Osnove Mehanike Fluida Skripta

Факултет техничких наука Нови Сад

МЕХАНИКА ФЛУИДА

Маша Букуров октобар, 2009.

УВОД У МЕХАНИКУ ФЛУИДА У циљу побољшања услова живота, иако несвесно, принципи механике флуида примењивани су још у праисторији. Древне цивилизације започеле су развој механике флуида у емпиријском – искуственом облику, нарочито у области наводњавања. Сам почетак развоја механике флуида као теоријске дисциплине и практичне науке датира из трећег века пре нове ере са Архимедовим записом "О телима која пливају". До данас наука о флуидима превалила је дуг пут. Механика флуида развила се у једну од најкомплекснијих дисциплина. Њен развој још није завршен и постоје многа питања која захтевају одговоре. Развој рачунарске технике, нумеричких анализа и брзих и поузданих мерних уређаја на крају двадесетог и почетку двадесетпрвог века отварају нове стране у историји механике флуида. Развој механике флуида захтева промене и у њеном проучавању. То је изазов за све институције које се баве образовањем и истраживањем у пољу механике флуида.

Историја механике флуида Још од праскозорја цивилизације, људска врста била је фасцинирана флуидима; било да је реч о струјању воде у рекама, ветру и временским приликама у атмосфери, топљењу метала, снажним струјама океана или дисању и струјању крви кроз наша тела. Механика флуида открива опчињавајућу историју. Почетак развоја механика флуида датира из времена када су маштовити и довитљиви становници планете Земље открили да чамац сличан струјницама реке путује брже од оног затупљеног корита, као и да од облика стреле зависи исход лова.

Древне цивилизације Старе цивилизације настајале су у близини воде. Једна од њих је и дуговечна кинеска цивилизација од пре седам миленијума. Ова цивилизација настала у долини две велике реке: Хоангхо на северу и Јангцејанг на југу Кине, изолована од остатка Азије скоро непремостивим природним баријерама, Хималајима и пустињом Гоби, развила се у комплексну и другачију цивилизацију. Река Јангцејанг служила је као извор воде за наводњавање пиринчаних поља. Пиринач иначе може да исхрани већи број људи по хектару од осталих житарица, али захтева велике количине воде. Тако је и потреба за

1

водом довела до настанка прве примитивне пумпе за воду коју су у почетку покретали људи, а касније животиње. Друга древна цивилизација – Месопотамија, такође је била позната као земља између двеју река – Тигра и Еуфрата. У овој области кише су падале сезонски, што је изазивало поплаве зими и у пролеће, а сушу у лето и јесен. Земљорадња је зависила од наводњавања из Тигра и Еуфрата, те је изграђена мрежа канала за наводњавање и одводњавање који су повезивали градове и омогућавали транспорт људи и робе.

Античка времена Старогрчки мислилац Хераклит у филозофском смислу поставио је постулат да "све тече". Грчка цивилизација оставила нам је у наслеђе пуно плодова размишљања у свим сферама људског интересовања, укључујући и механику флуида. Каже се да је статика флуида започела свој развој у време Старе Грчке. Поменуто Архимедово дело (250 п.н.е.) поставља основне темеље хидростатике. У то време тежиште проучавања односило се на радове са водом: аквадукте, канале, луке и купатила, која су Стари Римљани, касније довели до савршенства.

Ренесанса Инспирисан Архимедом, холандски инжењер хидраулике Симон Стевин написао је 1586. документ у коме показује да сила притиска течности која делује на одређену површину зависи од висине стуба течности и површине на коју делује. Чињеница да ова сила не зависи од облика суда постала је позната као хидростатички парадокс. Многи сматрају да је Стевин оснивач науке о хидростатици. У јужној Европи, велики уметници и инжењери тог времена, попут највећег од свих, Леонарда да Винчија, поново су се заинтересовали за природу око себе, а посебно струјање флуида. Леонардо је проучавао феномене у визуелном свету, препознаво је структуру и форму тих феномена, описивао их скицама на тачан начин како их је видео. Учествовао је у пројектовању и надгледању изградње радова на каналима и лукама у средњој Италији. Свој допринос механици флуида оставио је у девет делова својих расправа у којима покрива површинско струјање, кретање воде, таласе, вртлоге, падање воде, слободне млазеве, интерференцију таласа, летеће машине и многе друге новооткривене појаве.

2

Леонардов наследник с краја 17. века био је Исак Њутн (1642-1727). Њутн је, поред мноштва других ствари којима се бавио, спровео низ експеримената из области отпора тела при његовом кретању кроз флуид. Формулисао је брзину звука у ваздуху, основе вискозних напона и дао је једначину коју данас зовемо силом отпора, при чему је направио грешку сматрајући да облик тела нема утицаја. Својим радовима утврдио је почетак континуалног проучавања механике флуида. Почетак развоја механике флуида траје око сто година (1650. до 1750.) и у вези је са општим интересом за природне науке. Овај период окарактерисан је ослобађањем људског духа и мисли који су до тада били под утицајем застарелих ставова, углавном Аристотелових, што је било у складу са клерикалним поимањем света. Тако је прво Галилео Галилеј (1564-1642) оповргао теорију о сили отпора у течностима и гасовима. Експериментом је 1683. показао да сила отпора расте са порастом густине флуида и брзине тела. Француски научник Едме Мариот (1620-1684) године 1686. дао је квантитативну процену ове силе. Њутн је покушао да квантификује и предвиди струјање флуида помоћу својих елементарних њутновских физичких релација. Покушао је да створи нову теорију о отпорима, али је касније утврђено да ова теорија води до погрешних резултата јер није узео у обзир трење. Његов допринос механици флуида огледа се у следећем: o други Њутнов закон F=m⋅a o концепт њутновске вискозности у коме тангенцијални напон линеарно зависи од брзине деформације, o постављање једначине о промени количине кретања у флуиду, o успостављање везе између брзине таласа на површини течности и таласне дужине.

18. век (Хидраулика) Током 18. и 19. века уложено је пуно труда у математичко описивање кретања флуида. Данијел Бернули (1700-1782) извео је своју, и данас битну и чувену, једначину, а Леонард Ојлер (1707-1783) поставио је једначине које описују закон одржања количине кретања невискозног флуида и закон одржања масе. Такође је увео и теорију потенцијалног струјања. Жозеф Луј Лагранж (1736-1813), највећи математичар осамнаестог века, Леонард Ојлер и Данијел Бернули оснивачи су науке

3

о механици флуида. Да би описали различите појаве у струјном пољу, физичка својства флуида морала су да се идеализују у великој мери. И поред тога, компликоване једначине нису могле да се примене на решавање практичних проблема. Неминовна поједностављивања водила су до нетачних решења која нису могла да се користе за многе техничке проблеме. Тако је започет развој практичне - експерименталне хидромеханике - хидраулика. Француз Клод Луј Мари Навије (1785-1836) и ирац Џорџ Габријел Стокс (1819-1903) увели су вискозне утицаје у Ојлерову једначину, што је резултовало чувеном Навије-Стоксовом једначином. Ова векторско диференцијална једначина, постављена пре 200 година, данас представља основу за развој нове научне дисциплине - рачунарске динамике флуида, или краће и опште прихваћено – ЦФД (Computational Fluid Dynamics), а у себи обухвата изразе за одржање масе, количине кретања, притисак, вискозност и турбуленцију. Скаларни облик ове једначине толико је комплексан за решавање да је тек развитак дигиталних рачунара шездесетих и седамдесетих година прошлог века омогућио њихову примену на проблеме реалног струјања.

19. век (невискозно струјање) Од 19. века надаље, достигнућа у механици флуида била су углавном везана за војно-техничке и индустријске проблеме. Густав Кирхоф (1824-1887) увео је функцију комплексног потенцијала и одредио параметре дводимензионалног безвртложног струјања невискозних течности око различитих тела. Николај Јегорович Жуковски (18471921) даље је развио тај метод и увео нове комплексне функције које су омогућиле решавање различитих практичних проблема од велике важности. Године 1858. Херман фон Хелмхолц (1821-1894) описао је понашање струјних линија вртлога у невискозном, некомпресибилном флуиду под дејством конзервативних сила на флуид. Безвртложно струјање око сфере решио је Симеон Денис Поасон (1781-1840), а сер Џорџ Габријел Стокс је побољшао решења. За прорачун безвртложног струјања око осносиметричних тела Вилијем Ренкин (1820-1872) предложио је метод сингуларитета (извор, понор, дипол) који је нашироко прихваћен и примењен. Тако се развила грана механике флуида која проучава идеално – невискозно струјање. Још један правац у развоју механике флуида у 19. веку био је проблем турбуленције и сила отпора при великим брзинама. Године 1883.

4

Озборн Рејнолдс (1842-1912) извео је једноставан експеримент и уочио два различита струјна режима: ламинаран и турбулентан. Експерименти су потврдили Навије-Стоксове једначине за ламинарно струјање. Турбулентно струјање морало је да се опише додатним члановима који обухватају утицај турбуленције и ове једначине добиле су име Рејнолдсове једначине. Систем Рејнолдсових једначина није решен до данас јер недостаје квалитетнија аналитичка веза између турбулентних напона и основних карактеристика струјања. Лудвиг Прантл (1875-1953) поставио је 1904. године теорију о граничном слоју и на тај начин поједноставио решавање бројних практичних проблема. У 19. веку добијени су и значајни резултати у вези са струјањем гасова. Друге кључне личности које су утицале на развој теорије струјања флуида током 19. века биле су Жан Ле Ронд Даламбер (1717-1783), Жан Луј Мари Поисел (1797-1869), Џон Вилијем Рејли (1842-1919), Морис Кует (1858-1943) и Пјер Симон де Лаплас (1749-1827).

Савремена механика флуида Почетком 20. века много је урађено на развоју теорије граничног слоја и турбуленције у флуидној струји. Прантлов допринос механици флуида обухвата и теорију узгонске линије (узгон и отпор крила), рад на турбуленцији и експериментално и теоријско проучавање динамике гасова. Његова теорија граничног слоја сматра се најважнијим открићем у механици флуида свих времена и стога се Прантл сматра оцем савремене механике флуида. Теодор фон Карман (1881-1963) анализирао је оно што се данас зове Карманов вртложни траг. Џефри Инграм Тејлор (1886-1975) предложио је статистичку теорију турбуленције и Тејлорову микро скалу. Андреј Николајевич Колмогоров (1903-1987) увео је концепт Колмогорове скале и универзалног енергијског спектра турбуленције, а Џорџ Кит Бечелор (1920-2000) дао је допринос теорији хомогене турбуленције. Највећи развој у историји механике флуида десио се током четрдесетих година двадесетог века. Разлог лежи у изузетно брзом развоју индустрије и војне технике. Градња нуклеарних електрана, атомске и хидрогенске бомбе, интерконтиненталних ракета, надзвучних летелица и орбиталних станица захтевали су од механике флуида решавање мноштва различитих проблема који су били незамисливи током 19. и почетком 20. века.

5

Осим наставка на проучавању постојећих научних дисциплина које су започете у 19. и 20. веку, јављају се нове научне области: аеродинамика, динамика гасова, магнетна и хемијска хидродинамика и друге. Радови професора Николаја Егоровича Жуковског (1847-1921) и Сергеја Алексејевича Чапљигина (1869-1892) били су од виталног значаја за аеродинамику, турбине и бродове. Теоријски рад Жуковског био је сконцентрисан на узгон, аеродинамику великих брзина, теорију вртложења, уздужну и попречну стабилност, али је он допунио овај рад и одговарајућим експерименталним опсервацијама за сваки случај понаособ. Овим двоструким прилазом проучавању аеродинамике, утабао је пут развоју руске авијације. Основао је аеродинамичку лабораторију и припремио образовне курсеве из проучене теорије аеродинамике. Чапљигин је објавио познато дело "О струјању гасова" 1902. године где је представио тачна решења многих случајева дисконтинуалног струјања компресибилних гасова. Овај рад отворио је пут за проучавање аеромеханике великих брзина. Године 1904. Прантл је извео диференцијалну једначину за струјање у ламинарном граничном слоју. Интеграле ове једначине извео је Карман, који је такође проучавао примену математике у инжињерској пракси, ерозију авионских конструкција и земљишта, турбулентну теорију и надзвучне летове. Током Другог светског рата своја интересовања усмерио је ка проучавању ракета.

Експериментална механика флуида Експериментална истраживања која су скоро увек претходила теоријским анализама, дуго времена су била независан правац развоја механике флуида, јер су била везана за проучавање реалног флуида који није задовољавајуће описан све до краја 19. века. Од тада, ове две гране проучавања механике флуида, теоријска и експериментална, развијају се заједно, иако експерименти и даље имају доминантну улогу у проучавању феномена механике флуида, а разлог томе је недостатак потпуног знања о различитим струјним процесима. Током 20. века многи комплексни проблеми који нису могли да се реше коришћењем теоријске механике флуида захтевали су изградњу ваздушних тунела, испитних базена, кавитационих и ударних тунела, брзих хидродинамичких канала и др. Експерименталне истраживачке лабораторије, као и различити струјни уређаји и инструменти користе се за проучавање сложених струјања и насталих сила, са применом у

6

турбо машинама, цевоводима у фосилним и нуклеарним електранама, кавитацијом у пропулзивним системима, кабловима за платформе у океанима. Заједнички задатак при пручавању свих ових и многих других феномена је да се разумеју, предвиде и контролишу струјањем изазване: вибрације, стварање буке, мешање и процеси преноса топлоте. Упркос чињеници да су основне једначине механике флуида (континуитета, количине кретања, Навије-Стоксова и Рејнолдсова једнaчина) познате још са краја 18. века, њихово потпуно решавање није било могуће због недостатка метода решавања. Сви методи за решавање ових једначина за инжењерске проблеме развијени су тек у другој половини 20. века захваљујући огромном напретку нумеричких метода и развоју моћнијих рачунара. Из истих разлога, друга половина 20. века такође доноси огроман напредак у пољу експерименталне механике флуида. Развој брзих електронских компоненти, ласера, интегрисане оптике, различитих сензора, микро технике итд., омогућио је развој широког спектра мерних техника које су сада на располагању за проучавање струјања флуида. Велики избор ласерских система (Јаг, аргон-јон, хелијум-неон) омогућавају расветљавање комплексних струјања. Мале промене површинског притиска могу да се измере коришћењем великог броја сензорских система који раде на принципу пијезо ефекта уз појачиваче и филтере. Модерне оптичке технике у огромној мери побољшале су визуелизацију струјања. Представљање нумеричких резултата у облику путање или струјница јасно говори о томе да су оптичке методе још увек корисне за разумевање струјне слике и њених промена при опструјавању различитих препрека, као и за добијање општег увида у природу струјања флуида. Врло брзи електронски појачивачи одзива омогућили су развој мерења брзине флуида (анемометрија) помоћу вреле жице и на тај начин добијене су прве детаљне информације о брзинама при турбулентном струјању. Међутим, анемометар са топлом жицом и даље је ограничене примене на струјања са малим степеном турбуленције. Ласер-доплер анемометрија је техника мерења која је заснована на мерењу расипања светлости при наиласку на ситне честице које прате флуидну струју. Поред ове технике, постоје и друге, као што су фазна-доплер анемометрија и друге које омогућавају још прецизнија мерења струјања флуида.

