Li Lic. R R.. W W ild er P AC H EC ECO M . P A P AC
P
O C
r o
f :
E H P A C
- 1
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
P
E
f : P A C H
r o
O C
Rómulo Wilder PACHECO MODESTO Ediciones G & L Gustavo PACHECO HUAYANAY Repaso CEPREVAL © CEPREVAL Ciclo C 2015 Primera edición: enero de 2015
- 2
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
1.
Si: a ∗ b = (log 2 a) + (log 2 b)
Calcula: E
Observamos que la regla de definición no depende del segundo elemento (n), es decir
= 32∗ 4
A) 64
∆ (3 ∆ (4 ∆ M = 1 ∆ [2 (... (99 ∆ 100)... )))]
B) 3
n
C) 9
D) 27
M =1 ∆ n
E) 720
M = 12
→
+4
M=5
Sabemos que log a + log b = log a × b , entonces a ∗ b = log 2 a × b 3.
Efectuando
E
Si definimos:
x#y=x+y–1
= 32∗ 4
E = 3
log
E = 3
log
a ∆ b = 2a + b
2
E = 3 3
Halla “x” en:
8
2
(4x) ∆ 4 = 10 # (8 ∆ x)
23
→
E = 27
P
r o
f :
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3 O C
E) 4
E H P A C
Efectuando de acuerdo a la regla de definición de 2.
Si: m ∆ n = (m − n)2
+ 2mn − n 2 + 4
cada operador
Calcula
8x + 4
M = 1 ∆ [2 ∆ (3 ∆ (4 ∆ (... (99 ∆ 100)... )))] B) 6
D) 3
10 # (16 + x)
8x + 4 A) 7
=
C) 5
7x
E) 9
= 10 + (16 + x) − 1 = 21 →
x = 3
Reduciendo previamente términos de la regla de 4.
definición (m − n) 2
m∆n =
+ 2mn − n 2 + 4
m ∆ n = m2
− 2mn + n 2 + 2mn − n 2 + 4
m ∆ n = m2
+4
Si:
P(nx )
= Q(x) + n
Q(x)
= x 2 − 4x + 3
y
P (−2 2) + P (−1 )3 Halla: Z = P −2 + P−3 (1 )
(2)
- 3
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
A) 3/4
B) 4/5
C) 1
D) – 1
Luego, analizando lo que nos pide
E) 6 2+1
1 cuadrado
2
=
2 cuadrados
2
=
3 cuadrados
2
=
2
=
2
=
3
= 3 +1 = 2 3 −1
2−1
=3
De las operaciones, se deduce P(nx)
= x 2 − 4x + 3 + n
= 3 +1 = 2 3 −1
3
Analizando por partes
•
P(−22)
= 2 2 − 4(2) + 3 − 2
→
P(−22)
= −3
•
P(−1)3
= 12 − 4(1) + 3 − 3
→
P(−1)3
= −3
4 cuadrados
•
P(−1)2
= 12 − 4(1) + 3 − 2
→
P(−1)2
= −2
P(−23)
= 2 2 − 4(2) + 3 − 3
P(−23)
= −4
•
→
2 +1 2−1
Se observa que cada 2 cuadrados el resultado es 2, como hay 152 cuadrados (es par), entonces el resultado será 2.
Reemplazando
Z
=
P(−22)
+ P(−1)3
−3−3 −6 = = −2−4 −6 P(−1)2 + P(−23)
→
P 5.
Si:
m
=
(m + 1)2 m
2
−1
Z = 1
6.
