Matemáticas V
Unidad III TRANSFORMADAS DE LAPLACE
3. 12 Función Delta de Dirac
*Problemario*
Imagen. Ejercicio 1
1
1
Stephen L. Campbell, Richard Haberman . Introduccion a las ecuaciones diferenciales como problemas de valor de frontera. Pág. 288
Ejercicio 1: Función de forzamiento impulsiva Resuelva
Solución: Tomando la transformada de Laplace en ambos lados se tiene:
Despejando Y(s),
De manera que:
1 1
(1)
Físicamente, este ejercicio se puede ver como el circuito RC lineal simple de la figura 3.12.1, donde y es la carga en el capacitor del tiempo, y existe una carga inicial de 1 en el capacitor. Para
, el voltaje e es cero, y el capacitor se esta descargando. En el
tiempo t=1, hay un impulso de voltaje, es decir se aplica un voltaje muy alto durante un periodo breve, lo que recarga el capacitor. Después el voltaje es 0 otra vez y el capacitor continúa descargándose. La grafica de (1) se puede ver en la figura 3.12.2. Esta grafica debe interpretarse como que, en una problema real, y(t) estaría dada por una función como la de la figura 3.12.3.
Fig. 3.12.1
Fig. 3.12.2 Gráfica de (1)
Fig. 3.12.3
Imagen. Ejercicio 2 2
2
R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider . Ecuaciones diferenciales con problemas con valores de frontera .Pág. 433
Ejercicio 2: Una masa unida a un resorte se libera desde el reposo, a un metro por bajo de la posición de equilibrio para el sistema masa-resorte y comienza a vibrar. Después de π segundos, la masa es golpeada por un martillo que ejerce un impulso sobre la masa. El sistema queda descrito por el problema simbólico con valores iniciales.
(I)
Donde x(t) denota el desplazamiento con respecto del equilibrio en el instante t. Determinar x(t).
Solución:
*++ + *++ ** +
Sea
Como
Al calcular la transformada de Laplace Laplace de ambos lados de (I) y despejar X(s) tenemos:
*+ *+
(s)
Usamos la propiedad de translación para determinar la transformada inversa de Laplace de X(s)
Translación en t.
* + * +
Teorema: Suponga que
constante positiva, entonces:
> ≥
existe para
,
Recíprocamente, una transformada inversa de Laplace de por:
* +
Si α es una
esta dada
Así tenemos que:
,- 2 √ . /
>
La grafica de x(t) aparece en color en la figura 3.12.4. Como comparación, la curva punteada exhibe el desplazamiento de un resorte vibrante sin perturbaciones. Observe que el impulso suma 3 unidades al momento en el instante t=π.
Desplazamiento de un resorte vibrante golpeado por un martillo t= π Grafica 3.12.4
Imagen. Ejercicio 3. 3
3
Daniel A. Marcus . Ecuaciones Diferenciales. Pág. 448
Ejercicio 3: Suponga que tratamos de resolver:
Con condiciones iniciales
,- [ ]
. Supongamos que buscamos una solución
continua. Tomando transformadas de Laplace con
como es usual, obtenemos
Para esta inversa necesitamos el segundo teorema de translación.
Segundo teorema de translación Sea f(t) una función que tiene una transformada de Laplace y sea positiva. Entonces
Forma 1: Forma 2:
α ua tate
, - , , - ,
,
,
Se establece el resultado que es:
La grafica de esta solución se muestra en la figura 3.12.5
Fig. 3.12.5
Imagen. Ejercicio 4. 4
4
Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Pág. 351
Ejercicio 4:
Resuelva a) b)
sujeta a
Estos dos problemas de valor inicial podrían servir de modelos para describir el movimiento de una masa en un resorte en un medio en que el amortiguamiento sea insignificante. Cuanto
, se imparte un fuerte golpe a la masa. En a), la masa parte
del reposo a una unidad debajo de la posición de equilibrio. En b), la masa se encuentra en reposo en la posición de equilibrio.