7

Рачунарска динамика флуида (ЦФД) Осим развоја експерименталне механике флуида сведоци смо крупних корака у развоју рачунарске динамике флуида. Може да се говори о новој научној дисциплини насталој применом нумеричких метода у механици флуида уз помоћ рачунара. Најранија нумеричка решења за струјање око цилиндра извео је А. Том 1933. године. Убрзо је слична решења добио и јапанац Кавагучи коришћењем механичког стоног калкулатора 1953. чији је прорачун трајао 18 месеци 20 сати недељно. Током 60. година прошлог века, теоријски департман у Наси у Лос Аламосу у САД направио је многе нумеричке методе који се и данас користе у ЦФД. Раних осамдесетих комерцијални ЦФД кодови улазе на отворено тржиште. ЦФД постаје незаменљиви у аеро и хидродинамици при пројектовању авиона, возова, аутомобила, ракета, бродова, подморница и било ког возила или радног процеса.

Будућност Механика флуида дошла је у стадијум када је могуће проблеме добро представити математички, али није могуће, услед сложености, добити аналитичка решења. Таквим проблемима обично се приступа комбинацијом физичких експеримената и нумеричких варијација, при чему нумерички прорачуни сваким даном напредују, са порастом моћи рачунара. Због тога су вероватне значајне промене у механици флуида. Нико, осим стручњака који израђују софтвере, не мора да зна детаље који се налазе унутар црне кутије, чак ни које се једначине решавају. Зато се поставља питање шта ће се десити са механиком флуида као предметом који се предаје студентима инжењерства и природних наука. Постепено, али сигурно, студенти инжењерства ослањаће се све више на софтвере а мање на анализу нумеричких проблема. Стога, ако једнога дана рачунари буду у могућности да реше све проблеме, неизоставно мора доћи до промене начина учења механике флуида, а могуће и целокупне инжењерске науке. Међутим, постоје примери који потврђују да ће учење теоријских принципа механике флуида преовладати. Током Хладног рата, научници из Русије и Украјине имали су веома ограничене могућности

8

рада на рачунарима у поређењу са научницима и инжењерима западних земаља. Као резултат тога, иза "гвоздене завесе" развили су се изузетно јаки теоријски и аналитички приступи проблемима, који су се касније показали као драгоцени. Они су допринели да се направе ефикасни компјутерски кодови за потребе нумеричке анализе и обраде података на ограниченом броју рачунара.

Примена механике флуида Постоје бројне области у којима се механика флуида примењује. У наставку су наведени неки од примера истраживања која се данас спроводе у различитим светским истраживачким центрима: o Пројектовање возила за свемир (излазак из Земљине атмосфере). o Биомедицинска динамика флуида. Истраживања струјања крви и дисања. o Аеродинамика заобљеног тела. Разумевање и предвиђање комплексних дво- и тро-димензионалних струјања. o Рачунарска динамика флуида и симулација. Већина истраживања захтевају или експерименталне или резултате ЦФД симулација. Основна ЦФД симулација заснована је на методима коначних елемената или коначних запремина, спектралним методама вишег реда, симулацијама великих вртлога, модела турбулентних струјања, шемама дисконтинуитета високе резолуције, вртложних метода итд. o Контрола и оптимизација летелица. Контрола је један од најзначајнијих аспеката у пројектовању летилица. Примена укључује и стабилизацију и регулацију динамике летелице. o Контрола струјања. Контрола струјања брзо се развија, као једна од кључних области у технологији и у аеронаутици и у медицинском сектору, у циљу смањења отпора и струјањем изазваних вибрација. o Архитектура морских објеката и енергија таласа. Истраживања су усмерена на повећање разумевања развијања таласа и струја око морских конструкција, нарочито оних који се користе при експолоатацији нафте и гаса. o Аеродинамика друмских возила.

9

o

o

o

o

o

Аеродинамика хеликоптера. Истраживања обухватају синтезу ЦФД и нелинеарне механике чврстог тела уз динамику сложеног тела ради стицања сазнања о перформансама летилица, механици летења, вибрацијама и акустици. Суперсонична и хиперсонична аеродинамика и струјања стишљивог флуида. Ова истраживања основа су будућим летовима у свемир, кроз атмосферу и летовима великих брзина. Истраживачи желе да разјасне феномене у свемиру, и да развију летелице нове генерације. Ветро генератори. Спроводе се истраживања у вези са обликом лопатица и међусобним дејством вртложног трага и нестационарног струјања око хоризонталне осе ротора, пројектовање ефикаснијих елиса. Заштита животне средине. Распростирање контаминаната кроз атмосферу, локално и глобално, кроз подземне и површинске водотокове. Метеорологија. Праћење и предвиђање врменских прилика уз помоћ све напреднијих софтвера, као и њихов развој.

10

ОПШТИ ПОЈМОВИ Механика флуида обухвата појаве које су везане за два агрегатна стања тела: течно и гасовито; али и све врсте мешавина сва три агрегатна стања. Гасовито тело карактерише врло велика покретљивост и деформабилност и његово понашање потпуно је супротно од понашања чврстог тела. Течно тело налази се на средини између ова два стања, па су и његове карактеристике сличне карактеристикама и чврстог и гасовитог тела. У механици флуида посматра се кретање делића који је потпуно испуњен материјом. Ако се зна да у коцки чије су ивице димензија 1 микрон има 3,4⋅1010 молекула воде на 0 [°С] или 2,7⋅107 молекула ваздуха на 0 [°С] и притиску од 760 [mmHg] онда, материјом потпуно испуњени и најмањи простор је стварност а не претпоставка, пошто су молекули најмањи делићи флуида који поседују све његове карактеристике. Назив флуид односи се на течности и гасове због њихових заједничких особина. Гасови се врло често третирају као стишљиви, а течности пак, као нестишљиви флуиди.

Модели флуида Основни модели флуида који се проучавају су: o миран флуид - флуид у стању мировања. Може да буде стишљив и нестишљив, али се увек посматра као невискозан флуид, јер се вискозне силе не јављају при мировању флуида; o нестишљив флуид - флуид код кога је густина константна. Може да буде вискозан и невискозан; o идеалан (савршен) флуид - флуид који је невискозан. Модел флуида у коме су нађена прва решења кретања; o стишљив (компресибилан) флуид - флуид чија је густина променљива а еластичне силе (притиска) доминантне. Вискозни ефекти обично се занемарују. Модел оваквог флуида примењује се у динамици гасова; o реалан флуид - стваран флуид код кога су изражене и вискозне и еластичне силе. За реалан флуид постоји ограничен број тачно решених проблема.

11

Струјни режими Према кретању флуида треба разликовати два (три) основна струјна режима: o ламинаран - са слојевитим кретањем флуида без мешања суседних слојева. Струјни режим који је добро описан Навије Стоксовим једначинама, теоријски и практично је у доброј мери проучен и испитан. Карактеришу га мали интензитет брзина или јака вискозност; o турбулентан - хаотично кретање флуидних делића са интензивним мешањем. Постављене једначине дају решења за ограничен број проблема. Експериментална истраживања и нумеричка решења донекле задовољавају данашње потребе; o прелазан - зона између ламинарног и турбулентног кретања са низом специфичности у зависности од карактеристика струје. Термин ″прелазан″ односи се и на недовољно развијено струјање, нпр. на струјање флуида из резервоара у цевовод.

Врсте струјања Према струјној слици треба разликовати врсте струјања. Најчешће се срећу: o једнодимензијска струја. Вектор брзине има само једну компоненту. Идеализован случај струјања кроз цев; o раванско струјање. Вектор брзине има два компоненте. Врло је развијена теорија раванског струјања идеалног флуид. Решења из ове теорије (потенцијална теорија) користе се као основа за одређивање решења реалног флуида; o осно - симетрично струјање. Струјање реалног флуида (ламинарно) кроз цеви, опструјавање идеалног флуида око цилиндра и других обртних тела; o струјање са обртним координатама. Струјање кроз роторска кола турбомашина.

Реолошка класификација Основа понашања флуида веза је између тангенцијалног напона τ, који влада на додирним површинама флуидних слојева или флуида и чврсте граничне површине, и градијента брзине dv dy . Тангенцијални напон проузрокован је спољним утицајима, а градијент брзине представља меру деформације флуида под дејством спољашњих сила. Подела

12

флуида према понашању (реолошка класификација), приказана на слици 1, садржи две основне групе: њутновске и нењутновске флуиде.

Њутновски флуид. Веза између тангенцијалног напона и одговарајућег градијента брзине дата је Њутновом (конститутивном) једначином: dv τ =η dy тј. карактеристичан однос тангенцијалног напона и градијента брзине одређује динамичку вискозност τ dτ η= = = const. dv ⎛ dv ⎞ d⎜ ⎟ dy ⎝ dy ⎠ Нењутновски флуид. Веза између тангенцијалног напона и одговарајућег градијента брзине није линеарна. Постоје две групе нењутновских флуида: o за дилатантни флуид однос тангенцијалног напона и градијента брзине расте са порастом градијента брзине, o за псеудопластичне и пластичне флуиде исти однос се смањује са порастом градијента брзине. Код пластичних флуида потребно је пре кретања остварити почетно напонско стање τ p .

Слика 1. Модели струјног понашања и профил брзине (τ тангенцијални напон, τp – почетни напон, dv/dy – градијент брзине)

13

За описивање кретања пластичног, псеудопластичног и дилатантног флуида уводи се појам привидне вискозности η p . Бингамов модел и модели степеног закона којима се описује понашање псеудопластичног и дилатантног флуида представљају поједностављена решења. Односе се само на оне флуиде код којих се вискозност током времена не мења. Модел степеног закона дат је са:

⎛ dv ⎞ ⎟ ⎝ dy ⎠

n

τ =K⎜

(n<1 псеудопластични; n>1 дилатантни; n=1, K=η њутновски).

Временска зависност Струјни процес везан је за неки временски интервал, па треба разликовати: o стационарну струју; независност свих струјних параметара од времена; o нестационарну струју; неки од струјних параметара зависе од времена, нпр. v=f(x, y, z, t).

Састав флуида Врло често су представници нењунтновских флуида разне мешавине, па је присутна подела: o једнофазни флуиди - хомогени по саставу; o двофазни и вишефазни флуиди. Мешавине гаса и течности, гаса и чврстог, чврстог и течног (транспорт чврсте компоненте у течној и гасној струји). Многе мешавине (дисперзни системи) показују карактеристике чврсте (еластичност) и флуидне (вискозност) компоненте, а односи τ, dv dy , ηp су нестационарног карактера. Стационарност, врсте струјања, струјни режими и модели обележја су и нењутновских флуида. Иако се данас са сигурношћу може потврдити да је подједнака потреба за познавањем нењутновских и њутновских флуида, већа пажња посвећује се њутновским, јер се чешће срећу, а исти су принципи и методе проучавања. Статика флуида је од исте важности као и статика чврстог тела. Без доброг познавања проблема из статике флуида, немогуће је решавати проблеме из динамике флуида. У инжењерској пракси срећу се струјни

14

(динамички) проблеми који могу да се поделе у две групе: унутрашња (ограничена) и спољашња (слободна) струјања. Унутрашња струјања везана су за цевоводе, флуидне машине и струјне процесе, а спољашња струјања најчешће проучавају силе отпора које делују на опструјавана тела или тела која се крећу кроз флуид. Основни закони који се користе у струјној анализи су: o

o

o

Закон одржања масе. Маса не може да се створи нити уништи, може само да мења место. Овај закон у механици флуида изражава једначина континуитета. Три Њутнова закона кретања. 1. Маса флуида задржава равнотежно стање, односно мирује или се креће једноликом брзином у истом смеру све док се не појаве силе које могу да наруше ово стање. 2. Промена количине кретања масе флуида изазива пропорционалну силу која дејствује на ту масу. Овај алтернативни облик другог Њутновог закона у пракси се најчешће користи за одређивање сила којима флуид делује на чврсте границе. Други Њутнов закон у механици флуида представљен је динамичком једначином (кретања), која је основа за решавање струјних проблема. 3. Свака активна сила има једнаку (по величини) и супротну (по смеру) реактивну силу (нпр. покретачка сила ракете). Ова природна и добро позната законитост користи се често без посебних напомена. Она је у склопу једначине о промени количине кретања. Први закон термодинамике (закон о одржању енергије). Енергија, као и маса, не може да се створи нити уништи. Она може да мења облик, да се транспортује и да се складишти. Редуковани облик овог закона - Бернулијева једначина користи се за поређење и одређивање три основне компоненте флуидне струје: кинетичке енергије, енергије притиска и висинске енергије (положајне). Бернулијева једначина своје порекло, такође, дугује и другом Њутновом закону.

Наведени закони су физичког карактера и важе за све врсте и случајеве струјања. Немају ограничења у погледу природе флуида и геометрије њихових граница, али важе само за инерцијске координатне системе.

15

Инерцијски координатни систем је непокретан или се креће једноликом брзином. Егзактно математичко моделирање физичких закона спроводи се постављањем и решавањем диференцијалних једначина кретања. Приближна струјна анализа која због једноставног и брзог рачуна има велик практични значај, спроводи се применом физичких законитости на ″контролну запремину″ и ″контролни систем″.

16

ФИЗИЧКА СВОЈСТВА ФЛУИДА Молекуларна грађа - микроструктура Флуиди су састављени из елементарних честица (молекула и атома), пречника реда d≈10-10 m. За грађу материје од битног утицаја су само два стања ових честица: o

Честице су далеко једна од друге, густина је довољно мала и честице врше стохастичко (хаотично – Брауново, за гасове) кретање. Дужина слободне путање за ваздух под нормалним условима је l≈10-7 m, средња брзина молекула износи 500 m/s.

o

Честице су релативно близу једна другој, густина је довољно велика и постоји узајамни утицај честица. Делују међумолекуларне (Вандервалсове силе) на растојању од око 10d≈10-9 m. (слика 1).

