I. • • •
•
•
OBJETIVOS Conocer el manejo del calibrador de vernier y del cronometro Evitar error sistemáticos en las mediciones mediciones directas Determinar de forma directa las longitudes y masas de pequeños objetos de diversas diversas geometrí geometrías as con sus respecti respectivas vas incertidu incertidumbre mbres s experim experimenta entales, les, regist registran rando do lo datos datos con el númer número o aprop apropia iado do de cifras cifras signi signific ficati ativa vas s de acuerdo la exactitud del instrumento Determinar el volumen y densidad de los objetos en forma indirecta con sus respecti respectivas vas incertid incertidumbr umbres es experime experimenta ntales, les, teniendo teniendo en cuenta cuenta la regla regla de operaciones con cifras significativas Determina Determinarr la acelerac aceleraci!n i!n de la gravedad gravedad con su respecti respectiva va incertid incertidumbr umbre e experimental utili"ando un p#ndulo simple
II. FUNDAMENTO TEORICO: $as mediciones que se reali"an en la ciencia y la ingeniería tienen por objetivo establecer el valor num#rico de determinada magnitud Este valor num#rico no corresponde al valor real de la magnitud que se mide porque los resultados que se obtienen en el proceso de medici!n son aproximados debido a la presencia del error experimental %l posible valor del error experimental se le conoce como incertidumbre CLASIFICACION DE ERRORES: %& E''('E) )*)+E%+*C() )*)+E%+*C()-)on los que en principio se pueden evitar, corregir o compensar )e les llama sistemáticos porque dan efectos consistentes, pues cuando están presentes se obtienen valores que son más altos o más bajos que el valor verdadero Ejemplosdefectos o falta de calibraci!n de los instrumentos de medici!n, el error debido al paralaje, etc .& E''('E) E''('E) %CC*DE/ %CC*DE/+% +%$E) $E)-)e deben a la suma de gran número de perturbaciones individuales y fluctuantes que se combinan para dar lugar a que la repetici!n de una misma medici!n de en cada ocasi!n un valor algo distinto Ejemplos- Errores de apreciaci!n, como por ejemplo en la estimaci!n de la fracci!n de la menor divisi!n de una escala0 errores que fluctúan, como por ejemplo, variaciones en la red de energía el#ctrica */CE'+*D1.'E %.)($1+% 23x&'epresenta 'epresenta los límites l ímites de confian"a dentro de los cuales se está seguro de que el valor verdadero se encuentra en dic4o intervalo */CE'+*D1.'E 'E$%+*5% 'E$%+*5% 2*r &&)e define como el cociente de la incertidumbre absoluta y el valor medio y se expresa así-
*/CE'+*D1.'E 6('CE/+1%$ 2*7&Es el índice que más comúnmente se usa para especificar la exactitud de una medida )e define como la incertidumbre relativa por 8997 es decir-
*/CE'+*D1.'E E/ ED*D%) D*'EC+%)Cuando se reali"a una medici!n directa de una magnitud y no es posible repetir la medici!n o cuando al 4acer una serie de las lecturas se obtiene los mismos resultados para la magnitud a la lectura que se obtiene se le asocia generalmente una incertidumbre absoluta, igual a la divisi!n más pequeña de la escala del instrumento Ejemplo- al 4acer una medici!n de longitud de un objeto con una regla graduada en milímetros y se obtiene repetidamente la magnitud de8:;mm, entonces tomaremos como 8 o <8 mm 6or lo tanto el resultado para la longitud será 28:;=8 o 8:;<8& mm Es decir la longitud verdadera del objeto se encontrara dentro del intervalo de 8:> mm al 8:? mm */CE'+*D1.'E E/ ED*C*(/E) */D*'EC+%)$as mediciones que se reali"a en la ciencia y en la ingeniería, la mayoría son indirectas y para calcular la incertidumbre de una medida indirecta @ que depende de las variables x, ye, " y A se emplea la siguiente ecuaci!n)ea "Bf2x, y, A&, la incertidumbre experimental absoluta de @ es-