Solución a) Según el siguiente teorema:
Teorema. Transformada de la función delta de Dirac Para
* +
t
0
La transformada de Laplace de la ecuación diferencial es:
2 ≥
Aplicamos la inversa del segundo teorema de translación para obtener )
Como
, la solución anterior se puede expresar:
En la figura 3.12.6, vemos que la masa tenia movimiento armónico simple hasta que fue golpeada cuando t=2π. La influencia del impulso unitario es aumentar la amplitud de oscilación hasta
√
cuando t>2.
b) En este caso , la transformada de la ecuación es, sencillamente,
Y así
2 ≥
La grafica de esta ecuación (Fig. 3.12.7) muestra que, como era de esperarse por las condiciones iniciales, la masa no se mueve si no hasta que se golpe cuando t=2π. Graficas
Fig. 3.12.6
Fig. 3.12.7
Imagen. Ejercicio 5. 5
5
Henry Edwards. David E. Penney. Ecuaciones Diferenciales. Pág. 505
Ejercicio 5: Una masa m=1 está unida unida a un resorte constante constante k=4, no hay un amortiguador. amortiguador. La masa se libera desde el reposo, con x(0)=3. En el instante t=2π golpeamos la masa con un martillo, proporcionando un impulso p=8. Determinar el movimiento de la masa.
Solución: Debemos resolver el problema con valores iniciales
Aplicamos la transformada de Laplace para obtener
De modo que
Si recordamos las transformadas del seno y del coseno, así como el teorema sobre translaciones en el eje t, vemos que la transformada inversa es:
Como casos
ta ./ { con
tenemos
, al separar los
El movimiento resultante aparece en la figura 3.12.8. Observe que el impulso en t=2π produce una discontinuidad visible en la velocidad en t=2 π, ya que ésta aumenta instantáneamente instantáneamente la amplitud de las oscilaciones de la masa de 3 a 5.
El movimiento de la masa Fig. 3.12.8
Imagen. Ejercicio 6 6
6
Henry Edwards. David E. Penney. Ecuaciones Diferenciales. Pág. 506
Ejemplo 6. Observe el siguiente circuito.
Fig 3.12.9 Circuito RLC en serie
Con R=110 Ω , L=1 H, C=0.001 F y una batería que proporciona
. Suponga que
inicialmente el circuito es pasivo, sin corriente ni carga. En el instante t=0, el interruptor se cierra y en el instante t=1 se abre y se deja abierto. Determinar la corriente resultante i(t) en el circuito.
Solución: Disponemos de las funciones delta y podemos partir de la ecuación ordinaria para circuitos.
En este ejemplo tenemos
De modo que
por la ecuación
. Por lo
tanto. Queremos resolver el problema con valores iniciales
(21)
El hecho de que i’(0)=90 proviene de la sustitución de t=0 en la ecuación
Con los valores numéricos
y
Al transformar el problema en (21), obtenemos la ecuación
Por tanto,
Imagen. Ejercicio 7 7
7
Henry Edwards. David E. Penney. Ecuaciones Diferenciales. Pág. 507
Ejercicio 7: 0)=x’(0)=0. En cada uno de los instantes Consideremos una masa en un resorte m=k=1 y x( 0)=x’(0)=0
t=0, π, 2π, 3π, …, nπ, …, la masa es golpeada por un martillo con un impulso unitario. Determinar el movimiento resultante.
Solución Debemos resolver el problema con valores iniciales
Como
*+
De modo que
, la ecuación transformada es
∑
,
Calculamos la transformada inversa de Laplace término a término; el resultado es
Como
y
para
, entonces
2
Por tanto, x(t) es la rectificación de media onda de sin t que aparece en la figura 7.12.10. La explicación física es que el primer golpe del martillo (en el instante t=0) hace que la masa comience a moverse hacia la derecha; justo al momento de regresar al origen, al segundo golpe la detiene en seco; permanece inmóvil hasta que el tercer golpe vuelve a moverla, y así sucesivamente. Por supuesto, si los golpes no se sincronizan en forma perfecta, entonces el movimiento de la masa será un poco distinto.
Fig 3.12.10 La rectificación de media onda de seno t
Imagen. Ejercicio 8 8
8
Robert L. Borrelli, Courtney S. Coleman, Ecuaciones Diferenciales, una perspectiva de
modelación. Pág. 401
Ejercicio 8. ¿Qué sucede cuando se golpea un resorte oscilante? Supóngase que el peso pendiente del extremo de un resorte oscilante no amortiguado ” es la regido por la ley de Hooke recibe un golpe fuerte. ¿Cómo responde el sistema? Si “y ”
medida del desplazamiento del peso desde el equilibrio, entonces el sistema puede modelarse con:
Donde m es la masa, k es la constante del resorte, A es una constante positiva, T>0 es el
instante en que el resorte es golpeado y α y β son valores iniciales. La “fuerza”
Se denomina fuerza impulsiva, en tanto que su integral en el tiempo es el impulso. Se
y se transforma: ,- , - (b)
divide la EDO de (a) e ntre m, se establece
Donde se utiliza la formula de
,- Al invertir (b) se tiene
[ ]] [ ]] Donde
se
utiliza
la
identidad
trigonométrica
. La solución y(t) del PVI (a) es continua, pero nótese el ángulo agudo en t=T
, en tanto tanto que y’(t) tiene una discontinuidad de salto en t=T (fig. 3.12.11)
El resorte de este ejemplo continúa oscilando después del golpe impulsivo. ¿Es posible elegir la amplitud y el tiempo de modo que el golpe detenga las oscilaciones?
