PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI
Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža , mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je , naravno, naučiti onako kako vaš profesor zahteva. Mi ćemo probati da vas naučimo kako se konkretno traže parcijalni izvodi... Najpre par reči o obeležavanjima: najčešće se u zadacima zadaje funkcija z = z ( x, y ) , pa je: ∂z → oznaka za parcijalni izvod “ po x-su” ∂x ∂z → oznaka za parcijalni izvod “ po y” ∂y
∂2 z → oznaka za dupli parcijalni izvod “ po x-su” , a računa se ∂x 2
∂ 2 z ∂ ∂z = ∂x 2 ∂x ∂x
∂2 z ∂ 2 z ∂ ∂z → oznaka za dupli parcijalni izvod “ po y” , a računa se = ∂y 2 ∂y 2 ∂y ∂y ∂2 z ∂y∂x
∂2 z ∂2 z ∂ ∂z ∂2 z ∂ ∂z i su mešoviti dupli parcijalni izvodi a traže se = i = ∂x∂y ∂y∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂x ∂y
Ovde je najvažnije zapamtiti sledeću stvar:
→ Kad tražimo parcijalni izvod “ po x-su” tada y tretiramo kao konstantu ( broj) → Kad tražimo parcijalni izvod “ po y ” tada x tretiramo kao konstantu ( broj)
primer 1.
Odrediti prve parcijalne izvode za funkciju
z = x2 + y2 − 2x + 3 y
Rešenje: Prvo tražimo
∂z → parcijalni izvod po x. Znači da je y konstanta. z = x 2 + y 2 − 2 x + 3 y ∂x
Znamo da je izvod od konstante 0 kad nije vezana za funkciju , pa je:
1
z = x2 + y2 − 2x + 3 y ∂z = 2x + 0 − 2 + 0 = 2x − 2 ∂x Sad tražimo po y: z = x 2 + y 2 − 2 x + 3 y zaokruženo su konstante, pa je izvod od njih 0. z = x2 + y2 − 2x + 3 y ∂z = 0 + 2y − 0 + 3 = 2y + 3 ∂y
primer 2.
Odrediti prve parcijalne izvode za funkciju
z = 3 x3 y − 6 xy + 5 y 2 + 7 x − 12 y
Rešenje:
z = 3 x3 y − 6 xy + 5 y 2 + 7 x − 12 y ∂z = 3 y ⋅ 3 x 2 − 6 y ⋅1 + 0 + 7 − 0 = 9 x 2 y − 6 y + 7 ∂x Sad su konstante vezane za funkciju, njih prepišemo a tražimo normalno izvod od funkcije po x, recimo za 3x 3 y konstanta je 3y koje prepisujemo a izvod od x3 je 3x 2 . Da nađemo prvi parcijalni izvod po y:
z = 3 x3 y − 6 xy + 5 y 2 + 7 x − 12 y ∂z = 3 x3 ⋅1 − 6 x ⋅1 + 10 y + 0 − 12 = 3 x 3 − 6 x + 10 y − 12 ∂y Kad radimo po y, sve što ima x je konstanta, pa je tako recimo za 3x 3 y izraz 3x3 konstanta koju prepisujemo a znamo da je od y izvod 1.
www.matematiranje.com 2
primer 3. z=
Odrediti prve parcijalne izvode za funkciju
3x 7 y + y x
Rešenje: z=
3x 7 y + y x
1 3 7y ∂z 3 = ⋅1 + 7 y ⋅ ( − 2 ) = − 2 x y x ∂x y 1 7 3x 7 ∂z = 3 x ⋅ ( − 2 ) + ⋅1 = − 2 + ∂y y x y x
primer 4.
Nađi prve parcijalne izvode za funkciju
u = ln( x + y 2 )
Rešenje: Pazite, ovde imamo i izvod složene funkcije:
u = ln( x + y 2 ) ∂u 1 1 1 = ⋅ ( x + y 2 )`po x = ⋅ (1 + 0) = 2 2 ∂x x + y x+ y x + y2 ∂u 1 1 2y = ⋅ ( x + y 2 )`po y = ⋅ (0 + 2 y ) = 2 2 ∂y x + y x+ y x + y2
primer 5.
