Ingeniería Estructural
Inestabilidad elástica
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Pandeo de piezas rectas • Imaginemos una hoja de sierra – σy = 520 MPa – Sección transversal 12mm x 0.5mm – La hoja de sierra resistiría una carga de compresión de 3120 N •
Sin embargo, esta pieza puede perder su estabilidad a una carga mucho menor
La hoja de sierra perdería su estabilidad estructural para una carga que podríamos calcular: Supongamos: I = bh3/12 (sección rectangular) = 1,25 x 10 -13 m4 E = 200 GPa y L = 300mm La carga que produciría el pandeo sería: P = 2,74N
ESTABILIDAD E INESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO
Equilibrio estable
Equilibrio inestable
Equilibrio indiferente
P P
x
P
P P
kx k
P kx
k
Ll
.
.
.
.
a)
b)
c)
d)
Si: 2(kx)L>Px (lo que implica P<2kL) el equilibrio es estable. Si: 2(kx)L
2kL) el equilibrio es inestable.
Concepto de de inestabilidad inestabilidad estructural estructural Concepto Para cargas bajas
y A
B z
P
wB = wA +
wB = − A
B
P
B
N ∫ E ⋅ A dz A P⋅L E⋅A
Para una cierta P crítica se producen grandes desplazamientos transversales
wB A
B
Pcrítica
Aparecen fenómenos no lineales
Pandeo 6
Concepto de de inestabilidad inestabilidad estructural estructural Concepto El pandeo aparece en barras esbeltas para cargas menores que las que producen la plastificación del material
A
P < Pcritica
B
P
P < σecomp ⋅ A
Puede ser la condición de diseño crítica 7
Teoría de de primer primer orden orden Teoría
Problema de Euler Hipótesis:
y A
B
y B
Viga esbelta de sección constante
-
Ejes principales de inercia
-
Sólo existen esfuerzos de compresión
-
Comportamiento lineal elástico
-
Pequeños desplazamientos de flexión
-
Deformaciones pequeñas
-
No existen tensiones residuales
P
z
A
-
P
z
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Teoría de de primer primer orden orden Teoría Aplicando la ecuación de la elástica
y
v(z ) A
P
B
2
d v
z
2
dz
=−
M E ⋅ I
z 2
y
M = P ⋅ v (z )
A
v(z )
P
d v 2
dz
+
2
⋅v = 0
2
⎛ P ⎞ =⎜ ⎟ ⋅ E I ⎝ ⎠
v ( z ) = A ⋅ cos z + B ⋅ sen z
z
Con las contorno: z
=0 z = L
condiciones
de
v=0 v=0 9
Teoría de de primer primer orden orden Teoría y
v(z ) A
B
v ( z ) = A ⋅ cos z + B ⋅ sen z
P
z
A = 0
z
B ⋅ sen( λ ⋅ L ) = 0
⎛ n ⋅ ⎞ ⋅ z ⎟ ⎝ L ⎠
v ( z ) = B ⋅ sen⎜
n ⋅ 2
P =
2
L
λ ⋅ L
2
= n⋅π
⋅ E ⋅ I 2
P critica =
2
L
⋅ E ⋅ I
Carga crítica de Euler (1744)
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Influencia de de las las condiciones condiciones de de apoyo apoyo Influencia
P A
Viga en voladizo
B
P
B
Viga biempotrada con deslizadera horizontal
P
Viga biempotrada con deslizadera vertical
P
Viga empotrada-apoyada con deslizadera vertical 11
Influencia de de las las condiciones condiciones de de apoyo apoyo Influencia Viga en voladizo y A
B
P
z
B
P
B
P
La carga de pandeo coincide con la de una viga biapoyada de longitud doble
P critica =
2
(2 ⋅ L)
P critica =
2
⋅ E ⋅ I
P Euler
4
P A
B 12
Influencia de de las las condiciones condiciones de de apoyo apoyo Influencia Viga bi-empotrada con desplazamiento longitudinal en un extremo
A
B
La carga de pandeo coincide con la de una viga biapoyada de longitud mitad
P
z
P critica = P
2
( L 2 )
2
⋅ E ⋅ I
P critica = 4 ⋅ P Euler P
13
Influencia de de las las condiciones condiciones de de apoyo apoyo Influencia Viga bi-empotrada con desplazamiento transversal en un extremo
P
La carga de pandeo coincide con la de una viga biempotrada de longitud doble
P
P critica =
4⋅
2
(2 ⋅ L)
2
⋅ E ⋅ I
P
P critica = P Euler P
14
Influencia de de las las condiciones condiciones de de apoyo apoyo Influencia Viga empotrada-apoyada con desplazamiento transversal en un extremo y A
B
P
B
P
La carga de pandeo coincide con la de una viga biempotrada de longitud doble
z
P critica = B
2
(2 ⋅ L )
⋅ E ⋅ I
P
P critica = B
2
P
P Euler
4 15
Influencia de de las las condiciones condiciones de de apoyo apoyo Influencia Viga empotrada-apoyada con desplazamiento longitudinal en un extremo
A
B
No es posible aplicar simetrías
P 2
d v 2
dz
+
2
2
⋅v = 0
⎛ P ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ E ⋅ I ⎠
+ condiciones de contorno A
B
P
P critica =
2
(0 ,7 ⋅ L)
2
⋅ E ⋅ I
16
Influencia de de las las condiciones condiciones de de apoyo apoyo Influencia En general:
2
A
B
?
