INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
PRACTICAS DE LABORATORIO DE SEÑALES Y VIBRACIONES
DR. PABLO R. LIZANA PAULIN MARZO DE 2014
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ACADEMIA DE ACÚSTICA
LABORATORIO DE SEÑALES Y VIBRACIONES
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ÍNDICE INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN 1.- El sonómetro. 2.- Estudio del fenómeno de interferencia. 3.- Medición de la velocidad del sonido. 4.- Análisis del ruido con un sonómetro. 5.- Análisis de la frecuencia de resonancia en cuerdas. 6.- Análisis de la frecuencia de resonancia en tubos cerrados por un extremo. 7.- Análisis de la frecuencia de resonancia en los tubos abiertos por ambos extremos. 8.- Análisis de la frecuencia de resonancia de los tubos de órgano. 9.- Análisis de la frecuencia de resonancia de un resonador de Helmholtz. 10.- Análisis de la frecuencia de resonancia en placas.
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INTRODUCCIÓN El Laboratorio de Señales y vibraciones, es el complemento de la materia de señales y vibraciones que es impartido en el sexto semestre de la carrera de ingeniería en comunicaciones y electrónica de la ESIME. El Laboratorio trata de vincular la Teoría con la práctica. Aquí en el Laboratorio de Acústica el alumno experimentará con tos fenómenos acústicos y también aprenderá a usar el equipo especializado en Acústica. La importancia de las ondas de frecuencia audible, justifica el estudio de la Acústica, ciencia que se encarga del estudio y análisis de la propagación de las perturbaciones en los medios elásticos y particularmente de su comportamiento en la percepción del sonido en el oído humano. También se encarga de la conversión de la energía acústica en energía eléctrica y viceversa (electroacústica). En la actualidad es común que el estudio de la Acústica incluya también frecuencias de ultrasonidos (frecuencias más altas al rango de audibilidad) y de infrasonidos (frecuencias más bajas que el rango de audibilidad). Como en muchas de otras ramas de la ciencia los mayores avances de la Acústica han sido por percepción empírica. Esto se debe principalmente a que los problemas que se presentan son muy complicados para ser tratados como planteamientos teóricos únicamente. Existen pocas situaciones en la cual sea necesario considerar menos de tres dimensiones; la mayoría de los fenómenos acústicos son de naturaleza transitoria; las condiciones de frontera a las cuales debe de ajustarse una onda sonora o la energía acústica, requieren de números complejos para su completa especificación. El sonido contiene componentes que cubren un ancho de banda de 20 Hz a 20 kHz, su intensidad varía entre los dos límites de audibilidad, involucrando el límite superior con energías millones de veces al de límite inferior. Las ecuaciones que dan lugar a fenómenos relativamente simples de la Acústica, resultan tan complicados que frecuentemente es necesario hacer un gran número de suposiciones simplificables que restringen su tratamiento a una porción de rango de frecuencias y a sus limitadas condiciones de frontera. Existe una tercera rama de conocimiento, igualmente importante que juega un papel destacado en la Acústica: La psicología, la música, la voz y el ruido. Estos son producidos y/o controlados por su efecto psicológico de los seres humanos. Dr. Pablo R. Lizana Paulin Febrero de 2014
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OBJETIVO TERMINAL
Al terminar el curso de Laboratorio de señales y vibraciones, el alumno describirá algunos fenómenos del sonido y de las vibraciones mecánicas. PRACTICA # 1
EL SONÓMETRO INTRODUCCIÓN El sonómetro, se utiliza en la medición de niveles de presión sonora. Éste consiste en un micrófono, un amplificador y una escala que da la lectura de la medición en decibeles (dB). El micrófono del sonómetro transforma las ondas de presión sonora que son captadas por él, en fluctuaciones eléctricas, esta señal es amplificada lo suficiente para que puedan ser observadas en su escala o bien para que estas señales puedan ser grabadas por cualquier método conocido. El decibel se define así: NI = 10 log I/Io (dB)……………………..(1) NIS = Es el Nivel de Intensidad Sonora I = Intensidad del sonido (watts/m2) Io = Intensidad de referencia (10-12 watts/m2) El Nivel de Presión Sonora es igual a: NPS = 20 log P/Po (dB)……………………(2) NPS = Es el Nivel de Presión Sonora P = Presión Acústica (Pa) Po= Presión Acústica de referencia (2 x 10-5 Pa) En la ecuación 2 se puede notar que si se dobla la presión acústica aumentará el NPS en aproximadamente 6 dB; si se cuadriplica la presión acústica habrá un aumento de 12 dB en el NPS, y si la presión acústica se incrementa 8 veces el NPS aumenta 18 dB. Otra de las características que debe tener el sonómetro es que debe de responder de forma similar al oído humano subjetivamente, por lo que se han incluido 2 curvas de respuesta subjetiva del oído humano, una de ellas es la de Fletcher y Munson y la otra de Churcher y King (figuras 1.1a y 1.1b), en ellas se podrá observar que el oído humano no es igual de sensitivo a todas las frecuencias, por ejemplo: en la figura 1a, si se considera una frecuencia de 60 Hz con un NPS de 70 dB éste sonido tendrá la misma sonoridad en fonos que un tono dé 1000 Hz a 40 dB esto parece ser muy sencillo, pero construir un circuito similar en el sonómetro cuyas características varíen de igual modo o similarmente a las curvas de sonoridad subjetiva del oído humano es muy complicado. Esto dio como resultado que se diseñaran 4 tipos diferentes de circuitos para el sonómetro, que son conocidos como curvas de ponderación por convención internacional A,-B, C y D (figura 1.2 ). Con el fin de que obtengan resultados consistentes y fiables en el sonómetro las normas internacionales de precisión han especificado que el movimiento de la aguja indicadora del medidor de nivel de sonido deberá tener dos modos de atenuaci6n. El 5
