INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD PROFESIONAL TICOMÁN INGENIERÍA AERONÁUTICA DISEÑO DE ELEMENTOS DE MAQUINA. ANALISIS DEL ESLABON DE CUATRO BARRAS. PROFESOR: HILARIO GRUPO: 6AM3 TURNO: MATUTINO ALUMNO: ROMUALDO RAMOS NETSAUALKOYOTL
ÍNDICE.
INTRODUCCIÓN.
El siguiente paso en el análisis cinemático de mecanismos, después de esbozar el diagrama esquemático (cadena cinemática), es determinar el número de grados de libertad de los mecanismos. Por grado de libertad se entiende “ el número de entradas independientes requeridas para determinar la posición de todos los eslabones del mecanismo respecto a tierra1”. Podrían inventarse cientos de miles de tipos dierentes de eslabonamientos, (véase la tabla !."). #upongamos que se requiere la posici$n e%acta del eslab$n rígido & en el sistema coordenado ', como se muestra en la igura !.". *uántas variables independientes especiicaran por completo la posici$n de este eslab$n+ a posici$n del punto - puede alcanzarse, digamos, desde el origen, moviéndonos primero a lo largo del ee ' una distancia x a y a / luego una distancia en la direcci$n del ee . así, esas dos coordenadas, que representan dos traslaciones, localizan el punto -. #in embargo, se requiere más inormaci$n para deinir completamente la posici$n del eslab$n &. si se conoce el ángulo que orma la línea que une - con 0 con respecto al ee ', la posici$n del eslab$n & esta especiicada en el x a , y a '. #e tienen entonces tres variables independientes1 / θ (dos traslaciones / una rotaci$n, o bien tres coordenadas independientes) asociadas con la posici$n de un eslab$n en el plano. En otras palabras, un eslab$n rígido no restringido en el plano tiene 3 grados de libertad. #i se tiene un ensamble de n eslabones, ellos tendrán un total de 2n grados de libertad antes de que se unan para ormar un sistema eslabonado. as cone%iones entre eslabones tienen como consecuencia la perdida de grados de libertad del sistema total de eslabones. Por eemplo, una unta de pasador (revoluta) o articulaci$n, *uántos grados de libertad elimina una unta de pasador de los eslabones previamente no restringidos al untarse éstos+ #i el punto - sobre el eslab$n en la 3igura !." es una unta de pasador entre el eslab$n & / tierra, x a y a entonces, dos variables independientes, / , quedan ias, deando a θ como el solo grado de libertad restante en el eslab$n &.
3ig. !." 4n eslab$n solo localizado en un plano '
En un conunto de eslabones como el mostrado en la igura !.", cada cone%i$n por pasador eliminará dos grados de libertad de movimiento relativo entre eslabones sucesivos. Esta observaci$n sugiere una ecuaci$n que determinara los grados de libertad de una cadena de
5abla !." Pares *inemáticos / grados de libertad. n eslabones conectados por
f 1
untas de pasador, con la tierra (el eslabon io)
considerado como uno de los eslabones1 Grados de libertad = F =3 ( n−1 ) −f 1
(!.")
a ecuaci$n (!.") se conoce como ecuación de Gruebler. El número de eslabones m$viles es (n6"). a unta de pasador permite un grado de libertad relativo entre dos eslabones, de a7í la f 1 notacion . Esta es una de las ecuaciones de movilidad mas popular usada en la practica. a ma/oria de las tareas de los mecanismos requieren que una sola entrada sea transmitida a una sola salida. Por esto, los mecanismos de un solo grado de libertad, es decir, aquellos que tienen un movimiento restringido, son los tipos mas recuentes usados. En general, el numero de untas de pasador en una cone%i$n comun es1 f 1 =m−1
(!.!) 8onde m es el numero de eslabones unidos por una sola unta revoluta. e%isten otros tipos de untas además de los pasadores / los deslizadores que puedan usarse para conectar los miembros de mecanismos en movimiento plano+ #í es así, cancelaran todos ellos dos grados de libertad+ En la tabla !." se muestran otros cinco tipos de untas planas. En tanto que las untas de pasadores / deslizantes (pares ineriores) permiten s$lo un grado de libertad de movimiento relativo, las untas de pares superiores (untas deinidas como untas que tienen solo contacto puntual o lineal) pueden permitir un numero superior (dos o tres) de grados de libertad de movimiento relativo. *ada una tiene un par inerior equivalente, que consiste en tantos pares ineriores como el numero de grados de libertad de movimiento relativo permitido por la unta de par superior ". El contacto de rodamiento sin deslizamiento permite s$lo un grado de libertad de movimiento θ relativo, debido a la ausencia de deslizamiento, lo que dea solo la rotacion relativa (vease la tabla !."). a unta de rodamiento puro puede entonces incluirse como una unta f 1 tipo . El par inerior equivalente para equivalencia en velocidad instantanea es simplemente una unta de pasador en el centro instantaneo de rotacion, que es el punto de contacto entre los dos eslabones con contacto de rodamiento sin deslizamiento. Esta unta, esencialmente de par superior, permite solo un grado de libertad debido a la restriccion adicional contra deslizamiento.