Se define:
O C
E
f : P A C H
r o
, calcula el valor de:
→
2
1 2
= 0,125
5 3
= 2,7
2 5
=
16 625
E=
3
+
152 cuadrados
Calcula: A) 5
B) 1
D) 3
2
C) 2 E) 4
A) 60
B) 59
D) 49
C) 58 E) 57
Observamos que se puede reducir términos en la regla de definición m m
- 4
= =
(m + 1)(m + 1) (m + 1)(m − 1) m +1 m −1
=3
Analizando el número de operadores
2 operadores
1 2
3
1 1 = = 8 2
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
A) 2
B) – 2
C) 0
D) 1
1 operador
E) – 1
2
25 5 = = 9 3
5 3
Asumiendo que x
−1+ 2 = (−1)1997 +
3 operadores 4
16 2 = = 625 5
2 5
= −1 , se tiene
Se observa que el número que va dentro del operador esta elevado al número de operadores
1 (−1)1998
1 1
1
= −1 +
1
= −1 + 1
→
=0
1
aumentado en 1 E=
3
+
= 33
2
+
25 = 59
9.
Si: a ∗ b = 3a − 2b 2
Halla: T 7.
Si: m ♠ n = p + 1
Calcula “x” en: A) 6
⇔
mp = n – 1
Despejando “p” de: mp = n − 1
E) 6
n −1 E r po = H f : mP A C
P
→
T2
O C
n −1 + 1 , entonces m
T2
=2
T2 3T 2
→
9∗ 9
x+2
= x 1997 +
1
x = 5
10.
Si:
Calcula:
1
∞
= 9∗T
= 3(9) − 2T 2 →
= 27
T = 3
N = 2N + 6; N > 0 ; además:
−6
= 66
2x
x 1998
A) 12 Halla: E =
9 ∗ ......
x2 Si:
∗
Por definición
x −1 2
= 9∗
T
x −1 10 − 1 +1+ +1 = 7 2 3
8.
C) 2
Elevando al cuadrado
(2♠x) + (3♠10) = 7
B) 1
D) 4
E) 8
m ♠ n =
∞
C) 7
D) 4
Se tiene
9 ∗ 9 ∗ 9 ∗ ......
A) 3
(2♠x) + (3♠10) = 7 B) 5
=
D) 24
B) 14
C) 22 E) 18 - 5
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
Interpretando la definición
N
= 2N + 6
z = 2 − 1
De ahí
−6 ; ÷ 2 x2
Entonces
−6
−6 ; ÷ 2 x2
−6
Si: P(x + 5) = x 2
12.
= 66
+ 11x + 30 , además
P(P(y)) = 930 Halla “y”.
= 30 −6 ; ÷ 2
A) 5
B) 1
C) 2
D) 3 x2
−6
E) 4
= 12 −6 ; ÷ 2 Factorizando el segundo miembro
De ahí
x2
− 6= 3
P(x + 5) = (x + 5)(x + 6)
x2 = 9
→
x = 3
iguales
Observamos que el valor del operador P está
∴
2x = 6 = 2(6)+6 = 18
dado por el producto de 2 números consecutivos P( P(y) ) = 930 = 30(31)
Luego 11.
Se define:
x −1
= x2
P(y) = 30 = 5(6)
Halla “z” en: z A) 3 D)
E r o H C f : P A
P
= 100
B) 2 2
Interpretando la definición
C)
3
E)
2 − 1
x −1
z
13.
definimos el operador Θ de la siguiente manera:
1 a + b , si ab > 0 a Θ b = − ( a + b ) , si ab ≤ 0 Halla r1
=9
B) 1/50 C) 1/40
=2
D) 1/20 ; −1
- 6
(r2
Θ
r3), sabiendo que (r1
(2x − 1)(2x 2 A) 1/10
; −1
z
Θ
son las raíces de la ecuación:
= 100 ; −1
z
y=5
En el conjunto de los números reales
= x2 ; −1
Entonces
O
Comparando C
E) 1/30
− 3x − 2) = 0
< r2 < r3 )
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
Factorizando la ecuación (2x − 1)(2x 2
2x = x 2
De la definición
− 3x − 2) = 0
2x
1
8m
Entonces
−2
x
(2x − 1)(2x + 1)(x − 2) = 0
= 36
2 3m = 6 2
→
3m = 6 m = 2
De ahí
Luego
−1
r1
=
r2
=
r3
=2
2
Reemplazando
1 2
2 m 2m
r1 Θ (r2 Θ r3) =
Como ab > 0
=
Como ab ≤ 0
− 1 Θ 1 Θ 2 2 2 − 1 Θ 1 1 2 + 2 2
=
− 1 Θ 2 2 5
=
1 2 − − + 2 5
=
14.
