Sifat-Sifat Pertidaksamaan 1. tanda pertidak pertidaksamaan samaan tidak tidak berubah berubah jika kedua kedua ruas ditambah ditambah atau dikuran dikurangi gi dengan dengan bilangan bilangan yang sama Jika a < b maka: a+c
Pertidaksamaan Linear & 'ariabelnya berpangkat 1 Penyelesaian:
(uku$suku yang mengandung )ariabel dikumpulkan di ruas kiri, dan konstanta diletakkan di ruas kanan *ontoh:
Pertidaksamaan Kuadrat & 'ariabelnya berpangkat 2 Penyelesaian:
1. uas kanan dibuat menjadi nol 2. aktorkan !. -entukan harga nol, yaitu nilai )ariabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol #. ambar garis bilangannya Jika tanda pertidaksamaan / atau 0, maka harga nol ditandai dengan titik hitam Jika tanda pertidaksamaan " atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih 3. -entukan tanda 4+5 atau 4–5 pada masing$masing inter)al di garis bilangan. *aranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada inter)al tersebut pada persamaan di ruas kiri. -anda pada garis bilangan berselang$seling, kecuali jika ada batas rangkap 4harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi5, batas rangkap tidak merubah tanda 6. -entukan himpunan penyelesaian & jika tanda pertidaksamaan " 7 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda 4+5 & jika tanda pertidaksamaan < 7 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda 4–5 *ontoh: 428 – 152 / 438 – !5.48 – 15 – 9 #82 – #8 + 1 / 38 2 – 38 – !8 + ! – 9 #82 – #8 + 1 – 38 2 + 38 + !8 – ! + 9 / 7
–82 + #8 + 3 / 7 –482 – #8 – 35 / 7 –48 – 35.48 + 15 / 7 arga nol: 8 – 3 ; 7 atau 8 + 1 ; 7 8 ; 3 atau 8 ; –1 aris bilangan: •
menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan /
•
jika dimasukkan 8 ; 7 hasilnya positif
•
karena 7 berada di antara –1 dan 3, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai negatif
•
karena tanda pertidaksamaan / 7, maka yang diarsir adalah yang positif
Jadi penyelesaiannya: 8 = –1 0 8 0 3>
Pertidaksamaan Tingkat Tinggi & 'ariabel berpangkat lebih dari 2 Penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadrat
*ontoh: 428 + 152.482 – 38 + 65 < 7 428 + 152.48 – 25.48 – !5 < 7 arga nol: 28 + 1 ; 7 atau 8 – 2 ; 7 atau 8 – ! ; 7 8 ; –12 atau 8 ; 2 atau 8 ; ! aris bilangan: •
•
menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan < jika dimasukkan 8 ; 7 hasilnya positif
•
karena 7 berada di antara –12 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif
•
karena –12 adalah batas rangkap 4–12 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, jadi –12 merupakan batas rangkap5, maka di sebelah kiri –12 juga bernilai positif
•
selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif berselang$seling
•
karena tanda pertidaksamaan ? 7, maka yang diarsir adalah yang positif
Jadi penyelesaiannya: 8 = 2 < 8 < !>
Pertidaksamaan Pecahan & ada pembilang dan penyebut Penyelesaian:
1. uas kanan dijadikan nol 2. (amakan penyebut di ruas kiri !. aktorkan pembilang dan penyebut 4jika bisa5 #. *ari nilai$nilai )ariabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol 4harga nol untuk pembilang dan penyebut5 3. ambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah # @papun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih 4penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 7 agar pecahan tersebut mempunyai nilai5 6. -entukan tanda 4+5 atau 4–5 pada masing$masing inter)al *ontoh 1:
arga nol pembilang: –38 + 27 ; 7 –38 ; –27 & 8 ; # arga nol penyebut: 8 – ! ; 7 & 8 ; ! aris bilangan: & 8 ; ! digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut
Jadi penyelesaiannya: 8 = ! < 8 0 #>
*ontoh 2:
arga nol pembilang: 8 – 2 ; 7 atau 8 + 1 ; 7 8 ; 2 atau 8 ; –1 arga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya: A ; b2 – #.a.c ; 1 2 – #.1.1 ; 1 – # ; –! Bilai A$nya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar real
