TEMA: PRUEBA DE HIPÓTESIS 1. Ejercicio Ejercicio 01 Al estudiar si conviene tener o no una sucursal en la ciudad de Trujillo, la gerencia de una gran tienda comercial de Lima, establece el siguiente criterio para tomar una decisión: Abrir la sucursal sólo si el ingreso promedio familiar mensual en dicha ciudad es no menos de $ 500 y no abrirla en caso contrario !i una muestra aleatoria aleatoria de "00 ingresos familiares familiares de esa ciudad ha dado una media de $ #0 %&u'l es la decisión a tomar al nivel de significancia del 5(), !e sabe *ue la distribución de los ingresos tiene una desviación est'ndar poblacional es igual a $ 0 n =100 x´ =480 σ = 80
H 0 : μ ≥ 500 ( se abrela abrela sucur sucursal sal ) H 1 : μ < 500 ( no se abr abre la sucu sucursa rsall ) z α = z 0.05=−1.64 ( tabular )
α al 5% ≈ 0.05
x´ − μ 0 480−500 −20 −20 = = = =−2.5 Z 0 = 80 / 10 8 100 σ / √ n 80 / √ 100 Decisión estadística: Como
Z 0 =−2.5 < Z α =−1.64 ∈ ala Regiónde Regiónde RECHAZO RECHAZO
Conclusión: Se
rechaza la Hipótesis nula, y se acepta la Alternativa, es decir, se aconseja no abrir una sucursal en la ciudad.
2. Ejercicio Ejercicio 02 !e sabe sabe *ue *ue la dura duraci ción ón en hora horas, s, de un foco foco de +5 att atts s tien tiene e una una distribució distribución n aproapro-imad imadame amente nte normal, normal, con una desviació desviación n est'ndar est'ndar de .5 horas !e toma una muestra aleatoria de .0 focos, la cual resulta tener una duraci duración ón prom promedi edio o de x´ =1014 horas %!e tiene evidencia estad/stica para decir *ue la duración promedio de todos los focos de +5 atts es de 5" horas) ruebe con un nivel de significancia de 005 n =20 x´ =1014 σ = 25 α al 5% ≈ 0.05
H 0 : μ =51 horas H 1 : μ ≠ 51 horas por ser de 2 colas
z
1−
α 2
= z
1−
0.05
= Z
0.975 0.975
=1.96 (tabular )
2
x´ − μ 0 1014 −51 = = 963 =172.3 Z 0 = 25 / √ 20 20 25 / √ 20 20 σ / √ n Decisión estadística: Como Conclusión: Se
Z 0 =172.3 > Z α =1.96 ∈ a la Regi Regiónde ónde RECH RECHAZ AZO O
rechaza la Hipótesis nula, y se acepta la Alternativa, es decir, se evidencia que la duración promedio del foco es diferente a 5 horas al 5! de si"nificación.
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3. Ejercicios 03 1l productor de cierta marca de bater/as para c'mara, fotogr'fica dice *ue su producción tiene vida media de m's de +50 minutos !e prueban .0 bater/as elegidas al a2ar y s3 suministraron los siguientes resultados: +.0, +54, +., +#0, +5#, +.5, +40, +"4, ++5, +00, +#5, +50, +5, +0, +0, +"0, ++5, +., +0., +5. !uponiendo normalidad, con estos datos podr/amos contrastar lo *ue dice el productor, con un nivel de confian2a, del 44() n =20
H 0 : μ 750 !inutos H 1 : μ > 750 !inutos
x´ =741.5 δ =25.54
!i 60 es verdadera, la estad/stica se distribuye seg7n una t8student con 9n8 ";"4 grados de libertad Z al 99% ---> α al 10% ≈ 0.1 t α" ( n−1)=t 0.1 " (20−1) =t 0.1 " 19=1.328 ( tabular ) x´ − μ 0 741.5 −750 −8.5 = = =−1.488 t 0= δ / √ n 25.24 / √ 20 25.24 / √ 20 Decisión estadística:
Como
t 0=−1.488< t α # ( n
−1
)=1.328 ∈ a la Regiónde $O RECHAZO
Conclusión: Se
acepta la Hipótesis nula, es decir, que se evidencia que la vida media de las bater#as es de m$s de %5& minutos al ! de si"nificación.
