Practica Nro 4

decir, la “creencia a priori”). Es la hipótesis aceptada provisionalmente como verdadera y cuya validez será sometida a comprobación experimental. La hipótesis nula siempre debe contener el signo igual.

Hipótesis alternativa: La hipótesis alternativa, representada por H1 ó HA, es la afirmación contradictoria a H 0, y ésta es la hipótesis del investigador. La hipótesis alternativa se acepta en caso que la hipótesis nula sea rechazada. Las hipótesis se enuncian según: 1) 2) 3)

H0: θ = θ0 H0: θ ≤ θ0 H0: θ ≥ θ0

H1: θ ≠ θ0 H1: θ > θ0 H1: θ < θ0

2. Tipos de pruebas de hipótesis. Los diferentes tipos que se analizaran, serán: • Bilateral o prueba de dos colas: El investigador desea comprobar la hipótesis de un cambio en el parámetro. El nivel de significancia se divide en dos y existen dos regiones de rechazo. Ensayo de hipótesis: H0: θ = θ0 H1: θ ≠ θ0

θ = θ0 •

Unilateral de cola a la derecha: El investigador desea comprobar la hipótesis de un aumento en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado derecho, para definir las regiones de aceptación y de rechazo. H0: θ = θ0 H1: θ > θ0

H0: θ = θ0

Ing. Ferly Urday Luna

•

Unilateral de cola a la izquierda: El investigador desea comprobar la hipótesis de una disminución en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado izquierdo, para definir las regiones de aceptación y de rechazo. H0: θ = θ0 H1: θ < θ0

H0: θ = θ0

3. Tipos de errores en las pruebas de hipótesis En las pruebas de hipótesis se pueden presentar los siguientes errores:

Decisión Rechazar H0 Aceptar H0

H0 Verdadera

H0 Falsa

Error Tipo I Probabilidad (a) Decisión Correcta Probabilidad (1- α)

Decisión Correcta Probabilidad (1- β) Error Tipo II Probabilidad ( β)

4. Procedimiento para las pruebas de hipótesis. El procedimiento resumido para una prueba de hipótesis es: a) Formular la hipótesis nula H 0: θ = θ0 y la hipótesis alternativa adecuada. H1: θ ≠ θ0 H1: θ > θ0 H1: θ < θ0 b) Especificar el tamaño a del nivel de significación. c) Seleccionar la estadística apropiada a usar en la prueba. d) Establecer la regla de decisión, determinando la región crítica de la prueba. e) Calcular el valor del estadístico de la prueba a partir de los datos de la muestra. f) Tomar la decisión de rechazar la hipótesis H 0 si el valor de la estadística de la prueba está en la región crítica o de rechazo. En caso contrario, no rechazar H 0.

5. Ejemplos de aplicación. Ejemplo Nro 1: Prueba de hipótesis para una media

El gerente comercial de la empresa DITESSUR SRL. afirma que las ventas diarias se distribuyen según un modelo de probabilidad normal con una m edia de S/. 4000.00 y una desviación estañar de S/.800.00 Un analista escogió una muestra de 100 días y encontró que la media era de S/. 3850.00 Elaborar una prueba de hipótesis para contrastar la afirmación del gerente comercial. Solución.

Paso N° 1: Formulación de hipótesis. H0: H1:


µ = 4000 µ ≠ 4000

Paso N° 2: Nivel de significancia. α = 5%

Paso N° 3: Estadística. Z =

X − µ σ

n

Paso N° 4: Regla de decisión.

95% 2.5%

2.5%

-1.96

0

1.96

Paso N° 5: Cálculos. x= σ = n=

3850 800 100

Z cal =

3850 − 4000 800 100

Z cal = −1.88

Paso N° 6: Decisión. Dado que Zcal pertenece a la región de aceptación, aceptamos H 0 y rechazamos H1, por lo tanto el gerente comercial de la empresa DITESSUR SRL. esta en lo correcto al afirmar que las ventas diarias en promedio son del orden de los S/. 4000.00.

