Magnitudes escalares y vectoriales Tipos de vectores Operaciones con vectores libres Momento de un vector deslizante respecto a un punto Mome Mo ment nto o de de un un vec vecto torr des desliliza zant nte e res res ec ecto to a un un e e
agn u es esca ares
Magnitud perfectamente definida por su valor
Abstractas. ,
No
tienen
Concretas. Tienen temp te mper erat atur ura a (K (K))
unidades:
índice
unidades:masa
de (kg),
agn u es vec or a es
conoce,
además
de
su
valor
numérico,
la
(m/s), fuerza (N), momento de una fuerza (N·m), ...
pos e vec ores
Libres: Se conoce módulo, dirección y sentido. .
Dos
vectores
espacio
libres
son
iguales
si
son
pos e vec ores
Deslizantes: Se conoce módulo, dirección, sentido y recta soporte. El punto de aplicación es cualquiera sobre la recta soporte.
Dos vectores deslizantes son iguales si son superponibles mediante un deslizamiento a lo largo de la recta soporte
pos e vec ores
Localizados: Se conoce módulo dirección sentido y punto de aplicación.
Dos vectores localizados sólo ueden ser i uales a sí mismos
Representación vectorial 2D Y
v
v cos
α X
v cos α
epresen ac n vec or a Z
v
γ
v cos β
v cos α
X
Y
Componentes de un vector royecc n e vec or so re un e e
α
ec ores un ar os
Un vector unitario es un vector sin unidades de módulo unidad se utilizan ara es ecificar la dirección sentido
un vector se calcula mediante el cociente entre dicho vector y su módulo
ec ores un ar os , expresan por
, ,
uma gr
ca e vec ores
Re la del aralelo ramo 2 vectores
A + B
= C
B
C
El vector suma es la diagonal del paralelogramo
uma gr
ca e vec ores
+ B = C
A En el extremo del primero se sitúa el origen del segundo
La suma es un vector cuyo origen es el origen del primero y su extremo es el extremo del segundo
um a gr
ca e vec ores
Cuando se tienen muchos vectores se repite el proceso hasta ue se inclu en todos los vectores
A + B
C
+C +D
B
uma e vec ores.
omponen es
suma sobre un eje, es la suma de las ro ecciones de los vectores sobre dicho eje
B y
C x y
= Ax + Bx
=
y
C
A y
y
x
B x
rop e a es e a suma.
onmu a va
A + B = B + A
a c i f á r n ó i c a t
e s e r p R
rop e a es e a suma. soc a va
=
A + ( B + C )
( A + B) + C
+
B
A
A
Re resentación ráfica
Multiplicación de un vector por un escalar
El resultado es un vector cuyo módulo es el producto del escalar or el módulo del vector
Si el escalar es positivo, la dirección y sentido son los mismos que los del vector original
, misma que la del vector original, pero su sentido es o uesto
u p cac n e un vec or por un esca ar
nv
O
n<0
n>0 n>0
Producto escalar de dos vectores
v1
α
El valor del producto escalar de dos vectores es el producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman los vectores
v ·v
=
v v cos α
2
Propiedades del producto escalar 1. Conmutativa 1. Conmutativa
v1 ⋅ v2
v
= v2 ⋅ v1 ⋅v = v ⋅v
⋅ 2 1 ⋅ 2 2 ⋅ 1 n(v1 ⋅ v2 ) = (nv1 ) ⋅ v2 = (nv2 ) ⋅ v1
1
Propiedades del producto escalar 3. Distributiva respecto a la suma de vectores
1
2
3
1
2
1
3
4. No asociativa respecto a productos escalares sucesivos
1
⋅
2
⋅
3
1
⋅
2
⋅
3
rop e a es e pro uc o esca ar
i ⋅i
=1
j ⋅ j
i⋅j
=0
i ⋅ k = 0
v1 ⋅ v2
=1
⋅ =
j ⋅ k = 0
= ( v1 x i + v1 y j + v1z k ) ⋅ ( v2 xi + v2 y j + v2 zk ) =
= v1 x v2 y + v1 y v2 y + v1 z v2 z
ro uc o vec or a
v1
∧ v2
e os vec ores
producto de los módulos por el determinan;
la
dirección,
v2
vectores
y
v1
mano derecha
el
sentido
se
Producto vectorial. Módulo El módulo representa el área del paralelogramo que determinan
v1
2
d1
v2
Area = v1 ∧ v2
=
v1 v2 sen ϕ = v1 d1
=
v2 d 2
Propiedades del producto vectorial 1. No conmutativa
v1 ∧ v2
= − ( v2 ∧ v1 )
2. Asociativa res ecto al roducto or un escalar
n v1 ∧ v2
=
nv1
∧ v2 =
nv2
∧ v1
rop e a es e pro uc o vec or a .
v1 ∧ ( v2
.
