Discusión 1 Fisica I

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA

FÍSICA I

UNIDAD I: CANTIDADES VECTORIALES CANTIDADES VECTORIALES DISCUSIONES DE PROBLEMAS PROBLEMAS 1 Y 2.

Discusión de conceptos y problemas 1 y 2

FIR-115, ciclo II/2018 SGG

A - DEFINICIONES Y CONCEPTOS Nota: Esta parte se debe trabajar antes de asistir a la discusión de problemas, ya que es EL LENGUAJE DE LA FÍSICA que

permite comprender y dar respuesta a las preguntas y resolver los problemas planteados en las secciones posteriores de esta guía.

Definir, explicar o comentar los siguientes términos

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Magnitud o cantidad física Cantidad escalar Cantidad vectorial Posición Desplazamiento Magnitud de un vector Negativo de un vector Suma de vectores Resta de vectores Vectores unitarios Vectores paralelos

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

Vectores antiparalelos Componentes de un vector Producto vectorial de dos vectores Producto escalar de dos vectores Sistema de coordenadas rectangulares Regla de la mano derecha Método gráfico de suma de vectores Regla del paralelogramo Componentes rectangulares de un vector Ley de los senos Ley de los cosenos

B - OPCIÓN MÚLTIPLE Dadas las siguientes preguntas, señale la respuesta correcta. 1. Seleccione el literal donde se citan solo magnitudes vectoriales: a) Densidad, posición, desplazamiento. b) Velocidad, fuerza, aceleración. c) Peso, área, volumen. d) Temperatura, rapidez, distancia.

⃗ se puede afirmar correctamente que: 2. Del vector −A a) Es el inverso de ⃗A. b) Es perpendicular a ⃗A. ⃗. c) Es paralelo al vector A d) Tiene la misma magnitud que ⃗A y dirección opuesta. ⃗ , B⃗ y C⃗, se relacionan como A ⃗ + B⃗ = C⃗, es: 3. El diagrama en el cual los vectores A a)

b)

⃗C

B⃗

⃗C

c)

⃗B

⃗B

d)

⃗C

B⃗

⃗C

⃗A ⃗A ⃗ ⃗ A A ⃗ , B⃗ y C⃗, se relacionan como A ⃗ − B⃗ = C⃗, es: 4. El diagrama en el cual los vectores A a)

⃗C ⃗A

b)

⃗B

⃗C ⃗A

c)

B⃗

⃗B ⃗ A

d)

⃗C

B⃗ ⃗A

⃗C 2



⃗ y B⃗ , de acuerdo al siguiente diagrama es: 5. La relación del vector C⃗ con los vectores A a) ⃗A + B⃗ ⃗C ⃗ − B⃗ b) A ⃗ ⃗ A c) ⃗B − A ⃗ + B⃗ + C⃗ = 0 d) A ⃗B ⃗ , B⃗ y C⃗, de magnitudes 3 unidades cada uno. Sus direcciones son 6. Considere tres vectores A perpendiculares y van desde el origen hacia la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente. La magnitud de la suma ⃗A + B⃗ + C⃗ es: a) 3 b) 2 3 c) 3 3 d) 27 ⃗ , B⃗ y C⃗, de magnitudes A = 4, B = 4 y C = 2 con direcciones 7. Considere tres vectores A perpendiculares entre si y dirigidos desde el origen hacia la parte negativa de los ejes x, y, z respectivamente. La magnitud de la suma ⃗A + B⃗ + C⃗ es: a) 36 b) 10 c) 32 d) 6 e) -6 8. Considere dos vectores situados en el mismo plano, pero no se especifican las direcciones. El primero de magnitud 25 se suma con otro de magnitud 20. Valiéndose de un diagrama vectorial, determine cuál de los siguientes valores podría corresponder a la magnitud de su suma: a) 3 b) 12 c) 47 d) 50 9. Un vector ⃗S de magnitud 6 unidades y otro vector ⃗T se suman, ambos están en el mismo plano; se obtiene un vector resultante de magnitud igual a 12 unidades. Con base a un diagrama vectorial, es correcto concluir que el vector T⃗: a) Es perpendicular a ⃗S y de magnitud 6. b) Podría tener una magnitud de 20. c) Tendrá una magnitud de al menos 6 pero no más de 18. d) Tiene una magnitud mayor a 20. 10. Un vector ⃗V de magnitud 12 unidades se encuentra en el cuarto cuadrante formando 30° con el semieje positivo de las x. Su componente rectangular Vy es: a) 6/√ 3 b) −6√ 3 c) 6 d) −6 11. La suma de dos vectores ⃗A y B⃗ se realiza mediante componentes rectangulares cuyos valores son: ⃗ + B⃗ Ax = 34.9 m, Ay = - 59.9 m, Bx = - 50.1 m, By = - 29.9 m. La magnitud de la resultante de A en metros, es: a) 15.2 b) 105 c) 91.1 d) 89.8 12. La magnitud del vector ⃗V = ̂ + ̂ es: a) 2 b) 1

