Pertidaksamaan Rasional, Irrasional Dan Mutlak

Matematika Peminatan SMA kelas X Kurikulum 2013 BAB I PERTIDAKSAMAAN RASIONAL, IRASIONAL & MUTLAK

I. Pertidaksamaan Rasional (Bentuk Pecahan) A. Pengertian Secara umum, terdapat empat macam bentuk umum dari pertidaksamaan berbentuk pecahan, yaitu : ( )  <0 ( ) ( )



( ) ( )



( ) ( )



( )

>0 ≤0 ≥0

Dengan ( ) dan ( ) merupakan fungsi-fungsi dalam x dan ( ) ≠ 0 B. Metode Penyelesaian Metode penyelesaian dalam pertidaksamaan bentuk pecahan antara lain: 1. Mengubah ruas kanan menjadi nol 2. Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan 3. Menentukan nilai pembuat nol pembilang dan penyebut 4. Meletakkan nilai pembuat nol pada garis bilangan 5. Mensubstitusikan = 0, sebagai nilai uji untuk menentukan tanda interval, yaitu  Tanda positif (+)untuk nilai pertidaksamaan yang lebih dari nol ( > 0)  Tanda negatif (-)untuk nilai pertidaksamaan yang kurang dari nol (< 0) 6. Interval yang memiliki tanda dengan nilai sesuai tanda pertidaksamaan merupakan himpunan penyelesaian yang dicari. Contoh Soal : Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

< 1, ≠ 3 !

Jawab : 2 −1 <1 −3 2 −1 −1<0 −3 2 −1 −3 − <0 −3 −3 (2 − 1) − ( − 3) <0 −3 +2 <0 −3 Nilai pembuat nol pembilang Nilai pembuat nol penyebut Garis bilangan: Uji titik = 0, diperoleh: 0+2 <0 0−3 <0 −

2 <0 ( 3

/

+2=0 ⟹ −3=0 ⟹

)

= −2 =3

Karena tanda pertidaksamaannya ( < ) maka himpunan penyelesaiannya pada interval yang bertanda ( - )

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { | −

< 3}

<

II. Pertidaksamaan Irasional ( Bentuk Akar) A. Pengertian Pertidaksamaan Irasional adalah pertidaksamaan yang bentuk aljabarnya berada di dalam akar B. Bentuk Umum 

( )> ( ) ( )>





( )

( )≤

( )< ( )

( )< Syarat : ( ) ≥ 0 dan

( )≤ ( )



( ) ( )≥0

( )≥

( )

( )≥ ( ) ( )

C. Penyelesaian Pertidaksamaan Irasional Langkah-langkah penyelesaiannya antara lain : a. Menguadratkan kedua ruas agar bentuk akarnya hilang b. Menetapkan syarat bagi fungsi yang berada di bawah tanda akar dan himpunan penyelesaiannya merupakan irisan dari penyelesaian utama dan syarat-syaratnya. Adapun syarat-syaratnya sebagai berikut: 1. Bentuk : ( ) < dengan > 0 Dipenuhi untuk : (a) ( ) ≥ 0 (b) ( ) < Penyelesaian : irisan dari (a) dan (b) 2. Bentuk : ( )< ( ) Dipenuhi untuk : (a) ( ) ≥ 0 (b) ( ) ≥ 0 (c) ( ) < ( ) Penyelesaian : irisan dari (a), (b) dan (c) 3. Bentuk : ( )< ( ) Dipenuhi untuk : (a) ( ) ≥ 0 (b) ( ) > 0 (c) ( ) < ( ) Penyelesaian : irisan dari (a), (b) dan (c) Contoh Soal : 1. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan √3 − 9 ≤ 6 ! 2. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan √ Jawab : 1. Syarat yang dipenuhi : a. √3 − 9 ≤ 6 √3 − 9 ≤ 6 3 − 9 ≤ 36

−9>√

+4 −5!

3 ≤ 36 + 9 3 ≤ 45 ≤ 15 b. 3 − 9 ≥ 0 3 ≥9 ≥3

Dari syarat (a) dan (b), maka himpunan penyelesaiannya : { |3 ≤ 2. Syarat yang dipenuhi : √

a.

−9 >√ −9

>

+4 −5 +4 −5

−9> +4 −5 − 9 − ( + 4 − 5) > 0 −4 − 4 > 0 −4 > 4 < −1 b. −9≥0 ( + 3)( − 3) ≥ 0 Uji titik = 0, diperoleh: (0 + 3)(0 − 3) ≥ 0 −9 ≥ 0 (Salah/negatif)

Hp : ≤ −3 atau ≥ 3 c. +4 −5 ≥0 ( + 5)( − 1) ≥ 0 Uji titik = 0, diperoleh: (0 + 5)(0 − 1) ≥ 0 −5 ≥ 0 (Salah/negatif)

Hp :

≤ −5 atau

≥1

Dari syarat (a), (b) dan (c) diperoleh:

Jadi himpunan peneyelesaiannya adalah { | ≤ −5 atau

III. Pertidaksamaan Mutlak 1. Pengertian

≥ 3}

≤ 15}

Pertidaksamaan Mutlak adalah pertidaksamaan yang variabelnya mengandung atau dalam bentuk tanda mutlak | ..... | Pengertian nilai mutlak : − , <0 ( )=| |= dengan ∈ , ≥0 ( )=| |= 2. Bentuk Umum  | ( )| <  | ( )| >  | ( )| ≥  | ( )| ≤ 0 3. Penyelesaian Pertidaksamaan Mutlak Dalam menyelesaikan pertidaksamaan mutlak selalu menggunakan sifat-sifat nilai mutlak berikut ini: Untuk , ∈ bilangan real, maka selalu berlaku : 1. 2. 3. 4. 5.

| − |= | − | ≤ | | | |= | | = | + | ≤ | |+| | | |−| | ≤ | + |

Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak secara umum : a. Bentuk | ( )| < dan > 0 diubah ke dalam bentuk : − < ( ) < b. Bentuk | ( )| ≤ dan > 0 diubah ke dalam bentuk : − ≤ ( ) ≤ c. Bentuk | ( )| > dan > 0 diubah ke dalam bentuk : ( ) < − atau ( ) > d. Bentuk | ( )| ≥ dan > 0 diubah ke dalam bentuk : ( ) ≤ − atau ( ) ≥ e. Bentuk | ( )| > | ( )| diubah ke dalam bentuk : [ ( ) + ( )][ ( ) − ( )] > 0 f. Bentuk < | ( )| < dengan dan positif, diubah menjadi : < | ( )| < atau − < | ( )| < − g.

Bentuk

< dengan <

>0

⇔ | |< | | ⇔ | |<| ⇔ ( +

| )( −

)<0

Contoh Soal : Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan : a. |2 − 7| < 3 b. |1 − 2 | ≥ | − 2| c.

≤4

Jawab : a. |2 − 7| < 3 memenuhi | ( )| <

⇔− < ( )<

Sehingga diubah menjadi : −3 < 2 − 7 < 3 ⇔ −3 + 7 < 2 − 7 + 7 < 3 + 7 ⇔ 4 < 2 < 10 4 2 10 ⇔ < < 2 2 2 ⇔ 2< <5 Jadi penyelesaiannya : 2 < < 5 b. |1 − 2 | ≥ | − 2| memenuhi | ( )| > | ( )| ⇔ [ ( ) + ( )][ ( ) − ( )] > 0 Sehingga diubah menjadi : [1 − 2 + ( − 2)][1 − 2 − ( − 2)] ≥ 0 (1 − 2 + − 2)(1 − 2 − + 2) ≥ 0 (−1 − )(3 − 3 ) ≥ 0 −( + 1)[−1(3 − 3)] ≥ 0 ( + 1)(3 − 3) ≥ 0 Uji titik = 0, diperoleh: (0 + 1)(0 − 3) ≥ 0 −3 ≥ 0 (Salah/negatif)

≤ −1 atau ≥ 1 Jadi penyelesaiannya : ≤ −1 atau c.

≤ 4 memenuhi

≤

≥1

⇔ ( +

)( −

)<0

Sehingga diubah menjadi : [3 − 2 + 4(2 + )][3 − 2 − 4(2 + )] ≤ 0 (3 − 2 + 8 + 4 )(3 − 2 − 8 − 4 ) ≤ 0 (2 + 11)(−6 − 5) ≤ 0 (2 + 11)[−(6 + 5)] ≤ 0 (2 + 11)(6 + 5) ≥ 0 ( kedua ruas dibagi -1) Uji titik = 0, diperoleh: (0 + 11)(0 + 5) ≥ 0 55 ≥ 0 (Salah/negatif)

≤−

atau

≥−

Jadi penyelesaiannya :

≤−

atau

≥−

LATIHAN SOAL Soal 1. Himpunan penyelesaian dari

Jawaban

≥0

pertidaksamaan

adalah .... 2. Himpunan penyelesaian dari ≤0

pertidaksamaan

adalah .... 3. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

≥

adalah .... 4. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

<

+2

adalah .... 5. Himpunan penyelesaian dari ( ) pertidaksamaan >0 adalah .... 6. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan √2 + 6 < √4 − adalah .... 7. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan √4 − < +2 adalah .... 8. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan √ − 3 ≥ 3√2 adalah .... 9. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan √ − 3 + 2 ≤ √ + 7 adalah .... 10. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

≤2

adalah .... 11. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan √ − 6 + 8 < + 2 adalah .... 12. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |3 − 2 | ≥ 5 adalah .... 13. Himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan |3 − 1| < | + 2| adalah .... 14. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan | − 3 + 1| < 1 adalah .... 15. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan | − 2| − | − 2| < 2

adalah .... 16. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |4 − 3| ≥ + 1 adalah .... 17. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan √ − 4 + 4 ≥ |2 − 3| adalah .... 18. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

≥

adalah .... 19. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan − | | ≤ 12 adalah .... 20. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah ....

≤0