Practicas de Laboratorio Fisica clasica

1.

CONTENIDO

I.

PRESENTACIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ii

II.

PRÁCTICAS. 2.1 Lenguaje en la Metrología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 2.2 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 2.4 Mediciones directas e indirectas . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5 Error experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.6 Incertidumbre en mediciones directas. . . . . . . . . . . . . 66 2.7 Medición directa no reproducible . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.8 Gráfica lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.9 La diagonal y el lado de un cuadrado . . . . . . . . . . . . 111 2.10 Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2.11 Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 2.12 Coeficiente de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 2.13 Movimiento rectilíneo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . .173 2.14 Radiactividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 2.15 Movimiento en un plano indicado. . . . . . . . . . . . . . . . 205

III.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

IV. APENDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

PRÁCTICA 1 LENGUAJE EN LA METROLOGÍA

Nombre del Alumno:

Grupo:

Calificación:

Nombre del (de los) profesor (es): 1. 2.

Fecha de realización de la práctica: Observaciones:

1 1

LENGUAJE EN LA METROLOGÍA OBJETIVOS Al término de la práctica el alumno: -

Reconocerá la importancia del lenguaje empleado en metrología. Definirá los términos más frecuentes en la metrología. Diferenciará exactitud de precisión. Aplicará los términos relacionados con la metrología en situaciones reales. CONSIDERACIONES TEÓRICAS

El lenguaje, nuestro único medio para comunicar el conocimiento científico, es esencialmente social, tanto en su origen como en sus funciones principales. Sin el lenguaje o algún equivalente prelingüistico, nuestro conocimiento del medio se limita a lo que nos muestran los sentidos junto con las inferencias que nos permite nuestra constitución congénita; pero con la ayuda del lenguaje podemos saber lo que otros pueden relatarnos, y referimos a lo que ya no está al alcance de los sentidos, sino que sólo se recuerda. El objeto principal del lenguaje es la Comunicación y, para servir a tal fin, debe ser público. Si se comunica que un objeto se mueve a velocidad constante, todos los oyentes o lectores deben estar pensando que dicho objeto recorre desplazamientos iguales en tiempos iguales, ya que su velocidad es constante. Para que los oyentes o lectores coincidan en la descripción de dicho movimiento, deben conocer el significado de cada uno de los términos del enunciado. Hay varias maneras de aprender lo que significa una palabra; una es por definición de la palabra en términos de otras palabras ya conocidas, lo que se llama definición verbal; otra es oyendo con frecuencia la palabra cuando está presente el objeto o propiedad del objeto que denota, lo que recibe el nombre de definición ostensiva. Uno de los problemas que enfrenta el individuo en el aprendizaje de ciencias como la Física y técnicas como la Metrología es que el significado de muchos de los términos empleados en la vida cotidiana tiene significados diferentes en las ciencias. Por ello, es necesario conocer el significado de las palabras que se usan en la Física, o en la Metrología con un sentido diferente del que se les da en el lenguaje cotidiano. Este conocimiento del significado de los términos científicos nos permite expresarnos con claridad, evitar las confusiones y decir lo que deseamos con la garantía de que los demás nos entienden. Por ejemplo, en la vida cotidiana generalmente los términos rapidez y

velocidad se emplean como sinónimos, pero en la Física tienen significados diferentes; de la misma manera el término patrón tiene un significado diferente en metrología que en la vida cotidiana. Puesto que la Física es una ciencia de la medida, es importante que identifiques y definas los principales conceptos relacionados con las mediciones. MATERIAL - Instructivo de prácticas - Libro “Introducción a la metodología experimental” DESARROLLO EXPERIMENTAL I Significado de Términos Escribe lo que tu crees que significan los siguientes términos, sino tienes idea de lo que significa alguno de los términos, deja los espacios correspondientes en blanco (no consultes ningún texto, ni diccionario): 1.1.

Medición:

1.2.

Sistema de medición:

1.3.

Método de medición:

1.4.

Mensurando:

1.5.

Magnitud:

1.6.

Magnitud de base:

1.7.

Unidad de medida:

1.8.

Aparato de medición:

1.9.

Patrón:

1.10. Legibilidad:

1.11. Variable:

1.12. Discriminación:

1.13. Discrepancia:

1.14. Sensibilidad:

Realizado lo anterior, consulta el libro de Introducción a la Metodología Experimental y

compara lo que escribiste con las definiciones dadas en dicho libro. Si no son correctas, escribe a continuación las definiciones en aquellos casos que se requiera, si la definición que diste originalmente coincide con la que aparece en el texto, deja las lineas correspondientes en blanco. 1.1.

Medición:

1.2.

Sistema de medición:

1.3.

Método de medición

1.4.

Mensurando:

1.5.

Magnitud:

1.6.

Magnitud de base:

1.7.

Unidad de medida:

1.8.

Aparato de medición:

1.9.

Patrón:

1.10. Legibilidad:

1.11. Variable:

1.12. Discriminación:

1.13. Discrepancia:

1.14. Sensibilidad:

II

Aplicación de la terminología

II.1 ¿En cuál de las siguientes carátulas la legibilidad es menor? Son carátulas de un instrumento que mide corrientes eléctricas en amperes (A).

a) Carátula A

b) Carátula B

¿Por qué?

II.2 Al medir la resistencia eléctrica de un tostador por diferentes técnicos se obtuvieron los siguientes valores. Técnico Octavio Rafael Julio

Valor (Ω) 48.5 47.4 48.0

¿Cuál es la discrepancia entre los resultados de Octavio y Julio?

¿Cuál es la discrepancia entre los resultados de Rafael y Julio?

II.3

¿Cuáles son las unidades de base del Sistema Internacional?

II.4 1.

Escribe el nombre de seis aparatos de medición. 3.

2.

4.

3.

6.

II.5 1.

Escribe el nombre de seis mensurandum 4.

2.

5.

3.

6.

III exactitud

Precisión y

III.1 Los conceptos de precisión y exactitud son conceptos que se confunden con frecuencia. A fin de identificar lo que representan consulta el libro, Introducción a la metodología experimental y escribe a continuación sus definiciones. Precisión:

Exactitud:

III.2

¿Cuál de los siguientes conjuntos de mediciones es más preciso? Conjunto A

Conjunto B

2.1 W, 2.3 W, 2.2 W y 2.0 W

2.0 W, 3.0 W, 4.0 W y 3.5 W

¿Por qué?

3

III.3 Si el valor real de la densidad del agua es 1000 kg/m y Juan midió 1010 kg/m y 3 Edgar midió 997 kg/m , ¿cuál midió con mayor exactitud?

III.4 El valor real del diámetro de una esfera es de 36.5 cm. Pero, fue medido por dos técnicos cuyos resultados se muestran a continuación. Técnico A

Técnico B

36.6 cm, 36.4 cm, 36.5 cm y 36.3 cm

36.34 cm, 36.37 cm, 36.35 cm y 36.37 cm. 8

3

¿Cuál midió con mayor precisión? ¿Por qué?

¿Cuál es más confiable? ¿Por qué?

CONCLUSIONES ¿Cuáles son tus conclusiones de esta práctica?

BIBLIOGRAFÍA Gutiérrez, Carlos. “Introducción a la metodología experimental”. Editorial Limusa Noriega Editores. México, 1998. Del Rio, Fernando. “El arte de investigar”. UAM. México, 1990. Figueroa, E. Juan Manuel. “Análisis estadístico de datos y reporte de incertidumbre. Reporte técnico. CENAM, México, 1993.

9

PRÁCTICA 2 UNIDADES DE MEDIDA

Nombre del Alumno:

Grupo:

Calificación:


Fecha de realización de la práctica:

Observaciones:

UNIDADES DE MEDIDA

OBJETIVOS Al término de la práctica el alumno será capaz de: Reconocer la importancia y características de una unidad de longitud. Comprender que el resultado de una medición depende de la unidad empleada.  Diferenciar las unidades fundamentales de las unidades derivadas.  Verificar que el radián es un ángulo que tiene el mismo valor para diferentes circunferencias. CONSIDERACIONES TEÓRICAS Para efectuar una medida es preciso disponer de una unidad, que será de la misma naturaleza que la magnitud que se desea medir. Establecida la unidad, para efectuar la medición, se determinará las veces que la unidad está contenida en aquella magnitud. El resultado será un número que reflejará las veces que es mayor o menor que la unidad escogida. A lo largo de su historia, el hombre inventó numerosas unidades antes de que creara un sistema internacional. A lo largo de los siglos se adoptaron unidades arbitrarias que varían según el país, la provincia y la naturaleza del producto. Algunas de estas unidades tenían el mismo nombre en diferentes provincias, pero tenían diferente valor. Así, la pértica de París medía 5.4847 metros, mientras que la pértica común medía 6.496 metros. Además, sus múltiplos y submúltiplos de estas unidades tenían relaciones poco prácticas con la unidad. Para que la unidad pudiera ser aceptada por la gente de esa época, en la que existía un gran analfabetismo, algunas de estas unidades tenían que ver con el cuerpo humano: pie, pulgada, palmo, codo, etc. Esto parece, a priori, práctico, pero también poco preciso y sometido a variaciones, ya que, hay que recordar que las dimensiones del cuerpo humano varían con la edad. Las personas poseen en general manos con distintos tamaños (Fig. 1).

11

Figura 1. Los Fenicios anteriormente tenían cuatro medidas de longitud: palmo (0.75 m), el dedo (0.018 m), el pie (0.26 m) y el codo (0.525 m). Naturalmente, para cada clase de magnitud debe fijarse una unidad de medida. Así hay unidades de longitud, masa, tiempo, densidad absoluta, etcétera. Las unidades se pueden clasificar en unidades fundamentales y derivadas. Las unidades fundamentales son unidades que corresponden a las magnitudes fundamentales. Para la longitud, la masa y el tiempo, las unidades fundamentales del Sistema Internacional son, respectivamente, el metro, el kilogramo y el segundo. Las unidades derivadas se forman de la combinación de las unidades fundamentales u otras unidades derivadas. La unidad de densidad absoluta se obtiene de la 3 combinación de dos unidades, una fundamental (el kilogramo) y otra derivada (el m ), 3 debido a que se expresa como kg/m . Las unidades de las magnitudes fundamentales se pueden materializar por medio de los patrones, que pueden ser materiales o teóricos. Un patrón es el modelo que puede servir para materializar la unidad. Las propiedades que debe satisfacer un patrón de medida elegido son: 1.

Debe ser inmutable, de forma que las medidas realizadas el día de hoy puedan ser comparadas con las que se hagan el próximo año o siglo.

2.

Debe ser accesible, de modo que se pueda duplicar tantas veces como sea posible.

3.

Debe ser preciso, de forma que el patrón sea disponible, cualquiera que sea la precisión tecnológicamente alcanzable. 4. Debe ser reconocido universalmente, de forma que los resultados obtenidos en países distintos puedan ser comparados. MATERIAL 1 Regla de 30 cm graduada en milímetros. 12

1 Tijeras. 2 Escuadras. 1 Transportador. 3 Hojas blancas. 1 Compás. 1 Cartulina DESARROLLO EXPERIMENTAL I

Unidad Arbitraria

Determina el largo de la cubierta de tu mesa de laboratorio comparando dicha longitud con la del puño de tu mano (figura 2). Registra en la tabla 1, el número de veces que cabe la longitud del puño en la de la mesa. Pide a tus demás compañeros del equipo que realicen lo mismo y registra los resultados obtenidos (si es necesario amplia la tabla 1 agregando más renglones).

Figura 2. Longitud de la cubierta de a mesa. Tabla 1. Largo de la mesa medida con el puño de cada compañero del equipo. Longitud de la mesa Nombre de quien midió

# de Puños

# de Codos

1.2.3.4.Vuelve a determinar el largo de tu mesa empleando el antebrazo junto con la mano cerrada (figura 3) y anota el valor obtenido, esta unidad recibirá el nombre de codo. Pide a tres compañeros que repitan lo mismo. En esta actividad hemos seleccionado arbitrariamente dos longitudes como unidades. ¿Cómo son los resultados de la tabla 1?

Figura 3. Medición del largo de la mesa con el antebrazo junto con la mano cerrada. II

Unidad de Patrón

Selecciona, previo acuerdo con tus compañeros de equipo, el puño que servirá como unidad patrón de longitud para conocer el largo de la mesa. Dale un nombre a la unidad y regístralo en el paréntesis de la tabla 2. Con la ayuda de las tijeras y el papel reproduce la longitud del puño patrón (longitud del puño seleccionado) y distribuye a cada integrante del equipo una tira de papel con la longitud patrón. Determina cuántas veces la longitud de la tira de papel cabe en la longitud del largo de la mesa y registra dicho valor en la tabla 2. Anota también los valores obtenidos por tus compañeros, al comparar la longitud de la tira de papel (unidad patrón) que les proporcionaste con el largo de la mesa (si es necesario modifica la tabla 2 aumentando las columnas.) Tabla 2. Largo de la mesa medida con el puño patrón. Integrante del equipo

1

2

3

4

LARGO ( )* (* Escribe en el paréntesis de la tabla el nombre de la unidad)

III

Submúltiplo de la Unidad Patrón

Ahora, divide tu unidad de longitud en diez partes iguales, a fin de contar con un submúltiplo de base 10 de la misma. Para ello, emplea las escuadras y el compás.

Traza una línea recta inclinada y divídela en diez partes iguales con el compás. Coloca la unidad patrón de manera que un extremo de ésta coincida con un extremo de la recta inclinada. Coloca la escuadra de manera que se unan los otros extremos de la unidad patrón y la recta trazada como se ilustra en la figura 4.

Figura 4. Colocación de las escuadras para obtener los submúltiplos de la unidad patrón. Coloca la otra escuadra como se ilustra en la figura 4 y sobre ésta desliza la primera escuadra y traza sobre la unidad patrón, líneas que la dividan en diez partes, las cuales se obtienen al unir las marcas sobre la línea trazada con la unidad patrón. Dale un nombre a este submúltiplo de la unidad patrón. Nombre del submúltiplo: Con esta unidad ya graduada en submúltiplos, mide el ancho de la regla de 30 cm, el largo de una goma, la longitud y grosor de un lápiz (o una pluma) y registra dichas medidas en función del submúltiplo de la unidad patrón en la tabla 3. Registra en el paréntesis de la tabla el nombre del submúltiplo de la unidad patrón.

Tabla 3. Medición con el submúltiplo de la unidad patrón. Objeto

Medida (

Ancho de la regla

)

Largo de la goma Longitud del lápiz

Discusión Si se comparan los resultados de la tabla 1, ¿por qué no son iguales? ¿a qué atribuyes esto?

Si medir una longitud es comparar longitudes. ¿Por qué no son iguales los resultados, sí se mide la misma longitud (largo de la mesa)?

¿Se puede considerar a la longitud del puño, que se seleccionó como la unidad de longitud? ¿Por qué?

Una vez que se seleccionó una longitud de referencia para compararla con otras longitudes, ¿podrías señalar qué ventajas tiene esto al medir longitudes?

¿Cómo son los resultados obtenidos en la tabla 2?

Si el puño seleccionado variara de longitud con el tiempo, nuestras medidas serían iguales después de dicho cambio. Explica.

¿Para obtener la longitud del largo de la mesa puedes emplear el peso del puño? ¿Su temperatura? ¿Por qué?

Si no se hubiese podido reproducir el puño en tiras de papel, ¿sería práctico emplear dicha longitud como unidad? Explica

IV

Múltiplo de la Unidad Patrón

Con ayuda de la cartulina, las tijeras, la cinta adhesiva, la regla y el puño patrón, construye una regla con una longitud 10 veces mayor que la unidad patrón. Es decir, recorta una tira de cartulina de 5 cm de ancho y un largo ligeramente mayor a 10 veces la unidad patrón que ya seleccionaste. Marca sobre la tira de cartulina que materializará los múltiplos, de la unidad, las líneas que la dividen en diez partes iguales como se ilustra en la figura 5. Dale un nombre a este múltiplo de la unidad patrón. Nombre del múltiplo:

Figura 5. Múltiplo diez veces mayor que la unidad patrón de longitud. Con esta regla y la unidad en submúltiplos mide el largo y el ancho de la cubierta de la mesa y registra dichas medidas en función de este múltiplo de la unidad patrón en la tabla 4. Expresa tu medición hasta submúltiplos.

Tabla 4. Largo y ancho de la mesa en función del múltiplo de la unidad patrón. Dimensión

Medida ( )

Largo del salón Ancho del salón

(registra en el paréntesis de la tabla el nombre del múltiplo de la unidad patrón).

Discusión ¿Qué ventajas tiene el empleo de un múltiplo de la unidad patrón en las mediciones?

¿Puedes emplear un prefijo con la unidad patrón para darle nombre al múltiplo de dicha unidad? Explica.

V

Resultado de una Medida.

En la figura 6 se muestran los puntos A y B, del segmento de recta, cuya distancia se va a determinar por el siguiente procedimiento. Sitúa la regla graduada en milímetros de modo que el cero (origen) de su escala coincida con el punto A y que su borde pase por el otro punto B y registra en la tabla 5, la graduación de la escala que coincide con el punto B, obteniendo así la distancia AB, entre dichos puntos. Repite este procedimiento anterior, pero ahora con la escala graduada en pulgadas y registra tu medida en la tabla 5.

Figura 6. Segmento de la recta AB Tabla 5. Distancia AB Regla graduada en:

Distancia AB Valor numérico

Milímetros

mm

Pulgadas

pulg.

Discusión ¿Qué observas al comparar los resultados de las mediciones efectuadas de la misma longitud AB?

Si el procedimiento de la medición de la longitud AB ha sido el mismo, ¿por qué se obtienen dos valores numéricos diferentes? ¿A qué atribuyes esta diferencia?

VI

Conversión de Unidades

De la actividad, resultado de una medida, puedes observar que las dos medidas (una en milímetros y la otra en pulgadas) no son iguales, aunque lo hayas hecho con cuidado. Para verificar que las dos mediciones corresponden a la medida de la misma línea, tienes que realizar una conversión de unidades, esto es, conocer cuántos milímetros, hay en una pulgada. La relación entre estas unidades se obtiene midiendo una o varias magnitudes comunes utilizando las dos unidades. Mide el largo y ancho de este instructivo, primero con la escala graduada en milímetros y

después con la escala graduada en pulgadas y registra los resultados en la tabla 6. Tabla 6. Largo y ancho de la mesa. Dimensión

Medida (milímetros)

Medida (pulgadas)

Medida (milímetros) Medida (pulgadas)

Largo Ancho Efectúa el cociente “medida en milímetros entre medida en pulgadas” tanto para el largo como para el ancho del libro y registra los resultados en la tabla 6. Compara los cocientes de la tabla 6 con el factor de conversión que te permite convertir pulgadas a centímetros (Consulta una tabla de conversiones) ¿Son iguales dichos cocientes? De acuerdo con tus resultados, el factor de conversión de pulgadas a milímetros se puede obtener dividiendo la medición de una longitud expresada en milímetros entre la medición de la misma longitud expresada en pulgadas. ¿Cómo es el factor de conversión calculado con el que investigaste? ¿Son diferentes? .

El factor de conversión entre dos unidades de longitud, se puede obtener por medio de la expresión L p Fc = (1) L o donde: Fc = Factor de conversión de la unidad 1 y la unidad 2. Lp = Medida de la longitud expresada en la unidad 2. Lo = Medida de la longitud expresada en la unidad 1.

Pide a los otros equipos que te proporcionen las siguientes mediciones: ancho de la regla, y largo de la pluma o lápiz, y anótalos en la tabla 7. Escribe el nombre de la unidad patrón en cada caso. Tabla 7. Medición del ancho de la regla, y largo de la pluma o lápiz.

Equipo

1

2

3

4

5

6

7

8

Ancho de la regla Largo de la pluma

Para convertir una medición expresada en unidades de otro equipo en tu unidad, utiliza la siguiente expresión: Lp = Fc Lo donde:

-

-

-

-

-

-

-

-(2)

Fc = Factor de conversión. Lo = Longitud de la magnitud expresada en la unidad de otro equipo. Lp = Longitud de la magnitud expresada en tu unidad.

Previo calculo de los factores de conversión correspondientes y la expresión de conversión de unidades (ecuación 2), realiza las conversiones de unidades de los valores de la tabla 7 y anótalos en la tabla 8. Tabla 8. Conversión de unidades Equipo

1

2

3

4

5

6

7

8

Ancho de la regla ( )* Largo de la pluma ( )* *En los paréntesis coloca tu unidad

Discusión Comparando las tablas 7 y 8, ¿qué ventajas tiene la tabla 7 sobre la 8? ¿Tienen las plumas el mismo largo? ¿Cómo saberlo?

¿Qué ventajas tiene el conocer el factor de conversión entre dos unidades?

VII El Radían Sobre una hoja traza tres circunferencias de radios iguales a 4, 5 y 6 cm, respectivamente. Recorta tres trozos de hilo de 4, 5 y 6 cm de longitud y coloca cada trozo de hilo sobre el arco de la circunferencia correspondiente, de manera que coincidan, y marca los extremos del hilo sobre el arco de la circunferencia. A partir de dichas marcas, traza líneas que unan las marcas con el centro de la circunferencia (figura 7). Este ángulo recibe el nombre de radían. Mide los ángulos formados por las líneas trazadas para cada circunferencia. Registra tus medidas en la tabla 9 de resultados y compara dichos valores. Con un alfiler que pase por el centro de los círculos, superpónlos de manera que coincidan los ángulos trazados, ¿qué opinas?

Figura 7. El radían es el ángulo formado por un arco cuya longitud es igual a la longitud de su radio. Tabla 9. Radían expresado en grados. Circunferencia de radio igual a: (cm)

Ángulo medido e igual a un radián expresado en grados

4 5 6

Discusión Al comparar los ángulos medidos en cada círculo, ¿son iguales?

¿Cuál es el valor del radían en grados sexagesimáles?

VIII Actividades Complementarias I. Investiga en la bibliografía las definiciones de las siete unidades fundamentales del S. I. y escríbelas en los siguientes espacios.

1.1 Unidad de longitud: :

1.2 Unidad de masa:

1.3 Unidad de tiempo:

1.4 Unidad de temperatura:

1.5 Unidad de corriente eléctrica:

1.6 Unidad de intensidad luminosa:

1.7 Unidad de cantidad de sustancia:

II.

¿Cuáles son las unidades suplementarias del S. I.?

III. Define el radían:

IV. Escribe el nombre de seis unidades derivadas:

V.

1.

4.

2.

5.

3.

6.

¿Qué es un prefijo?

VI. Escribe el nombre de diez prefijos del S.I. y sus símbolos N° 1 2 3 4 5

Nombre

Símbolo

N° 6 7 8 9 10

Nombre

Símbolo

VII. Escribe en la columna correspondiente el símbolo y valor de los prefijos que aparecen en la siguiente tabla.

Nombre del Prefijo giga fento exa zetta atto yocto micro pico nano mili

Símbolo del Prefijo

Valor (potencias de diez)

VIII. Previa identificación de los factores de conversión, realiza las siguientes conversiones: Cantidad en la unidad 1 10 m 20 cm 4 Em 6 μm 10 000 000 000 m 16 pm 25 pulgadas -7 5 x 10 m 50 mm 6 1 x 10 nm

Cantidad expresada en la unidad 2 km m m m Gm m m nm m m

CONCLUSIONES ¿Cuáles son las conclusiones que se obtuvieron en esta práctica?

BIBLIOGRAFIA 1.

Gutiérrez, Carlos. “Introducción a la metodología experimental.” Editorial Limusa Noriega Editores. México, 1998.

2. Serway, Raymond. “Física (tomo 1)” Editorial Mc Graw- Hill Interamericana. México, 1997. 3.

Baird, D.C. “Experimentación.” Una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos. Editorial Prentice Hall. México 1993.

4.

Giamberardino, Vincenzo. “Teoría de los errores”. Editorial Reveté Venezolana. Caracas, 1976.

