Página 1 de
50
1. INTROD TRODUC UCC CION ION PANDEO En forma normal se piensa que las deflexiones dentro del límite elástico varían en forma lineal con la carga, sin embargo ocurren varias excepciones notables, como la falla por estabilidad o pandeo cuando se aplican cargas de compresión. Se entiende por estabilidad la propiedad del sistema de mantener su estado durante las acciones exteriores. Si el sistema no tiene esta propiedad se dice que el sistema es inestable. En la misma medida se puede afirmar que su estado es inestable. En las condicio condiciones nes reales reales siempr siempree existe existen n causas causas que pueden pueden conduc conducir ir a la perturbación del estado original de equilibrio. Es decir, que siempre se realiza la posibilidad del paso del sistema inestable a un nuevo estado. En este caso se dice que no tiene lugar la pérdida de estabilidad. Al perder la estabilidad, el sistema se puede comportar de diversas formas. Generalment Generalmente, e, tiene lugar el paso a un nuevo estado estado de equilibrio equilibrio,, lo que, en la mayo ayoría ría de los los caso casoss va acom acompa paña ñad do de grand randes es defo deform rmac acio ione nes, s, de deformaciones plásticas o de una rotura completa. En algunos casos, después de perder la estabilidad, la estructura sigue trabajando y cumple, como antes, sus funciones principales. Pueden ocurrir, por fin, casos cuando el sistema perdió estabilidad, al no tener una posición estable de equilibro, pasa al régimen de las oscilaciones no amortiguadas. Es necesario destacar que el fenómeno de la pérdida de estabilidad se manifiesta de la forma más clara en las estructuras ligeras de paredes delgadas: en las cáscaras comprimidas y en las paredes delgadas. Tal vez los más comunes son
Página 2 de
50
las columnas largas esbeltas trabajando a la compresión. Los ejemplos incluyen column columnas as en edifici edificios, os, eslabo eslabones nes estruc estructur turales ales a la compre compresió sión n (como (como en puentes), bielas conectadas a pistones, resortes helicoidales a la compresión y tornillos de gatos; también los tubos de paredes delgadas solicitado por una presión exterior es capaz de perder estabilidad. En este caso, la forma circular de la sección pasa a ser elíptica y el tubo se aplasta, a pesar de que, en el momento de perder la estabilidad, las tensiones están lejos de alcanzar el límite de fluencia
Presiones externas sobre un cilindro de pared delgada.
Elementos que fallaron por Pandeo.
Página 3 de
50
En el caso de barras esbeltas, debemos tener en cuenta que si la fuerza aplicada sobre una barra “perfecta” sigue la dirección exacta del lugar geométrico de los cent centro ross de grav graved edad ad de la secci sección ón no se prod produc ucir iráá el pand pandeo eo.. Pero Pero en las condiciones reales en que actúa el sistema pueden existir una o más de las siguientes causas que determina el pandeo, como por ejemplo: •
Irregularidades en la forma.
•
Irregularidades en la estructura.
•
Excentricidad de la carga respecto al centroide geométrico.
•
Pequeña flexión del eje. En el caso de barras esbeltas sometidas a fuerzas axiales de compresión, éstas corresponden al caso general tratado por Leonard Euler en 1744 cuando publicó el primer tratado conocido sobre la estabilidad elástica. La carga axial que da inicio a la inestabilidad por pandeo en un elemento estructural se conoce como
carga crítica de pandeo del elemento o carga de
Euler. Para el análisis de Euler se considera que la barra está articulada en ambos extremos. Se puede tomar como referencia a un elemento estructural ideal de eje recto, sin imperfecciones del material ni de alineación del elemento, con una longitud
L, de sección constante A e inercia I, constituido por un
material lineal elástico cuyo módulo de elasticidad es
E. En uno de sus extremos
se coloca un apoyo fijo y en el otro, un apoyo deslizante longitudinal. Al elemento mencionado se lo somete a una carga axial de compresión en el extremo del apoyo deslizante, y se le proporciona una elástica de deformación flexionante continua similar a la que se observa en piezas de libre rotación en
Página 4 de
50
sus extremos (elementos articulados- articulados), debido a la inestabilidad por pandeo.
