UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO: DINÁMICA (IC-244) Docente: ING. CASTRO PEREZ, Cristian
Alumnos: CCENTA ANGULO, Victor PILLACA GARCIA, Miguel Angel ONCEBAY CUYA, Edison TENORIO PARIONA, Darwin N. Fecha de entrega:
29/10/2014
Ayacucho -Perú
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Índice general 1. OBJETIVOS
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2. INFORMACIÓN TEÓRICA 2.1. OPERADORES VECTORIALES . 2.1.1. GRADIENTE . . . . . . . . 2.1.2. DIVERGENCIA . . . . . . 2.1.3. ROTACIONAL . . . . . . . 2.2. TEOREMAS INTEGRABLES . . . 2.2.1. TEOREMA DE GREEN . . 2.2.2. TEOREMA DE GAUSS . . 2.2.3. TEOREMA DE STOKES .
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3. OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES
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3 3 3 5 7 9 9 11 14 16
white f
INTRODUCCION El presente informe en un primer plano está centrado específicamente al desarrollo de los distintos operadores y teoremas vectoriales aplicados a la mecánica, para ser precisos a la dinámica; tales como: el gradiente, la divergencia, el rotacional o rotor, teoremas integrales de Gauss, stookes y Green. Pero no solo se trata de conocer y desarrollar correctamente dichos operadores, sino más bien para su mejor entendimiento y correcta interpretación poder realizarlos con herramientas de cálculo ya sean el Matlab, Excel, Matemáticas, entre otros.Para nuestro caso hemos utilizamos la herramienta de cálculo denominada Matlab ya que creemos que es más aplicativo para nuestros temas a tratar. Sin más que mencionar a continuación presentamos un informe detallado en donde se muestra respectivamente el desarrollo de cada una de ellas, en donde ingresaremos pseudocódigos para luego obtener respuestas con sus respectivos gráficos. El grupo ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
Ayacucho, 29 de agosto del 2014
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Capítulo 1 OBJETIVOS 1
Desarrollar y dominar los diferentes teoremas y operadores vectoriales, para así plasmarlos a la vida profesional.
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Desarrollar y dominar los diferentes teoremas y operadores vectoriales, para así plasmarlos a la vida profesional.
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Aprender a utilizar distintas herramientas de cálculo.
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Capítulo 2 INFORMACIÓN TEÓRICA 2.1. OPERADORES VECTORIALES 2.1.1. GRADIENTE El GRADIENTE es una representación vectorial la cual nos indica en qué dirección o en que direcciones aumentan, en mayor grado, los valores del campo; y su módulo nos indica cuánto aumenta en dicha dirección. Se aplica a campos escalares (no vectoriales) como la distribución de temperaturas en un cuerpo, y es siempre perpendicular a las líneas equipotenciales, como las isobaras o las isotermas. El gradiente específicamente te da a conocer cuan brusco es el cambio de alguna magnitud como la temperatura, presión en el espacio, etc. Matemáticamente se define: Sea la función φ(x,y,z ) definida y derivable en cada uno de los puntos (x,y,z ) de una cierta región del espacio (φ define un campo escalar derivable). El gradiente de φ, representado por ∇φ ó gradφ, viene dado por:
∂ ∂ ∂ ∂φ ∂φ ∂φ ∇φ = i + j + k φ = i + j + k ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
Obsérvese que ∇φ define un campo vectorial. La componente de ∇φ en la dirección de un vector unitario a es igual a ∇φ.a y se llama derivada de φ en la dirección de a , o bien, derivada de φ según a. Problema de aplicación Se tiene una casa bioclimática cuya calefacción depende de la radiación solar recibida en el techo, se desea calcular y graficar las direcciones en que se propaga dicha temperatura producto de haber recibido radiación durante el día. Ecuación de las planchas del techo z = sin(6x) + 3y .
