Pertidaksamaan Rasional Dan Irasional

Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Pertidaksamaan Rasional merupakan pertidaksamaan yang penyebutnya memuat variabel, sedangkan Persamaan Irasional merupakan pertidaksamaan yang variabel ada di dalam tanda akar. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan jenis ini harus memperhatikan syarat yang ada, penyebut tidak boleh sama dengan 0 dan yang di dalam tanda akar harus lebih dari atau sama dengan 0.

Pertidaksamaan Rasional Pertidaksamaan rasional adalah pertidaksamaan yang memuat pecahan yang penyebutnya memuat variabel. Untuk menyelesaikannya diperlukan persyaratan penyebut tidak sama dengan 0

Contoh 1: Tentukan semua nilai x yang memenuhi

𝑥 2 −1 𝑧−3

≤0

Penyelesaian Langkah Pertama: Menentukan syaratnya Penyebut dari ruas kiri tidak boleh sama dengan 0 x–3≠0⇒x≠3

Langkah Kedua: Menentukan penyelesainnya Karena ruas kanan sama dengan 0, langsung faktorkan ruas kiri menjadi faktor-faktor linier baik pembilang maupun penyebut (x − 1)(x + 1) ≤0 x−3

Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah x – 1 = 0, x + 1 = 0 dan x – 3 = 0. Tuliskan kedalam bentuk eksplisit dalam x diperoleh x = 1, x = −1 dan x=3. Selanjutnya buat 



garis bilangan dan uji titik selain −1, 1 dan 3 di pertidaksamaan Pada interval x ≤ −1, pilih x = −2 sebagai titik uji, diperoleh nilai (−2−1) (−2+1) = ≤ 0 (Memenuhi) −2−3 Pada interval −1≤x≤1, pilih x=0 diperoleh nilai (Tidak Memenuhi)

(0 −1) (0 +1) 0−3

= 13 ≤ 0



Pada interval 1≤ x ≤ 3, pilih x = 2 sebagai titik uji, diperoleh nilai (2−1) (2+1) 2− 3



= −3 ≤ 0 (Memenuhi)

Pada interval x ≥ 3, pilih x = 4 sebagai titik uji, diperoleh nilai (4−1)(4+1) 4− 3

= 15 ≤ 0 (Tidak Memenuhi)

Dengan ilustrasi pada gambar dapat diketahui penyelesaiannya adalah x ≤−1 atau 1≤ x < 3 *** Contoh 2: Tentukan semua nilai x yang memenuhi

x2 −3x+1 x2 +2x

≤

−2 𝑋+2

Penyelesaian Langkah Pertama: Menentukan syaratnya Pertidaksamaan di atas memiliki penyebut 𝑋 2 +2x dan x + 2, oleh karenanya X 2+2 x ≠ 0 ⇒x (x+2) ≠ 0 ⇒x ≠ 0 dan x+ 2≠ 0 dengan kata lain x ≠ 0 dan x ≠ −2 Jangan lupakan penyebut yang satunya lagi x + 2 ≠ atau x ≠ −2. Dari dua penyebut di atas diperoleh syarat x ≠ 0 dan x ≠ −2

Langkah Kedua: Menentukan penyelesainnya Dimulai dengan membuat ruas kanan = 0 x2 −3x+1 x2 +2x

−

−2 𝑋+2

≤0

Kemudian sederhanakan pecahan di ruas kiri menjadi satu pecahan saja dengan cara mengurangkannya. Perhatikan penyebut pada pecahan pertama dapat difaktorkan menjadi x(x+2) x 2 − 3x + 1 −2 − ≤0 x(x + 2) 𝑋+2 Samakan penyebutnya dengan cara mengalikan penyebut dan pembilang pada pecahan kedua dengan x 𝑋 2 − 3𝑋 + 1 −2𝑋 − ≤0 𝑋(𝑋 + 2) 𝑋(𝑋 + 2) Operasikan pembilangnya 𝑋 2 − 3𝑋 + 1 − (−2𝑋) ≤0 𝑋(𝑋 + 2) ⇒

𝑋 2 −𝑋+1 𝑋(𝑋+2)

≤0

Pecahan sudah sederhana, berikutnya faktorkan ruas kiri menjadi faktor-faktor linier jika mungkin. Pembilang pada pertidaksamaan di atas relatif sulit untuk difaktorkan, oleh karena itu gunakan rumus ABC. Namun setelah dihitung diskrminannya diperoleh diskriminan negatif D = 𝑏2 −4 ac =1− 4= −3. Jika Diskriminan suatu fungsi kuadrat negatif berarti fungsi kuadrat tersebut definit. untuk soal ini, fungsi x2−x+1 adalah definit positif atau nilainya selalu positif untuk semua x sehingga kedua ruasnya sah untuk dibagi dengan 𝑥 2 − x+1 𝑥 2 −𝑥+1 𝑥(𝑥+2)

≤0

𝑥 2 −𝑥+1 𝑥(𝑥+2)

⇒

𝑥(𝑥+2) 𝑥 2 −𝑥+1

≤0

0 𝑥 2 −𝑥+1

⇒

1 𝑥(𝑥+2)

≤0

x dan x+2 adalah pembuat 0 dari pertidaksamaan di atas dengan kata lain x=0 dan x+2=0⇒x = −2.