El momento flector M inducido por la deformación inicial, a una distancia genérica x, determinado sobre la pieza deformada sera:
M(x, y) = P . y Las deformaciones transversales del elemento por el efecto de flexión se pueden describir mediante la Ecuación General de la Flexión , tomada de la Resistencia de Materiales:
Reemplazando la ecuación de momentos flectores en la ecuación general de flexión, y considerando la sección constante del elemento y un único material elástico, se obtiene la siguiente ecuación diferencial:
Página 5 de
50
Rescribiendo:
Se define un parámetro auxiliar C , donde
C es siempre positiva y se puede
calcular con la expresión:
Entonces la ecuación diferencial se puede rescribir como:
y'' + C2 . y = 0 La solución a la ecuación diferencial planteada es:
y = A . Sen (C . x) + B . Cos (C. x) Por la condición de borde del extremo inferior: para x = 0 y = 0, de donde:
B=0 La solución simplificada es:
y = A . Sen (C . x) Por la condición de borde del extremo superior: para x = L y = 0, por lo que:
0 = A . Sen (c . L)
Página 6 de Como
50
A0 Sen (c . L) = 0
Por lo tanto:
C.L=n.p
Despejando C:
Elevando al cuadrado:
Donde
n puede tomar cualquier valor entero mayor o igual a 1 (n = 1, 2, 3, ....).
Igualando los valor definidos anteriormente para
C2 se obtiene:
Despejando P de la igualdad, se obtienen las cargas axiales específicas o
cargas
críticas de pandeo correspondientes a todos los modos de deformación por pandeo:
La menor carga crítica está asociada a
deformación por pandeo :
n = 1, y corresponde al primer modo de
Página 7 de
50
Las cargas críticas para los restantes modos de deformación se obtienen con los otros valores que puede tomar n (n = 2, 3, 4, ...).
A continuación se presenta un gráfico que describe la geometría de las deformaciones causadas por el pandeo de acuerdo con los tres primeros modos de deformación.
Debe anotarse que, en el presente caso, la carga crítica de pandeo para el segundo modo de deformación es 4 veces mayor que la carga crítica de pandeo para el primer modo de deformación, y la carga crítica de pandeo para el tercer modo de deformación es 9 veces mayor que la carga crítica de pandeo para el primer modo de deformación. Es evidente que el primer modo de deformación controlará el pandeo de las columnas.
Página 8 de
50
El segundo modo de deformación tiene utilidad por su semejanza a las deformaciones producidas por estados de carga flexionantes frecuentes, que afectan a las columnas, lo que podría provocar un amortiguamiento temporal del primer modo de deformación en elementos estructurales reales (no ideales). Los restantes modos de deformación tienen una utilidad estrictamente académica, por lo que no son trascendentales para la práctica ingenieril. Para otros tipos de condiciones de borde (bordes empotrados, bordes libres, bordes elásticamente sustentados, etc.), la ecuación básica de Euler para el primer modo de deformación se ve modificada por un factor de forma de la elástica de deformación que afecta a la longitud de pandeo:
donde Lp toma los siguientes valores para condiciones de borde bien definidas: •
Barras articuladas-articuladas en los extremos:
Lp = L
•
Barras empotradas en un extremo y libres en el otro :
Lp = 2xL
Página 9 de
•
50
Barras empotradas en los dos extremos :
Lp =0.5L
•
Barras empotradas en un extremo y articulada en el otro :
Lp = 0.70.L
•
Barra empotrada en un extremo y empotrada monodeslizante en el otro extremo:
Lp = 0.70.L
•
Barra articulada-empotrada monodeslizante :
Lp = 0.70.L
Página 10 de
50
Ahora sí podemos generalizar la expresión que nos da Pcr para n=1; para cualquier caso de extremos del elemento analizado, pero no con la longitud real L sino con la equivalente o efectiva Lp.