PRÁCTICA 3 CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Nombre del Alumno:

Grupo:



Calificación:

CIFRAS SIGNIFICATIVAS OBJETIVOS Al término de la práctica el alumno: - Definirá el concepto de cifra significativa. - Identificará las cifras significativas en una medida. - Realizará operaciones con cifras significativas. CONSIDERACIONES TEÓRICAS Puesto que una de las principales actividades de científicos y técnicos es la realización de mediciones, resulta relevante el desarrollo de habilidades que les permitan expresar los valores numéricos de las medidas realizadas con el número correcto de cifras significativas. Pero, ¿qué es una cifra significativa? En una medición son cifras significativas todas aquellas que pueden leerse directamente en el instrumento de medición utilizado. De acuerdo con lo anterior, se llama cifra significativa a cada uno de los dígitos (0, 1, 2, 3, 4, . . . 9), que se obtienen como resultado de una medición o que son productos de cálculos a partir de mediciones. En general, el número de cifras significativas da una idea aproximada de la precisión de la cantidad medida o calculada. En las mediciones directas, los científicos han establecido que las cifras significativas de éstas, son los números correctos o seguros (que se leen directamente en la carátula del instrumento y de los cuales se está seguro) y el primer número (cifra) estimado (figura 1).

Figura 1. En la medición de la longitud L= 14.76 cm, el número seis es el dígito estimado. En el caso de las mediciones indirectas se debe tener cuidado de reportar el resultado final con el número correcto de cifras significativas. No es correcto reportar el resultado en una

medición indirecta con un número mayor de cifras significativas que las que contienen las cantidades que intervienen en dicha medición indirecta. MATERIAL 1 Hoja de papel 1 Regla graduada en milímetros 1 Flexómetro de dos metros 1 Calculadora 1 Escuadra 1 Transportador 2 Cartulinas DESARROLLO EXPERIMENTAL I

Cifras significativas

Con ayuda de la regla y la escuadra construye tres cuadrados, los dos primeros de 1 cm y 10 cm de lado respectivamente, sobre una hoja de papel blanco. El tercero de 1 m de longitud sobre el piso en cartulinas. Realizado lo anterior, traza una diagonal en cada cuadro (figura 2), mide con el flexómetro, la diagonal del cuadro de 1 m de lado y con la regla las diagonales de los otros cuadrados, evitando incluir en tus resultados las cifras estimadas. Es decir, registra en la tabla 1 los dígitos que te proporcionan una información confiable en la medición de la longitud de las diagonales. Cuida que tus resultados estén expresados en las unidades indicadas en la tabla 1.

Diagonal - - - →

Lado

Lado Figura 2. Diagonal del cuadrado de 1 cm de lado. Concluido lo anterior, calcula la hipotenusa del triángulo que se muestra en la figura 3 y registra el valor calculado en el espacio correspondiente. En tu resultado incluye hasta diezmilésimas (valor teórico de la diagonal).

Figura 3. Triángulo rectángulo cuyos catetos valen la unidad. Resultados de la Diagonal Tabla 1. Longitud de la diagonal de los cuadrados. Cuadrado

Lado del cuadrado

Longitud de la diagonal

1.

1 cm

cm

2.

1 dm

dm

3.

1 m

m

Cálculo de la hipotenusa del triángulo cuyos catetos valen la unidad. 2

2

h =a +b

2

h= a2 +b 2

Si a = b = 1 entonces:

h2 = 1+1 h = 2 h=

Discusión

(valor teórico)

¿Qué observas al comparar los valores numéricos obtenidos mediante mediciones de las diagonales de los tres cuadrados? (valores experimentales).

¿A qué atribuyes las diferencias encontradas en la tabla 1 de resultados?

¿Por qué se dice que la diagonal del cuadrado de 1 m de lado consta de más cifras significativas que los valores obtenidos en las otras diagonales?

¿Es cierto que el valor de 2 debería obtenerse al medir la diagonal de cada uno de los cuadrados construidos? ¿Por qué?

¿Cuál es el valor de la diagonal que más se aproxima a

II

Operaciones con Cifras Significativas

II.1

Suma y Resta

2

? ¿Por qué?

Previa investigación escribe el criterio que existe para asignar en una suma o una resta de cantidades, el número correcto de cifras significativas que debe tener el resultado en dichas operaciones. Criterio:

A fin de aplicar este criterio, resuelve al siguiente problema: Si un riel medido por Graciela tiene un valor de 5.9 m y otro riel medido por Julio tiene un valor de 5.86 m, ¿cuál es la longitud total de los dos rieles al unir uno después del otro? Escribe el resultado con el número correcto de cifras significativas. Solución Datos L1= 5.9 m L2= 5.86 m L T= ? II.2

Resultado LT =

Multiplicación

Previa investigación escribe el criterio que existe para asignar en una multiplicación de cantidades, el número correcto de cifras significativas que debe tener el resultado en dicha operación. Criterio:

A fin de aplicar este criterio realiza la siguiente actividad. Mide la altura (h) y la base (b) del triángulo rectángulo que aparece en la figura 4. Escribe dichas mediciones con el número correcto de cifras significativas.

32

Figura 4. Triángulo rectángulo Determina el área de dicho triángulo y expresa al resultado con el número correcto de cifras significativas. Si tienes que eliminar una ó más cifras al reportar el resultado. Investiga qué criterios se emplean en el redondeo de datos. Resultado del Área Fórmula del área del triángulo A=

1 bh 2

Sustitución de valores medidos A = 1/2 ( A=

)( cm

) 2

Discusión ¿Qué lado del triángulo contiene más cifras significativas? ¿Cuál cateto tiene menos cifras significativas? y ¿Cuántas son?

¿Cuántas cifras significativas debe tener el área del triángulo? ¿Por qué?

¿Para obtener el número correcto de cifras significantes, se redondeo el resultado? Explica

33

II.3

Funciones trigonométricas

Previa investigación escribe el criterio que existe para asignar a las funciones trigonométricas seno y coseno, el número correcto de cifras significativas, cuando se conoce el número de cifras significativas del ángulo. Criterio:

A fín de aplicar este criterio realiza la siguiente actividad. Mide con el transportador los ángulos α y β de la figura 5 y registra su valor en la tabla 2.

Figura 5. Triángulo rectángulo en el cual se 2 2 cumple que sen α + sen β = 1

Con tu calculadora determina el sen α y sen β y escribe tus resultados con el número correcto de cifras significativas en la tabla 2. 2

2

Calcula sen α y sen β y escribe en la tabla 2 tus resultados con el número correcto de cifras significativas. 2

2

Efectúa la suma sen α + sen β y compara dicho resultado con el 1. Se dice que en un triángulo rectángulo como el de la figura 5 se cumple que:

2

2

sen α + sen β = 1 Resultado de Funciones Trigonométricas Tabla 2. Funciones trigonométricas. α (

0

β )

(

0

)

sen α

2

sen β

2

sen α

sen β

2

2

sen α + sen β

Discusión ¿Con cuántas cifras significativas se midieron los ángulos α y β?

¿Con cuántas cifras significativas se deben expresar sen α y sen β? ¿Por qué?

2

2

¿Se cumplió la siguiente ecuación; sen α + sen β = 1? Explica

III

Actividades Complementarias

1.- Primero, escribe la lectura que corresponde a la que te indica la flecha, luego escribe el número de cifras significativas con que se puede hacer la medición en cada carátula del instrumento.

35

2.- Escribe en la raya de la derecha el número de cifras significativas de las siguientes cantidades: 2.1

46.8 m

2.6

32.040 m

2.2

30.4 m

2.7

4x10 cm

2.3

0.04 m

2.8

4.6x10 m

2.4

4.01 m

2.9

0.4x10 m

2.5

4.008 m

2.10

4.0x10 cm

3

-2

6

3.- Redondea las siguientes cantidades a tres cifras significativas y escribe tu respuesta en las rayas de la derecha. 3.1)

4.084 cm =

3.2)

4.085 cm =

3.3)

4.089 cm =

3.4)

4.087 cm =

3.5 )

408.7 cm =

3.6)

43200 cm =

3.7)

40000 cm =

3.8)

401000 cm =

3.9)

4.01001 cm =

3.10)

399.90 cm =

4.- Realiza las siguientes operaciones y escribe tu respuesta con el número correcto de cifras significativas. 4.1)

4.6cm + 4.82cm + 3.06 cm =

4.2)

36.831 m - 4.1 m =

4.3)

(36.2 m) (4.4 m) =

4.4)

(4621 m) (2.8 m) =

4.5)

4621 m/2.8 m = 36

4.6)

46.28 x 3.4/6.43 =

4.7)

sen 30 =

4.8)

cos 44.5 =

4.9)

(4.6) (3.66)/4.001 =

4.10)

0

0

sen 60o = 0.421

Conclusiones. ¿Cuáles son las conclusiones que obtuviste al realizar las actividades y mediciones de esta práctica?

¿El conocimiento adquirido lo consideras importante? ¿Por qué?

BIBLIOGRAFIA 1.

Gutiérrez, Carlos. ”Introducción a la metodología experimental”. Editorial Limusa Noriega Editores. México, 1998.

2.

Serway, Raymond. ”Física (tomo 1)” Editorial Mc Graw- Hill Interamericana. México, 1997.

3.

Baird, D.C. “Experimentación”. Una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos. Editorial Prentice Hall. México 1993.

PRÁCTICA 4

LA MEDICIÓN

Nombre del Alumno:

Grupo:



Calificación:

LA MEDICIÓN OBJETIVOS Al término de la práctica el alumno: - Reconocerá la importancia de la medición. - Identificará los elementos que intervienen en el proceso de medición. - Definirá el proceso de medición. - Diferenciará una medición directa de una medición indirecta. - Identificará las principales características de un instrumento de medidia.

CONSIDERACIONES TEÓRICAS La medida en nuestra vida cotidiana La respuesta a muchas preguntas de la vida cotidiana depende, en gran medida, de las indicaciones de un aparato de medida. ¿Qué hora es? (reloj) ¿Qué temperatura tiene el niño? (termómetro clínico) ¿Qué tan alto eres? (cinta métrica) ¿Cuál es la presión en esa ciudad? (barómetro) ¿Se han desinflado las llantas? (manómetro) ¿Voy demasiado rápido? (velocímetro) ¿Cuánto pesa el papel periódico? (dinamómetro) ¿Qué volumen de agua hay que agregarle? (probeta), etcétera. La tendencia a medirlo todo se ha venido acentuando en nuestra sociedad, debido a que cada vez es más fácil obtener aparatos de medición y a que reconocemos que al tener una información más precisa de lo que nos interesa, podemos decidir qué acción es la más adecuada. El médico, para estar seguro de que el paciente tiene fiebre, emplea un termómetro. No se conforma con colocar su mano sobre la frente del paciente, porque el tratamiento que administre al enfermo dependerá de la medición obtenida con el termómetro. Además, en intercambios comerciales entre fabricantes, empresas y consumidores se tienen que realizar mediciones. Cuando vamos al mercado, compramos lo que necesitamos (verduras, leche, harina, carne, etcétera) y pagamos por la cantidad que recibimos, la cual es medida previamente por el comerciante. El papel que desempeña la "medida" en nuestras vidas es cada día más importante. Al grado de que dependemos de ella en muchas actividades, porque vivimos en una sociedad donde todo es medido. ¿Para qué medimos? Medir ha sido siempre una necesidad para el hombre. El cazador tiene que calcular la

distancia que le separa de su presa. El optometrista debe determinar la graduación de los lentes del paciente. El topógrafo tiene que calcular las superficies y la demarcación de los terrenos. El inspector de pesas y medidas se encarga de revisar los instrumentos adquiridos por los industriales y comerciantes. En fin, el hombre, para poder conocer, necesita medir. A través de nuestros sentidos percibimos todo lo que nos rodea, pero, desafortunadamente, estas percepciones no son precisas ni confiables como consecuencia de las propias limitaciones de nuestros órganos sensoriales. Debido a que al ser humano necesita que sus observaciones sean más exactas que las que puede obtener a través de sus órganos sensoriales, tiene que medir utilizando otras herramientas llamadas instrumentos de medición. En la vida cotidiana realizamos una infinidad de observaciones a través de nuestros sentidos. Así, podemos decir que el té esta más caliente que el agua; que hoy comimos más que ayer; que la ciudad de México es más grande que la de Monterrey, etc. Estas afirmaciones no requieren de una información más precisa. Sin embargo, en otras ocasiones es necesario tener una información cuantitativa; como el conocer las dimensiones del vidrio que se va a colocar en la ventana, las dimensiones del ropero para poder ubicarlo en un hueco existente en la recámara o el diámetro de un pistón del auto. Además el hombre necesita medir para estudiar a la naturaleza y desarrollar los aparatos e instrumentos que empleamos en la vida diaria. Medición y medida. La medición es una de las nociones que la ciencia ha tomado del sentido común. El uso cotidiano de la idea de medida es tan natural en la conducta del hombre que ha menudo pasa inadvertida. Y es que está surge de la comparación, que es algo que el hombre, con conciencia o sin ella, hace diariamente. Comparar unas cosas con otras es algo tan natural en el hombre como respirar. La comparación es la base de la medida. Hacemos comparaciones que van desde las muy sencillas y naturales, como que la niña es más pequeña que su hermano o que el perro pesa más que el gato, hasta comparaciones expresadas en términos de medidas numéricas precisas, como que la caja tiene una masa de 80 kg, que quiere decir que la masa de la caja es 80 veces mayor que la de un kilogramo. En la ciencia y en la técnica, la medición es el proceso por el cual se asigna un número a una propiedad física de algún cuerpo o fenómeno con propósito de comparación. En el proceso de medición intervienen los siguientes elementos: 1. El cuerpo, objeto de la medición. 2. El instrumento de medición.

3. La unidad empleada en la medición. 4. El operador que realiza la medición. Con respecto a la palabra medida, es conveniente señalar que ésta tiene muchos significados. Sin embargo, en las ciencias la palabra medida la reservamos para denotar el número de las unidades de la propiedad medida. Mediciones directas y mediciones indirectas En muchas ocasiones es posible medir una determinada propiedad de un objeto o la característica de un hecho, mediante diferentes instrumentos y procesos de medición. Ante esto los especialistas han clasificado a las mediciones en mediciones directas y mediciones indirectas. Características de los instrumentos de medida Los instrumentos de medida son necesarios por diferentes motivos, entre los que destacan las siguientes: 1. 2. 3. 4. 5.

Hay magnitudes físicas que no son perceptibles con los sentidos. Valores muy altos o muy bajos de una magnitud física no pueden apreciarse con los sentidos. Los sentidos nos pueden engañar al tratar de estimar el valor de una magnitud física. Las pequeñas variaciones de una magnitud física escapan a la sensibilidad de nuestros sentidos. Con ellos y las unidades de medida es posible obtener un número que representa la cantidad de una magnitud en un objeto determinado.

Los instrumentos de medida se construyen de tal forma que puedan cubrir estas carencias. Sin embargo, tanto el grado de desarrollo tecnológico como el uso a que se destina el instrumento condicionan la perfección del aparato. Entre las características que caracterizan a un instrumento de medida destacan las siguientes: 1) 2) 3) 4) 5) MATERIAL

Valor máximo que puede medir Valor mínimo que puede medir Sensibilidad Precisión Rapidez

1 regla 1 probeta 1 cuerpo (cilindro metálico o tornillos)

1 transportador agua DESARROLLO EXPERIMENTAL I

Medición directa (longitud)

Sitúa la regla graduada en milímetros de modo que el cero de su escala coincida con el punto "A" de la figura 1 y que su borde pase por el punto "B". Registra en la tabla 1 la graduación de la escala que coincide con el punto "B", para determinar la longitud del segmento AB.

Figura 1. El segmento AB puede ser medido por medición directa o indirecta. II

Medición indirecta (longitud)

Ahora, coloca la regla de modo que el cero de su escala coincida con el punto "C" y que el borde pase por el segmento AB (fig. 1), de una manera similar a la forma mostrada en la figura 2. Registra en la tabla 1 las lecturas sobre la escala de los puntos "A" y "B" que corresponden a los segmentos CA Y CB (fig. 3).

C

A

B

Figura 2. Medición indirecta del segmento AB.

Para conocer la longitud de AB, aplica la siguiente ecuación:

AB = CB - CA Registra el resultado obtenido en la tabla 1.

Figura 3. El segmento AB se obtiene de la diferencia de los segmentos CB y CA. III

Medición directa (ángulo).

Con ayuda del transportador mide al ángulo θ de la figura 4 y registra el resultado en la tabla 1. Expresa el resultado en grados sexagesimales.

Figura 4. El ángulo θ es un ángulo agudo. IV

Medición Indirecta (volumen)

En esta actividad se medirá el volumen de un cuerpo mediante un método indirecto. Vierte agua en la probeta hasta una altura que rebase el cuerpo cuyo volumen se va a medir. Toma la lectura V1 del agua, como se ilustra en la figura 5 y registra este valor en la tabla 2. Ahora, sumerge con cuidado el cuerpo en el agua de la probeta y registra el nuevo volumen V2 que incluye el volumen del cuerpo y del agua. Determina el volumen del cuerpo (V) con la siguiente ecuación:

V = V2 - V1

Figura 5. Medición del volumen del cuerpo A por desplazamiento de agua Repite el procedimiento anterior en tres ocasiones más, con volúmenes iniciales V1 diferentes de agua (agrega un poco de agua en cada caso). Registra los resultados obtenidos en la tabla 2.

Resultados Tabla 1. Mediciones directas e indirectas. Medición directa Ángulo θ 0 ( )

Longitud de AB (cm)

Medición indirecta Longitud de CB (cm)

Longitud de CA (cm)

Longitud de AB AB = CB - CA (cm)

Tabla 2. Medición del volumen de un cuerpo. Núm. 1. 2.

3

V1 (cm )

3

V2 (cm )

3

V = V2 - V1 (cm )

3. 4.

DISCUSIÓN ¿Pueden emplearse mediciones directas e indirectas en la determinación de una misma magnitud física? Explica

¿Los resultados son iguales o diferentes cuando se mide una magnitud física, tanto por métodos directos como indirectos? Explica

¿Hubo necesidad de hacer cálculos en la medición directa de AB?, ¿ y en la medición del ángulo θ? Explica

¿En la medición indirecta de AB se hicieron mediciones directas? ¿Cuáles?

En la medición indirecta de la longitud AB, ¿cómo se obtiene su valor?

¿Para obtener el volumen se emplearon fórmulas? ¿Cuáles?

¿En qué condiciones se efectúan las mediciones indirectas?

V


I. Dentro de los paréntesis señala con una "d" las actividades que corresponden a una medición directa y con "i" las que son propias de una medición indirecta. ( )

Medida del ancho de una hoja de tamaño carta con una regla de 30 cm.

( )

Medida de la gravedad con un péndulo, un cronómetro y una cinta

métrica. ( )

Medida de la masa de una navaja con una balanza.

( )

Medida del volumen de un sólido irregular con una probeta.

( )

Medida del tiempo con un reloj.

( )

Medida de la temperatura con un termómetro.

( ) Medida de la resistencia de una lámpara con un voltímetro y un amperímetro

II. Investiga cómo se midió la masa del Sol y escribe lo que hayas encontrado. ¿Qué tipo de medición se hizo?

III. Define los siguientes conceptos. Medición:

Medida:

Medición directa:

Medición indirecta:

IV. Características de un instrumento de medida. I.

Observa un termómetro clínico (de mercurio) y responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es el valor máximo de temperatura que puede medir? b) ¿Cuál es el valor más pequeño de temperatura que puede medir? c) ¿Es un instrumento que da lectura rápido? d) ¿Por qué crees que el termómetro clínico sólo mida ciertas temperaturas?

II.

De los instrumentos de medición que empleaste indica los valores más pequeños (cota mínima) y valores más grandes (cota máxima) que pueden medir y registra esto en la tabla 3. Tabla 3. Características de los instrumentos de medida. Instrumento

Valor mínimo

Valor máximo

CONCLUSIONES ¿Cuál es la diferencia entre una medición directa y una indirecta?

¿Cómo definirás a una medición directa?

¿Qué otras conclusiones obtuviste en esta actividad experimental?

BIBLIOGRAFÍA 1.

Serway, Raymond. “Física (Tomo I)” Editorial Mc Graw-Hill Interamericana. México, 1997.

2. Gutiérrez, Carlos. “Introducción a la metodología experimental”. Editorial Limusa Noriega Editores. México, 1998. 3.

Bueche, F. “Física (Tomo 1)”, Editorial Mc Graw-Hill Interamericana. México, 1996.

PRÁCTICA 5 ERROR EXPERIMENTAL

Nombre del Alumno:

Grupo: Nombre del (de los) profesor (es): 1. 2.


Calificación:

ERROR EXPERIMENTAL OBJETIVOS Al término de la práctica el alumno: -

Comprenderá que en una medición se cometen errores experimentales. Identificará el error de paralaje como un error que se comete en las mediciones por la técnica empleada para tomar las lecturas. Diferenciará los errores sistemáticos de los errores aleatorios. Reconocerá la presencia de los errores teóricos. Determinará cómo se propaga un error en una suma y en una multiplicación.

CONSIDERACIONES TEÓRICAS Medir ha sido siempre una necesidad para el hombre. En la actualidad esta tendencia a medir se ha acentuado, debido al desarrollo de más y mejores instrumentos de medición y a que se reconoce que el tener una información más precisa de lo que nos interesa, nos permite decidir qué acción, producto o servicio es el más adecuado. Por ejemplo, para decidir qué cubierta se debe comprar para proteger a la computadora del polvo, hay que medir tanto las dimensiones de la computadora como de la cubierta y como resultado de estas mediciones se selecciona la cubierta más adecuada. Sin embargo, en la práctica, el valor numérico obtenido en la medición no corresponde al valor real de la magnitud que se mide, porque los resultados que se obtuvieron en el proceso de medición son aproximados, debido a la presencia del error experimental. El error experimental es inherente al proceso de medición, y su valor solamente se puede estimar. Dicho error (e) está definido como la diferencia entre el valor medido (v) y el "valor verdadero (vv)" de la cantidad medida. Matemáticamente se expresa por la siguiente ecuación: e = v - vv donde:

v = valor medido vv = valor verdadero

Es decir que el valor del error se puede conocer si se conoce el valor verdadero. Pero, ¿se puede conocer el valor verdadero? Este error también se conoce con el nombre de error absoluto para distinguir esta medida de error de otro llamado error relativo.

Si al medir una distancia de 10 kilómetros se comete un error absoluto de 1 cm y al medir una longitud de 30 cm se comete también un error absoluto de 1 cm, es claro que la primera medida es mucho mejor que la segunda, aunque el error absoluto sea en ambos casos el mismo. Para poder diferenciar el error de una medida con el error de la otra empleamos el error relativo (E), el cual se define como el cociente del error absoluto entre el valor medido de la magnitud. e Matemáticamente se expresa por: E = vv Si este valor de error se multiplica por cien, obtenemos el error porcentual o porcentaje de error. Dada la naturaleza variada e impredecible de los errores experimentales, los científicos los han clasificado en errores sistemáticos y errores accidentales o aleatorios. Aleatorios Errores Sistemáticos MATERIAL 1 Regla de madera de 1 m 1 Regla de 30 cm 1 Pelota 2 Gomas de la misma altura o varias monedas DESARROLLO EXPERIMENTAL I.

Error Experimental

En la medición del coeficiente de restitución de una pelota se deja caer ésta desde una altura fija y se mide la altura de rebote. Entre más elástica sea la pelota más alto rebotará. En esta actividad sólo mediremos la altura de rebote. Coloca la regla como se muestra en la figura 1 y deja caer la pelota desde una altura de un metro. Mide la altura de rebote (h) de la pelota, registrando dicho valor en centímetros en la tabla 1. Pide a tres de tus compañeros o amigos que realicen el procedimiento anterior, y que registren los valores obtenidos en la tabla 1 de resultados.

Figura 1. Altura de rebote (h). Tabla 1. Altura de rebote de la pelota. Núm. de medición

Altura de rebote (h) (cm)

1 2 3 4

Discusión ¿Resultaron iguales los valores de la altura de rebote? ¿Por qué?