Método de la probabilidad p En este método, se dibuja una figura idéntica a la regla de decisión y en lugar de colocar los valores de Zteo, se colocan los valores de Zcal y se procede a encontrar el área sombreada.

-1.88

0

1.88

P = 6.08% Aprox. La regla de decisión nos dice: Si P ≥ α, se debe aceptar H 0 Si P< α, se debe aceptar H1 En este caso al ser p = 6.08% > α = 5%, se opta por aceptar H0.


Ejemplo Nro 2: Prueba de hipótesis para la diferencia de medias

Una gran empresa esta analizando dos técnicas de ventas A y B, para ello escogió dos muestras aleatorias e independientes de 50 vendedores, aplicando cada método a cada muestra. Al final de un mes el numero de ventas por vendedor ha dado las medias de 67y 60 y las varianzas de 225 y 100. a) Al nivel de significación del 5%, ¿Presentan los resultados muestrales suficiente evidencia que indique que la técnica A da mejores resultados que la técnica B? b) Al nivel de significación del 5%, ¿Se puede inferir que la media de la técnica A es mayor que la media de B en más de 2? Solución.

Paso N° 1: Formulación de hipótesis.

H0: H1:

µΑ − µΒ µΑ − µΒ

0 0

≤

>


Paso N° 3: Estadística.

Z =

X A − X B 2

S A n A

2

+

 N(0,1)

S B nB


95% 5% 0

1.645

Paso N° 5: Cálculos.

A Media Muestral = Varianza = Tamaño de muestra =

B 67 225 50

60 100 50

Z cal =

( 67 − 60) − 0 225 50

+

100 50

Z cal = 2.75

Paso N° 6: Decisión. Dado que Zcal pertenece a la región critica o de rechazo, aceptamos H 1 y rechazamos H 0, por lo tanto, al nivel de significancia del 5%, la técnica de ventas A da mejores resultados que la técnica de ventas B.



2.75

0

P = 0.30% Aprox. La regla de decisión nos dice: Si P ≥ α, se debe aceptar H 0 Si P< α, se debe aceptar H1 En este caso al ser p = 0.30% < α = 5%, se opta por aceptar H1. Ejemplo Nro 3: Prueba de hipótesis para una proporción

Según las últimas investigaciones de la policía, el 90% de los agricultores de una provincia de la región Junín cultivan coca. De 95 productores de la zona que se encuestaron, 83 cultivan coca. ¿Está este resultado en conformidad con el valor supuesto?. Paso N° 1: Formulación de hipótesis. H0:

π

=

0.9

H1:

π

≠

0.9


Paso N° 3: Estadística.

Z =

ˆ − p p pq



N( 0,1 )

ó

Z=

n

π ( 1 − π )

n


95% 2.5% -1.96


p − π

2.5% 0

1.96



N( 0,1 )

Paso N° 5: Cálculos. Proporción Poblacional = q= Proporción Muestral = n=

0.9 0.1 0.87368421 95

Z cal =

0.87368 − 0.9 0.9 × 0.1 95

Z cal = −0.85

Paso N° 6: Decisión. Dado que Zcal pertenece a la región de aceptación, aceptamos H 0 y rechazamos H1, por lo tanto, al nivel de significancia del 5%, es correcta la afirmación de la policía.


-0.85

0

0.85

P = 39.26% Aprox. La regla de decisión nos dice: Si P ≥ α, se debe aceptar H 0 Si P< α, se debe aceptar H1 En este caso al ser p = 39.26% > α = 5%, se opta por aceptar H0. Ejemplo Nro 4: Prueba de hipótesis para dos proporciones

En el programa del Show de los sueños de la Sra. Gisela Valcárcel, se afirma que el programa representa un atractivo mayor para los televidentes mujeres que para los hombres, pero los dueños de América Televisión piensan que es igual el porcentaje de televidentes hombres y mujeres que ven dicho programa. Si una muestra aleatoria de 300 mujeres y otra de 400 hombres revelo que 120 mujeres y 120 hombres estaban viendo el Show de los sueños. ¿Puede considerarse significativa la diferencia? Paso N° 1: Formulación de hipótesis.