P
P critica =
( ⋅ L)
2
⋅ E ⋅ I
? L
Viene fijado en la normativa
y A
B
P
Longitud de pandeo:
z
Lp
P critica =
2
( ⋅ L)
2
⋅ E ⋅ I =
2 2 p
L
⋅ E ⋅ I 17
Concepto de de esbeltez esbeltez mecánica mecánica Concepto 2
y
P critica =
( ⋅ L )2
⋅ E ⋅ I
y
x x
Plano de pandeo z
critica
i =
I A
Radio de giro de la sección respecto al eje
=
2
⋅ E
⎛ ⋅ L ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ i ⎟ ⎝ ⎠
2
: Esbeltez mecánica 18
Concepto de de esbeltez esbeltez mecánica mecánica Concepto
2
critica
=
E 2
y y
x x
z
⎛ ⋅ L ⎞ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ i ⎝
La viga pandea en el plano perpendicular al eje de mayor esbeltez mecánica 19
Concepto de de esbeltez esbeltez mecánica mecánica Concepto Ejemplo: Para una viga biapoyada sobre rótulas esféricas, determine la configuración más estable frente a pandeo y
y
I x = 2140 ⋅104 mm 4
I x = 117 ⋅104 mm 4
I y = 117 ⋅104 mm 4
I y = 2140 ⋅104 mm 4
x
x
IPN-200
IPN-200
Configuración I
Configuración II
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Concepto de de esbeltez esbeltez mecánica mecánica Concepto Ejemplo z
z
x
z
y
y
x
Rótula esférica
⎛ L ⎞ λ x = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ i x ⎠
⎛ L ⎞ λ y = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ i y ⎠
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Concepto de de esbeltez esbeltez mecánica mecánica Concepto Ejemplo Configuración I
Configuración II
⎛ L pyz ⎞ L ⎟= λx = ⎜ = 12,5 ⋅ L ⎜ i x ⎟ 0,8 ⋅10−2 ⎝ ⎠ ⎛ L pxz ⎞ L ⎟= λy = ⎜ = 53,47 ⋅ L ⎜ i y ⎟ 1,87 ⋅10−2 ⎝ ⎠
⎛ L pyz ⎞ L ⎟= λx = ⎜ = 53,47 ⋅ L ⎜ i x ⎟ 1,87 ⋅10−2 ⎝ ⎠ ⎛ L pxz ⎞ L ⎟= λy = ⎜ = 12,5 ⋅ L ⎜ i y ⎟ 0,8 ⋅10−2 ⎝ ⎠
Pandea respecto al eje x
Pandea respecto al eje y
Ambas configuraciones tienen la misma carga crítica 22
Concepto de de esbeltez esbeltez mecánica mecánica Concepto Ejemplo: Repetir los cálculos si las rótulas son cilíndricas z
z
x
z
y
y
⎛ L ⎞ λ x = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ i x ⎠
x
⎛ 0,5 ⋅ L ⎞ ⎟ λ y = ⎜⎜ ⎟ i y ⎝ ⎠
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Concepto de de esbeltez esbeltez mecánica mecánica Concepto Ejemplo Configuración I
Configuración II
⎛ L pyz ⎞ L ⎟= λx = ⎜ = 12,5 ⋅ L ⎜ i x ⎟ 0,8 ⋅10−2 ⎝ ⎠ ⎛ L pxz ⎞ ⎟ = 0,5 ⋅ L = 26,7 ⋅ L λy = ⎜ ⎜ i y ⎟ 1,87 ⋅10−2 ⎝ ⎠
⎛ L pyz ⎞ L ⎟= λx = ⎜ = 53,47 ⋅ L ⎜ i x ⎟ 1,87 ⋅10−2 ⎝ ⎠ ⎛ L pxz ⎞ ⎟ = 0,5 ⋅ L = 6,25 ⋅ L λy = ⎜ ⎜ i y ⎟ 0,8 ⋅10−2 ⎝ ⎠
Pandea sobre el plano xz
Pandea sobre el plano yz
La configuración II es más inestable 24
Material de de apoyo apoyo Material REFERENCIAS COMPLEMENTARIAS 1. Celigüeta, J.T. “ Curso de Análsis Estruc tural” EUNSA. 1998 Cap 14. Introducción a la estabilidad estructural 2. Garri do, J.A. Y Foces, A. “ Resis tencia de Materiales” . Secretariado de Publicaciones. Universidad de Valladolid. 1994 Cap.15 La torsión en los problemas de pandeo Cap.16 Pandeo global de pórticos planos 3. Marti Montru ll, P. “ Análisis de estructuras. Métodos clásicos y matrici al Horacio Escarabajal Editores. 2003 Parte 6. Pandeo global de estructuras
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