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Unidad 3: Potencial en puntos del eje de un disco cargado uniformemente Supongamos que un disco de radio a está ubicado sobre el plano xy y centrado en el origen. Vamos a determinar el potencial en cualquier punto del eje del disco (eje , el potencial V 0. z ) considerando que para z Podemos recurrir a la expresión expresión del campo eléctrico. A partir del trabajo necesario necesario para traer una carga de prueba desde el infinito hasta un punto en el eje z, y de la definición de diferencia de potencial eléctrico aplicamos: z
∫
V ( z ) −V (∞) = − E •d r
∞
En este caso consideramos conocida la expresión:
E =
σ
2ε 0
z sg ( z ) − 2 z + a 2 z
Como
d r
dxi
=
ˆ
dy j
+
ˆ
dz k ,
+
ˆ
entonces la integral queda V ( z ) = −∫ ∞
σ
2ε 0
ˆ k
z sg ( z ) − z 2 + a 2
dz
Pero, ¿no ¿no se podr podrá á ca calc lcul ular ar el pote potenc ncia iall dire direct ctam amen ente te a pa part rtir ir de la distribución de carga, sin tener que utilizar la expresión del campo? Para una carga puntual o para un sistema de cargas puntuales esto es bastante simple:
V ( r )
V ( r )
= =
1
q
4πε o r − r `
N
1
∑ r −q r ` i
4πε o
i =1
i
Donde r es el vector posición del punto en el cual queremos calcular el potencial V . Es decir el punto campo. Los r i son los vectores posición de las N cargas puntuales (puntos fuente) `
Si la distribución de carga es continua la sumatoria se transforma en una integral y cada carga puntual en un elemento infinitesimal de carga. En nuestro caso en que la carga está distribuida superficialmente quedará así: V ( z ) =
1
σ dS `
4πε o
∫ r − r `
r = z k ˆ
r `= xiˆ + y jˆ
r − r ` = z 2 + (r ´)2
disco
Por Por la sime simetr tría ía cilí cilínd ndri rica ca que que pres presen enta ta la distribución de carga, utilizaremos coordenadas cilíndricas: V ( z ) = V ( z ) =
1 4πε o 1 4πε o
a 2π
σ r `d ϕ `dr `
∫ ∫ z
2
0 0
a
∫ 0
+ (r `) 2 2π
σ r `dr ` 2
z
+ (r `)
2
∫ d ϕ ` 0
Las variables variables r` y ` son independie independientes ntes entre sí, de esta manera la integral doble se
dS `= r `d ϕ dr ´
puede plantear como un producto de integrales. Además la densidad de carga es uniforme sobre la superficie del disco, es decir no es función ni de r` ni de `. Para las integrales, es una constante puede salir fuera de la integral. Algo importante para destacar: El potencial eléctrico es una magnitud escalar, lo que hace que su cálculo sea mucho más simple que el cálculo del campo eléctrico que es una magnitud vectorial. Proseguimos con el cálculo de las integrales… a
V ( z ) =
V ( z ) =
a
1 4πε o σ
2ε o
2π
σ r `dr `
∫
z + (r `) 2
0
[ z + a 2
2
2
∫
d ϕ ` =
0
]
− z 2 =
σ
2ε o
a
σ
4πε o
⋅ 2π ⋅ ∫
[ z + a 2
0
2
du
2 u
=
σ
2ε o
1 1 u 2 2 1 2 0
]
− z
Cálculo del campo eléctrico a partir del potencial. b
∫
Por la definición de diferencia de potencial sabemos que V (b) −V (a) = − E • d r . Es
a
decir a partir de una función vectorial (el campo) obtenemos una función escalar (el potencial) utilizando una integral curvilínea (que incluye un producto escalar). La operación inversa que permite a partir de una función escalar (el potencial) obtener el campo (una función vectorial) es el gradiente que en coordenadas cartesianas se expresa por medio del siguiente operador:
∇=
∂
∂ ∂ ˆ iˆ + jˆ + k x y z ∂ ∂ ∂
El campo eléctrico es menos el gradiente del potencial eléctrico (atención: del potencial eléctrico en función de las coordenadas del espacio). El campo eléctrico es un vector cuyo sentido coincide con el sentido en que disminuye el potencial. A partir de la función potencial V =V ( x; y; z ) se puede calcular el campo eléctrico:
∂V ˆ ∂V ˆ ∂V ˆ i + j + k ∂ ∂ ∂ x y z
E = −∇V = −
En este caso solo conocemos el potencial en puntos del eje z en función de la variable z, así que sólo podremos calcular la componente del campo en la dirección z en función de la variable z. Es decir: 1 ˆ 1 1 1 2 z 2 z − ⋅ + ⋅ k 2 2 2 z 2 2 z + a z sg ( z ) − 2 2 z + a