primero será un movimiento rápido de la aguja para mediciones de NPS razonablemente estables y el segundo será lento, que nos sirve para dar una respuesta más amortiguada. Generalmente esta escala se usa cuando los niveles de presión sonora son muy fluctuantes. Cuando se desee medir sonidos impulsivos de corta duración, tales como el ruido de una punzadora y donde lo único que importa son los niveles máximos de presión sonora. La sociedad de normas internacionales prescribe la inclusión en el sonómetro de un modo impulsivo especial de amortiguamiento. Este modo tiene una constante de tiempo de formación de 35 mseg, el sonómetro recibe el sonido impulsivo, la aguja comienza a subir hasta que llega a su valor máximo, se detiene unos momentos y luego comienza a decaer lentamente. Sin embargo para valorar los riesgos de sesión auditiva con niveles impulsivos se considera más importante la medida de los niveles absolutos de pico y por ello algunos sonómetros incluyen también modos de medición de valores pico. MATERIAL A EMPLEAR 1) Un sonómetro, con escalas de ponderación A y C 2) Una fuente de ruido 3) Un flexómetro DESARROLLO DEL EXPERIMENT0 Antes de iniciar esta práctica se deberá de comprobar si el sonómetro tiene suficiente carga en sus baterías para hacer las mediciones correctamente. Después se procederá a colocar el equipo según se muestra en la figura 1.3. Deberán de hacer las mediciones de nivel de presión sonora de la fuente de ruido a una distancia no mayor de 60 cm, utilizando las diferentes curvas de ponderación del sonómetro.
Figura 1.1a. Curvas de Fletcher y Munson (EUA).
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Figura 1.1b. Curvas de Churcher y King (Inglaterra).
Figura 1.2. Curvas de ponderación por convención internacional A, B, C Y D del sonómetro. En la escala “A” su respuesta disminuye mucho a bajas frecuencias. Por ejemplo si tenemos un tono de 50 Hz en la escala de ponderación “A” este valor será menor 30 dB que uno de 1 KHz. En la curva de ponderación “C” solamente se tienen pequeñas diferencias menores de 1 dB entre las frecuencias de 63 y 4 KHz. La curva de ponderación “D” aumenta en las frecuencias altas de audibilidad.
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Figura 1.3. Modo de operar practica 1
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PRACTICA # 2 ESTUDIO DEL FENÓMENO DE INTERFERENCIA INTRODUCCIÓN Cuando dos o más grupos de ondas atraviesan simultáneamente un medio puede dar origen a ciertos efectos conocidos como interferencia. Las pulsaciones son un fenómeno que se produce por la interferencia o combinación de dos frecuencias diferentes pero muy próximas entre sí. La amplitud total de las pulsaciones es la suma o resta aritmética de las amplitudes de las dos ondas. Esto produce alternativamente una interferencia constructiva y destructiva que causa la impresión de que el sonido es continuo y que sólo varía en intensidad. El número de pulsaciones por segundo es igual a la diferencia de frecuencias de las dos ondas (ecuación 1). Cuando las pulsaciones de las dos son mayores de 20 Hz, no es posible detectar el fenómeno de forma auditiva.
F1 − F2 = n/t ………………….(1) Donde: F1 = Frecuencia del primer diapasón (Hz) F2 = Frecuencia del segundo diapasón (Hz) n = Número de pulsaciones t = Tiempo de las pulsaciones (seg.) Debe tenerse presente que las pulsaciones son variaciones de una onda resultante y no dicha onda. En el caso particular de que se tengan dos ondas de igual amplitud, la amplitud resultante varía entre el doble de la amplitud y cero. La forma de onda resultante de las pulsaciones no es exactamente una senoide. Con el fenómeno de pulsaciones se hace posible la afinación de instrumentos musicales. MATERIAL A EMPLEAR 1) Un tubo de quinqué 2) Tres soportes para el tubo de quinqué 3) Dos acopladores para el tubo de quinqué 4) Un oscilador de audio 5) Un amplificador de audio con altavoz direccional 6) Un osciloscopio 7) Un juego de puntas de prueba con estrada al osciloscopio 8) Un micrófono 9) Un sonómetro DESARROLLO DEL EXPERIMENTO 1. Se procederá a colocar el equipo según se muestra en la figura 2.1. En el punto A se coloca un oscilador de audio para excitar el sistema, este tiene una frecuencia determinada y en el punto D se medirán los valores máximos y mínimos con el sonómetro. Las ondas seguirán dos trayectorias. La trayectoria A, B, D y la A, C, D (figura 2.2). Si estas distancias son iguales las ondas llegaran en fase al punto D, formándose la interferencia constructiva, pero si varía una de esas distancias y las ondas llegan al punto 9
D, 180° fuera de fase una de la orea, se formará la interferencia destructiva. También puede darse el caso de que la interferencia sea totalmente constructiva o destructiva.
Figura 2.1. Modo de operar prácticas 2 y 3.
Figura 2.2. Tubo de quinqué.