Слика 1. Међумолекулска сила F којом честица делује на другу честицу у зависности од њиховог међусобног растојања r

Подела физичких својстава Стање флуида одређује се различитим физичким својствима. Сва својства су макроскопско представљање микроскопских (или молекуларних) структура и кретања. С обзиром да све материје постоје у чврстом или флуидном стању, потребно је, поред добро познатих разлика, уочити и следећу: при

17

деловању тангенцијалне силе издвојена запремина флуида, која приања за непокретну површину, наставиће са деформисањем докле год дејствује сила. Након престанка деловања силе издвојена запремина флуида неће се вратити у почетни облик, (за разлику од чврстог тела при еластичној деформацији). Процес континуалне деформације (под дејством силе или тангенцијалног напона) назива се струјање. Флуид је материја која је у стању да струји (тече), па се у физичким својствима флуида разматрају величине које се јављају при кретању: вискозност, брзина звука, као и величине које су последица различитих интеракција, нпр. површински напон и кавитација. Физичка својства флуида погодно је да се поделе у три групе: o

механичка (густина (ρ), притисак (p))

o

термичка (температура (t, T), унутрашња енергија (u), енталпија (h), специфична топлота (c))

o

узрокована (вискозност (η,ν), стишљивост (s,ε), површински напон (γ), напон паре (pk), топлотно ширење (β), кавитација (κ)).

У наставку, независно од редоследа и набројаних величина дате су основне карактеристике и везе најважнијих физичких својстава.

Притисак Притисак је скалар и представља једно од својстава флуида везаних за једну тачку (као и густина, температура итд.). Означава се са р и има димензију Паскал (Ра=N/m2). У употреби је и бар (1 bar=105 Pa). Разликује се унутрашњи и спољашњи притисак. Унутрашњи притисци у оквиру елементарних запремина у посматраној издвојеној флуидној запремини се поништавају. Спољашњи притисак представља дејство спољашњих сила. Тачна дефиниција притиска одређена је напонским стањем, односно познавањем тензора напона. Може се рећи да притисак повезује све остале утицајне струјне величине. Мерење притиска Зависно од тога да ли се притисак мери од нуле или од атмосферског притиска разликују се (слика 2):

18

o o o

манометарски притисак или натпритисак pmB, вакуумметарски притисак или потпритисак pvA, апсолутни притисак pA, pB.

Слика 2. Релативни и апсолутни притисци Збир атмосферског притиска и натпритиска или разлика атмосферског притиска и потпритиска једнаки су апсолутном притиску. p A = pa − pvA pB = pa + pmB

Уређаји за мерење притиска Стандардни механички инструменти за мерење статичког притиска су манометар са Бурдоновом цеви (слика 3) и анероидни барометар (слика 4). Манометар са Бурдоновом цеви састоји се из танке еластичне цеви елипсастог облика А која је учвршћена у тачки Б. Слободан крај повезан је са казаљком Ц. Услед дејства притиска флуида који се уводи у цев, цев тежи да заузме кружни облик што се одражава на показивање казаљке. Како са спољашње стране цеви дејствује обично атмосферски притисак, то казаљка показује само релативан притисак, односно натпритисак. Казаљка је на нултом подеоку када су притисци у цеви и око ње једнаки. Основни елемент анероидног барометра јесте кратак цилиндар А са еластичном мембраном Б. У цилиндру нема ваздуха. Ако је околни простор такође без ваздуха, онда казаљка показује нулу, што одговара нултом апсолутном притиску. При сваком повећању спољашњег притиска, казаљка се помера удесно.

19

Слика 3. Манометар са Бурдоновом цеви

Слика 4. Анероидни барометар Инструменти, код којих се притисак мери стубом течности су различите врсте U - цеви, помоћу којих се одређује релативан притисак и добро је познат и живин барометар којим се одређује апсолутни притисак.

Слика 5. Мерење притика помоћу U-цеви

20

Препоручује се да се висине мере над хоризонталном равни (хоризонт) која се провлачи кроз ниво нижег стуба течности у U - цеви. На слици 5 хоризонт је обележен словима x-x. У левом краку налази се течност густине ρt и висине H [m], а у десном краку је жива (која се не меша са течношћу). Њен стуб над хоризонтом x-x висок је h, а густине је ρž. Нека је пресек левог крака цеви A1=const. и десног A2=const. рачунајући по висини крака. Ниво живе у левом краку U - цеви трпи притисак p од тежине стуба течности (H) и атмосферског притиска. Сила од притиска једнака је pA1, а уравнотежава се тежином стуба течности ρt gHA1 и силом атмосферског притиска paA1 Једначина за равнотежу захтева да је pA1 = ρt gHA1 + pa A1 отуд p = ρt gH + pa . (#) Слично овоме, следи једначина за исти притисак p на хоризонт x-x десног крака p = ρ ž gh + pa . (##) Прво се истиче да није важно да ли су пресеци кракова U - цеви једнаки или не, важно је да се пресек истог крака не мења. Јасно је да се притисак p код хоризонта може срачунати помоћу једначине (#) или (##). Кад се те две једначине изједначе, што представља једначину равнотеже за течност у U - цеви која се практично увек употребљава, налази се однос висина стубова различитих течности H ρž = h ρt . Стуб живе висок 1 m држао би, на пример, равнотежу стубу воде високом 13,6 m. С једначином равнотеже за течност у U-цеви треба забележити свако различито временско статичко стање исте течности (нпр. почетно и радно) и сваку врсту течности када је спојено више U-цеви. Запремина одређене масе течности постојана је. Ако се нпр. неки крак мерне цеви шири од пречника d на пречник D, а услед промене равнотеже промени се и висина течности у таквој цеви, онда треба имати на уму да смањење (или повећање) запремине течности у оба дела мора имати исту вредност, тј.

∆V D = ∆Vd .

Ова једначина повезује различита временска стања.

21

Густина Масу флуида репрезентује густина, те је густина и најзначајније физичко својство флуида. Густина је дефинисана као маса по јединици запремине, димензија је kg/m3. ∆m dm ⎡⎣ kg m3 ⎤⎦ = ρ = lim ∆V → 0 ∆V dV Могућност да се изабере произвољна запремина dV при описивању неког струјног процеса проистиче из већ споменутих чињеница да и најмања запремина флуида садржи огроман број носилаца (молекула) свих физичких и хемијских својстава флуида. На 4 °С густина воде је 1000 kg/m3, а на 20 °С густина воде је 998,2 kg/m3. Ваздух при атмосферском притиску од 101325 Pa и температури од 15 °С (стандардна атмосфера) има густину 1,226 kg/m3. Густина ваздуха одређује се из једначине стања идеалног гаса. Густине неких флуида приказане су у Табели 1. Густина смеше течности одређује се зависно од количинских или запреминских делова. Уколико су познати масени удели појединих делова и њихове густине, густина смеше течности добија се из релација: Vs = V1 + V2

ms

ρs

=

m1

+

m2

ρ1 ρ 2 ρ1 ρ 2 ms . ρs = m1 ρ 2 + m2 ρ1 Ако су познати запремински удели и густине појединих делова, густина смеше течности добија се на основу следећих релција: ms = m1 + m2

ρ sVs = ρ1V1 + ρ 2V2 ρ V + ρ 2V2 ρs = 1 1 .

Vs Густина гасова одређује се из једначине стања идеалног гаса: p = RT

ρ

22

где су: p – притисак [Pa] ρ - густина [kg/m3] R – специфична гасна константа [J/kgK] T – термодинамичка температура [K].

Табела 1. Густине флуида 3

3

Флуид

ρ [kg/m ]

Флуид

ρ [kg/m ]

Глицерин

1260

Бензол

875

Нафталин

1145

Шпиритус

830

Лож уље

890-1020

Алкохол (15 °С)

790

Млеко

1030

Бензин

680-760

Ланено уље

940

Жива (0 °С)

13595

Уље за цилиндре

930

Азот (0 °С, 1 bar)

1,251

Морска вода

1020-1030

Угљен-диоксид

1,977

Маст

910-960

Ваздух

1,292

Маслиново уље

914-919

Кисеоник

1,429

Нафта

700-1040

Водоник

0,090

Једначина стања идеалног гаса повезује основна физичка својства гаса у једној тачки. За познату специфичну гасну константу R, густина ρ одређије се мерењем притиска p и температуре T. Густина течности која мирује одређује се на различите начине: мерењем масе и запремине, хидростатичким мерењем (мерењем силе потиска), помоћу "U" цеви, вагом.

23

Слика 6. Распоред флуидних слојева различитих густина У пракси се често користи специфична густина која представља густину посматраног флуида подељену са густином воде. Када је специфична густина мања од 1, флуид плива на води. Ређи флуиди пливају над гушћим флуидима (слика 6).

Стишљивост Сви флуиди су стишљиви или компресибилни. То значи да при промени притиска флуид мења запремину. Међутим, често може да се усвоји апроксимација да је флуид нестишљив, поготово када су у питању течности. Када су у питању гасови, мале разлике притисака изазивају мале промене густине. Нпр. промена притиска за 1% при константној температури, довешће до промене густине за 1%. У атмосфери 1% промене притиска одговара висини од 85 метара, тако да се код високих зграда обично сматра да су притисак и густина ваздуха по њиховој висини константни. Количник промене запремине ∆V и првобитне запремине V0 (релативна промена запремине) подељен разликом притисака ∆p (због које се запремина и променила), има константну вредност за сваки флуид и назива се коефицијент стишљивости s: ∆V 1 ⎡ Pa −1 ⎤⎦ s=− V0 ∆p ⎣ где су: ∆V = V0 − V [m3] ∆p = p0 − p1 [Pа ] V0 – почетна запремина [m3] p0 – почетни притисак [Pa];

24

или у виду диференцијалних промена dV 1 s=− . V dp Знак ″-″ показује да се запремина смањује када се притисак повећава и обрнуто.

Реципрочна вредност коефицијента стишљивости назива се модул стишљивости ε, који је аналоган модулу еластичности Е код чврстих тела: V 1 dp [ Pa ] . ε = =− s dV Течности Са познатим коефицијентом стишљивости може да се одреди густина течности у зависности од промене притиска или дубине. Маса флуида која се не мења m = ρV = const. диференцирањем се доводи на Vdρ + ρ dV = 0 , dV dρ ; − = V ρ те је dρ 1 s= ρ dp односно dρ = sdp .

ρ

Интеграљењем од почетних вредности (0) p ρ dρ = s ∫ ∫ dp ρ0

добија се ln

ρ

p0

ρ = s ( p − p0 ) ρ0

тј.

ρ = ρ 0 e s( p − p ) . 0

(*)

25

За миран флуид у пољу Земљине теже притисак се мења сразмерно висини флуидног слоја и важи основна једначина за мировање флуида dp = ρ gdz где је: z - оса усмерена вертикално наниже [m]. Заменом овог израза у релацију: dρ

ρ

= sdp

и даљим сређивањем, добија се закон промене густине у функцији дубине dρ = sgdz 2

ρ dρ z ∫ 2 = ∫ sgdz ρ0 ρ z0 ρ

1

ρ0

−

1

ρ

ρ=

= sg ( z − z0 )

ρ0

(**) 1 − s ρ 0 g ( z − z0 ) Изједначавањем израза (*) и (**) доводи се дубина z у зависност од притиска, јер следи 1− e ( 0) . sg ρ0 Мера стишљивости течности одређена је променом густине (једн. (*) или (**)). z − z0 =

− s p− p

Гасови Модул стишљивости гасне средине зависи од карактера промене стања гаса. Једначина промене (стања) гаса описује карактер промене између два гасна стања. Најчешће се среће изотермска промена са законом промене Т=const. и адијабатска промена са законом промене Q=const. (без одвођења и довођења топлоте током промене). Адијабатска промена може да буде изентропска и политропска. Изентропска је реверзибилна промена - без губитака, а политропска промена представља стварну са губицима. Обе врсте адијабатске промене

26

карактерише експонент изентропе или политропе κ. Експонент изентропе је: o за једноатомне гасове (хелијум) κ=1,66 o за двоатомне гасове (ваздух, азот, кисеоник) κ=1,40 o за тро- и вишеатомне гасове (метан) κ=1,30. Модул стишљивости за изотермску промену идентичан је статичком притиску p, а за изентропску промену производу κp. До овог се долази на следећи начин: једначина промене, односно карактеристична једначина за изотерму је p1 p2 = = const.

ρ1

ρ2

тј. p

ρ

= const.

Логаритмовањем и диференцирањем долази се до ln p − ln ρ = const. dp dρ − =0 p ρ dp dρ = . p ρ Замена у једначину dρ ρ = sdp доводи до 1 =ε= p. s Уколико је промена стања изентропска, тада важи релација: p1 p = κ2 = const. κ

ρ1

ρ2

тј. p

ρκ

= const.

Логаритмовањем и диференцирањем долази се до ln p − κ ln ρ = const. dp dρ −κ =0 ρ p

27

dp dρ =κ . p ρ Замена у једначину dρ ρ = sdp доводи до 1 =ε =κ p. s Дакле, при изотермској промени гасне средине мера стишљивости је статички притисак, а при изентропској промени - производ κp.

Табела 2. Коефицијенти стишљивости s за неке течности при стандардним атмосферским условима Течност Течност s ⎡⎣⎢GPa −1 ⎤⎦⎥ s ⎡⎢⎣ GPa −1 ⎤⎦⎥ етар 1, 948 уље (0, 484-0, 637) алкохол 1, 222 вода (0, 419-0, 479) бензин (бензол) 0, 966 морска вода (0, 50-0, 51) угљениктетрахлорид 0, 907 глицерин 0, 230 нафта 0, 705 жива 0, 038 Коефицијент стишљивости за неке течности и вредности гасне константе и експонента адијабате дати су у табелама 2 и 3. Табела 3. Вредности специфичне гасне константе R, експонента адијабате κ и специфичне топлоте cp (при константном притиску) за неке гасове R [J/kgK] cp [J/kgK] κ угљен диоксид 188,78 1,30 820,61 кисеоник 259,78 1,40 916,91 ваздух 287,04 1,40 1004,83 азот 296,75 1,40 1038,33 метан 518,67 1,32 2160,39 хелијум 2078,03 1,66 5233,50 водоник 4125,66 1,41 14235,12

Брзина звука Брзина простирања слабих еластичних поремећаја c (звука) кроз хомогену средину одређена је једначином dp c= [m/s] dρ

28

где су dp и dρ елементарна промена притиска и густине средине кроз коју се преноси еластични поремећај – звучни талас. Брзина распростирања звучног таласа кроз течна и чврста тела изражава се преко модула стишљивости ε [Pa], односно преко модула еластичности Е [N/m2]. Проширењем претходне једначине следи: dp ρ c2 = ⋅ dρ ρ из dρ = sdp

ρ

следи

dρ

ρ па је c2 =

=

dp

ε

dp ε , ρ dp

односно за течност: c2 =

ε , ρ

а за чврста тела: c2 =

E

ρ

.