c) √ 2

d)

√  

13. Un vector en el plano xy está dirigido desde el punto (0,0) al punto (1,1). El vector unitario que corresponde con la dirección de ese vector es: a) ̂ + ̂ b) 0.707  + 0.707 ̂ c) 1.41 ̂ − 0.41̂ d) 1̂ e) ̂ 3



⃗ = 6̂ + 3̂ − k y E⃗ = 4̂ − 5̂ + 8k , el resultado de 2D ⃗ − E⃗ es: 14. Si D b) 8̂ + ̂ − 6k b) 2̂ − 11̂ − 10k c) 16̂ + ̂ + 7k d) 8̂ + 11̂ − 10k ⃗ = 2̂ − 3̂+ k y B⃗ = 3̂ + 2̂ − 4k ; el resultado de 2A ⃗ − 3B⃗, es: 15. Dados A a ̂ − 3̂ + 14k b − 5̂ + 3̂ − 10k c) −5̂ − 12̂ + 14k d) ̂ − 8̂ + 6k ⃗ 16. Las componentes rectangulares de un vector ⃗A son: Ax = - 8.0 m, Ay = 10.0 m. La dirección de A con respecto al eje + x , en grados, es: a) 38.7 b) 51.3 c) 128.7 d) 141.3 ⃗ = 2̂ + 3̂ + k y B⃗ = −4̂ + 2̂ − k , el producto A ⃗ • B⃗ es igual a: 17. Dados los vectores A a) 3 b) −3 c) 9 d) −9 ⃗ = 2̂ − 4k en grados es: 18. El ángulo entre los vectores ⃗A = −3̂ + k y B a) 45 b) 135 c) 90 d) 60 19. El ángulo entre los vectores ⃗A = 2̂ + 3̂ + k y ⃗B = −4̂ + 2̂ − k , en grados es: a) 100.1 b) 79.9 c) 20.2 d) 36.9

⃗ = 2̂ + 3̂ + k y B⃗ = −4̂ + 2̂ − k , el producto A ⃗  ⃗B es igual a: 20. Dados los vectores A a − 5̂ + 2̂ + 16k b 5̂ − 2̂ + 16k d) 5̂ + 2̂ − 16k e) d − 5̂ − 2̂ + 16k 21. El producto vectorial (2̂ + k )  −3̂ + 2k  es igual a: a3̂ − 4̂ − 6k b − 3̂ + 4̂ − 6k c − 3̂ − 4̂ − 6k d 3̂ + 4̂ + 6k 22. Considérense tres vectores ⃗A , B⃗ y ⃗C de magnitud 3 unidades cada uno, perpendiculares entre si y ⃗  ⃗B = P⃗ el dirigidos desde el origen hacia la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente. Si A producto ⃗P • C⃗ debe ser: a) Cero b) 6 c) 9 d) 27 23. Considérense tres vectores ⃗A , B⃗ y ⃗C de magnitud 3 unidades cada uno, perpendiculares entre si y dirigidos desde el origen hacia la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente. Si ⃗A  ⃗B = P⃗ el producto ⃗P  ⃗C debe ser: a) Cero b) 9 en la dirección de +z c) 27 en la dirección de −  d) 27 en la dirección de +y 4