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PRACTICA # 3 MEDICIÓN DE LA VELOCIDAD DEL SONIDO INTRODUCCIÓN La velocidad del sonido (c) de una onda acústica que se propaga en un medio fluido está definida como:
c=
dP ……………(1) dρ
Donde: dP/dρ esta representando a un gas en un medio adiabático en condiciones equilibradas de presión (P) y densidad (ρ). Esto es un atributo del medio que depende de sus condiciones elásticas y de sus variables termodinámicas (temperatura, presión y densidad). Cuando una onda de sonido se propaga a través de un gas, la ley adiabática que relaciona a la presión y densidad se expresa así: P = K ………………(2) ργ Donde γ es la razón del calor específico del gas a presión y volumen constante. Diferenciando la ecuación 2: dP γP = …………………………(3) d ρ Sustituyendo la ecuación 3 en 1: c=
γP ………………………….(4) ρ
Si sustituimos los valores de γ, P y ρ. Para una temperatura a 0°C en condiciones de equilibrio de presión y densidad. La velocidad del sonido a 0°C es igual a: γ = 1.402 P = 1.013 x 105 pascales ρ = 1.293 kg/m3 c0 =
1.402 x1.013 x10 5 = 331.6 m …………….(5) seg 1.293
La presión y la densidad aumentan proporcionalmente en la mayor parte de los gases, por lo que podría decirse que la velocidad del sonido es independiente a los cambios de presión atmosférica y obviamente también a la altura (Ecuación 1). Realmente lo anterior no es cierto debido a que la atmósfera no es un medio homogéneo e isotérmico. Una ley general del estado gaseoso es:
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P = rT …………………….(6) ρ Donde r es una constante que depende del gas que se esté considerando y T es la temperatura absoluta en grados Kelvin. Donde: T = t + 273 ………………..…(7) t = es la temperatura en grados centígrados Sustituyendo a “c” de la ecuación 4 en la 6:
c = γrt …………………….(8) En esta ecuación se ve que la velocidad del sonido es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta. Entonces podría ser propuesta una ecuación de la velocidad del sonido a cualquier temperatura:
c = c0
T t = c0 1+ …………………..(9) 273 273
En caso de que la temperatura sea muy pequeña y este limitada entre -30°C ≤ t ≤ 30°C se podría aproximar a la ecuación 9: C = 331 .6 + 0.6t …………………….(10)
MATERIAL A EMPLEAR 1) Un tubo de quinqué 2) Tres soportes para el tubo de quinqué 3) Dos acopladores para el tubo de quinqué 4) Un oscilador de audio 5) Un amplificador de audio con altavoz direccional 6) Un sonómetro 7) Un termómetro DESARROLLO DEL EXPERIMENTO Se procederá a colocar el equipo según se muestra en la figura 2.1. Deberán encontrar la velocidad del sonido a partir de la siguiente ecuación: Donde:
C = λf ……………… (1)
F es la frecuencia determinada en el oscilador de audio (Hz). Ustedes deben de proponer la frecuencia. λ es la longitud de onda (m). Siendo establecido este valor por la distancia entre dos máximos o dos mínimos, con el método propuesto en la práctica #2. Deberán de encontrar los valores máximos y mínimos en el tubo de quinqué. “c” es la velocidad del sonido (m/seg.).
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PRACTICA # 4 ANÁLISIS DEL RUIDO CON UN SONÓMETRO INTRODUCCIÓN El sonido es común en cualquier parte de la vida diaria, por lo que raramente apreciamos todas sus funciones. El sonido nos permite gozar de agradables experiencias, corno escuchar la música o el canto de los pájaros, también nos pone alerta al escuchar el timbre de una fábrica o un teléfono. Con el sonido se puede evaluar o diagnosticar, como un ejemplo: el sonido de las válvulas de un autom6vil. Actualmente la sociedad produce sonidos molestos llamados “ruido”. Sin embargo muchos de esos ruidos molestos dependen no solo de su calidad, sino de nuestro estado de ánimo, como un ejemplo el ruido que producen los motores de un avión a reacción para un piloto serán de mucha utilidad pero para una persona en agonía serán muy desagradables. Para medir los niveles de ruido se han construido los sonómetros con los que se pueden obtener muchos datos para la reducción o control del ruido. Si se hacen unas pocas mediciones con un sonómetro utilizando las escalas de ponderación A, C se pueden conocer enseguida si el ruido en las inmediaciones de los cruces y avenidas de intenso tráfico en zonas urbanas, de aeropuertos, de astilleros, de fábricas, etc. es solo molestia aceptable o constituye una amenaza real para la salud de los residentes locales o los obreros de la zona. Con éstas mediciones se pueden adoptar decisiones para eliminar o atenuar el ruido. Como ejemplo de control y reducción de ruido de tráfico rodado o aéreo se pueden tratar cambiando las rutas de los vehículos y los aviones. El ruido de las máquinas de los astilleros y de las zonas de obras se pueden tratar levantando barreras o pantallas temporales para absorber o reflejar el ruido. En los medios industriales pesados, en los que es probable que el ruido de las máquinas y otras fuentes constituyan un serio riesgo de lesión auditiva, se pueden usar sonómetros personales (dosímetros). Estos aparatos miden y calculan el tanto por ciento de la dosis máxima permitida que el usuario recibe en una jornada de 8 horas, en general este limite es fijado por las leyes del país para la protección de la salud de los obreros (reglamento para la prevención y control de la contaminación ambiental originada por la emisión de ruidos). Si dicho valor sobrepasa los limites de seguridad y el nivel de ruido no se puede reducir a un valor de seguridad, el problema se puede resolver colocando pantallas absorbentes o aislantes en torno a la fuente de ruido. En caso de no ser posible hacer lo anterior habrá que pensar en dotar a los trabajadores de protectores auriculares o hacer que trabajen parte de su jornada en zonas más silenciosas. MATERIAL A EMPLEAR 1) Un sonómetro 2) Un flexo metro 3) Una fuente de ruido DESARROLLO DEL EXPERIMENTO (a) Parte 1. Se coloca el sonómetro como se muestra en la figura 4.1 2. Se toma la lectura del NPS del sonómetro. 3. Se mide la distancia a la que se encuentra el MSN de la fuente de ruido. 4. Se coloca el sonómetro a 45° de la primera posición. 13
5. Seguidamente se mide la distancia del micrófono del sonómetro de la fuente de ruido, manteniéndose constante el NPS tomado en la primera lectura. 6. Esto deberá hacerse cada 45° grados alrededor de la fuente de ruido hasta haber completado los 360°.
