PRACTICA N° 12 CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL
INTRODUCCION La cantidad de movimiento lineal es una magnitud una magnitud vectorial, unidad vectorial, unidad SI: SI: (kg m/s) (kg m/s) que, que, en mecánica clásica, se clásica, se define como el producto de la masa la masa del cuerpo y su velocidad su velocidad en un instante determinado. determinado. La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.
OBJETIVOS
Medir la cantidad de movimiento lineal de dos masas cuando actúa sobre ellas una fuerza interna. Comprobar la conservación de la cantidad de movimiento
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4. MARCO TEORICO MOMENTO LINEAL:
Fue el propio Newton quien introdujo el concepto de momento lineal (aunque él lo llamaba cantidad de movimiento)
con el fin de disponer de una expresión que combinara las magnitudes características de
una partícula material en movimiento: su masa (toda partícula material tiene masa) y su velocidad (magnitud que caracteriza el movimiento) pmv p Se define el momento lineal,p , como:
Por tanto el momento lineal, , es una ma nitud vectorial, a ue resulta de multi licar un escalar la Si una partícula, cuya masa permanezca inalterada, se v cte mueve con movimiento rectilíneo y uniforme ( )
Las dimensiones del momento lineal son:
p M L T1 M L T1
su momento lineal no variará, pero si esta partícula modifica su velocidad (desde un valor v 1 a otro v2), el momento lineal sufrirá una variación dada por: p1 m v1 p2 p1 m v2 m v1 ; p m v p2 m v2
A partir de esta expresión es mu y fácil calcular la rapidez con que varía el m omento lineal:
p v m ma t t p ma t Si el segundo miembro de la ecuación obtenida es igual al producto de la masa por la aceleración, y considerando el Principio Fundamental de la Dinámica, la rapidez con que varía el momento lineal deberá de ser igual a la fuerza resultante aplicada sobre la partícula:
p ma t Fma
La expresión obtenida nos dice que una misma variación F
p t
p F t
del momento lineal (de la velocidad, si suponemos
constante la masa) se puede producir, bien aplicando una fuerza grande durante un tiempo corto, o bien aplicando
El producto de la fuerza por el intervalo de tiempo que actúa ( F
t)
recibe el nombre de impulso mecánico.
I F t La ecuación de más arriba puede, por tanto, leerse como: la variación del m om ento lineal es igual al im pu lso m ecánic o.
p I
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El impulso mecánico tiene la misma ecuación dimensional que el momento lineal y en el S.I de unidades se mide en N. s.
Principio de conservación del momento lineal El momento lineal de un sistema sobre el que no actúa fuerza externa alguna (o varias que se componen para dar una resultante nula), permanece constante.
Si partimos de la expresión p F ty consideramos que la fuerza externa resultante es nula, se tiene:
Sí F 0 p 0. Esto es : p cons tan te El Principio de conservación del momento lineal tiene múltiples aplicaciones. Una muy característica es
su aplicación al estudio de las colisiones entre cuerpos. Cuando dos cuerpos chocan, en el momento del choque, aparecen fuerzas de acción y r eacción entre los objetos. Si consideramos el sistema formado por ambos cuerpos éstas serán fuerzas internas cumpliéndose, por tanto, la condición de que la fuerza externa actuante es nula. Fuerzas que actúan sobre dos bolas en e l momento de la colisión. La bola roja se movía hacia la derecha y la azul hacia la izquierda. En el momento del choque la bola roja ejerce una fuerza hacia la derecha sobre la azul y la azul una igual y contraria (reacción) sobre la roja). Si consideramos el sistema formado or ambos ob etos estas V1 V2 F21 m1
*
*
V2
F12
m2 Antes del choque
V1
m2
m1 Durante el choque
Después del choque
Las únicas fuerzas externas que actúan se anulan (peso y normal, que no se han pintado) y considerando que las fuerzas actuantes durante el choque son interiores, podemos escribir:
pantes p
después
p1 p2 p1* p2* m1 v 1 m2 v 2 m1 v1* m2 v 2*
Donde las magnitudes con asterisco indican valores después del choque. Cuando el choque es como el que se muestra en la figura el
Como se puede observar cuando
choque se denomina frontal y como el movimiento antes y
dos objetos chocan y el momento
después tiene lugar según una única dirección, se puede
lineal se mantiene constante la
prescindir de la notación vectorial y poner simplemente :
pérdida de momento experimentado por uno de ellos ha de ser ganado por el otro. De
*
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v2
*
aquí que se diga que se produce 3
Ya que tenemos una sola ecuación y dos incógnitas (velocidades después del choque) la solución será indeterminada, aunque en algunos casos particulares podremos llegar a una solución considerando únicamente esta ecuación.