Como consecuencia de los errores aleatorios 2errores accidentales& 4acer repeticiones de una medida estas en general resultan diferentes, y dado que no se conoce la medida verdadera, sur gen dos preguntas- Cuál es el valor que se debe reportar, u# incertidumbre es la que se debe asociar al resultado 6ara contestar la primera 4ay que tener en cuenta que los errores aleatorios provocan en primer lugar que las medidas se distribuyan alrededor de un valor
promedio y en segundo lugar que la frecuencia relativa de dic4as medidas la describa la curva conocida como curva de Fauss
Esta curva indica que los errores aleatorios ocurren igualmente en forma positiva y negativa y que la ocurrencia de desviaciones pequeñas es muc4o más robable ue las desviaciones randes De acuerdo con ello, el valor alrededor del cual se distribuye las medidas las medidas es el que se acepta como más probable y con la mejor estimaci!n del valor verdadero Este valor es la media aritm#tica-
En cuanto a la segunda pregunta, la respuesta rigurosa pertenece a la estadística, )e puede asignar como incertidumbre a la desviaci!n absoluta máxima que es simplemente la mayor de las diferencias absolutas entre el valor promedio y las lecturas obtenidas En la asignaci!n de la incertidumbre se utili"aban índices de precisi!n como rango desviaci!n media, desviaci!n estándar, desviaci!n estándar de la media Dic4os índices son medidas de la dispersi!n de las lecturas obtenidas '%/F()e define como la diferencia entre la mayor y la menor de las lecturas que se obtienen al medir una magnitud DE)5*%C*(/ ED*%-
DE)5*%C*(/ E)+%'D%' 2) x&- 6ara un conjunto finito de lecturas es-
%l reportar el resultado de una medici!n como x G )x se establece que el?H7 de las lecturas se encuentran en dic4o intervalo0 pero si el resultado se reporta como x G :)x o como x G I)x entonces el J;7 y el JJ7 de las medidas se encuentran respectivamente en dic4os intervalos DE)5*%C*(/ E)+%/D%' DE $% ED*%-
C%$C1$( DE $% DE)5*%C*(/ E)+%/D%' E/ ED*C*(/E) */D*'EC+%)$a determinaci!n experimental del valor de ciertas magnitudes físicas como la velocidad la densidad, etc, rara ve" se obtiene con m#todos de medici!n directa 6ara calcular la desviaci!n estándar de una medida indirecta @ se aplica la siguiente ecuaci!n)ea @B f2x, y, A&, entonces
C(.*/%C*(/ DE D*)+*/+() +*6() DE */CE'+*D1.'E)ea @Bf2x, y& DondeK B 5ariable con tratamiento estadístico LB 5ariable con tratamiento estadístico $a incertidumbre experimental de @ se calcula mediante la siguiente ecuaci!n-
C*M'%) )*F/*M*C%+*5%))e llama cifra significativa a cada uno de los dígitos 28, :,I,N, J, 9& que resultan de 4acer una medici!n o que son producto de cálculos a partir de mediciones 6or ejemplo si en la medici!n del diámetro de una esfera con un vernier se obtuvo la lectura de H,>Icm se dice que los númerosH, > y I son cifras significativas En general, el número de cifras significativas de una idea aproximada dela precisi!n de la magnitud medida En algunas ocasiones se incluye el resultado de una cifra dudosa 2cifra estimada& Ejemplo- se obtiene un 5alor de 8:,I? cm y 8:,>cm)i el resultado de una medici!n, es 9,99I:8 m, el número de cifras significativas es tres y no cinco o seis, porque los ceros a la i"quierda no son significativos 6ara