Брзина распростирања звучног таласа кроз гасове зависи од карактера промене коју изазива звук. Ови поремећаји су узастопне компресије и експанзије са изентропским и изотермским карактером промене. За изентропску промену, логаритмовањем и карактеристичне једначине добија се брзина звука p = const. κ

диференцирањем

ρ

ln p − κ ln ρ = ln C dp dρ =κ p ρ dp p c2 = = κ = κ RT . dρ ρ За изотермску промену, слично следи

29

p

ρ

= const.

ln p − ln ρ = ln C dp dρ = p ρ dp p c2 = = = RT . dρ ρ Брзина звука кроз: o ваздух на 15° C је 342 m/s o воду на 15° C је 1445 m/s o челик на 15° C је 4120 m/s o водену пару око 500 m/s.

Вискозност Вискозност је природно својство флуида због којег се у додирној површини два флуидна слоја производи напон смицања (тангенцијални напон). Према Њутну напони смицања у додирним слојевима за једнолико раванско струјање једнаки су dv τ =η dy где су: - τ [Pa] - тангенцијални напон, - η [Pa⋅s] - динамичка вискозност, dv ⎡ m s ⎤ - промена брзине v флуида у правцу нормалном на dy ⎢⎣ m ⎥⎦ струјање (v=f(y)). Фундаментална законитост τ = η dv dy важи само за ламинарно струјање њутновских флуида код којих је тангенцијални напон сразмеран градијенту интензитета брзине. Количник dv dy често се замењује следећим појмовима: брзина деформације, величина деформације, деформацијa, градијент брзине итд. Код нењутновских флуида зависност тангенцијалног напона и деформације дата је читавим низом релација, зависно од реолошког

30

типа флуида, инструмента којим је одређивана зависност и нивоа познавања својства флуида. Динамичка вискозност (њутновских флуида) подељена са густином флуида назива се кинематска вискозност η ⎡ m2 ⎤ ν = ⎢ ⎥. ρ ⎣ s ⎦ Експериментално се ова вискозност одређује вискозиметром. У мирном флуиду тангенцијални напони се не примећују, те су сви флуиди у том стању невискозни. Носиоци вискозних својстава код течности су међумолекулске силе, а код гасова интензитет судара међу молекулима; отуда вискозност течности опада, а гасова расте са порастом температуре (слика 7). На сликама 25, 26 и 27 приказане су вискозности важнијих флуида у зависности од температуре. Вискозност се изузетно исказује при кретању флуида, па пошто повезује спољашње утицаје, због којих се кретање остварује, са кинематским карактеристикама струјања, треба уочити неке законитости. Распоред тангенцијалног напона при ламинарном струјању флуида преко равне плоче сагласно Њутновој једначини дат је на слици 8.

Слика 7. Зависност динамичке вискозности течности и гасова од температуре.

31

Слика 8. Распоред тангенцијалног напона при ламинарном струјању флуида преко равне плоче. Клизно лежиште полуречника R2 са вратилом (обртним) полупречника R1 чији је међупростор - зазор δ=R2-R1 (реда величине 0,02 mm) испуњен флуидом (уљем) има расподеле: брзине, угаоне брзине, обртног момента, тангенцијалног напона и предате снаге флуиду, представљене на слици 9.

Слика 9. Расподеле: брзине, угаоне брзине, обртног момента, тангенцијалног напона и предате снаге флуиду у зазору клизног лежишта Обртни момент М који се доводи на вратило преноси се кроз све слојеве флуида непромењен све до спољашњег цилиндра. Елементарни отпорни момент услед обртања вискозног флуида изражава се као dM = r ⋅ dF где су: r – крак силе који је уједно и радијално растојање [m] dF = τ ⋅ dA - елементарна сила [N]

32

dv - тангенцијални напон при ламинарном струјању [Pa]. dy Молекули флуида нераскидиво су повезани чак и када су присутни изразито високи градијенти брзина (код класичног клизног лежаја радилице аутомобилског мотора и 100.000 m/s/m. Могућност издржавања врло високих промена брзина при одржавању континума флуидног филма једно је од основних својстава уља за подмазивање (проучава се у оквиру трибологије).

τ =η

Вискозност или еластичност представља отпор према промени облика. У односу на ово својство постоји начелна разлика између чврстих, еластичних тела с једне стране и флуида с друге. Објасниће се преко смицања. На чврсто, еластично тело делује смичућа сила F (слика 10). Угао γ је мера за деформацију, а А је површина на коју делује сила F. При незнатним деформацијама делује Хуков закон, према коме је напон τ пропорционалан деформацији γ: G F = τ = Gγ A где су: G - модул смицања [Pa] γ - угао деформације [rad]. .

Слика 10. Деформација еластичног чврстог тела при дејству смичуће силе (по престанку деформације тело се враћа у почетни положај γ=0) Вискозност постоји само код флуида који струје. Најједноставнији случај је случај смичућег (пузајућег) или Куетовог струјања између две равне плоче (слика 11). Горња плоча креће се константном брзином U, док доња мирује. Ово струјање представља се просторним планом у (x,y)-равни и планом брзина у (u,y)-равни. Експеримент даје линеарну промену брзина.

33

Слика 11. Расподела брзине код Куетовог струјања На основу расподеле брзине са слике 11 следе следеће релације: y u =U h ds ( t ) U= . (#) dt Диференцирањем расподеле брзина добија се du U = (##) dy h а из тригонометријских функција малих величина следи: ds ( t ) = h tg dγ ( t ) = hdγ ( t ) . Из једначина (#) и (##) добија се dγ (t ) = hγ ( t ) . U =h dt Из дефиниције њутновског флуида следи: du U τ =η = η = ηγ ( t ) dy h Код чврстих, еластичних тела, напон је пропорционалан деформацији

G F

= τ = Gγ , A а код њутновских флуида брзини деформације. du dγ τ =η =η = ηγ ( t ) . dy dt У Табели 4. приказане су динамичке и кинематске вискозности ваздуха, воде и силиконског уља при стандардним условима. Из табеле се види да динамичка вискозност карактерише силу која се преноси због вискозности, док кинематска вискозност не даје ту информацију.

34

Табела 4. Вискозности ваздуха, воде и силиконског уља при стандардним условима (101325 Pa, 288 K): флуид η⋅106 [Pa⋅s] ν⋅106 [m2/s] Ваздух 18,2 15,11 Вода 1002,0 1,004 Силиконско уље 130950,0 135

Површински напон, капиларност и напон паре Површински напон Слободан ниво мирне течности не остаје хоризонталан на месту где се додирује са чврстим зидом. Деформисање површине настаје због површинског напона. Границе између две течности различитих густина које се не мешају су унутрашње граничне површи. Спољашња или слободна површина образује се на местима на којима се граниче течност и гас.

Слика 12. Међумолекулске силе на површини и у унутрашњости течности У унутрашњости течности честице се налазе у средини дејства међумолекуларних привлачних сила, одн. поље је сферно (слика 12). Резултантна сила на честице једнака је нули. На честице које се налазе непосредно на слободној површини привлачне силе са стране гаса занемарљиво су мале у односу на течну страну, тако да на њих делује резултантна сила R усмерена ка унутрашњости течности. Дебљина овог слоја слободне површине поклапа се са подручјем деловања међумолекуларних сила (око 10 пречника молекула тј. око 10-9 m = 1 nm). Због деловања резултантне силе R, честице на површини врше притисак на честице у унутрашњости течности, због чега унутрашње

35

честице теже да растежу слободну површину и због чега честице на слободној површини поседују већу енергију од честица у унутрашњости. Свака слободна површина садржи додатну енергију. Због ове допунске енергије природа је омогућила да се са минимумом честица гради слободна површина. Тако је настала минимална слободна површина. Течност у стању равнотеже има минималну потенцијалну енергију. Због тога свако течно тело на које дејствују спољашње силе мора имати такав облик при коме ће површина његовог омотача бити најмања. Односно, за нестишљиву течност, услов стационарне равнотеже је минимални количник површине омотача и одговарајуће запремине. Тај услов задовољавају тела сферног облика. Површински напон γ (разликује се од угла деформације) једнак је сили по јединици ободне дужине која слободну површину држи у равнотежи. Зависи од оба медијума који се граниче на слободној површини. Вредности γ дате су у Табели 5. Површински напон опада са порастом температуре, јер, као и код вискозности, пораст температуре слаби међумолекулске силе. G нападна сила F на ободу ⎡ N ⎤ γ= ⎢m⎥ дужина обода l ⎣ ⎦ Табела 5. Вредности површинског напона γ при сусрету различитих медијума γ·102 (N/m) медијуми на 20° С вода/ваздух 7,1 уље/ваздух 2,5-3 жива/ваздух 46 Карактеристични примери криве слободне површине приказани су на слици 13: • течна капљица •

течни мехур (мехур од сапунице)

•

гасни мехур

Слика 13. Примери карактеристичне слободне површине

36

У сва три случаја површински напон настоји да сабије капљицу, односно мехуре, при чему долази до повећања притиска у унутрашњости. Ако се занемари тежина, успоставља се равнотежа између резултантних сила притиска и силе површинског напона. При одређивању равнотеже силе притиска и силе површинског напона за сферну течну капљицу (слика 14) резултантна сила површинског напона, ако се капљица пресече по екватору износи

Слика 14. Разматрање равнотеже сферне капљице (pu=p2; pa=p1) G F0 = 2π rγ ,

резултанта сила притиска је G FD = ∆pπ r 2 = ( p2 − p1 ) π r 2 ,

(∆)

и из њихове равнотеже следи

2γ . (∆∆) r За течни мехур, бројилац се множи са 2, јер он има две слободне површине, те је разлика притисака 4γ ∆p = p2 − p1 = . r У капљици, односно гасном мехуру, могу да настану знатни натпритисци у зависности од њиховог радијуса. На пример у капљици магле, полупречника r=1 µm, влада ∆p = p2 − p1 =

37

2 ⋅ 7,1 ⋅10−2 = 1, 42 bar . 10−6 У механици флуида површински напон игра значајну улогу при: формирању мехурова у течностима, распрскавању течног млаза (спреј) и одређивању облика маса флуида у одсуству гравитацијске силе. Облик површине течности, која је у контакту са чврстим телом или другим флуидом, најчешће ваздухом, одређена је релативном вредношћу површинске енергије. Течно-чврсте комбинације у овој области класификују се као квасеће или неквасеће, зависно од контактног угла између течности и чврсте површине. На слици 15 приказане су капљице воде на сапуну и површини свеже натрљаној воском. Уколико је контактни угао θ > 900 , течност кваси површину, а за θ < 900 течност не кваси површину. Код манометра на бази ″U″ цеви услед површинског напона образује се специфичан облик слободне површине (менискус). Тачност очитавања зависи од избора референтне равни менискуса (врх, центар, дно). ∆p =

Слика 15. Квашење и неквашење површине Капиларност Услед различитих интензитета сила адхезије (силе којима чврста површина делује на флуидне делиће) и кохезије (међумолекулске силе

38

течности) ниво течности у узаним цевима (r<1 mm) може бити виши или нижи него што одговара закону о спојеним судовима. Капиларно издизање или спуштање нивоа течности последица је површинског напона. Постоје два екстремна случаја: o Адхезија већа од кохезије. Течност кваси зид. Слободна површина постаје конкавна и пење се по зиду. Резултантна сила од површинског напона нормална је на површину течности (нпр. комбинација: стакло, вода, ваздух, слика 16). o Кохезија већа од адхезије. Нема квашења. Слободна површина конвексна. Течност се спушта поред зида (нпр. комбинација: стакло, жива, ваздух, слика 17).

Слика 17. Случај неквашења зида (нпр. стакло, жива, ваздух)

Слика 16. Случај квашења зида (нпр. стакло, вода, ваздух)

Капиларно издизање (слика 18) или спуштање (слика 19) може да се одреди на два начина: применом израза (∆∆) или сумирањем сила у вертикалном правцу (слика 20). Примена израза p2 − p1 =

2γ R

(∆∆)

даје за капиларно издизање

39

Слика 18. Капиларно издизање нивоа течности

p2 = pa p1 = pa − h ρ g

r cos θ 2γ 2γ cos θ = h= ρ gR ρ gr R=

за воду и стакло θ=0°

2γ . ρ gr Примена израза (∆∆) за капиларну депресију даје h=

Слика 19. Капиларно спуштање нивоа течности

40

p 2 = p a + hρg p1 = pa r r =− R= 0 cos θ cos(180 − θ ) 2γ 2γ cos θ =− h= ρ gR ρ gr за живу и стакло θ=140° 2γ cos140o . h=− ρ gr Услед површинског напона дуж линије 2rπ, додира течности са цеви, јавља се сила F = 2rπγ , а њена вертикална компонента уравнотежава се тежином стуба издигнуте или спуштене течности у капиларној цеви (слика 20).

Слика 20. Равнотежа издигнуте течности у капилари F1 = 2π rγ cos θ = F2 = π r 2 h ρ g 2γ cos θ 4γ cos θ = h= rρ g dρg при потпуном квашењу, θ =0 4γ h= dρg При дизању течности између две паралелне вертикалне плоче (процеп) (слика 21) уравнотежењем силе површинског напона F1 = 2bγ cos θ и силе тежине издигнуте течности

41

F2 = hbd ρ g добија се висина подизања течности у процепу 2γ cos θ . h= dρg

Слика 21. Капиларно подизање течности између две паралелне плоче Приликом дозирања вештачког наводњавања обрачунавају се ефекти капиларности земљишта и кореновог система биљака. На основу законитости понашања влаге у корену израђују се ирометри – мерила за дозирање потребне количине воде. Напон паре Напон паре је онај притисак, pk (критични притисак), изнад нивоа течности, при коме се успоставља равнотежа стања између броја молекула течности који испаравају и оних који се кондензују. Зависи од температуре течности. Ако је притисак изнад течности мањи од напона паре за ту течност, течност ће интензивно да испарава. Уколико течност струји кроз цев, настала пара одлази са струјом течности, што лако може да доведе до прекида тока течности. У Табели 6 дати су напони паре за воду и живу при различитим температурама.

