Persamaan Schrodinger

PERSAMAAN SCHRODINGER MEKANIKA KUANTUM

Nurhidayah,S.Pd, M.Sc

Dasar dari mekanika kuantum

energi itu tida !ntinyu, ta"i di#rit $eru"a paket atau kuanta. %e&e'('e&e' )eania uantu)   

%e&e' da#ar * )eania )eania ge'!)$ang dirinti# !'eh Schr!dinger %e&e' )enengah* Meania tran+!r)a#i !'eh Dirac %e&e' 'anut* Meania uantu) Re'ati&i#ti

Nurhidayah,S.Pd, Nurhidayah, S.Pd, M.Sc

%ATAR -E%AKANG DAN -UKTI EMPIRIS

 Kegaga'an

te!ri 'a#i da'a) )ene'a#an #i+at dua'i#)e ge'!)$ang * radia#i $enda hita), e+e +!t!'i#tri, e+e c!)"t!n, di+ra#i e'etr!n !'eh i#i at!)  Kegaga'an e'etr!dina)ia 'a#i da'a) )ene'a#an e#ta$i'an at!) dan )!'eu'


PER-EDAAN MEKANIKA KUANTUM DAN MEKANIKA K%ASIK Daerah makro (>µm) sebelum abad 2

Daerah mikro(!µm) sesudah abad 2

. Se)ua !$#er&a$e'/$e#aran 0#i#1 da"at diuur #ecara "a#ti /∆Ω231

. Tida #e)ua !$#er&a$e' da"at diuur #ecara #erenta4 "a#ti

5. Pera'ian !$#er&a$e' yang $er!)uta#i

5. Pera'ian !$#er&a$e' ta $er!)uta#i arena !$#er&a$e' di6ai'i !'eh !"erat!r

7. Di"er'uan ruang di)en#i $erhingga /N1

7. Di"er'uan ruang $erdi)en#i ta hingga

8. -i'angan rea' #aa "er'u untu de#ri"#ian #i#te)

8. Di"er'uan $i'angan !)"'e untu )ende#ri"#ian #i#te)

9. K!n#e" 'inta#an "artie' ada'ah 9. K!n#e" 'inta#an "artie' tida Setia" #i#te) 0#i# dinyataan dengan "un#si nyata )ungin 'agi di"ertahanan $elomban# Nurhidayah,S.Pd, M.Sc

:UNGSI GE%OM-ANG /Ψ1 1.

Fungsi gelombang merupakan sebuah fungsi matematika

2. Fungsi gelombang mengandung semua informasi yang mungkin diketahui tentang lokasi dan gerak dari partikel 3. Jika sebuah fungsi gelombang memiliki nilai yang besar, maka semakin besar kemungkinan menemukan partikel pada posisi tersebut. Jika memberikan nilai 0, maka tidak ada kemungkinan untuk menemukan partikel pada posisi tersebut 4. Perubahan fungsi gelombang yang lebih cepat dari satu tempat ke tempat lain membutuhkan energi kinetik partikel yang lebih besar Nurhidayah,S.Pd, M.Sc

PERSAMAAN SCHRODINGER Huu) Ne6t!n

Meania Kuantu)

Menu'i#an "er#a)aan dan )e)ecahan "er#a)aan dengan )ani"u'a#i )ate)atia $e'aa Per#a)aan uta)a haru# di"ecahan dengan #uatu "er#a)aan di+eren#ia' !rde dua "un#si #elomban#

Persamaan Schrodin#er (%r&in Schrodin#er) Nurhidayah,S.Pd, M.Sc

Kriteria 

ita tidak boleh melanggar hukum kekekalan energi K

+V =

E

dibatasi pada keadaan tak relati!istik, maka 2 p 2 K = 1 mv = 2 2m " bukan energi massa relati!istik 

#aat a$as terhadap hipotesis de %roglie p 2



2

2

h k

= K = 2m 2m Persamaan harus &berperilaku baik' dalam pengertian matematika (linear dan bernilai tunggal)


2

d ψ dx

2

= −k

2

−

h

2m

2

ψ

= −

2m 2

h

Kψ

= −

2m 2

h

2

d ψ dx

2

+ Vψ =

E ψ

(E

−V

)ψ

Persamaan Schrodin#er 'ak #ayut aktu * dimensi

Jika *(+) adalah energi potensial dari partikel, yang tergantung pada posisi (+) 

=

h 2π

= 1.05457 x10−34 Js

odifikasi konstanta Planck (h)


Solusi untuk Persamaan Schrodin#er #ayut aktu *dimensi

Ψ ( x, t ) = ψ ( x ) e

− iω t

dengan ω = E

h


Pernyataan persoalan +sika klasik yan# setara ba#i mekanika kuantum

A"a$i'a #e$uah $enda $ergera )e'e6ati "er$ata#an dua daerah di)ana $eera gaya , )aa "eri'au gera da#ar dari $enda da"at dicari "!ten#ia' huu) edua Ne6t!n eduduan Dengan )e)ecahan "er#a)aan Schr!dinger +ung#i ge'!)$ang

ece"atan Se'a'u !ntinyu "ada daerah "er$ata#an, dan $ah6a turunan d ψ /dx


PRO-A-I%ITAS DAN NORMA%ISASI Pr!$a$i'ita# * ;u)'ah dari #e)ua e)unginan atau e$!'eh adian atau "e'uang Pr!$a$i'ita# untu )ene)uan "artie' #i#te) 0#i# "ada #uatu titi tertentu 2

