Procesos de conducción en semiconductores.

LIC. EN FÍSICA Curso 03-04 03 -04

ELECTRÓNICA Tema 1

TEMA 1. PROCESOS DE CONDUCCIÓN EN SEMICONDUCTORES. El desarrollo de la Electrónica actual se fundamenta en el uso de diferentes dispositivos basados la mayoría de ellos en materiales semiconductores, por ello es inevitable comenzar un curso de Electrónica básica explicando los aspectos más importantes de la conducción eléctrica en los materiales semiconductores, ya que estas propiedades son las que han dado lugar a su uso masivo en la elaboración de dispositivos y sistemas electrónicos.

1.1. Teoría Teoría de bandas de energía de los cristales. Lo primero que se tratará de comprender es cómo es posible que diferentes materiales, constituidos cada uno de ellos por un tipo de átomos de igual estructura electrónica de la última capa, tengan propiedades de conducción eléctrica tan distintas. Dado el interés por los materiales semiconductores se estudiará la conductividad de materiales formados por átomos de elementos químicos que tienen en su última capa electrónica cuatro electrones. Los cinco primeros elementos del Sistema Periódico con cuatro electrones en su última capa son:

Elem. Elem.

Nº e -

C

6

Si

14

1s 2 2s2p6 3s2p2

Ge

32

1s 2 2s2p6 3s2p6d10

4s2p2

Sn

50

1s 2 2s2p6 3s2p6d10

4s2p6d10

Pb

82

1s 2 2s2p6 3s2p6d10

4s2p6d10 f 14 5s 2p6d10

ESTRUCTURA POR CAPAS 1s 2 2s2p2

5s 2p2 6s2 p2

Fig. 1.1 El carbono en su forma cristalina como diamante es un aislante, las formas cristalinas del Si o del Ge son semiconductoras, es decir con una conductividad cond uctividad eléctrica eléctri ca intermedia entre los aislantes y los conductores, y los materiales de Sn o de Pb son buenos conductores. Incluso para acabar de complicar la cuestión otra forma cristalina del carbono, distinta del diamante, como es el grafito es conductor. Para comprender el diferente comportamiento, desde el aspecto de la conductividad eléctrica de estos materiales, se utiliza la teoría de bandas de energía de los cristales. Si se supone un átomo aislado de Si, la resolución de la ecuación de Schrödinger para el sistema, da la distribución de sus 14 electrones en los diferentes orbitales, con sus niveles energéticos, y sus cuatro números cuánticos (n, l, ml y ms ). El principio de

F. MUGARRA, DEP. D’ENGINYERIA ELECTRÓNICA FACULTAT DE FÍSICA Universitat de València

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exclusión de Pauli dice que en este sistema electrónico no habrá dos electrones con los cuatro números cuánticos iguales. Si se toma ahora una red cristalina de S i en la que hay N átomos, y suponiendo que se puede aumentar y disminuir la distancia entre los átomos de la red a voluntad. Si se alejan suficientemente, unos átomos de otros, los electrones de cada átomo no notarán la interacción de los otros átomos y en particular los niveles energéticos de los cuatro electrones de la última capa, 3s 2 3p2 , no habrán variado, los electrones de las capas más cercanas al núcleo con más razón tampoco habrán variado sus estados energéticos. Por tanto teniendo en cuenta que hay N átomos, habrá N veces repetida la distribución de niveles energéticos de un átomo de S i aislado. Reduciendo paulatinamente la distancia entre los átomos llegará un momento en que que la interacción sobre los electrones de la capa exterior de cada átomo debida a los otros N-1 átomos no será despreciable. Esto provoca un corrimiento en los niveles energéticos de estos estados, de forma que ahora no habrá N veces repetida la estructura de estados de un átomo individual si no que p.e. los 2N electrones de la subcapa 3s 2 estarán en una banda de 2N estados diferentes, y los 2N electrones de la subcapa 3 p2 estarán en otra banda de 6N estados diferentes. Véase que en el átomo individual, la subcapa 3p tiene 6 estados, aunque sólo tenga ocupados, en el caso del Si, dos de estos estados. Lo que ha ocurrido es que de N átomos individuales se ha pasado a un sistema electrónico electrón ico global. En esta situación sit uación el principio princi pio de exclusión de de Pauli se aplica al sistema global.