Fig. 3.12.11
Imagen. Ejercicio 9. 9
9
Robert L. Borrelli, Courtney S. Coleman, Ecuaciones Diferenciales, una perspectiva de modelación. Pág. 402
Ejercicio 9. Detección de las oscilaciones. Si queremos detener las vibraciones del resorte del ejercicio anterior, debemos elegir A y T de modo que y(t)=0 para t>T. Por la formula
Se observa que y(t)=0 para t>T si
Se nota que que
Esto es,
es necesario medir medir el tiempo de golpe y elegir su amplitud de modo
ta
Donde se supone que
. Con esta elección de T y A, las vibraciones cesan en t=T.
En la figura 3.12.12 se muestran las gráficas de y(t) y y’(t) con
√
.
Fig. 3.12.12 Respuesta de un resorte a un golpe en el instante T=1.
Fig. 3.12.13 Detención de las oscilaciones con un golpe bien cronometrado en T= π/4.
Imagen. Ejercicio 10. 10
10
William E. Boyce, Richard C. Diprima. Ecuaciones diferenciales diferenciales y problemas con valores en la
frontera. Pág. 314.
Ejercicio 10. Encontrar la solución del problema con valores iniciales.
Este problema con valores iniciales podría presentarse en el estudio de un circuito eléctrico al cual se le aplica un voltaje impulsivo unitario en el instante t=π. Para resolver el problema dado, tomamos la transformada de Laplace de la ecuación diferencial, obteniendo.
Donde se han usado las condiciones iniciales (B). Por lo tanto,
{ } Se aquí, tenemos
*+ + Que constituye la solución formal del problema dado. Es posible, también escribir y en la forma.
{
≥
La grafica de la ecuación (F) se muestra en la fig. 3.12.14. Como las condiciones iniciales en t=0 son homogéneas y no existe excitación externa hasta t=π produce una respuesta el intervalo 0 < t < π. El impulso en t= π produce una
respuesta que persiste indefinidamente, no obstante que decae exponencialmente cuando no hay otra excitación externa adicional. También es interesante observar que la respuesta es continua en t= π a pesar de la naturaleza singular de la función de fuerza en ese punto; sin embargo, la pendiente de la solución tiene una discontinuidad por salto en este punto y su seguridad derivada no esta definida allí. Esto lo exige la ecuación diferencial (A) en virtud de que una singularidad en un miembro de la ecuación debe balancearse por otra, en el otro miembro.
Fig. 3.12.14 Solución del problema con valores iniciales (A), (B).
Imagen. Ejercicio 11.
11
11
Peter V. O’Neil. Matemáticas avanzadas para ingeniería. Pág. 35
Ejercicio 11. Resolver
Aplique la transformada de Laplace a la ecuación diferencial para obtener
Entonces
Para encontrar la transformada inversa de la función de la derecha. Primero escriba.
,⁄ -
Ahora use ambos teoremas de corrimiento. Ya que corrimiento en la variable s da.
. Un
[ ] Ahora, un corrimiento en la variable t para obtener
En la fig. 3.12.15 se muestra de esta solución. La La solución es diferenciable para t>0, excepto que y’(t) tiene un salto de discontinuidad de magnitud 1 en t=3. La magnitud del salto es el coeficiente de
en la ecuación diferencial.
Fig. 3.12.15 Gráfica de:
{ >
Imagen. Ejercicio 12.
12
12
Peter V. O’Neil. Matemáticas avanzadas para ingeniería. Pág. 37
Ejercicio 12. Suponga que, en el siguiente circuito Fig. 3.12.16
La corriente y la carga en el condensador son cero en el tiempo cero. Quiere determinar la
respuesta del voltaje de salida a un transitorio modelado por El voltaje de salida es Kirchhoff.
Como
, de esta manera determinará
Las condiciones iniciales son
.
