UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL A LCIDES CARRION FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE SISTEMAS Y COMPUTACION
INGENIERIA ECONÓMICA PRACTICA Nº 03: EQUIVALENCIAS, FACTORES DE INTERES Y TASAS DE INTERES NOMINAL Y EFECTIVA EQUIVALENCIAS 1. AC-Delco fabrica baterías automotrices para los concesionarios de General Motors a través de distribuidores particulares. En general, las baterías se almacenan un año, y se agrega un 5% anual al costo para cubrir el cargo del manejo de inventario para el dueño del contrato de distribución. Supongamos que usted es dueño de las instalaciones de Delco ubicadas en el centro de la ciudad. Realice los cálculos necesarios con una tasa de interés de 5% anual para demostrar cuáles de las siguientes declaraciones, referentes a los costos de las baterías, son verdaderas o falsas.
a) La cantidad de S/. 98 hoy equivale a un costo de S/.105.60 un año desp ués. b) El costo de S/ . 200 de una batería p ar a camión hace un año equivale a S/. 205 ahora. c) Un co sto de S/. 38 ahora equiv ale a S/. 39.90 un año de spués. d) Un cos to de S/. 3 000 ahora e s equivalente a S/. 2887.14 hace un año . e) El cargo por manejo de invent ario acumulado en un año sobre una in ver sión en baterías con u n valo r de S/. 2 000 es de S/. 100. Solución a) Suma tot al acumul ada = 98(1.05) = S/.102.90 ≠ S/.105.60; por lo tanto , la declaración es falsa. Otra forma de resolver este problema es la siguiente: el cos to or iginal es de 10 5 .60/1.05 = S/.100.57 ≠ S/. 98. b) El costo anterior es de 205 .00/1.05 = S/.195.24 ≠ S/.200; por lo t anto, es falsa.
c) El cos to d entr o de 1 año será de S/. 38(1.05) = S/. 39.90; verdadera. d) El costo actu al es de 2 887.14(1 .05) = S/. 3 031.50 ≠ S/.3 000; falsa . e) El cargo es de 5% de int erés anual, o 2000(0.05) = S/.100; verdad er a. 2.
Con una tasa de interés de 8% por año, a cuánto equivalen S/.10 000 de hoy, a) dentro de un año, y b) hace un año?
3.
Una empresa mediana de consultoría en ingeniería trata de decidir si debe reemplazar su mobiliario de oficina ahora o esperar unaño para hacerlo. Si espera un año, se piensa que el costo será de S/. 16 000. Con una tasa de interés de 10% por año, ¿cuál sería el costo equivalente hoy?
4.
¿Con qué tasa de interés son equivalentes una inversión de S/. 40 000 hace un año y otra de S/. 50 000 hoy?
5.
¿Con qué tasa de interés equivalen S/. 100 000 de ahora a S/. 80 000 de hace un año?
FACTORES DE INTERES 6.
Un ingeniero industrial recibió un bono de S/. 12 000 que desea invertir ahora. Quiere calcular el valor equivalente después de 24 años, cuando planea usar todo el dinero resultante como enganche o pago inicial de una casa de vacaciones en una isla. Suponga una tasa de retorno de 8% anual para cada uno de los 24 años.a) Determine la cantidad que puede pagar inicialmente, usando tanto la notación estándar como la fórmula de f actor. b) Use la fórmula correspondiente para calcular la cantidad antes mencionada.
Los símbolos y sus valore s son P= S/.12000 F=? i= 8% anual n = 24 años . Notación estándar: Determine F usando el factor FIP para 8 % y 24
años. La ta bla propor ciona el valor del factor. F = P(F/P,i,n) = 12 000(F/P,8%,24)
F=12 000(6.3412) = S/. 76 094.40 Fórmula d e factor : para cal cular el valor futuro
F:
F = P(1 + i) n = 12 000(1 + 0.08)24
F = 12 000(6.341181)= S/. 76 094.17 7.
