Practica Nro 2

Práctica N˚ 2: Distribuciones Distribuciones muestrales

2

β α/ 2

α/2

0.2667

0.4

0.5333

0.2

Distribuciones Muestrales

OBJETIVOS Aplicar el teorema del límite central. Conocer la importancia de la propiedad reproductiva de la distribución normal. Determinar la media y varianza de la distribución muestral de medias. Calcular probabilidades para la distribución muestral de medias. Calcular probabilidades para la distribución muestral de la diferencia de medias. Calcular probabilidades probabilidades para la distribución muestral de proporciones. proporciones. Calcular probabilidades para la distribución muestral de la diferencia de proporciones.  TEMAS A TRATAR

Teorema del límite central. Propiedad reproductiva de la distribución normal. Distribución muestral de medias. Distribución muestral de la diferencia de medias. Distribución muestral de proporciones. proporciones. Distribución muestral de la diferencia de proporciones.  DURACIÓN DE LA PRÁCTICA

Una sesión (2 horas). 

MARCO TEÓRICO

1. Teorema del limite limite central Si X1, X2, ..., Xn son variables aleatorias (discretas o continuas) independientes ,con idéntico modelo de probabilidad, de valor medio de la variable

µ

y varianza

2 σ

, entonces la distribución

se aproxima a la de una variable normal tipificada N(0,1) , mejorándose la calidad de la aproximación a medida que n aumenta.

Ing. Ferly Urday Luna

Este resultado prueba que el estadístico o estimador media muestral

Con carácter general, o al menos en los modelos de probabilidad clásicos, se admite una aproximación aceptable al modelo normal siempre que n sea mayor o igual que 30, a pesar de que esta cifra es insuficiente en determinados casos y excesiva en otros; por lo que debemos ser cautelosos en su aplicación.

2. Propiedad reproductiva de la distribución normal.

Si las variables aleatorias X, Y tienen las distribuciones normales respectivas: X ~ N( µ 1, σ12), Y ~ N(µ 2, σ22), entonces: X + Y ~ N( µ 1 + µ 2 , σ12 + σ22)

X - Y ~ N(µ 1 - µ 2 , σ12 + σ22)

y

3. Medias muestrales con reemplazamiento a) La cantidad total de muestras que se pueden extraer esta dada por la relación:

#Muestras=Nn Donde:

N = Tamaño de la población n = Tamaño de la muestra

b) La media de todas la medias muestrales es igual a la media de la población. µ X

= E  X  = µ

c) La varianza de la medias mustrales es igual a la varianza poblacional dividido por el tamaño de la muestra. 2

2

σ X

= Var  X  =

σ

n

d) El valor de z es:

Z =

X − µ σ

∼ N( 0;1 )

n

4. Medias muestrales sin reemplazamiento a) La cantidad total de muestras que se pueden extraer esta dada por la relación:

#Muestras=CNn= Donde:

N! n!(N-n)!

N = Tamaño de la población n = Tamaño de la muestra

b) La media de todas la medias muestrales es igual a la media de la población.


µ X

= E  X  = µ

c) La varianza de la medias muestrales es igual a la varianza poblacional dividido por el tamaño de la muestra, todo por el factor de corrección de población finita.

 N − n    n  N − 1  2

2

σ X

= Var  X  =

σ

d) El valor de z es:

X − µ

Z =

σ

N − n

n

N − 1

∼ N( 0;1 )

Como consecuencia de la distribución muestral de medias se analizara para la diferencia de medias, para la distribución muestral de proporciones y para la diferencia de proporciones cuando σ2 = conocida y n >30.

5. Distribución muestral de medias Z =

X − µ σ

X − µ

Z =

∼ N( 0;1 )

σ

N − n

n

N − 1

n

∼ N( 0;1 )

6. Distribución muestral de la diferencia de medias

Z =

( x A − xB ) − ( µ A − µ B ) 2

σ A

n

2

+

∼ N( 0;1 )

σ B

n

7. Distribución muestral de proporciones Z =

ˆ − p p pq

∼ N( 0;1 )

Z =

ˆ − p p pq n

n

×

N −n

∼ N( 0;1 )

N − 1

Se debe usar el factor de corrección de variable discreta, que es (1/(2n)), para que las aproximaciones de la probabilidad sean mas precisas.

8. Distribución muestral de la diferencia de proporciones. Z =

( ˆp A − ˆ pB ) − ( p A − p B ) p Aq A n A


×

pB q B nB

∼ N( 0;1 )

ACTIVIDADES

DE LA PRÁCTICA

1

Suponga que los pesos de un grupo de estudiantes están normalmente distribuidos con media de 65 kilos y desviación estándar de 4 kilos. Si se selecciona una m.a. de 20 estudiantes X 1; X2;...; X20 y se registra el peso de cada uno, calcular: a) P(X3 – X5 + X9 + X13 – X19 ≥ 70). b) P(X12 ≤ 68) c) ¿Cuál es la probabilidad e que el total de los pesos de los 20 estudiantes de la muestra exceda 1350 kilos?