⃗ = 2̂ − ̂ , el vector V⃗ = Q ⃗  P⃗ es: 24. Dados los vectores P⃗ = −̂ + k y Q a) ⃗V = ̂ + 2̂ + 2k b) V⃗ = − ̂ − 2̂ + 2k c V⃗ = − ̂ − 2̂ − 2k d V⃗ = ̂ + 2̂ − 2k

C - CUESTIONARIO 1. Mencionar las características de las cantidades escalares. Cite al menos seis ejemplos de esta clase de magnitudes. 2. Exprese las características de las cantidades vectoriales. Cite al menos cinco ejemplos de esta clase de magnitudes. 3. ¿Cuándo son iguales dos vectores? 4. ¿Qué es el negativo de un vector? 5. ¿Qué es un vector nulo? 6. Si dos vectores tienen la misma dirección son paralelos, si tienen la misma dirección y magnitud ¿son iguales? 7. Mencionar las leyes aplicables a la suma de vectores. 8. ¿De qué forma se representan simbólicamente los vectores en la pizarra, en esta guía y en los libros? Indicar las diferencias de representación. 9. ¿Pueden sumarse tres vectores que tengan diferentes magnitudes de modo que se tenga una resultante igual a cero?; ¿Qué restricciones deben tomarse en cuenta? Explicar. 10. ¿Se pueden sumar dos vectores de modo que su resultado sea cero? ¿Qué restricciones deben tomarse en cuenta? 11. ¿Puede tener un vector una magnitud igual a cero si una de sus componentes no es cero? 12. ¿Puede ser la magnitud de la diferencia entre dos vectores alguna vez mayor que la magnitud de cualquiera de ellos? 13. Las leyes conmutativa y asociativa, ¿Se pueden aplicar a la resta de vectores? 14. Indique cuáles son las propiedades de dos vectores ⃗A y B⃗ que hacen que: ⃗ + B⃗ = C⃗ y A + B = C a) A b) ⃗A + B⃗ = C⃗ y A + B > C ⃗ + B⃗ = C⃗ y A + B = C c) A 15. ¿Qué es un vector unitario? 5



16. ¿Tienen unidades los vectores unitarios ̂ , ̂ y k? razona tu respuesta. 17. ¿Qué tipos de producto se pueden obtener al multiplicar dos vectores? 18. ¿Puede ser un producto escalar de dos vectores una cantidad negativa? 19. Si ⃗A  B⃗ = 0, a) ¿tiene que ser necesariamente cero uno de ellos?, b) ¿es posible obtener ese resultado si ninguno de los dos es cero? explicar.

⃗ = 0, a) ¿tiene que ser necesariamente cero uno de ellos?, b) ¿es posible obtener ese 20. Si ⃗A • B resultado si ninguno de los dos es cero? explicar. 21. Después de estudiar la suma, la resta y la multiplicación de vectores ¿por qué será que no hemos estudiado la división entre vectores?

⃗ y B⃗ son vectores distintos de cero, ¿es posible que A ⃗ • B⃗ y A ⃗  ⃗B sean cero? 22. Si A 23. ¿Qué resultado se obtiene al efectuar las siguientes operaciones ⃗ a) ⃗A • A ⃗? b) ⃗A  A 24. Indique cuales de las siguientes son operaciones matemáticas correctas: ⃗ •  B⃗ • C⃗  a) A ⃗ − B⃗ ) ⃗C b) ( A c) ⃗A •  B⃗  ⃗C  ⃗  B⃗  ⃗C  d) A ⃗ • C⃗  e) ⃗A  B ⃗  

25. Sea ⃗A cualquier vector distinto de cero. ¿Por qué es un vector unitario? ¿Qué dirección tiene?

⃗  C⃗ y  A⃗  B⃗  C⃗. De un ejemplo que 26. Considere los dos productos vectoriales sucesivos ⃗A   B ilustre la regla general de que estos dos productos no tienen la misma magnitud ni la misma dirección ¿puede escoger los vectores ⃗A, ⃗B y ⃗C de modo que estos dos productos vectoriales si sean iguales? Si puede, de un ejemplo. 27. Explique el procedimiento para calcular el ángulo entre dos vectores.

