 3) = (1, 0, – 2, – 2)


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Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Thomson

ÁLGEBRA - 1er Parcial TEMA: 35 B El examen se aprueba con 3 ejercicios completos bien o con 6 mitades bien. Ej.1: a) Sea A = { 1, 3, 9 } con la operación: x#y= m.c.d.(x,y) a) Arme una tabla e indique si # es ley interna en A, si es asociativa, conmutativa, si posee neutro y la estructura de (A,#) b) Dé un ejemplo de una operación que sea ley interna en el conjunto de los enteros pero que no tenga elemento neutro. Indique si es asociativa.

⎛ 1 ⎜ Ej.2: Dada la matriz X = ⎜ 0 ⎜ ⎝ 1

2 k 2

⎞ ⎟ 5 ⎟ 2 k − 3k + 3 ⎠⎟ 13

a) Halle todos los valores de k ∈ R tales que el X sea singular (no inversible). b) Considerando k=1, indique el rango de X. Ej.3:

Indique Verdadero o Falso, justificando como corresponda:

1 (A + I) entonces B es idempotente. 2 b) Sean A, B ∈ R nxn: si A y B son simétricas entonces A •B es matriz simétrica. a) Sean A, B ∈ R nxn: si A es involutiva y B =

⎛ 0 2 0 ⎞ ⎜ ⎟ Ej.4: Sea M = ⎜ 4x - 1 y ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4z 7 w ⎠ b) Calcule det(D) siendo

a) Calcule det(M) sabiendo que

z w x y

= 3

Dt = (-2) • D2 • M-1

Ej.5: Sea la ecuación matricial:

X • A + I = (C • X-1)-1

a) Despeje la matriz cuadrada X

⎛ 2 1 ⎞ ⎟⎟ y C = ⎝ 1 5 ⎠

b) Considerando las matrices: A = ⎜⎜

⎛ 3 7 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ calcule la inversa de X. ⎝ 2 5 ⎠

Ej.6: Considere una economía hipotética sencilla de dos industrias S y T representada en la tabla:

S T V.A. P.T.

S 34

T

D.F.

P.T.

25

84

28 152

a) Complete la tabla sabiendo que lo que utiliza T de su propia producción es 42. b) Halle la nueva tabla si la demanda final cambia a 55 para S y 135 para T.

Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436


ÁLGEBRA - 1er Parcial TEMA : 35 : 35 A El examen se aprueba con 3 ejercicios completos bien o con 6 mitades bien. Ej. 1: a) En el conjunto E = { e , f , d, n } se define la operación mediante la tabla:

e f d n

e n e n n

f e f d n

d n d f d

n n n d f

Analice si es conmutativa, asociativa y si posee elemento neutro. ¿Qué elemento debe modificarse para que posea simétrico? Sugerencia: halle ( d e )

n y d

( e n )

b) Analice la estructura de (H, •) Siendo H = { x =

1 n

n

|N } y • es el producto usual.

⎧1 Ej. 2: Dada 2: Dada la matriz M ∈ |R 3x3 / mij = ⎨ ⎩0

si i ≤ j si i > j

a) Halle la matriz M-1 (inversa de M) b) Indique el rango de la matriz A = M - I (siendo I la identidad de orden 3) Ej. 3: : Indique Verdadero o Falso, justificando justificando como corresponda: a) Sea A

|R nxn : Si A es ortogonal y simétrica entonces A es involutiva

b) Sean A y B

|R nxn : si A y B son regulares entonces A - B es regular

Ej. 4: Sean las matrices P , Q

R 4x4 tales que : det(P) = 5

a) Si Q = (2P 1 P3+P2 P4 3P1+2P3) , calcule det(Q) b) Si det(Q) = 8, halle el valor de det( 2 P t Q-1 ). Ej. 5: a) Sea la ecuación matricial:

A • X = B

⎛ 1 1 − 1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Siendo A= ⎜ 1 2 1 ⎟ X = ⎜ y ⎟ B = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 4 ⎠ ⎝ z ⎠

⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠

Calcule la matriz X usando el método de Crámer. Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436


b) Despeje X en la ecuación: B • (C + X • A) = C + I Sabiendo que A y B son inversibles. Ej. 6: Considere una economía hipotética sencilla de dos industrias M y N representada en la tabla:

M N V.A P.T.