Hewlett-Packard realizó un estudio que indica que S/. 50 000 en la reducción de mantenimiento este año (es decir, año cero), en una línea de procesamiento, fue el resultado del mejoramiento de la tecnología de fabricación de circuitos integrados (CI), con base en diseños que cambian rápidamente. a) Si Hewlett-Packard considera que este tipo de ahorro vale un 20% anual, encuentre el valor equivalente de este resultado después de 5 años. b) Si el ahorro de S/. 50 000 en mantenimiento ocurre ahora, calcule su valor equivalente 3 años antes con un interés de 20% anual.
a) Los s ímbolo s y sus valores son: P = S/. 50 000 F=? i = 20% anual n = 5 años
Utilice el factor FIP para determin ar F después de 5 años. F = P(F/P,i,n) = S/. 50 000(F/P,20%,5) F = 50 000(2.4883) F = S/. 124,415.00
b) Los símbol os y sus v alores s on: P=? F= 50 000 i = 20% anual
n = 3 años
Usando el f actor P/F para determinar P tres años ante s.
P = F(P/F,i,n) = S/. 50,000(P/F,20%,3)
P= 50,000(0.5787) = S/. 28,935.00 8.
¿Cuánto dinero debería destinarse para pagar ahora por S/.600 garantizados cada año durante 9 años, comenzando el próximo año, a una tasa de rendimiento de 16% anual?
Solución El diagrama de flujo de efecti vo se aju sta al factor P/A . Utiliza ndo el factor P/A. El valor pr esente es: P = 600(PlA ,16%,9) = 600(4.6065) = S/.2 763.90
Comentario Otro método de solución consiste en utilizar los factores P/F para cada uno de los nueve pagos y agregar los valores pr esentes resultantes , para obtener la respuesta correcta . Otra forma es c alcular el valor futuro F de los pagos de S/. 600 y luego encontrar el valor presente del valor F. Existen diversas formas de resolver un problema de ingeniería económica. 9.
Formasa Plastics tiene grandes plantas de fabricación en Texas y Hong Kong. Su presidente quiere saber el valor futuro equivalente de una inversión de capital de S/.1 000 cada año durante 8 años, empezando un año a partir de ahora. El capital de Formasa gana a una tasa del 14% anual.
Solu ció n El diagrama de f lujo de efectivo m uestr a los pagos a nuales qu e inic ian al final del año 1 y termi nan en el a ño en que se desea ca lcular el va lor f uturo. Los flujos de efect ivo se in dican en u nidades de S/.1 000. E l valor F en 8 años es: F = 1 000(F/A,14%,8) = 1 000(13.2328) = S/.13 232.80
10. ¿Cuánto dinero necesita depositar Carol cada año, empezando un año a partir de ahora, a 51/2% por año, para que pueda acumular S/. 6 000 en siete años ?
Solució n El diagrama de flujo d e efec tivo desde la perspecti va de Carol s e a justa al Fact or A/F. A = S/. 6 000(Al F,5.5%,7) = 6 000(0.12096) = S/. 725.76 por año
TASA NOMINAL j = Tasa nominal capitalizable "m" veces en un plazo determinado durante "n" periodos J anual CAPITALIZACION
J mensual
OPERACION
m
OPERACION
m
ANUAL
360/360
1
30/360
0.83
SEMESTRAL
360/180
2
30/180
0.167
TRIMESTRAL
360/90
4
30/90
0.333
BIMESTRAL
360/60
6
30/60
0.500
45 DIAS
360/45
8
30/45
0.667
MENSUAL
360/30
12
30/30
1.000
QUINCENAL
360/15
24
30/15
2.000
DIARIO
360/1
360
30/1
30.000
. 11. La empresa Audio S.A., compro en el Banco Látex, un certificado de depósito a plazo (CDP) por el importa de S/. 5,000, a un año de vencimiento ganando una tasa nominal anual del 36% con capitalización trimestral, el cual tuvo que redimirlo al fin del octavo mes. ¿Cuál fue el monto que srcinó dicha inversión?.
Datos: F = ?. P = S/. 5,000 j = 36% m=4 n = H/f H 8 x 30 = 240 días f 90 días
F = P1 +
j m
H / j
F = 5,0001 +
0.36 4
240 / 90
F = 6,291.79
CALCULO DE CAPITAL INICIAL P=
F
(1 + i )n
= F (1 + i )
−n
(1 + i)-n = Factor simple de actualización compuesto (FSA) Cuando "n" no es entero: H/f 12. El 06 de abril la Empresa PERT descontó en el Banco Merconte, un pagare cuyo valor nominal fue de S/. 8,000 y su vencimiento el 05 de junio. Calcule el importe abonado por el Banco a Pert, considerando una tasa nominal del 36% anual con capitalización mensual.
