0a6cap 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales

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Fertilizante 1: 50 por ciento de alimento para plantas y 20 por ciento de herbicida Fertilizante 2: 60 por ciento de alimento para plantas y 10 por ciento de herbicida Fertilizante 3: 40 por ciento de alimento para plantas y 30 por ciento de herbicida

Se debe producir un lote de 10000 libras de la mezcla personalizada que tiene un contenido de alimento para plantas de 48 por ciento y 22 por ciento de herbicida. Determine las cantidades de los fertilizantes que se deben mezclar para satisfacer estos requerimientos. 57.

❑

fideicomiso tiene $200 000 paAdministración de fondo para el fideicomiso Un fondo de fideicomiso ra invertir invertir.. Se identificaron tres alternativas de inversión, inversión, que ganan 10 por ciento, 7 por ciento y 8 por ciento, respectivamente. Se estableció el objetivo de ganar un ingreso anual de $16 000 sobre la inversión total. Una condición que el fideicomiso estipuló es que la inversión combinada en las alternativas 2 y 3 debe ser el triple de la cantidad invertida en la alternativa 1. Determine la cantidad de dinero que se debe invertir en cada opción con el fin de satisfacer los requerimientos del fondo para el fideicomiso.

EVALUACIÓN EV ALUACIÓN DEL DE L CAPÍTULO CAPÍTU LO 1.

Resuelva gráficamente el sistema de ecuaciones siguiente de manera gráfica. 5 y Ϫ 3 x ϩ 2 y x ϩ

2.

ϭ Ϫ5

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones. 5 x

3.

ϭ Ϫ4

2 y

25

4 x

y

7

2 x

5 y

31

x

y

2

a) ¿Cuáles son las las posibilidades posibilidades del conjunto conjunto solución solución para un sistema sistema de ecuaciones ecuaciones de

(20 ϫ 15)? b) ¿Pa ¿Para ra un un sist sistema ema de (15 ϫ 20)? 4.

Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente por medio del método de eliminación de Gauss. ϭ

10

3 x Ϫ 2 x ϩ 4 x ϭ

20

x

Ϫ 3 x

Ϫ 2 x

ϩ 6 x

ϩ

x

Ϫ 3 x

ϭ Ϫ 30













6.

Una compañía fabrica tres productos, cada uno de los cuales se debe procesar en tres departamentos diferentes. La tabla 3.11 resume las horas requeridas por unidad de cada producto en cada departamento así como sus capacidades semanales en cada departamento. Formule el sistema de ecuaciones y despeje cualquier combinación de los tres productos que consuma en su totalidad la disponibilidad de trabajo semanal en todos los departamentos. Interprete sus resultados.

Producto

Tabla 3.11 Departamento

A

B

C

Horas disponibles por semana

1 2 3

6 7 5

2 4 5

2 1 3

70 60 55

❑

EJERCICIOS POR COMPUTADORA Resuelva los sistemas de ecuaciones siguientes usando un software apropiado. 1.

x

ϩ

2 x

2.

3 x 5 x

ϩ

x

ϩ

x

ϩ

Ϫ

3 x

3.

4.

5 12 2 x Ϫ 5 x ϩ x Ϫ x ϭ 12 2 x Ϫ x ϩ 5 x Ϫ 3 x ϭ 23 ϩ 4 x ϭ Ϫ 6 4 x ϩ 3 x x ϩ x ϩ x ϩ x ϭ 30 2 x ϩ 3 x ϩ 4 x ϩ 5 x ϭ 130 Ϫ 2 x ϩ 4 x ϭ 105 5 x Ϫ 3 x ϩ 2 x Ϫ 2 x ϭ Ϫ 5 10 x ϩ x Ϫ 5 x Ϫ x ϭ Ϫ 55 x