El contacto de rodamiento con deslizamiento restringe solo un grado de libertad (movimiento relativo en la direccion y en la tabla !."). consideremos primero la combinacion de par inerior por equivalencia de velocidad instantanea, que es una combinacion de deslizador / n =3, f 1=2 ¿ unta de pasador. Esta permite dos grados de libertad ( de movimiento relativo. os grados de libertad de la unta de rodamiento / deslizamiento pueden veriicarse por medio de una ecuacion de Greubler ampliada para incluir juntas de rodamiento y deslizamiento1: F =3 ( n−1 ) −2 f 1−1 f 2
8onde
f 2
(".2)
es el número de untas de contacto de rodamiento con deslizamiento (aquellas
que permiten dos grados de movimiento relativo a través de la unta) a ecuaci$n ".2 es la que se usará en este curso, antes de dear de ocuparnos del tema de los grados de libertad, debemos se9alar que e%isten eslabonamientos cu/o número de grados de libertad calculado puede ser cero (lo que indica que se trata de una estructura) o negativo (lo que indica que se trata de una estructura indeterminada). #in embargo, pueden moverse debido a las proporciones especiales de los eslabones ". - continuaci$n se muestra un eemplo de c$mo calcular los grados de libertad1 #e tienen siete eslabones, siete pares ineriores, un contacto de rodamiento6deslizamiento / una cone%i$n por resorte. 8e la ecuaci$n (".2),
F =3 ( 7−1 ) −2 ( 7 )−1 (1 ) −0 ( 1 )=+ 3
CIR C!"#$% &!%"'!"(!$% ) #$"'*&+! os eslabones con movimiento coplanario se pueden dividir en tres grupos1 (a) aquellos con movimiento angular sobre un ee io: (b) aquellos con movimiento angular, pero que no están
sobre un ee io: (c) -quellos con movimiento lineal, pero sin movimiento angular. 5odos estos movimientos pueden ser estudiados mediante el uso de centros instantáneos . Este concepto se basa en el 7ec7o de que un par de puntos coincidentes en dos eslabones en movimiento en un instante dado tendrán velocidades idénticas en relaci$n a un eslab$n io /, en consecuencia, tendrán una velocidad igual a cero entre sí. Por razones cinemáticas no tomaremos en cuenta el espesor de los cuerpos perpendiculares al plano de movimiento / trataremos con las pro/ecciones de los cuerpos en este plano. El centro instantáneo se puede deinir de cualquiera de las siguientes maneras1 -) *uando dos cuerpos tienen movimiento relativo coplanario, el centro instantáneo es un punto en un cuerpo sobre el cual otro gira en el instante considerado. 0) *uando dos cuerpos tiene movimiento relativo coplanario, el cetro instantáneo es el punto en el que los cuerpos están relativamente inmóviles en el instante considerado. - partir de esto se puede ver que un centro instantáneo es1 (a) un punto en ambos cuerpos, (b) un punto en el que los dos cuerpos no tienen velocidad relativa / (c) un punto en el que se puede considerar que un cuerpo gira con relaci$n al otro cuerpo en un instante dado. En general, el centro instantáneo entre dos cuerpos no es un punto estacionario, sino que su ubicaci$n cambia en relaci$n con ambos cuerpos, conorme se desarrolla el movimiento, / describe una tra/ectoria o lugar geométrico sobre cada uno de ellos. Estas tra/ectorias de los centros instantáneos son llamadas trayectorias polares o centrodas.