Datos: P=? F = S/. 8,000 n = 60 días [(30 - 6) + (31) + (5)] <> 2 meses i = j/m = 0.36/12 = 0.03 P = F(1 + i) -n
P = 8,000(1 + 0.03)
-2
P = 7,540.77
CALCULO DE LA TASA DE INTERES F P
1/ n
i=
−1
13. ¿A qué tasa efectiva mensual un capital de S/. 1,000 se habrá convertido en un monto de S/. 1,100. Si dicho capital srcinal fue colocado a 3 meses?
Datos: i=? P = S/. 1,000 F = S/. 1,100 n=3 F P
1/ n
i=
−1
1,110 1000
1/ 3
i=
− 1 ⇒ i = 0.0323
⇒ i = 3.23% Efectiva Mensual
CALCULO NUMERO DE PERIODOS DE CAPITALIZACION bX = N
X = LogbN
De: F =P(1 + i)n
n
=
(1 + i) n = (F/P)
Log (F / P ) Log (1 + i )
14. ¿En qué tiempo se duplicará un capital a una tasa efectiva del 3% mensual?
Datos: n=? P=1 2 mensual iF==0.03 n
=
n=
Log (F / P ) Log (1 + i )
Log (2 / 1) Log (1.03)
= 23,449 veces
N = 23,449 x 30 = 703 días
CALCULO DE INTERES I = F- P
Dónde:
F = P(1 + i)n I = P(1 + i)n - p I = P[(1 + i) n - 1]
15. Calcule el interés compuesto ganado en untrimestre por una inversión de S/. 3,000, colocado a una tasa nominal del 18% anual con capitalización bimestral.
Datos: I=? n = 3/2 Bimestre n = H: 90 días F: 60 días
90/60 = 3/2
P = S/. 3,000 i = 0.18/6 (J/m) i = 0.03 I = 3,000[(1+0.03)3/2 - 1] I = 136
TASA EFECTIVA
i = 1 +
n
j −1 m
UNIDAD DE TIEMPO ANUAL SEMESTRAL CUATRIMESTRAL TRIMESTRAL BIMESTRAL MENSUAL QUINCENAL DIARIOS
i TEA TES TEC TET TEB TEM TEQ TED
j TNA TNS TNC TNT TNB TNM TNQ TND
16. Calcule la TES, para un depósito de ahorro queganó una TNA del 24%, abonándose mensualmente los intereses en la libreta de ahorros.
Datos: TES = ? j = 0.24 m = 12 n =6 H = 180 días f = 30 días TESi 6 meses = (1 +0.24/12)6 - 1 = 12.62%
TASA EQUIVALENTE
DE : i = 1 +
j
n
−1 m
n
j ⇒ 1 + = 1 + i m
(1 +)i
n
= 1 +(i ⇒)( 1)+ i
x
⇒ ix
DIAS
⇒ ix
DIAS
j
Si
= ix
m
=
1+ i
1/ n
x
= (1 + i )
1/ n
= (1 +) i
1/
H f
−1
pero
−( 1)=
i x DIAS = (1 + i )
f /H
1+ i
f /H
n=
H f
−1
−1
O TASA EQUIVALENTE EFECTIVA Pero: x = f y=H
(
i xDIAS = 1 + i y
)
x/ y
−1
f : Periodo de tiempo referido incógnita (Tasa Equivalente). H: Periodo de tiempo Tasa Efectiva proporcionado como dato.
17. Calcule la tasa equivalente mensual (TEM) a partir de una tasa equivalente anual del 24% (TEA).
Datos: i30 días = ? TEM. i360 días = 0.24 TEA ix días = (1 + i y días)x/y - 1 iTEM = (1 + i TEA)x/y - 1 iTEM = (1 + 0.24)30/360 - 1 iTEM = 1.81 %
18. Calcule la tasa equivalente trimestral (TET) a partir de una TES del 10%.
Datos: iTET = ? iTES = 0.1
iTET = (1 + i TES)TET/TES - 1 iTET = (1 + 0.1)90/180 - 1 iTET = 4.88%