Figura 4.1. Modo de operar práctica 4a.
Figura 4.2. Modo de operar práctica 4b.
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PRACTICA #5 ANÁLISIS DE LA FRECUENCIA DE RESONANCIA EN CUERDAS INTRODUCCIÓN Si una cuerda se mueve con movimientos transversales, la onda se desplaza a lo largo de la cuerda, produciéndose una onda estacionaria causada por la reflexión en sus extremos fijos. El tono de una cuerda es determinada por su frecuencia de vibración y la intensidad del sonido esta determinada por la cantidad de energía que se transmite a lo largo de la cuerda. Una cuerda tiene su masa distribuida uniformemente a lo largo de su longitud. Siendo este el caso más sencillo de un sistema con un número infinito de frecuencia de vibración. La tensión de las cuerdas es un factor importante en la determinación de la frecuencia. Hay cuatro leyes que rigen la frecuencia de vibración de una cuerda. 1. La frecuencia de vibración es inversamente proporcional a la longitud de la cuerda. 2. La frecuencia de vibración es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión a la que está sometida la cuerda. 3. La frecuencia de vibración es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad del material de la cuerda. 4. La frecuencia de vibración es inversamente proporcional al diámetro de la cuerda. Para nuestro estudio podemos definir a una cuerda como un filamento de material sólido, perfectamente flexible y elástico, de sección constante y sujeta a una tensión en ambos extremos. Al vibrar la cuerda, hay un nodo en cada uno de sus extremos debido a que están fijos, la cuerda puede vibrar como uno o más segmentos de igual longitud, formándose a la mitad de ellos un antinodo. En la figura 5.1 se muestran varios modos de vibración. Podemos resumir que la relación de la longitud de la cuerda a la longitud de onda: l=n
λ l n
λ ……………………..(1) 2
Es la longitud de onda asociada con cada patrón de vibración. Es la longitud de la cuerda. Es un número entero y positivo (1,2,3,……)
De ahí que las posibles frecuencias de vibración queden determinadas por: F=
nc ……………………(2) 2l
Siendo “c” la velocidad de propagación de las ondas transversales a lo largo de una cuerda estirada. Donde: c=
T ……………………(3a) λ
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F=
2 T …………………..(3b) ld πρ
T Es la tensión a la que está sometida la cuerda (Newtons) ρ Es la densidad lineal (kg./m) Es la densidad volumétrica (kg/m3) d Es el diámetro de la cuerda (m) F=
n dl 2
T …………………….(4) πρ
De donde se deducen las leyes enumeradas al principio de esta práctica.
MATERIAL A EMPLEAR 1) Un bicordio 2) Una cuña 3) Un estroboscopio 4) Un flexómetro 5) Un vernier DESARROLLO DEL EXPERIMENTO a) Se procederá a colocar el equipo según se muestra en la figura 5.2a. Para una longitud constante de cuerda, varíe su tensión con el dinamómetro. Se excita la cuerda en la parte media, seguidamente se varía la frecuencia del estroboscopio hasta que se vea claramente el movimiento de la cuerda. (Debe tenerse cuidado de que muchas veces se ve, no la frecuencia fundamental, sino alguna de sus armónicas). Debiendo encontrar la frecuencia de resonancia de la cuerda para tres diferentes tensiones de la cuerda. Seguidamente se calcula las frecuencias de resonancia de la cuerda con la ecuación 4 de esta práctica. Estos valores deben de ser comparados con los que fueron obtenidos experimentalmente. b) Se procederá a colocar el equipo como se muestra en la figura 5.2b, para una tensión constante varíe la longitud de la cuerda con la cuña. Se excitara la cuerda en la parte media de su longitud, luego se varía la frecuencia del estroboscopio hasta que se vea con cierta claridad el movimiento de la cuerda. Deberá de encontrase la frecuencia de resonancia de la cuerda con tres diferentes longitudes, seguidamente se calcula la frecuencia de resonancia de la cuerda por medio de la ecuación 4 de esta práctica. Debiendo comparar estos resultados con los que fueron obtenidos experimentalmente.
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Figura 5.1. Modos de vibración en las cuerdas.
Figura 5.2. Modo de operar la práctica 5.