Nađi prve parcijalne izvode za funkciju
z = xy
Rešenje: z = xy ∂z = y ⋅ x y −1 ∂x ∂z = x y ⋅ ln x ∂y
ovde radimo kao ( x Θ )`= Θ ⋅ x Θ−1
Za parcijalni izvod po y radimo kao : (a y )`= a y ln a 3
primer 6.
Odrediti prve parcijalne izvode za funkciju
z=
x+ y x2 + y 2
Rešenje: Ovde moramo raditi kao izvod količnika: z=
x+ y x2 + y 2
` 2 2 2 2 ` ∂z ( x + y ) po x ⋅ ( x + y ) + ( x + y ) po x ⋅ ( x + y ) = ∂x ( x 2 + y 2 )2
∂z 1 ⋅ ( x 2 + y 2 ) + 2 x ⋅ ( x + y ) x 2 + y 2 + 2 x 2 + 2 xy 3 x 2 + y 2 + 2 xy = = = ∂x ( x 2 + y 2 )2 ( x2 + y 2 )2 ( x2 + y 2 )2 ` 2 2 2 2 ` ∂z ( x + y ) po y ⋅ ( x + y ) + ( x + y ) po y ⋅ ( x + y ) = ∂y ( x2 + y 2 )2
∂z 1 ⋅ ( x 2 + y 2 ) + 2 y ⋅ ( x + y ) x 2 + y 2 + 2 xy + 2 y 2 x 2 + 3 y 2 + 2 xy = = = ∂y ( x2 + y 2 )2 ( x2 + y 2 )2 ( x 2 + y 2 )2
primer 7.
Odrediti prve parcijalne izvode za funkciju
u = ln( x 2 + y 2 + z 2 )
Rešenje: u = ln( x 2 + y 2 + z 2 ) ∂u 1 1 2x = 2 ⋅ ( x 2 + y 2 + z 2 )`po x = 2 ⋅ 2x = 2 2 2 2 2 ∂x x + y + z x +y +z x + y2 + z2 ∂u 1 1 2y = 2 ⋅ ( x 2 + y 2 + z 2 )`po y = 2 ⋅2y = 2 2 2 2 2 ∂y x + y + z x +y +z x + y2 + z2 ∂u 1 1 2z = 2 ⋅ ( x 2 + y 2 + z 2 )`po z = 2 ⋅ 2z = 2 2 2 2 2 ∂z x + y + z x +y +z x + y2 + z2 www.matematiranje.com 4
primer 8. x u= y
Odrediti prve parcijalne izvode za funkciju
z
Rešenje:
x u = y
z
x ∂u = z ∂x y x ∂u = z ∂y y
z −1
z −1
`
z −1
`
z −1
x x ⋅ = z y po x y x x ⋅ = z y po y y
1 z x ⋅ = ⋅ y y y
z −1
1 z x ⋅ x ⋅ − 2 = − ⋅ y y y
z
z
x ∂u x = ⋅ ln ∂z y y
primer 9.
∂2 z Odrediti = ?, ∂x 2
∂2 z = ?, ∂x∂y
∂2 z = ?, ∂y∂x
∂2 z = ? za funkciju ∂y 2
z = 3 x3 y − 6 xy + 5 y 2 + 7 x − 12 y
Rešenje:
Naravno, najpre moramo naći prve parcijalne izvode: z = 3 x3 y − 6 xy + 5 y 2 + 7 x − 12 y ∂z = 3 y ⋅ 3 x 2 − 6 y ⋅1 + 0 + 7 − 0 = 9 x 2 y − 6 y + 7 ∂x ∂z = 3 x3 ⋅1 − 6 x ⋅1 + 10 y + 0 − 12 = 3 x 3 − 6 x + 10 y − 12 ∂y
Sad koristeći njih tražimo dalje: 5
∂z = 9 x2 y − 6 y + 7 ∂x ∂z = 3 x3 − 6 x + 10 y − 12 ∂y ∂ 2 z ∂ ∂z ∂ = = (9 x 2 y − 6 y + 7) = 18 xy 2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂2 z ∂ ∂z ∂ = = (9 x 2 y − 6 y + 7) = 9 x 2 − 6 ∂y∂x ∂y ∂x ∂y ∂2 z ∂ ∂z ∂ = = (3 x 3 − 6 x + 10 y − 12) = 9 x 2 − 6 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂ 2 z ∂ ∂z ∂ = = (3 x3 − 6 x + 10 y − 12) = 10 2 ∂y ∂y ∂y ∂y
primer 10.