¿Puedes decir cuál es el valor verdadero o exacto de la altura de rebote? ¿A qué atribuyes que los valores obtenidos hayan sido diferentes? Explica.

¿Qué factores han intervenido para que los valores de las alturas no sean iguales?

¿La medición de la altura de rebote es una medición directa o indirecta? ¿Por qué?

¿En la medición de la altura de rebote de la pelota se podrá conocer el valor del error? ¿Por qué?

II

Error de Paralaje

En la figura 2 se encuentra el segmento AB cuya longitud se va a determinar aplicando el procedimiento siguiente:

Figura 2. Segmento AB que se va a medir. Coloca la regla como se muestra en la figura 3, toma las lecturas sobre la escala de los puntos A y B desde la posición N (sin moverte) y regístralas en la tabla 2. Repite lo anterior cuatro veces más, colocando en cada ocasión una parte diferente de la regla sobre la línea AB. Calcula la longitud de la línea recta AB, por la diferencia: AB = (Posición de B) - (Posición de A) Anota los resultados de esta diferencia en la tabla de resultados 2.

55

Figura 3. El observador está cometiendo error de paralaje al tomar la lectura del punto B. Resultados

Tabla 2. Longitud AB Lectura

Posición de A (cm)

Posición de B (cm)

AB = B - A (cm)

1 2 3 4 5 6

Ahora toma la lectura de A y B como se muestra en la figura 4 y determina la longitud AB, es decir, coloca tu mirada en forma perpendicular a la escala de la regla en los puntos A y B del segmento de recta AB. Registra tus resultados en la lectura 6 de la tabla 2.

Figura 4. Cómo evitar el error de paralaje. Discusión. ¿Cómo son los valores de las primeras cinco lecturas de la tabla 2 con respecto a la sexta lectura de AB? ¿Iguales? ¿Menores?

56

¿Por qué son menores los primeros cinco valores de AB?

¿Fue correcto el procedimiento aplicado para efectuar la lectura de la posición B en la figura 3? Explica.

Se puede decir que el sexto valor de la tabla 2 se aproxima más al valor verdadero de AB. ¿Por qué?

Si hicieras mediciones de las longitudes como se ilustra en la figura 3 ¿Por qué se diría que estás cometiendo un error sistemático?

III

Error del Cero

Con la regla de madera ( previamente preparada por el profesor ), mide en forma directa los tres segmentos de recta AB, CD y EF de la figura 5 y registra los resultados en la tabla 3. Vuelve a medir los segmentos de la recta de la figura 5, pero, ahora con la otra regla (puede ser metálica o de plástico) y registra los resultados en la tabla 3.

Figura 5. Medición de los segmentos de recta AB, CD y EF. Resultados

Tabla 3. Medición de AB, CD y EF Medición con:

Segmento de recta

Regla de madera (cm)

Regla de plástico o metálica (cm)

AB CD EF

Discusión ¿Son iguales los valores obtenidos con la regla de madera de las longitudes AB, CD y EF, que los obtenidos con la otra regla para los mismos segmentos de recta?

¿Con cuál regla se obtienen mejores valores? ¿Por qué? Observa con atención la regla de madera y compárala con la otra regla, ¿cuál es la diferencia? ¿A qué se debe?

¿Las dos reglas tienen sus ceros en sus escalas?

¿Con cuál de las dos reglas se estaría cometiendo un error sistemático? ¿Por qué?

IV

Errores Teóricos

Los errores teóricos se presentan al emplear una ecuación o relación aproximada para explicar o predecir un fenómeno o la relación entre dos o más variables o al utilizar un valor aproximado de una constante física en la solución de un problema. Un ejemplo para ilustrar esto, consideremos la ecuación del péndulo simple, para determinar su periodo de oscilación. El período de oscilación (T) del péndulo simple ilustrado en la figura 6 se puede calcular por la siguiente ecuación: l T = 2π g donde: ℓ = longitud del péndulo g = aceleración de la gravedad La cual se obtuvo al considerar que la fuerza resultante o fuerza neta (FR) dada originalmente por: FR = mg senθ, se aproxima por: FR = mg θ Claro que esto es válido si el ángulo θ (o sea la amplitud de oscilación) es pequeño. A fin de constatar que para ángulos pequeños sen θ ≈ θ, completa la tabla 4. Es decir, expresa en radianes el ángulo θ, determina el sen θ y el porcentaje de la diferencia entre θ y sen θ, el cual se calcula por:

(θ - senθ )

sen θ

100 %

donde: θ se debe expresar en radianes

59

Figura 6. A cualquier ángulo θ, en la esfera del péndulo actúa una fuerza de restauración FR igual a mg sen θ. Tabla 4. Comparación entre θ y sen θ. θ 0 ( )

θ (radianes)

sen θ

Diferencia %

1.0

0.01745

0.01745

0.00

3.0

0.05236

0.05234

0.04 *

5.0 10.0 20.0 30.0 60.0

∗ El valor de 0.04 se obtiene de: 0.05234 − ⎛ θ- senθ ⎞ ⎛ 0.05236 ⎞ ⎜ ⎟100% = ⎜ ⎟100 = 0.0382 ≈ 0.04 0.05234 ⎝ senθ ⎠ ⎝ ⎠ Si no se hubiese realizado la simplificación de que sen θ = θ, entonces la expresión correcta para determinar el período de oscilación sería: T = 2π

⎛ lg ⎝⎜1 +

4

1 θ2 sen

9 ⎞ 4 sen + ⋅ ⋅ ⋅ 64 ⎠ θ 2 ⎟ 2 -

Es obvio, que los errores teóricos de este tipo se pueden ajustar para satisfacer las demandas de precisión que demande el experimento o el experimentador. A fin de comparar los valores del período de oscilación para un péndulo de 1 m de o o longitud para un ángulo pequeño (θ1 = 2 ) y para un ángulo grande (θ2 = 70 ), calcula el período empleando las dos ecuaciones que aparecen en la tabla 5. Registra en esta tabla los cálculos obtenidos, así, como la diferencia T – T’. Tabla 5. Comparación de períodos.

60

θ 0 ( )

T = 2π

l g

T ′ = 2π

l⎛ 1 2θ 9 4 θ⎞ - sen ⎜1 + sen ⎟ g⎝ 4 2 64 2⎠

T – T’ (s)

2 70

Discusión 0

La diferencia en valor del período de oscilación ( T – T’ ) para el ángulo pequeño ( 2 ) en la tabla 5, ¿es pequeña?

0

La diferencia en valor del período de oscilación ( T – T’ ) para el ángulo grande ( 70 ) en la tabla 5, ¿es pequeña? Explica

¿En qué casos, puedes emplear la ecuación T =

l para calcular el período de g

2π oscilación de un péndulo? En qué situación esta ecuación no es conveniente utilizarla para calcular el periodo de oscilación?

V


I Responde de manera breve a las siguientes preguntas. 1.1

¿Se puede conocer el valor verdadero en una medición experimental? Explica.

1.2

¿Se puede conocer el valor del error en una medición experimental? Explica.

1.3

¿Qué es un error sistemático?

1.4

¿Qué es un error aleatorio?

1.5

¿Por qué se presentan los errores sistemáticos?

1.6

¿Qué tipo de errores no pueden eliminarse en las mediciones?

1.7

¿Cómo se puede determinar el error porcentual?

II Investiga en la bibliografía recomendada en la práctica lo siguiente: 2.1

¿Qué criterio se emplea para determinar el error absoluto en una medición indirecta que consiste de una resta de dos variables cuyos errores absolutos son conocidos? Criterio

III Resuelve los siguientes problemas: 1. 3 cm .

Un técnico midió el volumen de un troquel y encontró que éste es igual a 208.6 3

Si el valor real del volumen del troquel es 210 cm . ¿Cuál es el valor del error porcentual de dicha medición? Solución Datos

Fórmula

Operaciones

Resultado 2.

Calcular el error relativo en la medición de la densidad del agua salada, si el 3 3 volumen de 210 cm de ésta (con un error absoluto de 1 cm ) tiene una masa de 220 g (con un error absoluto de 2 g en su medición). Solución Datos

Fórmula

Operaciones

Resultado IV. Se dice que un satélite enviado por los ingleses al espacio exterior se encuentra de la Tierra a una distancia igual a la recorrida por un rayo de luz durante 6 minutos. a) Calcula esta distancia empleando primero el valor aproximado de la velocidad 8 de la luz ( c = 3 x 10 m/s) y después empleando el mejor valor medido 8 de la velocidad de la luz (c = 2.99792458 x 10 m/s) Cálculos:

b) ¿La diferencia en distancia en cada caso es grande?

c) ¿Qué opinas del error que se comete? Explica.

CONCLUSIONES ¿Qué conclusiones obtuviste de esta práctica?

BIBLIOGRAFIA 1.

Gutiérrez, Carlos. “Introducción a la metodología experimental”. Editorial Limusa Noriega Editores. México, 1998.

2.

Serway, Raymond. “Física (tomo 1)” Editorial Mc Graw- Hill Interamericana.

México, 1997. 3.


4.

Giamberardino, Vincenzo. “Teoría de los errores”. Editorial Reveté Venezolana. Caracas, 1976.

PRÁCTICA 6 INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES DIRECTAS

Nombre del Alumno:

Grupo:



Calificación:

INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES DIRECTAS OBJETIVOS Al término de la práctica el alumno: - Identificará el criterio que se emplea para asignar la incertidumbre en una medición directa. - Definirá la incertidumbre absoluta, la incertidumbre relativa y la incertidumbre porcentual. - Expresará el resultado de una medición directa con la incertidumbre respectiva. CONSIDERACIONES TEÓRICAS Con el avance científico y tecnológico se ha logrado disminuir el error en las mediciones pero no evitarlo ni calcularlo, porque actualmente lo que se determina es la incertidumbre experimental, o sea el valor posible que puede tener el error experimental. Esta cuantificación es importante para poder estimar el grado de validez de los datos que se obtienen y expresar los límites del intervalo dentro de los cuales se está seguro de capturar el valor verdadero. Por ejemplo, una medición de la aceleración de la gravedad expresada como: 2 g = (981.34 ± 0.01) cm/seg 2

indica que el valor más probable de g es 981.34 cm/seg , pero debido a la presencia de errores, el valor verdadero de g en el lugar de la medición está comprendido dentro del 2 2 intervalo 981.33 cm/seg a 981.35 cm/seg (figura 1).

2

Figura 1. Gráfica del intervalo (981.34 ± 0.01) cm/seg . Cuando se realiza una medición directa de una magnitud y no es posible repetir la medición, o cuando al hacer una serie de lecturas se obtienen los mismos resultados para la magnitud, a la lectura que se obtiene se le asocia generalmente una incertidumbre absoluta, igual a la mitad de la división más pequeña de la escala del instrumento empleado. Este criterio es útil y puede establecerse en el caso de aparatos de medida sencillos; regla, transportador, probeta, termómetro, manómetro, barómetro, etc. El que se aplique este criterio se debe a que el fabricante garantiza por lo general que sus instrumentos están diseñados y construidos de tal manera que aunque sufran variaciones accidentales, al efectuar una medición, el aparato introduce una incertidumbre máxima igual a la mitad de

la división más pequeña de la escala. Por ejemplo, si al medir la longitud de un lápiz con una regla graduada en milímetros se obtuvo un valor de 16.3 cm, la incertidumbre que se le asociará será de 0.05 cm (0.5 mm), o sea la mitad de la división más pequeña de la regla, de manera que el resultado se reporta como (16.3 ± 0.05) cm. La incertidumbre que se asocia a una medición directa puede ser de los siguientes tipos: Incertidumbre Absoluta Se designa con δx y con este valor se representan los límites de confianza dentro de los cuales se está seguro (alrededor del 99 %) de que el valor "verdadero" se encuentra en dicho intervalo. Esta puede ser la mitad de la división más pequeña de la escala del instrumento empleado. Incertidumbre Relativa Se define como el cociente de la incertidumbre absoluta (δx) y el valor medio (x0). Se designa con Ir . Matemáticamente se expresa como: δx Ir = x0 Es una magnitud adimensional que da una mayor idea de la precisión de la medición. Incertidumbre Porcentual Es el índice que más comúnmente se usa para especificar la precisión de una medida. Se define como la incertidumbre relativa por 100, es decir: I(%)= Ir (100) donde: I(%)= incertidumbre porcentual. Es importante señalar que mientras más precisa es la medición, menor es la incertidumbre asociada. Al reportar una medición, en lugar de un sólo número, se especifica un intervalo. Aunque el valor real de una magnitud será siempre dudoso ya que siempre tiene asociado un error, al asignarle una incertidumbre se expresa la confianza de capturar de ese valor verdadero dentro del intervalo definido. Cuantificar la incertidumbre es importante para poder estimar el grado de validez de la medición realizada.

68

En general, toda medición debe ser expresada de la siguiente manera:

69

Como la incertidumbre puede ser absoluta, relativa o porcentual, la magnitud medida se puede expresar por: x = x0 ± δx x = x0 ± Ir x = x0 ± I(%) donde:

x0 = lectura obtenida en el instrumento de medición δx = incertidumbre absoluta Ir = incertidumbre relativa I(%) = incertidumbre porcentual

MATERIAL 1 Regla de madera de 1 m 1 Regla de 30 cm 1 Probeta de 100 mililitros 1 Vaso de precipitados 250 milílitros 1 Dinámometro 1 Pesa con gancho 1 Transportador * Agua DESARROLLO EXPERIMENTAL I. Medición de longitud Mide el largo de una hoja tamaño carta, tanto con la regla de 1 m, como con la regla de 30 cm. Registra tus lecturas en la tabla 1. Determina el valor que existe entre dos divisiones consecutivas de las reglas y asigna las incertidumbres absolutas respectivas de la medida del largo de la hoja y registra estos valores en la tabla 1. Calcula las incertidumbres relativas y porcentuales de cada medición y registra los resultados en la tabla 1. En la tabla 2, escribe los valores máximos y mínimos de cada medición de la longitud, los cuales se obtiene de la siguiente manera: valor máximo = valor medido + incertidumbre absoluta valor mínimo = valor medido - incertidumbre absoluta La diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo permite calcular el rango o intervalo de incertidumbre de la medición. Registra este valor en la tabla 2. Finalmente 69

escribe en la tabla 3 la manera en que se deben reportar los resultados (medidas del largo de la hoja).

70

II. Medición de volumen Vierte agua a la probeta, de manera que 3/4 de su volumen contenga agua. Toma la lectura y regístrala en la tabla 1. Vierte este volumen de agua en el vaso de precipitados y registra la lectura en la tabla 1. Determina el valor de la división más pequeña de la probeta y del vaso de precipitados. Calcula las incertidumbres absolutas, porcentuales y relativas de cada medición y regístralas en la tabla 1. Calcula los valores máximos y mínimos del volumen de agua y regístralos en la tabla 2. También determina la diferencia entre estos valores para cada uno de los aparatos de medición del volumen y regístralos en la tabla 2. Escribe en la tabla 3 la manera en que se debe reportar el volumen medido del agua. III. Medición del peso Con ayuda del dinámometro mide el peso de la pesa y registra su valor en la tabla 1. Determina el mínimo valor que puede medir el dinamómetro, así como las incertidumbres absolutas, relativas y porcentuales de la medición del peso y regístralas en la tabla 1 de mediciones. En la tabla 2 escribe los valores máximos y mínimos de la medición, así como el rango respectivo. En la tabla 3 escribe la manera en que se debe reportar el de la pesa. Resultados Tabla 1. Medidas con sus respectivas incertidumbres. Instrumento empleado

Magnitud

Regla de 30 cm

Longitud _ _ _ _cm

Regla de 1m

Longitud _ _ _ _cm

Probeta

Volumen 3 _ _ _ _cm

Vaso de precipitados

Volumen 3 _ _ _ _cm

Dinamómetro

Peso * _ _ _ _( )

División más pequeña

δx ( )

Ir ( )

I (%)

* Registra en el paréntesis la unidad en que está graduado el dinámometro. Tabla 2. Valores máximos y mínimos de los intervalos de la incertidumbre. Magnitud

Instrumento

Longitud

Regla de 30 cm

Valor máx. cm

Valor mín. cm

Rango cm

Longitud

Regla de 1m

cm

Volumen

Probeta

cm

3

cm

3

cm

3

Volumen


cm

3

cm

3

cm

3

Peso

Dinámometro

(

cm

)

(

cm

)

(

)

Tabla 3. Formas de reportar los resultados de una medición. Magnitud

Instrumento

Longitud

Regla de 30 cm

Longitud

Regla de 1m

Volumen

Probeta

Volumen


Peso

Dinámometro

Valor medido ± δx

Valor medido ± I (%)

En las dos últimas columnas de esta tabla escribe la unidad correspondiente a las magnitudes medidas. Discusión ¿Con qué regla es mejor la medición del largo de la hoja? ¿Por qué?

¿Cómo es la diferencia entre el valor máximo y mínimo en la medición de la longitud?

¿Cuál de las dos reglas reporta una diferencia menor?

¿Con qué regla la incertidumbre relativa de la longitud de la hoja es menor?

¿Con qué instrumento de los empleados es mejor medir el volumen del agua? Justifica tu respuesta.

¿Entre qué valores se encuentra el peso de la pesa?

¿De todas las mediciones realizadas cuál tiene la menor incertidumbre porcentual? y ¿cuál la mayor incertidumbre porcentual?

IV. Medición de ángulos Con ayuda del transportador mide los ángulos interiores del trapezoide que aparece en la figura 2. Registra las medidas en la tabla 4. Asimismo, escribe en dicha tabla la incertidumbre absoluta que se asocia a cada medición. En la columna correspondiente escribe la forma en que se debe reportar la medición de cada ángulo. Finalmente, en la tabla 4 registra el resultado del cálculo de la incertidumbre porcentual para cada medición.

Figura 2. Ángulos interiores del trapezoide. Resultados Tabla 4. Medidas de los ángulos interiores y sus incertidumbres. Ángulos 0 interiores ( )

Incertidumbreabs 0 oluta ( )

Resultado de la 0 medición ( )

Incertidumbre 0 porcentual ( )

α β γ θ

Discusión ¿Cuál es el valor de la incertidumbre absoluta que se debe asociar a la medida de los ángulos con el transportador empleado? ¿Por qué?

Si los ángulos interiores se miden con el mismo transportador, ¿su incertidumbre porcentual resultó igual? Explica.

V. Actividades Complementarias

V.1. Define los siguientes conceptos 1. Incertidumbre absoluta.

2. Incertidumbre relativa.

3. Incertidumbre porcentual.

V.2 Responde las siguientes preguntas. 1. ¿Cuál es la unidad de la incertidumbre relativa?

2. ¿Cuál es el criterio que se emplea para asignar la incertidumbre absoluta a una medición directa? Criterio

V.3. Escribe en el espacio en blanco la incertidumbre absoluta que se asociaría a las mediciones que sé hicieran con las siguientes reglas. Recuerda que debes determinar el valor de la magnitud más pequeña que puedes medir con la regla para poder calcular la incertidumbre absoluta.

V.4. Escribe en los espacios en blanco la medida indicada por la aguja en las carátulas de los diversos amperímetros graduados en amperes y que se muestran a continuación. Registra tus resultados con sus respectivas incertidumbres absolutas.

a)

b)

c)

V.5. Calcula la incertidumbre porcentual para las medidas señaladas por las agujas que aparecen en la carátula que se muestra a continuación. La escala está graduada en volts (V). Registra tus medidas con sus respectivas incertidumbres porcentuales en la tabla 5.

75

Tabla 5. Medidas con sus respectivas incertidumbres porcentuales Posición de la aguja en

Medida ± incertidumbre experimental (V)

a b c d e

V.6. Sobre la línea recta dibuja los intervalos de incertidumbre de las siguientes medidas. Recuerda que la división más pequeña de la escala es igual a dos veces el valor de la incertidumbre absoluta. Este conocimiento te permitirá trazar la escala del instrumento empleado en cada medición. a) (4.6 ± 0.1) cm b) (8.96 ± 0.02)m c) (46.0 ± 0.5) A d) (46.0 ± 0.1) A V.7. Resuelve los siguientes problemas. 1. Al medir Sandra con una cinta métrica la altura de la mesa señala que no es mayor de 92.6 cm, ni menor de 92.2 cm. Con estos datos . . . a) escribir esta medición como valor central ± incertidumbre absoluta. b) calcular la incertidumbre relativa de la medición. c) determinar la incertidumbre porcentual de la medición. 76

Datos

Solución

Resultados a) b) c) 2. Una regla graduada en milímetros es empleada para medir el largo de una hoja. Si el valor obtenido es de 24.6 cm. a) ¿Cuánto vale la incertidumbre absoluta de la medición? b) ¿Cuánto vale la incertidumbre relativa? Solución Datos

Resultado a) b)

3. ¿Cuál es la distancia que debe ser medida por una regla de 20 cm graduada en milímetros para que la incertidumbre porcentual sea igual a 2%? Solución Datos

Resultado CONCLUSIONES ¿Cuáles son tus conclusiones de esta práctica?

BIBLIOGRAFIA 1.


2.

Del Rio, Fernando. “El arte de investigar”. Colección CBI Universidad Autónoma Metropolitana. México 1990.

3.


4.

Giamberardino, Vincenzo. “Teoría de los errores”. Editorial Reverté Venezolana. Caracas, 1976.

PRÁCTICA 7 MEDICIÓN DIRECTA NO REPRODUCIBLE

Nombre del Alumno:

Grupo: Nombre del (de los) profesor (es): 1. 2.


Calificación:

MEDICION DIRECTA NO REPRODUCIBLE OBJETIVOS Al término de la práctica el alumno: - Comprenderá que en una medición se cometen errores experimentales. - Identificará las características de una tabla de resultados. - Empleará la media aritmética como el valor representativo de un conjunto de mediciones directas de la misma magnitud. - Asignará a una medición directa no reproducible un indicador de las desviaciones cuando no se obtiene el mismo valor al repetir la medición. - El porcentaje de energía mecánica que le queda a una pelota en el primer rebote. CONSIDERACIONES TEÓRICAS Es muy frecuente que al repetir una medición se obtenga valores diferentes, y cuando así sucede, se dice que se trata de una medición no reproducible. El que se obtengan valores diferentes en la repetición de una medición se debe a la presencia de los errores experimentales. Tabla de resultados Al repetir una medición no reproducible se obtienen diferentes valores, los cuales se organizan en tablas de resultados. Las tablas de resultados son una manera útil de presentar un conjunto de resultados experimentales u observaciones afines. Las tablas se usan para registrar, organizar y comunicar los datos, de modo tal que quien las lea tenga toda la información completa y relevante en forma organizada. Las tablas de datos o resultados tienen la ventaja de ser compactas y fáciles de interpretar. El objeto de éstas es proporcionar datos en forma sintética, pueden exponer una serie de detalles específicos (por ejemplo, variaciones de temperatura en un día de verano), o mostrar la relación entre dos o más variables de un experimento (por ejemplo, la distancia recorrida y el tiempo empleado por un auto que viaja a velocidad constante en un carretera recta). Los aspectos más importantes que se deben considerar en la organización de las tablas son su sencillez y uniformidad.

Una tabla consta de los siguientes elementos: 1.

El número de la tabla.

2.

Su titulo o encabezado, el cual debe servir para identificar su contenido.

3.

Las cabezas de las columnas (o renglones), o sea los títulos que identifican las columnas (o renglones). Se debe registrar el nombre de la magnitud o variable y la unidad en que fue medida.

4.

El campo, es decir, las columnas (o renglones) de los datos o resultados. Una vez que la unidad se ha especificado en la cabeza de la columna, no es necesario repetirla en cada dato o medición

5.

Las referencias y observaciones importantes, si las hubiera, deben señalarse mediante asteriscos y escribirse como notas al pie de la tabla.

6.