Кавитација При кретању чврстих тела кроз течности могу се на деловима њихових омотача појавити површине испуњене гасом или паром. Фруд је ову појаву назвао кавитацијом, а Рејнолдс је објаснио. Кавитација се јавља када локална брзина течности на површини тела толико порасте да се притисак у флуидној струји спушта испод напона паре при постојећој температури, па долази до испаравања течности и стварања парних мехурова. Парни мехурови расту, спуштају се ниструјно све док не

42

дођу у зону виших притисака, када пуцају уз појаву ударног таласа. Прскање парног мехура изазива ерозију чврсте површине због великог убрзања течних капи кроз гасну средину као и деловање електричних и хемијских појава. Брзе капљице течности последица су брзе кондензације паре у вакуумском простору и њиховог великог убрзања у одсуству силе отпора. Табела 6. Напони паре за воду и живу при различитим температурама Напон паре [Pa] Температура [°C] Вода Жива -40 2,3904⋅10-4 -30 8,9271⋅10-4 -20 2,9330⋅10-3 -10 8,9778⋅10-3 0 610,4723 2,5304 ⋅10-2 10 1227,744 6,627⋅10-2 20 2337,766 1,6265⋅10-1 30 4242,775 3,7343⋅10-1 40 7375,795 8,1565⋅10-1 50 12333,43 1,6958 60 19864,60 3,3677 70 31156,88 6,4242 80 47341,93 11,8188 90 70094,32 21,0112 100 101325 36,1697 150 369,029 475,952⋅103 5 200 2282,44 155,504⋅10 250 9881,67 397,747⋅105 5 300 32870,04 859,140⋅10 350 89631,03 1286,41⋅105 Мера кавитације је бездимензијска величина названа кавитацијски број κ p −p κ= 0 2k v ρ o 2 где су: p0 , v0 – притисак [Pa] и брзина [m/s] флуида у неузнемиреној струји pk - притисак у мехуру (каверни) [Pa].

43

Прегледан развој кавитације може да се прати на подводном крилу. Прва појава кавитације са ерозијом је на месту са притиском p=pk (слика 22. б). Када се парни мехур развије на задњем делу леђне стране (слика 22. ц), ерозија се обуставља и долази до вибрације крила због нестационарног оптицања задње ивице. Оба процеса, ерозија и вибрација, су периодична и одвијају се брзином коју око не може да прати. Уколико се кавитација развија потпуно изнад или иза крила, режим се назива суперкавитација. Иза крила може да буде нестационаран процес, али због тога што је удаљена од тела не утиче негативно на њега. За суперкавитацију κ=0.

Слика 22.Утицај кавитације и вентилације на опструјавање крила Типови профила: А-обични, Б-суперкавитацијски, Ц-са вентилацијом задње ивице. Услови опструјавања: а-потпуно оквашен профил, б-почетна кавитација, ц-кавитацијска ерозија, д-вибрације, е-режим суперкавитације (парна или ваздушна каверна), ф-режим суперкавитације (целокупна каверна као последица вентилације), грежим суперкавитације (вентилација задње ивице профила) Промена кавитацијског броја може да се изведе на два начина: променом амбијентног притиска p0 (како се и ради у кавитацијским

44

тунелима) или променом pk притиска у каверни. Оваква кавитација назива се вештачком. Примена вештачке кавитације на суперкавитацијским крилима проширује област њихове примене, смањује енергијске губитке и олакшава управљање хидромеханичким својствима. Потпуна или делимична вештачка кавитација може се остварити и на телима другог облика, по правилу осносиметричним. За дозвољени ниво кавитације (нпр. κ=0,8) може се одредити максимално дозвољена брзина опструјавања профила: p0 − pk vmax = .

ρκ 2

За струјне режиме са дубоким стадијумом кавитације (κ→0,1) користе се профили клинастог облика, како је то приказано на слици 22. б и ц. Они се називају суперкавитацијски и њихово основно својство је да обезбеде стабилну карактеристику профила при свим режимима оптицања, као и виши степен корисности у поређењу са обичним аеродинамичким профилима. Стабилна карактеристика са суперкавитацијским профилом постиже се тако што се већ при вишим вредностима κ (слабије изражена кавитација) са леђне стране и иза профила формира стабилна парна или ваздушна каверна која се задржава и при врло ниским вредностима κ∼0,1. Код оваквих профила узгонска сила је искључиво последица натпритиска течности са грудне стране профила, јер је густина ваздушног (парног) мехура са леђне стране занемарива у односу на течност. Међутим, пошто је код суперкавитацијских профила дозвољена знатно већа брзина, лако је достићи жељену узгонску силу. Начини борбе против штетног деловања кавитације потпуно се разликују код нормалних и суперкавитацијских профила.

Основне термодинамичек законитости које се користе у механици флуида Основне термодинамичке законитости везане за механику флуида су: • једначине стања и

45

•

једначине промене стања.

Изоловани термодинамички систем који се налази у равнотежи не мења стање спонтано, без утицаја околине. Равнотежа се нарушава због спољашњих утицаја (нпр. загревања гаса, померања клипа у цилиндру мотора) и величине стања више нису исте у свим тачкама. По престанку дејства спољашњих утицаја, систем поново долази у ново равнотежно стање. Такви процеси, при којима настаје промена стања називају се термодинамички процеси. Велики практичан значај имају процеси који се одвијају при контролисаној вредности неке од величине стања: изохорски процес (dV=0, V=const. - запремина) изобарски процес (dp=0), изотермски процес (dT=0, T=const.) и адијабатски процес (dq=0, q=const. - доведена или одведена количина топлоте) (слика 23). Сви ови процеси, у ствари су специјални случај општег политропског процеса, чија је основна карактеристика да је специфична топлота константна.

Слика 23. Термодинамичке промене стања гасова у p-V координатном систему

46

Слика 24. Пример комбиновања елементарних процеса при промени стања Произвољна промена стања може да се прикаже помоћу две основне промене стања, нпр. o Бојл-Мариотовог закона за изотермне процесе pV = p0V0 = const. t = const. o Геј-Лисаковог закона за изобарне процесе V = V0 (1 + β t ) , p = const. , где је β коефицијент топлотног ширења и износи β =

1 . 2730 C

Комбинацијом ова два елементарна процеса могу да се повежу величине стања 1 и стања 2 (слика 23): p1V1 = pV2 V = V2 (1 + β t )

⎛1 ⎞ pV = pV2 (1 + β t ) = p1V1 (1 + β t ) = β p1V1 ⎜ + t ⎟ = β p1V1T , ⎝β ⎠ или у специфичним величинама (по јединици масе) p R pv = = u T = RT ρ M Ru = c p − cV = R M Ru = 8,314 J molK

47

где су: М – моларна маса [kg/kmol] Ru – универзална гасна константа [J/molK] R – специфична гасна константа [J/kgK].

Једначина стања реалних гасова Једначина гасног стања за реалне гасове је

p

ρ

= zRT

где је z - коефицијент одступања (фактор компресибилности) који се одређује из одговарајућих релација или дијаграма.

48

Слика 25. Динамичка вискозност важнијих флуида у зависности од температуре

49

Слика 26. Динамичка вискозност нафте и њених деривата у зависности од температуре

50

Слика 27. Кинематска вискозност важнијих флуида у зависности од температуре

51

Статика флуида Оксница науке о механици флуида је равнотежа сила различитог порекла које делују на издвојену флуидну запремину која у сваком погледу репрезентује цео разматрани флуид. Проучавање флуида у стању мировања најстарија је дисциплина механике флуида, што обавезује на познавање свих проблема ове области. Појмови уведени у статици флуида: спољашње силе, притисак и силе притиска, задржавају своју важност и при кретању флуида. У стању мировања, када се сви флуиди понашају као савршени – невискозни (вискозност се региструје само при струјању), посматрају се међусобни утицаји (са последицама): притиска, густине и запреминских сила.

Хидростатички притисак С обзиром да све различите силе могу да се сабирају, наука о механици флуида може да се проучава паралелно са њеним материјалним развојем, од статике флуида, преко Навије – Стоксових једначина до рачунарског моделирања струјних проблема (ЦФД), занемаривањем појединих деоница развоја прекида се континуитет развоја.

Слика 1 Равнотежа сила при мировању издвојеног флуидног делића Хидростатички притисак последица је деловања Земљине теже, што је и најчешћи узрок притиска. Притисак је скаларна величина (не зависи од правца). Да би се то доказало, разматра се стање равнотеже елементарне масе непокретног њутновског флуида (флуидни делић) дебљине dz (слика 1). Издвајање произвољне флуидне запремине из

52

њеног окружења редовни је поступак који се користи за разматрање равнотежног стања флуида под дејством свих спољашњих утицаја. Тангенцијални напони на пресечним површинама настају тек при струјању флуида, те на површинама постоје само нормалне силе. Притисак је означен са px, py, pz, ps у зависности на коју површину делује. Тежина разматраног флуидног делића улази као запреминска сила Fg. Са слике 1 види се да важе релације: dx = ds cos α dy = ds sin α . За успостављање равнотеже сила потребно је да сума свих сила које делују на елементарну масу буде једнака нули. G ∑ Fi = 0 i

Пројекција на одговарајуће осе даје: ∑ Fx = pxdydz − ps sin α dsdz = ( px − ps ) dydz = 0

ps = p x 1

⎛ ⎝

1

⎞ ⎠

∑ Fy = p y dxdz − ps cos α dsdz − 2 dxdydz ρ g = ⎜ p y − ps − 2 ρ gdy ⎟ dxdz = 0 1 p s = p y − ρ gdy . 2 Ако се разматрани флуидни делић сведе на тачку (dy →0) онда важи: ps = p x = p y = p . Одавде произилази да је хидростатички притисак скаларна величина јер у једној тачки има исту вредност, без обзира у ком се правцу мери. Овај закључак важи уз занемаривање тангенцијалних напона који се јављају при кретању флуида.

Ојлерова једначина за миран флуид Разматра се равнотежа сила које делују на произвољни флуидни делић у мирном флуиду. Силе које одржавају равнотежу су двојаког порекла: површинске и запреминске. Запреминске (масене) делују на масу флуида (тежина; сила инерције различитог порекла: гравитациона, центрифугална, релативно убрзање, привлачна сила Месеца; електричне; магнетне), а површинске силе делују на граничним

53

површинама (сила притиска, сила трења која при мировању флуида не постоји). На уочени флуидни делић у пољу Земљине теже од површинских сила делује сила хидростатичког притиска, а од запреминских - сила тежине. На слици 2 обележене су само силе притиска у правцу x осе. На друге две осе такође делују силе притиска. Спољашње силе по јединици масе G представљене су као f = ( f x , f y , f z ) .

Слика 2. Разматрање равнотеже сила које делују на флуидни делић у мировању Елементарна маса флуидног делића једнака је dm = ρ dxdydz . Услов равнотеже компонената сила у правцима координатних оса даје: ∂p ∂p ⎞ ⎛ − dxdydz + f x dm = 0 pdydz − ⎜ p + dx ⎟ dydz + f x dm = 0 ∂x ∂x ⎠ ⎝ ⎛ ∂p ⎞ pdxdz − ⎜ p + dy ⎟ dxdz + f y dm = 0 ∂y ⎠ ⎝ ∂p ⎞ ⎛ pdxdy − ⎜ p + dz ⎟ dxdy + f z dm = 0 ∂z ⎠ ⎝ Одакле следи: 1 ∂p 1 ∂p = fx , = fy , ρ ∂x ρ ∂y или у векторском облику: 1 ∂p G 1 ∂p G 1 ∂p G 1 ⎛ ∂p G ∂p i+ j+ k= ⎜ i+ ρ ∂x ρ ∂y ρ ∂z ρ ⎝ ∂x ∂y односно

−

∂p dydxdz + f y dm = 0 ∂y

−

∂p dzdxdy + f z dm = 0 ∂z

1 ∂p

ρ ∂z

= fz ;

G G ∂p G ⎞ G G j + k ⎟ = fxi + f y j + fz k ∂z ⎠

54

1

ρ

G gradp = f ,

(*)

Једначина (*) представља Ојлерову једначину у векторском облику за миран флуид. Векторско диференцијални оператор – градијент који се примењује на скаларну величину (p, ρ, v, T) дат је изразом ∂ G ∂ G ∂ G grad = i + j+ k. ∂x ∂y ∂z Други начин извођења Ојлерове једначине за миран флуид Овај начин извођења Ојлерове једначине за миран флуид полази од равнотеже површинских и запреминских сила на уочену произвољну запремину V (слика 3).

Слика 3. Дејство сила притисака (унутрашњих и спољашњих) на издвојену запремину флуида V Флуид се налази у стању мировања – равнотежи, ако је сума свих сила које нападају целокупну посматрану флуидну запремину, једнака нули. Једине силе које одржавају равнотежу у мирном флуиду су запреминске и површинске, те је: G G (**) ∫ ρ fdV − ∫ pdA = 0 , V

A

где су: V - уочена произвољна запремина [m3] A - омотач посматране запремине V [m2]

55

G f – запреминске силе по јединици масе [N/kg] G pdA – елементарна сила притиска која делује на делић омотача G G флуидне запремине ( dA = ndA ) и усмерена је ка унутрашњости запремине. Површински интеграл може да се трансформише у запремински према формули: G ∫ pdA = ∫ gradpdV A

па једначина (**) постаје

V

G

∫ ( ρ f − gradp ) dV = 0

V

или, пошто је у питању произвољна флуидна запремина, подинтегрална вредност једнака је нули, тј. G 1 gradp = f

ρ

што представља Ојлерову једначину за статику флуида. Основна једначина за статику флуида Ако се скаларне једначине помноже одговарајућим диференцијалима dx, dy, dz 1 ∂p = f x /⋅ dx ρ ∂x 1 ∂p = f y /⋅ dy ρ ∂y 1 ∂p = f z /⋅ dz ρ ∂z и саберу, добија се 1 ⎛ ∂p ∂p ∂p ⎞ f x dx + f y dy + f z dz = ⎜ dx + dy + dz ⎟ ρ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ тј. 1 f x dx + f y dy + f z d z = d p ,

ρ

Ово је основна једначина за статику флуида која се користи при решавању задатака из статике флуида и релативног мировања.