Si:
2x
2(2)2(2) = 2 5
Se define (a ∗ b)2
= 5 2 = 25
= b∗a
Calcula: A = 1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 4 +…..+ 99 ∗ 100 A) 100
B) 92
C) 99
D) 64
E) 45
De la expresión dada
O C
(a ∗ b)2
= b∗a
… (1)
(b ∗ a) 2
= a∗b
… (2)
E r o H Cambiamos el orden de los elementos f : P A C P
=
15.
→
1 − − 10 1 10
Reemplazando (1) en (2)
= x2
((a ∗ b)2 ) 2
= a∗b
(a ∗ b)4
= a∗b
(a ∗ b)3
=1
→
a∗b =1
Luego 8m
Calcula:
2m
= 36
A = 1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 4 + ….. + 99 ∗ 100 A = 1 + 1 + 1 +….. + 1
2m
99 veces
A = 99
A) 32 D) 25
B) 16
C) 49 E) 36
- 7
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
16.
Se define x ∗ y 2
18.
= 2(y ∗ x 2 ) − xy
Calcula: A = 15 * 9 A) 100
Si:
5 + 3 = 10
n
B) 92
1 + 2
5
5
n
5 − 3 + 10
n
1 − 2
5
1 − 2
5
C) 99
D) 64
E) 45
Halla:
2 –
1
A) 1 Por definición
B) 2
C) 3
D) 4
x ∗ y2
5
= 2(y ∗ x 2 ) − xy
E) 5
… (1)
Por analogía
Analizando por partes
y ∗x2
= 2(x ∗ y 2 ) − yx
… (2) Cálculo de 2
Reemplazando (2) en (1) x∗y
2
x∗y
2
2
= 4(x ∗ y ) − 2xy − xy
Reduciendo términos tenemos x ∗ y 2
Piden
2
5
1 + 2
5
5 − 3 + 10
2
5 + 3 = 10
5
3 + 2
5
5 − 3 + 10
2
=
5
− 14
2
=
= 2[ 2(x ∗ y ) − xy ] − xy 2
A = 15 ∗ 9 = 15 ∗ 3 2
= xy
= 15(3) = 45
2
5 + 3 = 10
30
+ 14 20
+
30
5
2
5
3 − 2
5
5
1 − 2
5
5
20
3
O C
Cálculo de 1
P 17.
Sabiendo que:
a
b
c
d
= ad − bc ,
E
f : P A C H
r o
1
5 + 3 = 10
5
1
=
20
+8
5
1
=
2
halla “x”
20
en:
A) 1
3x
−1
8
2
=
5
−4
3
x
B) 2
C) 3
D) 4
+
20
5
5 − 3 + 10
−8
5
20
∴
2 – 1 =3–2=1
19.
Si “∗” es un operador que transforma a y b
E) 5
Efectuando según la regla de definición 6x − (−8) = 5x − (−12) 6x + 8
= 5x + 12 x = 4
según la regla: a ∗ b = a! (b – 1)! Calcula: E
A) a D) ab - 8
1 + 2
=
a*b+ b*a (a
− 1) * (b − 1) B) b
C) (b − 1)(a + b) E) b − 1
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
B) a 8
A) a Según la definición se tiene E
E
= =
D) a 2
E) a 4
a! (b − 1)! + b! (a − 1)! (a − 1)! (b − 2)! Efectuando según la regla de definición de cada
a(a − 1)! (b − 1)(b − 2)! + b(b − 1)(b − 2)! (a − 1)!
operador
(a − 1)! (b − 2)!
E
Factorizando (a
E E
=
− 1)! (b − 2)!
2 2 = (5 ∆ 3)(3a ∗ 2a )
E = (5
(a − 1)! (b − 2)! [a(b − 1) + b(b − 1) ]
2
E = 16
(a − 1)! (b − 2)!
