PERTIDAKSAMAAN
Sebelum meninjau lebih jauh mengenai pertidaksamaan, akan diberikan terlebih dahulu pengertian peubah atau variabel. Peubah (variabel) yang dimaksudkan di sini adalah lambang yang digunakan untuk menyatakan sembarang anggota dari suatu himpunan. Sebagai misal jika diambil himpunannya adalah himpunan semua bilangan real R, maka peubahnya dinamakan peubah real. Untuk selanjutnya yang dimaksudkan dengan peubah dalam pembahasan ini adalah peubah real, di mana peubah ini memegang peranan penting dalam menyelesaikan permasalahan pertidaksamaan. Sebagai pembahasan awal, pertidaksamaan diberikan batasan pengertian sebagai kalimat matematika terbuka yang memuat peubah (variabel) dan satu atau lebih tanda berikut ini : <, >, ≤ atau ≥. Contoh 1 : Beberapa jenis atau contoh pertidaksamaan antara lain : 1. 2 x + 16 < x + 25 2. 2 x − 4 ≤ 6 − 7 x < 3x + 6 2
3. x − 5 x + 6 > 0 2 x − 3 4. ≥0 x + 1 5. 2 x + 4 dan sebagainya.
<
4
Selanjutnya yang dimaksud dengan menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua nilai peubah yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Beberapa jenis pertidaksamaan yang cukup terkenal di antaranya : pertidaksamaan linier, pertidaksamaan kuadrat dan polynomial, pertidaksamaan pecahan (rasional), pertidaksamaan irrasional dan pertidaksamaan dengan nilai mutlak. A. PERTIDAKSAMAAN LINIER Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan yang salah satu atau lebih ruasnya memuat bentuk linier dalam x (sebagai peubahnya). Untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier dapat digunakan sifat-sifat berikut ini :
Jika a > b dan k sembarang bilangan riil, maka pernyataan-pernyataan berikut ini senantiasa benar : 1. 2.
a + k > b + k ka > kb , jika k positif, akan tetapi ka < kb , jika k negatif 3. a 2 > b 2 , asalkan a dan b keduanya positif 4. a + c > b + d , untuk c > d 5. ac > bd , asalkan c > d serta a , b , c dan d semuanya positi
Contoh 2 : Selesaikan pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini : 1. 2 x + 16 < x + 25 2. − 5 < 4 x − 9 < 11 3. 2 x − 4 ≤ 6 − 7 x < 3x + 6 Pembahasan : 1. 2 x + 16 < x + 25 ⇔ 2 x − x < 25 − 16 ⇔ x < 9 . Sehingga himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan di atas adalah :
HP = { x ∈ R | x < 9 } = (– ∞, 9)
: penulisan bentuk himpunan : penulisan bentuk interval (selang)
=
: penulisan dalam garis bilangan 9
2.
4 x − 9 < 11 ⇔ − 5 + 9 < 4 x < 11 + 9 demikian HP = { x ∈ R | 1 < x < 5 } = (1, 5).
3.