2

Sean X1, X2, …, X50; 50 variables aleatorias e independientes cada una distribuida según la función de probabilidad de la figura siguiente. Calcular P[X 1 + X2 + … + X50 > 55]

f(X)

1 2

1 4

0

1

2

X

3

Se desea fabricar cables de fibras de nylon de manera que puedan resistir sin romperse al menos 466Kg. Si cada fibra tiene una resistencia media de 10Kg. Y una varianza de 0.75Kg2., ¿Con cuantas fibras se debe formar el cable de manera que cumpla las exigencias con probabilidad 0.99?

4

Una población consiste en los cuatro valores siguientes: 12, 12, 14 y 16. (Trabajar sin reemplazamiento) a. Enumere todas las muestras posibles de tamaño 2 y calcule la media de cada muestra. b. Determine el valor medio de la distribución de medias muestrales, y la media de la población. Compare los dos valores. c. Hallar la desviación estándar de las medias muestrales.

5

Una población consiste en los cinco valores siguientes: 12, 12, 14, 15 y 20. a. Enumere todas las muestras posibles de tamaño 3 y calcule la media de cada muestra. b. Determine el valor medio de la distribución de medias muestrales, y la media de la población. Compare los dos valores. c. Hallar la desviación estándar de las medias muestrales.

6

Consideremos una población constituida por 5 trabajadores A; B; C; D y E cuyos ingresos mensuales son 500; 600; 700; 700 y 800 nuevos soles respectivamente. Seleccionando con y sin reemplazamiento todas las muestras posibles de tamaño 2, determine la media y la varianza de la distribución muestral de la estadística X .


7

Las alturas de 5000 estudiantes son normalmente distribuidas con media 172 cm. y desviación estándar de 7,5 cm. Si fueron obtenidas 100 muestras con 36 estudiantes cada una, en cuantas muestras se puede esperar que la media muestral se encuentre (Con y sin reemplazamiento y compare los resultados) a) Entre 169 y 174. b) Superior a 170.

8

Unos focos para cañón multimedia tienen una vida media de 800 horas y una desviación estándar de 60. Calcule la probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de 49 focos, tomada del grupo sea de: a) Entre 790 y 810 h. b) Menor que 785 h. c) Mayor que 820 h.

9

Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine: a) El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros. b) El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.

10 La vida media de una máquina para hacer pasta es de siete años, con una desviación estándar de un año. Suponga que las vidas de estas máquinas siguen aproximadamente una distribución normal, encuentre: a) La probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de 9 de estas máquinas caiga entre 6.4 y 7.2 años. b) El valor de la X a la derecha del cual caería el 15% de las medias calculadas de muestras aleatorias de tamaño nueve.

Distribución Muestral de Proporciones 11 Un encuestador político efectúa un análisis de los resultados de la muestra para hacer un pronóstico para la elección. Supóngase que se trata de una elección con dos candidatos. Si un candidato específico recibe cuando menos 52% de los votos en la muestra, entonces se pronosticara que ese candidato será el ganador de la elección. Si se selecciona una muestra aleatoria de 600 votantes. Cual será la probabilidad de que se pronostique como ganador a ese candidato cuando, a) El % real de sus votos es de 50.3% b) El % real de sus votos es de 55% 12 Una gran corporación estima en 4% el porcentaje de usuarios que tienen problemas con el uso de los sistemas computacionales. El jefe de sistemas analiza periódicamente el proceso de uso de los sistemas. Calcule la probabilidad de que una m.a. de 150 usuarios, el 6% haya tenido problemas de uso de los sistemas computacionales. 13 Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos usuarios pueden presentar una reacción adversa a él, más aún, se piensa que alrededor del 3% de los usuarios tienen tal reacción. Si una muestra aleatoria de 150 personas con malestar estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporción de la muestra de los usuarios que realmente presentan una reacción adversa, exceda el 4%.


Distribución Muestral de Diferencia de Medias 14 Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compañías. Los tubos de la compañía A tienen una vida media de 7.2 años con una desviación estándar de 0.8 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7 años con una desviación estándar de 0.7. Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 tubos de la compañía A tenga una vida promedio de al menos un año más que la de una muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía B. 15 Una muestra aleatoria de 50 casas en alquiler del distrito de JLByR, produjo una renta mensual promedio de $ 360. Se calculó una renta mensual promedio de $ 370 en base a una m.a. de 45 casas del distrito de Yananhuara. Supongamos que no hay ninguna diferencia entre los dos distritos respecto a las rentas mensuales promedio de las casas. ¿Cuál es la probabilidad de observar una diferencia entre medias muestrales tan grande o mas grande que la que se acaba de anotar si se supone que σ = 25 para ambos distritos? 16 El consumo promedio de carne de pollo en una población determinada es de 500g por semana y en otra es de 400g por semana. Supongamos que los valores de consumo de carne se distribuyen normalmente en las dos poblaciones con una desviación estándar de 100g. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 m.a. e independientes de tamaño 25 extraidas de cada población arrojen una diferencia de medias muestrales 50g o menos? 17 En una prueba de aptitud la puntuación media de los estudiantes es de 72 puntos y la desviación estándar es de 8 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes, formados de 28 y 36 estudiantes, respectivamente, difieran en su puntuación media en: a) 3 ó más puntos. b) 6 o más puntos. c) Entre 2 y 5 puntos.