2 2 2 log 2 (3a − 2a ) −3 )
log
2
a2
2 4 log 2 a E = (2 )
= a(b − 1) + b(b − 1)
E = 2
E
C) a 3
log
2
a8
E = a 8
→
= (b − 1)(a + b) 22.
2 0.
Calcula: E =
Se define la siguiente operación para los
casos:
4
Si:
= 4x + 3 ;
x
x −1
x
= x2 −1
=
x +1
;
= x3
x
Calcula el valor de “m” en la siguiente ecuación: A) 103
B) 80
C) 120
D) 99
E) P 100 r o
f :
O C
E H P A C
m −7
Asumiendo que x = 5 , se tiene
5 −1
= 52 − 1
→
4
= 24
Luego E=
A) 9
=2
B) 10
C) 19
D) 5 4
7
E) 17
= 24 = 4(24) + 3 = 99 Haciendo un cambio de variable
2 1.
Si:
a∆b = a a
2
−b
=
2
∗ b = log 2 (a − b)
x
=
+1 x
+1
→
x
=
x3
+1
2 2 Halla: (5 ∆ 3)(3a ∗ 2a )
- 9
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
24.
Si: A n
Ω A 2 =
7n 6
Halla: 64 Ω 128 m −7
=
28
33
=
+1
A) 2
B) 1
C) 3
D) 5
m −7
=3=
23
E) 4
Transformando las cantidades en función de las
+1
componentes 64
Donde
m−7 = 2
→
m = 9
Ω 128 = 26 Ω 27 =
2 3.
=
Se define la siguiente operación: x
2
= x 2 + 3x ; x ∈ ℜ +
=
Determina el menor valor de n que satisface la
2
6
2
Ω
12
2
7
2
7
7
Ω
2
7
12
2
7
7 Ω
2
7
2
2
ecuación: n2 A) 2
− 2 = 17290
B) – 2
12 ∴ 64 Ω 128 = 7 = 2 6 7
C) 9
D) 15
E) 3
P Interpretando la definición
=
x
E25.
f : P A C H
r o
x (x + 3)
−3
O C Si:
x−4
= 4x
(
x
Además R =
)(
x−4
) −1
Halla la suma de las cifras de R. n2
Entonces
− 2 = 17290 = 130 (133) −3
n2
A) 7
B) 5
D) 10
E) 13
− 2 = 130 = 10 (13) −3
n2
− 2 = 10 =
2 (5)
Piden
R=
−3 De ahí
n2
- 10 -
R
− 2= 2 n2 = 4
C) 12
n=2 n = −2
(menor valor)
=
x x−4 4x+4 4
x
= 44 →
R = 256
∴ Suma de cifras de R = 2 + 5 + 6 = 13
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
∴ 50 @ 18 = 1.
50 2
+ 3(18) + 19 = 98
Se define la operación @ mediante la
siguiente tabla: @
6
7
9
12
2.
8
41
44
50
59
representada mediante la siguiente tabla:
10
42
45
51
60
14
44
47
53
62
22
48
51
57
66
Se
define
Calcula 50 @ 18. A) 77
B) 89
C) 99
D) 98
la
N
operación
∗
1
2
3
4
1
3
5
7
9
2
9
11
13
15
3
15
17
19
21
4
21
23
25
27
∗,
Calcula 94 ∗ 95.