56

Распоред притиска у течностима и гасовима у пољу Земљине теже Распоред притиска у течностима Из Основне једначине за статику флуида (ρ=const.) 1 f x dx + f y dy + f z dz = dp

ρ

уколико од сила делује само гравитација, при чему је оса z усмерена навише f x = 0, f y = 0, f z = − g добија се

p1 − p2 = ρ gh тј. притисак расте линеарно са дубином (слика 4.).

Слика 4. Промена притиска у мирној течности у пољу Земљине теже

Промена притиска у гасовима Пример стишљивог флуида у стању мировања је ваздушни омотач Земље. При разматрању промена у атмосфери координатни систем поставља се вертикално навише (z оса), почевши од нивоа мора; за разлику од течности где је оса усмерена у супротном смеру (ка расту дубине). Густина ваздуха кроз атмосферу мења се са висином: ρ = ρ (z) и имајући у виду основну једначину за промену притиска у пољу Земљине теже dp = −ρ g dz следи из једначине стања идеалног гаса ( ρ = p RT )

57

dp g dz =− . p RT Интеграција је могућа ако је позната веза између температуре и висине, Т=Т(z). Ово је допунска једначина и следи из термодинамичке зависности. Када је у питању изотермни слој гаса (као у стратосфери), T=T0=const., интеграцијом претходне једначине добија се gz ln p = − +C RT из које за почетне услове p(z0 )=p0 , ρ (z0 )=ρ0 следи константа интеграције g C = ln p0 − z0 RT0 па коначна једначина гласи ⎛ g ⎞ p = p0 exp ⎜ − ( z − z0 ) ⎟ ⎝ RT0 ⎠ односно, за промену густине добија се следећа једначина: ⎛ g ⎞ ρ = ρ 0 exp ⎜ − ( z − z0 ) ⎟ . ⎝ RT0 ⎠

Слика 5. Температура и притисак у атмосфери У атмосфери, односно у тропосфери и стратосфери, температура може да се добро представи помоћу праве, односно константе (слика 5).

58

Интеграцијом Основне једначине за статику флуида добија се за тропосферу степена функција, а за стратосферу експоненцијална.

Притисак течности на равне површине У механици флуида најчешће се користе апсолутне величине, изузев у статици флуида где се због једноставности ради са релативним, тј. манометарским и вакуумметарским притисцима. На омотач тела потпољеног у течност делује сила притиска. Разматра се деловање силе притиска на равну површину А са чије се једне стране налази насута течност са слободном површином, а са друге атмосферски притисак pa (слика 6). Слободном површином назива се разделна површина између воде и ваздуха на атмосферском притиску.

Слика 6. Сила притиска течности на део А равног зида резервоара G Сила притиска F , која се тражи, делује одозго наниже на чврсту равну површину А изнад које је вода, а испод - ваздух. Промена хидростатичког притиска са дубином течности дата је са p = pa + ρ gz За елементарну површину dA важи dF=pdA, док је за целокупну:

59

F = ∫ pdA = ∫ ( pa + ρ gz )dA = pa A + ρ g sinα ∫ η dA = A

A

A

= pa A + ρ g sin αηC A = pa A + ρ gzC A = pC A

.

ηс је координата тежишта површине А, дефинисана преко статичког момента површине ∫ η dA = η C A . A

Сила којом течност делује на равну површину F једнака је производу притиска који влада у њеном тежишту и њене површине ( pa + ρ gzC ).У случају да споља (изнад површине течности и са друге стране зида) делује константан притисак pa, резултантна сила једнака је: F = ρ gzC A . односно одређена је манометарским притиском ρ gzC .

Одређивање нападне тачке силе притиска Сила притиска делује управно на површину и усмерена је ка оквашеној површини. Нападна тачка силе притиска ηD добија се из равнотеже момената хидростатичких сила притиска за ξ осу која лежи на слободној површини у пресеку слободне површине и равни на којој се налази разматрана оквашена површина А (слика 6). Fη D = ρ gzC Aη D = ∫ ρ gzη dA = ρ g sin α ∫η 2 dA = ρ g sin α Iξ A

A

Вертикално растојање тежишта разматране оквашене површине zC може да се представи изразом ηCsinα.

I ξ = ∫ η 2 dA A

је момент инерције површине А у односу на ξ осу. За положај нападне тачке силе F добија се I ηD = ξ AηC Уколико је површина А симетрична, оса η поставља се кроз њу (слика 7). Применом Штајнерове теореме у којој се са IC означава сопствени момент инерције површине А у односу на њену тежишну осу ξ`

60

паралелну са осом ξ, следи да нападна тачка D лежи ниже од тежишта С. Iξ = I C + AηC2 IC >0. AηC Дакле, положај нападне тачке силе притиска је растојање од слободне површине у правцу осе која лежи на оквашеној површини и износи I η D = ηC + ∆η = ηC + C . AηC Координата ξD добија се преко центрифугалног момента инерције Iξη: I ξ D = ξη . ηC A Уколико је посматрана површина А на коју се одређује сила притиска осносиметрична, онда осу η треба поставити тако да се поклапа са осом симетрије јер је тада Iξη=0, а тиме и ξD=0.

η D − ηC = ∆η =

У случају равног, правоугаоног и вертикалног зида (слика 7) добија се h ηC = 2 2 ηD = h 3 При решавању задатака потребно је обратити пажњу на други члан момента инерције Iξ. Он представља производ разматране површине А и квадрата растојања њеног тежишта до пресека са слободном површином течности дуж осе η.

Слика 7. Тежиште и нападна тачка резултантне силе на раван, правоугаони, вертикалан зид

61

Хидростатички парадокс

Слика 8. Хидростатички парадокс

Резултантна сила на дно различитих резервоара са истом површином дна А у које је насут исти флуид до исте висине h је иста и не зависи од облика суда (слика 8). Дакле, једнака сила делује на дна, иако је различита тежина течности која се налази у резервоарима.

Притисак течности на криве површине Да би се одредила сила којом течност делује на криве површине, посматра се суд са течношћу дат на слици 9. Деловање течности на криве површине може да се сведе на главни вектор силе и главни момент. Главни вектор силе одређује се преко три компоненте (обично преко једне вертикалне и две међусобно нормалне хоризонталне компоненте). Главни момент одређује се преко суме момената ових компоненти.

Слика 9. Дејство силе притиска на криву површину

За криве површине које имају вертикалну раван симетрије (највећи број практичних задатака) сума елементарних сила притисака своди се на једну резултујућу силу која лежи у равни симетрије, или на пар сила G које леже у истој равни. Величина и правац резултујуће силе F

62

одређује се преко њених компонената, обично хоризонталне и вертикалне, као што се види на слици 9. Хоризонтална компонента силе притиска која делује на криву површину једнака је сили притиска на вертикалну пројекцију ове површине нормалну на раван симетрије, а одређује се по једначини Fx = ρ gηCx Ax где су:

ρ - густина флуида [kg/m3]

g – гравитационо убрзање [m/s2] Ах – површина вертикалне пројекције криве површине [m2] ηс – вертикално растојање тежишта Ax од слободне површине [m]

Нападна тачка силе Fх налази се испод тежишта ηс у равни вертикалне симетрије и у односу на слободну површину, одређена је са I ηD = ξ AxηCx или у односу на тежишну осу пројекције Ах I Cx ∆η D = AxηCx где су: Iξ - момент инерције површине Ах за осу ξ на слободној површини I Cx – сопствени момент инерције површине Ах. Вертикална компонента укупне силе притиска, која делује на криву површину, једнака је тежини течности запремине V коју ограничавају: крива површина, слободна површина и вертикалне површине конструисане по контури криве површине (слика 9), а одређује се по формули Fy = ρ gV . Ова компонента пролази кроз тежиште запремине V и усмерена је на доле ако се запремина V налази изнад закривљене површине, односно на горе ако се течност налази испод криве површине. У оба случаја интензитети вертикалних компонената силе сразмерни су истој (шрафираној) запремини V. У формулама за Fx и Fy претпостављено је да се течност налази са једне стране криве површи и да на неовлаженој страни површи делује атмосферски притисак. Исти атмосферски притисак делује и на слободној површини течности.

63

Укупна сила притиска на криву површину представља геометријски збир сила Fx и Fy и једнака је F = Fx2 + Fy2 .

Носач вектора резултујуће силе добија се у пресеку носача вектора компонената силе. G Угао деловања je нагиба вектора силе F према хоризонталној равни и одређује се из формуле Fy tgϕ = . Fx Код кривих површина са константном кривином (цилиндричне и сферне површине) укупна сила притиска пролази кроз центар или осу кривине, тј. у тачки деловања резултујућа сила нормална је на површину. За остале криве површине резултујућа сила притиска у тачки деловања не мора бити нормална на површину. Само је елементарна сила притиска увек нормална на елементарну површину.

У случају натпритиска са овлажене стране криве површине, све компоненте и укупна сила притиска течности усмерене су од течности ка површини - изнутра према споља. У случају потпритиска са овлажене стране криве површине силе су усмерене од споља према унутра. Уколико се течности налазе са обе стране криве површине, прво се одређују хоризонталне и вертикалне компоненте са сваке стране криве површине појединачно, а затим укупне хоризонталне и вертикалне компоненте због деловања обе течности.

Слика 10. Пројектовање сила на погодне осе

64

У неким случајевима за налажење компонената укупне силе притиска течности на криву површину, потребно је криву површину поделити на посебне делове, одредити одговарајуће силе за сваки део криве површине и онда их сабрати. У низу задатака силу притиска на криву површину погодније је одредити преко њених компонената у правцу косих оса (слика 10). Сила притиска течности на криву површину у произвољно задатом правцу s једнака је Fs = Gs cos α = ρ gVs cos α где су: Gs - тежина течности у запремини Vs, ограниченој: кривом површином, слободном површином и пројектним површинама паралелним са датим правцем; α - угао између задатог правца и вертикале. Линија деловања силе Fs пролази кроз тежиште течности у запремини Vs . Могући прилаз одређивања силе притиска, који често упрошћава решавање задатака, представља разматрање равнотеже запремине течности, коју ограничавају крива површина и раван пресек који пролази кроз течност и граничну контуру криве површине. G Нека је, нпр. потребно да се одреди сила F притиска течности на конусну површину (слика 11.). Услови равнотеже запремине течности која испуњава конус представљени су векторском једначином G G G N +G + R = 0, где су: G N - сила притиска течности у резервоару на издвојену запремину, тј. на разделну површину са конусом, N = ρ ghAac и пролази нормално на пресек кроз центар притиска (тачка D), G G - тежина издвојене конусне запремине течности (G=ρgV), G R - сила којом чврсти омотач конуса делује на зид резервоара.

G G Како је тражена сила F једнака сили R али супротног смера, долази се до једначине

65

G G G F = N +G,

G из које може да се одреди сила притиска F или ма која њена компонента.

Слика 11. Примена Даламберовог принципа

Пливање Хидростатички потисак Разматра се тело потпуно опкољено течношћу. На основу хидростатичке промене притиска, притисак на доњу површину тела већи је од притиска на горњу површину. Резултат је вертикална сила, усмерена навише која се назива потисак: P = ρ gV , Ову силу не треба мешати са узгонском силом при кретању тела кроз флуид. Потисак је једнак тежини истиснуте течности или флуида уопште. Ово је Архимедов закон. Архимедов закон може да се искористи за израчунавање густине тела (ρt), или густине флуида (ρ). Тежина тела G одређује се као G = ρt gV . Изједначавањем силе тежине и силе потиска следи G ρt = . P ρ

66

одакле се види да ако је једна густина позната, може да се одреди и друга, када се претходно измере G и P. Тело плива када је његова тежина G мања од износа површинског интеграла образованог по површини А тела (силе потиска) G < ∫ p dA , A

∫ pdA

представља силу којом флуид делује на момтач тела.

A

Када је тежина тела једнака том интегралу, тело лебди, када је већа, тело тоне. За практичну примену често је погодно да се овај површински интеграл растави на два дела ∫ pdA = ∫ pdA2 − ∫ pdA1 A

A2

A1

где су: А2 - површина на коју делује вертикална сила притиска течности усмерена навише – сила растерећења А1 - површина на коју делује вертикална сила притиска усмерена наниже – сила оптерећења. Површине А1 и А2 одређују се за сваки проблем посебно (пример на слици 12.).

Слика 12 Одређивање силе потиска на потпуно потпољено тело

G G Разлика сила растерећења и оптерећења ( F2 − F1 ) одређује узгонску силу, тј. она представља резултујућу силу притиска. Ово је најпогоднија дефиниција узгонске силе јер су чести случајеви када је тешко да се одреди истиснута запремина, као што је показано на примерима са шрафуром на слици 13.

67

Слика 13. Примери у којима је одређивање истиснуте запремине компликовано

Стабилност при пливању Тело које плива може бити у стабилној, лабилној или индиферентној равнотежи, што зависи од положаја тежишта тела и нападне тачке силе узгона. Сва три могућа положаја равнотеже тела која слободно пливају на површини течности, са положајем карактеристичних тачака приказана су на слици 14.

Слика 14. Положаји равнотеже при пливању

Укратко ће се навести шта утиче на пловност тела узимајући за пример брод (слика 15). Посматраће се стабилност кретања брода у односу на његову уздужну осу, тзв. љуљање брода. Момент стабилности остварује спрег сила узгона Vρg и тежине брода G (из закона пливања обе силе су исте); он дејствује на брод и биће користан (позитиван) ако се под његовим деловањем брод враћа у равнотежни положај. Зато је потребно да се испуни услов

68

DM > CD или r > δ . Тај услов увек ће бити задовољен ако се тачка М налази изнад тежишта тела С. Пресек силе узгона, која дејствује у било којој нападној тачки D (за дозвољене углове нагиба φ), и вертикалне осе назива се тачком метацентра, тј. метацентар (М).

Слика 15. Одређивање услова за стабилно пливање

Момент стабилности одређен је изразом M st = V ρ g ( r − δ ) sin φ .