2 x − 4 ≤ 6 − 7 x dan 6 − 7 x < 3 x + 6 ⇔ 2 x + 7 x ≤ 6 + 4 dan 6 − 6 < 3 x + 7 x ⇔ 9 x ≤ 10 dan 0 < 10 x 10 dan 0 < x ⇔ x ≤ 9 10 ⇔ 0< x≤ 9 10 Dengan demikian HP = { x ∈ R | 0 < x ≤ }. 9
−5<
2 x − 4 ≤ 6 − 7 x < 3x + 6
⇔
4 < 4 x < 20
⇔
1 < x < 5 . Dengan
⇔
Soal Latihan : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini, kemudian gambarkan grafik himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan dan tuliskan pula dalam bentuk interval (selang) : 1. 6 x − 10 ≥ 5 x − 16 6. 2 + 3 x < 5 x + 1 < 16 2. 6 x + 3 > 2 x − 5 7. 3 − 2 x ≤ 4 x + 1 ≤ 2 x + 7 3. − 2 < 1 − 5 x ≤ 3 8. 3 x + 7 > 1 dan 2 x + 1 < −4 4. 4 < 5 − 3x < 7 9. 3 x + 7 ≤ 1 atau 2 x + 5 < −8 5. 2 − 3 x ≤ 8 < 1 − 7 x 10. 4 x − 7 > 1 atau 2 x + 1 ≤ −5
B. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT & POLINOMIAL Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memuat bentuk kuadrat peubahnya pada salah satu atau kedua ruas pertidaksamaan, sedangkan pertidaksamaan polinomial adalah pertidaksamaan yang memuat bentuk polinomial (suatu fungsi dengan pangkat atau derajat peubahnya adalah 3 atau lebih) pada salah satu atau kedua ruasnya. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pangkat dua (kuadrat) dan pertidaksamaan polinomial (pangkat tiga atau lebih), langkah-langkahnya meliputi :
1. Jadikan nol ruas kanan pertidaksamaannya 2. Tentukan semua pembuat nol ruas kiri dengan menyelesaikan persamaan yang ruas kanannya sama dengan nol 3. Gambarkan nilai-nilai pembuat nolnya pada garis bilangan 4. Tentukan tanda dari masing-masing interval (selang) yang terbentuk 5. Arsirlah daerah sesuai dengan tanda pertidaksamaannya 6. Tuliskan himpunan penyelesaiannya Contoh 3 : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini :
1. x 2 − 5 x + 6 > 0 2 2. 4 x − 5 x − 6 ≤ 0 3. x 3 − 5 x 2 − 6 x < 0 4.
( x + 5)( x + 2)2 (2 x − 1) > 0
Pembahasan :
1. Dari pertidaksamaan x
x
2
− 5x +
6=0
⇔
2
− 5x + 6 >
0 , pembuat nol ruas kiri adalah :
( x − 2)(x − 3) = 0
⇔
x − 2 = 0 atau x − 3 = 0
x = 2 atau x = 3 . Jadi pembuat nol ruas kiri adalah : x = 2 dan x = 3 . Selanjutnya kita gambarkan nilai-nilai pembuat nol ini pada garis bilangan ⇔
2
3
Dengan adanya dua nilai pemuat nol ini, garis riil (garis bilangan) terbagi ke dalam 3 interval, yaitu : x < 2 , 2 < x < 3 dan x > 3 . Untuk menentukan tanda dari setiap interval, ambil salah satu titik uji, misalkan x = 0 (yang terletak pada interval x < 2 ) dan substitusikan ke x
2
2
− 5x + 6 ,
diperoleh
0 − 5 ⋅ 0 + 6 = 6 (positif). Jadi interval x < 2 bertanda (+) (merupakan daerah +). Selanjutnya interval yang bersisian bertanda sebaliknya, yaitu (–), seperti diberikan pada gambar di bawah ini :
– – –
Dengan demikian himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ini adalah : HP = { x | x < 2 atau x > 3 } = (– ∞, 2) ∪ (3, ∞).
3
2
2. Pembuat nol ruas kiri : 4 x 2
− 5x − 6 =
0
⇔
(4 x + 3)(x − 2) = 0
4 x + 3 = 0 atau x − 2 = 0 ⇔ 4 x = −3 atau x = 2 3 atau x = 2 ⇔ x = − 4 3 Sehingga pembuat nilai nol ruas kiri adalah : x = − dan x = 2 . 4 Selanjutnya gambarkan kedua nilai pembuat nol ini pada garis bilangan : ⇔
Dari dua nilai nol tersebut garis bilangan terbagi menjadi tiga buah interval yaitu : 3 3 x ≤ − , − ≤ x ≤ 2 dan x ≥ 2 . 4 4 3 2 − 4 Untuk menentukan tanda setiap intervalnya, 3 ambil sembarang titik uji, misalkan x = 0 (yang berada pada interval − ≤ x ≤ 2 ) 4 2 2 dan disubstitusikan ke 4 x − 5 x − 6 diperoleh 4 ⋅ 0 − 5 ⋅ 0 − 6 = −6 (negatif). Jadi 3 interval − ≤ x ≤ 2 , di mana titik uji x = 0 berada merupakan daerah negatif (–) 4 dan tanda selengkapnya dari interval yang lain adalah :
– – – – –
+ +
−
Dengan demikian himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan ini adalah : 3 HP = { x | − ≤ x ≤ 2 } 4 3 = − 4, 2 .
+ +
2
3 4
3. Untuk pertidaksamaan x 3
2
− 5 x − 6 x <
0 , kerjakan sebagai latihan !