E) 96
A) 564
B) 753
C) 754
D) 749
La regla de definición es de la forma a@b
en
E) 758
= k 1a + k 2 b + k 3 Analizando la tabla
Analizando la tabla 1 1
2
2
@
6
7
9
12
8
41
44
50
59
10 4
1
3
42
6
45
51
9
60
2
14 8
44
47
53
62
51
57
66
∗
3 6 9 = = 1 2 3
3
k2
P
r o
f :
=3
1
1
48
8
=
2 4
=
1
Luego, de la tabla a@b
=
a + 3b + k 3 2
8@6
=
8 2
41
Entonces a @ b
2
7
4 9
2
11
13
15
15
17
19
21
21
23
25
27
=
6 1
k2
=
2 1
=2
=6
a 2
→
a ∗ b
= 6a + 2b + k 3
1 ∗ 1
= 6(1) + 2(1) + k 3
3
+ 3(6) + k 3
= 22 + k 3
=
2
6
2
5
3
9
6
3
3
2
1
Luego, de la tabla
4
6
k1
1 2
k 1 =
1
4
4
22
1
O C 1 2
E H P A C
1
Entonces k 3 = 19
∴
= 8 + k 3
→
k3
= −5
a ∗ b = 6a + 2b − 5
94 ∗ 95 = 6(94) + 2(95) − 5 = 749
+ 3b + 19
- 11 -
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
3.
Halla: 3123 ♣ 1132
Se define:
♥
2
3
4
2
4
3
2
3
7
6
5
4
10
9
8
A) 2023
B) 2223
C) 3023
D) 2323
E) 2003
Efectuando cifra por cifra en forma vertical Calcula: S = (333 ♥ 9) + (344 ♥ 16) 3 ♣ 2 = 1 A) 2006
B) 2004
C) 2005
D) 2002
2 ♣ 3 = 2
E) 2003
1 ♣ 1 = 1 0 se lleva
1 ♣ (3 ♣ 1) = 2
Analizando la tabla 1
♥ 1 1
1
2
2
3
3
4
4
3
-1
-1
6
5
10
9
8
k1 =
3 1
k2
2
7
3
4
3
1
=
−1 1
= −1
3
1
2
3
1
1
3
2
2
0
2
3
♣
∴ 3123 ♣ 1132 = 2023
=3 P
Luego, de la tabla a ♥ b
= 3a − b + k 3
2 ♥ 2
= 3(2) − 2 + k 3
E
f : P A C H
r o
O
5 C .
b = a + b − 7 ; donde
Si a
−1 es el
a
elemento inverso de a. Calcula: E = 3 −1
5 −1
4 Entonces
= 4 + k 3
a ♥ b
→
k 3 = 0
3(333) − 9
- 12 -
C) 11
D) 9
E) 13
Calculando el elemento neutro (e)
3(334)−16
♣
1
2
3
1
10
2
3
2
3
20
2
2
3
a e =a a + e −7 = a
→
e = 7
Calculando el elemento inverso ( a −1 )
Dada la siguiente tabla:
3
B) 17
= 3a − b
∴ S = (333 ♥ 9) + (344 ♥ 16) = 2006
4.
A) 20
30
a −1
=e a + a −1 − 7 = 7 a
Luego
→
3 −1 = 14 − 3 = 11 −1 5 = 14 − 5 = 9
a −1
= 14 − a
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
Piden
E = 3 −1 E = 11
5 −1
Calculando el elemento neutro (e)
9
E = 11 + 9 – 7
→
a∗e=a
E = 13
a +e−4
=a
→
e = 4
Calculando el elemento inverso ( a −1 ) 6.
Si:
Halla:
a
a ∗ a −1
b=a+b+2 2 −1 )
E=(3
3 −1
a + a −1
Si a −1 es el elemento inverso de a. A) – 5
B) – 6
C) – 4
D) – 3
2 −1 = 8 − 2 = 6 −1 6 = 8 − 6 = 2
Piden
E = ( 2 −1 ∗ 4 )−1 ∗ ( 6 −1 ∗ 8 )−1
e =a a +e+2=a
E = ( 6 ∗ 4 )−1 ∗ ( 2 ∗ 8 )−1
→
e
= −2
Calculando el elemento inverso ( a −1 ) a −1
=e a + a −1 + 2 = −2 a
a −1
→
8.