Es conveniente que los números que se registren estén aproximadamente en el rango 0.1 a 1000, para lo cual se utiliza la conveniente potencia de 10 como se muestra en la tabla 1. 0

Tabla 1. Coeficientes de comprensibilidad (k) de líquidos a 20 C. Líquido 10

-11

k Pa

Agua

45.8

Alcohol etílico

110

Glicerina

21

Mercurio

3.7

Sulfuro de mercurio

93

-1

Si la incertidumbre es la misma para toda la columna (o renglón) en la tabla, conviene escribirla en la cabeza de la columna. Si la incertidumbre no es común a las medidas de la columna hay que ponerla en una columna aparte (con la cabeza adecuada) o añadirla a cada valor. Media aritmética Uno de los problemas que enfrenta el experimentador es la asignación del valor

representativo de un conjunto de valores obtenidos experimentales. Si se considera que en las medidas sólo está presente el error accidental o aleatorio, entonces el valor que se utiliza para representar este conjunto de valores es la media aritmética, la cual se define como: xm = x =

x1 + x 2 + x 3 + . . . + x n n

donde: xm = x = media aritmética x1, x2, . . . , xn = valor de cada lectura n = número de lecturas Medidas de dispersión Puesto que los valores obtenidos son diferentes al repetir una medición no reproducible, entonces con el propósito de señalar la dispersión de los valores obtenidos se puede asignar como incertidumbre cualquiera de los siguientes indicadores: Desviación absoluta máxima (d.a.m.) que es simplemente la mayor de las diferencias absolutas entre el valor promedio o media aritmética y las lecturas obtenidas. Rango. Se define como la diferencia entre la mayor y la menor de las lecturas que se obtienen al medir una magnitud. Desviación media. Se define mediante la siguiente ecuación. n

Δx =

∑ xi -x i=1

donde:

n

n

∑ Δx i =1 = n

Δx = desviación media x = media aritmética n = número de medidas

Desviación estándar. Es un índice de precisión de mucha utilidad. Se representa por s. Se define como: ∑ xi-x n

s=

(

i =1

n-1

)

2

donde:

s = desviación estándar o típica de un conjunto finito de lecturas o medidas

Este índice de precisión es el que emplean muchos científicos y técnicos al reportar sus resultados. Resultado de una medición El resultado de una medición que se ha efectuado varias veces, debe reportarse por: valor reportado = media aritmética ± índice de precisión Los índices de precisión que más se emplean son la desviación media y la desviación estándar. Cuando el resultado de un conjunto de medidas de la misma magnitud se reporta como x

± s, se establece que el 68% de las lecturas se encuentran en dicho intervalo; pero si se reporta como x ± 3s, entonces se dice que el 99% de las medidas se encuentran en dicho intervalo. MATERIAL 1 Regla de madera de 1 m 2 Pelotas diferentes (una de goma y otra de tenis) * La pelota de tenis la deberá traer el alumno. DESARROLLO EXPERIMENTAL I. Cálculo del porcentaje de la energía mecánica de una pelota después del primer rebote. En esta primera actividad se dejará caer una pelota desde una altura de h0 = 1 m, es decir, que tendrá una energía potencial inicial igual a: Ep0= mgh0 Al rebotar en el piso, perderá energía potencial, pues, la altura de rebote h será menor que h0 , lo que implica que su energía potencial Ep = mgh será menor que la energía potencial inicial, Ep0 . (figura 1)

Figura 1. La energía potencial es menor después del primer rebote. El porcentaje de energía potencial que le queda a la pelota con respecto a la energía potencial inicial después del primer rebote se calcula por: Ep (100)% Ep 0 mgh = (100)% mgh 0 h = (100)% h0 = Porcentaje de la energía potencial de la pelota con respecto a la inicial después del primer rebote.

Si la pelota se deja caer de una altura h0 = 1 m = 100 cm, entonces se obtiene lo siguiente: h Porcentaje de la energía potencial = (100) % de la pelota con respecto a la inicial 100 después del primer rebote.

donde: h es la altura del rebote que debe expresarse en centímetros Ep - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (1) (100)% = h % E p O sea que : 0

Es decir, que el porcentaje de energía potencial de la pelota con respecto a la energía potencia inicial después del primer rebote, es numéricamente igual a la altura de rebote (dada en cm). Procedimiento Habiéndose realizado la justificación teórica se procede al desarrollo experimental. 84

Coloca la regla como se muestra en la figura 2 y deja caer la pelota de goma desde la altura de un metro (h0 = 1 m). Mide la altura de rebote (hi) de la pelota, y registra dicho valor en la tabla 2. Repite lo anterior nueve veces más. Determina la suma de los valores hi y calcula la media aritmética h o hm. Anota estos cálculos en la tabla 2. Determina para cada lectura la desviación Δhi = hi - h , así como su valor absoluto. Registra dichos resultados en la tabla 2. Calcula las desviaciones media y estándar y regístralas en la tabla 2 en los espacios respectivos. Reporta los resultados de tus mediciones como se te indica en la tabla 3. Finalmente, repite todo lo anterior para la pelota de tenis y reporta los resultados en las tablas 4 y 3. Con los resultados de las tablas 2 y 4 (medias aritméticas), y la ecuación 1 determina para cada pelota el porcentaje de la energía potencial con respecto a la energía potencial inicial después del primer rebote y regístralo en la tabla 5 .

Figura 2. Altura del rebote (h).

Resultados

Número de

Tabla 2. Medición de la altura de rebote de la pelota 1. Altura de

Δhi= hi - hm 85

|Δhi|=|hi - hm|

2

(Δhi) =(hi -

medición

(cm)

rebote (hi) (cm)

2

(cm)

hm) 2 (cm )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > hi=

> | Δhi|=

h = hm=

Δh = Δhm =

2

> (hi - hm) = s=

cm.

Tabla 3. Modo de reportar los resultados. Altura de rebote Pelota

hm ± Δhm(cm)

hm ± s (cm)

hm ± 3s (cm)

1 2

Tabla 4. Medición de la altura de rebote de la pelota 2. Número de

Altura de

Δhi = hi - hm 86

|Δhi| = |hi - hm|

2

(Δhi) = (hi -

medición

rebote (hi) (cm)

(cm)

2

(cm)

hm) 2 (cm )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2

> hi=

> | Δhi|=

> (hi-hm) =

h = hm=

Δh = Δhm =

s=

cm.

Tabla 5. Porcentaje de energía potencial después del primer rebote. Pelota

Porcentaje de energía %

1 2

Discusión ¿Resultaron iguales los valores de la altura de rebote, para cada una de las pelotas? Explica. Observa las tablas 2 y 4.

¿Puedes decir cuál es el valor verdadero de las alturas de rebote para cada pelota? ¿Por qué?

¿A qué atribuyes que los valores obtenidos hayan sido diferentes?

¿Puedes considerar el valor promedio como el valor exacto de las mediciones? Explica.

¿Cuál pelota tiene una mayor altura promedio de rebote? ¿Por qué?

¿Cuál de las dos pelotas tiene mayor desviación media? ¿Y cuál mayor desviación estándar?

¿Qué valor es mayor para cada una de las pelotas Δhm o 3s?

¿Cuál es la pelota que pierde más energía mecánica (potencial) en el rebote? Explica.

¿Qué porcentaje de la energía inicial absorbió el piso durante el primer rebote de la pelota?

II. Actividades Complementarias I.

Menciona los principales elementos de una tabla de resultados.

II. Realiza lo que se te indica En la medición de la masa de una esfera por diferentes personas, se obtuvieron los siguientes valores: 2.0 g, 1.9 g, 2.1 g, 2.2 g, 2.0 g, 2.0 g, 1.9 g, 2.1 g, 2.4 g, 2.1 g, 2.0 g, 2.3 g, 2.3 g, 2.0 g, 2.4 g, 1.9 g y 2.0 g. Organiza en una tabla la frecuencia con que aparece cada medida. Solución En este espacio escribe la tabla de mediciones

III. Previa investigación define los siguientes conceptos. 1. Medida aritmética:

2. Moda: 89

3. Mediana:

4. Desviación media:

5. Desviación estándar:

6. Desviación estándar del promedio:

7. Rango:

8. Energía mecánica

9. Energía cinética

10. Energía potencial

IV. Resuelve los siguientes problemas. 1.

Al dejar caer una pelota de una altura de 1m se midió por diferentes personas, el tiempo que tardó en tocar el piso, obteniéndose los siguientes valores 0.45 s, 0.44

s, 0.46 s, 0.44 s, 0.46 s, 0.47 s, 0.45 s, 0.44 s y 0.47 s. Calcular: a) la media aritmética b) la desviación absoluta máxima c) el rango Solución

Resultados a) b) c) 2. Al medir el voltaje entre las terminales de una fuente por diferentes técnicos se encontraron los siguientes valores. Número de medición

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Voltaje (V)

116

115

114

116

116

113

115

110

115

114

2.1 Calcula: a) la media aritmética b) la moda c) la desviación media d) la desviación estándar e) la desviación estándar del promedio

2.2 Expresa el resultado tanto en función de la desviación media como de la desviación estándar. Solución Resultados 2.1 a) b) c) d) e) 2.2 a) b)

V. Previa investigación contesta lo siguiente: 5.1

¿Cuál es la equivalencia entre la desviación media y la desviación estándar?

5.2

¿Aumenta o disminuye la desviación media al aumentar el número de mediciones? Explica.

5.3

¿Qué establece la ley de conservación de la energía mecánica? ¿En qué casos no se conserva la energía mecánica?


BIBLIOGRAFIA 1.


2.

Del Rio, Fernando. “El arte de investigar”. Colección CBI Universidad Autónoma Metropolitana. México 1990.

3.


4.

Giamberardino, Vincenzo. “Teoría de los errores”. Editorial Reverté Venezolana. Caracas, 1976.

93

PRÁCTICA 8 GRÁFICA LINEAL

Nombre del Alumno:

Grupo:

Calificación:



94

GRÁFICA LINEAL OBJETIVOS Al término de la práctica el alumno: - Identificará las características de una gráfica lineal. - Obtendrá experimentalmente el valor de π. - Encontrará la ecuación que relaciona el diámetro con la circunferencia de objetos circulares, mediante el análisis gráfico. CONSIDERACIONES TEÓRICAS Los resultados de los experimentos y de las medidas se concentran en las tablas de datos los cuales contienen y, en cierto modo esconden la mayor parte de la información relevante. En ese conjunto, a veces complicado, de datos es tarea del estudiante o del investigador buscar regularidades, descubrir relaciones entre las variables investigadas y en definitiva hacer inteligible toda la información acumulada durante el experimento. Este tratamiento de los datos experimentales puede efectuarse de dos formas, analítica y gráficamente. El tratamiento analítico es muy poco intuitivo y supone el manejo, casi siempre laborioso, de las cantidades numéricas; es el procedimiento habitualmente utilizado por las computadoras. Por el contrario, el procedimiento gráfico es por su propia naturaleza enormemente visual o pictórico. Una gráfica experimental bien realizada puede proporcionar, como a vista de pájaro, información sobre el tipo de relación existente entre dos o más variables, sobre la calidad del experimento o sobre el significado de algunos valores singulares, por ejemplo, y puede sugerir la realización de otras representaciones gráficas que faciliten la interpretación final de los resultados. En una primera fase del tratamiento de los datos, la representación gráfica resulta imprescindible y esto es un tanto más cierto cuanto menor es la experiencia del investigador o cuanto mayor es la complejidad de la tabla. En una segunda fase tiene ya cabida la realización de un tratamiento analítico más fino o preciso. Junto a estas razones de tipo práctico existen otras que tiene que ver con el estudiante como persona. La representación gráfica de los resultados produce la sensación de estar siguiendo paso a paso el proceso de búsqueda y cuando se consigue una imagen clara, aunque sea preliminar, se experimenta la gratificante sensación de divisar, al fin, la culminación de dicho proceso.

Elaboración de gráficas La elaboración de gráficas es una tarea sencilla; sin embargo, por el desconocimiento de algunas normas el experimentador se puede encontrar con ciertas dificultades para realizarlas e interpretarlas. Para evitar esto se recomienda tomar en cuenta lo siguiente: 1.

Elección del papel adecuado. El papel que se emplea para representar los datos o resultados. Previa investigación escribe los nombres de las principales tipos de papel que se emplean para graficar los datos.

2.

Elección de la escala. La elección de la escala se logra con la práctica, pero existen normas que facilitan la correcta elección. Previa investigación, escribe al menos cuatro normas que se emplean para la elección de las escalas en una gráfica. 1.

2.

3.

4.

3.

Trazo de los puntos experimentales. Una vez elegidas las escalas y el papel, se procede a la localización de los puntos experimentales, lo cual se consigue haciendo coincidir las líneas imaginarias perpendiculares con los ejes que pasen por las coordenadas de los datos experimentales, como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Localización del punto, t = 4 s y d = 4 m. Las líneas punteadas son líneas imaginarias que no deben aparecer en la gráfica. Los puntos experimentales se pueden representar con puntos, círculos, cruces, triángulos, etc. Cuando aparezcan dos o más curvas en la misma gráfica se deberán utilizar distintos símbolos para cada grupo de datos. Aun cuando las curvas pasen a través de todos los puntos experimentales, los símbolos de los puntos deben quedar claramente visibles. 4.

5.

Ajuste de la curva por los puntos experimentales. ∗ Una vez localizados los datos experimentales se procede a trazar una curva que se adapte a través de los puntos obtenidos. No siempre es fácil trazar la mejor curva que pase por todos los puntos obtenidos. Con frecuencia, es necesario decidir entre la suavidad de la curva y su cercanía a dichos puntos. Normalmente la curva no debe contener picos, discontinuidades u otras peculiaridades, particularmente si hay razones teóricas para esperar que el fenómeno, o proceso se describa por medio de una curva sencilla. No es necesario que la curva pase por todos los puntos experimentales, pero debe pasar por los rectángulos de incertidumbre, con los centros de dichos rectángulos igualmente distribuidos a ambos lados de la curva como se nuestra en la figura 2.

Figura 2. La línea se traza de manera que toque los rectángulos de incertidumbre y se encuentren igual número de puntos experimentales arriba y abajo de la línea. Obtención de la ecuación matemática de la gráfica. En física es muy frecuente el determinar la ecuación que relaciona las dos variables a partir de la gráfica. En

∗ Gutiérrez, C. Introducción a la metodología Experimental. Editorial Limusa, México, 1998. p. 89.

esta práctica se obtendrá la ecuación cuando los datos experimentales se representen por una línea recta. La ecuación de una recta es: Donde:

y = mx + b

y = variable dependiente x = variable independiente b = ordenada al origen m = pendiente de la recta

La pendiente "m" de una línea recta se define como el cociente entre la elevación de la variable dependiente (y) y el avance de la variable independiente (x), en dos puntos cualesquiera sobre la recta. Es decir: m =

Elevación Avance

En función de dos puntos de la gráfica 3 (figura 3). m = Donde:

y2 - y1 x 2 - x1

(x1, y1) son las coordenadas del punto P1 (x2, y2) son las coordenadas del punto P2

Figura 3. La ecuación de una recta está dada por y = mx + b. La ordenada al origen (b) de una línea recta es igual a la variable dependiente en donde la línea recta cruza al eje vertical, es decir, donde la variable independiente tiene un valor de cero. Las gráficas que permiten encontrar la ecuación matemática que relaciona las variables del experimento, reciben el nombre de gráficas funcionales. Las gráficas que se emplean en la ciencia también pueden ser de barras,

poligonales, etc. Gráfica poligonal. Es una gráfica lineal; en ésta se representa el número de veces que se presentan los datos o una serie de mediciones. En uno de los ejes se representa la frecuencia o número de veces que aparece cada dato o medición y en el otro los datos o mediciones (Figura 4).

Figura 4. Gráfica poligonal del número de estudiantes por edad de una escuela primaria. Gráfica de barras. En esta gráfica también se presenta la frecuencia con que aparecen los datos o una serie de mediciones, pero dicha representación se hace mediante barras paralelas colocadas en forma horizontal o vertical entre los ejes del plano horizontal (figura 5)

Figura 5. Gráfica de barras del número de estudiantes por edad de una escuela primaria. En virtud de las características de las gráficas, investigadores, economistas, biólogos, ingenieros y otros profesionistas las consideran poderosas herramientas.

MATERIAL 1 Tira de papel. 1 Alfiler 1 Regla graduada en milímetros. 8 Tapas o monedas de diferente diámetro. 4 hojas de papel milimétrico. 1 Tijeras. * Cada alumno deberá traer las hojas de papel milimétrico y las tijeras.

DESARROLLO EXPERIMENTAL I. Gráfica poligonal En esta actividad realizarás una gráfica poligonal en donde se aprecie la frecuencia de nacimientos por mes de tus compañeros. Para esto primeramente llena la tabla 1. Pídele a tus compañeros que levanten la mano los que nacieron en enero (no importa el año) cuéntalos y registra el valor en la tabla 1. Procede de esta manera para los otros meses del año. Resultados Tabla 1. Frecuencia de nacimientos. Mes

Ene

Feb

Mar

Abr

May

Jun

Jul

Ago

Sep

Oct

Nov

Dic

Frec.

Realizado lo anterior en una hoja de papel milimétrico haz la gráfica poligonal correspondiente a los datos de la tabla 1.

100

Discusión ¿Qué es más fácil de interpretar la tabla o la gráfica poligonal? ¿Por qué?

101

¿En qué mes la frecuencia de nacimientos fue mayor en tu grupo? ¿En qué mes la frecuencia de nacimientos fue menor?

¿Qué información se visualiza de la gráfica poligonal? ¿De qué manera la puede utilizar un hospital? ¿Cómo la utilizarían los comerciantes?

II. El valor de π En esta actividad podrás determinar el valor de π a partir de la ecuación que, se obtiene al graficar el diámetro y la circunferencia de varios objetos circulares. Con la regla mide el diámetro de cada una de las tapas y/o monedas y registra dichos valores en la tabla 2. Considerando que en la medición se comenten errores, asocia una incertidumbre experimental a la medición del diámetro igual a la mínima longitud que puede medir la regla, es decir, un milímetro (δD = 1mm = 0.1 cm). Para medir el perímetro corta una tira de papel de aproximadamente medio centímetro de ancho y con ella, envuelve la moneda o la tapa lo más ajustadamente posible, clavándole un alfiler cuando los extremos de la tira se superponen (Figura 6). Desenrolla la tira colocándola sobre una superficie plana y mide la distancia entre las marcas dejadas por el alfiler. Esta distancia es la longitud de la circunferencia de la tapa. Asocia a esta longitud una incertidumbre igual a la del diámetro, es decir, δC = 0.1 cm. Registra los resultados en la tabla 2. Repite este procedimiento para las otras tapas (o monedas).

Figura 6. Enrolla el papel alrededor de la tapa o la moneda

en el papel en la parte en que se superpone la tira de papel. Gráfica en otra hoja de papel milimétrico un sistema de coordenadas cartesianas de manera que el eje de las abscisas corresponda al diámetro y al eje de las ordenadas a las longitudes de las circunferencias. Escoge la escala adecuada para que se puedan graficar las incertidumbres (figura 7).

Figura 7. Intervalos de incertidumbre asociados a la medición. Localiza los puntos experimentales y traza una línea recta de manera que haya aproximadamente igual número de puntos experimentales arriba como abajo de la recta, tal y como se muestra en la figura 8.

Figura 8. Gráfica en papel milimétrico del perímetro y el diámetro de la circunferencia. Como la gráfica es una línea recta, determina la ecuación que relaciona al perímetro y el diámetro de la circunferencia. Para esto, selecciona dos puntos de la gráfica para determinar la pendiente así como la ordenada al origen. Resultados

Tabla 2. Perímetro y diámetro de las circunferencias. Objeto

Diámetro D (cm) ± 0.1 cm

Perímetro C (cm) ± 0.1 cm

m=

C Perímetro = D Diámetro

m

π

1 2 3 4 5

Registra el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro para cada tapa ó moneda de la tabla 2. Compara estos valores entre sí y con el valor de la pendiente, m, obtenido en la gráfica, asímismo, efectúa el cociente m/π. La ecuación obtenida de la gráfica perímetro versus diámetro es igual a:

El valor de la pendiente m es igual a: El valor de la ordenada al origen b es igual a:

105

l

Discusiones ¿Por qué se consideró al diámetro como variable independiente?

¿Por qué se consideró al perímetro como la variable dependiente?

¿Al aumentar el diámetro de la circunferencia disminuye o aumenta el perímetro de la circunferencia?

¿El cociente entre el perímetro y el diámetro es una constante para cada circunferencia?

¿La gráfica del perímetro contra el diámetro es una línea recta? ¿Por qué? ¿El valor de la pendiente es igual a π?

¿Qué tipo de ecuación relaciona el diámetro y el perímetro de una circunferencia?

III. Actividades Complementarias I. Responde las siguientes preguntas previa investigación en la bibliografía recomendada. 1

¿Qué ventajas tiene una gráfica sobre una tabla de datos?

2

Menciona tres aplicaciones de las gráficas en la ciencia y en la ingeniería. 106

1)

2)

3)

3

¿Qué es interpolación?

4

¿Qué es extrapolación?

II.

Realiza las siguientes actividades.

1.

Los siguientes datos muestran la posición de un objeto para diferentes tiempos: Tabla 3. Distancia de un objeto en función del tiempo. Distancia (m)

2

5

8

11

14

17

Tiempo (s)

0

1

2

3

4

5

a) En una hoja de papel milimétrico gráfica estos datos en un sistema de coordenadas cartesianas. b) Determina la ecuación de la línea que se ajusta a los datos. 2.

Conociendo el número de veces que aparecen las medidas de la masa de una esfera medidas por diferentes técnicos (Tabla 4), en una hoja de papel milímetrico realiza una gráfica poligonal para representar estos datos. Tabla 4. Masa de una esfera

3.

Medida (g)

Frecuencia

1.9

3

2.0

6

2.1

3

2.2

1

2.3

2

2.4

2

En la gráfica mostrada en la figura 9 se representa la deformación experimentada por un resorte bajo la acción de una fuerza. a) Mediante interpolación determina la deformación que experimentará el resorte al aplicarle una fuerza de: 15.0 N b) Mediante extrapolación determina la deformación que experimentará el resorte al aplicarle una fuerza de: 35 N

Figura 9.- Gráfica de fuerza contra deformación 4.

Cuando la incertidumbre de una de las variables es muy pequeña con respecto a la escala en que se representan, los rectángulos se pueden transformar en barras.

Coloca en el paréntesis la letra de la gráfica de la figura 10 que corresponde a la respuesta de la pregunta.

¿En cuál de las siguientes gráficas . . .

Figura 10.- Gráficas de la relación entre dos variables. ( )

se indica la incertidumbre de las dos variables.

( )

se indica únicamente la incertidumbre de la variable representada en el eje vertical.

( )

no se indica la incertidumbre de ninguna de las variables.

CONCLUSIONES ¿Qué importancia tienen las gráficas en las ciencias?

¿Qué importancia tienen las gráficas lineales?

¿Qué otras conclusiones obtuviste en esta práctica?

BIBLIOGRAFIA 1. Gutiérrez, Carlos. “Introducción a la metodología experimental”. Editorial Limusa Noriega Editores. México, 1998. 2. González J. Américo y Nuñez, Miguel. “Gráficas y ecuaciones empíricas”. Editorial Limusa. México, 1988. 3.

López, Francisco. “Como estudiar Física. Guía para estudiantes”. Editorial Vicens- vives. España, 1987.

4.

Del Rio. Fernando. “El arte de investigar”. Universidad Autónoma Metropolitana. México, 1990.