El esfuerzo correspondiente será: Y el factor de esbeltez queda redefinido como: Debemos definir también el
plano crítico de pandeo ; que es el plano en el cual
es más probable que se produzca el pandeo teniendo en cuenta no solo el tipo de apoyo en las distintas direcciones sino también el momento de inercia en los ejes correspondientes a cada una de estas direcciones. En muchos casos el plano crítico de pandeo no es fácil de identificar y por ello se deberán realizar cálculos previos. El plano para el que se obtenga el mayor coeficiente de esbeltez será el crítico.
Página 11 de
50
1. OBJETIVOS •
El objeto del ensayo de pandeo es investigar el comportamiento de elementos largos (esbeltos) sometidos a cargas de compresión axial, es decir, que no fallan por aplastamiento
•
Determinar los aspectos importantes de la resistencia y alargamiento de los materiales materiales.
•
Observar el comportamiento de varias probetas de madera y de acero de sección transversal
constante,
la
sección
resistente
donde
observaremos
el
comportamiento del material es de forma rectangular y cilíndrica, sometida a esfuerzos axiales. •
Determinar la carga crítica de todas las probetas ensayadas.
•
Determinar la relación de esbeltez de todas las probetas ensayadas.
•
Ajustar los dispositivos y procedimientos de ensayo ya existentes, para obtener la falla esperada para la resistencia al pandeo de la madera y el acero.
1. EQUIPO UTILIZADO •
Maquina universal de 30 Ton
•
Calibrador o Vernier A = +-2 x 10 ⁻² mm
•
Flexometro A = +- 1 x 10 ⁻² mm
•
Apoyos para columnas
•
Mandril de carga
1. MATERIAL UTILIZADO
Página 12 de •
50
Ocho probetas de madera de sección transversal cuadrada y de forma rectangular. (Madera de Laurel)
•
Tres probetas de acero laminado en caliente de forma cilíndrica y de sección transversal circular.
1. PROCEDIMIENTO •
Medir adecuadamente las dimensiones de las probetas a ser ensayadas y para esto utilizaremos el calibrador y el flexómetro respectivamente.
•
Colocar la primera probeta de madera de 150mm de luz en la máquina universal utilizando los apoyos de doble articulación, la vamos a colocar lo más centrada posible para reducir la excentricidad.
•
Someter a una carga de compresión paralela a sus fibras estas van a ir aumentando progresivamente de acuerdo al material hasta que la probeta falle. Determinar la carga de falla para la probeta.
•
Repetir los pasos anteriormente enunciados para las siguientes siete probetas, pero en cada una de ellas vamos a aumentar la luz de la viga en 50cm.
•
Luego continuamos con las probetas de acero laminado en caliente; y así tenemos:
•
Colocamos la primera probeta de acero en la máquina universal utilizando los apoyos de doble articulación.
•
Sometemos a la probeta a una carga de compresión y esta va a aumentar progresivamente de acuerdo al material hasta el punto en que falle. Registramos la carga crítica para la probeta.
•
Colocar la segunda probeta de acero en la máquina universal utilizando los apoyos de articulación y empotramiento.
Página 13 de •
50
Sometemos a la probeta a una carga de compresión y aumentamos progresivamente de acuerdo al material hasta que el material falle. Determinamos la carga crítica para la probeta ensayada.
•
Colocar la tercera probeta de acero en la máquina universal utilizando los apoyos de doble empotramiento.
•
Sometemos a una carga de compresión aumentando progresivamente de acuerdo al material hasta el punto en que el material falle. Determinar la carga crítica de la probeta ensayada
•
Determinar la relación de esbeltez y la carga crítica de todas las probetas ensayadas.
•
Con los resultados de la relación de esbeltez de las probetas, graficar una curva de carga crítica contra esbeltez, que son independientes de la geometría de la probeta.
•
Comparar las cargas críticas de estos materiales (madera y acero) con otros materiales.