⃗ diferente de cero. Si A ⃗ • ̂ = 0 y A ⃗ • k = 0 ¿qué puede usted concluir acerca 28. Se tiene un vector A de la dirección del vector ⃗A? ⃗ • 5B⃗? 29. El producto punto de dos vectores ⃗A y ⃗B es −2. ¿Cuál es el resultado de 2A 30. ¿Es el vector  ̂ + ̂ + k  un vector unitario? Justifique su respuesta. 31. ¿Puede un vector unitario tener una componente con magnitud mayor que la unidad? 6



32. ¿Puede un vector unitario tener alguna componente negativa? 33. ¿Puede tener un vector una magnitud igual a cero si dos de sus componentes no son cero?

D - PROBLEMAS PROPUESTOS Contenido 1.2 Simbología y representación gráfica de vectores.

⃗ ⃗ y  mostrados en la figura de abajo: a) por medio de sus componentes 1. Represente los vectores , rectangulares, b) indicando su magnitud y dirección.

⃗ y ⃗ mostrados en la figura de abajo por medio de sus componentes 2. Represente los vectores  rectangulares.

Contenido 1.4 Suma de vectores: Método gráfico. 3. Considere dos desplazamientos, uno de magnitud 4 m y otro de magnitud 3 m, Usted puede asignarles a cada uno la dirección que desee. Muestre gráficamente como pueden combinarse los vectores mencionados para obtener un desplazamiento resultante de magnitud (a) 7 m, (b) 1 m, y (c) 5 m. 4. Un vector ⃗A tiene 7 unidades de longitud y apunta hacia el este. Un vector ⃗B tiene 4 unidades de longitud y apunta en la dirección 30° al este del norte. Use el método gráfico para encontrar la magnitud y dirección de los vectores: (a) ⃗A + B⃗ y (b) ⃗A − B⃗ 7



5. Es día de elecciones en El Salvador y un periodista aborda un helicóptero en el aeropuerto de Ilopango para dirigirse a la ciudad de San Miguel; recorre 108 km con rumbo 12.6° al sur del este y hace un video de la concurrencia en los centros de votación de esa ciudad oriental. A continuación, se dirige hacia la ciudad de Santa Ana; para esto se desplaza 164 km con rumbo 20° al norte del oeste. Haga un diagrama vectorial a escala con las direcciones dadas y encuentre la posición de la ciudad de Santa Ana con respecto al aeropuerto de Ilopango. 6. Se realizaron tres desplazamientos ⃗A, B⃗ y ⃗C con magnitudes respectivamente de 40 m a 30° al oeste del norte, 80 m a 30° al este del norte y 30 m al norte. Dibuje a escala estos vectores y encuentre el ⃗ + B⃗ + C⃗ gráficamente. vector resultante S⃗ = A 7. Una fuerza ⃗F hace un ángulo de 45  a la derecha de la vertical, otra fuerza ⃗F hace un ángulo de 30  a la izquierda de la vertical. La magnitud del vector suma de F⃗ y F⃗ es de 20 N, verticalmente hacia arriba. Determinar los módulos de los vectores ⃗F y ⃗F . Contenido 1.5 Suma de vectores: Método trigonométrico 8. Resolver por el método trigonométrico los problemas 3 y 5 del contenido anterior. Contenido 1.6 Componentes rectangulares 9. Suponga que una persona sube una montaña rusa formada por un segmento de recta de 20.0 m y un semicírculo de radio 15.0 m, como se muestra en la figura. Determine el desplazamiento de la persona, desde que inicia en S hasta que se encuentra en T, que es la cumbre de la montaña.

10. Dados los vectores ⃗A, B⃗ y ⃗C tal como se muestran en la figura siguiente, donde: A = 10 m, B = 20 m y C = 15 m. Determinar por el método de componentes rectangulares la resultante de sumar ⃗ + B⃗ + C⃗. los vectores S⃗ = A

8



11. Una partícula tiene tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.0 m hacia el suroeste, 5.0 m hacia el este, 6.0 m en una dirección a 60  al norte del este. Seleccione el eje Y apuntando hacia el norte y el eje X apuntando al este y determine: a) Las componentes rectangulares de cada desplazamiento y del desplazamiento total. b) La magnitud y dirección del desplazamiento resultante. c) El desplazamiento que se necesitaría para regresar la partícula al punto de partida.