PRÁCTICA 9 LA DIAGONAL Y EL LADO DE UN CUADRADO

Nombre del Alumno:

Grupo:

Calificación:


Fecha de realización de la práctica:

Observaciones:

111 111

LA DIAGONAL Y EL LADO DE UN CUADRADO OBJETIVOS Al término de la práctica el alumno: - Determinará mediante una gráfica la ecuación matemática que relaciona el lado de un cuadrado con su diagonal. - Aplicará el método de los “pares de puntos” para obtener la ecuación de una recta que se ajusta a las mediciones hechas del lado y la diagonal de diversos cuadrados. CONSIDERACIONES TEÓRICAS Generalmente en el campo de la ingeniería, la forma adecuada de presentar resultados es con la ayuda de las gráficas, las cuales no sólo auxilian a este campo, sino a otros como al de la ciencia, la tecnología, la administración y la medicina. Una gráfica nos puede servir para representar los fenómenos que suceden en física, química y biología, como para presentar problemas matemáticos, de comunicación y organización, etc. Por lo tanto, todo ingeniero, científico o experimentador deben tener un amplio conocimiento del manejo adecuado de las gráficas. En las ciencias experimentales se ha encontrado que por medio de las gráficas, se puede: • describir una ley •

apreciar la variación de un fenómeno por medio de una observación rápida

•

resolver problemas sin la necesidad de hacer demasiados cálculos.

Además, la utilidad que presentan las gráficas se puede sintetizar en lo siguiente: •

Sirven como herramientas para analizar y visualizar mejor la relación entre las variables que caracterizan un experimento.

•

Permiten encontrar el modelo matemático que representa al experimento y el cual nos servirá para hacer predicciones (dentro del rango del experimento).

En esta práctica se presenta el método de los pares de puntos como una técnica que permite determinar la ecuación de una recta que se ajusta a los puntos, cuando la relación entre las dos variables involucradas es lineal. MATERIAL Una hoja Una escuadra Una regla Papel milimétrico

DESARROLLO EXPERIMENTAL I Relación entre el lado y la diagonal de un cuadrado. Dibuja en una hoja de papel milimétrico como se ilustra en la figura 1, los cuadros de lado igual a los valores que parecen en la tabla 1. Traza una diagonal a cada cuadrado y mídelas. Registra tus resultados en la tabla 1. Asocia a la medición de los lados ( l ) y de las diagonales (d) las incertidumbres absolutas correspondientes. En esta ocasión, la incertidumbre que asocies será igual al valor de la graduación más pequeña de la regla (1 mm).

Figura 1. Cómo trazar los cuadrados en una hoja de papel milimétrico tamaño carta. En otra hoja de papel milimétrico selecciona la escala adecuada de manera que en el eje de las abscisas se localice el lado de los cuadrados y en el eje de las ordenadas la diagonal de los cuadrados.

114

Localiza los puntos experimentales y sus respectivas incertidumbres como se ilustra en la figura 2.

Figura 2. Gráfica de la diagonal en función del lado de un cuadrado. Para trazar una línea recta que pase por los puntos de la gráfica, se puede emplear el método de los pares de puntos. En este método hay que determinar un punto por donde debe pasar la recta conocido como centroide, así como su pendiente. −− El centroide es un punto con las coordenadas ( l , d) , por donde debe pasar la recta. La coordenada l es el valor promedio de las coordenadas l de todos los −

lados y d es la coordenada del promedio de las coordenadas d (diagonales de los cuadrados). Estos valores se calculan a través de las siguientes ecuaciones: n

li − ∑ l = i =1 n n

−

∑d

i d = i =1 n

En la determinación del centroide se emplean los datos de la tabla 1 y las ecuaciones anteriores. Los resultados de los cálculos se registran en la tabla 2 y se localizan en la gráfica. En el siguiente espacio escribe el procedimiento empleado para determinar el centroide de los datos de la tabla 1. Una vez que hayas calculado el centroide, registra sus coordenadas en la tabla 1.

115 115

CALCULOS

−

l = −

d =

Tabla 1. Lado y diagonal de los cuadrados. Lado (cm) l l l l l l l l l

=2 2 = 4 3 = 6 4 = 8 5 = 10 6 = 12 7 = 14 8 = 16 1

=

Diagonal (cm) d1 = d2 = d3 = d4 = d5 = d6 = d7 = d 8= d=

Para obtener la pendiente por el método de los pares de puntos se ordenan las variables del valor menor al valor mayor y se dividen en dos grupos. Uno para los valores bajos y otro para los valores altos.

Figura 3. Aquí se ilustra como se relacionan las mediciones de los lados del cuadrado.

Determina la diferencia para cada par de los valores de l y de d, dadas por: Dℓ1 = ( l

5

- l 1);

Dℓ2 = ( l

6

- l 2); Dℓ3 = ( l

7

- l 3)

y

Dℓ4 = ( l

8

- l 4) Dd1 = (d5 - d1); Dd2 = (d6 - d2);

Dd3 = (d7 - d3)

y

Dd4 = (d8 - d4)

En el siguiente espacio escribe el procedimiento para calcular estas diferencias y registra tus cálculos en la tabla 2 CALCULOS

Tabla 2. Determinación de las diferencias. Número

Dℓ (cm)

Dd (cm)

1 2 3 4 D

l

=d

D

=

Realizado lo anterior, calcula en el siguiente espacio la media aritmética de estas diferencias por medio de las siguientes ecuaciones: − (l 5 − l 1 ) + (l 6 − l 2 ) + (l 7 − l 3 ) + (l D

l

=

8 −

−l 4) n

(d 5 − d1 ) + (d 6 − d 2 ) + (d 7 − d 3 ) + (d 8 −d4) Dd = n donde: n = número de diferencias (en este caso n = 4). Al sustituir los datos y efectuar los cálculos correspondientes en el siguiente espacio, registra tus resultados en la tabla 2.

CALCULOS −

Dl = −

Dd =

La pendiente de la recta de la figura 2 que pasa por los puntos experimentales se calcula por medio de la siguiente ecuación: − Dd m= − Dl Sustituyendo valores se obtiene: m= = Para poder dibujar la recta que se ajuste a los puntos experimentales, hay que localizar el centroide, y otro punto, como se ilustra en la figura 4.

Figura 4. Centroide ( l , d ) de la recta. La recta se traza cuando se localizó el punto (ℓ’ , d’). Para trazar la recta, hay que conocer otro punto además del centroide ( l , d ). La coordenada ℓ’ de este punto se pueden conocer de la siguiente ecuación. l ’ = l + 5 (5 es un valor arbitrario) De la definición de pendiente entre los puntos ( l , d ) y ( l ’, d’) se puede obtener d’, es decir: d´−d = d´−d m = l´−(l´−5) 5 d’ = d + 5 m

Sustituyendo valores l’= d’ = Localiza este punto en la gráfica y traza la recta que une este punto con el centroide. La ecuación de la línea que se ajusta a los datos experimentales de la tabla 1, se obtiene de la siguiente expresión y – y1 = m(x – x1) En nuestro caso, esta ecuación se convierte en: d−d=m(l −l ) Despejando d:

− − d = ml + (d − m l ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - (3)

Sustituye los valores correspondientes en la ecuación (3) en el siguiente espacio de cálculos simplifica y registra lo que obtengas en la sección de resultados. CALCULOS

Ecuación de la recta d=

120

Teorema de Pitágoras La relación entre la diagonal y el lado de un cuadrado se puede obtener teóricamente al aplicar el teorema de Pitágoras en la figura 4.

Figura 4.- Diagonal de un cuadrado. El teorema de Pitágoras aplicado a la figura 4 se obtiene: d

2

2

=ℓ +ℓ

2

despejando d se obtiene: d=

ℓ

Compara la relación obtenida teóricamente con la obtenida por el método de los pares de puntos. Discusión. ¿Al aumentar la longitud del lado del cuadrado, que pasa con la longitud de la diagonal?

¿Qué incertidumbre absoluta asociaste a tus mediciones? ¿Dependió de la graduación de la regla utilizada?

¿Al graficar los puntos experimentales, éstos se pueden unir por medio de una línea recta? Explica.

121 121

¿La recta trazada pasa por el origen del sistema de coordenadas? Explica el por qué.

¿Si efectúas el cociente d/ l para un cuadrado cualquiera, el resultado sería aproximadamente igual a 2 ? Explica:

¿Qué tipo de relación obtuviste entre el lado y la diagonal de un cuadrado?

¿Cuáles fueron las principales fuentes de error?

¿El valor teórico (O) de la ordenada al origen de la gráfica obtenida coincide con el − − valor d − m d ? Explica.

II. Actividades Complementarias II.1 Responde a las siguientes preguntas 1.-¿Qué es el centroide en análisis gráfico?

2.- ¿Para qué se emplea el método de los pares de puntos?

3.- ¿Cómo se puede obtener la incertidumbre de la ordenada al origen mediante métodos gráficos? (Consulta la bibliografía).

II.2. Resuelve en este espacio el problema 6 de la página 113 del libro Introducción a la metodología experimental de la editorial Limusa. Graficar los datos en la hoja de papel milimétrico que se anexa. SOLUCION


124

BIBLIOGRAFIA 1. Gutiérrez, Carlos. “Introducción a la metodología experimental”. Editorial McGraw-Hill-Interamericana. México, 1997. 2. Serway, Raymond. “Física (tomo 1)”, Editorial Mc-Graw-Hill-Interamericana. México, 1997 3. Baird, D. C. Experimentación. “Una introducción a la teoría de las mediciones y al diseño de experimentos”. Editorial Prenticed Hall. México 1993.

125 125

PRÁCTICA 10 PÉNDULO SIMPLE

Nombre del Alumno:

Grupo:



Calificación:

PÉNDULO SIMPLE OBJETIVOS Al término de la práctica el alumno: ─ Determinará cómo influyen la masa y la amplitud de oscilación en el período de oscilación de un péndulo simple. ─ Verificará que la longitud del péndulo simple ( l ) es 2 directamente proporcional al cuadrado del período (T ), dentro de los límites de precisión del experimento. ─ Aplicará el método gráfico de cambio de variable para obtener la ecuación que relaciona el período de un péndulo simple con su longitud. ─ Obtendrá el valor numérico de la aceleración de la gravedad midiendo el período y la longitud del péndulo simple.

CONSIDERACIONES TEÓRICAS Los constructores de los primeros puentes con largos tramos sin apoyo vieron más de una vez convertirse en escombros su obra terminada. No se explicaban el fenómeno, puesto que habían utilizado materiales excelentes y calculando en sus planos hasta el menor detalle. La respuesta está en la física. Se descubrió que en los cálculos de los proyectos no se había tenido en cuenta un factor fundamental; las vibraciones bajo la acción de vientos fuertes o del impacto constante de las aguas, los puentes vibraban, y si la vibración provocada por esos agentes entraban en resonancia con la frecuencia natural de los puentes; éstos terminaban por derrumbarse. En general, las vibraciones constituyen un problema de importancia fundamental, tanto para la física como para la ingeniería y la técnica de las construcciones. Ellas se pueden manifestar de modo simple como ocurre en el caso del movimiento oscilatorio de un péndulo simple. En su forma más sencilla, un péndulo simple consiste en una masa suspendida de una cuerda larga. La historia del péndulo comienza con Galileo, en el siglo XVI. Se cuenta que un día del año 1583, en la catedral de Pisa, le llamaron la atención las oscilaciones de una lámpara de aceite que pendía del techo. Observó que el tiempo que la lámpara tardaba en completar una oscilación, es decir, en salir de un extremo, llegar al otro y volver a su posición inicial era aproximadamente el mismo, aunque la amplitud del desplazamiento (la distancia máxima entre la posición más baja y la más alta del péndulo) iba disminuyendo con el tiempo.

Como no disponía de un reloj para medir esos intervalos de tiempo y verificar la exactitud de su observación, uso como patrón de medida sus propias pulsaciones. Pudo así con razonable precisión, establecer que los períodos (tiempo necesario para que se produzca una oscilación completa del péndulo) eran constantes. Interesado en el problema, Galileo repitió posteriormente el experimento usando toscas construcciones hechas con hilos de diversas longitudes y masas de diferentes valores. Observó que cuando el movimiento tiene una ampli tud reducida, cada vez que el péndulo sube alcanza la misma altura desde la cuál cayó. Estas observaciones que hoy parecen triviales y obvias, tuvieron profunda repercusión en el fecundo trabajo de Galileo y su influencia en los estudios científicos de la época fue decisiva. El péndulo simple proporciona también un método conveniente para medir al valor 2 ⎞ ⎛ de g, ⎜⎜ g =4π l 2 ⎟ ⎟ la aceleración de la gravedad sin necesidad de efectuar T ⎠ ⎝ experimentos de caída libre, sino simplemente medir ℓ y T. Es común en Geofísica usar péndulos más complicados, ya que los yacimientos de minerales y los depósitos de petróleo cuyas densidades difieren de la de los materiales circundantes producen variantes en el valor total de g, y medidas de precisión de g en la región explorada puede dar información útil acerca de la naturaleza de los depósitos subterráneos. Por detrás de una engañosa trivialidad, el movimiento pendular constituye una rica fuente de conocimientos físicos que mucho pueden ayudar a comprender diversos fenómenos naturales. MATERIAL 1 Cronómetro 1 Calibrador Vernier 2 Esferas metálicas de diferentes materiales 1 Nuez con gancho y transportador 1 Pinza de mesa 1 Cinta métrica 1 Varilla de soporte de 1 metro 2m de hilo cáñamo Nota: En lugar de la pinza de mesa se puede emplear un trípode.

DESARROLLO EXPERIMENTAL I. Amplitud de oscilación Arma el dispositivo que se muestra en la figura 1.

Figura 1.- Péndulo simple o

Separa el péndulo de su posición de equilibrio un ángulo θ = 2 y déjalo oscilar cuidando que lo haga en un plano vertical. Permite que el péndulo oscile unas cuantas veces (4 ó 5), luego manipula el cronómetro para medir el tiempo t correspondiente a 10 oscilaciones y regístralo en la tabla 1. Repite la medición; pero ahora para los ángulos marcados en las tablas 1 y 2. Resultados Tabla 1.- Período con un ángulo de oscilación pequeño. θ (grados) 2 3 4 5 6

t (s)

t 10 (s)

T=

Tabla 2.- Período con un ángulo de oscilación grande. θ (grados)

t (s)

t 10 (s)

T=

10 20 40 60 80

⎛ ⎞ Calcula el período ⎜ T = t ⎟ 10 ⎝

o sea el tiempo correspondiente a una oscilación

⎠

completa y anótala en las tablas de resultados. Discusión ¿ Es el período constante para ángulos pequeños?

¿Es el período constante para ángulos grandes?

¿Cuáles fueron las fuentes de error?

II. Masa del péndulo Emplea el mismo dispositivo que se muestra en la figura 1, con una longitud de o 1m. Separa el péndulo de su posición de equilibrio a un ángulo θ = 2 y déjalo oscilar, cuidando que lo haga en un plano vertical. Anota en la tabla 3, el tiempo que emplea el péndulo en efectuar diez oscilaciones. Repite lo anterior por tres ocasiones más y regístralo. Una vez realizado esto, cambia la esfera por la otra que se te proporciona (de masa diferente) y repite l as mediciones manteniendo la longitud constante (ℓ = 1 m). Anota tus mediciones en la tabla 4. 130 130

Calcula T y el valor tus cálculos laslas tablas 3 y 4. Calcula las diferencias ( ΔTipromedio = | T - T1|)T yyelregistra valor promedio ( ΔTen ) de diferencias. Resultados Tabla 3.- Período de la esfera 1. t 10 (s)

t (s)

T - Ti

T=

(s)

ΔT =

T=

Tabla 4.- Período de la esfera 2. t 10 (s)

t (s)

T - Ti

T=

T=

(s)

ΔT =

Por lo tanto el período de oscilación para las dos esferas se puede expresar por: El período de la esfera 1 es: T1 = T ± ΔT = (

±

)s

El período de la esfera 2 es: T2 = T ± ΔT = (

±

)s

Discusión ¿Tienen las esferas 1 y 2 la misma masa? ¿Cómo lo sabes? Explica.

¿Cómo es T1 con respecto a T2? Explica.

III. Relación entre la longitud y período del péndulo simple Se emplea el dispositivo que se muestra en la figura 1. Hipótesis: Si la amplitud de las oscilaciones es pequeña entonces: 2

T es proporcional a ℓ o sea:

2

T =kℓ

Para verificar esta expresión, determina el período experimentalmente para cada una de las longitudes que aparecen en la tabla 5 y registra tus resultados en dicha tabla. 2

2

Calcula para cada longitud los valores de T y T / ℓ = k. Asimismo, calcula el valor promedio ( k ) de los diversos valores de k. También, calcula los valores absolutos de las diferencias de k - k, es decir Δk = k − k y el valor promedio Δk de las diferencias, estos resultados regístralos en la tabla 5. Puedes efectuar en el siguiente espacio los cálculos. CÁLCULOS

2

Para determinar la precisión con la cual T / ℓ se puede considerar constante, emplea la siguiente ecuación, ⎛Δk ⎞ Precisión =⎜ = = ×100 ⎟⎟ % ⎝⎜ k ⎠

RESULTADOS Tabla 5.- Relación de proporcionalidad entre el período y la longitud en un péndulo. T (s)

l (m) 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

2

2

T (s)

|k -k| 2 (s /m)

T /ℓ= k 2 (s /m)

k

=

Δk

=

Al sustituir los valores de la tabla 5 en la ecuación de la precisión se obtiene: Precisión =

%

DISCUSIÓN 2

¿Es constante T /ℓ?. Explica.

¿Es grande o pequeña la precisión con que k se considera constante? Explica.

Si la longitud del período aumenta, ¿el período aumenta o disminuye? Explica.

Para determinar la relación matemática entre la longitud de un péndulo y su período se puede emplear el método gráfico.

Para esto, en el papel milímetro, previa selección de las escalas adecuadas gráfica en el eje horizontal, la longitud del péndulo y en el eje vertical, el período de oscilación. Localiza en dicha gráfica, los puntos de las longitudes del péndulo y períodos correspondientes que aparecen en la tabla 5, con sus respectivas incertidumbres. Une dichos puntos y compara la gráfica con las que aparecen en la figura 2.

a) Curvas parabólicas

b) curvas hiperbólicas

Figura 2.- a) Curvas parabólicas que se obtienen de la ecuación n con y= Ax con n positiva. b)Curvas hiperbólicas que también se n obtienen de y= Ax con n negativa. Por inspección de la curva de tu gráfica deduce qué tipo de relación existe entre la longitud (ℓ) y el período (T). n

Si consideras que la relación es del tipo ℓ = AT , ¿qué valor debe tener n? ¿Qué valor seleccionaste? n= n

Calcula T para cada uno de los valores de T de la tabla 5 y regístralo en la tabla 6 n

Tabla 6.- Calculo de T . l (m) 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

n = . . . . . . n´= . . . . . . n n T T´ n n (s ´) (s )

δℓ (m)

n

δ(T ) n (s )

n

δ(T ’) n´ (s )

135

En otra hoja de papel milimétrico, haz una gráfica, de manera que el eje vertical n corresponda a T y el eje horizontal a la longitud del período (ℓ). Localiza en dicha n gráfica los puntos (ℓ, T ) correspondientes a los valores de la tabla 6 con sus respectivas incertidumbres (estudia el ejemplo 5.2 del libro Introducción a la metodología experimental) y une los puntos. Si el resultado es una curva, cambia n´ el cambia el valor de n a n’ y eleva T y en una nueva hoja de papel milimétrico n haz la gráfica correspondiente. Si por el contrario, la línea de la gráfica ℓ vs T es una recta; la ecuación correspondiente (previo cambio de variable, θ = T n ) es la ecuación que relaciona ℓ y T, es decir: l = Aθ donde:

θ=Tn

Previa consulta del ejemplo 5.2 del libro Introducción a la Metodología Experimental, determina el valor de A, así como su respectiva incertidumbre δA. Registra tus cálculos en el siguiente espacio. CÁLCULOS

A= δA =

Resultados De acuerdo a lo anterior, la expresión matemática que relaciona la longitud del péndulo con su período con la respectiva incertidumbre δA, debe ser de la forma. ℓ = (A ± δA)T Sustituyendo los valores obtenidos. l =(

±

n

)T

n

Si la relación teórica entre la longitud y el período de un péndulo se puede expresar por: g l= T2 4π 2 136

137

2

Determina si el valor g/4 π se encuentra entre A + δA y A - δA. Registra tus cálculos en el siguiente espacio. CÁLCULOS A - δA =

A + δA =

g/4π

2

=

Discusión ¿Qué nombre recibe el método gráfico que empleaste para encontrar la relación entre el período y la longitud del péndulo?

¿La ecuación obtenida experimentalmente coincide con la relación teórica? Explica.

¿Cuáles fueron las principales fuentes de error?

¿Cómo determinaste la incertidumbre que asociaste a la longitud?

¿Cómo calculaste la incertidumbre de la constante de proporcionalidad A?

138 138

IV. Medición de la aceleración de la gravedad. El período de un péndulo simple está expresado por la fórmula: T = 2π donde:

l g

g = aceleración de la gravedad. ℓ = longitud del péndulo.

Esta expresión se cumple sólo para pequeñas oscilaciones, es decir para oscilaciones tales que senθ = θm, donde θm es la máxima amplitud de oscilación, expresada en radianes. De la fórmula anterior se deduce el valor de g, es decir: g=

4π 2 L

=

T2

4π 2 ⎛T 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜L⎟ ⎝ ⎠

2

Para T /L se tomará el valor promedio k de la tabla 5, o sea que: g=

4π2 sustituyendo valores, se obtiene: k

g=

m/s

2

La dispersión del valor de g, la obtendremos de la siguiente ecuación: Δg Δk = g k Sustituyendo valores: Δg =

2

m/s .

Resultado El valor de la aceleración de la gravedad (g*) en lugar donde se realizó la medición es: ± g* = g ± Δg = m/s 2 Discusión ¿Cuál es su conclusión del resultado obtenido, tomando en cuenta que el valor de la aceleración de la gravedad del lugar en donde realizaste la medición (la ciudad 2 de México es de 9.78 m/s )?

V. Actividades complementarias 1.- Investiga dos aplicaciones del péndulo

2.- ¿Qué es un péndulo físico?

3.- El siguiente problema fue propuesto a Galileo y resuelto por él. Un alambre cuelga de una torre alta y obscura de modo que el extremo superior no es visible ni accesible, pero el extremo inferior si, ¿cómo puedes averiguar la longitud del alambre? Explica:

4.- Elabora un reporte de esta práctica. Conclusiones ¿Cuáles son tus conclusiones de esta práctica?

140 140

BIBLIOGRAFIA 1. Gutiérrez, Carlos. “Introducción a la metodología experimental”. Editorial Limusa. México, 1999. 2. Serway, Raymond. “Física (tomo 1)”, Editorial Mc-Graw-Hill-Interamericana. México, 1997.

142

PRÁCTICA 11 LEYES DE KEPLER

Nombre del Alumno:

Grupo:

Calificación:



142 142

LEYES DE KEPLER

OBJETIVOS Al término de la práctica el alumno: - verificará las leyes de Kepler. - dibujará la órbita de Mercurio en papel polar. - identificará un sistema de coordenadas polares.

CONSIDERACIONES TEÓRICAS Teoría geocéntrica El movimiento de los astros ha intrigado al ser humano desde que contempló por primera vez a las estrellas, a la Luna y los planetas que tapizan el cielo nocturno. Durante mucho tiempo se creyó que la tierra permanecía estacionaría en el Universo y que los planetas, la Luna y el Sol se movían a su alrededor en trayectorias circulares. Por cerca de 1400 años esta visión del Universo fue aceptada. Pero a medida que nuevos y más eficientes instrumentos se inventaron para examinar el cielo, los descubrimientos de los astrónomos se volvieron más exactas. Las nuevas evidencias empezaron a contradecir la teoría geocéntrica. Leyes de kepler En el siglo XVI ,Tycho Brahe (1546 – 1601), un astrónomo danés, observó durante muchos años el movimiento de los planetas y recogió con gran precisión los datos (registro de sus percepciones) de las órbitas planetarias. Esto es, localizó exactamente dónde estaban los planetas y dónde estuvieron. Sin embargo, no percibió el orden que permitía explicar estos datos con una ley. Kepler (1571 – 1630) tomó los datos de Brahe y encontró el orden que el astrónomo danés no había visto. Johannes Kepler adoptó la teoría de Copérnico de que la Tierra gira alrededor del Sol (concepción heliocéntrica o del Sol en el centro del Universo) y examinó de manera exhaustiva, las meticulosas observaciones registradas por Tycho Brahe acerca de la órbita de Marte. Con estos datos concluyó que la órbita de Marte no era circular y que su velocidad variaba mientras se trasladaba, de acuerdo con la distancia del Sol. Cuando se aceptaron las órbitas elípticas, todas las discrepancias encontradas en las viejas teorías del movimiento planetario fueron eliminadas. A partir de estos estudios, Kepler dedujo tres leyes (que se conocen como leyes de Kepler) y que aplicó al comportamiento de cualquier satélite o planeta orbitando a otro cuerpo masivo.