Fig. 1.2 2



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Si se sigue reduciendo la distancia entre los átomos en la red cristalina, la interacción aumenta y el desdoblamiento también. Cálculos teóricos para una estructura cristalina como la del diamante, la del S i y el Ge es similar, dan como resultado la gráfica de la

figura 1.2. En dicha gráfica, en el eje X se representa la distancia entre átomos en la red, y en el eje Y la energía relativa de los electrones. Las estructuras cristalinas del diamante (carbono), Si y Ge son tales que las distancias entre átomos dan lugar a la situación de 6N p estados, que estaban en la tercera capa de estos N que los 2Ns estados y los 6Np átomos, se han separado en dos bandas energéticas. Una banda con 4N estados y 4N electro elec trones, nes, que qu e llamaremos amaremos banda de valencia, y otra banda con 4N estados y 0N electrones, banda de conducción , y entre ambas bandas con estados permitidos existe una zona de energías en la que no hay estados permitidos, es la banda prohibida . Las diferencias en la conductividad conduc tividad del diamante, Si y Ge, como se verá posteriormente, provienen del diferente valor que toma EG para cada uno de ellos (EG anchura de la banda prohibida medida en eV). En el caso del diamante EG es del orden de 6 eV, mientras que para el S i es de 1,1 eV y para el Ge de 0,72 eV, a temperatura ambiente. En el caso del Sn y del Pb las distancias distancias interatómicas en la red son son mayores y no hay banda prohibida, la banda energética en que se ha desdoblado la última capa electrónica de los N átomos tendrá por tanto 8N estados y 4N electrones, que se podrán mover tranquilamente por los estados próximos desocupados, la conclusión es obvia: ambos materiales serán buenos conductores. Por eso se dice a veces que un conductor tiene la banda de conducción parcialmente llena y que esto es lo que le confiere la propiedad de ser buen conductor. Pero veamos con más detalle el caso del diamante (C), Si y Ge. Para el primero la banda prohibida es muy grande y a temperatura ambiente no hay prácticamente ningún electrón que haya saltado de la banda de valencia a la banda de conducción, como en la banda de valencia no hay estados libres para moverse, no habrá conducción eléctrica apreciable aunque le apliquemos un campo eléctrico de gran magnitud. En el caso del silicio y a temperatura ambiente, ya hay una cierta cantidad de electrones, aunque pequeña, con energía térmica suficiente para saltar de la banda de valencia a la banda de conducción por ser la anchura de la banda prohibida del orden de 1 eV, y más aún en el caso del Ge ya que la anchura de su banda prohibida EG es menor que la del silicio. En los semiconductores Si y Ge cada electrón que salta de la banda de valencia a la banda de conducción da lugar a dos portadores de carga: un electrón en la banda de conducción y un hueco, ausencia de electrón, en la banda de valencia. Si se aplica un campo eléctrico al semiconductor, los huecos se moverán en la dirección y sentido del vector intensidad del campo eléctrico y los electrones en sentido contrario. Se ha de ver un hueco como una carga positiva, y por tanto la corriente eléctrica que circulará será la suma de ambas corrientes: la de huecos y la de electrones. En la figura 1.3 se puede ver el esquema de bandas de energía de aislantes, semiconductores y conductores.


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BANDA DE CONDUCCIÓN Eg =

6 eV

1 eV

AISLANTE AISLANT E

SEMICONDUCTOR

0 eV

BANDA DE VALENCIA CONDUCTOR

Fig. 1.3 La paradoja del grafito, es de suponer que después de lo anteriormente expuesto habrá dejado de ser tal paradoja, ya que la explicación es obvia.

1.2. Semiconductores: intrínsecos y extrínsecos. Cuando se estableció en el apartado anterior la diferencia entre aislante y semiconductor, ésta residía en que la anchura de la banda prohibida en un semiconductor era mucho menor que en un aislante. Esto da lugar que a temperatura ambiente en un aislante el número de electrones que han podido pasar a la banda de conducción es despreciable mientras que en un semiconductor no es despreciable. Pero decir que en un semiconductor a temperatura ambiente el número de electrones que han saltado a la banda de conducción no es despreciable hay que matizarlo y analizarlo cuantitativamente, centrándose para ello, en una muestra de Si puro.

Si tiene una densidad de 2,33 g/cm3 y un peso atómico de 28,1. Utilizando el número de Avogadro N A nos lleva a que el número de átomos Si por cm3, nSi , será: El

nSi =

2, 33 N A = 5 10 22 28 ,1

átomos / cm 3

(1-1)

El número de pares electrón-hueco que se han formado por cm3 ni , electrones que han saltado a la banda de conducción, es función de la temperatura y a partir de la estadística de Fermi-Dirac se obtiene la expresión:

n 2i 4

3

− EG0

= A0 T e

kT

(1-2)



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En donde A0 es una constante, k es la constante Boltzman y EG0 es la anchura de la banda prohibida a 0º K La anchura de la banda prohibida es función de la temperatura y para el Si la expresión que relaciona ambas es:

EGT = 1,21 - 3,6 10 -4 T eV

(1-3)