Por la ley de voltaje de
.
Aplique la transformada de Laplace a la ecuación diferencial y use las condiciones iniciales para obtener
Entonces
Para invertir esto usando el teorema del corrimiento. Complete el cuadrado
Como
] (√ [ √ (√ )) Entonces
[ ] √ (√ (√ )) El voltaje de salida es
(√ √ (√ )) En la figura 3.12.16 se muestra una gráfica de esta salida. La salida del circuito muestra oscilaciones amortiguadas a su frecuencia natural, aunque no fue forzada explícitamente por oscilaciones de esta frecuencia.
Fig. 3.12.17 Salida del circuito de la figura 3.12.16
Imagen. Ejercicio 13
13
13
La transformada de Laplace. Disponible en U RL: http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/6.Laplace/ImpConvolucion.pdf . Pág. 4
Ejercicio 13 Una masa unida a un resorte se libera desde el reposo a 2 m por debajo de la posición de equilibrio y comienza a vibrar. Después de 5 s, la masa recibe un golpe que suministra un impulso (momento lineal) sobre la masa de 8 N-s dirigido, hacia abajo. Hallar la posición de la masa en cualquier instante. El sistema queda descrito por el siguiente PVI
Dividiendo entre m:
Consideramos
. Si aplicamos TL en ambos miembros de la ED
Obtenemos:
Así, al tener en cuenta las condiciones iniciales, encontramos:
;
De donde:
{ } - , - - √ , -
Lo único que resta obtener x(t) mediante el cálculo de la TL inversa. De esta manera:
≥
Observemos que, dada la presencia de la función sobre el sistema sólo es detectable para siguiente:
, el efecto que tiene el impulso
. La gráfica de la función de posición es la
Fig. 3.12.18
En la gráfica resulta notoria la perturbación que se imprime al sistema en el tiempo
por efecto del impulso aplicado. Observe que, en ese momento, la masa está debajo de la
posición de equilibrio y se va dirigiendo hacia esta posición cuando recibe un golpe justo en la dirección contraria, lo que explica por qué la oscilación se aminora y adema por qué se aprecia en ese instante un cambio abrupto en la dirección tangencial sobre la gráfica.
Imagen. Ejercicio 14.
14
14
La transformada de Laplace. Disponible en URL: http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/6.Laplace/ImpConvolucion.pdf . Pág. 3
Ejercicio 14. Calcular la TL de
Usando
Con
∫ :
*+ + ∫
De acuerdo a las consideraciones anteriores, formalmente podemos decir que la derivada de la función escalón unitario es la delta de Dirac. Es decir:
En efecto, observamos:
, De donde:
Tomando
se tiene que
.
Imagen. Ejercicio15.
Ejercicio15.
>
La gráfica de esta función aparece en la figura 3.12.19 y muestra un salto (incremento) de 2 unidades en
y una caída (disminución) de 1 unidad en
funciones escalonadas tenemos
. En términos de
Fig. 3.12.19
En general, cualquier combinación lineal de función escalonadas unitarias
Tiene saltos o caídas en los puntos
de acuerdo con los coeficientes
. Los
coeficientes positivos corresponden a saltos, los coeficientes negativos corresponden a caídas. Empleando (I) junto con la siguiente formula:
,-
>
Obtenemos
, - ,- ,
Bibliografía
C. Henry Edwards, David E. Penney Ecuaciones diferenciales 4a, ed.E Pearson Educación, México, 2001 Daniel A. Marcus Ecuaciones Diferenciales , 1a. ed.
Compañía editorial continental, México, 1993
Robert L. Borrelli, Courtney S. Coleman Ecuaciones Diferenciales, una perspectiva de modelación, 1a. ed.
Oxford university press, México, 2002.
Stephen L. Campbell, Richard Haberman Introducción a las ecuaciones diferenciales con problemas de valor de frontera ,
1ra. Ed. McGRAW-HILL, México, 1998
R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider. Ecuaciones diferenciales diferenciales y problemas problemas con valores de frontera, 3a. ed.
Pearson Educación, México, 2001
William E. Boyce, Richard C. Diprima Ecuaciones diferenciales diferenciales y problemas problemas con valores en la frontera, frontera, 3ª. Ed.
Editorial Limusa, México, 1978.
Peter V. O’Neil. Matemáticas avanzadas para ingeniería . 6ª. Ed.
Cengaje Learnig, México, 2008.
Dennis G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado . 6ª. Ed.
Intemational Thomson Editores. México.1997