2
4. Untuk pertidaksamaan ( x + 5)( x + 2) (2 x − 1) > 0 , pembuat nol ruas kirinya adalah :
( x + 5)( x + 2 )2 (2 x − 1) = 0
⇔
x + 5 = 0 atau x + 2 = 0 atau 2 x − 1 = 0
⇔
x = −5 atau x = −2 (muncul 2 kali) atau x =
1 2
.
Dengan demikian pembuat nol dari pertidaksamaan di atas adalah : x = −5 , x = −2 1 dan x = . Selanjutnya digambarkan pada garis bilangan nilai-nilai pembuat nol ini, 2 yaitu : Dari ketiga nilai nol ini garis bilangan terbagi ke dalam empat buah interval : x < −5 , 1 1 − 5 < x < −2 , − 2 < x < 2 dan x > 2 . Untuk –2
–5
menentukan tanda masing-masing interval, tetapkan salah satu titik uji, misalkan x = 0 yang berada pada interval − 2 < x < 12 dan
1 2
disubstitusikan ke ( x + 5)( x + 2 ) (2 x − 1) , diperoleh 2
( x + 5)( x + 2)2 (2 x − 1) = (+ )(+ )(− ) = (− ) , sehingga interval
−2<
x < 12 , di mana titik uji
x = 0 berada, merupakan daerah negatif. Tanda dari interval-interval yang lain adalah :
–
++
– –2
–5
++
Dengan demikian himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ini adalah : HP = { x | x < −5 atau x > 12 } =
1 2
(− ∞, − 5) ∪ (2, ∞ ) .
Soal Latihan Selesaikan pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini : 2
1. 3 x − 11x − 4 ≤ 0 2. 2 x 2 + 5 x − 3 > 0 3. ( x + 2 )(2 x − 1)(3 x + 7 ) ≥ 0 4. x 3 5.
− x
2
−
x +1 > 0
(2 x + 3)(3 x − 1)2 (x − 5) < 0
C. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN
Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang berbentuk
f ( x ) g ( x )
<
0,
dengan f ( x ) dan g ( x ) merupakan fungsi polinom (suku banyak). Langkah-langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan pecahan antara lain : 1. Jadikan nol ruas kanan pertidaksamaan 2. Tentukan nilai-nilai pembuat nol ruas kiri : meliputi pembuat nol pembilang dan pembuat nol penyebut (atau disebut juga nilai kutub) 3. Gambarkan nilai-nilai pembuat nol untuk pembilang dan penyebut pada garis bilangan 4. Tentukan tanda masing-masing interval yang terbentuk 5. Arsirlah daerah sesuai dengan tanda pertidaksamaan
6. Tuliskan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang bersangkutan. Contoh 4 : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini : 2 x − 3 1. ≥0 x + 1 1 2. <5 x Penyelesaian : 2 x − 3
1. Diketahui
≥ 0 . Perhatikan bahwa pertidaksamaan ini dapat diselesaikan x + 1 asalkan penyebut dari pertidaksamaan di atas, yaitu x + 1 ≠ 0 atau x ≠ −1 . Nilai-nilai pembuat nol ruas kiri : 3 a. Nilai pembuat nol pembilang : 2 x − 3 = 0 atau 2 x = 3 yaitu x = 2 b. Nilai pembuat nol penyebut (nilai kutub) : x + 1 = 0 atau x = −1 3 sehingga nilai-nilai pembuat nol ruas kiri adalah : x = dan x = −1 . 2 Selanjutnya gambarkan kedua nilai pembuat nol ini pada garis bilangan :
−1
Dari dua nilai nol tersebut garis bilangan terbagi menjadi tiga buah interval yaitu : 3 3 x < −1 , − 1 < x ≤ dan x ≥ . 2 2 Untuk menentukan tanda setiap intervalnya,
3 2
ambil sembarang titik uji, misalkan x = 0 (yang berada pada interval dan substitusikan ke pecahan
2 x − 3
x + 1
=
2⋅0 −3 0 +1
=
(− ) = (− ) , (+ )
−1 <
x≤
3 2
)
sehingga interval
3
( di mana titik uji x = 0 berada) merupakan daerah merupakan daerah 2 negatif. Sedangkan tanda-tanda dari interval yang lain adalah : −1 <
x≤
– –
++ −1
++ 3 2
Dengan demikian himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ini adalah : 3 HP = { x | x < −1 atau x ≥ } 2 3 = (− ∞, − 1) atau 2 , ∞ ) .