Odrediti
∂2 z = ?, ∂x 2
∂2 z = ?, ∂x∂y
∂2 z = ?, ∂y∂x
∂2 z = ? za funkciju ∂y 2
z = e xy
Rešenje:
z = e xy ∂z ∂z = e xy ⋅ ( xy )`po x = e xy ⋅ y = ye xy → = ye xy ∂x ∂x ∂z ∂z = e xy ⋅ ( xy )`po y = e xy ⋅ x = xe xy → = xe xy ∂y ∂y ∂ 2 z ∂ ∂z ∂ = = ( ye xy ) = y ⋅ ye xy = y 2 e xy ∂x 2 ∂x ∂x ∂x ∂2 z ∂ ∂z ∂ = = ( ye xy ) = 1 ⋅ e xy + xe xy ⋅ y = e xy (1 + xy ) ∂y∂x ∂y ∂x ∂y ∂2 z ∂ ∂z ∂ = = ( xe xy ) = 1 ⋅ e xy + ye xy ⋅ x = e xy (1 + xy ) ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂ 2 z ∂ ∂z ∂ = = ( xe xy ) = x ⋅ xe xy = x 2 e xy 2 ∂y ∂y ∂y ∂y
www.matematiranje.com 6
primer 11.
Pokazati da je
x ∂z 1 ∂z + = 2 z ako je z = x y y ∂x ln x ∂y
Rešenje: Kod ovog tipa zadatka najpre nađemo parcijalne izvode koji se javljaju u zadatku ( ovde na levoj strani jednakosti) Zamenimo ih i sredimo da dobijemo desnu stranu: z = xy ∂z = y ⋅ x y −1 ∂x ∂z = x y ⋅ ln x ∂y
Sad prepišemo levu stranu i zamenimo parcijalne izvode: x ∂z 1 ∂z + = y ∂x ln x ∂y x 1 ⋅ y x y −1 + ⋅ x y ln x = y ln x x y + x y = 2x y = 2z Dokazali smo traženu jednakost. primer 12.
Pokazati da je
x
∂z ∂z − y = x ako je z = x + ϕ ( xy ) ∂x ∂y
Rešenje:
z = x + ϕ ( xy ) ∂z = 1 + ϕ `( xy ) ⋅ ( xy )`po x = 1 + ϕ `( xy ) ⋅ y = 1 + y ⋅ ϕ `( xy ) ∂x ∂z = 0 + ϕ `( xy ) ⋅ ( xy )`po y = ϕ `( xy ) ⋅ x = x ⋅ ϕ `( xy ) ∂y zamenimo u levoj strani:
7
∂z ∂z −y = ∂x ∂y x ⋅ (1 + y ⋅ ϕ `( xy )) − y ⋅ x ⋅ ϕ `( xy ) = x
x + xyϕ `( xy ) − xyϕ `( xy ) = x Dobili smo desnu stranu jednakosti!
primer 13.