4*atatan: jika nilai A$nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk mendapat harga nol$nya5 aris bilangan:
Jadi penyelesaiannya: 8 = 8 0 –1 atau 8 / 2>
Pertidaksamaan Irasional/Pertidaksamaan Bentuk Akar & )ariabelnya berada dalam tanda akar Penyelesaian:
1. Cuadratkan kedua ruas 2. Jadikan ruas kanan sama dengan nol !. (elesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan linearkuadrat #. (yarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar harus / 7 *ontoh 1:
Cuadratkan kedua ruas: 82 – 38 – 6 < 8 2 – !8 + 2 82 – 38 – 6 – 8 2 + !8 – 2 < 7 –28 – D < 7 (emua dikali –1: 28 + D " 7 28 " –D 8 " –# Syarat 1: 82 – 38 – 6 / 7 48 – 65.48 + 15 / 7
arga nol: 8 – 6 ; 7 atau 8 + 1 ; 7 8 ; 6 atau 8 ; –1 Syarat 2: 82 – !8 + 2 / 7 48 – 25.48 – 15 / 7 arga nol: 8 – 2 ; 7 atau 8 – 1 ; 7 8 ; 2 atau 8 ; 1 aris bilangan:
Jadi penyelesaiannya: 8 = –# < 8 0 –1 atau 8 / 6>
*ontoh 2:
Cuadratkan kedua ruas: 82 – 68 + D < 8 2 – #8 + # 82 – 68 + D – 8 2 + #8 – # < 7 –28 + # < 7 –28 < –# (emua dikalikan –1 28 " # 8"2
(yarat: 82 – 68 + D / 7 48 – #5.48 – 25 / 7 arga nol: 8 – # ; 7 atau 8 – 2 ; 7 8 ; # atau 8 ; 2 aris bilangan:
Jadi penyelesaiannya: 8 = 8 / #>
Pertidaksamaan Nilai Mutlak & )ariabelnya berada di dalam tanda mutlak = E.. = 4tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: =!= ; !% =–!= ; !5 Fengertian nilai mutlak:
Penyelesaian:
Jika =8= < a berarti: –a < 8 < a, dimana a / 7 Jika =8= " a berarti: 8 < –a atau 8 " a, dimana a / 7
*ontoh 1: =28 – != 0 3 berarti:
–3 0 28 – ! 0 3 –3 + ! 0 28 0 3 + ! –2 0 28 0 D (emua dibagi 2: –1 0 8 0 #
*ontoh 2: =!8 + 9= " 2 berarti: !8 + 9 < –2 atau !8 + 9 " 2 !8 < –2 – 9 atau !8 " 2 – 9 8 < –! atau 8 " –3!
*ontoh !: =28 – 3= < =8 + #= Cedua ruas dikuadratkan: 428 – 352 < 48 + #5 2 428 – 352 – 48 + #5 2 < 7 428 – 3 + 8 + #5.428 – 3 – 8 – #5 < 7
(Ingat! a2 – b2 = (a + b).(a – b))
4!8 – 15.48 – G5 < 7 arga nol: !8 – 1 ; 7 atau 8 – G ; 7 8 ; 1! atau 8 ; G aris bilangan:
Jadi penyelesaiannya: 8 = 1! < 8 < #>
*ontoh #: =#8 – != / 8 + 1 Cedua ruas dikuadratkan: 4#8 – !52 / 48 + 15 2 4#8 – !52 – 48 + 15 2 / 7 4#8 – ! + 8 + 15.4#8 – ! – 8 – 15 / 7 438 – 25.4!8 – #5 / 7 arga nol: 38 – 2 ; 7 atau !8 – # ; 7 8 ; 23 atau 8 ; #! Syarat: 8+1/7 8 / –1 aris bilangan:
Jadi penyelesaiannya: 8 = –1 0 8 0 23 atau 8 / #!>
*ontoh 3: =8 – 2=2 – =8 – 2= < 2 Hisalkan =8 – 2= ; y y2 – y < 2 y2 – y – 2 < 7 4y – 25.4y + 15 < 7
arga nol: y – 2 ; 7 atau y + 1 ; 7 y ; 2 atau y ; –1 aris bilangan:
@rtinya: –1 < y < 2 –1 < =8 – 2= < 2 Carena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri tidak berlaku =8 – 2= < 2 (ehingga: –2 < 8 – 2 < 2 –2 + 2 < 8 < 2 + 2 7<8<#
Pertidaksamaan Irasional Written B !arso Ad"ie Broto on #umat$ %& #anuari '(&) * &+,&'
(etelah sukses mempelajari Fertidaksamaan Cuadrat dan Fertidaksamaan Fecahan, kita masuk pada tingkatan yang lebih sulit yaitu Fertidaksamaan Irasional atau Fertidaksamaan dalam @kar. Ini merupakan seri ketiga dari artikel Fertidaksamaan di @djie rotot log. Kntuk memahaminya, pelajari Fertidaksaman$pertidaksamaan sebelumnya terlebih dahulu. efinisi
Fertidaksamaan Irasional adalah pertidaksamaan 4dilambangkan dengan tanda " < / 05 yang memiliki )ariabel 8 di dalam tanda akar. Bentuk .mum
Metode Penelesaian
1. Lakukan syarat. yaitu setiap operasi yang mengandung x di dalam akar / 7. 2. Cuadratkan kedua ruas agar tanda akar hilang. !. uas kanan dijadikan 7. Mperasi dilakukan di ruas kiri. #. ila mengandung operasi kuadrat, maka faktorkan. 3. -entukan harga nol )ariabel 8. 6. Hasukkan harga nol 8 serta syarat ke dalam garis bilangan. 9. -entukan impunan Fenyelesaiannya, yaitu irisan antara garis$garis bilangan tersebut.