1
2. Diketahui
5.
Perhatikan
disubstitusikan ke pecahan interval x >
1 − 5 x
x
bahwa
1
1
1 − 5 x
dan <0 x x x x pertidaksamaan ini dapat diselesaikan asalkan penyebut dari ruas kiri, yaitu x ≠ 0 . Selanjutnya nilai-nilai pembuat nol ruas kiri adalah : 1 a. Nilai pembuat nol pembilang : 1 − 5 x = 0 atau x = 5 b. Nilai pembuat nol penyebut : x = 0 1 yaitu x = dan x = 0 . 5 Selanjutnya gambar kedua nilai pembuat nilai nol ini adalah : Dengan adanya dua nilai pemuat nol ini, garis riil (garis bilangan) terbagi ke dalam 3 1 interval, yaitu : x < 0 , 0 < x < dan 5 1 0 5 1 x > . 5 Untuk menentukan tanda dari setiap interval, ambil salah satu titik uji, misalkan 1 x = 1 (yang terletak pada interval x > ) 5 dan <
, diperoleh
<
5⇔
1 − 5 x
x
−5<
=
0⇔
1 − 5 ⋅1 1
( ),
= −4 −
sehingga
1
merupakan daerah negatif. Tanda selengkapnya untuk interval5 interval yang lain adalah :
++
–– 0
–– 1 5
Dengan demikian himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ini adalah : 1 HP = { x | x < 0 atau x > } 5 = (− ∞, 0 ) atau (15 , ∞ ) .
Peringatan : Untuk menyelesaikan pertidaksamaan no. 2 tidak dibenarkan mengerjakan 1 1 , < 5 ⇔ 1 < 5 x ⇔ x > 5 x dengan perkataan lain, pada pertidaksamaan pecahan tidak berlaku perkalian silang.
Soal Latihan Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini : x + 5 x − 2 1. 5. ≤0 <2 x + 4 2 x − 1 2 x − 1 2 x − 1 2. 6. >0 >1 x − 2 x − 3 7 2 x − 8 <3 <0 3. 7. 2 2 x x − 7 x + 6
4.
3
>
x + 5
8.
2
x
2
− 5 x +
x
2
− 3 x + 3
6
≥
0
D. PERTIDAKSAMAAN IRRASIONAL Pertidaksamaan irrasional adalah suatu pertidaksamaan yang mengandung
bentuk
tak
rasional
(yang
dicirikan
dengan
adanya
tanda
di
dalam
pertidaksamaannya). Untuk menyelesaikan pertidaksamaan irrasional, langkah-langkah yang dapat dilakukan antara lain : 1. Gunakan persyaratan riil :
f ( x ) riil bilamana f ( x ) ≥ 0
2. Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan dan tentukan penyelesaiannya. 3. Iriskan syarat pada no. 1 dan hasil pada no. 2 untuk memperoleh himpunan penyelesaian dari pertidaksamaannya. Contoh 5 : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :
1.
3 x − 2
<
2
2. x > x + 6 Penyelesaian : 1. Diketahui
3 x − 2
<
2
Syarat akar : 3 x − 2 ≥ 0 sehingga 3 x ≥ 2 atau x ≥
2
3 Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan di atas, diperoleh 3 x − 2
<
(1)
(2)
2 ⇔ 3 x − 2 < 4 ⇔ 3 x < 6 ⇔ x < 2
Selanjutnya iriskan syarat (1) dan hasil (2) diperoleh
2
≤ x < 2. 3 Dengan demikian himpunan penyelesaian pertidaksamaan yang ditanyakan 2 ■ adalah HP = { x | ≤ x < 2 }. 3
2. Diberikan pertidaksamaan x > x + 6 Syarat akar : x + 6 ≥ 0 sehingga didapat x ≥ −6 Syarat kedua : x > 0 Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan yang ditanyakan, diperoleh
x > x + 6
⇔ x
2
2
> x + 6 ⇔ x − x − 6 >
0 ⇔ ( x + 2)(x − 3) > 0
(1) (2)
yaitu x < −2 atau x > 3 (3) Selanjutnya iriskan ketiga hasil yang diperoleh pada perhitungan di atas dan ■ didapatkan HP = { x | x > 3 }. Soal Latihan Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut :
5. x − 3 >
1.
