Sistemas de Segundo Orden.docx

UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO FACULTA DE INGENIERIA EN SISTEMAS ELECTRONICA E INDUSTRIAL INFORME DE SISTEMAS DE CONTROL INTEGRANTES: • • • •

 Juan Carlos Pérez Pérez  Javier Chiliquinga Darío Pillajo Miguel Robalino

TEMA: Sistemas de Segundo Orden INTRODUCCION En om!arai"n on la senillez de un sistema de !rimer orden# un sistema de segundo orden tiene una am!lia variedad de res!uestas que deben ser analizadas $ desritas% Mientras que la variai"n de un !ar&metro de un sistema de !rimer orden sim!lemente ambia la veloidad de la res!uesta# ambios en los !ar&metros de un sistema de segundo orden !ueden modi'ar la (orma de la res!uesta% Por ejem!lo# un sistema de segundo orden !ueden mostrar araterístias mu$ semejantes a las de un sistema de !rimer orden# o bien# de!endiente de los valo alores de los om!on om!onent entes# es# mostra mostrarr osila osilaio iones nes amortig amortiguad uadas as o !uras !uras !ara !ara su res!uesta transitoria%

OBJETIVOS OBEJTIVO GENERAL )nve )nvest stig igar ar hae haerr de los los sist sistem emas as de segu segund ndo o orde orden n !ara !ara determinar determinar los di(erentes di(erentes res!uesta res!uestas s transitoria transitorias s que genera genera diho sistema

OBJETIVOS ESPECIFICOS Dete Deterrmina minarr los los dist distin into tos s aso asos s !res !resen enta tan n un sist sistem ema a de segundo orden de auerdo a el valor que tengan sus !olos Dete Deterrmina minarr las las ons onsta tant ntes es que que (orm (orman an esta estas s res!u es!ues esta tas s transitorias de segundo orden )nvestigar ual es la a!liai"n que se le da a este estudio en el ontrol de !roesos autom&tios

MARCO TEORICO * ont ontin inua uai i" "n de' e'ni nim mos dos dos es!e s!ei' i'a ai io ones nes (ísi (ísi amen amente te signi'ativas !ara los sistemas de segundo orden% Se !ueden usar estas estas antid antidade ades s !ara !ara desri desribir bir las arat araterí erísti stias as de la res!u res!uest esta a

transitoria de segundo orden# igual que las onstantes de tiem!o desriben la res!uesta de un sistema de !rimer orden% +as dos antidades se llaman (reuenia natural $ (ator de amortiguamiento relativo%

FRECUENCIA NATURAL, ωn +a (reuenia natural de un sistema de segundo orden es la (reuenia de osilai"n del sistema sin amortiguamiento% Por ejem!lo# la (reuenia de osilai"n de un iruito R+C en serie on la resistenia en ortoiruito sería la (reuenia natural

FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO, ξ Podemos de'nir el (ator de amortiguamiento omo, ξ=

 Períodonatural ( segundos )  Frecuenciade decaimientoexponencial = 1 2 π  Constante de tiempo exp . rad  Frecuencianatural segundo

(

)

Sistema Genea! "e Se#$n"% O"en

Fi#$a &F$n'i%n "e tans(een'ia

En el aso general# tiene dos !olos 'nitos $ ning-n ero% El término del numerador es sim!lemente una esala o (ator multi!liador de entrada que !uede tomar ualquier valor sin a(etar la (orma de los resultados deduidos% *l asignar los valores a!ro!iados a los !ar&metros a $ b# !odemos demostrar todas las !osibles res!uestas transitorias de segundo orden% +a res!uesta de esal"n unitario que se !uede hallar usando C.s/0 R.s/1.s/# donde R.s/ 0 23s# seguido !or una e4!resi"n en (raiones !ariales $ la trans(ormada inversa de +a!lae% El sistema general de segundo orden que se muestra en la 'gura 2# se !uede trans(ormar !ara mostrar las antidades de 5 $ 6 n% Considerando el sistema general G ( s )=

b 2

s + as + b

Sin amortiguamiento los !olos estarían sobre el eje j6# $ la res!uesta seria una senoide no amortiguada% Para que los !olos sean !uramente imaginarios# a 0 7# !or lo tanto G ( s )=

b 2

s +b

Por de'nii"n la (reuenia natural 6n es la (reuenia de osilai"n de este sistema% Como los !olos de este sistema est&n sobre en eje  j6 en ± √ b # ω n =√ b

Por tanto# b = ωn

2

Si# a =2 ξ ω n

N$esta ($n'i)n "e tans(een'ia #enea! "e se#$n"% %"en se *e +na!mente "e !a si#$iente (%ma , G ( s )=

2

ωn 2 2 s + 2 ξ ωn s + ω n

*l des!ejar los !olos .s2# s8/ de la euai"n de trans(erenia se obtendr&, s 1,2=−ξ ωn ± ωn √ ξ −1 2