Selanjutnya buat garis bilangan dan uji titik selain −2 dan 0 di pertidaksamaan Pada interval x ≤−2, pilih x = − 3 diperoleh nilai 1 1 1 = = ≤ 0 (Tidak Memenuhi) 𝑥(𝑥+2)



3

Pada interval −2≤x≤0, pilih x = −1 diperoleh nilai 1 1 1 = = ≤ 0 (Memenuhi) 𝑥(𝑥+2)



−3(−3+2)

−1(−1+2)

−1

Pada interval x ≥ 0, pilih x = 1 diperoleh nilai 1 1 1 = = ≤ 0 (Tidak Memenuhi) 𝑥(𝑥+2)

1(1=2)

3

Ilustrasi seperti pada gambar di bawah, titik x=−2 dan x=1 diberi tanda bulatan putih karena sesuai syarat pertidaksamaan yaitu x≠0 dan x≠−2

Dari garis bilangan di atas diperoleh penyelesaian −2
Pertidaksamaan Irasional Pertidaksamaan irasional merupakan pertidaksamaan yang memuat variabel di dalam tanda akar. Untuk menyelesaiakannya diperlukan persyaratan yang di dalam tanda akar harus lebih dari atau sama dengan 0. Selain itu diperlukan syarat yang lain-lain mengingat bentuk akar adalah suatu bilangan positif. Contoh 3: Tentukan semua nilai xx yang memenuhi √2x+4 > − x+2 Penyelesaian Langkah Pertama: Menentukan syaratnya Ada dua fungsi yang berada dalam tanda akar oleh karena itu keduanya harus lebih

dari atau sama dengan 0 1. 2 x + 4 ≥ 0⇒x ≥ −2 2. –x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≤ 2 Langkah Kedua: Menentukan penyelesainnya Dengan memperhatikan sifat bentuk akar yang selalu positif dan sifat pertidaksamaanmaka sah untuk mengkuadratkan kedua ruas kemudian menyelesaikan pertidaksamaan yang terbentuk √2𝑥 + 4 > √−𝑥 + 2 2

⇒ (√2x + √4) > (√−𝑥 + 2)

2

⇒ 2x + 4 > −x + 2 ⇒ 3x > −2 2 ⇒x>− 3 Sketsakan syarat-syarat dan penyelesaian di atas

Garis bilangan pertama adalah garis bilangan untuk x≥−2, garis bilangan kedua untuk x≤2 dan garis bilangan ketiga untuk x>−23x>−23. Garis bilangan terakhir atau yang keempat dari atas merupakan tempat untuk mensketsa irisan dari syarat dan penyelesaian. Pada garis bilangan ke empat dapat diketahui dengan mudah penyelesaian dari pertidaksamaan di atas adalah −23
Contoh 4: Tentukan semua nilai x yang memenuhi 2x−1−−−−√≤x−22x−1≤x−2 Penyelesaian Langkah Pertama: Menentukan syaratnya Pada ruas kiri terdapat bentuk akar, oleh karena itu syaratnya adalah x−1≥0⇒x ≥ 1 Di ruas kiri terdapat bentuk akar yang diketahui selalu positif, karena ruas kanan lebih dari ruas kiri maka haruslah ruas kanan lebih dari atau sama dengan 0 x−2 ≥0 ⇒x ≥ 2 Langkah Kedua: Menentukan penyelesainnya Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan diperoleh 2 √𝑥 − 1 ≤ 𝑥 − 2 2

⇒ (2√x − √1) ≤ (𝑥 − 2)2 ⇒ 4x − 4 ≤ x 2 − 4𝑥 + 4 ⇒ 0 ≤ x 2 − 8𝑥 + 8 ⇒ x 2 − 8𝑥 + 8 ≥ 0 Dengan menggunakan rumus ABC diperoleh pembuat 0 pada persamaan di atas adalah x = 4+2√2 dan x = 4−2√2. Dengan metode menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat diperoleh x ≤ 4−2√2 atau x ≥ 4+2√2

Sketsakan syarat-syarat dan penyelesaian di atas

Dari sketsa diperoleh penyelesaiannya adalah x ≥ 4+2√2