La cantidad de movimiento , momento lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. En cuanto al nombre, Galileo Galilei en su Discursos sobre dos nuevas ciencias usa el término italiano ímpeto, mientras que Isaac Newton usa en Principia Matemática el término latino motos (movimiento) y vis (fuerza). Momento es una palabra directamente tomada del latín mōmentum, derivado del verbo mŏvĕre 'mover' En Mecánica Clásica la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es mediante definición como el producto de la masa (Kg) de un cuerpo material por su velocidad (m/s), para luego analizar su relación con la ley de Newton a través del teorema del impulso y la variación de la cantidad de movimiento. No obstante, después del desarrollo de la Física Moderna, esta manera de hacerlo no resultó la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental. El defecto principal es que esta forma esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones. Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos masivos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones. La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo. En el enfoque geométrico de la mecánica relativista la definición es algo diferente. Además, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades físicas como los fotones o los campos electromagnéticos, que carecen de masa en reposo. No se debe confundir el concepto de momento lineal con otro concepto básico de la mecánica newtoniana, denominado momento angular, que es una magnitud diferente. Finalmente, se define el impulso recibido por una partícula o un cuerpo como la variación de la cantidad de movimiento durante un período dado:
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Siendo pf la cantidad de movimiento al final del intervalo y p0 al inicio del intervalo. Principio Conservación de la Cantidad de Movimiento
El principio de conservación del movimiento, es un caso particular del principio de conservación de la energía, ahora por ejemplo este principio se lo puede verificar cuando en una mesa de billar, un jugador golpea la bola la misma que al chocar a la otra le transmite la cantidad de movimiento, y entonces la bola impactada comienza a moverse con la misma velocidad que tenía la otra, en realidad nunca existe una transmisión total del movimiento, debido a que los choques, cierta parte de energía se transforma en calor producto del impacto. Para este caso estamos analizando choques inelásticos, o sea que no existe deformaciones de los cuerpos durante la colisión, y también se considerará que no hay pérdidas por calor. Para analizar, supongamos dos cuerpos de masa m1 y m2 respectivamente moviéndose a velocidades v1 y v2, entonces pongamos el caso en que se mueven en la misma dirección y sentido contrario, cada cuerpo tiene una cantidad de movimiento lineal p1 y p2 respectivamente, si analizamos lo que ocurrirá para el cuerpo de masa m1 entonces:
En estado inicial:
p1 = m1*v1
Luego de la colisión: p=p1+p2 m1v = m1v1 + m2v2
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Momento angular en mecánica clásica En mecánica newtoniana, la cantidad de movimiento angular de una masa puntual, es igual al producto vectorial del vector de posición (brazo), del objeto en relación a la recta considerada como eje de rotación, por la cantidad de movimiento (también llamado momento lineal o momento). Frecuentemente se lo designa con el símbolo :
En ausencia de momentos de fuerzas externos, el momento angular de un conjunto de partículas, de objetos o de cuerpos rígidos se conserva. Esto es válido tanto para partículas subatómicas como para galaxias.
Momento angular de una masa puntual [editar ]
El momento angular de una partícula con respecto al punto momento lineal
por el vector
es el producto vectorial de su
. Aquí, el momento angular es perpendicular al dibujo y está
dirigido hacia el lector.