+ v3 ) = v1 ∧ v2 + v1 ∧ v3
o asoc a va respec o a pro uc os vec or a es suces vos
v1 ∧ ( v2 ∧ v3 ) ≠ ( v1 ∧ v2 ) ∧ v3
rop e a es e pro uc o vec or a
i
∧i = 0
∧ =
j ∧ i
= − k
k
∧ =0
∧ =
k
∧ j = −i
i
∧i = j ∧ =−j
Propiedades del producto vectorial
v1 ∧ v2
= ( v1 x i + v1 y j + v1z k ) ∧ ( v2 x i + v2 y j + v2 z k ) =
= i (v1 y v2 z − v2 y v1z ) −
j (v1x v2 z
− v2 x v1z ) + k (v1x v2 y − v2 x v1y ) =
=
i
j
k
v1 x
v1 y
v1z
v2 x
v2 y
v2 z
ro uc o m x o: o umen e para e ep pe o
v1 · v2 ∧ v3 v1 v3
v
∧v
v2
v1 v
v1 cos ϕ = h
v
2
3
ro uc o m x o
v1 ⋅ ( v2
∧ v3 ) = ( v1 x i + v1 y j + v1 z k ⋅ ⎡⎣( v2 x i + v2 y j + v2 z k ∧ ( v3 x i + v3 y j + v3 z k ⎤⎦
i
2
∧ v3
(
v1 cos ϕ = v1 x i
j
k
v
v
v
+ v y1 j + v1z k ) v2 x
v2 y
v2 z
= v2 x
v2 y
v2 z
x
y
z
x
y
z
o e pro uc o vec or a
v
∧
v
∧v =
v1 ∧ v2
v i
+v
+v
k
∧⎡
∧ v3 = v2 ⋅
v i
+v
v1 ⋅ v3
+v
k
∧
v i
− v3 ⋅
+v
+v
v1 ⋅ v2
k ⎤
Momento de un vector deslizante respecto a un punto
A
= OA ∧ v
O
Momento de un vector deslizante respecto a un punto
ec or oca za o en Perpendicular al plano que determinan los vectores OA y v
v
A
O
=
Módulo: el área que determinan los vectores
∧v
Sentido, el de avance de un tornillo que gira del primero al segundo
omen o e un vec or es zan e respec o a un pun o 1. El momento de un vector respecto a un punto es único es independiente de la posición del vector a lo largo de la recta soporte
2. El momento de un vector respecto a un punto de la recta soporte es nulo
. onoc en o e momen o respec o a un pun o se pue e conocer respecto a otro (ec. Cambio de momentos
omen o e un vec or es zan e respec o a un pun o
. del vector deslizante sobre la
O
v A
B
O
C
OB ∧ v
OC ∧ v
=
OA + AB
∧ v = OA ∧ v + AB ∧ v
= ( OA + AC ) ∧ v = OA ∧ v + AC ∧ v
omen o e un vec or es zan e respec o a un pun o
. punto de la recta soporte es O
v A B
C
B El producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo
Momento de un vector deslizante respecto a un punto pun to
. O
v
A
O
=
∧v
B C
(v ) = OA ∧ v
C
=
OC + CA
v
C
=
∧ v = OC ∧ v + CA ∧ v
v
O
+
∧v
omen o e una uerza respec o a un pun o
El momento de una fuerza respecto a un punto es el momentos y el origen de la fuerza y el vector fuerza .
vectores
omen o e un vec or es zan e respec o a un e e
ye e u ee del momento de un
O
punto O
A
M O ( v ) recta
proy
= M O
cos ϕ = M O ·u recta
s emas e vec ores es zan es
Constituidos or n vectores deslizantes
v1
v2
v3
vn
vectores que constituyen el sistema
R = v1 + v 2 +v3 + ....... + vn
v2
3
vn
v1
s emas e vec ores es zan es
omento resu tante respecto a un punto : es la suma vectorial de los n momentos, respecto al punto P, de los n vectores que constituyen el sistema
P
C
=
P
=M
1
P
+M
2
v
.......
P
+ ....... + M
n
v
v
1. No es independiente del centro de momentos. El momento respecto a O es distinto que respecto a P 2. Ecuación del cambio de momentos
'
O'
CO '
+
=
1
1
'
2
O ' O + OA1
O ' O + OA3
'
2
∧ v1 +
∧ v3 + ...