evitar confusiones se 4ace uso de las notaciones de potencias de 89, de tal modo que el resultado se reporta I:8x89<;m6or otra parte, los ceros de la derec4a no se deben escribir si no tienen significado 6ara eliminar los dígitos superfluos es conveniente recordarlas siguientes reglas8 )i el último digito es menor que cinco, simplemente se elimina Ejemplo- OHI redondeando da OH : )i el último digito es mayor que cinco se elimina y se le suma 8 al último digito que se conserva Ejemplo- OIO redondeando da O> I )i el último digito es cinco, el anterior sube si impar y se conserva si es par Ejemplo- IO; redondeando da IH >
El digito incierto se debe escribir de menor tamaño y ponerse como subíndice de los otros Ejemplo- en O>: el : es un digito incierto
; De la suma o resta de cantidades que tienen distintos número de cifras decimales el resultado se debe expresar como datos decimales como correspondan a la cantidad que menos tenga Ejemplo- En la suma deI89: = 9H = :I:: B I>8>: El resultado debe tener una sola cifra decimal y es igual a I>8 ? En la multiplicaci!n o divisi!n el resultado tendrá esencialmente el mismo número de cifras significativas que el t#rmino que menos tenga Ejemplo- %l efectuar siguientes multiplicaciones:I>8 x ::B;8;9:
El resultado tendrá dos cifras significativas- ;: 2ya redondeando, porque el factor :: es el que menos cifras significativas tiene&
En las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones es conveniente arrastrar más dígitos superfluos, eliminándolos el resultado final En los cálculos estadísticos el número de cifras significativas que se retienen en la medida normalmente es uno más que en los datos primarios 1na cifra incierta multiplicada por una cierta produce una cifra incierta En el caso de una constante tal como PpiQ, el 5alor usado dependerá de la fricci!n de las otras cantidades )i el radio de la circunferencia es H,O? cm Escribiríamos para el área- R 2r:&BI8> x 2HO?&: cm :
III.
PARTE EXPERIMENTAL:
3.1.1
PARA MEDIR LONGITUDES Y MASAS INSTRUMENTOS Y MATERIALES • • • •
.alan"a digital Calibrador vernier 'egla milimetrada (bjetos diversos 2esfera metálica, taco de madera, etc&
PROCEDIMIENTO: •
•
•
D 2mm& '2mm& 8
?8HH
I9J>
6ara reali"ar medidas exteriores de la esfera y el taco de madera, despla"ar la parte m!vil de calibrador vernier lo suficiente como para colocar el objeto a medir 1na ve" colocado el objeto, cerrar 4asta que quede aprisionado suavemente $a lectura de la medida se efectuará de la siguiente maneraleer sobre la regla fija la longitud que 4ay 4asta el cero de la regla m!vil 2nonio& irar luego que divisi!n del nonio coincide o se aproxima más a una divisi!n de la regla fija0 en número de orden de aquella 2el nonio& son los decimales que 4ay q añadir a la longitud leída en la regla m!vil
&Di 0.26 6
&Ri 0.13 3
er 2D&
er 2' &
0.0043 0.0043 17 17
er7 2D&
er7 2 '&
0.4317 0.4317 2 2
D 2D&
D 2' &
61.3 30.67 48 4
: I
?8; ?8;:
I9O; I9O?
>
?8JH
I9JJ
;
?:
I8
? O
?89> ?89?
I9;: I9;I
-
-
-
0.11 4
0.05 7
0.0018 0.0018 5 5
0.1850 0.1850 2 2
61.7 30.86 28 4
0.09
0.04
0.0015 0.0015
0.1525 0.1525
61.7 30.85
4
7
0.36 6
0.18 3
0.0059 0.0059 4 4
0.5940 0.5940 21 21
61.2 30.62 48 4
0.38 6
0.19 3
0.0062 0.0062 65 65
0.6264 0.6264 81 81
61.2 30.61 28 4
-
-
0.57 4
0.28 7
0.0093 0.0093 2 2
0.9316 0.9316 1 1
62.1 31.09 88 4
0.55
0.27
0.0089 0.0089
0.8991 0.8991
62.1 31.08
4
7
3
-
9
-
3
-
9
-
6
-
5
-
6
08
4
-
5
68
4
H
?8O
I9H;
0.08 6
0.04 3
0.0013 0.0013 96 96
0.1395 0.1395 79 79
61.5 30.76 28 4
J
?8O:
I9H?