H0:

πΑ

≤

πΒ

H1:

πΑ

>

πΒ


Paso N° 3: Estadística. Z =

P A − PB PC ( 1 − PC ) n A

+

PC ( 1 − PC )

 N(0,1)

PC =

X A + X B n A + nB

nB


95% 5% 0

1.645

Paso N° 5: Cálculos.

A Proporción Muestral = Tamaño Muestral = Proporción Común =

PC =

120 + 120 300 + 400

B

0.4 300 0.342857

Z Cal =

0.3 400

0.4 − 0.3 0.342 × ( 1 − 0. 342 ) 300

PC = 0.342857

+

0. 342 × ( 1− 0. 342 ) 400

Z Cal = 2.76

Paso N° 6: Decisión. Dado que Zcal pertenece a la región critica o de rechazo, aceptamos H 1 y rechazamos H 0, por lo tanto, al nivel de significancia del 5%, es significativa la diferencia entre la audiencia de hombres y mujeres, existiendo un mayor porcentaje de audiencia de mujeres que de hombres.


0

P = 0.29% Aprox. La regla de decisión nos dice:


2.76

Si P ≥ α, se debe aceptar H 0 Si P< α, se debe aceptar H1 En este caso al ser p = 0.29% < α = 5%, se opta por aceptar H1.

ACTIVIDADES

DE LA PRÁCTICA

Resolver los siguientes problemas sobre Pruebas de Hipótesis

Una media 1. Un determinado proceso de empaquetar un producto esta controlado, si el peso medio del producto empaquetado es 400 gramos. Si en una muestra aleatoria de 100 paquetes del producto se ha encontrado que el peso medio es de 395 gramos, ¿Se podría concluir que el proceso esta fuera de control al nivel de significación del 5%? Suponga que el peso de los productos empaquetados se distribuye normalmente con desviación estándar de 20 gramos. 2. La empresa MACROTEC, esta estudiando la posibilidad de abrir una sucursal en la ciudad de Moquegua, la gerencia establece el siguiente criterio para tomar una decisión: Abrir la sucursal solo si el ingreso promedio familiar mensual en dicha ciudad es no menos de 500 y no abrirla en caso contrario. Si una muestra aleatoria de 100 ingresos familiares de esa ciudad ha dado una media de 480 y una desviación estándar de 80. a) ¿Cuál es la decisión a tomar al nivel del 5%? b) ¿Con que probabilidad la prueba anterior detecta la diferencia igual a 30 en el promedio de ingresos y por debajo de lo que se indica en la hipótesis nula? c) Calcular la potencia de la prueba si el ingreso promedio realmente es 464. 3. El gerente de ventas de una compañía afirma que sus vendedores venden en promedio diariamente $1500. Diseñe una prueba para esta hipótesis si se quiere que el riesgo sea 1.5% de rechazar la afirmación cuando realmente es verdadera y el riesgo sea de 0.75% de aceptar la afirmación cuando realmente es $1523 el promedio de ventas diarias. Suponga que la distribución de las ventas es normal con una desviación estándar de $50. 4. Un abastecedor de pollos a una cadena de pollerías, afirma que sus pollos tienen un peso promedio de 1,655 kg (peso ideal para el negocio). El dueño de una de estas pollerías toma una muestra aleatoria de 50 pollos con la finalidad de comprobar la afirmación del proveedor. La muestra arrojo una media de 1,698 kg con una desviación típica de 0,185 kg. A un nivel de significación de 0,01. ¿Podemos aceptar la afirmación del proveedor? 5. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en un país americano el año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviación estándar poblacional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05.


6. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas, ¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración media ha cambiado? Utilice un nivel de significancia del 0.04. 7. Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas de maíz pesan, en promedio 5.23 onzas con una desviación estándar de 0.24 onzas. Pruebe la hipótesis de que µ = 5.5 onzas contra al hipótesis alternativa, µ < 5.5 onzas en el nivel de significancia de 0.05. 8. La asociación de los propietarios de industrias metalúrgicas están muy preocupadas por el tiempo perdido en accidentes de trabajo, cuya media, en los últimos tiempos, a sido del orden de 60 horas/hombre por año y desviación estándar de 20 horas/hombre . Se probo un programa de prevención de accidentes y, después del mismo, se tomó una m.a. de 9 industrias y se determino el numero de horas /hombres perdida por accidentes , que fue de 50 horas ¿usted diría , al nivel de 5%, que hay evidencia de mejoría ? 9. El salario promedio de los empleados de las industrias siderúrgicas es de 2.5 salarios mínimos, con una desviación estándar de 0.5 salarios mínimos. Si una firma particular tiene 49 empleados con un salario medio de 2.3 salarios mínimos, ¿podemos afirmar que esta industria paga salarios inferiores?

Una proporción 10. Un fabricante afirma que al menos el 95% de los equipos que produce está de acuerdo con las especificaciones solicitadas. El análisis de una muestra de 200 equipos revela que 18 eran defectuosos. Contrastar la afirmación del fabricante a un nivel de significación de 5%. 11. Un artículo reciente en la publicación USA Today reportó que sólo hay un empleo disponible para uno de cada tres egresados de universidad. Las principales razones aportadas fueron que existe una sobrepoblación de estos últimos, y una economía débil. Suponga que una encuesta entre 200 egresados recientes de la institución a la que usted asiste, reveló que 80 tenían empleo. Al nivel de significancia de 0.02, ¿se puede concluir que tienen trabajo una proporción mayor de egresados de tal institución? 12. Un fabricante garantiza que 90% de los equipos que da a una fabrica están de acuerdo con las especificaciones exigidas. Examinando una muestra de 200 unidades de ese equipo se encontró 25 defectuosos. ¿Esta evidencia apoya o no la afirmación del fabricante? 13. Una investigación en la Universidad de Toledo indica que 50% de los estudiantes cambian su área principal de especialización después del primer año en el programa de estudios. Una muestra aleatoria de 100 alumnos en la Escuela de Administración reveló que 43 de ellos cambió dicha área después del lapso mencionado. ¿Ha habido un decrecimiento significativo en la proporción de estudiantes que cambian su área de especialización después del primer año en el programa? Realice la prueba al nivel de significancia de 0.05.


14. Un constructor afirma que se instalan bombas de calor en 70% de todas las casas que se construyen hoy en día en la ciudad de Richmond. ¿Estaría de acuerdo con esta afirmación si una investigación de casas nuevas en esta ciudad muestra que 8 de 15 tienen instaladas bombas de calor? Utilice un nivel de significancia de 0.10. 15. Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en aplicaciones de motores automovilísticos. El cliente requiere que la fracción de controladores defectuosos en uno de los pasos de manufactura críticos no sea mayor que 0.05, y que el fabricante demuestre esta característica del proceso de fabricación con este nivel de calidad, utilizando α = 0.05. El fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoria de 200 dispositivos y encuentra que cuatro de ellos son defectuosos. ¿El fabricante puede demostrar al cliente la calidad del proceso? 16. Una estación de televisión afirma que 60% de los televisores estaban sintonizado su programa especial del ultimo domingo. Una red competidores desea contestar esa afirmación del ultimo domingo. Una red m.a. de 200 familias.¿Cual debe ser el procedimiento adoptado para juzgar la veracidad de las afirmación de la estación?