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PRACTICA #6 ANÁLISIS DE LA FRECUENCIA DE RESONANCIA EN TUBOS CERRADOS POR UN EXTREMO INTRODUCCIÓN Si se considera un tubo de sección uniforme con un extremo cerrado y en su extremo abierto tiene un pistón plano que se mueve con movimiento armónico simple, este movimiento ocasiona que en el extremo cerrado del tubo el desplazamiento de la energía acústica o sonora sea mínimo y su presión máxima en el extremo abierto el desplazamiento de las partículas es máximo y su presión mínima. Figura 6.1 La ecuación de movimiento de las ondas planas es: 2 ∂2y 2 ∂ y = c ……………………..(1) ∂t 2 ∂x 2
Proponiendo una solución para la ecuación 1: ξ = Ae j( wt −kx ) + Be j( wt +kx ) …………(2) Las condiciones de frontera para un tubo cerrado por un extremo son: x=0;
Para x = 0;
∂ξ = 0 y x=1; = 0 ∂x ∂ξ =0 ∂x ∂ξ = AKe j( wt −kx ) + BKe j( wt −kx ) ∴⇒ B = A ……….(3) ∂x
y en el extremo donde x = 1; ξ = 0 0 = Ae − jkl + Be jkl …………………(4) Ahora sustituyendo la igualdad 3 en la ecuación 4: 0 = e − jkl + e jkl ……………………(5) Aplicando la ecuación de Euler: Coskl =
1 − jkl (e + e jkl ) 2
Coskl = 0 ……………………..(6) Pero la ecuación 6 solo se cumple cuando: Kl = (2n − 1) π
2
……………..(7)
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Para n = 1,2,3,...n Sustituyendo el valor de k = ω F=
C
y después al de 2, la ecuación 7 queda:
(2n − 1) c ………………….(8) 4l
MATERIAL A EMPLEAR 1) Dos tubos cerrados por un extremo de diferentes dimensiones 2) Dos soportes para los tubos 3) Un amplificador de audio 4) Un oscilador de audio 5) Una caja de aserrín 6) Un flexómetro 7) Un vernier 8) Un altavoz direccional 9) Un sonómetro DESARROLLO DEL EXPERIMENTO Se procederá a colocar el equipo como se muestra en la figura 7.2a. (Solo que en este caso se pone el tubo cerrado por un extremo) 1. Se coloca dentro del tubo una cantidad moderada de aserrín o arena, bien distribuido a lo largo de él. 2. Se varía la frecuencia del oscilador hasta que en algún momento el aserrín que se encuentra dentro del tubo comience a vibrar y a moverse. Esto indica que se ha encontrado la frecuencia de resonancia del tubo o alguna de sus armónicas. Dependiendo de los nodos que se formen en el aserrín. Deberá de encontrarse la frecuencia de resonancia de los tubos, así como dos de sus armónicas. Los resultados obtenidos por el método anterior deberán de ser comprobados por medio de la ecuación 8 de esta práctica.
Figura 6.1. Tubos cerrados por un extremo.
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PRACTICA #7 ANÁLISIS DE LA FRECUENCIA DE RESONANCIA EN LOS TUBOS ABIERTOS EN AMBOS EXTREMOS INTRODUCCIÓN Cuando se propagan ondas planas en el exterior de un tubo de sección uniforme que tiene ambos extremos abiertos, una parte de la energía sonora se radia fuera del tubo y otra se refleja formando con la onda incidente una onda estacionaria en el interior del tubo, la presión en ambos extremos es mínima y el desplazamiento es máximo. Figura 7.1 ξ = Ae j( wt −kx ) + Be j( wt +kx ) ……………….. (1) Las condicione de frontera para los tubos abiertos en ambos extremos son: x = 0 en ξ = 0 Donde:
y
x = 1 en ξ = 0
x = 0 en ξ = 0 0 = A + B,
y en el extremo :
A = - B …………..(2)
x = 1 en ξ = 0 0 = Ae − jkl + Be jkl
pero: A = -B Entonces: 0 = Ae − jkl − Be jkl Aplicando la ecuación de Euler: Senkl = La ecuación 3 quedaría como:
1 − jkl (e − e jkl ) 2j
senkl = 0
La ecuación anterior solo se cumple cuando: kl = n, para n = 1,2,3,…………….(6) Sustituyendo a K por w/c y a w por (2πF), la ecuación 6 quedaría: F=
nc ………………………. (7) 2l
Que es la frecuencia de resonancia de un tubo abierto en ambos extremos.
MATERIAL A EMPLEAR 1) Un flexómetro 2) Dos tubos abiertos en ambos extremos de diferentes dimensiones 3) Dos soportes para los tubos 4) Un oscilador de audio 20
5) 6) 7) 8) 9)
Un amplificador de audio Una caja de aserrín Un vernier Un altavoz direccional Un sonómetro
DESARROLLO DEL EXPERIMENTO 1. Se procederá a colocar el equipo como se muestra en la figura 7.2a. 2. Se coloca dentro del tubo una cantidad moderada de aserrín, bien distribuida a lo largo de él. 3. Se varía la frecuencia del oscilador de audio hasta que con alguna frecuencia el aserrín que se encuentra dentro de él comience a vibrar y a moverse. Esto indica que se ha encontrado la frecuencia de resonancia del tubo o alguna de sus armónicas. 4. Deben encontrarse las frecuencias de resonancia de cada uno de los tubos, así como dos de sus armónicas. Los resultados anteriores deben de ser comprobados por medio de la ecuación 7 de esta práctica.
Figura 7.1. Tubos abiertos por un extremo.
Figura 7.2. Modo de operar práctica 6 y 7.