0.10 6
0.05 3
0.0017 0.0017 2 2
0.1720 0.1720 39 39
61.5 30.75 08 4
89
?8O>
I9HO
0.12
0.06
0.0020 0.0020
0.2044 0.2044
61.4 30.74
6
3
0.26 72
0.13 36
D m
61.614 30.807
Sd
0.3409 85
0.1704 93
45
&Dm
3.0807 cm ¿ ¿ Vm =
4 3
π ¿
Desviaci!n media de la muestra 5
Di
5s
5i
media
45
99
99
88
4
120.8926 1.5895 124.08 364 1 02
120.88 41
122.48 21
123.1530 0.6709 124.08 120.88 122.48 692 22 02 41 21 123.0334 0.5512 124.08 120.88 122.48 024
56
02
41
21
120.88 120.3024 2.1797 124.08 122.48 41 182 3 02 21 120.1846 2.2975 124.08 055 4 02
120.88 41
122.48 21
125.9268 3.4447 124.08 120.88 122.48 65 18 02 41 21 125.8054 3.3232 124.08 120.88 122.48 077
61
02
41
21
120.88 121.9598 0.5222 124.08 122.48 41 88 6 02 21 121.8409 0.6411 124.08 955 5 02
120.88 41
122.48 21
120.88 121.7221 0.7599 124.08 122.48 41 804 7 02 21 122.4821 1.5980 468 31
127 126 125 124 123 122 121 120 119 118 117 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
Di
5s
5i
-
media
312.98 323.02 47 33
315.2684 326
7.7548 8
333.06 19
315.2383
7.7849
333.06
808
3
19
315.9212 736
7.1020 4
333.06 19
312.98 323.02 47 33 312.98 323.02 47 33
-
312.98 47
323.02 33
316.2163 707
6.8069 4
333.06 19
318.5506
4.4726
333.06
309
8
19
344.5070 053
21.483 7
333.06 19
312.98 47
323.02 33
342.5911 914
19.567 88
333.06 19
312.98 47
323.02 33
-
312.98 47
323.02 33
306.7516 514
16.271 7
333.06 19
312.98 323.02 47 33
327.4432 528
4.4199 44
333.06 19
312.98 47
323.02 33
327.7448
4.7215
333.06
312.98
323.02
972
89
19
47
33
323.0233 087
10.038 62
80 78 76 74 72 70 68 66 64 62 1
2
3
4
5
6
5
Di
5s
67.45101 081
4.4331 8
74.212 98
72.12420
0.2400
74.212 69.555
312
11
72.22148 146
98
5i
7
media
69.555 71.884 4 19 71.884
4
19
0.3372 9
74.212 69.555 98 4
71.884 19
70.48601
1.3981
74.212
362
8
98
70.72914 216
1.1550
69.555 4
74.212 69.555 98 4
71.884 19 71.884 19
8
9
10
5 70.65340 04
1.2307 9
74.212 98
69.555 71.884 4 19 69.555 71.884 4 19
70.46362 053
1.4205 7
74.212 98
77.36613 687
5.4819 45
74.212 69.555 98 4
71.884 19
77.46888
5.5846
74.212 69.555
71.884
939
98
98
69.87801 806
2.0061 7
74.212 98
71.88419
2.3287
164
89
4
19
69.555 71.884 4 19
80 78 76 74 72 70 68 66 64 62 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Cuesti!"#i: 1. $Cu%& es &" 'e!# (#"))i*! +e 'i&,'et#s -ue ue+e se# &e,+" e! e& )"&i/#"+# Ve#!ie#0
$a menor fracci!n que puede ser leída es de 9,8 mm . $C*' 'e+i#," e& eses# +e u!" 2" +e "e& # 'e+i +e& )"&i/#"+# Ve#!ie#0
a 6odría medir una cantidad grande como un ciento o un millar de 4ojas, obtener el espesor de #stas y dividirlo entre la cantidad inicial para obtener el espesor de la unidad b 6odría juntar una 4oja de papel y un objeto de superficie regular con espesor ya medido para así 4allar la diferencia al final, la cual es el espesor de la 4oja de papel 3. C"&)u&e &" +es4i")i*! est%!+"# +e &"s 'e+i+"s +i#e)t"s "&e"t#i"s 5 )'#ue/e -u6 7 +e 6sts )"e! e! e& i!te#4"& : 8 9 S 8 8 8 ; S 8