⃗, ⃗ y  , tal como se muestran en la figura siguiente, donde A = 40 m, 12. Dados los vectores  B = 25 m y C = 30 m. Determinar por el método de componentes rectangulares la resultante de sumar ⃗ ,  ⃗ y  los vectores 

13. Una persona va por un camino siguiendo la trayectoria desde el punto 0 hasta el punto F, como se aprecia en la figura. El recorrido total consta de cuatro trayectorias rectas. ¿Cuál es el desplazamiento resultante de la persona, midiéndose desde el punto de salida 0 hasta el final del camino, F?

9



14. Una persona camina del punto A al punto B como se indica en la figura siguiente, ¿cuál es el desplazamiento de esa persona en relación con A?, ¿qué distancia caminó?

⃗ y ⃗ tienen magnitudes iguales a 12 unidades. Se encuentran orientados como se 15. Dos vectores,  indica en la figura y su vector suma es ⃗. Determinar los resultados de las siguientes operaciones: ⃗ a) Las componentes X y Y de  b) La magnitud del vector ⃗ ⃗ forma con el eje x. c) El ángulo que 

16. Un elemento estructural se carga de la forma que se muestra en la figura. Determine la magnitud F y la dirección θ de la fuerza F de tal forma que la resultante de las tres fuerzas que actúan sobre la argolla sea igual a cero.

10



Contenidos 1.7 Producto de un vector por un escalar 1.8 Definición de vector unitario 17. A una cuerda se le aplica una tensión T⃗ de magnitud 50 N. La cuerda pasa por los puntos A (1, 2) m y B (4, 6) m. Encuentre: a) El vector posición de B con respecto a A. b) El vector unitario dirigido de A hacia B. c) La expresión vectorial de la tensión, utilizando los vectores unitarios ̂ y ̂. d) Usando una escala adecuada, haga una figura mostrando los tres vectores.

⃗ tiene componentes en los ejes x, y, z de 8, 12 y −6 unidades respectivamente. 18. El vector  a) Escriba una expresión vectorial para ⃗A, en términos de los vectores unitarios. b) Obtenga, en términos de los vectores unitarios, una expresión para un vector ⃗B cuya magnitud sea ⃗ y que tenga la misma dirección de A ⃗. la cuarta parte de A c) Obtenga una expresión, en términos de los vectores unitarios, para un vector ⃗C que tenga tres ⃗ y apunte en dirección contraria a éste. veces la magnitud de A 19. Si ⃗A = a  3.0 ̂ + 4.0 ̂ , donde a es una constante, determine el valor de a que convierte a ⃗A en un vector unitario.

⃗ mostrada en la figura tiene un valor de 20.0 m determinar: 20. La magnitud del vector  a) las componentes rectangulares del vector ⃗ b) Calcular el vector unitario del vector 

Contenido 1.9 Suma de vectores expresados con vectores unitarios

⃗ = 3 ̂ − ̂ + 6 k , B⃗ = 15 ̂ + 12 ̂ − k y ⃗C = ̂ + 3 ̂ − 12 k . 21. Dados los vectores: A a) Encontrar la magnitud de cada vector. b) Determinar el vector unitario en la dirección de cada uno de ellos. ⃗ = 3 ̂ + 4 ̂ , B⃗ = 2 ̂ − 2 ̂ + 4 k , y C⃗ = − ̂ + 5 ̂ − 3 k Demuestre que la suma 22. Se tienen 3 vectores: A de los tres vectores se puede calcular empleando varias alternativas, por ejemplo sumando primero ⃗A y ⃗B, y a la resultante sumarle ⃗C; o bien sumando primero ⃗B y ⃗C y a la resultante sumarle ⃗A. 11