De esta euai"n veremos que los diversos asos de res!uesta de segundo orden son una (uni"n de 5# el ual determina la naturaleza de la res!uesta transitoria# a ontinuai"n resumiremos los distintos asos de !ara 5

Fi#$a  Res-$esta Tansit%ia "e a'$e"% a! (a't% "e am%ti#$amient%

* ontinuai"n e4!liamos ada res!uesta $ mostramos la (orma en que !odemos usar los !olos# !ara determinar la naturaleza de la res!uesta# sin !asar !or el !roedimiento de e4!ansi"n en (raiones !ariales seguida !or la trans(ormada inversa de +a!lae%

Fi#$a . Res-$esta Tansit%ia "e a'$e"% a !%s P%!%s

 9ener en uenta que, C/s01 R/s0G/s0

Res-$esta S%2eam%ti#$a"a, +#$a ./a0 Para esta res!uesta# C ( s ) =

9 2

s( s

=

9

+ 9 s + 9) s ( s +7.854 )( s +1.146 )

Esta (uni"n tiene un !olo en el origen que viene de la entrada de esal"n unitario $ dos !olos reales que vienen del sistema% El !olo de entrada en el origen genera la res!uesta (orzada onstante: ada uno de los dos !olos del sistema sobre el eje real genera una res!uesta natural e4!onenial# u$a (reuenia e4!onenial es igual a la !osii"n del !olo% Por onseuenia# iniialmente !odría haberse esrito la salida omo, − 7.854 t 

c (t )= k 1 + k 2 e

+ k 3 e−1.146 t 

Esta res!uesta# que se muestra en la 'gura ;.a/# se llama Sobreamortiguada%
Res-$esta S$2am%ti#$a"a, +#$a ./20 Para esta res!uesta#

C ( s ) =

9 2

s( s

+ 9 s + 9)

Esta (uni"n tiene un !olo en el origen que viene de la entrada de esal"n unitario $ de !olos om!lejos que vienen del sistema% Primero vamos a om!arar la !osii"n del !olo on la (uni"n de tiem!o $ luego# la !osii"n del !olo on la gr&'a de la 'gura ;.b/# los !olos que generan la res!uesta libre est&n en s =−1 ± j √ 8 # al om!arar estos valores on .t/ en la misma 'gura# vemos que la !arte real del !olo es igual a la (reuenia de deaimiento e4!onenial de la am!litud senoidal# mientras que la !arte imaginaria del !olo es igual a la (reuenia de osilai"n senoidal%

Fi#$a 3 Res-$esta Tansit%ia

Com!aremos ahora la !osii"n del !olo on la gr&'a% * 'gura = muestra una res!uesta general# senoidal amortiguada# !ara un sistema de segundo orden% +a res!uesta en (reuenia est& (ormada !or una am!litud que deae e4!onenialmente# generada !or la !arte real del !olo del sistema !or una onda senoidal !roduida !or la !arte imaginaria del !olo del sistema% +a onstante de tiem!o del deaimiento e4!onenial es igual al reí!roo de la !arte real del !olo del sistema% El valor de la !arte imaginaria es la (reuenia real de la senoide omo se desribe en la 'gura =% +a (reuenia senoidal reibe el nombre de (reuenia natural amortiguada de osilai"n% >inalmente la res!uesta en estado estable .esal"n unitario/ (ue generada !or el !olo de entrada situado en el origen% *l ti!o de res!uesta que se ilustra en la 'gura = se llama res!uesta Subamortiguada# que se a!ro4ima a un valor en estado estable !or medio de una res!uesta transitoria que es una osilai"n amortiguada%

Res-$esta n% am%ti#$a"a, +#$a ./'0 Para esta res!uesta#

C ( s ) =

9 2

s( s

+9 )

Esta (uni"n tiene un !olo en el origen que !roviene de la entrada de esal"n unitario $ dos !olos imaginarios que vienen del sistema% El !olo de entrada en el origen genera la res!uesta (orzada onstante# $ los dos !olos del sistema sobre el eje imaginario en ? j; generan una res!uesta libre senoidal# u$a (reuenia es igual a la !osii"n de los !olos imaginarios% Por tanto# la salida se !uede estimar omo c (t )= k 1 + k 4cos (3 t − ф )  donde, −1 k 3

ф = tan

k 2

k 4 = √ k 2 + k 3 2

2

Este ti!o de res!uesta mostrado en la 'gura ;./# se llama no amortiguada% @"tese que la ausenia de una !arte real en el !ar de !olos orres!onde a una e4!onenial que no deae% Matem&tiamente el e4!onenial es

− 0 t 

e

=1 %

Res-$esta '4ti'amente am%ti#$a"a, +#$a ./"0 Para esta res!uesta#

C ( s ) =

9 2

s ( s + 9 s + 9)

=

9

s ( s +3 )