En el Si a 300º K ni = 1,5 10 10 átomos/cm3 , es decir que aproximadamente cada 3 10 12 átomos de la red de Si, se ha producido un par electrón-hueco. Por tanto la concentración de portadores de carga disponibles para conducir la corriente eléctrica será 2 ni , ya que ni = n = p, donde n y p son las concentraciones de electrones por cm3 en la banda de conducción y huecos por cm 3 en la banda de valencia respectivamente. Estas concentraciones concentraciones de portadores de carga libres, para conducir la l a corriente eléctrica, eléctrica, 5 son muy pequeñas y la resistividad del material es alta: ρ Si = 2,3 10 Ω cm. En un apartado posterior se verá como obtener la resistividad del Si. Para hacerse una idea más concreta de sus posibilidades como conductor de la corriente eléctrica, se propone el cálculo de la resistencia de un hilo de Si de 1cm de longitud y sección de 1mm2 :

l 1 R = ρ = 2,3 105 − 2 = 23 106 Ω s 10

(1-4)

El resultado obtenido muestra claramente que el Si puro no es buen conductor. Si se repite el proceso con otros materiales semiconductores puros se obtendrían resultados parecidos. Ante esta situación cabe preguntarse cómo es posible que estos materiales sean útiles en procesos de conducción de la corriente eléctrica, salvo que se quiera hacer resistencias de valor elevado. La respuesta está en que los semiconductores no se utilizan en estado puro si no dopados (contaminados) con átomos de ciertos elementos, átomos de elementos trivalentes como el B, Ga o In o átomos de elementos pentavalentes como el Sb, P o As. Cuando se usa un material de un semiconductor puro se dice que el semiconductor es intrínseco y cuando se usa un semiconductor dopado con impurezas trivalentes o pentavalentes se dice que el semiconductor es extrínseco . Se plantea a continuación qué ocurre cuando se dopa el Si con átomos trivalentes, átomos que tienen en su última capa electrónica tres electrones. Cada uno de estos átomos de impurezas tiene tres electrones para compartir en los enlaces con los átomos próximos de una red de átomos Si que comparte cuatro electrones cada uno de ellos. Evidentemente en la posición del átomo de la impureza trivalente falta un electrón respecto a la estructura que había cuando no había impurezas en la red. Esa ausencia de un electrón va a ser rápidamente cubierta por otro electrón de la red que va a saltar a dicha posición, en la red se ha creado un hueco sin que aparezca un electrón en la


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banda de conducción. Un semiconductor extrínseco de este tipo se denomina semiconductor de tipo P, y a este tipo de impurezas se las denomina impurezas aceptoras. Desde el punto de vista de la teoría de bandas de energía, la adicción de impurezas trivalentes al semiconductor puro va a significar la aparición de unos estados energéticos nuevos en la banda prohibida, no ocupados, muy próximos a la banda de valencia. A temperatura ambiente todos estos estados se habrán cubierto por electrones que han saltado de la banda de valencia, creando tantos huecos por cm3 como impurezas haya por cm3. En la figura 1.4 se puede observar el diagrama de bandas de energía de un semiconductor extrínseco de tipo P.

SEMICON SEMICONDUC DUCTOR TOR EXTR EXTR NSECO NSECO TIPO TIPO P

BANDA CONDUCCIÓN ESTADOS ENERGÉTICOS NUEVOS, CREADOS POR LAS IMPUREZAS ACEPTORAS

BANDA VALENCIA Fig. 1.4 Si ahora el dopado del semiconductor de Si se realiza con átomos de impurezas pentavalentes, el átomo de impureza en la red de Si tiene cinco electrones para compartir en los enlaces, cuando se comparten cuatro por cada átomo. El quinto electrón sobra y saltará fácilmente del átomo convirtiéndose en un electrón libre. Se ha

obtenido un electrón en la banda de conducción sin generar un hueco en la banda de valencia. Un semiconductor extrínseco de este tipo se denomina semiconductor de tipo N, y a este tipo de impurezas se las denomina impurezas dadoras.

Desde el punto de vista de la teoría de bandas de energía, la adicción de impurezas pentavalentes al semiconductor puro de S i va a significar la aparición de unos estados energéticos nuevos en la banda prohibida, y todos ocupados a 0º K, muy próximos a la banda de conducción. A temperatura ambiente los electrones de estos estados nuevos habrán saltado a la banda de conducción, apareciendo tantos electrones libres por cm 3 como impurezas haya por cm3. En la figura 1.5 se puede observar el diagrama de bandas de energía de un semiconductor extrínseco de tipo N.

