PEMBUKTIAN LANGSUNG
Untuk menunjukan pernyataan (p=>q) benar dapat dilakukan dengan menggunakan premis p untuk mendapatkan konklusi q. Metode pembuktian yang termasuk bukti langsung antara lain modus ponens, tollens, dan silogisme. 1..Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n adalah bilangan ganjil, maka n2 adalah bilangan ganjil ! Jawab : Misalnya : p : n adalah bilangan bulat ganjil q : n2 adalah bilangan bulat ganjil Akan dibuktikan p => q benar. Karena n ganjil, yaitu n = 2k +1, k € C Maka n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 +4k +1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 = 2m + 1 2 Dengan m = 2k + 2k, yang berarti n2 adalah bilangan bulat ganjil Jadi, terbukti p=>q benar 2. Buktikan bahwa jumlah 2 bilangan genap adalah genap Jawab : Pembuktian akan dilakukan secara umum, yaitu dengan mengambil sembarang mengambil sembarang 2 bilangan genap dan buktikan bahwa jumlah kedua bilangan tersebut adalah genap. Sembarang di sini berarti kita tidak boleh mengambil bilangan genap tertentu, misal 4 dan 10. Akan tetapi kita harus menggunakan 2 variabel untuk menyatakan bahwa pengambilan tersebut dilakukan secara sembarang. Bukti Ambil sembarang 2 bilangan genap, misal m dan n. Akan dibuktikan bahwa (m+n) juga bilangan genap. Oleh karena a dan b adalah bilangan-bilangan genap, maka bilangan-bilangan bulat r dan s sehingga m + n = 2r + 2s = 2 (r+s) Misal k = r + s
dan
untuk
Oleh karena r dan s adalah bilangan-bilangan bulat, maka k adalah bilangan bulat juga sehingga m + n = 2k untuk suatu bilangan bulat k. Menurut definisi bilangan genap, (m+n) adalah bilangan genap karena merupakan hasil kali 2 bilangan bulat. Terbukti bahwa jumlah 2 bilangan genap adalah bilangan genap juga
Buktikan bahwa jika a membagi b dan b membagi c maka a membagi c dengan a, b, dan c bilangan bulat. Bukti : a | b artinya b = ka untuk suatu k … (i) b | c artinya c = lb untuk suatu l … (ii) akan dibuktikan bahwa c = ma untuk suatu m substitusi (i) ke (ii), sehingga diperoleh c = lb = l(ka) = (lk)a karena lk adalah perkalian bilangan bulat yang hasilnya bilangan bulat juga (sifat tertutup perkalian bilangan bulat), maka ambil m := lk untuk dengan m , sehingga diperoleh c = ma untuk suatu m Buktikan bahwa a + b bilangan ganjil jika dan hanya jika a atau b bilangan ganjil dengan a dan b bilangan bulat. Bukti : Pernyataan diatas ekuivalen dengan (i) jika a + b bilangan ganjil maka a atau b bilangan ganjil (ii) jika a atau b bilangan ganjil maka a + b bilangan ganjil Jadi pada pembuktian ini kita akan membuktiaan (i) dan (ii). Bukti bagian (i) misalkan a dan b bilangan bulat sebarang dan a + b bilangan ganjil. akan dibuktikan a atau b bilangan ganjil. tanpa mengurangi perumuman akan dibuktikan a ganjil klaim : b bilangan genap (b := 2m untuk suatu m ) a + b bilangan ganjil a + b = 2k + 1 untuk suatu k substitusi b = 2m sehingga diperoleh a + 2m = 2k + 1 a = 2k – 2m + 1 = 2(k – m) + 1 karena tertutup terhadap operasi pengurangan, maka ambil l := k – m, sehingga diperoleh a = 2l + 1 jadi a bilangan ganjil selanjutnya akan dibuktikan b bilangan ganjil klaim : a bilangan genap (a := 2p untuk suatu p ) a + b bilangan ganjil a + b = 2q + 1 untuk suatu k substitusi a = 2p sehingga diperoleh 2p + b = 2q + 1 b = 2q – 2p + 1 = 2(p – q) + 1 karena tertutup terhadap operasi pengurangan, maka ambil r := p – q, sehingga diperoleh b = 2r + 1 jadi b bilangan ganjil Bukti bagian (ii) misal a dan b bilangan bulat sebarang dan a bilangan ganjil (a := 2m + 1 untuk suatu m ) dan b bilangan genap (b := 2n untuk suatu n ). Sehingga a + b = 2m + 1 + 2n = 2(m + n) + 1
karena tertutup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat, ambil p := m + n, sehingga a + b = 2p + 1 untuk suatu p jadi a + b bilangan ganjil Buktikan bahwa perkalian tiga bilangan asli berurutan habis dibagi 3 Bukti : misal tiga bilangan asli berurutan didefinisikan sebagai n, n + 1 dan n + 2 untuk suatu n dan perkalian tiga bilangan asli adalah . Disini kita akan menggunakan 3 kasus, yaitu 3k, 3k + 1, 3k + 2 (i) = (n)(n + 1)(n + 2) = (3k)(3k + 1)(3k + 2) = 3k(9k 2 + 9k + 2) = 3(9k 3 + 9k + 3) adalah bilangan kelipatan 3 (ii) = (n)(n + 1)(n + 2) = (3k + 1)(3k + 1 + 1)(3k + 1 + 2) = (3k + 1)(3k + 2)(3k + 3) = (3k + 1)(9k 2 + 15k + 6) = 27k 3 + 54k 2 + 21k + 6 = 3(9k 3 + 18k 3+ 7k + 2) adalah bilangan kelipatan 3 (iii) = (n)(n + 1)(n + 2) = (3k + 2)(3k + 2 + 1)(3k + 2 + 2) = (3k + 2)(3k + 3)(3k + 4) = (3k + 2)(9k 2 + 21k + 12) = 27k 3 + 81k 2 + 78k + 24 = 3(9k 3 + 27k 2 + 26k + 8) adalah bilangan kelipatan 3 dari (i), (ii), dan (iii) terlihat bahwa merupakan bilangan kelipatan 3 berakibat habis dibagi 3