Distribución Muestral de Diferencia de Proporciones 18 Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. Se cree que el 12% de los hombres adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que sólo 10% de las mujeres adultas lo están. Si se pregunta a dos muestras aleatorias de 100 hombres y 100 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte, determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor sea al menos 3% mayor que el de las mujeres. 19 Se sabe que 3 de cada 6 productos fabricados por la máquina 1 son defectuosos y que 2 de cada 5 objetos fabricados por la máquina 2 son defectuosos; se toman muestras de 120 objetos de cada máquina: a) ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 2 rebase a la máquina 1 en por lo menos 0.10? b) ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 1 rebase a la máquina 2 en por lo menos 0.15?

EJERCICIOS


1

Al revisar las ventas habidas desde la apertura de un restaurante, hace seis meses, el dueño encontró que la cuenta promedio por pareja era de S/. 26, con una desviación estándar de S/. 5.65. ¿Qué tan grande tendría que ser una muestra de clientes para que la probabilidad fuera de al menos 95.44% de que el costo medio por comida para la muestra cayera entre S/. 25 y S/. 27?

2

Una compañía de insumos electrónicos está comparando la brillantez de dos tipos diferentes de cinescopio para emplearlos en sus televisores. El cinescopio tipo A tiene una brillantez media de 100 y una desviación estándar de 16, en tanto que el cinescopio tipo B tiene una brillantez media desconocida, pero la desviación estándar se supone idéntica a la del tipo A. Se selecciona una muestra aleatoria de n = 25 cinescopios de cada tipo y se calcula X B − X A . Si

µB es igual o excede a µA , el fabricante preferiría

adoptar el cinescopio tipo B. La diferencia observada es X B − X A = 3.5 . ¿Qué decisión tomaría usted, y por qué? 3

El consumo medio diario de proteínas en una población determinada es de 200 gramos en otra de 150 gramos. Supongamos que los valores del consumo de proteínas en las dos poblaciones están normalmente distribuidas, con una desviación estándar de 80 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos muestras aleatorias e independientes de tamaño 40 tomadas en cada población arrojen una diferencia entre medias maestrales de 10 o de menos?

4

Si la desviación estándar del peso de los niños del hospital del niño es de 2.5kgr, ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de una muestra al azar de 100 de estos niños, difiera en más de medio kilogramo, con respecto al peso medio para todos los niños del Hospital?

5

Un distribuidor de semillas determina a través de pruebas que 5% de las semillas no germinan. El vende paquetes de 200 semillas con garantía de 90% de germinación. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete no satisfaga la garantía?

6

Se cree que dos drogas, A y B, son igualmente efectivas para reducir el nivel de ansiedad de ciertas personas emocionalmente perturbadas. La proporción de personas en las que la droga resulta efectiva es 0.70. En una m.a. de 100 personas emocionalmente transtornadas a quienes se les suministró la droga A, 75 experimentaron una reducción del nivel de ansiedad. La droga B resultó efectiva en 105 personas de una muestra aleatoria independiente de 150 personas. Si las dos drogas son igualmente efectivas como se cree, ¿Cuál es la probabilidad de observar una diferencia de proporciones maestrales tan grande o más grande de lo que aquí se anota?

 CUESTIONARIO a) b) c) d)

¿Qué es el teorema del limite central? ¿Qué es el muestreo con y sin reemplazamiento? ¿Cuales son los supuestos que se consideran en la distribución muestral de medias? Mencione todos los casos que existen en la distribución muestral de la diferencia de medias y que distribución utilizan. e) ¿Qué es el error de muestreo? f) ¿Qué impacto tiene el tamaño de la muestra en el error estándar? g) Realizar un resumen del texto: .


REFERENCIAS

BIBLIOGRÁFICAS

1) Montgomery, Douglas y Runger, George. 2004. Probabilidad y estadística aplicadas a la Ingeniería. Ed. LIMUSA WILEY. Segunda Edición. 2) Lind, Douglas; Marchal, William Y Mason, Robert. 2004. Estadística para administración y economía. Editorial ALFAOMEGA. 11ava edición. 3) Webster, Allen. 2005. Estadística aplicada a los negocios y a la economía. Mc Graw Hill. 3ra edición.

DOCUMENTOS


ADJUNTOS

Practica Nro 2

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