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SEMICO SEMICONDU NDUCTOR CTOR EXTR EXTR NSECO NSECO TIPO TIPO N BANDA CONDUCCIÓN

ESTADOS ENERGÉTICOS NUEVOS, CREADOS POR LAS IMPUREZAS DADORAS

BANDA VALENCIA

Fig. 1.5 El nivel de dopado de los semiconductores extrínsecos suele estar entre 10 8 y 106 átomos de semiconductor por cada átomo de impureza. A pesar de que la proporción de impurezas es pequeña, se verá que la resistividad del material cambia fuertemente. Tomando el nivel más bajo de dopado, 1 átomo de impurezas dadoras cada 10 8 átomos de silicio, y calculando nuevamente la resistencia de un hilo de 1 cm de longitud y 1 mm2 de sección, de este material de tipo N. La resistividad del material es ahora de 9,62

Ω

cm, luego la resistencia del hilo será:

l 1 R = ρ = 9,62 − 2 = 962 Ω s 10

(1-5)

Evidentemente las cosas han cambiado radicalmente. La razón de que la resistividad haya bajado tanto es que a temperatura ambiente la concentración de electrones en la banda de conducción es ahora prácticamente igual a la de impurezas, por tanto:

5 10 22 −3 14 n= 8 = 5 10 electrones cm 10

(1-6)

Mientras que el Si puro a temperatura ambiente tiene tan solo 1,45 10 10 electrones cm-3 en la banda de conducción. En la construcción de los dispositivos electrónicos se usarán semiconductores extrínsecos, tanto de tipo P como de tipo N.


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1.3. Ley de acción de masas. En un semiconductor intrínseco la concentración de ambos tipos de portadores libres, electrones y huecos, es la misma:

n = p = ni

(1-7)

donde ni es función de la temperatura. Por tanto:

ni 2 = n p

(1-8)

La ley de acción de masas dice que esta expresión se cumple también para un semiconductor extrínseco. Dicha ley se demostrará posteriormente, al final del tema. Es importante analizar que implicaciones tiene esta ley en un semiconductor semiconductor extrínseco. Denominando NA a la concentración de impurezas aceptoras en el semiconductor, y ND a la concentración de impurezas dadoras en el mismo. La conservación de la carga eléctrica lleva a que en cada elemento de volumen del semiconductor se ha de cumplir la expresión:

ND + p = NA + n

(1-9)

En un semiconductor tipo N solo hay impurezas dadoras , N A = 0, por tanto:

ND + p = n

(1-10)

A temperatura ambiente, supuestas todas las impurezas dadoras ionizadas, y para los valores habituales de dopado de un semiconductor extrínseco se cumple:

ND >> p

(1-11)

por tanto:

ND = n y n >> p

(1-12)

En un semiconductor extrínseco de tipo N se cumple que la concentración de electrones en la banda de conducción es mucho mayor que la de huecos en la banda de valencia. En este semiconductor se dice que los electrones son los portadores

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mayoritarios y los huecos los portadores minoritarios , y a las concentraciones se les pone el subíndice del tipo de semiconductor: nn y pn . De la ley de acción de masas se deduce que en un

semiconductor semiconductor tipo N :

n2i n 2i pn = = nn N D

(1-13)

En un semiconductor extrínseco de tipo P pasa algo similar pero cambiando el tipo de impurezas, por tanto ahora los portadores mayoritarios serán los huecos, su concentración será igual a la de impurezas aceptoras NA, y los portadores minoritarios serán los electrones .

NA = p y p >> n

(1-14)

Para indicar el tipo de semiconductor a las concentraciones de portadores se les pone el subíndice del tipo, en este caso p. Igualmente de la ley de acción de masas se deduce que la concentración de portadores minoritarios es:

n2i n2i = np = pp N A

(1-15)

1.4. Semiconductor extrínseco, movilidad de los portadores de carga: conductividad. Si se aplica un campo eléctrico en el seno de un material semiconductor, los portadores libres de carga, electrones en la banda de conducción y huecos en la banda de valencia, sufrirán una aceleración debida a la fuerza que el campo eléctrico ejerce sobre ellos ganando velocidad hasta que chocan con la red y son frenados, pero nuevamente son acelerados hasta el siguiente choque. Este proceso da como resultado que los portadores se mueven con una velocidad promedio, vn los electrones y vp los huecos tal que se cumple:

vn = µn E

y

vp = µ p E

(1-16)

donde µ n es la movilidad de los electrones y µ p es la movilidad de los huecos. Supuesto que las concentraciones de portadores libres de carga en el material semiconductor son n electrones por cm3 y p huecos por cm3 , la densidad de corriente será:

J = q n vn + q p vp = q (nµ n + pµ p) E = σ E F. MUGARRA, DEP. D’ENGINYERIA ELECTRÓNICA FACULTAT DE FÍSICA Universitat de València

(1-17) 9



σ

Donde q es la carga de un electrón y de la resistividad ρ (σ = 1/ ρ ).

es la conductividad del material,

σ

es la inversa

La movilidad es independiente del campo eléctrico para valores de éste menores de 10 3 V cm-1 , varía con E-1/2 para 103 V cm-1 < E < 10 4 V cm-1 , y para valores de E superiores empieza a variar inversamente con el campo eléctrico alcanzando los electrones una velocidad máxima de saturación del orden de 10 7 cm s-1 . La movilidad lógicamente disminuye con la temperatura, a mayor temperatura mayor vibración en la red y mayor probabilidad de choques, variando en proporción a T-m donde para el S i m vale 2,5 para los electrones y 2,7 para los huecos. A temperatura ambiente, 300º 300º K, en el Si µ n

= 1300 cm2 V-1 s -1 y µ p = 500 cm2 V-1 s-1 .