ϩ

x

ϩ

x

Ϫ

x

ϩ

3 x

ϩ

x

ϩ

x

Ϫ

2 x 3 x

ϩ

ϩ

ϩ

x

Ϫ

2 x

4 x

Ϫ

x

ϩ

x

3 x 5 x 2 x

Ϫ

2 x

ϩ

ϩ

x

Ϫ

x

ϩ

Ϫ

4 x

ϩ

x

Ϫ

3 x 2 x

ϩ

x

Ϫ

4 x 4 x 5 x 2 x 3 x

x

ϩ

x

ϩ

x

ϩ

x

2 x

Ϫ

x

ϩ

3 x

ϩ

x

2

x

3

Ϫ

Ϫ

2 x 4

ϩ

x

ϭ ϭ

ϩ

x

3 x

ϩ

x

ϭ

Ϫ

3 x

ϭ

ϩ

x

ϭ

Ϫ

x

ϭ ϭ

ϩ

5 x

ϩ

x

5

ϭ ϩ

x

ϭ ϭ

Ϫ

4 x 6

ϭ

0 0 26 Ϫ2 Ϫ 18 24 12 5 Ϫ8 46













6. 2 x Ϫ 2 x ϩ

x

ϩ

5 x

Ϫ

x

ϩ

x

Ϫ

3 x

ϩ

x

ϭ

x

ϩ

x

ϩ

x

ϩ

x

ϩ

x

ϩ

x

ϩ

x

ϩ

x

ϭ

2 x

ϩ

3 x

Ϫ

2 x

ϩ

3 x

x

ϩ

x

ϩ

x

5 x 4 x

Ϫ

ϩ

x

ϩ

2 x 5 x

ϩ

Ϫ

3 x 3 x

x

Ϫ

x

ϩ

x

Ϫ

x

7.

ϭ ϭ

x

ϩ

x

ϩ

x

ϭ

Ϫ

x

ϩ

6 x

ϭ

ϩ

5 x 2 x

ϩ

Ϫ

2 x 3 x

ϩ

x

Ϫ

x

ϩ

x

Ϫ

x

Ϫ

ϭ

La XYZ Manufacturing Company fabrica cinco productos diferentes, cada uno de los cuales debe procesarse en cinco departamentos distintos, A a E . La tabla 3.12 indica el número de horas requeridas para producir una unidad de cada producto en cada departamento. También se indica el número de horas de producción disponibles cada semana en cada uno de los departamentos. La compañía quiere determinar si hay alguna cantidad de los cinco productos que se pueda producir cada semana que dé como resultado la utilización total de las horas disponibles en todos los departamentos. a) Formu Formule le el sistema sistema de ecuacio ecuaciones nes lineales lineales apropia apropiado. do. b) Determ Determine ine las combinaciones combinaciones de los cincos cincos productos que utilizará utilizaránn los cinco departadepartamentos a su máxima capacidad. ¿Cómo se asignará la capacidad semanal de cada departamento a los cinco productos?


1

2

Producto 3

A B C D E

2 4 5 3 1

1 2 4 2 1

4 3 2 2 1

8.

ϭ

100 50 50 15 25 165 35 Ϫ 50

4

5


3 2 4 2 1

2 1 3 3 1

330 330 440 320 130

Una compañía fabrica cinco productos diferentes. Se debe procesar cada uno de los productos en cinco departamentos distintos, A a E . La tabla 3.13 indica el número de horas requeridas para producir una unidad de cada producto en cada departamento. También se indica el número de horas de producción disponibles por mes en cada uno de los cinco departamentos.














1

2

Producto 3

A B C D E

3 5 2 4 2

4 3 5 4 5

2 4 3 5 5

9.

4

5


1 2 6 4 5

4 1 4 3 4

1 1 50 1 0 50 2 2 00 1 700 2 000

Un dietista planea el menú para la cena de una escuela preparatoria. Se considera incluir seis elementos importantes en la comida, cada una se caracteriza por un contenido nutricional diferente. El objetivo es el de satisfacer los niveles de requerimientos mínimos diarios (MDR) de seis vitaminas diferentes. La tabla 3.14 muestra el contenido vitamínico por onza de cada alimento, expresado en miligramos (mg). Además, se indica el requerimiento mínimo diario de las seis vitaminas, también en miligramos. El problema es determinar las cantidades de cada alimento que se deben incluir en la comida para satisfacer los seis requerimientos vitamínicos. a) Formu Formule le el sistema de ecuacione ecuacioness adecuado para para este problema. problema. b) ¿Qué cantidade cantidadess de cada alimento alimento se deben deben incluir? incluir?