Diferencia de medias 17. Una muestra de 65 observaciones se selecciono de una población. La media de la muestra es 2.67 y la desviación estándar 0.75. Una muestra de 50 observaciones se toma de una segunda población. La media de la muestra es 2.59 y la desviación estándar 0.66. Efectué la siguiente prueba de hipótesis utilizando el nivel de significancia de 0.08. H0: µ1 ≤ µ2 H1: µ1 > µ2 a) ¿Es esta una prueba de una o de dos colas? b) Enuncie la regla de decisión c) Calcule el valor estadístico de prueba d) ¿Cuál es su decisión respecto H0? e) ¿Cuál es el valor p? 18. Una muestra de 100 focos de un fabricante A dio una duración media de 1190 horas con una desviación típica de 90 horas. Otra muestra de 75 focos de un fabricante B dio una duración media de 1230 horas con una desviación típica de 120 horas. ¿Hay diferencias entre las duraciones medias de los focos de los dos f abricantes a un nivel de 0,05? 19. Un diseñador de productos está interesado en reducir el tiempo de secado de una pintura tapaporos. Se prueban dos fórmulas de pintura; la fórmula 1 tiene el contenido químico estándar, y la fórmula 2 tiene un nuevo ingrediente secante que debe reducir el tiempo de secado. De la experiencia se sabe que la desviación estándar del tiempo de secado es ocho minutos, y esta variabilidad inherente no debe verse afectada por la adición del nuevo ingrediente. Se pintan 32 especímenes con la fórmula 1, y 40 con la fórmula 2. Los dos tiempos promedio de secado muestrales son 121 min y 112 min respectivamente. ¿A qué conclusiones puede llegar el diseñador del producto sobre la eficacia del nuevo ingrediente, utilizando α = 0.05? 20. Existen dos tipos de plástico apropiados para su uso por un fabricante de componentes electrónicos. La tensión de ruptura de ese plástico es un parámetro importante . Se sabe que σ1=σ2= 1.0 psi. De una muestra aleatoria de tamaño 32 y 36 para cada plástico respectivamente, se tiene una media de 162.5 para el plástico 1 y de 155 para el plástico 2. La compañía no adoptará el plástico 1 a menos que la tensión de ruptura de éste


exceda a la del plástico 2 al menos por 10 psi. Con base a la información contenida en la muestra, ¿la compañía deberá utilizar el plástico 1? Utilice α = 0.05 para llegar a una decisión.

EJERCICIOS Resolver todos los ejercicios propuestos en las copias adjuntas.

 C U E S T I O N A R I O a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

¿Qué es una prueba de hipótesis? ¿Qué es el nivel de significancia? ¿Cómo se determina la hipótesis nula? ¿Qué es la hipótesis alternativa? ¿Cómo afecta el tamaño de la muestra en las pruebas de hipótesis? Explique detalladamente en qué consiste el método de la probabilidad p ¿Cuáles son los tipos de errores en pruebas de hipótesis? ¿Cuáles son los pasos para realizar una prueba de hipótesis? ¿En que casos se aplica la prueba de hipótesis para una media? ¿En qué casos se sugiere aplicar la prueba de hipótesis de la diferencia de dos medias muestrales?

 R E F E R E N C I AS

BIBLIOGRÁFICAS

1) Montgomery, Douglas y Runger, George. 2004. Probabilidad y estadística aplicadas a la Ingeniería. Ed. LIMUSA WILEY. Segunda Edición. 2) Lind, Douglas; Marchal, William Y Mason, Robert. 2004. Estadística para administración y economía. Editorial ALFAOMEGA. 11ava edición. 3) Webster, Allen. 2005. Estadística aplicada a los negocios y a la economía. Mc Graw Hill. 3ra edición. 4. Cordova, Manuel. 2003. Estadística descriptiva e inferencial. Ed. MOSHERA SRL. Quinta Edición.

DOCUMENTOS


ADJUNTOS

Practica Nro 4

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