En el dibujo de derecha vemos una masa que se desplaza con una velocidad instantánea . El momento angular de esta partícula, con respecto a la recta perpendicular al plano que contiene y es, como ya se ha escrito:
El vector es perpendicular al plano que contiene y , luego es paralelo a la recta considerada como eje de rotación. En el caso del dibujo, el vector momento angular sale del dibujo y va hacia el observador. Véase producto vectorial y regla del sacacorchos. El módulo del momento angular es:
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Es decir, el módulo es igual al momento lineal multiplicado por su brazo ( en el dibujo), el cual es la distancia entre el eje de rotación y la recta que contiene la velocidad de la partícula. Por esta razón, algunos designan el momento angular como el "momento del momento".
Momentum Angular Como sabemos, la rapidez de un objeto que se mueve en círculo solo cambia si se le aplica un torque. En el movimiento angular la cantidad análoga al momento lineal se denomina momentum angular, cantidad de movimiento angular (L) o también llamando momento cinético. Entonces, si sobre un objeto no hay torque, su momentum angular es constante. El momentum es el producto de la masa del objeto por su velocidad. El momentum angular es el producto de su masa, la distancia al centro de rotación y la componente de la velocidad perpendicular a esa distancia. Para una partícula de masa m, la magnitud del movimiento lineal es p = mv . La magnitud de la cantidad de movimiento angular es:
Donde v es la rapidez de la partícula y r × es el brazo de palanca. En un movimiento circular, r × = r , porque v es perpendicular a r . Por ejemplo, el momentum angular de los planetas alrededor del Sol es constante. Por consiguiente, cuando la distancia de un planeta al Sol es mayor, su velocidad debe ser menos. Esta es otra forma de enunciar la segunda ley de Kepler., esta última dice lo siguiente “Una línea del Sol a un planeta barre áreas iguales en lapsos iguales de tiempo”.
Conservación del momentum Supongamos que tú colocas algunos cubos de azúcar dentro de una caja y la cierras. Podemos decir que la caja y el cubo constituyen un sistema, esto es, un conjunto definido de objetos como lo hemos dicho anteriormente. Ahora sacude la caja fuertemente por algunos minutos. ¿Qué pasará? Cuando la abras, te darás cuenta de que la forma de los cubos ha cambiado; además, hay granos de azúcar en la caja que antes no había. Sería casi imposible aplicar las leyes de Newton a cada una de las fuerzas que actuaron mientras se agitaba la caja. En cambio, podemos buscar una propiedad del sistema que permaneció constante. Una
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balanza mostraría que la masa de azúcar y de la caja permanecieron constate: la masa se conserva. Desde el siglo pasado, los físicos han encontrado que el estudio de las propiedades que se conserva tiene gran éxito en al solución de problemas y en la comprensión de los principios del mundo físico. Por tanto, la condición para la conservación de la cantidad de movimiento angular es: En ausencia de un momento de fuerza externo, no equilibrado, la cantidad de movimiento angular total (vector) de un sistema se conserva (se mantiene constante).
Ejemplo Una pequeña pelota, sujeta a una cuerda que pasa por un tubo, se mueve en un círculo (como podemos apreciar en la imagen de abajo). Cuando se tira de la cuerda hacia abajo, la rapidez angular de la pelota aumenta. ¿Ese aumento se debe a un momento de fuerza causado por la fuerza de tracción? Si la pelota gira inicialmente con una rapidez de 2.8 m/s en un circulo de 0.30 m de radio ¿qué rapidez tangencial tendrá si el radio se reduce a 0.15 m tirando de la cuerda?
Razonemos
Si se aplica una fuerza a la pelota a través de la cuerda, tenemos que considerar el eje de rotación. En ausencia de un momento neto, la cantidad se movimiento angular se conserva y la velocidad tangencial está relacionada con la rapidez angular por v = rw
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R1 = 0.30m R2 = 0.15m V1 = 2.8 m/s
Solución El cambio de velocidad angular, no se debe a un momento de fuerza producido por la tracción. La fuerza sobre la pelota, transmitida por la cuerda actúa pasando por el eje de rotación, así que su momento es cero. Dado que la porción de la cuerda se acorta, el momento de inercia de la pelota disminuye. Esto hace que la pelota se acelere porque, en ausencia de un momento de fuerza externo, la cantidad de movimiento angular de la pelota se conversa. Dado que se conserva la cantidad de movimiento angular, podemos igualar las magnitudes de las cantidades de movimiento angular. IoWo = IW Luego utilizando I = mr² y w = v/r tenemos
v2 = 5.6 m/s Cuando se acorta la distancia radial, la pelota se acelera.