La conductividad en un material semiconductor intrínseco aumenta con la temperatura ya que el aumento de ni es mayor que la disminución de las movilidades. Para un semiconductor extrínseco, en un entorno amplio de la temperatura ambiente, como la concentración de portadores mayoritarios no varía apreciablemente la conductividad disminuye con la movilidad. Dado que la resistividad es el inverso de la conductividad:

ρ=

1 q ( µn n + µ pp)

(1-18)

Se propone utilizar la expresión previa para confirmar los valores de la resistividad del Si, a temperatura ambiente, que se ha utilizado en el apartado 1.2 del tema, en los casos: Si puro y Si dopado con impurezas dadoras en la proporción 1 átomo de impurezas cada 108 de Si.

1.5 Creación y recombinación de pares. A partir de la estadística de Fermi-Dirac y de la densidad de estados permitidos en las bandas de valencia y conducción, se obtiene que el cuadrado de la concentración de pares electrón-hueco que se han generado por la temperatura en un semiconductor extrínseco es:

n 2i

3

− E G0

= A0 T e

kT

(1-19)

Pero esta concentración de portadores es fruto de un proceso dinámico constante de generación de pares y de su recombinación. Si se toma una barra de un semiconductor extrínseco de tipo N, en el equilibrio térmico las concentraciones de portadores libres de carga serán nn0 y pn0 , y cumplirán la relación:

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ni 2 = nn0 pn0

(1-20)

Si ahora se ilumina la barra semiconductora con una luz tal que su longitud de onda sea capaz de generar pares electrón-hueco, las concentraciones nn0 y pn0 pasarán a ser nn y pn , donde:

nn - nn0 = pn - pn0

(1-21)

Admitiendo la suposición de que la intensidad de la luz es de una magnitud que sólo desequilibra apreciablemente la concentración que existía de portadores minoritarios pn0 , lo cual es bastante lógico ya que inicialmente nn0 >> pn0 . Una vez que cese la excitación luminosa la vuelta al estado de equilibrio de la concentración de huecos estará regulada por la velocidad de recombinación de éstos que será proporcional a su concentración y a un parámetro que se denomina vida media τ p:

Velocidad de decrecimiento de la concentración de huecos = p n / τ p Pero a la vez nuevos pares de electrón-hueco se están generando por efecto de la temperatura. Llamando g a dicha velocidad de generación de pares, la ecuación que rige la vuelta a la concentración de equilibrio será:

dpn p = g− n dt τp

(1-22)

Cuando se haya alcanzado el equilibrio:

dp n p = 0 ⇒ g = n0 dt τp

(1-23)

Por tanto:

dp n p −p p' = n0 n = − n τp τp dt (1-24) −t

p'n (t ) = p'n (0 ) e

τp

= ( p n (0 ) − pn0 ) e

−t

τp

donde p'n (t) es el exceso de la concentración de huecos respecto a la concentración en el equilibrio en el instante t.


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1.6. Difusión de portadores en un semiconductor graduado. Supuesto un semiconductor extrínseco de tipo P con una concentración de impurezas NA graduada según el eje X de modo que de lugar a un gradiente de la concentración de huecos dp/dx . Por agitación térmica se producirá una difusión de huecos en el sentido opuesto a dp/dx , dando lugar a una densidad de corriente de huecos:

J p = − qDp

dp dx

(1-25)

donde Dp es la constante de difusión de los huecos. Tanto la movilidad como la constante de difusión son constantes de un mismo fenómeno estadístico y no serán independientes cumpliendo la relación:

Dp

µp

=

Dn

µn

= VT =

kT T V = q 11600

(1-26)

La expresión 1-26 se denomina relación de Einstein. A 300º K VT vale 25,86 mV. Esta constante será muy m uy usada en los temas posteriores post eriores y se suele redondear su valor por 25 o 26 mV para temperatura ambiente. Por tanto en un semiconductor extrínseco pueden coexistir corrientes de difusión, si existe gradiente en la concentración de portadores, y corrientes de desplazamiento si existe gradiente de potencial. La densidad de corriente total de huecos y electrones tomará en general la expresión:

J p = qµ ppE − qDp

dp dx (1-27)