1. Las trayectorias de los planetas son elipses, con el centro del Sol en un foco. 2. Una línea imaginaría del Sol al planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales, como se muestra en la figura 1. 3. La razón de los cuadrados de los periodos de dos planetas cualesquiera, que giran alrededor del Sol, es igual a la razón de los cubos de sus respectivas distancias promedio desde el Sol. Matemáticamente, esta relación puede expresarse como: T a2 r a3 = Tb2 r b3

Figura 1.- Ley de las áreas de Kepler. En estos tiempos la mayoría de la gente no se dio cuenta de la importancia de sus descubrimientos, pero sus escritos influenciaron a muchos científicos posteriores. En esta práctica utilizarás las tablas de datos heliocéntricos para dibujar las posiciones de Mercurio sobre papel para gráficas polares. Después dibujarás por dichos puntos la órbita de Mercurio. Para trazar la órbita es necesario recordar que la distancia desde el Sol a la Tierra es el radio vector, el cual equivale a la distancia promedio de la Tierra al Sol, la cual se define como la unidad astronómica. Su símbolo es UA y su valor es; 150,000,000 km (8 minutos luz). El ángulo, o longitud, entre el planeta y el punto de referencia en el espacio se mide desde el punto de grado cero, o equinoccio de primavera. Finalmente, aplicarás las leyes de Kepler para la órbita de Mercurio. A pesar de sus logros, Kepler no desarrolló el concepto central que liga las leyes entre sí. Fue Isaac Newton (1642-1727) quien tomó la noción de fuerza de gravedad como responsable del movimiento planetario y creó una teoría que permite entender el movimiento de los planetas y conjuntar las tres leyes de Kepler. A esta teoría se le conoce como la Teoría de la Gravitación Universal.

Coordenadas polares. Un sistema de coordenadas es un sistema mediante el cual puede ubicarse un punto del plano o del espacio con dos o tres números a los que se les llama las coordenadas del punto. El sistema de coordenadas más utilizado es el de coordenadas cartesianas, que consiste en el caso del plano, en un par de ejes perpenduculares; las coordenadas de un punto cualquiera del plano son sus distancias a estos ejes. Otro sistema usual es el de coordenadas polares, en el que la posición de un punto se determina con el ángulo que forma la línea que une al punto con el origen y el eje horizontal, y la distancia entre el punto y el origen (Figura 2).

δ

Figura 2.- Coordenadas polares de los puntos A y B. Se conviene en tomar como positivos los ángulos que se miden en sentido contrario al sentido del movimiento de las agujas del reloj. MATERIAL Regla de 30 cm Papel polar Instructivo Lápiz afilado DESARROLLO EXPERIMENTAL I. Orbita de mercurio Orienta el papel para gráficas polares de manera que el grado cero apunte hacia tu derecha. El Sol se localiza en el centro del papel. Marca el Sol sin tapar la marca central. Para localizar la posición de Mercurio recorre las líneas concéntricas en sentido contrario a las manecillas del reloj y marca la longitud (ángulo). Elige una escala apropiada para representar los valores correspondientes a los radio vectores de las posiciones de Mercurio.

Puesto que este planeta es más cercano al Sol que la Tierra, el valor del radio vector siempre será menor que 1 UA (unidad astronómica). En este caso, por tanto, cada círculo concéntrico podría representar un décimo de UA. En la tabla 1 se presentan las posiciones heliocéntricas de Mercurio del 1° de octubre de 1990 al 30 de diciembre de 1990. Para localizar la posición de Mercurio el día 1° de octubre, se localiza sobre el papel polar, primeramente el ángulo dado en la tabla 1. Para dicho ángulo, previa selección de la escala apropiada, se le asocia el radio vector correspondiente. Haz una marca en dicho punto y escribe la fecha al lado del punto Repite, el procedimiento anterior para cada una de las posiciones de Mercurio dadas en la tabla 1. Tabla 1. Posiciones heliocéntricas de Mercurio de octubre a diciembre de 1990. Fecha Oct. 1, 1990 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 Nov. 2 4 6 8 10 12 14

Radio vector UA 0.319 0.327 0.336 0.347 0.358 0.369 0.381 0.392 0.403 0.413 0.423 0.432 0.440 0.447 0.453 0.458 0.462 0.465 0.466 0.467 0.466 0.464 0.462

Ángulo (longitud) (grados) 114 126 137 147 157 166 175 183 191 198 205 211 217 223 229 235 241 246 251 257 262 268 273

Fecha Nov. 16 18 20 22 24 26 28 30 Dic. 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Radio vector UA 0.458 0.452 0.447 0.440 0.432 0.423 0.413 0.403 0.392 0.380 0.369 0.357 0.346 0.335 0.326 0.318 0.312 0.309 0.307 0.309 0.312 0.319 0.327

Ángulo (longitud) (grados 280 285 291 297 304 310 317 325 332 340 349 358 8 18 29 41 53 65 78 90 102 114 126

Después de localizar en la gráfica todos los datos de la tabla 1, une con cuidado los puntos de las posiciones de Mercurio para obtener su órbita.

Discusión ¿Cómo es la órbita de Mercurio?

¿Cumple la órbita de Mercurio la primera ley de Kepler? Explica.

¿Cuál es el periodo de Mercurio? Justifica tu respuesta

II. Segunda ley de kepler En la gráfica de la órbita de Mercurio dibuja una línea recta del Sol a la posición de mercurio correspondiente al 20 de diciembre. Dibuja una segunda línea recta del Sol a la posición de Mercurio correspondiente al 30 de diciembre. Las dos líneas y la órbita de Mercurio describen un área por una línea imaginaria entre Mercurio y el Sol durante el intervalo de tiempo de 10 días. Sombrea esta área la cual llamaremos A. Sobre esta pequeña porción de la elipse, el área sombreada se puede calcular por la siguiente ecuación, la cual se obtiene aproximando la elipse a un círculo. Área = ⎜

donde:

⎛

o⎟πr2

θ ⎞ ⎜ 360 ⎟ ⎝ ⎠

r = radio promedio de la órbita θ = ángulo formado por el radio vector entre dos posiciones

Determina el área sombreada (A1) determinando la diferencia en grados entre el 20 y 30 de diciembre y tomando como radio vector el radio que va del Sol al punto medio de 2 la órbita entre las dos fechas. El área se expresa en (UA) . CALCULOS

A1 =

Selecciona sobre la gráfica dos periodos de 10 días, por ejemplo del 11 al 21 de octubre y del 26 de noviembre al 6 de diciembre de1990. Sombrea las áreas y calcula 2 para cada uno de estos periodos el área en (UA) . Escribe tus cálculos en el siguiente espacio. CALCULOS

A2 = A3 = Compara los valores de las áreas sombreadas A2 y A3 de la trayectoria de Mercurio. ¿Son iguales? Discusión ¿Resultaron iguales las áreas sombreadas de la trayectoria de Mercurio? Explica.

¿Qué tipo de errores se cometieron al calcular las áreas sombreadas de la gráfica de la órbita de Mercurio?

¿En qué intervalo de las áreas sombreadas de la gráfica, Mercurio viaja más rápido?

¿Se cumplió la segunda ley de Kepler? ¿Por qué?

III. Tercera ley de kepler Para determinar el periodo de la órbita de Mercurio a partir de la tercera ley de Kepler, hay que calcular el radio promedio de su órbita. Esto se puede hacer promediando los radios; el más largo y el más corto que se encuentran a lo largo del eje mayor. Estos se muestran en la figura 3. Recuerda que el Sol se encuentra en un foco; el otro foco se localiza en un punto que está a la misma distancia del centro de la elipse que el Sol, pero en sentido contrario.

Figura 3.- El eje mayor pasa por los focos (F y F’) y el centro de la elipse. El valor ea determina la posición del foco; e es la excentricidad de la órbita. Si e = 0, la órbita es un círculo y los focos se funden en un punto central. A partir de la tabla 1, determina el radio vector más grande. Después, en la gráfica alinea una regla graduada de manera que describa una línea recta, que pase por el punto sobre la órbita que representa el radio vector más grande y por el centro del Sol hasta un punto opuesto sobre la órbita. Encuentra el radio vector más corto midiendo la longitud en este punto opuesto y consultando la tabla 1 para el radio vector correspondiente. Promedia estos dos valores del radio vector. Empleando los valores para el radio promedio de la Tierra (rT = 1.0 UA), el periodo de la Tierra (TT = 365.25 días) y el radio promedio (rm) calculado de la órbita de Mercurio, se aplica la tercera ley de Kepler para encontrar el periodo de Mercurio (Tm).

La tercera ley de Kepler establece que: T22 T m

rm3 donde:

=

T

rT3

Tm = periodo de Mercurio rm = radio promedio de Mercurio TT = periodo de la Tierra rT = radio promedio de la Tierra

Entonces, al sustituir valores en el siguiente espacio, se obtiene el periodo de Mercurio en días. CALCULOS

Tm = Compara este valor del periodo del Mercurio con el obtenido al contar el número de días necesarios para que Mercurio complete una órbita alrededor del Sol. Discusión ¿El periodo de Mercurio obtenido en esta actividad coincide con su valor real? Explica

¿Cumple la órbita de Mercurio la tercera ley de Kepler? Explica

150 150

IV. Actividades Complementarias IV. I Previa investigación responde las siguientes preguntas. 1. ¿Qué establece la ley de la gravitación Universal?

2. ¿Cómo se obtiene la tercera ley de Kepler de la ley de la gravitación Universal? Escribe la deducción: Deducción

3. ¿Cuáles fueron las principales aportaciones de Tycho Brahe a la astronomía?

4. ¿Cuáles son las características del papel polar?

5. ¿En qué se usa el papel polar?

6. ¿Qué es el periodo de un planeta?

7. ¿A cuántos metros equivale la UA?

IV. II Resuelve los siguientes problemas 1. Si un planeta hipotético X, gira alrededor del Sol con radio promedio de 2UA, ¿cuál sería su periodo? Solución

Resultado 2. Si el periodo de traslación de Marte es 687 días, ¿cuál es su radio promedio? Solución

Resultado 3. Si Júpiter tiene un radio promedio de 5.2 UA, ¿cuál es su periodo? Solución

Resultado

IV. III El Radar El radar es un aparato que emite ondas electromagnéticas que al chocar con un obstáculo vuelven y señalan en una pantalla su posición. En la pantalla de un radar, el central (o) indica la posición del observador que emite las señales. La distancia a un objeto u obstáculo P se determina observando sobre qué circunferencia se encuentra y teniendo presente que entre cada dos circunferencias hay una diferencia de radio de 1 km. De acuerdo con esto, sus coordenadas polares son; (90°, 2km). Da las coordenadas polares de los puntos M, N, Q, y R que aparecen en la siguiente pantalla de radar. Con ayuda del transportador mide el ángulo.

P

Figura 4.- Pantalla de radar CONCLUSIONES ¿Cuáles son tus conclusiones de esta práctica?

PAPEL POLAR

154

BIBLIOGRAFIA 1. Gutiérrez, Carlos. “Introducción a la metodología experimental”. Editorial Limusa-Noriega Editores. México, 1998. 2. Serway, Raymond. “Física (tomo 1)”, Editorial Mc-Graw-Hill-Interamericana. México, 1997. 3. Kramer Craig. “Prácticas de Física”. Editorial Mc Graw-Hill -Interamericana. México, 1994. 4. Giancoli, Douglas. “Física para universitarios (tomo 1)”. Prentice Hall. México, 2002.

155 155

PRÁCTICA 12 COEFICIENTES DE FRICCIÓN

Nombre del Alumno:

Grupo:



Calificación:

COEFICIENTES DE FRICCIÓN OBJETIVOS Al término de la práctica el alumno: ─ Identificará algunos de los factores que influyen en el valor de la fuerza de fricción. ─ Distinguirá claramente la diferencia existente entre una fuerza de fricción estática y una fuerza de fricción dinámica. ─ Estará capacitado para calcular los coeficientes de fricción para diferentes materiales empleando un plano inclinado. ─ Asignará la incertidumbre correspondiente en la determinación de los coeficientes de fricción. CONSIDERACIONES TEÓRICAS El hecho de que un cuerpo que sea lanzado horizontalmente sobre una mesa y al cabo de cierto tiempo se detenga, quiere decir que el cuerpo experimenta una fuerza que se opone a su movimiento, fuerza disminuye la velocidad del r r esta cuerpo. Esta fuerza representada por Ff o f es llamada fuerza de fricción. En realidad siempre que la superficie de un cuerpo resbala en contacto sobre la de otro, cada cuerpo ejerce una fuerza de fricción sobre el otro, paralela a las superficies de contacto. La fuerza de fricción tiene un sentido opuesto a su movimiento y nunca puede ayudarlo. Hay dos clases de fuerzas de fricción por desplazamiento que son: 1. Las fuerzas de fricción que obran entre superficies ren reposo, se llaman fuerzas de fricción estática y se representan por f s . 2. La fuerzas de fricción que obran entre superficies en movimiento relativo, se llaman fuerzas de fricción dinámica o cinética y se r representan por f k . Con objeto de comparar las propiedades de rozamiento de pares de distintos materiales, o de un par de los mismos materiales, en diferentes condiciones de sus superficies en contacto y con objeto de calcular la fuerza de fricción máxima correspondiente a una presión normal cualquiera, se utiliza una constante experimental a la que se le da el nombre de coeficiente de rozamiento o de fricción que se representa por μ. Consecuentemente existen dos tipos de coeficientes de fricción por deslizamiento.

1.- Coeficiente de fricción estático. La relación de la magnitud de la fuerza máxima de fricción estática ( fSmáx ) a la magnitud de la fuerza normal (N), se le llama coeficiente de fricción estático μs. f μ s = Smáx N 2.- Coeficiente de fricción dinámico. La relación de la magnitud de la fuerza de fricción dinámica (fk) a la magnitud de la fuerza normal (N) se le llama coeficiente de fricción dinámica μk. f μk = k N Ahora bien, cuando un cuerpo de sección circular rueda sin resbalar sobre una superficie plana, aparece también una fuerza ff que se opone al movimiento denominado fuerza de fricción por rodadura, el coeficiente de fricción por rodadura tiene como expresión: f ρ= f r N en donde:

r = radio del contorno circular N = fuerza normal

El rozamiento es de gran importancia en todos los procesos de la mecánica industrial, puesto que siempre se opone al movimiento, lo cual hace que se le considere un factor nocivo y costoso en el funcionamiento de muchas máquinas y en esos casos se reduce, en la medida de lo posible por medio de lubricantes. En otras máquinas, por el contrario es un factor muy útil y conveniente como sucede en los diversos modelos de frenos de embragues de fricción. En realidad muchas de nuestras actividades físicas normales como caminar, serian imposibles si no existiera el rozamiento. MATERIAL Plano de madera Varilla de montaje de 1 metro Bloque con bases de madera, hule y aluminio Marco de pesas Pinza de mesa Dinamómetro (de preferencia de 0-10 N) Platillo para pesas Rodillo Nuez doble Vernier

DESARROLLO EXPERIMENTAL I. Naturaleza de las superficies en contacto. Instala el dispositivo como se indica en la figura 1.

Figura 1. Tira del bloque con el dinamómetro de manera horizontal. Coloca el bloque sobre el plano de madera puesto en forma horizontal de modo que una base de madera del bloque esté en contacto con el plano, ensarta la armella del bloque con la del dinamómetro y tira horizontalmente poco a poco del bloque por medio del dinamómetro. Toma la lectura por cinco ocasiones de la fuerza máxima que ha de aplicársele al bloque sin que se mueva (movimiento inminente) y anota las lecturas en la tabla 1. Resultados Tabla 1. Fuerza de fricción estática máxima entre madera y madera. N 1 2 3 4 5

f s máx (N)

f s máx =

f i s máx − f s máx (N)

Δf s máx =

Calcula en el siguiente espacio, la fuerza de fricción promedio f smáx y regístrala en la tabla 1.

Asimismo, calcula las diferencias f i s − f s y finalmente determina la desviación máx máx media de la fuerza de fricción Δf

s máx

.

Cálculos

fS máx= ΔfS máx= Repite el experimento anterior, colocando el bloque sobre sus bases de hule y de aluminio para determinar la fuerza de fricción entre madera-hule y madera– aluminio. Llena con los resultados obtenidos las tablas 2 y 3. Tabla 2. Fuerza de fricción estática máxima entre madera y hule. f s máx

f i s máx − f s máx

(N)

(N)

N 1 2 3 4 5

f s máx =

Δf s máx =

Tabla 3. Fuerza de fricción estática máxima entre madera y aluminio. f s máx

fiS − fs

(N)

(N)

N

máx

1 2 3 4 5 f s máx =

Δf s máx =

160 160

máx

Si la fuerza de fricción entre superficies se puede expresar por: máx f s máx = f s máx ± Δf s Entonces podemos concentrar los resultados de las tablas 1, 2 y 3 en la tabla 4. Tabla 4.- Resultados de las fuerzas de fricción estática máxima. Madera–madera

′ =( f smáx

Madera–aluminio

f s′′máx = (

±

)N

Madera–hule

=( f s′′′ máx

±

)N

±

)N

Discusión ¿De acuerdo con los resultados la fuerza de fricción entre dos superficies en contacto depende de la naturaleza de las superficies? Justifica tu respuesta.

II. La fuerza que comprime las superficies (fuerza normal). Emplea el dispositivo que se muestra en la figura 2.

Figura 2. El bloque es jalado horizontalmente hasta el movimiento inminente.

Antes de instalar el aparato como se indica en la figura 2, ensarta una de las armellas del bloque con la del dinamómetro y la otra con el platillo como se indica en la figura 3 y agrega pesas hasta que se obtenga en el dinamómetro una lectura de . . . (puede ser de 4N). Una vez realizado esto, monta el dispositivo indicado en la figura 2, colocando en la parte superior del bloque las pesas y el platillo.

Figura 3. Agrega pesas en el platillo hasta que tengas una lectura de 4 N. Toma la lectura por cinco ocasiones de la fuerza máxima que ha de aplicársele al bloque sin que se mueva (movimiento inminente) al tirar de él por medio del dinamómetro. Obtén el valor promedio y regístralo en la tabla 3. Repite el procedimiento anterior, pero ahora para las cargas (fuerza que comprime las superficies) indicadas en la tabla 5, ten cuidado de no cambiar la superficie de contacto con la mesa. Al estar el bloque y las pesas sobre una superficie horizontal, el valor de la fuerza normal N es igual a su peso (w) medido con el dinamómetro. Resultados Tabla 5. Coeficiente de fricción estático.

Obtén la relación

N fS máx f S más CARGAS (N) N (N) 4 5 6 7 8 f S máx y registra su valor en la tabla 5. N

DISCUSIÓN Coloca en los espacios en blanco los términos adecuados: La fuerza de fricción es

es proporcional a la fuerza que comprime

f S máx es una dentro de los límites N de precisión del experimento la cual es llamada coeficiente de . las superficies. La relación

II. Tipos de fuerzas de fricción. Arma el dispositivo que se muestra en la figura 1. Por medio del dinamómetro tira horizontalmente un poco del bloque de tal manera que el bloque no se mueva y observa la tensión marcada en el dinamómetro y señala a qué se debe que el bloque no se desplace si se le está aplicado una fuerza. Explicación;

Ahora aumenta progresivamente la fuerza aplicada, tirando del dinamómetro hasta que el bloque comience a desplazarse y anota la tensión ( f ) del s dinamómetro máx en el instante preciso antes que el bloque se ponga en movimiento, llamándose a esta tensión, fuerza máxima de fricción estática o fuerza de fricción estática máxima. Finalmente cuando se haya iniciado el movimiento aplica una tensión (fk) al bloque de tal manera que éste se mueva con velocidad uniforme y anota el valor de dicha tensión del dinamómetro. La fuerza que se opone al movimiento del bloque cuando se está desplazando con velocidad uniforme recibe el nombre de fuerza de fricción dinámica o cinética. Resultados fs

=

N

fk =

N

máx

Discusión ¿Cómo explicas el hecho de que al aplicársele al bloque una fuerza horizontal, éste se desplace con la velocidad constante?

¿Cuál fuerza de fricción es menor? ¿Por qué?

CONCLUSIONES Coloca en los espacios en blanco los términos adecuados: Las fuerzas de fricción que obran entre superficies en reposo una con respecto a la otra, se llaman

. Las fuerzas que obran entre las

superficies en movimiento relativo se llaman

.

IV. Coeficiente de fricción estático Arma el dispositivo que se nuestra en la figura 4.

Figura 4. Dispositivo para determinar el coeficiente de fricción estático.

Principio de dispositivo

Si: μ s y como: tanθ s

=

=

f smáx N

f S máx N

entonces: μ s = tanθ s

Procedimiento Coloca el bloque sobre el plano (las superficies en contacto son madera-madera) y levanta poco a poco el plano, hasta que el bloque tienda a moverse y fija en ese punto al plano inclinado. Anota en la tabla 6 el valor del ángulo que forma el plano inclinado con la horizontal. Repite el procedimiento anterior por cuatro ocasiones más y anota las lecturas obtenidas. Tabla 6. Ángulo del plano inclinado. θi (°)

θ i − θs ( °)

θs = Calcula el valor promedio del ángulo de rozamiento estático θs , así como las diferencias θ i − θ s y registra los resultados en la tabla 4. Calcula la desviación estándar del ángulo de rozamiento en el siguiente espacio.

CÁLCULOS

Resultados Reporta el coeficiente de fricción estático considerando la siguiente espresión: μ s = μ s ± σ μs donde:

μ = tan θs y σ μ = sec 2 θ s σ θ s

por lo tanto el coeficiente de fricción estático entre la madera–madera se puede reportar como: μ=

±

Conclusiones Señala cuáles son las conclusiones relativas al método empleado para determinar μs y al resultado obtenido.

V. Coeficiente de fricción dinámico. Arma el dispositivo que se muestra en la figura 5.

Figura 5. Dispositivo para determinar el coeficiente de fricción dinámica.

Principio del dispositivo

Como:

fk = T - Wsen θ

Puesto que: N = W cos θ

;

μk =

fk N

entonces: μ =

T − tan θ Wcosθ

Procedimiento Fija el plano inclinado en un ángulo θ < θs (θs es el ángulo calculado en la tabla 4). Une mediante un hilo, el bloque y el platillo para pesas y pasa el hilo por la garganta de la polea del plano inclinado. Agrega las pesas necesarias para que el bloque se mueva con velocidad constante al darle un pequeño impulso inicial. Con el dinamómetro obtén el peso del platillo junto con las pesas, este peso es igual a la tensión T en el hilo, quita las pesas, y vuelve a repetir el procedimiento por cuatro ocasiones más para el mismo ángulo θ. Mediciones Registra los valores medidos de T en la tabla 7, así como el valor del ángulo θ. Por medio del dinamómetro determina el valor del peso del bloque (w) y anótalo en la tabla 7. Tabla 7. Tensión θ= T (N)

W= |Ti - T | (N)

N 2 (Ti - T ) 2 (N )

Calcula el valor promedio T de las tensiones T y el valor absoluto de la diferencia 2 Ti - T . Asimismo, calcula (Ti - T ) , registra en la tabla 7 los resultados. Finalmente calcula la desviación estándar σT. ¿Di cuál es el valor de la incertidumbre absoluta σw que se asocia al medir el peso del bloque?