⃗ = 4 ̂ − 2 ̂ y B⃗ = − ̂ − 4 ̂ . Determinar los resultados de: 23. Se tienen dos vectores A a) ⃗A + B⃗ ⃗ − B⃗ b) A ⃗ − 5 B⃗ c) 3 A ⃗ − 5 ⃗B| d) |3 A ⃗ − 3 B⃗ + C⃗ = 0. e) Encontrar un vector ⃗C tal que 2 A 24. Suponga que se tienen los siguientes vectores: ⃗A = 3 ̂ + 4 ̂ , B⃗ = 2 ̂ + 3 ̂ + 3 k , C⃗ = ̂ − 2 k , y ⃗D = −6 ̂ − 4 k . Determine los vectores resultantes de operar: ⃗ −D ⃗ ⃗  A⃗ + B⃗ + C⃗ + D b) A ⃗ ⃗ − B⃗  A⃗ + D d) ⃗D − A 25. Tres vectores están dados por ⃗A = 2.0 ̂ + 3.0 ̂, ⃗B = 1.0 ̂ + 5.0 ̂ y ⃗C = −1.0 ̂ − 2 ̂ . Encuentre las ⃗ + c2B⃗ = C⃗ constantes c1 y c2 tal que c1A 26. Un consultor internacional sobre energías renovables aterriza en el aeropuerto "Monseñor Oscar Arnulfo Romero" e inmediatamente toma un helicóptero en dirección a la central hidroeléctrica "Guajoyo" viajando 99 km, 28° al oeste del norte. Luego de dos horas regresa al helicóptero para dirigirse a la central hidroeléctrica "5 de Noviembre" viajando 84 km, 72° al este del sur. a) Ilustre gráficamente (no a escala) la suma de los desplazamientos, con la dirección dada de cada uno. b) Calcule por el método trigonométrico la magnitud de la suma de los dos desplazamientos. c) Si usted fuera el piloto del helicóptero, calcule el vector desplazamiento para llevar al consultor de nuevo al aeropuerto internacional desde la central "5 de noviembre". Contenido 1.10 Productos de vectores 27. Demuestre que el ángulo comprendido entre los vectores ⃗A = ̂ + 2̂ + k y el vector ⃗ = 2 ̂ + 5 ̂ + 5 k B⃗ = 2 ̂ + ̂ − k , es el doble del ángulo comprendido entre C⃗ = ̂ + 4 ̂ + k y D 28. Tres vectores suman cero, tal como se muestra en el triángulo de la siguiente figura, los números dentro del triángulo representan las magnitudes de cada vector. Calcule:

⃗ • B⃗ aA  B⃗  ⃗C ⃗  C⃗ • A

29. Dados los vectores: ⃗C = 2 ̂ + k , ⃗D = 5 ̂ + ̂ + k , ⃗E = 2 ̂ − ̂ + 3 k y ⃗F = 4 ̂ + 2 k . Calcular: ⃗ a) ⃗C • D b) El ángulo entre ⃗D y ⃗E c ⃗C  ⃗E, efectuando el producto entre los vectores unitarios. d F⃗  ⃗D, utilizando determinantes. 12



⃗ dado por la expresión A ⃗ = 3 ̂ + 6 ̂ . Admitiendo que existe un vector 30. Considere un vector A ⃗B = B ̂ + B  ̂, tal que ⃗A • B⃗ = 3 y ⃗A  ⃗B = 3 k, halle las componentes B x y By del vector ⃗B. 31. Se tiene un vector ⃗A con la magnitud de 10 unidades y otro ⃗B con la magnitud de 6 unidades ⃗ • B⃗ y b) A ⃗  ⃗B cuyas direcciones difieren en 60 . Determinar: a) A 32. Dados el vector ⃗A con 10 unidades de magnitud, tal como se muestra en la figura; y el vector ⃗B = −6 i − 8 j, que no se muestra. Calcular: a) Las componentes horizontal y vertical del vector ⃗A. ⃗ + B⃗. b) El vector suma S⃗ = A c) |S⃗| y el ángulo  que forma éste con el semieje positivo de las x. ⃗ • B⃗ y d) El producto A e) El producto vectorial ⃗A  ⃗B.