J n = qµ nnE + qDn

dn dx

1.7. La ecuación de continuidad. Supuesto un material semiconductor en el que se ha alterado el equilibrio de la concentración de portadores en la dirección del eje X, y tomando un elemento de volumen de sección A y espesor dx en el que la concentración media de huecos es p en el instante t, tal que la corriente de huecos que penetra por la sección A izquierda es Ip y +dI p,, figura 1.6. la corriente de huecos que lo abandona por la sección derecha A es Ip+dI

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ELECTRÓNICA Tema 1

A Ip

Ip+dIp

x

x+dx Fig. 1.6

El número de huecos que abandonan el volumen por segundo será:

dI p q

(1-28)

y la disminución de huecos por unidad de tiempo y unidad de volumen:

1 1 dJ p dI p = qAdx q dx

(1-29)

Pero en el elemento de volumen se están recombinando huecos con una velocidad p/ τ p y generando con una velocidad p0 / τ p, por unidad de volumen. De la conservación de la carga se deduce la expresión:

p − p 1 ∂J p ∂p = 0 − q ∂x ∂t τp

(1-30)

La expresión obtenida es lo que se denomina ecuación de continuidad.

1.8. Inyección de portadores minoritarios en un semiconductor extrínseco. extrínseco. Sea una barra fina y homogénea de un semiconductor extrínseco de tipo N que se ilumina permanentemente un extremo con un haz de luz de longitud de onda tal que sus fotones generan en dicho extremo pares electrón-hueco. Imponiendo la condición de que la velocidad de generación de dichos pares adicionales cumple que la concentración de portadores minoritarios pn siguen siendo despreciable frente a la concentración de portadores mayoritarios nn


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pn = pn ' + pn0 << nn

(1-31)

Como se ha creado un gradiente de concentración de portadores, aparecerán corrientes de difusión y desplazamiento, siendo la corriente de desplazamiento de los portadores minoritarios, huecos, no así la de los mayoritarios, electrones, despreciable frente a la corriente de difusión de éstos, como se justificará posteriorment posteriormente. e. Una vez alcanzado el equilibrio, y de la ecuación de continuidad:

p − p 1 ∂J p ∂pn = 0 = n0 n − q ∂x ∂t τp

(1-32)

puesto que la corriente de desplazamiento de huecos se ha supuesto despreciable frente a la de difusión, la densidad de corriente de huecos será:

dp n dx

J p = − qDp

(1-33)

Sustituyendo en la ecuación de continuidad:

d 2p n p n0 − p n p n − p n 0 = − = D p τp D pτ p dx 2

(1-34)

introduciendo la constante, se obtiene:

d 2p n ' p'n = dx 2 L2p

La solución de la ecuación

1-35 es del tipo:

p'n (x ) = K1 e

14

(1-35)

− xL p

x

+ K2 e

Lp

(1-36)



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Por condiciones de contorno K2 es cero, ya que si no en un extremo suficientemente alejado el exceso de la concentración de huecos tendería a infinito. Por tanto:

− xL p

p'n (x ) = p'n (0)e

(1-37)

Luego el exceso exceso de la concentració n de portadores minoritarios minori tarios pn ' decrece a lo largo de la barra exponencialmente. Si la sección de la barra es A la intensidad de la corriente de huecos será:

I p (x ) = A J p (x ) = − AqD AqD p

dpn (x ) dx

(1-38)

Admitiendo la hipótesis de neutralidad eléctrica en cada elemento de volumen del material:

nn ' = pn ' n n − n n 0 = p n − p n0

(1-39)

dn n dp n = dx dx Luego la corriente de difusión de los electrones:

I n ( x) = AqD AqD n

dnn ( x ) dp ( x) = AqD AqD n n dx dx (1-40)

I n ( x) = −

Dn I ( x) Dp p

Dado que el circuito está abierto la corriente total debe ser cero, y por otra parte Dn /Dp≅ 3. Por tanto tanto debe existir una corriente de desplazamiento de electrones Ind (x), tal que:

I p (x) + In (x) + I n d(x) = 0


(1-41)

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Despejando en la expresión

1-41 Ind(x) :

 D  I n d( x ) =  n − 1 I p ( x)  D  p 

(1-42)

Lógicamente la corriente de desplazamiento la la ha generado un campo eléctrico que se ha creado en la barra:

E( x) =

J nd ( x)

=

σn

 Dn  1  − 1 I p ( x )  Dp  A q n n ( x ) µ n  

Para acabar este apartado se probará que la hipótesis inicial

I pd ( x ) = A σp E( E(x) =

A q p n (x) µp A q n n (x) µn

(1-43)

I pd (x) < < I p (x) es cierta:

 Dn  I p (x)  − 1   D  p 

(1-44)

Como pn (x)

<< nn (x) se cumple que Ipd(x) << Ip(x). Luego la corriente de portadores minoritarios, en estas condiciones, es esencialmente una corriente de difusión. Es decir si en un semiconductor extrínseco se inyectan portadores adicionales la corriente de portadores minoritarios será mayoritariamente por difusión. Este resultado, como se verá en temas posteriores es de gran importancia.