Hemang membaca metode penyelesaian itu terlihat sulit, namun agar tidak sulit, mari coba ke dalam bentuk soal.
Jika terjadi kesulitan di contoh kedua ini, pelajari dahulu Fertidaksamaan Cuadrat.
Bah sekarang saatnya mencoba sendiri. *ek langsung jaNabanmu dengan cara menghighlight kotak berNarna biruO jaNaban: 8=$17 0 8 0 13> jaNaban: 8=8 / #>
PN0APAN PN0APAN P0TIAKSAMAAN I00ASI1NAL PAA K!I.PAN S!A0I-!A0I A@B L@J@B-M 2:37:77 FH Hateri (H@
Dal am t opi ki nikal i anakanbel aj armengenaipener apanper t i daksamaani r asi onal padamasal ahnyat a. Per t i daksamaani r r asi onaladal ahper t i daksamaanyangvar i abel nyat er l et akdibawah t andaakar . Adaduabent ukumum per t i daksamaanbent ukakar ,yai t u:
Dal am menyel esai kanper t i daksamaani r asi onalt er dapatsyar att ambahansel ai n ket ent uanumum,yai t u: •
Bent ukbi l anganyangber adadibawaht andaakaradal ah≥0.
Mi sal nya:pada√( x–2) ,har usber l akux–2≥0.
•
Bi l anganbi l anganhasi lpenar i kanakaradal ah≥0.
Mar iki t acer mat ibeber apacont ohsoalber i kuti ni . Cont oh1:
Per usahaanasur ansimel akukanper hi t unganpr emiyangakandi bayar kankepada pemegangpol i sdal am kur unwakt ut er t ent u.Besarpr emiyangakandi bayar kan memenuhiper samaanber i kut: Tent ukanbat askur unwakt uy( dal am bul an)yangdi per l ukanol ehpemegangpol i s agarmendapatpr emipal i ngbanyak6uni t ! Pen y el es ai an:
Agarpemegangpol i smendapatpr emipal i ngbanyak6uni t ,makap( y)har usl ah kur angdar iat ausamadenganenam.
Syar att ambahan:y+1≥0<=>y≥1 Dengandemi ki an.hi mpunanpenyel esai andar iper t i daksamaandiat asadal ah{1≤ . y≤3} Jadi ,bat askur unwakt uyangdi per l ukanol ehpemegangpol i sagarmendapatpr emi pal i ngbanyak6uni tadal ah0sampai3bul an. Cont oh2:
PakHasr ul ,gur ubi mbi ngankonsel i ngsedangmembuatl apor anber upagr afikt i ngkat ket i dakhadi r ansi swasel amasat ubul anpr osesbel aj arber l angsung.PakHasr ul di hadapkandenganduakur vayangakandi gambar kanpadaker t asmi l i met er . 2 dankur vakeduaadal ahy =x.Tent ukanbat asbat asni l aixyangdi but uhkanPak 1 Hasr uldal am menyel esai kanper hi t unganj i kadi syar at kankur vay har ussel al u ber adadibawahkur vay 2!
Pen y el es ai an: 2, 2. Agarkur vay1 sel al uber adadibawahkur vay makay1 har usl ahl ebi hk eci ldar iy
Syar att ambahan:x+6≥0<=>x≥6…….( 2) I r i sandar i( 1)dan( 2)mer upakanhi mpunanpenyel esai anper t i daksamaandiat as. Dengandemi ki an,hi mpunanpenyel esai annyaadal ah{. 6≤x≤2at aux≥3} Cont oh3:
Sebuahsepedamel aj udij al anr ayasel amatdet i kdenganpanj angl i nt asan( dal am met er )di t ent ukanol ehper samaanber i kut: Ji kapanj angl i nt asansepedasekur angkur angnyaadal ah4met er ,t ent ukan ni l aityangmemenuhi ! Pen y el es ai an:
Ol ehkar enapanj angl i nt asansepedasekur angkur angnyaadal ah4met er ,makas( t ) har usl ahl ebi hbesarat ausamadenganempat .
Syar att ambahan: t –10t+40≥0→ sel al ut er penuhi ,kar enat –10t+40defini tposi t i f( a>0danD< 2 2 0) . Dengandemi ki an,ni l aityangmemenuhiadal aht≤4det i kat aut≥6det i k.
