Practica Balotario EDO

Doc. Lic. Raúl P. Castro Vidal

UNAC-FIEE 2014A

UNVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA PRIMERA PRACTICA CALFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

PROBLEMA 1: Un marcapasos cardiaco (Fig. 1), está formado por una batería, un capacitor y el corazón, que funciona a modo de resistor. Cuando el conmutador S esta en P, el capacitor se carga; cuando está en Q, se descarga y manda un estimulo eléctrico al corazón. En este intervalo, el voltaje E que se aplica al corazón está determinado por:

En don R y C son constantes. Determine E(t), cuando E(t) = 0. (Naturalmente, la abertura y el cierre del interruptor son periódicas, para estimular los latidos naturales.)

R Conmutador

Q S P

C Eo

Figura 1 Problema 2

Queremos inyectar un medicamento en un órgano humano. Supongamos que el volumen de circulación sanguínea del órgano es 150 cm3 y que inyectan 1 cm3/min. de agua destilada con 0.3 mgr/cm3 de concentración de medicamentos. La sangre entra al órgano a la misma razón que sale. Si en el instante inicial no hay presencia de medicamento. ¿En qué momento la concentración del medicamento en el órgano será de 0.05 mgr/ cm3? Problema 3. Un reactor transforma plutonio 239 en uranio 238 que es relativa- mente estable para uso industrial. Después de 15 años se determina que el 0.0043 por ciento de la cantidad inicial A A0 de plutonio se ha desintegrado. Determina la semivida de este isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad restante. Problema 4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

Problema 5


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Problema

Problema

Problema. Un tanque con una cierta forma geométrica está lleno de agua. El agua sale por un orificio situado en la base a una rata proporcional a la raíz cuadrada del volumen restante en el tanque en todo tiempo t. Si el tanque contiene inicialmente 64 galones de agua y 15 galones salen el primer día, calcular el tiempo en el cual hay 25 galones en el tanque. Problema. Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm. de espesor con una velocidad v0 = 200 mt/seg, traspasándola con v1 = 80 mt/seg. Suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad. Hallar el tiempo que demora la bala en atravesar la tabla. Problema Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

Problema Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales


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Problema



Problema Resuelva los siguientes PVI.

Problema Resuelva los siguientes PVI

Problema De observaciones experimentales se sabe que la temperatura superficial de un objeto cambia con una rapidez proporcional a la diferencia de temperatura del objeto y su entorno. Este hecho es conocido como la ley de enfriamiento de Newton. Si la temperatura de una taza de café es de 95 0C recién servida, y al minuto se enfrió a 88 0C en un cuarto que está a 20 0C, ¿cuánto tiempo debe de transcurrir para que se enfrie hasta los 60 0C? Problema Supongamos que decides matar al profesor de análisis de circuitos .Una vez perpetrado el hecho, se encuentra el cuerpo en el despacho del mismo que está a una temperatura de 20 0 C a las 6 de la tarde. La temperatura corporal de cadáver era de 35 0C en dicho momento. Una hora más tarde la temperatura era de 33 0C. ¿A qué hora se produjo el horripilante y brutal suceso? Problema Entre los alumnos de esta asignatura se extiende el rumor de que el examen de problemas va a ser muy difícil. Si hay 1000 alumnos de dicha asignatura y el rumor se extiende de


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manera proporcional al número de alumnos que todavía no lo han oído, ¿cuántos días tardarán en saberlo 950 alumnos sabiendo que a los dos días lo sabían 850 alumnos? Problema En una galería subterránea de 15 × 15 × 1.2m hay un 0.2% de CO2, mientras que el aire del exterior tiene un 0.055% de C02. Se instalan ventiladores que introducen en la galería 9 metros cúbicos de aire del exterior por minuto, de forma que por el otro extremo de la galería sale la misma cantidad de aire. ¿Qué concentración de CO2 habrá al cabo de 20 minutos en la galería? Problema En un día caluroso con una temperatura exterior de 40 oC, se enciende dentro de un edificio un aparato aire acondicionado que disipa 24000 kilocalorías por hora. El aprovechamiento es de medio grado por cada 1000 kilocalorías y la constante de tiempo del edificio es de 3 horas. Si inicialmente la temperatura del edificio era de 35 oC, determinar la temperatura al cabo de 3 horas. ¿Cuál es el valor máximo de temperatura que puede tener el edificio en estas condiciones? Problema ( CURVA LOGISTICA) El ritmo a que se propaga un rumor en un país es conjuntamente proporcional a la cantidad de personas que se han enterado del rumor y al número de personas que no se han enterado del rumor. a) Plantee la ecuación diferencial que describe el modelo b) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial planteada. c) Grafique la solución general obtenida y analice la estabilidad dinámica. Problema (DINAMICA DE MERCADO) Suponga que el precio p(t) de determinado artículo varía de modo que su razón de cambio con respecto al tiempo es proporcional a la escasez D − S donde D = 8 − 2 p y S = 2 + p son las funciones de demanda y oferta. a) Si el precio es $5 cuando t = 0 y $3 cuando t = 2 , halle p(t) . b) Determine lo que ocurre con p(t) a largo plazo. Problema El número de personas implicadas en cierto escándalo gubernamental aumenta a un ritmo conjuntamente proporcional al número de personas ya implicadas y al número de personas relacionadas con el caso que aún no han sido implicadas. Suponga que 7 personas fueron implicadas cuando un periódico hizo público el escándalo por primera vez, que 9 personas más resultaron implicadas en los 3 meses siguientes y otras 12 en los 3 meses posteriores. ¿Cuántas personas aproximadamente estaban involucradas en el escándalo? Problema El ritmo a que se propaga una epidemia en una comunidad es conjuntamente proporcional al número de residentes que han sido infectados y al número de residentes propensos a la enfermedad que no ha sido infectado. Exprese el número de residentes que han sido infectados como una función del tiempo (en semanas), si la comunidad tiene 2000 residentes propensos a la enfermedad, si 500 residentes tenían la enfermedad inicialmente y si 855 residentes habían sido infectados hacia finales de la primera semana. Problema Suponga que en el Perú, el ritmo al que se propaga la noticia del aumento del precio de la gasolina es conjuntamente proporcional al número de personas que se enteran del aumento y al número de personas que no se han enterado todavía. Si actualmente el 5% de