Cantidad de movimiento angular en la vida real El ejemplo de una pelota bateada implica un tipo de colisión, porque la pelota choca con el bate. En la colisión cambia el momentum de la pelota como consecuencia del impulso que recibió el bate pero ¿qué le sucedió al bate? Como el bate ejerció una fuerza sobre la pelota, por la tercera ley de Newton, la pelota debió ejercer sobre el bate una fuerza de igual magnitud pero en la dirección opuesta. Entonces el bate también recibió un impulso. La dirección de la fuerza sobre el bate es opuesta a la dirección de la fuerza sobre la pelota, así que el impulso dado al bate también debe estar en la dirección opuesta. Por el teorema del impulso y el momentum, sabemos que el momentum del bate debió cambiar: se redujo como resultado de su colisión con la pelota. O un ejemplo tan simple y evidente como el de la siguiente imagen:
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5.
CONCLUSION
Gracias a este laboratorio aprendimos a comprobar la conservación de la cantidad de movimiento en una o dos masas. También, aprendimos a medir la cantidad de movimiento lineal de dos masas, cuando actúa sobre ellas una fuerza externa. Por otra parte descubrimos que cuando medimos la cantidad de movimiento lineal de dos masas, su velocidad y la distancia son proporcionales. El momento angular es un vector que se encuentra sobre el eje de rotación y tiene el mismo sentido del vector torque ; es constante, y solo varía cuando sobre el sistema actúa un momento de fuerza externo. La masa, de cualquiera sea el cuerpo, y su distancia con el eje son los 2 más importantes determinantes del momemtum angular.
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6.
BIBLIOGRAFIA
Guía Física 1 (Mecánica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimiento
http://usuarios.multimania.es/billclinton/ciencia/conserv_movim.htm
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ANEXOS Ejemplo 1 Un trozo de plastilina de 250 g es lanzado con una velocidad de 10 m/s contra un bloque de madera de 500 g situado sobre una mesa horizontal. Tras el impacto la plastilina queda adherida al bloque. Calcular la velocidad con la que se inicia el deslizamiento del conjunto.
v1
v
m1
*
m2
Solución
pantes m1 v1 m2 v 2
; v2 0
pdesp m1 m2 v * pantes p desp ; m1 v 1 m1 m 2 v * v*
m
1
m2
m s 3,33 m s (0,250 0,500) kg 0,250 kg 10
m1 v1
Ejemplo 2
Un patinador de 60 kg se encuentra situado sobre un monopatín de 3 kg en reposo. En determinado momento el patinador se impulsa hacia la derecha con una velocidad de 1
pantes 0
Como se puede observar el patín sale
pdesp m1 v1* m2 v 2*
hacia la izquierda (en sentido contrario
pantes p desp ; 0 m1 v m 2 v 2 * 1
v 2*
m1 v1* m2
*
al del patinador) ya que se ha
m s 20 m s 3 kg
60 kg 1
Ejemplo 3 A un cuerpo de 3 kg, inicialm ente en reposo, se le aplica una fuerza de 5 N durante 3 s ¿Cuál será su velocidad al cabo de este tiempo? Solución: Este ejercicio se puede solucionar aplicando usando la Segunda Ley de la Dinámica para calcular la aceleración y a continuación las ecuaciones cinemáticas del movimiento. Sin embargo, se puede solucionar muy rápidamente haciendo uso de la expresión que relaciona el impulso mecánico con la variación del momento lineal.
p F t p p 2 p1 m v 2 0 m v 2
m v2 F t v2
Ft m
5 kg
m
s2 3 kg
3 s
5
m s
13
14