2−1 = −4 − 2 = −6 −1 3 = −4 − 3 = −7
O C
E=(3
3 −1
E=(3
(–6) )
(–7)
E=
–1
E=–1 –7+2
(–7)
→
= 6 −1 ∗ 6 −1
E
= 2∗ 2
E
= 2+ 2−4
∗
1
2
3
4
1
3
5
7
9
2
8
10
12
14
3
13
15
17
19
4
18
20
22
24
E
= −6 B) 4012
D) 14033
C) 14037 E) 14041
Se define: a ∗ b = b + a – 4
Halla: E = ( 2 −1 ∗ 4 )−1 ∗ ( 6 −1 ∗ 8 )−1 Donde a −1 es el elemento inverso de a.
D) 0
E = 0
Calcula: 2005 ∗ 2006 A) 10025
A) 1
→
Se define la operación ∗ mediante la tabla:
E r o H f : P A C
P
2 −1 )
E
= −4 − a
7.
=8−a
E) 1
a
Piden
a −1
→
−4 = 4
Luego
Calculando el elemento neutro (e)
Luego
=e
B) 2
C) 3
Observamos que los elementos del cuerpo de la tabla forman sucesiones lineales, es decir la regla de definición es de la forma a ∗ b
= k 1a + k 2 b + k 3
E) 4
- 13 -
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
Se observa
Observamos que las razones internas y externas son constantes 1
∗ 1
1
1
1
5
2 1
1
2
3
3
5
2
7
2
3
4 k2
9
2
=
2 1
∆
=2
8
10
12
14
4
13
15
17
19
4
20
22
24
4
5
3 1
5
4
18
2
5 1
6
12
5 9
8 6
13
11 6
25
31
25
31
37
43
37
43
49
55
=5 =
12 4
k2
19
19
12
k1
7
3
13
12
13 k1 =
5
1
1
3
=
6 3
=2
=3
Luego, de la tabla a ∗ b
= 5a + 2 b + k 3
1 ∗ 1
= 5(1) + 2(1) + k 3
Luego, de la tabla
3
= 7 + k3
→
k3
= −4
a ∆ b
= 3a + 2b + k 3
1 ∆ 1
= 3(1) + 2(2) + k 3
1 Entonces
a ∗ b = 5 a + 2b − 4
Entonces
∴
2005 ∗ 2006 = 5(2005) + 2(2006) − 4 = 14 033
∴
9.
P
Si:
10.
Sea la operación
∗
definida en el conjunto
2
5
8
11
1
1
7
13
19
5
13
19
25
31
∗
1
2
3
4
9
25
31
37
43
1
4
3
1
2
13
37
43
49
55
2
3
4
2
1
3
1
2
3
4
4
2
1
4
3
B) 794
A = {1, 2, 3, 4} mediante la tabla:
C) 700
Observación: a −1 , es el elemento inverso de a
E) 400
Halla el elemento neutro y 4 −1 + 1−1 .
Analizando los elementos del cuerpo de la tabla se deduce que la regla de definición es de la forma
A) 1; 2 B) 2; 3 C) 3; 4 D) 4; 3
a ∆ b
= −6
O C
∆
D) 800
- 14 -
k3
100 ∆ 200 = 3(100) + 2(200) − 6 = 694
Calcula: M = 100 ∆ 200 A) 694
→
a ∆ b = 3 a + 2b − 6
E
f : P A C H
r o
= 7 + k3
= k 1a + k 2 b + k 3
E) 3; 6
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
Determinando el elemento neutro y los elementos
Luego
inversos
∗
1
2
3
4
1
4
3
1
2
2
3
4
2
1
3
1
2
3
4
4
2
1
4
3
∴
A =
e = 3
12.