Метацентарско растојање r одређује се из услова да је момент стабилности једнак збиру момената уроњеног и изроњеног клина (слика 15): I r= V где су: I – момент инерције за осу s-s површине пливања која се добија пресеком оквашене површине тела са слободном површином течности V – запремина истиснуте течности δ - растојање између тежишта тела С и тачке деловања силе потиска. Тачка D налази се у тежишту истиснуте запремине V. За тело које плива стабилност се проверава за осу са најмањим моментом инерције (уздужна оса).

69

Релативно мировање течности Течност у суду који се креће транслаторно једноликим убрзањем, односно успорењем или се обрће константном угаоном брзином, налази се у стању релативног мировања; тј. непокретна је у односу на суд. Поред гравитацијске силе (специфициране по маси) G f g = ( 0,0, − g ) , јавља се и инерцијска или центрифугална сила (специфицирана по маси) G G f a = ( 0, −a,0 ) ; f c = ω 2 x, ω 2 y,0 ,

(

)

па се равнотежа течности одржава при релативном мировању при транслацији - гравитационим, инерцијским и силама притиска, а при релативном мировању при ротацији - гравитационим, центрифугалним и силама притиска. За одређивање распореда притиска у течности и облика слободне површине – двају карактеристика оваквог стања – користи се Основна једначина за статику флуида 1 f x dx + f y dy + f z dz = dp .

ρ

Релативно мировање при транслацији Ниво слободне површине p=pа, тј. површине истог притиска заузеће нормалан положај на резултујућу силу (векторски збир гравитационе и инерцијске силе), која се формира при транслаторном кретању суда са течношћу једноликим убрзањем, односно успорењем. Површине истог притиска нормалне су на правац резултујуће силе (иначе би се јавиле тангенцијалне силе које би изазвале покретање течности у односу на суд). За усвојени кординатни систем у тежишној тачки слободне површине (слика 16), око које се врши њено осциловање, зависно од интензитета убрзања (успорења), основна једначина добија облик: 1 − ady − gdz = dp

ρ

70

где су f x = 0, f y = − a, f z = − g инерцијска и гравитациона сила унешене у једначину са смером дејства према усвојеној оријентацији координатног система, а а и g представљају интензитете ових сила специфицираних по јединици масе течности.

Слика 16. Распоред сила при транслаторном кретању Независне променљиве y и z и константе a, g и р дозвољавају интеграцију чији је резултат: 1 − ay − gz = p + C .

ρ

Интеграциона константа С одређује се из услова да је за y=z=0, p=pа. После замене С=-pа/ρ, следи p − pa = − ρ ( ay + gz ) . Једначина слободне површине добија се када се десна страна изједначи са нулом (услов p=pа), а представља се нагибом угла: z a tgβ = − = − y g Распоред притиска одређен је са p = pa − ρ ( ay + gz ) што показује да су површине истог притиска равни паралелне слободној површини. Уколико су присутне велике промене брзина, може се десити да притисак у неким тачкама течности опадне до вредности pk када долази

71

до бурног испаравања, тј. стварања парног мехура који услед мање густине потискује осталу течност и тиме подиже ниво слободне површине. Код судова напуњених течношћу са два или више отвора, при константном убрзању, слободне површине у отворима се формирају – осцилују око тежишне осе свих отвора јер је тако задовољена једнакост запремина при различитим угловима нагиба слободне површине.

Релативно мировање при ротацији Центрифугална сила, створена ротацијом течности при константној угаоној брзини заједно са гравитационом силом условљава специфичан облик слободне површине, који се одређује из Основне једначине 1 f x dx + f y dy + f z dz = dp

ρ

где су f x = xω , f y = yω , f z = − g силе по јединици масе пошто је 2

2

центрифугална сила

v2 r 2ω 2 =m = mrω 2 . r r Замена у основну једначину и интеграција доводе до 1 ω2 2 p= x + y 2 − gz + C ρ 2 која показује да су површине истих притисака обртни параболоиди (уместо х и у координата може се увести координата r као на слици 17). Координатни систем r-z (слике 17 и 18) најпогодније је поставити у теме обртног параболоида, а константа интеграције С=pа/ρ за r=z=0. Taкo je: 1 r 2ω 2 − gz ( p − pa ) = ρ 2 одакле се одређује распоред притисака. Fc = m

(

)

72

Слика 17. Распоред сила при ротационом кретању сада са течношћу

Слика 18. Површине истог притиска Једначина слободне површине одређена је за p=pа, тј. r 2ω 2 = 2 gz и не зависи од густине течности него само од угаоне брзине. Притисак течности сразмеран је дубини течности, нпр. за тачку А (слика 18)

ρ

rA2ω 2 − ρ gz A . 2 Површина истог притиска (p=pА =const.) је површина обртног параболоида r 2ω 2 = 2 g ( z + h1 ) где је p A = pa +

73

rA2ω 2 , 2g односно површина истог притиска је површина подударна слободној површини. Површина константног притиска pА поклапа се са слободном површином ако се помери вертикално навише за висину h1. h1 = z A +

Положај темена обртног параболоида – тачке у коју се поставља координатни систем r-z, у односу на ниво течности у суду пре обртања, одређује се из услова изједначавања запремине течности пре и за време обртања. Како је запремина обртног параболоида једнака половини запремине ваљка у који је уписан параболоид, добија се (слика 19) 1 R 2π h = R 2π H 2 тј. 1 h= H 2

Слика 19. Положај темена обртног параболоида Висина за коју се подигну крајеви параболоида једнака је висини за коју се спусти теме параболоида, што важи само за случај када је запремина течности пре и за време обртања остала непромењена.

74

Кинематика флуида и напонско стање У механици флуида решавају се динамичке једначине кретања за разна струјања која су присутна у техничким, физичким, биолошким и другим областима. При томе упознају се све спољашње и унутрашње карактеристике, односно инерцијске, вискозне, притисне, турбулентне, спољашње, еластичне и остале силе (величина, карактер, повезаност, дејства, утицај и последице). Кинематика флуида, која се бави проучавањем геометријских и кинематских карактеристика струјања, само привидно је без нарочитог значаја у решавању струјних проблема. Њен значај лежи у чињеници да је до данас решен ограничен број стварних струјних проблема (реалан флуид), па је свака информација о струјању, без обзира са које стране долази (нпр. аналогија са оптиком, електротехником, магнетизмом, еластомехаником), драгоцена. Струјна слика са распоредом брзина формира се непосредно под дејством наведених динамичких величина. Флуид је непрекидна средина, врло покретна и деформабилна. Непрекидност се задржава и при изузетно високим деформацијама које су често присутне у струјном пољу. Уместо деформација разматрају се умереније изражене величине – брзине деформација које су повезане са напонским стањем. За покретан флуид потребно је да се одреде следеће величине: G v = (vx , v y , vz ), p, ρ , T Свеукупност ових величина у посматраном простору и времену описује струјно поље. Струјно поље је стационарно, ако су све горе наведене величине само функције положаја. Када су ове величине променљиве функције и времена, поље је нестационарно. Постоје два начина за проучавање кретања флуида: o Лагранжов, када се за сваки флуидни делић одређује путања, брзина и убрзање; o Ојлеров, који се састоји у праћењу брзина, убрзања и других својстава флуидних делића у једној непокретној тачки поља. Иако се Лагранжовим начином у сваком тренутку задржава чврста физичка повезаност свих карактеристика посматраног флуидног

75

делића, најчешће се због непрекидности флуидне средине и равноправног значаја било ког флуидног делића, користи Ојлеров начин. Практичну примену Ојлеровог начина омогућила је теорија поља – математичка дисциплина која се бави проучавањем општих својстава скаларних, векторских и тензорских поља. Природне особине струјног поља, које је предмет интересовања, садрже се у скаларном пољу притиска, температуре, густине; векторском пољу брзине и убрзања, и тензорском пољу брзина деформације и напона. Струјно поље ‘’покривено’’ наведеним пољима представља математички модел реалног флуида у кретању. Експериментална мерења, која је лакше извршити непокретним инструментима постављеним у једну тачку струјног поља, дају предност Ојлеровом начину описивања.

Лагранжов метод Посматра се одређен флуидни делић на слици 1. Положај делића је G функција његовог почетног положаја r0 = ( x0 , y0 , z0 ) и времена t. G G G Путања делића зато се пише у облику: r = r (r0 , t ) . Брзина и убрзање флуидног делића дати су тоталним изводима: G G G G ∆r r (t + ∆t ) − r (t ) dr G = lim = v = lim ∆t →0 ∆t ∆t → 0 dt ∆t G 2G ∆v d r G a = lim = 2 ∆t → 0 ∆t dt

Слика 1. Путања флуидног делића и слика материјалног извода

76

Oво описивање одговарајуће je за величине које су везане за одређене флуидне делиће, нпр. распростирање полутаната. Сви закони одржања (масе, количине кретања и енергије) такође се физички јасније представљају Лагранжовим методом. Међутим, Лагранжова метода захтева велики број једначина за једно струјно поље, због великог броја флуидних делића, те је стога неприхватљива за већину проблема. Такође, било каква мерења тешко су изводљива, јер би мерни апарати морали да прате флуидне делиће.

Ојлеров метод Овим методом разматра се промена струјних величина у једном сталном месту простора, док делићи пролазе кроз ово место. Струјне величине могу да се мере непокретним мерним уређајима. Међусобна веза између Лагранжовог и Ојлеровог метода дата је у следећој једначини за својство флуидног делића ϕ: dϕ ∂ϕ ∂ϕ dx ∂ϕ dy ∂ϕ dz = + + + = ∂t ∂x dt ∂y dt ∂y dt dt ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ G vx + vy + vz = = + + vgradϕ ∂t ∂x ∂y ∂y ∂t Материјална (супстанцијална) промена величине ϕ (тотални извод) (која може да се одреди Лагранжовом методом) једнака је збиру њене локалне и конвективне промене (Ојлеров метод). Локална промена представља промену својства ϕ у једној тачки флуидног простора током времена, а конвективна промена је промена својства флуида због тога што делић флуида прелази из једне у другу тачку струјног простора, тј. конвективна промена описује како поље брзина утиче на G величину ϕ ( v grad ϕ ). На пример, својство ϕ може да буде температура Т. Тада тотални извод температуре може да се прикаже у виду локалне временске промене температуре и конвективне промене која се односи на утицај поља брзина на ту промену. dT ∂T G = + vgradT dt ∂t Кинематика флуида обрадиће се кроз упознавање са битним струјним својствима у скаларном, векторском и тензорском пољу.

77

Скаларно поље Скаларно поље је простор у коме је дефинисана скаларна функција положаја U=U(x,y,z). Скаларна функција положаја може да описује простор, површину или линију, па су скаларна поља тада просторна, површинска или линијска. Линије или површине на којима скаларна функција задржава исту вредност су еквискаларне.

Градијент скаларне функције

Слика 2. Градијент скаларне функције – правац најоштрије промене Ради описивања правца промене скаларне величине, својства општег за све врсте скаларних поља, уводи се диференцијално-векторски оператор набла ∂ G ∂ G ∂ G j+ k ∇= i + ∂x ∂y ∂z који се примењује на скаларну функцију U=U(x,y,z) и одређује градијент скаларне функције U (gradU): ∂U G ∂U G ∂U G i+ j+ k. gradU = ∂x ∂y ∂z gradU (вектор) има правац и смер нормале у произвољној тачки површине U=U(x,y,z), а пошто је нормала најкраће растојање између две вредности скалара U1 и U2, то gradU представља правац најјаче промене скалара U. Смер gradU је смер пораста промене скалара (слика 2). Са познатим gradU може да се одреди промена скаларне функције U у G било ком правцу r . Тотални диференцијал ∂U ∂U ∂U G dU = dx + dy + dz = ( grad U , r0 ) dr ∂x ∂y ∂z

78

где је

G G dr = dr ⋅ r0

доводи до dU G = ( gradU , r0 ) . dr Градијент притиска (gradp) је израз који се врло често употребљава. Њим су представљене силе притиска по јединици масе флуида, а оне су значајне и у статици и у динамици флуида.

Векторско поље брзине Скаларна поља притиска, густине и векторска поља брзине и убрзања, дефинишу струјно поље стационарног, идеалног (савршеног) и вискозно-ламинарног флуида. Поље брзине је од највећег утицаја на формирање струјног поља, па су све карактеристике везане за векторска поља дефинисане у пољу брзине.

Струјница

Слика 3. Струјнице За векторско поље брзине везује се појам струјнице (струјне линије) и појам путање (трајекторије) флуидног делића. Струјница дочарава слику о струјању у било ком тренутку јер показује тенденцију оријентације флуидних делића (слика 3). Струјнице су линије којима је брзина флуидних делића тангенцијала у сваком временском тренутку. Оне дају тренутну слику поља брзине. У следећем временском тренутку положај струјница може да буде сасвим другачији.

79

Путања представља "траг" који за собом оставља један флуидни делић. При стационарном кретању струјнице су уједно и путање. Једначина струјнице одређена је векторском једначином: G G [v ,ds ] = 0 Развијањем векторског производа добија се: dx dy dz = = vx v y vz Увођење струјнице одговара Ојлеровом начину посматрања.

Струјна цев

Слика 4. Струјна цев Без неких значајнијих промена карактеристика струјнице, могуће је проширити струјницу на струјну цев (слика 4), тј. на скуп свих струјница које пролазе кроз све тачке затворене криве линије. У проточном пресеку струјне цеви брзине не морају бити једнаке, док се притисци сматрају непроменљивим, кад год су изводнице струјне цеви приближно паралелне.

Дивергенција вектора брзине Примена оператора ∇ преко скаларног производа на векторску функцију доводи до скаларне величине – дивергенције те векторске функције: G ∂v ∂v y ∂v G G G G ⎛ ∂ G ∂ G ∂ G⎞ j + k ⎟ ⋅ vx i + v y j + vz k = x + ∇ ⋅ v = divv = ⎜ i + + z ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂z ⎝ ⎠

(

)

80

Проток Дивергенција брзине може да се доведе у везу са запреминским протоком кроз произвољну флуидну запремину V омеђену површином А (слика 5). За стационарно струјање, ако тачкама елементарног проточног пресека припадају брзине v, мора бити: G G dm = ρ dQ = ρ (v ,dA) тј.

G G m = ∫ ρ (v ,dA) A

где су: m - масени проток флуида кроз површину А [kg/s] Q - запремински проток флуида кроз површину А [m3/s]. За течности густина се не мења, па је m G G = Q = ∫ (v ,dA) = − ∫ v1dA1 + ∫ v2 dA2 ± ∫ v0 dA0

ρ

A

A1

A2

A0

где су: G G G G G A - површина – омотач запремине флуида V: A = A0 + A1 + A2 G G G G v - тј. v0 , v1 , v2 - брзине нормалне на одговарајуће делове површине А.