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Solución utilizando herramientas de cálculo (Matlab) 1 [x,y] = meshgrid(−2 : ,1 : 2); z = sin(6 ∗ x) + 3 ∗ y; ecuación planchas del techo 2 subplot(1,2,1) 3 surfl(x,y,z) 4 meshc(z) 5 xlabel(ÉJE X’),ylabel(ÉJE Y’),zlabel(ÉJE Z’) 6 title(’SUPERFICIE Y LINEAS DE CONTORNO’) 7 subplot(1,2,2) 8 waterfall(x,y,z) 9 [fx,fy] = gradient(z ); 10 contour(z),hold on, quiver(fx,fy) 11 title(’LINEAS DE CONTORNO Y VECTOR GRADIENTE’) 12 hold off, colormap([0.2 0.8 0.1]), axis square 13 symsxy, z=sin(6*x)+3*y; 14 grad=jacobian(z) 15 pretty(grad)
Respuesta: grad = (6cos 6x)i + 3 j
Figura 1.
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2.1.2. DIVERGENCIA La DIVERGENCIA es un campo vectorial que mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por ello, si el campo tiene FUENTES la divergencia será positiva y SUMIDEROS si la divergencia es negativa. Su módulo nos indica cuánto disminuye dicha densidad o dicho volumen. Una divergencia también puede ser elevada, la cual indica que en esa zona el campo se está . briendoçomo los rayos de luz que emergen de una fuente puntual; o puede ser nula, para ello indica que en esa zona los rayos son paralelos, como las velocidades de un fluido sin turbulencias dentro de un tubo, aunque el tubo sea curvo y todo el flujo esté rotando uniformemente. Matemáticamente se define: a
Sea V (x,y,z ) = V 1 i + V 2 j + V 3 k una función definida y derivable en cada uno de los puntos (x,y,z ) de una cierta región del espacio (V define un campo vectorial derivable). La divergencia de V, representada por ∇.V ó divV y viene dada por:
∂ ∂ ∂ ∇.V = i + j + k . (V 1 i + V 2 j + V 3 k) ∂x ∂y ∂z =
∂V 1 ∂V 2 ∂V 3 + + ∂x ∂y ∂z
Obsérvese la analogía con el producto escalar A.B = A1 B1 + A2 B2 + A3B3 . Así mismo ∇.V V. ∇. Problema de aplicación Si F es el campo de velocidades de un gas, determinar la razón de expansión o compresión por unidad de volumen bajo el flujo del gas y analizar si se encuentra en compresión o expansión.
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Solución utilizando herramientas de cálculo (Matlab) 1 [x,y,z]=meshgrid(-1:0.5:1); 2 u=4*x+1; 3 v=y+2; 4 w=z-1; 5 quiver3(x,y,z,u,v,w,’r’) 6 axis square 7 xlabel(ÉJE X’),ylabel(ÉJE Y’),zlabel(ÉJE Z’); title(’DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL’) 8 symsxyz; 9 u=4*x+1; 10 v=y+2; 11 w=z-1; 12 div = simplify(diff(4*x+1,x)+diff(y+2,y)+diff(z-1,z)); 13 div = 6 la divergencia indica la razón de expansión por unidad de volumen
Respuesta: div = 6m/s
Figura 2.
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2.1.3. ROTACIONAL En el cálculo vectorial, el rotacional o llamado también rotor es un operador vectorial que nos indica la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. También nos indica cuán curvadas están las líneas de campo o de fuerza en los alrededores de dicho. Se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Si un rotacional nos indica cero en un punto dado, significa que en esa región las líneas de campo son rectas (aunque no necesariamente paralelas, ya que pueden abrirse simétricamente si existe divergencia en ese punto). Mientras que un rotacional no nulo indica que en los alrededores del punto, las líneas de campo son arcos, o sea que es una región donde el campo se está curvando. La dirección del vector rotacional es perpendicular al plano de curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura que sufre el campo. Matemáticamente se define: Si V (x,y,z ) es un campo vectorial derivable. El rotacional de V , es representado por ∇xV ó rotV y viene dado por.