2

Esta (uni"n tiene un !olo en el origen que viene de la entrada de esal"n unitario $ !olos reales m-lti!les que !rovienen del sistema% El !olo de entrada en el origen genera la res!uesta onstante# $ los !olos sobre el eje real en A; generan la res!uesta libre (ormada !or un e4!onenial $ un e4!onenial multi!liado !or el tiem!o# donde la (reuenia e4!onenial es igual a la !osii"n de los !olos reales# la salida se !uede alular omo, − 3 t 

c ( t )= k 1 + k 2 e

+ k 3 t e−3 t 

* ontinuai"n resumiremos nuestras observaiones%

Res-$esta n% am%ti#$a"a P%!%s: Dos imaginarios en

± jω

Res-$esta !i2e: Senoide no amortiguada on (reuenia de radianes igual a imaginaria de los !olos# o sea,

c (t )= cos ( ωt −ф )

Res-$esta S$2am%ti#$a"a P%!%s: Dos om!lejos en B  ? j6 Res-$esta Li2e: Senoide amortiguada on una envolvente e4!onenial# u$a onstante de tiem!o es igual al reí!roo de la !arte real del !olo% +a (reuenia en radianes de la senoide# la (reuenia amortiguada de osilai"n# es igual a la !arte imaginaria de los !olos# o sea −!t 

c (t )=  e

cos ( ωt −ф )

Res-$esta C4ti'amente Am%ti#$a"a P%!%s: Dos reales en B  Res-$esta Li2e: n término es un e4!onenial u$a onstante de tiem!o es igual al rei!roo de la !osii"n del !olo% Otro término es el !roduto del tiem!o# t# $ un e4!onenial on onstante de tiem!o igual al reí!roo de la !osii"n del !olo# o sea −!t 

c (t )= k 1 e

+ k 2 t e −!t 

Res-$esta S%2eam%ti#$a"a P%!%s: Dos om!lejos en B  2# 8 Res!uesta libre, Dos e4!oneniales on onstantes de tiem!o iguales al reí!roo de las !osiiones de !olo# o sea −!  1 t 

c (t )= k 1 e

+ k 2 e−! 2 t 

EJERCICIOS SISTEMA SOBREAMORTIGUADO Para el sistema de'nido !or

G ( s ) =s + 3 s + 2  # obtenga su diagrama de 2

!olos $ eros# así omo la res!uesta al esal"n unitario% El sistema 1.s/ tiene un !ar de !olos reales G ( s )=

1

=

1

( s 2+ 3 s + 2 ) ( s +1 ) ( s + 2)

+a res!uesta al esal"n se obtiene "  ( s )= # ( s ) G ( s ) =

1

s ( s +3 s +2 ) 2

=

1 s ( s + 1 ) ( s + 2)

*l a!liar desom!osii"n en (raiones !ariales 1

"  ( s ) =

=

1 /2

( s + 3 s+ 2) ( s) 2

−

1

s +1

+

1/ 2

s+2

+a res!uesta al esal"n unitario del sistema de 8do grado 1 2

−t 

1 2

−2 t 

"  ( t )= −e + e

SISTEMA SUBAMORTIGUADO Para el sistema de'nido a ontinuai"n# obtenga su diagrama de !olos $ eros# así omo la res!uesta al esal"n unitario% G ( s )=

10

( s + 3 s+5 ) 2

El sistema tiene un !ar de !olos om!lejos, !2#8 0 A2 ?8j% +a res!uesta al esal"n se obtiene "  ( s ) = # ( s ) G ( s ) =

10

1

( s 2+ 3 s + 5 ) s

*l a!liar desom!osii"n en (raiones !ariales "  ( s ) =

10

s ( s +3 s+5 ) 2

  s

= +

$s + C 

( s 2 + 3 s +5 ) s+1

¿

 ( s + 1 )+ 1 2 2 s+ 4 = s −2 "  ( s ) = − 2 ( ¿ ¿2+ 4 ) s ( s +3 s+5 ) s Por lo tanto# la res!uesta al esal"n unitario del sistema de segundo grado "  ( t )=

10

s(s

2

+3 s + 5 )

(

1

)

=2 ⌊ 1 −e−t  cos 2 t + sen 2 t   ⌋ 2

CONCLUSIONES •

E4isten di(erentes ti!os de res!uestas transitorias omo son la sobreamortiguada# la subamortiguada# no amortiguada#

•

•

rítiamente amortiguada son im!ortantes !ara determinar el modelo matem&tio de nuestro !roeso% Determinamos que las res!uesta transitorias de!enden de los !olos que se generen en la (uni"n de trans(erenia !ueden e4istir !olos imaginarios# reales o om!lejos $ de!endiendo de ellos se (orman los di(erentes asos%   +a !rini!al a!liai"n de auerdo a la res!uesta transitoria que se genere !or la (uni"n de trans(erenia de nuestro sistema es la estabilidad $ de auerdo a ello !odremos a!liar los di(erentes ontroles !ro!orional integral o derivativo

BIBLIOGRAFIA •

Sistemas de Control !ara ingeniería# @orman S% @ie# ;ra edii"n# Mé4io# 877=