P ( x ) dx = ψ ( x ) dx

Ra"at Pr!$a$i'ita# /"r!$a$i'ita# "er #atuan "anang da'a) ruang  di)en#i1


Pr!$a$i'ita# untu )ene)uan "artie' #i#te) 0#i# antara < dan <5 x2

x2

2

∫ P ( x ) dx = ∫ ψ ( x )

x1

dx

x1

Pr!$a$i'ita# untu )ene)uan "artie' #i#te) 0#i# di #uatu titi #e"anang #u)$u <, ada'ah 33 = +∞

∫

2

ψ ( x ) dx = 1

-yarat ormalisasi

−∞


/-- F5- 5"/%5 Fungsi gelombang yang ternormalisasi N ψ, kemungkinan partikel untuk berada pada daerah )(N ψ )dx. dx senilai dengan (N ψ* umlah dari semua kemungkinan (probability) pada semua tempat harus bernilai 1


∫

N 2 ψ !ψ dx = 1 1

N =

∫

1

( ψ !ψ dx) 2

/--

∫

ψ !ψ dx = 1

∫

ψ !ψ dxdydz = 1

∫

ψ !ψ d τ = 1 d τ = dxdydz

x = r sin θ "os φ y = r sin θ sin φ

oordinat -perik

z = r "os θ d τ = r 2 sin θ drd θ d φ Nurhidayah,S.Pd, M.Sc

/P"#/ 6 /%-"*%"O"erat!r* #uatu in#tru#i )ate)ati# yang a"a$i'a dienaan4 atau di!"era#ian "ada #uatu +ung#i, )aa +ung#i ter#e$ut aan $eru$ah )enadi +ung#i 'ain. ontoh

∂ dikenakan terhadap $ungsi,maka ∂t ∂ # O Ψ ( x , t ) = ( Ψ ( x, t ) ) ∂t O# =


O"erat!r * 6ai'an dari #i#te) !$#er&a$e' /$e#aran 0#i#1

Per#a)aan Schr!dinger * H ψ = E ψ H = −



2

2

d

2m dx

2

+ V ( x)

% merupakan operator, yang sering digunakan untuk persamaan gelombang ψ % adalah &perator %'*+&'


/P"#/ O"erat!r )!)entu) 'inear, "ada #u)$u <*



d ψ

i dx

= pψ


NI%AI DAN :UNGSI EIGEN

F adalah $ungsi, Ω adalah operator dan ω adalah konstanta

ilai ω adalah Nilai Eigen dari operator Fungsi f adalah Fungsi Eigen


Ω

-E-ERAPA PENERAPAN . Partikel bebas Tan"a di"engaruhi gaya a"a"un da'a) #uatu $agian ruang :23, a'' < V = 0 >/<12teta"an 

−

h2 d 2ψ

2m dx atau d 2ψ d x 2

2

= E ψ

= − k 2ψ

di)ana

#!'u#i

2

k

=

2mE

h2

ψ ( x ) = A sin kx +  "os kx


Energi yang di"erenanan 2

E =

2

h k

2m

Karena "e)ecahan tida )e)$eri $ata#an "ada , )aa energi "artie' di"erenanan )e)i'ii #e)ua ni'ai

%ner#i tidak terkuantisasika n


. Partikel dalam Sebuah -otak (  dimensi) +o ∞

- ∞

+o ∞

- 0

- ∞

V ( x) /0

/*

Sumur Potensial 'ak in##a Nurhidayah,S.Pd, M.Sc

=0 0≤ x≤ ! = ∞ x < 0, x > !

ila - 0

ψ ( x ) = A sin kx +  "os kx pada /0, untuk 0,

( 0 ≤ x ≤ !)

ψ 0, maka

ψ ( 0) = A sin 0 +  "os 0  = 0 pada /*, untuk 3*,

ψ 0, maka

ψ ( ! ) = A sin k! +  "os k! oleh karena  = 0 maka A sin k! = 0 sin k! = 0 k! = π , 2π , 3π , % k! = nπ

n = 1, 2,3, %

Sederetan #elomban# berdiri de/ro#lie Nurhidayah,S.Pd, M.Sc

Karena ni'ai tertentu yang di"erenanan, )aa hanya'ah ni'ai(ni'ai tertentu E yang da"at teradi %ner#inya 'erkuantisasi 

2

E =

hk

2

2m

2

=

2

h π n

2

2

2m!

E = n E 0 2


:ung#i ge'!)$ang #e$uah "artie' da'a) !ta $erenergi En

ψ n = A sin

2mE n

h

x

Teta"an A?? !

∫

A

2

sin

2

!

0

= A

nπ

2

xdx = 1

N!r)a'i#a#i

! 2

sehingga A =

2

! Nurhidayah,S.Pd, M.Sc

Maa "e)ecahannya ψ ( x )

2 =

!

sin

nπ !

x

n

=

1, 2, 3, %



CONTOH SOA% Se$uah e'etr!n ter"eranga" da'a) #uatu daerah #atu di)en#i #e"anang ,3<3(3) /dia)eter ha# at!)i1. a) /erapa banyak ener#i yan# harus dipasok untuk men#eksitasikan elektron dari keadaan dasar ke keadaan eksitasi pertama b) Pada keadaan dasar, berapakah probabilitas untuk menemukan elektron dalam daerah dari 01 ,0 *m hin##a ,0*m3 c) Pada keadaan dasar, berapakah probabilitas untuk menemukan elektron dalam daerah dari 01  m hin##a ,240 *m3


Persamaan Schrodinger

Recommend Documents