2 x + 4
2.
x
2
−
3.
x
2
− 4x − 5 <
4.
3 − x
x
4
<
6.
2
<
5 − x2
x − 3 < 5 − x
7. x + 2 > 10 − x
7
2
2x + 1
<
E. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK Sebelum membahas lebih jauh mengenai pertidaksamaan dengan nilai mutlak, akan diberikan terlebih dahulu konsep nilai mutlak suatu bilangan riil.
Misalkan x ∈ R, nilai mutlak dari x , dinotasikan dengan x , diberikan oleh
x
=
x, untuk x ≥ 0 − x, untuk x < 0
Contoh :
Dengan definisi nilai mutlak diperoleh 4
=
4, 0
=
0 dan
−
1 3
1 1 = . 3 3
= − −
Sifat-sifat Nilai Mutlak Misalkan a, b ∈ R, maka berlaku
1. 2.
ab a
=
a b a
=
b
, asalkan b ≠ 0
b
3.
a+b
≤
a
+
b (Ketidaksamaan Segitiga)
4.
a−b
≥
a
−
b
Selanjutnya untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak, sifat-sifat berikut ini sangat bermanfaat, di antaranya : 1.
x
<
a ⇔ −a < x < a
2.
x
>
a ⇔ x < −a atau x > a
3.
x
<
y
2
⇔ x < y
2
Contoh 6 : Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut :
1.
2 x − 7
<
3
2.
5 x − 6
3.
x − 2
≥1
<
3x + 7
Penyelesaian :
1. Perhatikan bahwa 2 x − 7
< 3 ⇔ −3 <
2 x − 7 < 3 ⇔ −3 + 7 < 2 x < 3 + 7
4 < 2 x < 10 ⇔ 2 < x < 5 . x < 5 }.
⇔
Dengan demikian HP = { x | 2 <
Cara Lain : Dengan menggunakan sifat ke-3 : 2 x − 7
<
3 ⇔ 2 x − 7 ⇔ ⇔
<
3
⇔
(2 x − 7 )2
2
4 x − 28 x + 40 < 0 ⇔ x ( x − 2)(x − 5) < 0
2
3
<
2
⇔
4 x
− 7 x + 10 <
2
−
28x + 49 < 9
0
dengan menyelesaikan pertidaksamaan terakhir didapat HP = { x | 2 < x < 5 }. ■ 2. Dengan menggunakan sifat ke-2 : 5 x − 6
≥1⇔
5 x − 6 ≤ −1 atau 5 x − 6 ≥ 1
5 x ≤ −1 + 6 atau 5 x ≥ 1 + 6 ⇔ 5 x ≤ 5 atau 5 x ≥ 7 7 . ⇔ x ≤ 1 atau x ≥ 5 7 7 Dengan demikian HP = { x | x ≤ 1 atau x ≥ } = ( −∞, 1] ∪ [ , ∞ ) . ■ 5 5 3. Dari pertidaksamaan yang diketahui dan dengan menggunakan sifat ke-3, diperoleh ⇔
x − 2
<
3 x + 7
⇔
x − 2
<
3 x + 7
⇔
2
−
4 x + 4 < 9 x
2
+ 130 x +
( x − 2)2
⇔
0 < 8 x + 130 x + 437 ⇔ 8 x (4 x + 19)(2 x + 23) > 0
⇔
(3 x + 21)2
<
⇔
<
3( x + 7 )
x − 2 ⇔ x
2
⇔
x − 2
2
437
<
3x + 21
+ 126 x + >
441
0
Dengan menyelesaikan pertidaksamaan terakhir di dapat penyelesaian yang dicari , yaitu ■ HP = { x | x < −11,5 atau x > −4,75 } = ( −∞, − 11,5) ∪ ( − 4,75, ∞) . Soal Latihan : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut :
1. 2. 3.
<
5
4.
−2 ≤
6
5. 2 2 x − 3
x − 2 x 3
2+
5
x
>1
2 x − 5
<
x+4
<
x + 10