L$*',&-'*&+! ) *!"#$% &!%"'!"(!$%. os centros instantáneos son sumamente útiles para encontrar las velocidades de los eslabones en los mecanismos. #u uso algunas veces nos permiten sustituir a algún mecanismo por otro que produce el mismo movimiento / mecánicamente es más aprovec7able. os métodos para localizar los centros instantáneos son, por lo tanto, de gran importancia.
C'%$% %*&',%: a) *uando dos eslabones en un mecanismo están conectados por un perno, como los eslabones " / ! en la igura. ".", es evidente que el punto de pivoteo es el centro instantáneo para todos las posibles posiciones de los dos cuerpos / es, por esta raz$n un centro permanente, así como también un centro instantáneo.
3igura "." Eslabones conectados por un perno
Puesto que se 7a adoptado la convenci$n de numerar los eslabones de un mecanismo, es conveniente designar un centro instantáneo utilizando los números de los dos eslabones asociados a él. -sí pues, ; "! identiica el centro instantáneo entre los eslabones " / !. Este mismo centro se puede identiicar como ; !", /a que el orden de los números carece de importancia. b) *uando un cuerpo tiene movimiento rectilíneo con respecto a otro cuerpo, como la ig. ".! donde el bloque ! resbala entre las guías planas ", el centro instantáneo se encuentra en el ininito este es el caso, puesto que, si tomamos cualquiera de los dos puntos tales como - / 0, sobre ! / trazamos & / <= perpendiculares a las direcciones del movimiento, estas líneas son paralelas / se encuentran en el ininito.
3igura ".! 0loque en deslizamiento
c) *uando dos cuerpos resbalan uno sobre el otro, conservando el contacto todo el tiempo como ! / 2 o 3ig. ".2, el centro instantáneo deberá de coincidir sobre la perpendicular de la tangente común. Estos se sigue del 7ec7o de que el movimiento relativo >! en ! al punto >2 , en 2, se encuentra a lo largo de la tangente común %/: de otra orma, las dos supericies se separarían o se encaarían una dentro de otra. El movimiento relativo a lo largo de la tangente común, puede producirse solamente girándolo sobre un centro en algún lugar a lo largo de la perpendicular &: de aquí el centro instantáneo este en esa línea
3igura ".2 *uerpos con resbalamiento
d) *uando un cuerpo rueda sobre la supericie de otro, el centro instantáneo es el punto de contacto, en vista de que en este punto los cuerpos no tienen movimiento relativo.
3igura ".? *uerpos con rodamiento
En la igura ".? se representa primero una rueda que tiene ra/os radiales pero no tienen llanta, cuando la rueda gira sobre la tierra ", las posiciones sucesivas del punto de pivoteo, o el centro instantáneo, se encuentra en la punta del ra/o que 7ace contacto con la tierra. Ponerle la llanta, como se muestra, es igual a insertarle un número ininito de ra/os.
T$#/' ) K!!)0 os centros instantáneos de un mecanismo se pueden localizar por el sistema del teorema de &enned/. Este teorema establece que los centros instantáneos para cualesquiera tres cuerpos con movimientos coplanarios coincidan a lo largo de una misma línea recta. #e puede demostrar este teorema como contradicci$n, como sigue1 *oncedamos que ",!,2 (3ig. ".@) sean cualesquiera tres cuerpos que tienen movimiento coplanario con respecto uno de los otros. *oncedamos que ; !", ;2" ;!2, sean tres centros instantáneos.
3igura ".@ 5eorema de &enned/ ;!2 es un punto en ! o en 2, porque es un ee de apo/o instantáneo sobre el cual un cuerpo gira con reerencia al otro. Primero consideramos ; !2 como un punto en !. Entonces se mueve con relaci$n a uno sobre el centro instantáneo ; !", / la direcci$n de su movimiento es perpendicular a la línea ; 2" / ; !2. Pero el punto ; !2 no puede tener dos movimientos relativos a uno al mismo tiempo. Por esta raz$n, las perpendiculares de las líneas ; !" ;!2 / ;2" ;!2 deben de coincidir. Esto solamente puede ocurrir cuando ; !" ;!2 ;2" orman una línea recta. El teorema de &enned/ es mu/ útil en la localizaci$n de centros instantáneos en los mecanismos, en los casos en que dos centros instantáneos de tres eslabones son conocidos / el tercero tiene que buscarse. os eemplos dados posteriormente en este capítulo ilustran aplicaciones para este prop$sito.