5
vs
vi
67.45101
75.079
68.688
081
88
51
72.12420 312
75.079 88
68.688 51
72.22148 146
75.079 88
68.688 51
70.48601
75.079
68.688
362
88
51
70.72914 216
75.079 88
68.688 51
70.65340 04
75.079 88
68.688 51
70.46362
75.079
68.688
053
88
51
77.36613 687
75.079 88
68.688 51
77.46888 939
75.079 88
68.688 51
69.87801
75.079
68.688
806
88
51
71.88419 164 3.195685 937 Sx
El O97 de los valores cae en el intervalo x S ) x T x T x = ) x
80 78 76 74 72 70 68 66 64 62 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
<. $Cu%&es +e &"s t#es 'e+i+"s ="> & 5 2? )!t#i/u5e! "#" e& )%&)u& +e& 4&u'e! )! '"5# e###0
En las muestra se obtuvo q el largo es el q contribuye al cálculo con mayor error debía a que su desviaci!n estándar aproximada es de >8Hmm mientras que la deviaci!n de la altura y el anc4o son de 9O> y 9;I respectivamente @. $C*' se ue+e #e+u)i# e& e### "&e"t#i e! &"s 'e+i+"s +e &s /ets0 -
(cupando el instrumento de mayor precisi!n Calibrar todos los instrumentos %lternarse para medir debido a la fatiga ocular que se puede presentar Compensando el error al final de una lectura de medici!n +eniendo en cuenta que se pueden cometer errores de paralelaje
. C'"#"# &s #esu&t"+s /te!i+s +e &" es(e#" 'et%&i)" 5 +e& t") +e '"+e#" )! &s 4"&#es te*#i)s = 2ie##> '"+e#"? -ue +"! e! &s &i/#s. E!u'e#e &"s si/&es (ue!tes +e e###.
. Te!ie!+ e! )ue!t" -ue )'s > )'"#"# )! e& 4"&# /te!i+. E!u'e#e &"s si/&es (ue!tes +e e###.
H. A& 'e+i# &" #esiste!)i" +e u! #esist#> &" &e)tu#" +e& 4&t,'et# e#" +e 1@> > V> 5 &" &e)tu#" +e& "'e#,'et# e#" +e > >1 A. $Cu%& es &" i!)e#ti+u'/#e "/s&ut" +e &" #esiste!)i" )"&)u&"+" us"!+ &" e)u")i*! R VI0
8;,: G 9,: :,? G 9,8
U U
8; :,;
y y
8;,> :,O
15
'8 B
B?
2,5
15,4
': B
2,5
B ?,8?
15
'I B
B ;,;;
2,7
15,4
'> B
2,7
B ;,O
. E! &" 'e+i)i*! +e &" '"s" +e u! )ue# se /tu4ie#! &s siuie!tes 4"&#es: <>< K <> K <>1K <>K <> . C"&)u&"#: "? /? )? +?
E& 4"&# '%s #/"/&e +e &" '"s". L" +es4i")i*! 'e+i". L" +es4i")i*! est%!+"#. L" +es4i")i*! est%!+"# +e &" 'e+i".
El valor más probable es >,8 pues4,4+4,0+4,1+4,2+4,0 5
≈4,1 ← Dm
$a desviaci!n media-
Di
D i S Dm B δD
>,>
V >,> < >,8 V B 9,I
>,9
V >,9 < >,8 V B 9,8
>,8
V >,8 S >,8 V B 9
>,:
V >,: S >,8 V B 9,8
>,9
V >,9 S >,8 V B 9,8
δDm =
0,3+ 0,1 + 0 + 0,1 + 0,1 5
B 9,8:
$a desviaci!n estándar-
√
0,09 + 0,01+ 0 + 0,01 + 0,01 4
≈ 0,17
$a desviaci!n estándar de la media-
0,09 + 0,01 + 0 + 0,01 + 0,01 5 (4 )
≈
0,08
1. U!" se#ie +e 'e+i)i!es )!se)uti4"s +e& +i%'et# +e& )#te t#"!s4e#s"& )i#)u&"# +e u! "&"'/#e> +i # #esu&t"+ u!" 'e+i" +e > '' )! u!" +es4i")i*! est%!+"# +e &" 'uest#" +e >< ''. $Cu%& es &" +es4i")i*! est%!+"# +e& 4"&# )"&)u&"+ "#" e& %#e" +e )#te t#"!s4e#s"&0