Se ha supuesto que la incertidumbre cometida en la medición de θ es despreciable. Como se va a trabajar con las desviaciones estándar, entonces: σ w =σ w 2 2 ( )= N = 3 3

Resultados

Si, μ = k

T − tanθ Wcosθ

y σ μk =

1 2

2

W cos θ

(σ T)2 +

T2 4

2

(σ W)2 .

W cos θ

Entonces el coeficiente de fricción dinámico entre dos superficies de madera se puede expresar por: μ k = μ k ± σ μk Al sustituir valores se obtiene: μ k =

±

CONCLUSIONES Di cuales son tus conclusiones relativas al método empleado y a los resultados obtenidos.

VI. Coeficiente de fricción por rodadura. Emplea mismo dispositivo experimental que aparece en la figura 5, sólo que en lugar del bloque está el rodillo. Principio del dispositivo

Si:

ρ=

Ff r N Entonces:

ρ=⎜ − tanθ ⎟ r ⎛ ⎞ T ⎝ Wcosθ ⎠

Utiliza el mismo procedimiento que se siguió en el experimento anterior. Efectúa las mismas medidas que las que se efectuaron en el experimento anterior, pero además, mide el radio del contorno circular utilizando el Vernier. Resultados

Si, ρ = ⎛⎜

T ⎞ − tanθ ⎟ r ⎝ Wcosθ ⎠

y σρ = r

T2 1 2 ) + ( 4 2 σ 2 2 σ T 2. W cos θ W W cos θ

( )

Entonces, el coeficiente de fricción por rodadura se expresa por: ρ = ρ ± σρ Sustituyendo valores:

ρ=

±

Conclusiones ¿Cuales son sus conclusiones relativas al método empleado y a los resultados obtenidos?

VII. Actividades complementarias I. Responde de manera breve a las siguientes preguntas. 1.- Diga usted cómo influye el área de contacto en el valor de la fuerza de fricción estática.

170 170

2.- A medida que se alisan las superficies que interactúan, el rozamiento disminuye el coeficiente de fricción. Empíricamente se ha observado que se llega a un punto en el cuál en lugar de disminuir el coeficiente de fricción con la lisura de las superficies, aumenta. Explica el fenómeno.

3.- ¿Cómo es la fuerza necesaria para que el bloque se empiece a mover, comparada con la fuerza necesaria para mantener el bloque con movimiento uniforme? Sugiere una hipótesis para explicar la diferencia.

4.- Menciona cuatro fuentes posibles de errores en la determinación de μs.

5.- Deduce las expresiones para σμs y σ a partir de la expresión general: μk

2

σ Z = ⎛ ∂z ⎞ ⎜

⎝

∂x ⎠

⎟

⎛

σ2+⎜ x

⎝

⎞

∂z ⎟

⎜ ∂y ⎟

2

σ2

Si:

z = f (x, y)

y

⎠

6.- Menciona algunas aplicaciones del rozamiento.

7.- Determina el coeficiente de fricción entre las suelas de los zapatos y tenis que usas y los diferentes pisos en los que caminamos. Elabora un reporte del método empleado y de los resultados obtenidos.

Conclusiones ¿Cuáles son tus conclusiones de esta práctica?

BIBLIOGRAFIA 1. Gutiérrez, Carlos. “Introducción a la metodología experimental”. Editorial Limusa - Noriega Editores. México, 1998. 2. Serway, Raymond. “Física (tomo 1)”, Editorial Mc-Graw-Hill-Interamericana. México, 1997 3. Giancoli, Douglas. “Física para Universitarios (tomo 1)”, Prencide Hall. México, 2002.

PRÁCTICA 13 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

Nombre del Alumno:

Grupo:



Calificación:

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME OBJETIVOS Al término de la práctica el alumno: ─ Identificará las características del movimiento rectilíneo uniforme. ─ Obtendrá la gráfica que relaciona la distancia con el tiempo de recorrido de un móvil que viaja a velocidad constante. ─ Aplicará el método de mínimos cuadrados para obtener la línea recta que se ajusta mejor a los datos experimentales.

CONSIDERACIONES TEÓRICAS Movimiento Rectilíneo Uniforme Al ser humano desde siempre le han llamado la atención los movimiento de los objetos .Sin embargo, estamos acostumbrados al movimiento, pues los astros se mueven, los automóviles se mueven, nuestras pestañas se mueven, nuestro corazón late, etc. El filósofo y griego Aristóteles fue el primero en estudiar seriamente el movimiento de los cuerpos. Sin embargo, fue Galileo Galilei quien sentó las bases para describir el movimiento de los cuerpos. Pero, fue Isaac Newton quién formuló las leyes del movimiento y equilibrio de los objetos tal y como las conocemos ahora. El movimiento más simple de un objeto corresponde al movimiento rectilíneo uniforme. Se dice que un objeto tiene un movimiento rectilíneo uniforme cuando su trayectoria es rectilínea y su velocidad es constante. En este movimiento el objeto recorre distancias iguales en tiempo iguales.

Método de Mínimos Cuadrados Para describir el movimiento rectilíneo uniforme se pueden emplear las gráficas características del mismo. Estas gráficas se elaboran a partir de mediciones de las posiciones que ocupa el objeto al transcurrir el tiempo. Como la relación entre éstas dos variables es lineal y debido a la presencia de los errores experimentales, el experimentador se enfrenta al problema de ajustar la línea que mejor se ajuste a los datos experimentales. Para resolver esta cuestión el experimentador recurre al empleo del método de mínimos cuadrados

En esta práctica se ilustrará el método en su forma más sencilla que para este nivel es suficiente o sea para el caso en que las desviaciones en una de las variables ( la variable dependiente) son mucho mayores que las de la variable independiente, es decir en donde los errores o incertidumbres de la variable independiente son mínimos o despreciables.

MATERIAL Un canal recto de aproximadamente 2m de longitud. Una rampa cuyo ancho coincida con el del canal recto. Un balín Una cinta métrica Un cronómetro Cinta maskin Un plumón Libros.

I.

DESARROLLO EXPERIMENTAL

Coloca el canal recto sobre la superficie horizontal de la mesa. Une la rampa con el canal recto de manera que coincida la parte recta de la rampa con el canal como se muestra en la figura 1. Puedes utilizar él o los libros para que queden al mismo nivel la parte recta de la rampa y el canal recto. Puedes fijar el canal y la rampa a la mesa con la cinta maskin.

Figura 1.Deben estar alineados la rampa y el canal recto, además de estar en contacto de manera que el balín al pasar de la rampa al canal lo haga suavemente.

Con ayuda del maskín y una pluma haz marcas sobre el canal a partir del extremo que está en contacto con la rampa, a los 5 cm, 45 cm, 75 cm, 105 cm, 135 cm y 165 cm (figura 2).

Figura 2. El maskín no deberá obstruir el movimiento del balín sobre el canal o riel. El balín siempre se deberá dejar caer desde la misma altura o posición de la rampa.

Medición del tiempo de recorrido Dejar caer el balín de la rampa desde una altura que le permita a éste moverse sin dificultad por todo el riel. Desde dicha altura deja caer el balín y registra con el cronómetro el tiempo que realiza en ir de la marca de 5 cm a la de 45 cm es decir, cuando halla recorrido 40 cm y registra tu medida en la tabla 1. Mide en cuatro ocasiones más el tiempo de recorrido de esta distancia. Registra en cada caso los resultados en la tabla 1. Obtén el promedio ( t ) de estos valores y regístralos en la tabla de resultados. El promedio del tiempo de recorrido lo puedes calcular empleando la ecuación.

t

=

t 1 + t 2 + t3 + t 4 + t 5 5

Ahora, deja caer nuevamente el balín desde la misma altura y mide el tiempo que tarda el balín en ir de los 5 cm a los 75 cm, es decir en recorrer los 70 cm. Mide este tiempo en cuatro ocasiones más y obtén el tiempo promedio. Registra los resultados en la tabla 1. Repite esto para las distancias de recorrido que aparecen en la tabla 1.

Resultados Tabla 1. Tiempo de recorrido del balín sobre el riel. Distancia de recorrido

Tiempo de recorrido t1 (s)

d (m)

t2 (s)

t3 (s)

tiempo promedio

t4 (s)

t5 (s)

(s)

0.40 0.70 1.00 1.30 1.60 Como en estas mediciones se han cometido errores. ¿Qué incertidumbre asociarás en la medición de las distancias? En el siguiente espacio justifica tu respuesta

Como en la medición del tiempo del recorrido del balín se repitió la medición podemos hacer una estimación del error calculando la desviación media del tiempo de recorrido para cada distancia. La desviación media Δ t del tiempo es determinada mediante la siguiente expresión matemática…

( )

t −t + t −t + t −t + t −t + t −t

n

∑ ti −t Δt =

i=1

n

=

1

2

3

4

5

5

Determina la desviación media del tiempo de recorrido para cada distancia y registra los resultados en la tabla 2; en esta tabla registra también los tiempos promedios t .

( )

Tabla 2. Desviación media del tiempo de recorrido. Distancia recorrido d (m)

Tiempo promedio t (s)

Desviación media del tiempo Δt (s)

0.40 0.70 1.00 1.30 1.60

Elaboración de la Gráfica. Para visualizar la relación entre la distancia recorrida por el balín y el tiempo empleado en el recorrido elabora una gráfica en papel milimétrico, (que se anexa) de los datos de la tabla 2, como se muestra en la figura 3. En ésta gráfica se ubica la distancia en el eje de las abscisas y el tiempo en el eje de las ordenadas. También gráfica la incertidumbre (desviación media) correspondiente a cada tiempo de recorrido, Debido a que la incertidumbre de la distancia es pequeña no se pondrá. Dibuja una línea que pase por los intervalos de incertidumbre de cada punto, ¿la gráfica es lineal? ¿es una línea recta?

Figura 3. Gráfica de la distancia recorrida por el balín y el tiempo que empleo en recorrerla. De la gráfica se observa que es posible trazar varias rectas por las líneas de incertidumbre. Para trazar la mejor recta que se ajuste a las medidas experimentales, se empleará el método de mínimos cuadrados.

179

Método de Mínimos Cuadrados. Este método se emplea cuando la relación entre las dos variables está dada por una ecuación del tipo: y = mx + b

(1)

Para obtener los valores de m y b de acuerdo con el método de mínimos cuadrados se emplean las siguientes ecuaciones. n m=

yi

∑ xi yi −∑ xi ∑

(2)

xi 2 − (∑ ix )2 ∑ 2 ∑ i ∑n x ∑− ∑ x ix x i yi 2 ( 2 ) ∑ i (∑ i) n

b=

x (3)

yi −

donde n = número de medidas Como la relación entre la distancia recorrida y el tiempo de recorrido del balín debe ser del tipo: t = md + b

(4)

Entonces por analogía de las ecuaciones (2) y (3), la ordenada al origen ( b ) y la pendiente ( m ) se pueden obtener de: m=

n ∑ (d i t i ) − ∑ d i 2 2 n d − (∑ d i

∑

d

i

∑ ti

(5)

)

ti−

di

(

di t i

∑i ∑ ∑ ∑ 2 2 n ∑ d i − (∑ d i )

)

2

b=

(6)

Para facilitar los cálculos se organizarán los datos en la tabla 3. En ella registrarás los resultados desde las operaciones indicadas en ella.

180 180

Tabla 3. Método de Mínimos cuadrados. n 1 2 3 4 5

di (m) 0.40 0.70 1.00 1.30 1.60 Σdi =

ti (s)

Σti =

di2 2 (m)

2

Σdi =

di ti (ms)

Σditi =

2

ti 2 (s )

2

Σti =

En el siguiente espacio efectúa los cálculos para obtener m y b al substituir los valores de la tabla 3. Registra en los espacios respectivos tus resultados. Cálculos:

m= b=

Al substituir los valores de m y b en la ecuación 4 se obtiene la ecuación que relaciona a las dos variables d y t, es decir: t= Para verificar, si la ecuación que se obtuvo es correcta, sustituye en ella un valor de d para obtener el valor correspondiente de t. En estas condiciones, traza la recta que mejor se ajusta por los puntos de la gráfica en otra hoja de papel milimétrico como se ilustra en la figura 4. Para esto, puedes seleccionar dos puntos, uno de ellos puede ser el punto P1( 0 , b ) y el otro

182

punto P2 se obtiene de substituir un valor de d (por ejemplo d = 1.0 m) en la ecuación 4 y obtener t3, de manera que el punto es P2 ( 1.0 m, t3 ).

Figura 4. La recta que mejor se ajusta a los datos se obtuvo del método de mínimos cuadrados. Rapidez del Balín. Para determinar que tan rápido cambia la posición del balín a lo largo del canal recto, calcula la rapidez o magnitud de la velocidad del balín para las diferentes distancias marcadas en la tabla 4, para esto, emplea la siguiente ecuación. v=

d t

(7)

Registra los resultados en la tabla 4. Los tiempos promedios de recorrido tómalos de la tabla 1. Tabla 4. Rapidez del balín.

d (m)

t (s)

0.40 0.70 1.00 1.30

Discusión.

183 183

v=d/t m/s

1.60 ¿ Cómo son los valores de v entre si?

¿ A qué lo atribuyes?

¿ Puedes considerar el valor de v constante? ¿Por qué?

Relación entre m y v Hemos podido observar que podemos caracterizar el movimiento del balín por las siguientes ecuaciones; d t =md + b (8) v= (7) y t

Para encontrar la relación entre dichas expresiones matemáticas, las compararemos, para esto despejaremos la variable t de la primera ecuación, es decir: t = dv Reordenando: t=

1 d v

(9)

1 debe ser igual a la m de la ecuación 7 y la b de la ecuación 8, v debe ser cero para que sea igual a la ecuación 7. Para verificar esto, sustituye el Si observamos,

184 184

valor de m calculado por la ecuación 5 en la siguiente ecuación y obtén el valor de v.

1 =m v Al sustituir valores se obtiene: v=

m s

Compara este valor con los que aparecen en la tabla 5, ¿son parecidos?

Discusión ¿Las dos ecuaciones que se compararon son equivalentes? ¿Por qué?.

¿El valor de 1/m es igual a la rapidez del balín? Justifica tu respuesta.

¿El valor de b es igual a cero o cercano a cero? ¿Qué representa esto?

Gráficas para un MRU Para describir el movimiento del balín sobre el canal recto los físicos acostumbran representar éste mediante una gráfica en un sistema de coordenadas cartesiana, en donde la distancia se gráfica en el eje de las ordenadas y el tiempo en el eje de las abscisas. Para obtener esta gráfica, en otra hoja de papel milimétrico, traza un sistema de coordenadas cartesianas y localiza los puntos con los datos de la tabla 1, como se ilustra en la figura 5.

Para ajustar la línea recta por los puntos trazados, en esta ocasión considera que la recta debe pasar por el origen y que su pendiente m´ se obtiene de : m′ =

1 m

donde: m es el valor obtenido por la ecuación 5. Puesto que la ecuación que se ajusta a los datos es del tipo: d = m′t (10) Podemos concluir que m´ es igual a la magnitud de la velocidad del balín.

Figura 5. Gráfica de la MRU del balín. La pendiente de la recta tiene un valor igual al de la velocidad del balín. Al analizar la gráfica d en función de t de la figura 5 concluimos que la velocidad del balín dentro del error experimental se puede considerar constante es decir, tiene el mismo valor para cualquier instante. Esto puede ser representado mediante una gráfica de la velocidad v en función del tiempo t con los valores de la tabla 4 como se ilustra en la figura 6. Elabora la gráfica en una hoja de papel milimétrico previa selección de la escala adecuada. En esta ocasión traza “a ojo” la recta que mejor se ajusta a los puntos.

Figura 6. Gráfica de la velocidad del balín función del tiempo de recorrido.

187

Discusión ¿Por qué al elaborar la gráfica de la distancia d en función del tiempo t del movimiento del balín, se considero que para t=0.s,la distancia deberá valer 0 m?

¿Por qué al elaborar la gráfica v en función del t del movimiento del balín, la recta trazada es paralela al eje del tiempo?

Actividades Complementarias. I Previa investigación responde las siguientes preguntas . 1. ¿Cuáles son las características del MRU?

2. ¿Cuáles son las gráficas características de un movimiento rectilíneo uniforme? Traza éstas en los siguientes sistemas de coordenadas.

Figura 7 Sistemas de coordenadas.

188 188

3. ¿En qué gráfica (s) de la siguiente figura el cuerpo se mueve con una velocidad constante? Marca con una X en el paréntesis dicha(s) gráfica(s) .

Figura 7. Gráficas que representan el movimiento de diversos objetos. 4. ¿Qué es le método de mínimos cuadrados?

5. ¿Cómo se obtienen las ecuaciones (2) y (3)?

6. Resuelve uno de los problemas que aparecen en el apéndice del método de mínimos cuadrados del libro Introducción a la Metodología Experimental.

Conclusiones. ¿Cuáles son las conclusiones de esta práctica?

BIBLIOGRAFIA 1. Gutiérrez, Carlos. “Introducción a la metodología experimental”. Editorial Limusa - Noriega Editores. México, 1998. 2. Baird,D. C. “Experimentación”, Una introducción a la teoría de las mediciones y al diseño de experimentos, Editorial Prentice Hall. México, 1993 3. Giamberardin, Vincenzo. “Teoría de los errores”, Editorial Venezolana. Caracas 1976.

Reverté

4. Serway, Raymond. “Física (tomo 1)”, Editorial Mc-Graw-Hill-Interamericana. México, 1997.

190 190

PRÁCTICA 14 RADIACTIVIDAD

Nombre del Alumno:

Grupo:



Calificación:

RADIACTIVIDAD Objetivos Al término de la práctica el alumno: ─ Identificará algunas características del fenómeno de radiactividad natural. ─ Reconocerá que el papel semilogaritmico facilita la obtención de la ecuación que relaciona a dos variables que varían exponencialmente. ─ Obtendrá la relación entre el número de tiradas y el número de monedas que quedan al retirar después de cada tirada las que quedaron en “Sol”.

CONSIDERACIONES TEÓRICAS La radiactividad La mayoría de los átomos son estables es decir, la intensa fuerza nuclear, mantiene a los nucleones (protones y neutrones) unidos al núcleo, pues logra superar a la fuerza de repulsión de Coulomb que ejercen entre si los protones. Sin embargo, en algunos átomos este equilibrio no se conserva, es decir, estos átomos se transforman en otros átomos emitiendo radiaciones ( partículas, α, β, y γ ) como resultado de decaimiento nucleares. Este fenómeno recibe el nombre de 226 radiactividad natural. Por ejemplo, el átomo de radio 88 Ra decae debido a la emisión de una partícula

( 24 α

) en un átomo de

(

(

222 86 Rn

)

) ,es decir:

radón

226 88

Ra → 222 Rn + 4 α + 86energía 2

Un material radiactivo integrado exclusivamente por átomos radiactivos emite radiaciones hasta que todos sus átomos inestables decaen es decir, se transforman en otros átomos estables. La rapidez de desintegración no es constante con el tiempo, sí no que disminuye exponencialmente. Esta dependencia exponencial con el tiempo es característica de todo proceso radiactivo. Esta desintegración radiactiva también es un proceso estadístico. Los diferentes átomos radiactivos se desintegran con distinta rapidez. La rapidez de desintegración de una muestra radiactiva se caracteriza por su vida media T1/2.

Por ejemplo, suponga que una muestra contiene únicamente (t=s) N0 (átomos radiactivos). Después de una vida media (n=1) habrá N0/2 núcleos radiactivos presentes, es decir: 1

⎛1⎞ ⎛1⎞ N1 = N 0 ⎜ ⎟ = N 0 ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ Después de dos vidas medias (n=2) el número de núcleos (átomos radiactivos) será: 2

⎛1⎞ ⎛1⎞ N 2 = N 0⎜ ⎟ = N 0⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝4⎠ Después de tres vidas medias (n=3) será N0/8 átomos radiactivos pues: 3

⎛1⎞ ⎛1⎞ N 3 = N 0⎜ ⎟ = N 0⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝8⎠ Generalizando lo anterior, se obtiene: Nn

⎛1⎞ = N 0⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

n

----------------(1)

o lo que es lo mismo: N n = N 0 2−n

donde: n=

t T1 / 2

n = número de veces de la vida media Nn= N = número de átomos (núcleos radiactivos) en cierto instante t o después de n vidas medias N0=número de átomos iniciales (núcleos radiactivos) en el instante t=0s.

Cambiando a base decimal, esta última ecuación se convierte en: N = N 0 10 −

0.301n

----------------(2)

La curva resultante al gráficar N con respecto a n es una curva de desintegración exponencial (figura 1).

Figura 1 Desintegración radiactiva. La gráfica muestra la desintegración de una muestra radiactiva en función del número de vidas medias (tiempo)

La actividad (R) de una muestra radiactiva es el número de desintegraciones nucleares por unidad de tiempo. La unidad más común es el curie (Ci) La cual 10 equivale a: 1Ci = 3.7x10 desintegraciones /seg. La unidad de la actividad en el S.I. es el becquerel (Bq), el cual se define como una desintegración por segundo es decir. 1 Bq = 1 des int e gra ción segundo O sea que: 1Ci = 3.70 X 10

10

Bq

Papel semilogarítmico El papel semilogarítmico está formado por un par de ejes mutuamente perpendiculares graduados de manera que la escala horizontal es una escala ordinaria en que las divisiones son iguales de tamaño y la escala vertical es una escala logarítmica cuyas dimensiones se comprimen progresivamente a medida que se avanza hacía arriba (figura 2). La escala logarítmica empieza con el número uno y el eje de las ordenadas esta dividido en ciclos.

Figura 2.- Papel semilogarítmico. La escala horizontal corresponde a una escala ordinaria y la escala vertical es una escala logaritmica dividida en ciclos.

Uno de los métodos más empleado para encontrar la ecuación empírica a partir de los datos experimentales es la representación gráfica de los mismos. Si la gráfica que se obtiene no es lineal, ni parabólica ni hiperbólica, sino exponencial se emplea el papel semilogaritmico para encontrar la ecuación entre las variables involucradas.

MATERIAL 100 monedas de 20 o 10 centavos Papel Semilogaritmico Papel milimétrico Un recipiente de plástico con tapa.

DESARROLLO EXPERIMENTAL I. Graficar en papel milimétrico. Considerando que cada moneda representa un átomo tendremos 100 átomos (N0 =100) dado que disponemos de 100 monedas. Coloca las 100 monedas en el recipiente de plástico, agítalo y deja caer con cuidado las 100 monedas sobre la superficies de la mesa. Retira todas las monedas cuya cara no sea “águila”, es decir retira los “soles”. Estas monedas representan los átomos que se transformaron y cuenta el número de monedas (N1) que cayeron en águila y registra el resultado en la tabla 1. Esta primera tirada corresponde al tiempo de una vida media de desintegración radiactiva (n=1) . Coloca las monedas que no retiraste (N1) en el recipiente, y agítalo. Arroja las monedas a la superficie de la mesa, cuenta el número de monedas (N2) que cayeron en águila y retira las otras. Esta segunda tirada corresponde a dos veces el tiempo de vida media (n=2). Vuelve a colocar las monedas que no retiraste (N2) en el recipiente, agítalo y arroja nuevamente las monedas a la superficie. Retira las monedas que cayeron en Sol y cuenta los que quedaron en águila (N3). Esta tercer tirada corresponde a tres veces la vida media (n=3).

Continua con este proceso hasta que hayas lanzado las monedas del recipiente un total de cinco veces (n=5). Repite todo el proceso anterior en tres ocasiones más y obtén el promedio del número de monedas (N1, N2,.. N5) que quedan en cada tirada. Estos valores regístralos en la última columna. RESULTADOS Tabla 1. Número de monedas después de cada tirada Tirada (núm. de vida media) n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

Juego 1 núm. de monedas en águila N0=100 N1= N2= N3= N4= N5=




Promedio núm. de monedas en águila N0=100 N1= N2= N3= N4= N5=

En una hoja de papel milimétrico gráfica N versus n tomando para N los valores promedios de la tabla 1. Los valores de N se localizarán en el eje de las ordenadas y los valores de n se localizarán en el eje de las abscisas . Discusión ¿ Qué tipo de gráfica se obtuvo?¿ se parece a la gráfica 1?