∂ ∂ ∂ ∇xV = i + j + k x (V 1i + V 2 j + V 3 k) ∂x ∂y ∂z
=
i
j
k
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
V 1 V 2 V 3
∂V 3 ∂V 2 ∂V 3 ∂V 1 ∂V 2 ∂V 1 = − i− − j + − k ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y
Obsérvese que en el desarrollo del determinante, los operadores preceder a V 1, V 2 ,V 3 .
∂ ∂ ∂ ∂x , ∂y , ∂z
deben
Problema de aplicación Una bomba hidráulica ubicada en el sótano hace posible subir agua a los niveles superiores de un edificio, calcular el rotor que se genera al interactuar la presión de la bomba con el campo vectorial cuya ecuaciones f (x,y) = [ −y cos zi,x, 0,2sin zk]
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Solución utilizando herramientas de cálculo (Matlab) 1 [x,y,z]=meshgrid(-4:4); 2 u=-y.*cos(z); 3 v=x.*cos(z); 4 w=0.2*sin(z); 5 scrsz=get(0,’Screensize’);%get screen size 6 figure(’Position’,scrsz,’Color’,[0.8 1 0.8]); full screen 7 hold on; 8 quiver3(x,y,z,u,v,w,’Marker’,’.’,’LineWidth’,2,’Color’,[0.73 0.1 0.48],... 9 AutoScaleFactor’,2); 10 xlabel(’x’,’FontSize’,14,’FontWeight’,’bold’); 11 ylabel(’y’,’FontSize’,14,’FontWeight’,’bold’); 12 zlabel(’z’,’FontSize’,14,’FontWeight’,’bold’); 13 axis equal;view(110,10); 14 set(gca,’XTick’,-3:0.5:7,’YTick’,-4:0.5:4); 15 title(’ROTACIONAL DE UN CAMPOVECTORIAL’,’FontSize’,18,’FontWeight’,’bold’) 16 grid on; 17 holdoff 18 symsxyz, u=-y.*cos(z);v=x.*cos(z);w=0.2*sin(z); 19 r1=diff(w,y)-diff(v,z) Primera componente del rotacional 20 r2=diff(u,z)-diff(w,x) Segunda componente del rotacional 21 r3=diff(v,x)-diff(u,y) Tercera componente del rotacional 22 rot=[r1, r2, r3] 23 pretty(rot) Respuesta: rot = (x)i + (x) j + (2)k
Figura 3.
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2.2. TEOREMAS INTEGRABLES 2.2.1. TEOREMA DE GREEN El teorema de Green en el plano es un caso particular del teorema del rotacional de Stokes. También es interesante observar que el teorema de la divergencia de Gauss es una generalización del teorema de Green en el plano, sustituyendo la región plana R y la curva cerrada C que la limita, por la región V del espacio y la superficie cerrada cerrada que la limita S , respectivamente. Por esta razón, el teorema de la divergencia de Gauss se conoce también con el nombre de T eoremadeGreenenelespacio. El teorema de Green en el plano se verifica asimismo, en el caso de regiones limitadas por un número finito de curvas simples cerradas que no se cortan. Matemáticamente se define: Sea R una región cerrada del plano xy limitada por una curva simple y cerrada C , M y N dos funciones continuas de x e y con derivadas continuas en R; entonces:
C
Mdx + N dy =
∂N (
R
∂x
−
∂M ) dxdy ∂y
Cuando C se recorre en el sentido positivo (contrario al de las agujas del reloj). Mientras no se adviertan lo contrario supondremos que significa que la integral se efectúa en una trayectoria cerrada que se recorre en sentido positivo.
Problema de aplicación Hallar el trabajo realizado por una partícula sometida al campo de fuerza F = (ex − y3 )i + (+x3 ) j , que recorre la circunferencia x 2 + y2 = 1 en sentido contrario a las agujas del reloj.