Tabla 3.14 Vitamina

MDR

1

2

Alimento 3 4

1 2 3 4 5 6

23 34 32 16 39 26

4 5 0 0 5 2

3 3 2 0 6 3

0 4 6 2 2 2

10.

2 0 4 3 0 4

5

6

4 0 3 5 3 2

1 2 4 2 5 2

A un fabricante de café le interesa mezclar cinco tipos de granos de café para obtener una mezcla final de 120 000 libras de café. Los cinco granos componentes cuestan $2, $3, $4, $2 y $2 por onza, respectivamente. El presupuesto para comprar los cinco componentes es de $300 000. Se determinaron tres restricciones para la mezcla del café: 1) la combinación de los compuestos













Apéndice: procedimiento de eliminación para sistemas de (3

3)

El procedimiento de eliminación para sistemas de (3 ϫ 3) es similar al de los sistemas de (2 ϫ 2). El objetivo es comenzar con el sistema de (3 ϫ 3) y reducirlo a un sistema equivalente con dos variables y dos ecuaciones. Con una de las tres variables eliminada, se emplea el mismo procedimiento para los sistemas de (2 ϫ 2) para eliminar una segunda variable, lo que da como resultado un sistema de (1 ϫ 1). Después de despejar la variable restante, se sustituye su valor de manera secuencial en el sistema de (2 ϫ 2) y al final en el sistema de (3 ϫ 3) para determinar los valores de las otras dos variables. La figura 3.13 muestra el proceso por medio de un esquema. En la figura 3.13 se elimina primero x 1, seguido por x 2. No es necesario este orden; éste es simplemente ilustrativo. 1. Elimine Elimine una variable variable (por ejemplo, x ejemplo, x1)

Sistema de (3 ϫ 3) x1, x2, x3

Figura 3.13 Procedimiento de eliminación para sistemas de (3 ϫ 3).

Sistema de (1 ϫ 1): 1): despeje el valor de la variable restante ( x x3)

Sistema de (2 ϫ 2) x2, x3

x2 , x3 5. Valore Valoress de x1, x2, x3

2. Elimine Elimine otra variable variable (por ejemplo, x ejemplo, x2)

4. Sustituya Sustituya los valores valores de la segunda y la tercera variable en un sistema de (3 ϫ 3) y despeje x despeje x1

x3 3. Sustituya Sustituya el valor valor de la tercera variable en un sistema de (2 ϫ 2) y despeje x despeje x2

El procedimiento de eliminación para un sistema de (3 ϫ 3) es el siguiente.

Procedimiento de eliminación para sistemas de (3 I II

3)

Sume múltiplos de dos de las tres ecuaciones cualesquiera con el fin de eliminar una de las tres variables. El resultado debe ser una ecuación que implica las otras dos variables. Repita el paso I con otro par de ecuaciones ecuaciones originales, originales, eliminando la mis-















Si durante cualquier fase del procedimiento de eliminación se obtiene como resultado una identidad [véase el paso IIIB del procedimiento (2 ϫ 2)], entonces el conjunto solución contiene un número infinito de elementos. Una excepción de esto es el caso en que el paso I da como resultado una identidad y el paso II un enunciado falso o contradicción. ¿Cuál es la implicación gráfica de estos dos resultados? Si en cualquier etapa se obtiene un C del procedimiento de (2 ϫ 2)], entonces el sistema de ecuacioenunciado falso [paso III C nes original no tiene solución.