∗
1
2
3
4
1
4
3
1
2
2
3
4
2
1
3
1
2
3
4
4
2
1
4
3
8 ∇ 3 = 3(8) + 2(3) = 30 7 ∇ 5 = 3(7) + 2(5) = 31 4 ∇ 8 = 3(4) + 2(8) = 28
4 −1 = 4 −1 1 = 2
Calcula: El elemento neutro es 3 4 −1 + 1−1
(4 ∇ 8)
Se define en
Por lo tanto
• •
(8 ∇ 3) + (7 ∇ 5)
R
=
30 + 31 28
la operación ( ∗ )
1
2
3
4
1
3
4
1
2
2
4
1
2
3
3
1
2
3
4
4
2
3
4
1
[
M = ( 2 − 1 ∗ 3 −1 ) −1 ∗ 4 − 1
B) 2
C) 1/2
D) 0 R
A) 1/5
E) 4
una operación
simbolizada por ∇ de la siguiente manera:
P
O CDeterminando el elemento neutro y los elementos
E H inversos P A C
∇
1
2
3
1
5
7
9
11
2
8
10
12
14
∗
1
2
3
4
3
11
13
15
17
1
3
4
1
2
4
14
16
18
20
2
4
1
2
3
3
1
2
3
4
4
2
3
4
1
∗
1
2
3
4
C) 25/36
1
3
4
1
2
E) 9/22
2
4
1
2
3
3
1
2
3
4
4
2
3
4
1
Calcula: A =
] −1
Donde a −1 es el elemento inverso de a.
=6
Se define en el conjunto
28
∗
A) 1 11.
61
=
4r o
f :
(8 ∇ 3) + (7 ∇ 5)
e = 3
(4 ∇ 8)
B) 61/28
D) 4/27
Analizando filas y columnas en el cuerpo de la tabla se deduce que a
∇ b = 3a + 2b
1 −1
=1 2 −1 = 4 3 −1 = 3 4 −1 = 2
En la expresión
[
M = ( 2 − 1 ∗ 3 −1 ) − 1 ∗ 4 − 1
] −1 - 15 -
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
( 2 ∗ 3 )−1 ∗ x −1
[ ] −1 −1 M = [ 4 −1 ∗ 2 ] M = ( 4 ∗ 3 ) −1 ∗ 2
∗ [ ((4 ∗ 2 ) ∗ 3 ) ∗ 3] −1 = 1 ∗3
4
3
∗
1 2
M = [ 2 ∗ 2 ] −1 M
= 1 −1
3
→
M = 1
(3 −1 ∗ x −1 ) ∗ 2 −1
Entonces
=1
(1 ∗ x −1 ) ∗ 2 = 1 1 ∗ x −1
De la tabla 13.
=1
x −1
Se define en A = {1, 2, 3, 4}
∗
1
2
3
4
1
4
1
2
3
2
1
2
3
4
3
2
3
4
1
4
3
4
1
2
=2 x = 2
14.
Se define en: 72 @ 10 = 56 48 @ 15 = 54
Calcula “x” en:
100 @ 1 = 52
[ ( 2−1 ∗ 3 )−1 ∗ x −1 ] ∗ [ ((4 −1 ∗ 2) ∗ 3 ) ∗ 3] −1 = 1
Calcula 12 @ 40. A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
A) 60
E) 6
o f :
∗
1
2
3
4
1
4
1
2
3
2
1
2
3
4
3
2
3
4
1
4
3
4
1
2
∗
1
2
3
4
1
4
1
2
3
2
1
2
3
4
3
2
3
4
1
4
3
4
1
2
1−1
=3 2 −1 = 2 3 −1 = 1 4 −1 = 4
En la igualdad
[ ( 2−1 ∗ 3 )−1 ∗ x −1 ] ∗ [ ((4 −1 ∗ 2) ∗ 3 ) ∗ 3] −1 = 1 - 16 -
E) 86
O C
E
H P A C
e = 2
C) 63
D) 65
P elementos Determinando el elemento neutro y los r inversos
B) 79
Observamos que 72 @ 10 =
72 2
+ 2(10) = 56
48 @ 15 =
48 2
+ 2(15) = 54
100 @ 1 =
100 2
+ 2(1) = 52
Del cual se deduce que a@b=
∴ 12 @ 40 =
a 2
+ 2b
12 + 2(40) = 86 2
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
15.
Si: # 1 3
3 31
III.
No es una ley de composición interna
IV.
Cumple con la propiedad conmutativa
V.