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Solución utilizando herramientas de cálculo (Matlab) 1 W= intint(diff(cos(y) + x. 3 , x) + diff (exp(x) − y.3 , y))dxdy 2[x,y,z ] = meshgrid(−1 : 0,35 : 1); 3U = exp(x) − y. 3; 4V = cos(y) + x.3 ; 5W = zeros(size(x)); 6quiver3(x,y,z,U,V,W ) 7holdon 8x = −1 : 0,01 : 1; 9y1 = sqrt(1 − (x.2 )); 10y2 = −sqrt(1 − (x.2 )); 11 plot(x,y1) 12holdon 13 plot(x,y2) 14axisequal 15holdoff 16xlabel( EJEX ),ylabel( EJEY ),zlabel( EJEZ ) 17title( CAMP OV ECTORIAL ) 18symsxy 19u = exp(x) − y. 3; 20v = cos(y) + x.3 ; 21diff (v, x) − diff (u,y) %calculamoselintegrado 22f = 3 ∗ x.2 + 3 ∗ y. 2 %cambiodecoordenadaspolarespararesolverlaintegral 23symsrt 24subs[f, (x,y), (r ∗ cos(t), r ∗ sin(t))] 25W = int(int(3 ∗ r 2 ∗ r,r,0, 1), t, 0, 2 ∗ pi) %dondeWeseltrabajo Respuesta: W = 3?/2J
Figura 4.
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2.2.2. TEOREMA DE GAUSS Este importante teorema, lo relacionaremos en los espacios R3 Y R 2, respectivamente. En R3 ; el teorema relaciona el volumen de una región sólida V ⊂ R3 con la superficie S que lo encierra. Matemáticamente se define: Sean, V el volumen limitado por una superficie cerrado S y A una función vectorial de posición con derivadas continuas; entonces:
V
∇.AdV =
A.ndS = A.dS
S
S
Siendo n la normal exterior a S (positiva). El teorema de Gauss tiene significado físico: si V es un campo de vectores describiendo el movimiento de un fluido, entonces la integral de superficie es la cantidad de fluido que entra o sale por la superficie (según el signo). La integral en D mide cuando se comprime o expande el fluido en el interior. Obviamente coinciden.
Problema de aplicación La corriente de un fluido tiene como vector densidad de flujo en cada punto a la función F = (y ∗ z )i + (x ∗ z ) j + (x ∗ y)k . sea S la superficie del plano x + y + z = 1 situada en el primer octante y n el vector normal a S. Calcular la masa del fluido que atraviesa la superficie S en la unidad de tiempo en la dirección de n.
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Solución utilizando herramientas de cálculo (Matlab) 1 symsxyz 2 Z=1-x-y; 3 F=[y*z,x*z,x*y]; 4 calculamos el vector normal 5 normN=sqrt(diff(z,x)2 + diff (z, y)2 + diff (z, z )2)normadeN 6normN 7N = [−diff (z, x), −diff (z, y), 1] ∗ 1/normN 8N 9G = simplify(F ∗ N ) %calculamoselproductoescalardeFyN 10G 11hacemosz = 1 − x − yymultiplicamospornormN 12simplify(subs(G,x,y,z,x,y, 1 − x − y) ∗ normN ) 13SepuededescribirT comoelconjuntodepuntos(x,y) perteneceR2 tales 14que,paracadaxfijoentre 0y1yvariaentrey = 0y = 1 − x.portanto, 15symsxy; 16G 17a = 0 18b = 1 − x 192a1 = 0 20b1 = 1 21I = int(int(G,y,a,b),x,a1,b1) 22I 23 parahacerelcampodef lujoseguiremoslossiguientespasos 24 paralaecuacióntenemoslassiguientesacotacionespara 25lasvariablesx,y,z 26x = −2 : 0,4 : 2; 27y = −1 : 0,4 : 3; 28z = −2 : 0,4 : 2; 29[x,y,z ] = meshgrid(x,y,z ); 30ahoranombramoslascomponentesdelcampovectorial 31conlasvariablesu,v,w 32sabemosquelafunciónesF = (y ∗ z, x ∗ z, x ∗ y) 33u = y. ∗ z ; 34v = x. ∗ z ; 35w = x. ∗ y; 36quiver3(x,y,z,u,v,w); 37axissquare 38title( CAMPODEFLUJO ); 39xlabel( EJEOX ); 40ylabel( EJEOY ); 41zlabel( EJEOZ ); 1 Respuesta: I = Kg 24
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Figura 5.