N1/#$ ) *!"#$% &!%"'!"(!$% En cualquier mecanismo que tenga movimiento coplanario, e%iste un centro instantáneo para cada par de eslabones. El número de centros instantáneos es, por lo anterior, igual al número de pares de eslabones. *uando se tienen n eslabones, el número de centros instantáneos es igual al número de combinaciones de n obetos tomados a un tiempo, a saber N ° CIR =
n ( n− 1) 2
T'2,'*&+! ) *!"#$% &!%"'!"(!$% *uando un mecanismo tiene seis eslabones, son quince el número de centros instantáneos a localizar. Entonces es aconseable tener un método sistemático para tabular el progreso / para que a/ude en la determinaci$n. Esto se puede complementar por medio de un diagrama circular o por el uso de tablas. #edan los dos métodos / se ilustran con un eemplo. a) Diagrama circular . 4n diagrama de la orma mostrada en la igura ".Ab, nos es útil para encontrar centros instantáneos, puesto que nos da una visualizaci$n del orden en que los
centros se pueden localizar por el método del teorema de &enned/ / también, en cualquier estado del procedimiento, muestra que centros altan por encontrarse. El diagrama circular será útil para encontrar los centros en el mecanismo de seis eslabones de la igura ".Aa. El siguiente procedimiento se emplea para localizarlos.
3igura ".A 8iagrama circular 5razamos un círculo como el de la 3ig. ".Ab / marcamos los puntos ",!,2,?,@ / A alrededor de la circunerencia, representando los seis eslabones del mecanismo. *onorme se van localizando lo centros, trazamos líneas uniendo los puntos de los números correspondientes en este diagrama. 8e este modo, la línea tendrá línea uniendo todos lo pares de puntos: cuando todos los centros instantáneos 7a/an sido determinados. os números en las líneas, indican la secuencia en que ueron trazados, para acilitar su coteo. En un estado del procedimiento (después de que se 7an encontrado "B centros) el diagrama aparecería como lo muestra la 3ig. ".Ab. Cnspeccionando los diagramas c) notamos que uniendo ?6A cerramos dos
triángulos ?6A6@ / ?6A6" /a que éste es el caso, localizamos el centro instantáneo ; ?A en la intersecci$n de ; ?" ;A" / ;?@ ;@A. #i en lugar 7ubiéramos trazado A6!, solamente un triangulo es decir, el A6!6", se 7abría ormado: por esto, el centro ; A! no se podría encontrar en este estado: no obstante, su puede encontrar después de que se 7a tazado ; !@ (línea "6?). Por lo consiguiente, la línea A6! se numera "@. El procedimiento es el mismo para los puntos restantes. #i cada línea se puntea primero, mientras se está localizando el centro / después, cuando se 7a encontrado, se repasa 7aciéndola una línea s$lida, se evitan lo errores. a 3ig. ".Aa muestra la localizaci$n de todos lo centros instantáneos / la 3ig. ".Ac el diagrama circular terminado. b) Método tabular . El método alternativo para localizar centros instantáneos de uso común es el método tabular. En este procedimiento se establece una tabulaci$n general / se amplía con tabulaciones suplementarias, tal como está ilustrado en la 3ig. ".Ad. En las columnas principales de la tabulaci$n general se enumeran los números de los eslabones en el mecanismo. En la primera columna se apunta el número de la parte superior dela columna, combinando con aquellos números a la derec7a del mismo. En la segunda columna se apunta el número de la parte superior de la columna, combinando con aquellos números a la derec7a del mismo. *ontinuando este procedimiento 7asta el inal delas tablas, nos da la lista completa de todos los centros que 7an de encontrarse. *onorme los centros se van localizando en el dibuo, se tac7an en la tabla, como queda ilustrado. *omúnmente, apro%imadamente la mitad de los centros se encuentran por inspecci$n se tac7an inmediatamente. 