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PRACTICA # 8 ANÁLISIS DE LA FRECUENCIA DE RESONANCIA DE LOS TUBOS DE ÓRGANO INTRODUCCIÓN La producción de sonidos musicales por medio de los tubos de órgano es un ejemplo del fenómeno de la resonancia acústica en los tubos. Los tubos de órgano producen columnas de aire en si interior, cuando son excitados por una fuerza externa. Existen dos formas fundamentales de generar dichas columnas de aire: Una es por medio de la vibración de una lengüeta y la segunda es por medio de la formación de vértices en una corriente de aire. La primera forma es cuando, una corriente de aire es forzada a pasar por un orificio obturado por una lengüeta, la colocación de la lengüeta es tal, que al pasar el aire por ella, esta vibra, al vibrar la lengüeta interrumpe periódicamente la corriente de aire que entra por el orificio. Debido a lo anterior se producen ondas sonoras. Cuando estas ondas son aplicadas al extremo de excitación del tubo y si su frecuencia es igual a la frecuencia de resonancia propia del tubo, estas ondas se reforzarán notablemente, produciéndose así los sonidos musicales en los tubos de órganos. La segunda forma de excitación es cuando, una corriente de aire es forzada a pasar por una abertura, a la salida de la abertura se coloca un obstáculo en forma de cuña, este obstáculo divide al chorro de aire en dos partes formándose vórtices en cada lado de la ranura. Estos vórtices originan que el aire en ese lugar sea puesto en vibración, la vibración que se produce es de tipo complejo, ya que tiene componentes armónicas de diferentes frecuencias. Cuando la perturbación del aire en forma de vórtice es aplicado a un extremo del tubo y si una de estas frecuencias de vibración de los vórtices de aire coincide con la frecuencia de resonancia del tubo, la intensidad del sonido se refuerza considerablemente, produciendo así el sonido musical deseado. Cuando se fabrican los tubos de órgano del 2° tipo descrito anteriormente, una parte de su pared es empleada como obstáculo, como se muestra en la figura 8.1. Los tubos de órgano del tipo de vórtice produce características de sonido que dependen principalmente de: 1) El gasto de la corriente de aire empleada para producir la excitación. 2) La distancia que separa a la cuña empleada como obstáculo y el lugar de donde sale la corriente de aire que se emplea en excitar al tubo. 3) El ángulo de la abertura obstáculo en forma de cuña. 4) La longitud física del tubo resonante. 5) La forma del tubo. El estudio matemático del fenómeno acústico que se produce en un tubo de órgano es muy complicado, por lo que en la práctica se acostumbran a emplear normas empíricas en la construcción de los tubos de órgano. Por lo que la fabricación de tubos de órgano es más bien un arte que una ciencia. Sin embargo es posible determinar la frecuencia principal de resonancia de los tubos de órgano, aplicando los conocimientos adquiridos en el estudio de resonancia en tubos. Para calcular la frecuencia de resonancia en los tubos de órgano se emplean las mismas ecuaciones de los tubos comunes (ecuaciones 1a y 1b).
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fr =
fr =
nc ……………(1a) 2le
(2n − 1) C …………..(1b) 4le
Para tubos de órgano abiertos
Para tubos de órganos cerrados
En el presente caso, la longitud efectiva que se considera está dada por la siguiente ecuación:
le = lr + ∆1l + ∆ 2 l ………………..(2) Donde: le = Valor de la longitud efectiva del tubo (m) lr = Valor de la longitud real del tubo (m) ∆1l = Valor del incremento de la longitud, debido a la corrección que sufre, por la forma de su extremo de excitación (∆ 1 l = 1.7a) ∆ 2 l = Valores del incremento de la longitud, debido a la corrección que sufre, por la forma de su extremo de excitación ( ∆ 2 l = 0.6a) . Esta corrección del tubo es solo válida cuando es abierto. En caso de que el tubo sea cerrado, esta corrección es nula. a = Radio interior del tubo de órgano (m)
MATERIAL A EMPLEAR 1) Tres tubos de órgano de diferentes dimensiones, dos metálicos y uno de madera. 2) Un excitador de viento. 3) Un conducto de hule para conectar al excitador de viento con la caja de viento. 4) Una caja de viento. 5) Un vernier. 6) Un flexómetro. 7) Un micrófono. 8) Un osciloscopio. 9) Un oscilador de audio. 10) Un juego de puntas de prueba con entrada al osciloscopio. DESARROLLO DEL EXPERIMENTO Se procederá a colocar el equipo según se muestra en la figura 8.2. Se enciende el compresor, se abre la válvula del tubo de órgano que se va a medir (uno por vez). Seguidamente se varía la frecuencia del oscilador de audio hasta que se encuentre alguna figura conocida de Lissajous en la pantalla del osciloscopio. (Relación de frecuencias 1:1, 1:2, 1:3, etc.). Esto está indicando que se ha encontrado la frecuencia de resonancia o alguna de las armónicas del tubo de órgano. Deberán encontrar la frecuencia de resonancia de los tres tubos de órgano. Estos resultados tienen que ser comparados y comprobados por medio de las ecuaciones 1a, 1b, y 2.
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Figura 8.1. Tubo de órgano.
Figura 8.2. Modo de operar práctica 8.