Ejemplo 20

Solución única Determine el conjunto solución para el sistema de ecuaciones siguiente. x

ϩ

x

ϩ

x

ϭ

6

(3.22)

2 x

Ϫ

x

ϩ

3 x

ϭ

4

(3.23)

4 x

ϩ

5 x

Ϫ

10 x

ϭ

13

(3.24)

SOLUCIÓN Aunque no hay diferencia en cuál variable se elimina primero, eliminemos x 2. Si se suman las ecuaciones (3.22) y (3.23), se expresa la ecuación (3.25) resultante en términos de x 1 y x 3: x

ϩ x

ϩ

x

ϭ

6

2 x

Ϫ x

ϩ

3 x

ϭ

4

ϩ

4 x

ϭ

10

3 x

(3.25)

Al multiplicar la ecuación (3.23) por ϩ5 y sumarla a la ecuación (3.24) se produce la nueva ecuación (3.26), como sigue:













Al despejar x 1 en la ecuación (3.27), obtenemos x 1 ϭ 2. Si se sustituye este valor en la ecuación (3.25), se determina el valor de x 3 de la siguiente manera: 3(2)

ϩ

4 x

ϭ

10

4 x

ϭ

4

x

ϭ

1

Sustituir los valores de x 1 ϭ 2 y x 3 ϭ 1 en la ecuación (3.22) da 2

ϩ x

o bien

ϩ

1

x

ϭ

6

ϭ

3

Verifique al sustituir estos valores en las ecuaciones (3.23) y (3.24) que el conjunto solución consiste en x 1 ϭ 2, x 2 ϭ 3 y x 3 ϭ 1.

Ejemplo 21

(Ninguna solución) Determine el conjunto solución para el sistema de ecuaciones siguiente:

SOLUCIÓN

Ϫ 2 x

ϩ

x

ϩ

3 x

ϭ

12

(3.28)

x

ϩ

2 x

ϩ

5 x

ϭ

10

(3.29)

6 x

Ϫ

3 x

Ϫ

9 x

ϭ

24

(3.30)













Para eliminar x 2, se multiplica la ecuación (3.31) por ϩ3 y se suma a la ecuación (3.32), o [3 · ecuación (3.31)]

→

15 x

ϩ

39 x

ϭ

Ϫ 15 x

Ϫ

39 x

ϭ Ϫ 36

0

ϭ

96

60

(3.33)

Nótese que la ecuación (3.33) es una contradicción, lo que significa que el sistema de ecuaciones original no tiene solución.

Ejemplo 22

(Una infinidad de soluciones) Determine el conjunto solución del sistema de ecuaciones x

ϩ

x

ϩ

x

ϭ

20

(3.34)

2 x

Ϫ

3 x

ϩ

x

ϭ Ϫ5

(3.35)

6 x

Ϫ

4 x

ϩ

4 x

30

(3.36)

ϭ

SOLUCIÓN Verifique que se puede eliminar x 3 y se puede encontrar la ecuación (3.37) al multiplicar la ecuación (3.34) por Ϫ1 y sumar esta nueva ecuación a la ecuación (3.35): x

Ϫ

4 x

ϭ Ϫ 25

(3.37)

Verifique también que se forma la ecuación (3.38) al multiplicar la ecuación (3.34) por – 4 y sumar













Ahora, sustituimos el lado derecho de esta ecuación en una de las ecuaciones originales en que x 1 aparezca. Si sustituimos en la ecuación (3.34), tenemos (4 x

Ϫ

25) ϩ x

ϩ x

ϭ

20

5 x

ϩ x

ϭ

45

Despejar x 3 da x

ϭ

45

Ϫ

(3.41)

5 x

Las ecuaciones (3.40) y (3.41) presentan x 1 y x 2 en términos de x 3. Por tanto, una manera en que podemos especificar el conjunto solución es x 2 arbitrario x 1

4 x 2

25

x 3

45

5 x 2

Usando esta especificación, verifique que una solución del sistema original es x 1 y x 3 ϭ 20.

5, x 2

ϭ Ϫ

ϭ

5

❑

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