8e este modo, en el eemplo de la 3ig. ".A, oc7o de lo centros, el ; "! ;!2 ;2? ;?@ ;@A ;"? ;"A / ;2@, se encontraron por inspecci$n. El resto tendrían que se localizados empleando el teorema de &enned/ / con la a/uda de las tablas suplementarias. #up$ngase a7ora que deseamos encontrar el centro ; 2". Establecemos la tabla suplementaria en la cual los eslabones " / 2 se consideran con un tercer eslab$n, digamos el ?. Entonces los centros ; 2?;"? / ;"2 deben de coincidir en una línea recta, según el teorema de &enned/. El tercer eslab$n también bao el encabezado "2. Deiriéndonos a la tabulaci$n general, encontramos que los centros ; 2? ;"? ;!" / ;!2 7an sido tac7ados / por lo tanto 7an sido localizados / están disponibles. 5razando línea a través de ellos localizamos ; 2". 8e la misma manera, por el uso de tablas, se pueden localizar todos los centros. as tablas suplementarias en la 3ig. ".Ad muestran el procedimiento. 3recuentemente se encuentra que el tercer eslab$n elegido requiere centros que todavía no 7an sido localizados. En tales casos se debe probar otro tercer eslab$n. #i en los primeros intentos se encuentra que ningún tercer eslab$n satisace, se suspende temporalmente la búsqueda para ese centro en particular, 7asta que se encuentran más centros.
DESARROLLO. C',*,$ ) ,$% 4#')$% ) ,&2#"'). GDL=3 ( n −1 )−2 f 1 −1 f 2
8e la ecuaci$n anterior identiicamos los eslabones, así como el número de untas compleas / semiuntas. n =6 ; f 1=7 ; f 2=0 -plicando la ecuaci$n anterior obtenemos1 GDL=3 ( n −1 )−2 f 1 −1 f 2 GDL=3 ( 6 −1 )−2 ( 7 )−1 ( 0 ) GDL=+ 1
3ig. '. *adena cinemática.
C',*,$ ) ,$% C!"#$% I!%"'!"(!$% ) R$"'*&+!. -plicamos la siguiente $rmula para determinar cuántos centros de rotaci$n e%isten. No. CIR =
n ( n−1 ) 2
=
( −1)
6 6
2
=15
-plicando tabulaci$n obtenemos " "! "2 "? "@
! !2 !? !@
los *CD. 2 2? 2@
? ?@
@ @A ?A
A
2A !A "A
El color verde indica los centros que son observables a simple se indica en la igura '.
de rotaci$n vista como
3ig. ' *CD visibles a simple vista Para determinar las demás posiciones de los *CD trazamos el diagrama circular. 5razamos las triadas correspondientes a cada *CD que 7ace alta. os recuadros dierentes al color verde son los altantes. " "! "2 "? "@
! !2 !? !@
2 2? 2@
1
2
? ?@
@ @A ?A
A
2A !A "A
6
3
4
5
5riada para "2
5riada para !? ?A "A
5riada para ?A
! ?
"?
! 2 ? 2
A@ @? " ! " ?
Para no amontonar el trazo de las líneas en el diagrama circular, 7acemos uso de otro diagrama.
1
" "! "2 "? "@
! !2 !? !@
2 2? 2@
2
? ?@
@ @A ?A
A
2A !A 6
"A
3
4
5
5riada para A2
5riada para !A !@ A!
! A
A@
@?
5riada para !@
!2 2@
" ! ! para 2 "@ 5riada " A 2 "@ A "A
?"
- continuaci$n se trazan los demás *CD.
A@
O15 O46 O13
O63 O24
O26
CONCLUSIONES. BIBLIOGRAFIA.
"
8ise9o de mecanismos -nálisis / síntesis 6 -D54D F. ED8<-= / FE;DFE =. #-=8;D, Frados de libertad, Páginas1 !"6!G. *alero, Pérez Doque: *arta, Fonzález Hosé -ntonio. ("III). 3undamentos de mecanismos / máquinas para ingenieros.
Damirez *astillo, -rturo. *inematica de mecanismos. *CD, pp @N6A?