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PRACTICA # 9 ANÁLISIS DE LA FRECUENCIA DE RESONANCIA DE UN RESONADOR DE HELMHOLTZ INTRODUCCIÓN Helmholtz usó el principio de los resonadores en el análisis de sonidos complejos y en la detección de determinados sonidos que de otra forma serían inaudibles. Estos resonadores tienen la forma de una esfera hueca. Figura 9.1. El sonido entra por la abertura más ancha y la abertura más angosta se inserta al oído (figura 9.1c). Conforme al diseño original de Helmholtz cada resonador responde a una determinada frecuencia que depende de sus dimensiones. Actualmente estos resonadores se hacen de forma cilíndrica y son diseñados de tal manera que el volumen es ajustable. Si las dimensiones del resonador son pequeñas comparadas con la longitud de onda, su resonancia será de alta frecuencia. El resonador con el cual se trabajara en esta practica es similar al mostrado en la figura 22c, cuyo cuerpo está formado por una cavidad interior V y por un tubo de entrada a dicha cavidad cuya sección circular tiene un radio “a” y una longitud “l”. En el punto opuesto al tubo de entrada hay un pequeño orificio que sirve para poder medir la presión sonora que hay en el interior del tubo. Si excitamos a un resonador con una frecuencia pura pero variable encontraremos que existe una gran amplificación a cierta frecuencia la cual dependerá de sus dimensiones. Si aumentamos la frecuencia considerablemente, encontraremos tros picos de amplificación que no guardan ninguna relación armónica con la frecuencia de resonancia, pero algunas veces estos sobretonos si son armónicos entre si. Siendo producto estos sobretonos de la formación de ondas estacionarias dentro del resonador. Estas ondas estacionarias nada tienen que ver con las dimensiones del tubo de entrada, sino que dependen únicamente del volumen y forma del resonador. La ecuación del movimiento de los resonadores está dada por: P0l d2 ξ P0 CK 2 dξ P0 C 2 + + ξ = Pe jwt ………………………(1) s dt 2 2 dt V La solución a la ecuación 1 es: dξ Pe jwt = ……………………..(2) dt Z Donde “Z” es la impedancia acústica del resonador y es igual a: 1 Z = R + jX = R A + j( WM A − ) …………………(3) WC A Donde: ρ0l S Masa acústica en el tubo de resonador (kg/m4) MA =
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ρ 0 ck 2 RA = 2π Resistencia acústica del medio en el resonador (newtons-seg/m5) V ρ0c 2 Compliancia acústica en el volumen del resonador (m3/newton) X = Reactancia acústica en el resonador (Ώ acústicos) C = Velocidad del sonido ( c = 331 .6 + 0.6t ), (m/seg) cuando − 30 o C ≤ t ≤ 30 o t t = Temperatura en grados centigrados K = Número de onda k = w c ρ0 = Permitividad del aire a 0°C (1.41 kg/m2) s = Área de la boca de entrada al resonador ( s = πa 2 en m2) a = Radio de la boca de entrada al resonador (m) CA =
(
)
La resonancia en el resonador ocurrirá cuando su reactancia acústica sea igual a cero. lr = Longitud real (m) ∆l = 0.6a sin reborde ∆l = 0.85a con reborde l = Longitud efectiva (l = lr + 2∆l), (m) WM A −
1 = 0 ………………………(4) WC A
Si despejamos a W:
W=
1 s =C ………………(5) MC A lV
F=
c s ……………………….(6) 2π lV
Esta expresión nos da la frecuencia de resonancia de los resonadores de Helmholtz.
MATERIAL A EMPLEAR 1) Un oscilador de audio 2) Dos resonadores de Helmholtz de diferentes dimensiones 3) Un amplificador de audio 4) Un soporte para los resonadores 5) Un vernier 6) Una probeta graduada 7) Un sonómetro 8) Un altavoz direccional DESARROLLO DEL EXPERIMENTO Se procederá a colocar el equipo como se muestra en la figura 9.2. Primero de deberá de poner el osciloscopio en su frecuencia mínima, luego se varía su frecuencia hasta que el sonómetro marque el primer máximo. Esto estará indicando 26
que se ha encontrado la frecuencia de resonancia del resonador. Si se continúa aumentando la frecuencia del oscilador se encontrará la existencia de algunos sobretonos del resonador. Se deberá de comparar la frecuencia de resonancia del resonador encontrada experimentalmente con el resultado de la ecuación 6 de esta práctica. Con la probeta graduada se puede medir el volumen del resonador.
Figura 9.1. Resonadores de Helmholtz.
Figura 9.2. Modo de operar práctica 9.