Pokazati da je
y
∂z ∂z − x = 0 ako je z = ϕ ( x 2 + y 2 ) ∂x ∂y
Rešenje:
z = ϕ ( x2 + y 2 ) ∂z 1 1 = ϕ `( x 2 + y 2 ) ⋅ ( x 2 + y 2 )`po x = ϕ `( x 2 + y 2 ) ⋅ ( x 2 + y 2 )`po x = ϕ `( x 2 + y 2 ) ⋅ ⋅ 2x 2 2 ∂x 2 x +y 2 x2 + y 2 ∂z x = ϕ `( x 2 + y 2 ) ⋅ ∂x x2 + y 2 ∂z 1 1 = ϕ `( x 2 + y 2 ) ⋅ ( x 2 + y 2 )`po y = ϕ `( x 2 + y 2 ) ⋅ ( x 2 + y 2 )`po y = ϕ `( x 2 + y 2 ) ⋅ ⋅ 2y 2 2 ∂y 2 x +y 2 x2 + y 2 ∂z y = ϕ `( x 2 + y 2 ) ⋅ 2 ∂y x + y2
y
∂z ∂z −x = ∂x ∂y
y ⋅ ϕ `( x 2 + y 2 ) ⋅
ϕ `( x 2 + y 2 ) ⋅
x x2 + y2 xy x2 + y 2
− x ⋅ ϕ `( x 2 + y 2 ) ⋅
− ϕ `( x 2 + y 2 ) ⋅
x x2 + y2
xy x2 + y 2
=
=0
www.matematiranje.com 8
TOTALNI DIFERENCIJAL funkcije z = z ( x, y ) u oznaci dz se traži po formuli: dz =
∂z ∂z dx + dy ∂x ∂y
Dakle, nađemo parcijalne izvode i zamenimo ih u formulu.
primer 14.
Naći totalni diferencijal sledećih funkcija: a) z = x 2 y b) u =
z x + y2 2
Rešenje: a) z = x2 y ∂z = 2 xy ∂x ∂z = x2 ∂y ∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y dz = 2 xydx + x 2 dy
b)
z x + y2 ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
u=
2
∂u 1 2 xz ∂u 2 xz = z ⋅ (− 2 ) ⋅ 2x = − 2 → =− 2 2 2 2 2 ∂x (x + y ) (x + y ) ∂x ( x + y 2 )2 1 2 yz 2 yz ∂u ∂u )⋅2y = − 2 = z ⋅ (− 2 → =− 2 2 2 2 2 ∂y (x + y ) (x + y ) ∂y ( x + y 2 )2 ∂u 1 = 2 ∂z x + y 2
9
Sad ovo zamenimo u formulu: du =
∂u ∂u ∂u dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
du = −
2 xz 2 yz 1 dx − 2 dy + 2 dz 2 2 2 2 (x + y ) (x + y ) x + y2 2
Ako u zadacima traže totalni diferencijal višeg reda , onda radimo, na primer: Za u = u ( x, y ) je du =
∂u ∂u dx + dy a totalni diferencijali drugog i trećeg reda bi bili: ∂x ∂y
d 2u = (
∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u dx + dy ) 2 = 2 dx 2 + 2 dxdy + 2 dy 2 ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂y
d 3u = (
∂u ∂u ∂ 3u ∂ 3u ∂ 3u ∂ 3u 3 2 dx + dy )3 = 3 dx 3 + 3 2 dx 2 dy + 3 dxdy + dy ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x∂y 2 ∂y 3
primer 15.
Ako je u = x 3 + y 3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 nađi d 2u Rešenje: u = x 3 + y 3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 ∂u ∂ 2u = 3 x 2 − 6 xy + 3 y 2 → 2 = 6 x − 6 y ∂x ∂x ∂u ∂ 2u = 3 y 2 − 3 x 2 + 6 xy → 2 = 6 y + 6 x ∂y ∂y ∂ 2u ∂ 2u = = −6 x + 6 y ∂x∂y ∂y∂x ∂ 2u 2 ∂ 2u ∂ 2u 2 d u = 2 dx + 2 dxdy + 2 dy ∂x ∂x∂y ∂y 2
d 2u = (6 x − 6 y )dx 2 + 2(−6 x + 6 y )dxdy + (6 y + 6 x)dy 2
www.matematiranje.com
10
11