⃗ = i cos ωt + j sen ωt, donde ω es constante, t es el tiempo (variable 33. Un vector se expresa como A independiente), i y j son los vectores unitarios, constantes en magnitud y dirección. Demuestre que ⃗ /dt es un vector perpendicular a ⃗A. dA 34. Dos vectores ⃗A = 5.0 i − 2.0 j + 3 k y ⃗B = Bx i + 3.0 j + Bz k , tienen un producto vectorial ⃗C = A⃗ x B⃗ = 2.0 j + Cz k, encuentre los valores de Bx , B y C. 35. La figura muestra la posición en el espacio del plano triangular ABC, las unidades de los ejes coordenados está en metros; convirtiendo dos lados del plano a vectores, calcule la magnitud de su área utilizando el producto vectorial.

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36. Pedro, estudiante de ingeniería, trabaja para un famoso arquitecto, quien está diseñando una fachada para un nuevo edificio; éste llevará en lo alto tres vigas formando un triángulo. Las ⃗ = (- 4  ̂ + 2  ̂ - 4) m , direcciones en el espacio de dos de las vigas son ⃗ = (8  ̂ -  ̂ + 4 ) m , y  ayúdele a Pedro a encontrar el ángulo entre ambas vigas. 37. El arquitecto del problema anterior desea colocar una lámina de acero inoxidable para llenar el área del triángulo formado por las vigas antes mencionadas, calcule esa área en m 2 utilizando la siguiente ecuación: Área = ⃗ X ⃗ /2, donde las barras verticales en la ecuación representan el valor absoluto de la cantidad resultante. 38. Dados los vectores v y u mostrados gráficamente en la siguiente figura, encuentre por medio del producto escalar: a) el ángulo entre v y el eje -y, b) el ángulo entre el eje x y u, c) el ángulo entre u y v, d) el ángulo entre u y el eje +y.

39. Encuentre el ángulo entre las dos líneas mostradas en la figura de abajo.

40. Tres vectores están dados por: ⃗A = 3 i + 3 j − 2 k , ⃗B = − i − 4 j + 2 k y ⃗C = 2 i + 2 j + k. Determinar: ⃗ y B⃗ a) El ángulo entre A b) El ángulo entre ⃗A y ⃗C ⃗ •  ⃗B  ⃗C  c) A d) ⃗A •  B⃗ + C⃗  14



⃗ de 50 N de magnitud, calcule 41. La palanca mostrada es de 3.00 m de largo y se le aplica una fuerza  el torque  efectuado sobre el origen P, por medio del producto vectorial  ⃗ X ⃗

E- PROBLEMA RESUELTO A una columna de concreto se le aplican las fuerzas de la forma mostrada en la figura. Exprese cada una de las tres fuerzas que actúan sobre la columna por medio de sus componentes rectangulares y calcule la magnitud de la fuerza resultante.

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SOLUCIÓN Hay que determinar las componentes rectangulares de cada uno de los vectores F⃗ , F⃗ y F⃗ , dibujando los vectores en un sistema de coordenadas rectangulares, tal como se muestra en la figura adyacente.

Observando la figura las componentes rectangulares de ⃗F son: F1x = F1 (3/5) = (150 N )( 3/5) = 90.0 N F1Y = - F1 (4/5) = - (150 N)(4/5) = - 120.0 N Las componentes rectangulares de F⃗ son: F2x = 0 N F2Y = - 275 N Las componentes rectangulares de ⃗F son: F3X = - F3 cos 60° = - 75 cos 60° = - 37.5 N F3y = - F3 sen 60° = - 75 sen 60° = - 65.0 N Hay que determinar las componentes rectangulares de la fuerza total F Rx y FRy FRx = F1x + F2x + F3x = 90.0 N – 37.5 N = 52.5 N FRy = F1y + F2y + F3y = - 120.0 N – 275 N – 65.0 N = - 460.0 N La magnitud de la fuerza total se calcula utilizando el teorema de Pitágoras: FR =

F Rx

2



F Ry

2



 52.5

2

2



 460  =

214,356.25



463.0 N

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