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PRACTICA # 10 ANÁLISIS DE LA FRECUENCIA DE RESONANCIA EN PLACAS INTRODUCCIÓN Una manera de observar la forma como vibra una placa metálica que se encuentre sujeta en su centro y libre en sus bordes, consiste en espolvorearle sobre ella arena fina de cuarzo (en nuestra práctica utilizaremos aserrín). Al excitar la placa, con un vibrador, se observará que existen zonas donde se concentra el polvo y en otras donde se dispersa. Las líneas trazadas con los puntos en donde se mueve la arena son llamados zonas nodales y las figuras así formadas se denominan figuras de CHLADNI. La forma de la figura en la placa así formada depende de donde es excitada, de la forma de su superficie y de la manera como está sujetada. La vibración en dos superficies separadas por una línea nodal están defasadas 180° una de la otra, o lo que es lo mismo vibran en sentidos contrarios. El sonido emitido por una placa al vibrar tiene componentes inarmónicas; esto es, tendrá componentes que no son múltiplos exactos de su frecuencia de resonancia. Dependiendo estos valores principalmente de los ceros de la función de Bessel de primer orden.(Ecuación 20). En la figura 10.1 se muestran algunos ejemplos de estas figuras para placas cuadradas y redondas. En esta figura se han representado con líneas punteadas las líneas nodales, con “A” los puntos que permanecen fijos y con “B” los puntos de excitación. Las leyes de Chladni para la vibración en placas son: 1) La frecuencia de dos placas de forma similar y que muestren los mismos patrones nodales, varían con el grueso de la placa. 2) La frecuencia de resonancia de dos placas del mismo grueso que muestran los mismos patrones nodales, varían inversamente con el cuadrado de sus diámetros. Por ejemplo: Si una placa redonda o cuadrada tiene el doble de grueso y de diámetro que otra placa. Esta producirá una nota que es una octava inferior a la que produce la placa más pequeña. La ecuación de movimiento de una placa estará dada por:
∂2y k 2Y = (∇ r )4 y …………………(1) 2 2 ∂t ρ(1 − σ ) ρ = Densidad de volumen del material (kg/m3) σ = Razón de Poisson Y = Módulo de Young (newtons/m2) k = Radio de giro de superficie (para placas de grueso uniforme t) t k= 12 Proponiendo una solución para la ecuación 1: Y = Ψe jwt ……………………. (2)
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Donde ψ es una función de “r” y no de “t”. La ecuación 1 se reduce a:
(
)
ωρ 1 − σ 2 ∇ = ………………….. (3a) k2Y 4 r
Ψ = k 4 ψ …………………… (3b) K4 =
w 2 (1 − σ 2 ) …………………. (4) k2Y
Por lo tanto la ecuación 4 puede ser expresada como sigue:
(∇
4 r
)
− k 4 ψ = 0 …………………..(5)
Donde el operador ( ∇ r4 − k 4 ) puede ser expresado como:
(∇
2 r
)(
)
− k 2 ∇ r2 + k 2 ψ = 0 …………………(6)
Por lo tanto tiene dos soluciones, la primera es:
(∇
2 r
)
− k 2 ψ = 0 …………………. (7)
Esta ecuación es similar a una ecuación típica de Bessel del siguiente tipo: ∂ 2 ψ 1 ∂ψ + + K 2 ψ = 0 …………………(8) 2 ∂r r ∂r Por lo tanto la ecuación 7 queda como sigue: ψ = AJ0 (Kr ) ………………………(9) Y la segunda ecuación:
(∇
2 r
)
− k 2 ψ = 0 …………………. (10)
Esta ecuación es similar a la ecuación 7 sólo que para serlo se necesita reemplazar a k por jk, por lo tanto: ψ = BJ0 ( jkr ) ……………………(11) La ecuación anterior se acostumbre a escribir de la siguiente manera: ψ = BI0 (kr ) ……………………. (12) Donde I0 es una función hiperbólica de Bessel, cuya variable independiente tiene valores imaginarios. La solución compleja, es la suma de las dos ecuaciones 9 y 12 ψ = AJ0 (kr ) + BI0 (kr ) ……………………(13)
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Para placas circulares rígidamente sostenidas en su orilla donde r = a, sus condiciones de frontera son: ∂ψ =0 ∂r
Ψ=0 y
Aplicando la primera condición de frontera la ecuación 13 queda: 0 = AJ0 (Ka) + BI0 (Ka) …………………(14) Aplicando la segunda condición de frontera la ecuación 13 queda: 0 = AKJ1(Ka) + BKI1(Ka) …………………. (15) Las ecuaciones 14 y 15 quedan de la siguiente forma: AJ0 (Ka) = BI0 (Ka) ………………………. (16)
AJ1(Ka) = BI1(Ka) ……………………….. (17) Luego dividiendo una entre la otra: J0 (Ka) I (Ka) =− 0 ……………………….. (18) J1(Ka) I1(Ka) Como se podrá observar la ecuación 18 estará determinada por los valores de K. Los valores de I1 e I0 serán funciones positivas para todos los valores de Ka y solamente ocurrirá la solución cuando J1 y J0 sean de signo opuesto. Donde Ka solo se satisface con los valores siguientes:
Ka = 3.2, 6.3, 9.44, 12.57, etc.… O su valor aproximado de Ka. Ka = nπ (para n = 1, 2, 3,….) Despejando de la ecuación 4 a w nos queda: w = Kk
Y ……………(19) 1 − σ2
(
)
Sustituyendo a K= 3.2/a la frecuencia será: F1
2 ( 3 .2 ) =
2a
2
t Y t Y = 0.47 2 ……………….(20) 2 12 (1 − σ ) a (1 − σ 2 )
En tanto los sobretonos son:
30
2
6 .3 F2 = 3 .2 F2 = 3.88F1 F3 = 8.7F1 MATERIAL A EMPLEAR 1) Tres juegos de placas de Chladni 2) Un vibrador 3) Una caja de aserrín o arena 4) Un oscilador 5) Puntas de prueba
DESARROLLO DEL EXPERIMENTO Para poder observar mejor las vibraciones de una placa utilizaremos el método de la imagen sobre la arena o aserrín. Este método consiste en tener una placa delgada de metal, que se fija en su centro (figura 10.2). Espolvoreándole un poco de arena o aserrín en toda su cara superior de preferencia poca cantidad con el objeto de que las figuras de Chladni, se vean en forma adecuada para el propósito de la práctica después se conecta el oscilador con el vibrador. Se conecta el oscilador con el vibrador. Se varía la frecuencia del oscilador hasta encontrar diferentes figuras de Chladni en las placas. En cada placa se deben de encontrar 3 figuras diferentes.
Figura 10.1. Figuras de Chladni.
Figura 10.2. Modo de operar práctica 10.
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1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
BIBLIOGRAFÍA
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