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los habitantes sabe la noticia y una semana más tarde el 15% se han enterado de dicha noticia: a) FORMULE una ecuación diferencial para determinar la cantidad de personas que se enteran de la noticia del aumento del precio de la gasolina en cualquier tiempo. b) RESUELVA la ecuación diferencial para encontrar la cantidad de personas que se enteran de la noticia en función del tiempo. c) ¿Qué porcentaje de personas se habrán enterado de la noticia 2, 3, 4 y 5 semanas más tarde? Problema El valor de reventa de cierta maquinaria industrial decrece a un ritmo proporcional a la diferencia entre su valor actual y su valor residual de $ 5000. La maquinaria se compró nueva por $ 40000 y valía $ 30000 después de 4 años. ¿Cuánto valdrá la maquinaria cuando tenga 8 años? Problema Resuelva las ecuaciones diferenciales

Problema Resuelva las ecuaciones diferenciales

Problema Suponga que una persona invierte en un banco una fortuna que aumenta a una tasa proporcional a la cantidad de dinero actualizada. Si tenía $1000 hace un año y ahora tiene


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1200. a) Determine la ecuación diferencial que modele el problema. b) Resuélvala y determine cuanto tiempo tiene que pasar para que la cantidad que tenía hace un ano se quintuplica. Problema El PIB de cierto país aumenta en forma proporcional a su propia cantidad. Su tasa de proporcionalidad fue 6.4% durante el año pasado. Si continua aumentando a esa tasa. a) Modele la ecuación diferencial del problema. b) Resuélvala y determine en cuantos años el PIB se duplicará. c) Grafique la trayectoria. Problema Un ladrillo de masa m está sujeto por un resorte que a su vez tiene la segunda extremidad empotrada en un muro vertical. El ladrillo reposa sobre una superficie plana, que genera una fuerza de fricción lineal. El resorte ejerce una fuerza proporcional al desplazamiento con respecto a la posición de equilibrio. El origen del sistema de coordenadas se fija en la posición de equilibrio del sistema. De modo que si el desplazamiento es x(t), entonces, la fuerza ejercida por el resorte es F (t) = −kx(t), donde k es constante (constante de elasticidad). Plantear las ecuaciones del movimiento. Problema Un producto químico C, se produce en una reacción química en que intervienen los productos A y B. La velocidad de producción de C varía como el producto de las cantidades instantáneas de A y B. La formación del producto C requiere de 2Kg de A por cada 3Kg de B .Si inicialmente se hallan presentes 120Kg de A y 120Kg de B y en una hora se forma 15Kg de C. Hallar: a) La cantidad de C después de 2 horas. b) La cantidad máxima de C que puede formarse. Problema

A un circuito R-C-L se le aplica una tensión de 110V, Si R=50  , C=0.001F y L=1H. Calcular la intensidad de la corriente resultante, si inicialmente la intensidad de corriente y la carga del condensador eran nulas. Problema Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: a)

(

)

) ( ) b) ( Problema Sea la ecuación diferencial exacta M(x,y)dx+N(x,y)dy =0 , deducir la fórmula para resolver dicha ecuación. Resuelva el PVI: {

√

(√ ( )

)


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16. Para el circuito de la Figura 3.18(a), determine v(t) para t>0. 17. Para el circuito de la Figura 3.18(b), determine i(t) para t>0.

iL (t ) para t>0. 19. . Para el circuito de la Figura 3.18(d), determine iL (t ) para t>0. 18. Para el circuito de la Figura 3.18(c), determine

Figura 3.18

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