3
3
... '
O ' O + OA2
O ' O + OAn
n
∧ v2 +
∧ vn =
n
Para que el momento sea independiente del punto respecto del que se calcula el momento
O'
=
O
=
O ''
= ....
CO '
M
= CO + O ' O ∧ R
'
s emas e vec ores es zan es. ares
Un sistema de vectores deslizantes, cuya resultante es nula y el momento resultante es independiente del punto respecto al que se calcula el momento equivale a un par
Un ar está formado or dos vectores de i ual módulo direcciones paralelas y sentidos opuestos
s emas e vec ores es zan es. ares
C A
= AA ∧ (−v ) + AB ∧ v = AB ∧ v
v
A B
−
C B
C M
= BA ∧ (−v ) + BB ∧ v = AB ∧ v
= MA ∧ (−v ) + MB ∧ v = − MA ∧ v + MB ∧ v = AB ∧ v
s perpen cu ar a p ano que e erm nan os vec ores
=
v
−
A
B
El momento del par es un vector perpendicular a ambos vectores y su módulo es igual al área del paralelogramo
Invariantes de un sistema de vectores deslizantes Ma nitudes momentos
ue no cambian al cambiar el centro de
. , , la norma son independientes del centro de momentos
R = v1 + v 2 +v3 + ....... + vn
R
R
2
=
2
R x
= Rx i + Ry j + Rz k
+ Ry2 + Rz2
= R x2 + R 2 + Rz2
nvar an es e un s s ema e vec ores es zan es . resultante respecto a un punto cualquiera
R·CO
= R·C A = R·CB = ........ = R·CP = Cte
3.Cociente entre el segundo invariante y el primero. También se denomina momento mínimo or coincidir con el valor mínimo que tiene que tener el momento resultante
R·C O
R
=
R·C A
R
=
R·C B
R
= ....... =
R·C P
R
= Cte
s emas e vec ores es zan es.
·
O
R
C ·u cos ϕ
=
CO cos ϕ1
=
·
R
C ·u cos ϕ
=
A
C A cos ϕ 2
·
= =
=
R
= ....... =
C ·u cos ϕ
resultante
P
R
= Cte
= ....... C
·u cos ϕ
= ....... CP
cos ϕ n
CB cos ϕ3
de la resultante
·
momento, respecto a A, sobre la
B
momento, respecto a O,
nvar an e
= Cte
= Cte
Proyección del momento, respecto momento, respecto a M, sobre la a B, sobre la dirección de la resu an e resultante
s emas e vec ores es zan es.
nvar an e
Cuanto mayor es el módulo del momento menor es el coseno del ángulo (y mayor es el ángulo) y viceversa
Cuando el ángulo es cero, el coseno toma el máximo valor, y el momento toma el mínimo
O
1
=
A
2
=
B
3
= ...... =
P
n
=
min
=
min
=
e cen ra
e un s s ema e vec ores es zan es
Lugar geométrico de los puntos del espacio, respecto de los cuales el momento es mínimo (por tanto, paralelo a la resultante general)
C
a
C a
C f
C
c
C d
e
e
d
e cen ra
e un s s ema e vec ores es zan es
E
x − x R x
R O
=
=
min
− Ry
=
z−z Rz
s emas e vec ores es zan es concurren es Sistema de vectores deslizantes cuyas líneas de acción pasa por un punto denominado punto de concurrencia
v1
A1
2
A
s emas e vec ores es zan es concurren es
El momento resultante res ecto al unto de concurrencia es nulo, por tanto el punto de concurrencia ertenece al e e central v1
A1
v2 A
C C
2
AA∧∧v v= = AA ∧∧vv ++AA == AA 00
eorema e ar gnon
El momento resultante de un sistema de vectores deslizantes concurrente, respecto a un punto cualquiera del espacio, es igual al momento respecto a dicho punto e momen o resu an e cuan o s a es ap ca a en e punto de concurrencia
v1
A A2
v2
A
C
= OA ∧ R
er va a e una unc n vec or a
=
r (t + ∆t ) = x (t + ∆t )i
+ y (t + ∆t ) j + z (t + ∆t )k
∆ r ( t ) = [ x ( t + ∆ t ) − x ( t ) ] i + [ y ( t + ∆ t ) − y ( t ) ] j + [ z ( t + ∆ t ) − z ( t ) ] k =
= ∆ xi + ∆
+ ∆ zk
t
t+∆t
r (t )
r t + ∆t