Página 14 de
50
1. TABLAS DE LAS PROBETAS ENSAYADAS PROBETA No. 1: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA
Dimensiones: b = 20mm
;
a = 20mm
;
L = 150mm
Apoyo de doble articulación. 1
2
3
Área
Inercia
A mm² 400
I mm⁴ 13333,33
4
5
6
7
Carga critica Radio de Longitud Relación Carga critica de experimenta giro efectiva esbeltez teórica l P (Cr) N 6729
r mm 5,774
Le = L mm 150
k mm/mm 25,978
P (Cr) n 67259,51
6
7
PROBETA No. 2: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA
Dimensiones: b = 20mm
;
a = 20mm
;
L = 200mm
Apoyo de doble articulación 1
2
3
4
5
Área
Inercia
Carga critica
Radio de giro
Longitud efectiva
A mm² 400
I mm⁴ 13333,33
P (Cr) N 15637
r mm 5,774
Le = L mm 200
Relación Carga critica de teórica esbeltez k mm/mm 34,638
P (Cr) n 37833,47
Página 15 de
50
PROBETA No. 3: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA
Dimensiones: b = 20mm
;
a = 20mm
;
L = 250mm
Apoyo de doble articulación 1
2
3
4
5
Área
Inercia
Carga critica
Radio de giro
Longitud efectiva
A mm² 400
I mm⁴ 13333,33
P (Cr) N 16107
r mm 5,774
Le = L mm 250
6
7
Relación Carga critica de teórica esbeltez k mm/mm 43,298
P (Cr) n 24213,42
6
7
PROBETA No. 4: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA
Dimensiones: b = 20mm
;
a = 20mm
;
L = 300mm
Apoyo de doble articulación 1
2
3
4
5
Área
Inercia
Carga critica
Radio de giro
Longitud efectiva
A mm² 400
I mm⁴ 13333,33
P (Cr) N 10807
r mm 5,774
Le = L mm 300
Relación Carga critica de teórica esbeltez k mm/mm 51,96
P (Cr) N 16814,88
Página 16 de
50
PROBETA No. 5: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA
Dimensiones: b = 20mm
;
a = 20mm
;
L = 350mm
Apoyo de doble articulación 1
2
3
4
5
Área
Inercia
Carga critica
Radio de giro
Longitud efectiva
A mm² 400
I mm⁴ 13333,33
P (Cr) N 7765
r mm 5,774
Le = L mm 350
6
7
Relación Carga critica de teórica esbeltez k mm/mm 60,61
P (Cr) N 12353,78
6
7
PROBETA No. 6: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA
Dimensiones: b = 20mm
;
a = 20mm
;
L = 400mm
Apoyo de doble articulación 1
2
3
4
5
Área
Inercia
Carga critica
Radio de giro
Longitud efectiva
A mm² 400
I mm⁴ 13333,33
P (Cr) N 9392
r mm 5,774
Le = L mm 400
Relación Carga critica de teórica esbeltez k mm/mm 69,28
P (Cr) N 9458,36
Página 17 de
50
PROBETA No. 7: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA
Dimensiones: b = 20mm
;
a = 20mm
;
L = 450mm
Apoyo de doble articulación 1
2
3
4
5
Área
Inercia
Carga critica
Radio de giro
Longitud efectiva
A mm² 400
I mm⁴ 13333,33
P (Cr) N 8452
r mm 5,774
Le = L mm 450
6
7
Relación Carga critica de teórica esbeltez k mm/mm 77,94
P (Cr) N 7473,28
6
7
PROBETA No. 8: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA
Dimensiones: b = 20mm
;
a = 20mm
;
L = 500mm
Apoyo de doble articulación 1
2
3
4
5
Área
Inercia
Carga critica
Radio de giro
Longitud efectiva
A mm² 400
I mm⁴ 13333,33
P (Cr) N 6254
r mm 5,774
Le = L mm 500
Relación Carga critica de teórica esbeltez k mm/mm 86,59
P (Cr) N 6053,36
Página 18 de
50