1.9. Variación de potencial en un semiconductor graduado. Sea una barra de un semiconductor de tipo P, cuya concentración de impurezas aceptoras está graduada según el eje longitudinal x. En el equilibrio y sin excitación externa, en todos los puntos de la barra semiconductora la corriente de cada tipo de portadores debe ser nula. Existirá por tanto una corriente de desplazamiento desplaza miento igual i gual y de sentido sentido contrario contrari o a la de difusión y por tanto un campo eléctrico en la barra. La corriente total de ambos tipos de portadores ha de ser nula:

J p ( x) = q µ pp p0 ( x) E( x) − q Dp

dpp 0 ( x ) = 0 dx (1-45)

J n ( x) = q µ nn p0 ( x) E( x) + q Dn 16

dnp 0 ( x) = 0 dx



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Despejando E(x) de la primera ecuación se obtiene:

E( x) =

Dp dp p0 ( x ) VT dp p0 ( x ) = µ pp p0 (x) dx p p0 ( x) dx

Como en la barra se supone simetría axial sobre el eje longitudinal

−

(1-46)

X:

dV( x) = E( x) dx (1-47)

dV( x ) = − VT

dp p0 ( x) pp 0 ( x )

Por tanto la diferencia de potencial entre dos puntos a y b de la barra será:

Vba = VT ln

pp 0 (a ) pp0 ( b)

(1-48)

La relación de la concentración de huecos entre ambos puntos de la barra será:

Vba

pp 0 (a ) = pp 0 ( b) e

VT

(1-49)

La diferencia de potencial entre dos puntos de la barra en función de la concentración de portadores minoritarios, electrones, a partir de la corriente total de éstos da como resultado la expresión:

Vba = − VT ln

n p0 (a ) n p 0 ( b)

(1-50)

La concentración de electrones entre ambos puntos de la barra cumple la relación:

n p 0 ( a) = n p 0 ( b) e

− Vba V


T

(1-51)

17



Si se multiplica la igualdad que relaciona la concentración de huecos entre dos puntos de la barra por la correspondiente de huecos, se obtiene:

np0(a) pp0(a) = np0(b) pp0(b) = ni 2

(1-52)

Lo que se ha obtenido es la demostración de la ley de acción de masas, ya que se cumplirá para cualquier nivel y tipo de dopado en la barra. En general esta ley se expresa como que en cada punto de una barra semiconductora en equilibrio se cumple:

n p = ni 2

18

(1-53)



ELECTRÓNICA Tema 1

PROBLEMAS 1. Una barra de silicio intrínseco tiene 10 mm de longitud y una sección cuadrada de 40x40 micras. Determinar la intensidad del campo eléctrico en la barra y la diferencia de potencial entre sus extremos cuando circula por ella una corriente de 2 µ A y la temperatura es de 300º K. (A 300ºK en el silicio: ni = 1,45 10 10 cm-3 , µn = 1300 cm2 /Vs, µ p = 500 cm2 /Vs) Resultados: Resultados : E = 29.933 V/cm V = 29.933 V Puesto que:

J=σ E y V=lE Para obtener E y posteriormente V, se calcula la conductividad y la densidad de corriente en la barra:

σ = q (µn n + µ p p) = q ni (µn + µ p) = 1,6 10 -19 1,45 1010 (1300 + 500) Ω -1 cm-1 = = 4,176 10 -6 Ω -1 cm-1 I 2 10− 6 A 1 = = J = A cm − 2 2 −8 S 1600 10 cm 8 J 0,125 A cm −2 −1 = E= −6 −1 −1 = 29.933 V cm σ 4,176 10 Ω cm V = l E = 29.933 V 2. Dado un semiconductor extrínseco, obtener la expresión que relaciona las concentraciones de electrones (n) y huecos (p) con la concentración de impurezas dadoras N D e impurezas aceptoras N A, y las concentraciones de electrones y huecos (ni ) que tendría el semiconductor si fueran nulas las concentraciones de impurezas. La ley de acción de masas, da la relación:

n p = n 2i n = concentración de electrones en la banda de conducción en un semiconductor extrínseco p = concentración de huecos en la banda de valencia en un semiconductor extrínseco ni = concentración de electrones en la banda de conducción o de huecos huecos en la banda de valencia en un semiconductor intrínseco.