M 28 14 14 56

N 12 36 24 72

D.F. 16 22

P.T. 56 72 72 128

a) ¿Qué valor produce M y utiliza N? ¿Cuál es la producción total de la industria N? b) Determine la nueva tabla, si la demanda final cambia a 20 para M y 25 para N.


Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Fauring

ÁLGEBRA - 1er Parcial

Solución: 1) a = – 3 ;

b

=6

2) Deben elaborar 36 kg. de salsa "a la siciliana" y 60 kg. de salsa "a la francesa" para consumir un stock de 30 kg. de queso fontina y 66 kg. de cuartirolo. 3) α (-1; 0; -3; 1) + (3; 0; 3; 0) 4) Para que el vector v = (1; 4; 2k) pertenezca al subespacio S, k = 4.



ÁLGEBRA - 1er Parcial

Solución: 1) L : α (1, – 1, – 5) + (5, 1, 2) 2) a = 5, b = – 3 (Reemplazando estos dos valores ahora deben triangular la matriz matriz para hallar los resultados) 3) y = 700 x – 143000 143000 Deberán transcurrir más de 204 semanas. 4) (1, 2, 1, – 1) no pertenece a S (Si lo resuelves triangulando, la manera más fácil, el sistema da incompatible, lo que implica que el vector no pertenece al subespacio S.)



Primer Parcial de Álgebra Álgebra Cátedra Fauring (ex – Gutiérrez) Algebra Cs. Ec. (71) (71) – Primer parcial (Drago) (Drago) – Primer Cuatrimestre 2009 2009 – Tema 3 1. Dadas las rectas: L 1 : X = λ (1, (1, 2, 0) + (2, 3, 2) y L2: X = λ (3, (3, 0, 1) + (8, 4, 1), hallar una ecuación de la recta paralela a L 1 y corta al plano XY en el mismo punto que L 2 Solución:

Para escribir vectorialmente una recta necesitamos dos elementos. El vector director (que es el vector cuya dirección es la de la recta) y un punto de paso (que indica por donde pasa esa recta, o sea, donde está ubicada en el plano) Cuando dos rectas son paralelas tienen el mismo vector director, así que la tercera recta (la que llamaremos L3) y L1 poseen a (1, 2, 0) como vector director. Ahora necesitamos un punto de paso, el problema nos dice que ese punto será la intersección entre el plano XY y L 2. Probablemente te preguntarás que es el plano XY. Es el plano determinado por los ejes X e Y que pasa por el origen de coordenadas, lo que implica que Z = 0. Así que cualquier punto del x, y, 0) plano XY debe escribirse escribirse como ( x Busquemos ese punto en la recta L 2. λ (3, (3, 0, 1) + (8, 4, 1) = ( x, y, 0) No hay que olvidarse que debemos trabajar trabajar separadamente separadamente en cada una de las coordenadas. coordenadas. λ .3 + 8 = x λ .0 + 4 = y λ .1 + 1 = 0 Lo que nos permitirá hallar los valores que nos están pidiendo (primero hay que calcular λ ) λ .3 + 8 = x → (−1).3 + 8 = x → x = 5 λ .0 + 4 = y → y = 4 λ .1 + 1 = 0 → λ = −1 Entonces el punto ( x, y, 0) = (5, 4, 0) Ahora podemos armar la ecuación vectorial de la recta L 3. L3 : λ (1, (1, 2, 0) + (5, 4, 0)

2. Un club obtiene la concesión de un predio municipal y debe optar entre dos regímenes para abonar el canon correspondiente: i) Pagar el 13 % de los ingresos ingresos percibidos percibidos por cuota social social ii) Pagar $ 2000 fijos más el 8 % de los ingresos percibidos por cuota social. a) ¿Para qué monto de ingresos el canon es el mismo para ambos regímenes? b) Si el club recauda $50000 en concepto de cuotas sociales, ¿por qué régimen le conviene optar? Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436

(Lujan)

Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Fauring Solución:

a) Cada uno de los “regímenes” a optar puede ser representado por una ecuación lineal (recta): Así la primera opción del 13 % o sea 13/ 100 (0, 13) puede ser escrita como: f (x) (x) = 0,13 x Donde x representa la totalidad del dinero recaudado por la utilización del predio. La segunda opción, el 8 % (o sea 8/100 = 0,08) y un monto fijo de $ 2000 puede escribirse como g(x) = 0,08 x + 2000 Para saber qué monto de ingresos el canon es el mismo en ambos regímenes, sencillamente igualamos las ecuaciones: 0,13 x = 0,08 x + 2000 Se despeja x 0,13 x – 0,08 – 0,08 x = 2000 0,05 x = 2000 x = 2000 / 0,05 x = 40000

b) Si graficamos ambas ecuaciones, la primera opción en color verde y la segunda opción en color rojo, podemos ver claramente que el punto de equilibrio entre las dos opciones es cuando el club recauda $ 40000. 40000. Para valores inferiores al equilibrio, la mejor opción (donde se paga menos) es la que se paga el 13 %. Para valores superiores al equilibrio, la mejor opción es la que segunda. Así que si el club recauda $50000 en concepto de cuotas sociales, el régimen que le conviene optar es el segundo (pagará menos, pueden sencillamente reemplazar x por $ 50000 en cada una de las ecuaciones y observarán el resultado) ⎧ x1 − 2 x2 + x3 = 2 ⎪ + 4 x3 = 0 sea compatible indeterminado. 3. Hallar a y b para que el sistema ⎨ x1 ⎪ 2 x + ax = b 2 3 ⎩ Para los valores hallados de a y b, dar todas las soluciones del sistema. Solución:

Primeramente pasemos los coeficientes del sistema (los números que están multiplicando a las x) en una matriz ampliada: ⎛ 1 − 2 1 2 ⎞ Aplicaremos el método de Gauss (pues es el que usa esta cátedra aunque hay ⎜ ⎟ métodos más fáciles, como el de gauss-Jordan) el que consiste en obtener un ⎜1 0 4 0⎟ ⎜ 0 2 a b ⎟ triángulo de ceros en la parte inferior de la matriz (matriz triangulada ⎝ ⎠ inferiormente) inferiormente) que permite calcular el valor valor de las x. Toda matriz está dividida en filas y columnas. En este caso nos interesan las filas. Llamaremos F 1 ⎛ 1 − 2 1 2 ⎞ F1, F2 y F3 a la primera, segunda y tercera fila. ⎜ ⎟ Lo que primeramente queremos es que la primera columna nos quede el 1 0 4 0⎟ F 2 ⎜ 1 (que encabeza la columna) y todos los otros números sean ceros. ⎜ ⎟ F 3 ⎝ 0 2 a b ⎠ Para ello sumaremos o restaremos la F con las siguientes filas 1 Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436

(Lujan)

Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Fauring F 1 ⎛ 1

⎜ F 2 ⎜ 1 ⎜0 F 3 ⎝

− 2 1 2 ⎞ ⎟ operamos las filas 0 4 0 ⎟ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 2 a b ⎠⎟

F 1 F 2 − F 1 F 3

1 4 2 4 3

⎛ 1 1 2 ⎞ ⎛ 1 − 2 1 2 ⎞ −2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 − 1 0 − (−2) 4 − 1 0 − 2 ⎟ = ⎜ 0 2 3 − 2 ⎟ ⎜ ⎜0 2 a b ⎟ a b ⎠⎟ ⎝ 2 ⎝ 0 ⎠

acá tenemos un cero, no es necesario operar

Ahora el que debemos hacer cero son todos los números de la segunda columna debajo de la F 2 (en este caso solamente es un número) Trabajamos con la matriz (equivalente) que hemos obtenido: F 1 ⎛ 1 − 2 1 2 ⎞ F 1 ⎛ 1 − 2 1 2 ⎞ ⎛ 1 − 2 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ operamos las filas ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ F 2 ⎜ 0 2 F 3 − 2 ⎟ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ 2 3 3 −2 ⎟ ⎯ → − 2 ⎟ = ⎜0 2 ⎜0 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ F 3 ⎝ 0 2 a b ⎠ F 3 − F 2 ⎝ 0 2 − 2 a − 3 b − (−2) ⎠ ⎝ 0 0 a − 3 b + 2 ⎠⎟ ↑ el 2 debe transformarse en cero