PROBETA No. 9: ENSAYO DE PANDEO EN ACERO LAMINADO EN CALIENTE
Dimensiones: Φ = 15mm
;
L = 500mm
Apoyo de doble articulación. 1
2
3
4
5
Área
Inercia
Carga critica
Radio de giro
Longitud efectiva
A mm² 176,714
I mm⁴ 2485,04
P (Cr) N 3905
r mm 3,75
Le = L mm 500
6
7
Relación Carga critica de teórica esbeltez k mm/mm 133,33
P (Cr) n 16972,24
PROBETA No. 10: ENSAYO DE PANDEO EN ACERO LAMINADO EN CALIENTE
Dimensiones: Φ = 15mm
;
L = 470mm
Columna libre articulada empotrada. 1
2
3
4
5
Área
Inercia
Carga critica
Radio de giro
Longitud efectiva
A mm² 176,714
I mm⁴ 2485,04
P (Cr) N 34360
r mm 3,75
Le = L mm 470
6
7
Relación Carga critica de teórica esbeltez k mm/mm 125,33
P (Cr) n 19208,06
Página 19 de
50
PROBETA No. 11: ENSAYO DE PANDEO EN ACERO LAMINADO EN CALIENTE
Dimensiones: Φ = 15mm
;
L = 470mm
Apoyo de doble empotramiento. 1
2
3
4
5
Área
Inercia
Carga critica
Radio de giro
Longitud efectiva
A mm² 176,714
I mm⁴ 2485,04
P (Cr) N 49943
r mm 3,75
Le = L mm 440
6
7
Relación Carga critica de teórica esbeltez k mm/mm 117,33
P (Cr) n 21916,63
Página
DIAGRAMA DEL ENSAYO DE PANDEO EN MADERA (CARGA CRITICA TEORICA VS. RELACION DE ESBELTEZ)
20
de 50
Página
21
de 50
Página
22
de 50
DIAGRAMA DEL ENSAYO DE PANDEO EN ACERO LAMINADO EN CALIENTE (CARGA CRITICA EXPERIMENTAL VS. RELACON DE ESBELTEZ)
Página
23
de 50
Página 24 de
2. FOTOGRAFIAS DE LOS ENSAYOS PROBETA No. 1 ANTES DEL ENSAYO
DESPUES DEL ENSAYO
Forma de la falla: Comienza por aplastamiento luego por tracción.
50
Página 25 de
PROBETA No. 2 ANTES DEL ENSAYO
DESPUES DEL ENSAYO
Forma de la falla: Aplastamiento en una esquina y tracción en la otra.
50
Página 26 de
PROBETA No. 3 ANTES DEL ENSAYO
DESPUES DEL ENSAYO
Forma de la falla: Comienza por aplastamiento y luego la falla se produce violentamente.
50
Página 27 de
PROBETA No. 4 ANTES DEL ENSAYO
DESPUES DEL ENSAYO
Forma de la falla: La falla se produce por flexión pura.
50
Página 28 de
PROBETA No. 5 ANTES DEL ENSAYO
DESPUES DEL ENSAYO
Forma de la falla: Se produce pandeo y luego un giro rápido de la probeta.
50
Página 29 de
PROBETA No. 6 ANTES DEL ENSAYO
DESPUES DEL ENSAYO
Forma de la falla: Se produce pandeo y la falla se da por un giro en medio de la probeta.
50
Página 30 de
PROBETA No. 7 ANTES DEL ENSAYO
DESPUES DEL ENSAYO
Forma de la falla: Se produce pandeo y la pieza gira lentamente hasta que falla.
50
Página 31 de
PROBETA No. 8 ANTES DEL ENSAYO
DESPUES DEL ENSAYO
Forma de la falla: La pieza falla por pandeo.
50
Página 32 de
50
PROBETA No. 9: PROBETA DE ACERO LAMINADO EN CALIENTE ANTES DEL ENSAYO
DESPUES DEL ENSAYO
Forma de la falla: Deformación en la mitad de la longitud de la barra. Deformación permanente.
Página 33 de
PROBETA No. 10: ENSAYO EN ACERO LAMINADO EN CALIENTE ANTES DEL ENSAYO
DEPUES DEL ENSAYO
Forma de la falla: Existe una mayor deformación en la articulación.
50
Página 34 de
PROBETA No. 11: ENSAYO EN ACERO LAMINADO EN CALIENTE ANTES DEL ENSAYO
DESPUES DEL ENSAYO
Forma de la falla: Se produce una deformación en el centro de la barra.