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La neutralidad eléctrica en cualquier elemento de volumen de un semiconductor extrínseco implica que se cumpla la expresión:

n + NA = p + ND NA = concentración de impurezas aceptoras ND = concentración de impurezas dadoras Despejando p en la última expresión y sustituyéndola en la expresión de la ley de acción de masas se obtiene:

n (n + (N A − N D )) = n 2i n 2 + n (N A − N D ) − n 2i = 0 La ecuación de segundo grado previa tiene como soluciones:

 N − N A   ± n= D  2 

2  N D − N A    + n 2i  2 

de las cuales solo es físicamente posible la solución:

 N − N A   + n= D  2 

N D − N A  2    + n 2i  2 

Este último paso se deja como ejercicio al alumno. De igual forma se obtiene para la concentración de huecos la expresión:

 N − N D   + p= A 2  

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N A − N D  2    + n 2i  2 



ELECTRÓNICA Tema 1

Para un semiconductor extrínseco de tipo N (N D ≠ 0 y NA = 0):

 N  n n =  D  +  2 

2

N   D   + n 2i  2 

2

 N   N  p n = −  D  +  D  + n 2i  2   2 

Para un semiconductor extrínseco de tipo P (N A ≠ 0 y ND = 0):

 N  p p =  A  +  2 

2

 N A    + n 2i  2 

2

 N   N  n p = −  A  +  A  + n i2  2   2 

3. Si la concentración de átomos en la muestra de silicio es de 5 10 22 cm-3 . Repetir el problema 1º si ahora se dopa el semiconductor con impurezas donadoras en la proporción de un átomo de impureza por cada 10 8 átomos de silicio. Resultados: E = 1,25 V/cm V = 1,25 V Ahora la conductividad vendrá dada por los conductores mayoritarios n, ya que p n << nn , y esta última se puede aproximar por la concentración de impurezas ya que:

5 10 22 ND = = 5 1014 > > n i = 1,45 10 10 8 10 Por tanto:

σ = q (µn nn + µ p pn ) = q nn µ n = 1,6 10-19 5 1014 1300 Ω -1 cm-1 = 0,1 Ω -1 cm-1 y la densidad de corriente será la misma:

I 2 10− 6 A 1 = = J = A cm− 2 2 −8 S 1600 10 cm 8 Sustituyendo J y

σ:

0,125 A cm− 2 = = 1,25 V cm −1 E= −1 −1 σ 0,1 Ω cm J

V = l E = 1,25 V


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4. En el gráfico de la figura anexa se da la variación de ni con la temperatura (T), de tres semiconductores (G e , Si y GaAs). Utiliza dicha gráfica y las expresiones de nn y pn obtenidas en el problema 2º para obtener las concentraciones electrones y huecos a 400 ºK en el semiconductor del problema anterior. Resultados: nn = 5 1014 cm-3 pn = 8 109 cm-3 De la gráfica se obtiene que a 400 ºK:

ni ≈ 2 1012 cm-3 La concentración de impurezas dadoras del problema anterior era 5 1014 cm-3 . Sustituyendo en las expresiones de nn y pn del problema 2º, resulta:

 5 1014   n n =   + 2  

 5 10 14  2 12 2   + ( ) 2 10  2  

= 2,5 1014 + 6, 25 10 28 + 4 10 24 = 2,5 1014 + 2,50008 1014 = 5 10 14 cm −3 = ND  5 1014   + p n = −    2 

2

 5 10 14    + (2 1012 )2 = − 2,5 10 14 + 2,50008 10 14 = 8 10 9 cm − 3    2 

La concentración de portadores minoritarios, pn , se podía haber obtenido directamente de la expresión de la ley de acción de masas:

n n p n = n 2i 2

n 2i (2 10 12 ) 4 10 24 = = = 8 10 9 cm − 3 pn = 14 14 nn 5 10 5 10

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ELECTRÓNICA Tema 1

5. Determinar el nivel de dopado de un semiconductor tipo P de Si, si una barra de 10 cm de longitud y sección 1 mm2 a temperatura ambiente tiene una resistencia de 100 Ω . Resultado: 4 10 5 átomos de Si por cada átomo de impurezas Se calcula en primer lugar la conductividad de la barra:

σ =

1

ρ

=

l 10 cm −1 −1 = 2 = 10 Ω cm −2 Rs 100 10 Ω cm

Como la barra semiconductora es de tipo P se cumple:

σ = q (µn np + µ p pp) = q pp µ p Por tanto despejando pp :

10 Ω −1 cm −1 σ pp = = = 1, 25 1017 hue cos cm− 3 2 −19 −1 − 1 q µp 1,6 10 C 500 cm V s La concentración de huecos obtenida será la concentración existente de impurezas aceptoras NA. Puesto que la concentración de átomos de Si es 5 10 22 átomos por cm3, el nivel de dopado será de: 5 1022 / 1,25 1017 = 4 105 átomos de Si por cada átomo de impurezas


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Procesos de conducción en semiconductores.

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