¿Qué tipo de relación debe existir entre N y n?

198

II. Graficando logaritmos en papel milimétrico Como se espera que la relación entre las dos variables sea exponencial determina el logaritmo de base 10 para los valores promedio de N y registra los resultados en la tabla 2. Tabla 2. Logaritmo de base 10 de N. n 0 1 2 3 4 5

N valores promedio 100

log. N

En otra hoja de papel milimétrico gráfica log N versus n colocando los valores de log N en el eje de las ordenadas. DISCUSIÓN ¿Qué tipo de curva se obtiene al unir los puntos de la tabla 2 en la gráfica de log N versus n?

Puesto que la relación entre las variables N y n debe ser del tipo. N = N0 10 donde:

mn

m = pendiente

Entonces al tomar logaritmos a ambos miembros de la igualdad, se tiene: mn

log N = log (N0 10 ) mn

log N = log N0 + log (10 ) log N = log N0 + mn log 10

199 199

como: log10 10 =1 entonces. log N = log N0 + mn Si se sustituyen las siguientes variables B y Y por: Y = log N B= log N0

se obtiene:

Y = mn +B ----------------(4) la cual es la ecuación de una recta. De la recta trazada en log N versus n, determine la pendiente m y la ordenada al origen. En el siguiente espacio escribe los cálculos CÁLCULOS

m= B= Para determinar la ecuación que relaciona la variable N y n, determine N0 por: N0=antilog B y sustituye los valores de m y N0 en la siguiente ecuación: es decir:

N = N0 10

mn

N = antilog B 10

mn

Compara este ecuación con la ecuación (2) que aparece en las consideraciones teóricas.

200 200

III.

Gráfica en papel semilogaritmico

Para deducir la ecuación que relaciona las variables N y n de una manera más simple cuando la relación entre dichas variables es exponencial, se emplea el papel semilogaritmico al graficar directamente los valores de N y n en dicho papel equivale a graficar, log N versus n. En una hoja de papel semilogaritmico gráfica los valores de N y n que aparecen en la tabla 2. Une los puntos localizados en el papel semilogaritmico, ¿Qué tipo de curva se obtiene?. Determina a partir de la línea recta, la ordenada al origen y la pendiente, valores que sustituirás en la ecuación (3) para obtener la ecuación que relaciona las variables N y n. Registra tus cálculos en el siguiente espacio, si tienes dudas de cómo determinar la ecuación de una recta en un papel semilogaritmo consulta el libro de Introducción a la Metodología Experimental Cálculos

ordenada al origen = pendiente = ecuación =

Discusión ¿La ecuación obtenida mediante el empleo del papel semilogaritmico es igual a las ecuaciones (2) y (3)? ¿Por qué?

¿En qué casos se debe emplear el papel semilogaritmoco al gratificar dos variables? ¿Por qué?

Papel semilogarítmico

202

III. Actividades complementarias. III.1. Responde a las siguientes preguntas. 1.- ¿Qué es la radiactividad natural?

2.- ¿Cuál es la equivalencia entre el curie y el becquerel?

3.- ¿Cuál es la diferencia entre el papel milimétrico y el papel semilogaritmico?

III. 2. Investiga. 1.- ¿Cuál es la diferencia entre radiactividad natural y radiactividad artificial?

2.- ¿Qué tipo de radiaciones puede emitir un núcleo radiactivo?

203 203

III.3. Problemas. Resuelve los dos problemas que aparecen en el apéndice “Papel semilogaritmico” del libro Introducción a la Metodología Experimental.

CONCLUSIONES ¿Cuáles son tus conclusiones que obtuviste de esta práctica?

BIBLIOGRAFIA 1. Gutiérrez, Carlos. Introducción a la metodología experimental. Limusa Noriega. México, 1998. 2. Tippens, Paul. Física , conceptos y aplicaciones. Editorial Mc-Graw-HillInteramericana. México, 2001.

PRÁCTICA 15 MOVIMIENTO EN UN PLANO INCLINADO

Nombre del Alumno:

Grupo:



Calificación:

MOVIMIENTO EN UN PLANO INCLINADO

Objetivos Al término de la práctica el alumno: ─ Identificará algunas de las características del movimiento de un cuerpo sobre un plano inclinado. ─ Obtendrá la relación entre la aceleración de un balín en un plano inclinado y el tiempo de recorrido, cuando la distancia se mantiene constante. ─ Reconocerá que el papel logarítmico facilita la obtención de la ecuación que relaciona a dos variables que varían en forma parabólica o hiperbólicamente.

CONSIDERACIONES TEÓRICAS El plano inclinado se utiliza en general para subir un objeto a un nivel superior aplicándole una fuerza pequeña. Entre menos inclinado sea el plano inclinado, menor será la fuerza necesaria para desplazar el objeto por dicho plano inclinado. En otras situaciones el objeto es liberado desde la parte superior del plano inclinado para que se mueva hacia abajo. Entre más se incline el plano, menor será el tiempo que emplee el objeto en recorrerlo. Para conocer las características del movimiento de un objeto en un plano inclinado aplicamos la segunda Ley de Newton

Figura 1.- Fuerzas actuando sobre un objeto en un plano inclinado cuando se desprecia la fricción.

r r De la figura 1 se observa que sobre el objeto están actuando dos fuerzas N y W. Asociando un sistema de coordenadas como el mostrado en la figura 2 y descomponiendo el peso W en sus componentes se obtiene lo siguiente ∑ FX = W sen θ = ma x -------------(1)

∑ Fy = N − W cos θ = ma y

--------(2)

Como no hay movimiento a lo largo del eje y se tiene. N = W cos θ Si W = m g entonces de: W sen θ = ma x se obtiene: mg sen θ = ma x Simplificando g sen θ = ax ------------- (3)

O que de la aceleración ax depende la aceleración de la gravedad y del seno delsea ángulo inclinación (θ) del planode inclinado.

Figura 2. Componentes W x y W y del peso W de un objeto en un plano inclinado Como el objeto parte del reposo (vo) y la aceleración se mantiene constante (mientras que la inclinación sea constante) las ecuaciones que se utilizan para describir su movimiento son las correspondientes a las de un movimiento rectilineo uniformemente variado (MRUV).

La ecuación que relaciona en el MRUV las distancias recorridas con respecto al tiempo es: d=v 2 t+⎜ ⎟ at -------------(4) 1 ⎛ ⎞ 0 ⎝2⎠ como vo = 0, se obtiene: d=⎜ ⎟ 1 2 at ⎛ ⎞ ⎝2⎠

La aceleración es igual a g sen θ. Despejando el tiempo t de la ecuación anterior, se obtiene. 2d t= a − o lo que es lo mismo: t = 2d a -------------(5) 12

Papel logarítmico Es un papel cuadriculado con escalas logarítmicas en los dos ejes coordenados. Para graficar en este papel se tomará en cuenta, que a partir de la intersección de los ejes de coordenadas, cada ciclo es mayor que el anterior por un factor de 10. De esta manera, si el primer ciclo representa los logaritmos del 1 al 10. el siguiente ciclo representa a los logaritmos de 10 al 100 y el siguiente de 100 a 1000. O sea que para graficar el logaritmo de 6, en uno de los ejes se escoge uno de los ciclos de ese eje y, de él, el número 6. La posición del logaritmo de 60 (log 60), será sobre el 6 del ciclo inmediato superior y la posición del logaritmo de 0.6 quedará sobre el 6 del ciclo inmediato inferior al ciclo donde se gráfico logaritmo de 6. En la figura 3 se muestra el papel logarítmico.. El papel logarítmico se emplea para obtener la relación entre dos variables y y x cuando la relación entre ellas es del tipo: y = Ax

m

Si m es positiva la relación es parabólica, pero si m es negativa la relación es hiperbólica

Papel logarítmico

Figura 3.- Papel logarítmico de 2 X 3 ciclos.

Material Un balín Un riel acanalado de 2.40 m. Un cronómetro Una cinta métrica o regla de 1m. transportador grande Libros Papel milimétrico Papel logarítmico.

Desarrollo experimental Apoya un extremo del riel sobre la mesa y el otro extremo sobre los libros como se muestra en la figura 4.

Figura 4.- Apoya el riel sobre la mesa y los libros, de manera que forme un ángulo con la horizontal. Marca sobre el riel los puntos A y B separadas una distancia de 2 m. Para medir el ángulo (θ) que forma el riel con la superficie horizontal coloca el transportador como se ilustra en la figura 5

Figura 5. Colocar el transportador para medir el ángulo (θ) de inclinación del riel Para variar el ángulo de inclinación del riel puedes aumentar o disminuir el número de libros o deslizarlos horizontalmente, alejándolos o acercándolos al vértice. 210 210

Haz que el riel forme un ángulo de 10° con la horizontal y mide en cuatro ocasiones el tiempo que tarda el balín en recorrer a partir del reposo la distancia de 2m (ĀB = 2m). Registra tus tiempos en la tabla 1. Calcula el tiempo promedio y regístralo en la tabla 1. Repite lo que se te indicó en el párrafo anterior para los ángulos que aparecen en la tabla 1. Resultados Tabla 1. Tiempo de recorrido del balín por el plano inclinado θ (°) 10 15 20 25 30

Tiempo de recorrido (s)

tiempo promedio (s)

Considerando que la aceleración de un objeto en un plano inclinado se puede calcular por la siguiente expresión, a = g sen θ, determina la aceleración del balín para los ángulos de inclinación del plano inclinado que aparecen en la tabla 2.

Tabla 2.- Aceleración del balín para diferentes ángulos de inclinación θ (°) 10 15 20 25 30

a = g sen θ 2 (m/s )

En la tabla 3 concentra los tiempos promedios de recorrido y las aceleraciones del balín para los diferentes ángulos de inclinación

Tabla 3.- Aceleración y tiempo de recorrido del balín. θ (°) 10 15 20 25 30

a 2 (m/s )

t (s)

En una hoja de papel milimétrico haz la gráfica del tiempo en función de la aceleración como se ilustra en la figura 6. En este experimento la variable independiente es la aceleración y la variable dependiente es el tiempo.

Figura 6.- Gráfica de la aceleración en función del tiempo para el balín que se mueve sobre el plano inclinado.

213

Discusión ¿Es ua línea recta la gráfica del tiempo en función de la aceleración?¿qué tipo de gráfica es?

¿Conforme aumenta la aceleración del balín, el tiempo de recorrido se mantiene constante?. Explica

¿Qué tipo de relación existe entre t y a?.

II. Graficando logaritmos en papel milimétrico Si la relación entre las variables t y a debe ser del tipo m t = Aa ---------------(6) con m negativo, o sea que, la curva que relaciona dichas variables es una hipérbola. Entonces al tomar logaritmos a ambos miembros de la igualdad se tiene:. m

log t = log A + log a log t = m log a + log A Si se sustituyen las siguientes variables X,Y y B por: log t = Y log a = X log A = B

Se obtiene la siguiente ecuación: Y = m X + B, la cual corresponde a la ecuación de una línea recta.

214 214

En la tabla 4 escribe los valores de a y de t ,y para cada una de ellas determina su logaritmo de base 10. Registra los cálculos en las columnas correspondientes Taba 4.- Logaritmos de las aceleraciones y los tiempos a 2 (m/s )

t (s)

log a

log t

En otra hoja de papel milimétrico grafica previa selección de la escala adecuada log t versus log a, colocando los valores de log t en el eje de las ordenadas.

Discusión ¿Qué tipo de curva se obtiene al unir los puntos de la gráfica de log t versus log a?

¿Qué tipo de relación debe existir entre las variables a y t?.

216

De la recta trazada en log t versus log a determina la pendiente de la recta (en este caso m). Si es necesario consultar el libro de Introducción a la Metodología Experimental. Registra tus cálculos en el siguiente espacio. CÁLCULOS

m= Ya que la ecuación que relaciona las variables t y a es del siguiente tipo: t=Aa

m

Habiendo calculado m despeja A de la ecuación anterior para conocer su valor, es decir: t A = m -------------- ( 8 ) a De la tabla 4 toma un valor de t y el valor correspondiente de a y sustitúyelos en la ecuación anterior y registra tus cálculos en el siguiente espacio: CÁLCULOS

A= Habiendo determinado A y m, podemos decir que la relación entre la aceleración (a) y tiempo de recorrido (t) del balín está dado por: t= Compara esta ecuación con la que aparece en las consideraciones teóricas, ¿qué opinas de la comparación?

217

218

III. Gráfica en papel logarítmico Para deducir la ecuación que relaciona las variables t y a de una manera más simple cuando la relación entre dichas variables es parabólica o hiperbólica, se emplea el papel logarítmico. Al gráficar directamente los valores del tiempo (t) y de la aceleración (a) sobre el papel logaritmico equivale graficar log t versus log a. Haz esto, en una hoja de papel logaritmico con los valores de la tabla 3. Une los puntos localizados en el papel logaritmico y si la gráfica es una línea recta determina su pendiente y su ordenada al origen. Registra tus cálculos en el siguiente espacio. Si tienes dudas de cómo hacerlo en el papel logaritmico consulta el libro de Introducción a la Metodología Experimental. Cálculos

pendiente = Ordenada al origen =

Tomando en cuenta los cálculos anteriores, escribe en el siguiente espacio la ecuación de la gráfica obtenida en la que se relaciona la aceleración (a) y el tiempo de recorrido (t) a partir del empleo del papel logarítmico. Ecuación =

----------- (10)

Discusión ¿La ecuación obtenida mediante el empleo del papel logarítmico es igual a la ecuación (5)? ¿Por qué?

219 219

¿En qué casos se debe emplear el papel logarítmico al graficar dos variables? ¿Por qué?

CONCLUSIONES ¿Cuáles son las conclusiones que obtuviste de esta práctica?

220 220

Papel logarítmico

221

IV. Actividades complementarias. Responde a las siguientes preguntas. 1.- ¿Cuál es la diferencia entre una curva parabólica y una curva hiperbólica? Haz un dibujo en el siguiente espacio para ilustrar la diferencia.

2.- ¿Cuál es la diferencia entre un papel milimétrico y un papel logarítmico?

2

3.- Si gráficas la ecuación d= ½ g t , tomando como variables d y t. ¿qué tipo de curva obtienes al graficarlas en papel logarítmico?

222 222

II. Investiga. 1.- ¿Cuánto vale la aceleración de la gravedad en tu localidad?

2.- ¿De qué manera el momento de inercia del balín afecta su movimiento en un plano inclinado?

II.3. Problemas. Resuelve los dos problemas que aparecen en el apéndice “Papel semilogaritmico” del libro Introducción a la Metodología Experimental.

BIBLIOGRAFIA 1. Gutiérrez, Carlos. Introducción a la metodología experimental. Limusa Noriega. México, 1998. 2. Tippens, Paul. Física , conceptos y aplicaciones. Editorial Mc-Graw-HillInteramericana. México, 2001. 3. Halliday, D., Resnick, R. y Waklker, Jearl. Fundamentos de Física. Volumen 1. Editorial CECSA. México, 2001.

223

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Con el propósito de que ejercites y revises lo aprendido en las actividades experimentales y en la bibliografía se te presentan a continuación 32 ejercicios con sus respectivas respuestas. 1.-

Convierte 100 hectómetros a: a) metros b) milímetros c) megámetros d) picómetros e) terámetros Resp. a) b) c) d) e)

2.a) b) c) d) 3.-

4

10 m. 7 10 mm. -2 10 Mm. 6 10 pm. -8 10 Tm.

¿Cuáles de las siguientes magnitudes se les puede asignar incertidumbre? El número de alumnos en el salón. El largo del salón. El grueso de una hoja. El precio del kilogramo de azúcar. Resp. b) y c) ¿Cuál es la incertidumbre asociada a un cronómetro graduado en segundos? Resp. 0.5 s

4.-

Al medir repetidamente la masa de una piedra en una balanza cuya mínima escala es de 0.1 g, se obtiene siempre 41.2 g. ¿Cómo se debe reportar el resultado? Resp. (41.2 ± 0,05) g

5.-

Al medir con un Vernier cuya graduación mínima es de 0.005 cm, se obtuvo el valor de 46.251 mm. Di cuántas cifras son significativas. Resp. 4 cifras significativas

6.-

Con una regla graduada en centímetros se obtuvo la lectura de 4.821 m. ¿Cuál es o son las cifras apreciadas de dicha lectura? Resp. 4.82

7.En las siguientes mediciones directas reproducibles, indica la mínima escala del instrumento. Justifica la respuesta a)

(4.76 ± 0.025) A

;

b) (5.0 ± 0.05) V Resp. a) 0.05 A b) 0.1 V

8.a)

Suma las siguientes cantidades medidas en cm. y redondea el resultado. b) 10.8 13.875 + 2.341 3.6 +

4.22 0.261

100.1 Resp. a) 22.0 cm. b) 113.2 cm.

9.a)

Realiza las siguientes restas y redondea el resultado obtenido. b) 57 m 495.37 m - 12.2 m

-

12.3 m Resp. a) 483.2 m. b) 45 m.

10.-

Multiplica las cantidades que se indican y redondea: a)

420 m x 1.41 m

b) 0.033 m x 0.2 m 2

Resp. a) 592 m 2 b) 0.1 m 11.-

Una regla graduada en milímetros es empleada para medir el largo de un alambre de cobre. Si el valor obtenido es de 12 cm. ¿Cuánto vale la incertidumbre absoluta en la medición? ¿Cuánto vale la incertidumbre relativa? Resp. δL = 0.05 cm. δr = 0.04

12.-

Un microscopio que puede medir hasta 0.1 mm. Se emplea para medir un objeto de 1 cm. de longitud. ¿Cuál es la precisión de esta medición expresada en porcentajes? Resp. 0.5 %

224 224

13.-

Un vóltmetro graduado en volts se emplea para medir un voltaje de 210 volts. ¿Cuánto vale la incertidumbre absoluta? ¿Cuánto vale la incertidumbre relativa? Resp. δV = 0.5 V -3 δr = 2.38 x 10 V

14.-

¿Cuál es la más pequeña distancia que puede ser medida por una regla de 30 cm. graduada en mm., para que la incertidumbre no exceda el uno por ciento? Resp. 5 cm.

15.- Un amperímetro cuya escala es de 0 – 5 A está graduada en 0.1 A. ¿Cuál es la precisión de la medición cuando se toma una lectura de 5 A? Resp. 1 % 16.- Si por un resistor circula una corriente de 1.3 A cuando se le aplica un voltaje de 5.4 volts. ¿Cuánto vale la incertidumbre absoluta de la resistencia medida? (Considerando que δI = 0.1 A y que δV = 0.1 V) Resp. 0.4 Ω 17.- Por la resistencia eléctrica de una parrilla circula una corriente de 5 A, cuando se le aplica un voltaje de 120 volts. a) ¿Cuánto vale la resistencia eléctrica? b) ¿Cuál es la precisión de la medición? (Considerando que δV = 0.5 volts y que δI = 0.1 A) Resp. a) 24 Ω b) 2.24 % 18.-

En un experimento para medir g a partir del periodo, T se midió con un 2 % y ℓ con l 1.5 %. ¿Con qué precisión se obtuvo el valor de g? En la cual T = 2π g Resp. 5 %

19.-

El voltaje aplicado a un radio es de 110 V volts medido con una precisión del 5 % y la corriente que circula por él es de 0.05 A con una precisión del 1 %. Calcular la potencia consumida, así como su precisión Resp. 5.5 W 6%

20.-

Si la medición de la densidad de una sustancia se obtiene de m = (24.3 ± 0.005) g, y 3 V = (10.2 ± 0.05) cm . ¿Cuánto vale la incertidumbre absoluta de la densidad? 3

Resp. 0.002 g/cm

21.-

En la medición de las barras de latón se encontraron los siguientes valores: a) b) c) d)

(3.45 ± 0.01) cm. (6.43 ± 0.005) cm. (180 ± 0.5) cm. (15.0 ± 0.05) cm.

Calcula la incertidumbre porcentual. Resp. a) 0.29 % c) 0.28 % 22.-

b) 0.078 % d) 0.33 %

¿Cuál de las dos mediciones es más precisa? a)

(4.31 ± 0.01) cm

b) (43.1 ± 0.01) cm Resp. b)

23.-

Calcula la incertidumbre absoluta de los siguientes resistores: a) b) c)

220 Ω ± 5 % 1000 Ω ± 10 % 10 Ω ± 0.1 % Resp. a) 11 Ω b) 100 Ω c) 0.01 Ω

24.-

Si al medir la corriente eléctrica que circula por un resistor, y repetir cinco veces esta medición en las mismas condiciones, a) ¿cuál es el valor de la corriente eléctrica más probable? a) ¿Cuánto vale la d.a.m.? N° I (A)

1 35.4

2 30.2

3 33.0

4 29.6

5 32.8

Resp. a) I = 32.2 A b) d.a.m. = 3.2 A 25.-

Si al medir el tiempo de caída de una piedra se obtienen los siguientes valores: N° t (s)

1 29.6

2 32.8

3 33.0

4 30.1

Calcula la desviación media de estas mediciones Resp. 2.4 s

5 35.5

26.-

En la medida de la resistencia de un conjunto de focos se encontraron los siguientes valores: N° R (Ω)

a)

1 12

2 6

3 7

Calcular el valor medio,

4 3

b)

5 15

6 10

7 18

8 5

Calcular la desviación media Resp. a) 9.5 Ω b 5.21 Ω

27.-

Sin hacer cálculos dibuja esquemáticamente en papel milimétrico y rápidamente la forma que tendrán las ecuaciones siguientes: a) y = 4x 2 b) y = 800x Resp. a) b)

28.-

Basándose en la ecuación 2

v = 5 (m/s) + 8 (m/s )t Completa la siguiente tabulación: v (m/s) t (s)

5

15

20

0.8

35 2.5

Resp. v (m/s) t (s)

5 0

11.4 0.8

15 20 1.25 1.875

25 2.5

35 3.75

29.-

Determina por el método de pares de puntos la pendiente de la línea recta que se ajusta a los datos obtenidos de una cucaracha en movimiento y que se muestra en la siguiente tabla: t (s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

d (m) 0.55 1.0 0.73 1.28 1.45 1.42 1.80 1.72 1.79 1.90 Resp. m = 0.14 m/s

30.-

A un resorte en posición vertical fijo en su extremo superior se cuelgan pesas de 10 gramos cada una, primero una, después dos, etc. En la siguiente tabla están registrados los valores de la carga que soporta el resorte y del alargamiento del mismo. a) b)

Construye la gráfica de x (alargamiento) en función de P (peso). Toma en cuenta que δP = ± 0.05 gf y δx = ± 0.5 cm. ¿Cuál es la longitud del resorte? P (gf) x (cm)

0 5

10 7

20 9

30 11

40 13

50 15

Resp. b) 5 cm 31.-

Al medir la posición de un ciclista en diversos momentos, se encontraron los siguientes valores:

a) b) c)

d (cm) ±0.5 cm. 0 10 20 30 40 t (s) ± 0.05 s 0 1.8 2.6 3.2 3.6 Grafica d en función de t. 2 Grafica d en función de t . ¿Cuál es la relación matemática entre d y t?

50 4.1

Resp. c)

60 4.5

2 2

d = (3 cm/s )t

32.-

Al medir las distancias que recorre un cuerpo que cae libremente se registraron los valores que aparecen en la siguiente tabla: d (cm) 0 6 ± 0.5 20 ± 0.5 44 ± 0.5 78 ± 0.5 123 ± 0.5 a) b)

t (s) 0 0.11 ± 0.005 0.20 ± 0.005 0.30 ± 0.005 0.40 ± 0.005 0.50 ± 0.005

Grafica “d” en función de “t”. Obtenga la relación matemática entre “d” y “t”. 2 2

Resp. b) d = (490.45 cm/s )t

Practicas de Laboratorio Fisica clasica

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