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2.2.3. TEOREMA DE STOKES Este importante teorema, lo enunciaremos para los espacios R3 Y R 2, respectivamente: EN R3 : El teorema relaciona la integral de línea de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada simple C en R3 , con la integral sobre una superficie S sobre la cual C es su frontera. EN R2 : El teorema de STOKES es el teorema de Green. Matemáticamente se define: Sean S una superficie abierta de dos caras, C una curva cerrada simple situada sobre la superficie anterior y A una función vectorial con derivadas continuas:
C
A.dr =
(∇xA).ndS =
S
(∇xA) dS
S
En donde C se recorre en el sentido positivo. El sentido de circulación de C es positivo cuando un observador que recorra la periferia de S en dicho sentido y con su cabeza apuntando hacia la normal exterior a S , deja la superficie en cuestión a su izquierda.
Problema de aplicación Un líquido está girando en un deposito cilíndrico de radio 3, y su movimiento viene descrito por el campo de velocidades F (x,y,z ) = [y ∗ sqrt(x2 + y2 )]i + [−x ∗ sqrt(x2 + y 2 )] j calcular la circulación de F, a través del borde superior del depósito cilíndrico recorriendo en el sentido contrario a las agujas del reloj.
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Solución utilizando herramientas de cálculo (Matlab) 1 cylinder(3) 2 colormap ([0.8,0.8,0.8]) 3 holdon 4 [x,y]=meshgrid(-1:0.6:1);3 5 z=ones(size(x)); 6 U=y.*sqrt(x.2 + y. 2); 7V = −x ∗ sqrt(x2 + y2 ); 8W = zeros(size(x)); 9quiver3(x,y,z,U,V,W ) 10holdoff 11symsxyz 12F = [y ∗ sqrt(x2 + y 2 ), −x ∗ sqrt(x2 + y2 ), 0]; 13u = y ∗ sqrt(x2 + y2 ); 14v = −x ∗ sqrt(x2 + y2 ); 15w = 0; 16r1 = diff (w, y) − diff (v, z ) primeracomponentedelrotacional 17r2 = diff (u, z ) − diff (w, x)segundacomponentedelrotacional 18r3 = diff (v, x) − diff (u,y)terceracomponentedelrotacional 19rot = [r1, r2, r3] 20simplify(rot) 21symsrt 22 pasamosacoordenadaspolares 23subs(rot(3),x,y,r ∗ cos(t), r ∗ sin(t)) 24simplify(ans) 25int(int(−3 ∗ (r2 ),r,0, 3), t, 0, 2 ∗ pi) 26ans = −128 ∗ pi Respuesta: F = −128π
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Capítulo 3 OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES 1
Es indispensable para todo profesional en ingeniería el manejo de una herramienta de calculo (matlab), para así poder facilitar y o perfeccionar tanto su metodología como las aplicaciones de muchas investigaciones.
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El matlab es una herramienta muy potente para el desarrollo del calculo vectorial, facilita el desarrollo en los cálculos necesarios para el gradiente divergencia y rotacional de un campo escalar y vectorial.
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Con los códigos de la programación realizada en esta investigación, cualquier investigador estará en la capacidad de resolver y/o graficar toda función escalar y vectorial así como sus respectivos rotacional gradiente y divergencia.
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Bibliografía [1] Etter, Delores M Solución de problemas de ingeniería con MATLAB . Pearson Educación, 1998. [2] Nakamura, Shoichiro Análisis numérico y visualización gráfica con MATLAB.), Pearson Educación, 1997. [3] Pérez, César Matlab y sus Aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniería. Pearson ? Prentice Hall, 2002. [4] Moore, Holly Matlab Para Ingenieros. [5] Báez, David Matlab y sus Aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniería.
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