La Matriz ha quedado triangulada inferiormente. inferiormente. Como el problema nos pide que el sistema sea compatible indeterminado cada elemento de la F3 debe ser cero. Así que a – 3 y b + 2 deben ser nulas. Despejando: a – 3 = 0 nos queda que a = 3 b + 2 = 0 nos queda que b = – 2 En este caso el sistema nos queda: ⎛ 1 − 2 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎧ x1 − 2 x 2 + x3 = 2 ⎜0 2 3 − 2⎟ → ⎨ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎩ 2 x 2 + 3 x3 = −2 ⎝ ⎠ Despejamos x1 y x2 por lo que ambas quedan en función de x3. (Las cuentas debés hacerlas vos) de manera que nos queda: x1 = – 4 x3. x2 = – 1 –3/2 x3. Así que la recta solución queda: (– 4 x3, – 1 –3/2 x3, x3) = x3 (– 4, – 3/2, 1) + (0, –1, 0)

4. Dados los subespacios de R 4

S = x ∈ R 4 : x1 + x 2 + x3 − x4 = 0

y

T = (− 1,1,0,0); (0,0,−1,−1); (−1,1,1,1) Hallar si es posible una base de S que contenga una base de T. Solución:

Recordemos que una base de un subespacio es un generador cuyos vectores son linealmente independientes independientes (L I). Lo que necesitamos primeramente es buscar una base de cada uno de los subespacios. Empecemos por T Para que los vectores sean L I, se debe darse que en la expresión: Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436

(Lujan)

Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Fauring α (− 1,1,0,0 ) + β (0,0,−1,−1) + χ (−1,1,1,1) = (0,0,0,0)

Los coeficientes (las letras griegas) sean cero para que su suma sea nula (o sea nos de el vector nulo) Hay varias maneras de resolver esta operación, aquí lo haremos mediante matrices. Escribamos la matriz asociada y triangulemos para hallar el valor de los coeficientes. ⎛ − 1 0 − 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 1 0 1 0 0 1 1 0 ⎜ ⎟ Operamos ⎜ ⎟ ⎯ →⎜ ⎜ 0 − 1 1 0 ⎟ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1 1 0⎟ ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ El hecho que nos queden dos filas nos indica que el sistema es linealmente dependiente (L D), ya que los coeficientes no dan cero. α + χ = 0 → α = − χ − β + χ = 0 → β = χ Según el valor que le demos a gamma tendremos el valor de alfa y beta.

Si χ = 1 ⇒ α = −1 y β = 1 − 1(− 1,1,0,0) + 1(0,0,−1,−1) + 1(−1,1,1,1) = (0,0,0,0) Así que al despejar: (−1,1,1,1) = (− 1,1,0,0) − (0,0,−1,−1) vemos que el tercer vector es combinación lineal de los otros dos. Como podemos despejar cualquier vector, la base de T nos quedará de dimensión dos (o sea, dos vectores). Los vectores que elijamos deben pertenecer a S, ya que eso es lo que pide el problema. Para saber cual de los vectores pertenece a S, sencillamente ubiquemos a cada vector en la ecuación de S para ver si la cumple. (−1,1,1,1) → x1 + x 2 + x3 − x 4 = 0 → −1 + 1 + 1 − 1 = 0 Cumple (−1,1,0,0) → x1 + x 2 + x3 − x 4 = 0 → −(−1) + 1 + 0 − 0 = 2 No cumple (0,0,−1,−1) → x1 + x 2 + x3 − x 4 = 0 → 0 + 0 − 1 − (−1) = 0 Cumple Nuestra base base en T será {(−1,1,1,1); (0,0,−1,−1)} La base que buscamos en S tiene dimensión 3 (Hay que tener en cuenta que es un espacio de R 4 con una sola ecuación: 4 – 1 = 3) Nos hace falta un vector. Podemos inventarlo pero asegúrense que sea L I. Por ejemplo (1,0,0,1) De esa manera tenemos que la base de S es:

{(−1,1,1,1); (0,0,−1,−1); (1,0,0,1)}

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primer parcial de álgebra del cbc ciencias económicas

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