50
Página 35 de
50
3. CONCLUSIONES •
Debemos tener en cuenta hay una pequeña excentricidad en la aplicación de la carga, pero para efectos de cálculo se desprecia.
•
Las probetas además de ser relativamente simétricas, no presentan la zona crítica de pandeo en el centro; pues ésta depende de varios factores como por ejemplo al momento de tornear la probeta.
•
Debemos tener en cuenta que para la deducción de la fuerza crítica de pandeo se ha empleado la fórmula de la línea elástica del elemento deformado; luego, el resultado obtenido sólo podrá ser empleado en el rango elástico del material.
•
Observamos una diferencia notable entre los resultados teóricos y prácticos.
•
Debido a la gran diferencia de la carga para la falla, en estructuras esbeltas se suelen usar factores de seguridad bastante altos.
•
Parte de la gran diferencia que existe entre los valores teórico y práctico es consecuencia de la poca precisión y fugas de los equipos utilizados.
•
La falla por pandeo se produce de forma rápida, produciendo un sonido estridente debido a la brusca liberación de energía.
•
El valor de la carga crítica depende del material del que esté fabricada la columna.
•
Para un material dado, el valor de la carga crítica no depende de la calidad del mismo, esto es de su resistencia.
Página 36 de
50
1. RECOMENDACIONES •
Comprobar que la máquina de ensayo se encuentre en perfectas condiciones.
•
Medir adecuadamente las probetas a ser ensayadas ya que un error puede provocar una errada toma de datos.
•
Tener mucho cuidado al momento de que las probetas de madera fallan ya que pueden saltar astillas al rostro y pueden provocar daños muy graves.
•
Para esto utilizar gafas se seguridad.
•
Verificar que las probetas de acero y madera no tengan imperfecciones en su parte exterior ya que esto puede dañar la práctica.
•
Con la ayuda de un estudiante verificar al momento de colocar las probetas que estas se encuentren lo mas centradas posible.
•
Atender detenidamente la explicación del profesor para realizar la practica sin inconvenientes.
Página 37 de
1. CALCULOS TIPICOS PROBETA No. 1: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA b = 20mm
;
a = 20mm
;
L = 150mm
Cálculo de área:
A=b x h=20mm x 20mm=400mm2 Cálculo de la inercia:
I= b x h312= 20 x 20312=13333.33mm4 Cálculo del radio de giro:
r= IA= 13333.33 mm4400 mm2=5.774 mm Longitud efectiva=Le=150mm Cálculo de la relación de esbeltez:
k= Ler= 1505.774=25.978 Cálculo de la carga critica experimental:
Pcr= π2 x Ec x ILe2= π2 x 1.15x104 x 13333.331502=67.259 N
50
Página 38 de
PROBETA No. 2: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA b = 20mm
;
a = 20mm
;
L = 200mm
Cálculo de área:
A=b x h=20mm x 20mm=400mm2 Cálculo de la inercia:
I= b x h312= 20 x 20312=13333.33mm4 Cálculo del radio de giro:
r= IA= 13333.33 mm4400 mm2=5.774 mm Longitud efectiva=Le=200mm Cálculo de la relación de esbeltez:
k= Ler= 2005.774=34.63 Cálculo de la carga critica experimental:
Pcr= π2 x Ec x ILe2= π2 x 1.15x104 x 13333.332002=37833 N
50
Página 39 de
PROBETA No. 3: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA b = 20mm
;
a = 20mm
;
L = 250mm
Cálculo de área:
A=b x h=20mm x 20mm=400mm2 Cálculo de la inercia:
I= b x h312= 20 x 20312=13333.33mm4 Cálculo del radio de giro:
r= IA= 13333.33 mm4400 mm2=5.774 mm Longitud efectiva=Le=250mm Cálculo de la relación de esbeltez:
k= Ler= 2505.774=43.298 Cálculo de la carga critica experimental:
Pcr= π2 x Ec x ILe2= π2 x 1.15x104 x 13333.332502=24213.42 N
50
Página 40 de
PROBETA No. 4: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA b = 20mm
;
a = 20mm
;
L = 300mm
Cálculo de área:
A=b x h=20mm x 20mm=400mm2 Cálculo de la inercia:
I= b x h312= 20 x 20312=13333.33mm4 Cálculo del radio de giro:
r= IA= 13333.33 mm4400 mm2=5.774 mm Longitud efectiva=Le=300mm Cálculo de la relación de esbeltez:
k= Ler= 3005.774=51.96 Cálculo de la carga critica experimental:
Pcr= π2 x Ec x ILe2= π2 x 1.15x104 x 13333.333002=16814.88 N
50
Página 41 de
PROBETA No. 5: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA b = 20mm
;
a = 20mm
;
L = 350mm
Cálculo de área:
A=b x h=20mm x 20mm=400mm2 Cálculo de la inercia:
I= b x h312= 20 x 20312=13333.33mm4 Cálculo del radio de giro:
r= IA= 13333.33 mm4400 mm2=5.774 mm Longitud efectiva=Le=350mm Cálculo de la relación de esbeltez:
k= Ler= 3505.774=60.62 Cálculo de la carga critica experimental:
Pcr= π2 x Ec x ILe2= π2 x 1.15x104 x 13333.333502=12353.78 N
50
Página 42 de
PROBETA No.6: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA b = 20mm
;
a = 20mm
;
L = 400mm
Cálculo de área:
A=b x h=20mm x 20mm=400mm2 Cálculo de la inercia:
I= b x h312= 20 x 20312=13333.33mm4 Cálculo del radio de giro:
r= IA= 13333.33 mm4400 mm2=5.774 mm Longitud efectiva=Le=400mm Cálculo de la relación de esbeltez:
k= Ler= 4005.774=69.28 Cálculo de la carga critica experimental:
Pcr= π2 x Ec x ILe2= π2 x 1.15x104 x 13333.334002=9458.36 N
50
Página 43 de
PROBETA No. 7: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA b = 20mm
;
a = 20mm
;
L = 4500mm
Cálculo de área:
A=b x h=20mm x 20mm=400mm2 Cálculo de la inercia:
I= b x h312= 20 x 20312=13333.33mm4 Cálculo del radio de giro:
r= IA= 13333.33 mm4400 mm2=5.774 mm Longitud efectiva=Le=450mm Cálculo de la relación de esbeltez:
k= Ler= 4505.774=77.94 Cálculo de la carga critica experimental:
Pcr= π2 x Ec x ILe2= π2 x 1.15x104 x 13333.334502=7473.28 N
50
Página 44 de
PROBETA No. 8: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA b = 20mm
;
a = 20mm
;
L = 500mm
Cálculo de área:
A=b x h=20mm x 20mm=400mm2 Cálculo de la inercia:
I= b x h312= 20 x 20312=13333.33mm4 Cálculo del radio de giro:
r= IA= 13333.33 mm4400 mm2=5.774 mm Longitud efectiva=Le=500mm Cálculo de la relación de esbeltez:
k= Ler= 5005.774=86.59 Cálculo de la carga critica experimental:
Pcr= π2 x Ec x ILe2= π2 x 1.15x104 x 13333.335002=6053.36 N
50
Página 45 de
50
PROBETA No. 9: ENSAYO DE PANDEO EN ACERO LAMINADO EN CALIENTE Φ = 15mm
;
L = 500mm
Cálculo de área:
A=π x D24=π x (15mm)24=176.714mm2 Cálculo de la inercia:
I= π x r44= π x (7.5mm)44=2485.04 mm4 Cálculo del radio de giro:
r= IA= 2485.04 mm4176.714 mm2=3.75 mm Longitud efectiva=Le=500mm Cálculo de la relación de esbeltez:
k= Ler= 5003.75=133.33 Cálculo de la carga critica experimental:
Pcr= π2 x Ec x ILe2= π2 x 1.73x105 x 2485.045002=16972.24 N
Página 46 de
50
PROBETA No. 10: ENSAYO DE PANDEO EN ACERO LAMINADO EN CALIENTE Φ = 15mm
;
L = 470mm
Cálculo de área:
A=π x D24=π x (15mm)24=176.714mm2 Cálculo de la inercia:
I= π x r44= π x (7.5mm)44=2485.04 mm4 Cálculo del radio de giro:
r= IA= 2485.04 mm4176.714 mm2=3.75 mm Longitud efectiva=Le=470mm Cálculo de la relación de esbeltez:
k= Ler= 4703.75=125.33 Cálculo de la carga critica experimental:
Pcr= π2 x Ec x ILe2= π2 x 1.73x105 x 2485.044702=19208.06 N
Página 47 de
50
PROBETA No. 11: ENSAYO DE PANDEO EN ACERO LAMINADO EN CALIENTE Φ = 15mm
;
L = 440mm
Cálculo de área:
A=π x D24=π x (15mm)24=176.714mm2 Cálculo de la inercia:
I= π x r44= π x (7.5mm)44=2485.04 mm4 Cálculo del radio de giro:
r= IA= 2485.04 mm4176.714 mm2=3.75 mm Longitud efectiva=Le=440mm Cálculo de la relación de esbeltez:
k= Ler= 4403.75=117.33 Cálculo de la carga critica experimental:
Pcr= π2 x Ec x ILe2= π2 x 1.73x105 x 2485.044402=21916.63 N
Página 48 de
50
2. APENDICE El fenómeno de PANDEO ocurre solamente cuando hay COMPRESION. Por el contrario, cuando hay TRACCION la pieza falla por falta de resistencia, no por falta de estabilidad, o sea por pandeo. En el caso de las estructuras de acero la esbeltez “necesaria” para que resulten económicas hace que el pandeo sea sumamente critico. No solamente las columnas de acero, o sea los elementos a compresión, fallan por pandeo, también las vigas pueden fallar por pandeo de sus fibras sometidas a compresión al estar la sección sometida a flexión, como veremos mas adelante. El PANDEO puede ser definido así: Proceso por el cual una Estructura (o parte de ella) cambia de un estado deflectado a otro sin que se produzca NINGUNA MODIFICACION de la carga aplicada. A continuación manejaremos el concepto de EQUILIBRIO, donde para tratar de aclarar, tomaremos ilustraciones representativas con los siguientes casos: a) Equilibrio Estable b) Equilibrio Inestable c) Equilibrio Neutro Suponemos en los tres casos una esfera la cual se encuentra inicialmente en equilibrio perfecto para luego dejarle libre sometida a una carga. a) Equilibrio Estable: ejemplo el caso de una viga que se flecta bajo una carga aplicada pero regresa a su posición al retirar la carga
b) Equilibrio Inestable: ejemplo el caso de una columna articulada en la base y libre en su parte superior, si es empujada por una carga cualquiera se cae y no se recupera.
Página 49 de
50
c) Equilibrio Neutro: ese considera un equilibrio neutral o NEUTRO, una columna articulada arriba y abajo que es cargada axialmente; y se flexara ligeramente pero sin caer. (Mantiene el equilibrio pero toma una nueva posición).
Una COLUMNA puede ser definida como un elemento sometido a COMPRESION que es tan esbelto que al recibir carga cada vez mayor fallara por PANDEO mucho antes de que falle por aplastamiento. Las columnas pueden ser clasificadas en tres grupos según su comportamiento: 1) Columnas Largas: Fallan por pandeo o flecha lateral excesiva 2) Columnas Intermedias: Fallan por una combinación de aplastamiento y pandeo 3) Columnas Cortas: Fallan por aplastamiento (exceso de compresión)
Por definición la columna ideal es aquella que reúne las siguientes características: es homogénea, su sección es constante, inicialmente recta (al empezar a aplicarle carga axial). En la realidad las columnas tienen pequeños defectos de fabricación y existen excentricidades “accidentales” que resultan de una combinación de FLEXION y CARGA AXIAL de magnitud indeterminada tal y como podemos observar en la figura siguiente.
Si la “e” es muy pequeña y la columna es corta, la deflexión lateral será mínima y el esfuerzo de flexión despreciable; en cambio, en un elemento largo y por lo tanto flexible, un valor no muy alto de P puede causar un esfuerzo grande de flexión