4. Ejercicios 04 !e ha afirmado *ue por lo menos el <0 ( de los alumnos de primero y segundo ciclo de =ngenier/a =ndustrial prefieren estudiar a partir de las dos de la madrugada !i # de una muestra de alumnos de primero y segundo ciclo de n;"# tomadas al a2ar, afirman estudiar a partir de las dos de la madrugada, pruebe con un nivel de significancia del 5 ( si se debe aceptar la hipótesis nula p>0<0 contra la hipótesis alternativa p?0<0 x = 4 n= 14
%=
´ − %0 %
14
= 0.286
H 0 : % ≥ 60 H 1 : % < 60
z α = z 0.05=−1.64 ( tabular )
α al 5% ≈ 0.05
Z 0 =
4
−0.6 −0.314 = =−2.398 √ % ( 1− % )/ n √ 0.6 ( 1 −0.6 )/ 14 √ 0.017 0
=
0.286
0
Decisión estadística: Como
Z 0 =−2.398 > Z α =−1.64 ∈ ala Regiónde RECHAZO
Conclusión: Se
rechaza la Hipótesis nula, y se acepta la Alternativa, es decir, se evidencia que menos del '&! prefieren estudiar a partir de las ( de la madru"ada.
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5. Ejercicios 05 @n art/culo publicado por ecBer et al en la revista American )ournal of Health *romotion describe el desarrollo de una herramienta para medir las barreras para promover la salud entre personas discapacitadas Los autores afirman *ue los problemas de barreras sobresalen especialmente de personas discapacitadas *ue las e-perimentan en situaciones como: empleo, transporte, alojamiento, educación, seguros de vida, acceso ar*uitect
Muestr Ciscapacitadas 9C Do discapacitadas 9DC
T!"o #e !uestr
x´
σ
". "+
" .50+
+4 #0
!e pretende saber si es posible concluir, con base en estos resultados, *ue, en general, las personas con discapacidad, en promedio, califican m's alto en la escala de barreras H 0 : μ & − μ $& 0 H 1 : μ &− μ $& > 0
z 1−α = z1−0.01= z0.99 =2.33 ( tabular )
α al 1% ≈ 0.01
Z 0 =
( x´ &− x´ $& ) −( μ & − μ $& ) √ σ / n + σ / n 2 1
Z 0 =
2
1
2
6.76
√ 0.476 + 0.168
2
=
H 0 : μ & μ $& H 1 : μ & > μ $&
( 31.83−25.07 )−( 0) √ (7.93 ) / 132 +( 4.8 ) /137 2
2
=8.42
Decisión estadística: Como
Z 0 =8.42 > Z α =2.33 ∈ a la Región de RECHAZO
Conclusión: Se
rechaza la Hipótesis nula, y se acepta la Alternativa, es decir, se evidencia que en promedio las personas con discapacidad califican m$s alto en la escala de barreras que las personas sin discapacidad.
$. Ejercicios 0$ revio a una elección la senadora E contrata los servicios de la compaF/a G para fijar la contienda establecida con los electores 1lla percibe con respecto Estadística Aplicada
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a este punto *ue si tiene el #5( de los votos ser' nominada de acuerdo con su estrategia de campaFa
!uponiendo *ue la compaF/a contratada selecciona una muestra aleatoria simple de "<00 electores registrados %&u'l es la probabilidad de *ue la muestra pueda producir una proporción de #5( m's dado *ue la verdadera proporción es del #0()
´ =0.45 % %=0.40 n= 1600
H 0 : % 45 H 1 : % > 45
' ( % > 0.45 )=0
Z 0 =
´ − %0 %
−0.4 0.05 = =4.08 ( − )/ 0 .4 1 0.4 1600 0 .00015 ( − )/ 1 √ % % n √ √ 0
=
0.45
0
Decisión estadística: Como
Z 0 =4.08 ∈ ala Región de RECHAZO
Conclusión: Se
rechaza la Hipótesis nula, y se acepta la Alternativa, es decir, que la probabilidad de que la muestra pueda producir una proporción de +5! m$s dado que la verdadera proporción es del +&! es i"ual a &!.
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