2 −1 + 3 −1
= 5 −1 ,
siendo a −1 el elemento
inverso de a.
Calcula: K = 1331 # 3133
A) VFVFV
B) VFFVF
C) VFFFF
D) FFFFV A) 13311
B) 31113
E) VVVVV
C) 13331
D) 31131
E) 11331 Analizando cada proposición
Efectuando cifra por cifra en forma vertical El elemento neutro es 1. 1 #3 =3 3 #3 =3 1 se lleva
3 # (3 # 1) = 3 1 se lleva
3 # (1 # 3) = 31
3
3
3
1
3
3
1 #
3
1
3
3
1
1
1
3
∴ 1331 # 3133 = 31113
16.
1
2
3
4
5
1 2
1 2
2 3
3 4
4 5
5 1
3 4
3 4
4 5
5 1
1 2
2 3
5
5
1
2
3
4
e = 1
El elemento inverso de 3 es 4.
P
O C
r o
f :
E H P A C
En el siguiente conjunto M = {1, 2, 3, 4, 5}
se define la operación @ de acuerdo a la tabla
1 2 3
1 1 2 3
2 2 3 4
3 3 4 5
4 4 5 1
5 5 1 2
4 5
4 5
5 1
1 2
2 3
3 4
adjunta.
1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 3 4 5 1
3 3 4 5 1 2
4 4 5 1 2 3
5 5 1 2 3 4
Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I.
El elemento neutro es 1
II.
El elemento inverso de 3 es 5
La operación @ es una ley de composición interna debido a que todos los elementos del cuerpo de la tabla pertenecen al conjunto M = {1, 2, 3, 4, 5}
1
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
2 3 4 5
2 3 4 5
3 4 5 1
4 5 1 2
5 1 2 3
1 2 3 4
- 17 -
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
18.
Se define en
La operación @ es conmutativa debido a que sus elementos están ubicados simétricamente
1
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
2 3 4 5
2 3 4 5
3 4 5 1
4 5 1 2
5 1 2 3
1 2 3 4
la operación (∗)
N
a∗
b 2
= 2a + b + 3
Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I.
La operación es cerrada en
II.
La operación es conmutativa.
III.
Su elemento neutro es 3.
A) VVF
B) VVV
2 −1
+ 3 −1 ≠ 5 −1 4
E) FFF
La operación matemática es equivalente a
5
2
a ∗ b = 2a + 2b + 3
∴ VFFVF
La operación matemática es cerrada en a ∗ b = 2a + 2b + 3 ∈ N
↓ ↓ N
Se define (a ∗ b)2
17.
Calcula: A) 1
.
C) VFF
D) VFV
Verificando
N
B) 50
N N N
La operación matemática es conmutativa a∗b = b∗a 2a + 2b + 3 = 2b + 2a + 3
C) 99
D) 10
E) P 100
O C
E
f : P A C H
r o
La operación matemática no tiene elemento neutro a∗e = a −a − 3 2a + 2e + 3 = a → e = 2
De la expresión dada
= b∗a
… (1)
Cambiamos el orden de los elementos (b ∗ a) 2
= b∗a ; a∗ b > 0
S = 40 * 800
(a ∗ b)2
N
= a∗b
… (2)
∴ VVF
Reemplazando (1) en (2) ((a ∗ b)2 ) 2
= a∗b
(a ∗ b)4
= a∗b
(a ∗ b)3
=1
→
19.
Determina el valor de: b – a 64 25 = 13
a∗b =1
100 49 = 17 49 1 = 8
∴
S = 40 ∗ 800 = 1
ab 4 = 8
A) 0 D) 3 - 18 -
N
B) 1
C) 2 E) 4
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
Observamos que 64 25 = 64
+
100 49 = 100 49 1 = 49
25
+
+
= 13
49 1
= 17
=8
Del cual se concluye que ab 4 = 8 ab
+
4
=8
ab = 6
∴
b−a
→
ab = 36
=6−3= 3
P
O C
r o
f :
E H P A C
- 19 -