G Слика 5. div v као мера запреминског протока кроз површину А Површински интеграл може да се замени запреминским, те следи G Q = ∫ divvdV V

Ако већа количина флуида истиче из запремине V него што утиче, Q је G веће од нуле, односно div v > 0 , тј. из посматране запремине извире G течност која се додаје струји. div v представља, дакле, разлику количине флуида која истече из јединице запремине простора у

81

јединици времена, и количине флуида која у њу утече за исто време. Ово се може описати изразом d(dV ) G . div vdV = dt Следећи симболи, према томе, представљају: o o o

G div v = 0 проток је константан, G div v > 0 у посматраној запремини се налази извор (извор у пољу) G div v < 0 у посматраној запремини се налази понор (понор у пољу).

Једначина континуитета Промена количине флуида у некој запремини током времена описује се G са div v . Ова промена је позната под називом једначина континуитета. Разни облици ове једначине добијају се полазећи од израза за елементарну масу флуида у уоченој непокретној запремини струјног простора dm = ρ dV . Промена елементарне (или коначне) масе током времена, може да буде већа, мања или једнака нули, што зависи од тога да ли у уоченој запремини постоје или не постоје извор или понор dm ≷0 dt Ако се пође од претпоставке да је овај простор без извора и понора, важи d(dm) dρ d(dV ) dV + ρ = =0 dt dt dt заменом d(dV ) G = div v dV dt добија се G⎞ ⎛ dρ + ρ div v ⎟ dV = 0 ⎜ ⎝ dt ⎠ или како је уочена елементарна непокретна запремина произвољна (dV≠0)

82

dρ G + ρ div v = 0 . dt У развијеном облику ова једнaчина постаје: ⎛ ∂v ∂v y ∂vz ⎞ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ vx + vy + vz + ρ ⎜ x + + + ⎟=0 ∂t ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ или ∂ρ G G + ( v grad ρ ) + ρ div v = 0 ∂t или ∂ρ G + div (ρ v ) = 0 . ∂t Када је струјање стационарно, а флуид нестишљив, једначина континуитета представља се са G div v = 0

односно

dQ = 0 . Ако се у флуидној запремини налази извор или понор издашности ±ε, једначина континуитета је ∂ρ G + div (ρ v ) = ρε ∂t где је ±ε ε = - специфична издашност извора или понора [m3/s/m3]. dV Једначина континуитета представља закон одржања масе флуида и уз карактеристичну и динамичку једначину (законе кретања) служи за G одређивање непознатих струјних параметара: ρ, p и v .

Ротор брзине Ако се оператор набла ∇ примени на векторску функцију брзине преко векторског производа, добија се сложена векторско-диференцијална G величина која се назива ротор брзине rot v . Математички израз у Декартовим координатама је

83

G G G ⎢i j k ⎥ ⎢ ⎥ G G ⎢∂ ∂ ∂ ⎥ ⎛ ∂vz ∂v y ⎞ G ⎛ ∂vx ∂vz ⎞ G ⎛ ∂v y ∂vx ⎞ G i+ j +⎜ rot v = [∇, v ] = = − − − ⎟k ⎢ ∂x ∂y ∂z ⎥ ⎜⎝ ∂y ∂z ⎟⎠ ⎜⎝ ∂z ∂x ⎟⎠ ∂x ∂y ⎠ ⎝ ⎢ ⎥ ⎣⎢ vx v y vz ⎦⎥ . У физичком смислу ротор брзине представља меру обртања флуидног делића око сопствене тежишне осе.

Вртлог Обртање се представља вектором угаоне брзине G G G G ω = ωxi + ω y j + ωz k где су пројекције 1 ⎛ ∂vz ∂v y ⎞ 1 ⎛ ∂vx ∂vz ⎞ 1 ⎛ ∂v y ∂vx ⎞ − − − ⎟; ωy = ⎜ ⎟ ⎟ ;ωz = ⎜ 2 ⎝ ∂y ∂z ⎠ 2 ⎝ ∂z ∂x ⎠ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠

ωx = ⎜

G G rot v = 2ω назива се вртлогом.

Вртлог је позитиван уколико је обртање флуидних делића у смеру супротном од кретања казаљке на часовнику (слика 5). Ротор брзине показује колико је и какво обртање флуидног делића у ма којој тачки струјног поља око сопствене тежишне осе. Када се сва течност обрће константном угаоном брзином ω=const. око неке осе (тачке), као да се ради о чврстом телу, а не флуиду; сви њени делићи обрћу се истом угаоном брзином око те исте осе (тачке). Ово је тзв. заробљен – вештачки вртлог (слично релативном мировању у статици флуида).

Циркулација Линијски интеграл по затвореној кривој С скаларног производа вектора G G брзине v и вектора елемента затворене криве линије ds означава се са Г (гама) и назива се циркулација. G G G G G G Γ = v∫ (v ,ds ) = v∫ v cos α ds = ∫ (rot v ,dA) = ∫ (2ω ,dA) . C

C

A

A

84

Коначна вредност циркулације означава присуство "протока вртлога G G ∑ 2(ω ,dA) " кроз целу површину А. При томе, исто као и за вртлог, A

уколико се при обилажењу контуре С у правцу супротном од кретања казаљке на сату добија вредност већа од нуле, циркулација је позитивна и обрнуто.

Слика 6. Циркулација Г Линијски интеграл по затвореној кривој С скаларног производа вектора G G брзине v и вектора елемента криве линије ds означава се са Г (гама) и назива се циркулација. G G G G G G Γ = v∫ (v ,ds ) = v∫ v cos α ds = ∫ (rot v , dA) = ∫ (2ω , dA) . C

C

A

A

Коначна вредност циркулације означава присуство "протока вртлога G G ∑ 2(ω ,dA) " кроз целу површину А. При томе, исто као и за вртлог, A

уколико се при обилажењу контуре С у правцу супротном од кретања казаљке на сату добија вредност већа од нуле, циркулација је позитивна и обрнуто. Ако се само у једној тачки В струјног поља (слика 7) флуидни делићи који стижу у њу обрћу, проток вртлога кроз елементарну површиницу dA око те тачке има коначну вредност. Та вредност остаје непромењена уколико се елементарна површиница dA прошири на површину А, јер се флуидни делићи ван тачке В не обрћу. Из овога следи да је вредност

85

циркулације непромењена, без обзира на облик и величину затворене контуре око тачке В.

Слика 7. Независност Г од облика и величине затворене контуре

Класификација струјних поља У кинематском смислу, струјна поља разврставају се према вредностима дивергенције и ротора брзине. Дивергенција брзине описује промену запремине уоченог дела флуидног простора, или проток флуида кроз уочени простор. Ротор брзине указује на постојање неког распореда брзине, односно вртложења флуидних делића. Неједнолике брзине, тј. вртложење, последица су вискозности флуида, а промена запремине - деформације флуида, те ова кинематска класификација садржи важна струјна својства реалног флуида. G G Лапласово поље. Код Лапласовог поља div v = 0 и rot v = 0 . Задовољена G G G је једначина ∆v = grad div v − rot rot v = 0 . У оваквом пољу нема вртлога, а проток је устаљен. G G Потенцијално поље. Код потенцијалног поља div v ≠ 0 и rot v = 0 . G G Када је rot v = 0 , мора бити v = gradφ , пошто је rot grad φ = [∇, ∇]φ = 0 . Функција φ назива се потенцијал брзине. За познати потенцијал φ=φ(x,y,z) за стационарно струјање, познате су пројекције брзина: ∂φ ∂φ ∂φ G vx = ; vy = ; vz = ; тј. v = grad φ ∂x ∂y ∂z Корист познавања потенцијала брзине φ огледа се у томе што се три пројекције брзине vx,vy и vz, које су непознате при проучавању струјања, замењују једном скаларном функцијом φ, тј. једном непознатом.

86

Потенцијална поља су невртложна, али у пољу могу постојати извори или понори.

Слика 8. Вртложно поље G Вртложно (соленоидно) поље (слика 8). Код вртложног поља div v = 0 G и rot v ≠ 0 . Овакво поље је без извора и понора. Линије, чије тангенцијале одређују правац и интензитет вртложног вектора угаоне G брзине ω , називају се вртложницама. Једначина вртложница гласи: dx dy dz = =

ωx

ωy

ωz

За вртложна влакна и цеви важи закон о неуништивости вртлога и G представља се једначином (за ω = const. по пресеку А) ω1 A1 = ω2 A2 где су површине А1 и А2 нормалне на ω1 и ω2.

Слика 9. Неуништивост идеалног вртлога Вртложне линије не почињу и не завршавају се у вртложном пољу. Неуништивост вртлога важи за идеализовани случај вртложења без трења (идеалан флуид – слика 9). У реалном флуиду вртлози, који се најчешће принудно формирају, нестају током времена. Њихова енергија

87

претвара се у топлотну и предаје околном флуиду. Неуништивост вртлога објашњава дуго време постојања циклон, торнада, урагана, одн. вртложних формација у атмосфери. G G Сложено поље. Код сложеног поља важи div v ≠ 0 и rot v ≠ 0 . У оваквом пољу има и вртлога и извора и понора. Компликовано је за проучавање.

Векторско поље убрзања Поље убрзања значајно је јер репрезентује инерцијске силе. У свакој тачки овог поља одређен је вектор убрзања флуидних делића који се у датим тренуцима налазе у њој. Инерцијске силе, као и остале величине у механици флуида, изражавају се по јединици масе флуида, те су представљене убрзањем и имају такву димензију. G G G G G G ∂v y ∂v ∂v G dv ∂v ∂vx G G a= vx + v y + z vz = = + + (v , ∇ )v dt ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t где су: G dv - супстанцијални или тотални извод брзине по времену; dt G ∂v G - локални извод по времену, одн. како се мења брзина v у уоченој ∂t тачки струјног поља са временом: G G G (v , ∇ )v - назива се конвективни извод брзине v и представља промену G брзине v у једној тачки поља при њеном померању у неком правцу.

Тензорско поље У савременој физици проучавају се појмови који не могу да се опишу уобичајеним изразима више математике. У ову групу спадају и тензори. Тензори су скупови више величина којима се дефинише неко физичко својство тела у простору. Простор где су тензори дефинисани назива се тензорским пољем. У таквим пољима као и у скаларним и векторским, тензори су функција положаја. У наставку помињу се тензори брзине деформисања флуидних делића и напони који су с тим повезани.

88

Тензор брзина деформисања делића Потпуна слика о кретању делића течности добија се једино када се, поред кретања, познаје и начин на који се делићи деформишу. С обзиром на то што гасови и течности представљају веома покретљиве средине, делићи флуида се јако деформишу, тако да је важнија брзина деформисања од самих деформација. Овом одликом флуиди се битно разликују од чврстих тела где су деформације веома мале и споре.

Слика 10. Раванска деформација флуидног делића У равни (слика 10) флуидни делић представља се паралелограмом, дијагонале d која гради углове α и β са оближњим странама. При деформисању делића једна дијагонала се издужује, друга се скраћује, а мењају се и углови. Временско релативно издужење првобитних дијагонала назива се брзином линеарне деформације, а временска промена углова - брзином угаоне деформације. Ове две врсте деформисања су основне карактеристике деформацијског стања и сачињавају тензор брзине деформисања ε: ⎧ 1 ⎛ ∂v y ∂vx ⎞ 1 ⎛ ∂vz ∂vx ⎞ ⎫ ∂vx + + ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠ 2 ⎝ ∂x ∂z ⎠ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ 1 ⎛ ∂v ∂v ⎞ ∂v y 1 ⎛ ∂vz ∂v y ⎞ ⎪⎪ ⎪ + ε ≡⎨ ⎜ x + y ⎟ ⎜ ⎟⎬ ∂y 2 ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎪ ⎪ 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ ∂v ⎞ ∂vz ⎪ 1 ⎜⎛ ∂vx + ∂vz ⎟⎞ 1 ⎜ y + ∂vz ⎟ ⎪ ⎪⎩ 2 ⎝ ∂z ∂x ⎠ 2 ⎝ ∂z ∂y ⎠ ∂z ⎭⎪

где су: ∂vx ∂v y ∂vz - брзине линеарних деформација у x, y, z правцима, , , ∂x ∂y ∂z

89

а остали чланови одговарајуће брзине деформација у равнима нормалним на x, y, z правце.

G Слика 11. div v - брзина релативне запреминске промене делића

У свакој тачки струјно-деформацијског поља, тензор ε може да има другачију вредност, али за једну, произвољну тачку је инваријанта која не зависи од употребљаваног координатног система, што представља његов основни физички значај. Збир три дијагонална члана даје: G ∂v ∂v y ∂vz div v = x + + ∂x ∂y ∂z што представља брзину релативне запреминске промене делића (слика 11), јер се под дејством нормалних напона првобитна запремина шири или скупља. Из раније поменуте једначине G Q = ∫ divvdV V

G div v представља и елементарни проток флуида.

Тензор напона – напонско стање Ако се из бестежинског вискозно-струјног флуидног простора издвоји флуидни елемент, његово равнотежно стање дато је одређеном конфигурацијом тангенцијалних и нормалних напона, који представљају дејство околне вискозне средине на издвојени флуидни

90

делић. Нормални напони усмерени су у правцу спољашњих нормала граничних површина издвојеног делића и представљају дејство привлачних – вискозних нормалних сила околине. Тангенцијални напони распоређени су у равнима – омотачима издвојеног делића, а представљају дејствовање смичућих сила околине због издвајања њеног дела. Први индекс означава осу која је нормална на површиницу, а други правац осе по којој се напон испољава. Напони σxx, σyy и σzz су нормални напони услед чисте вискозности, а τyx=τxy, τzx=τxz и τzy=τyz су тангенцијални напони. Нормални и тангенцијални напони имају позитиван знак кад смер нормале на површину и смер деловања напона имају исти знак у односу на оријентацију координата. У противном, напони су негативни (слика 12).

Слика 12. Распоред напона на издвојеном флуидном делићу Тензор напона вискозних сила представљен је са:

91

⎧σ xx τ yx τ zx ⎫ ⎪ ⎪ S ≡ ⎨τ xy σ yy τ zy ⎬ . ⎪ ⎪ ⎩ τ xz τ yz σ zz ⎭

Веза напона са брзинама деформисања Њутн је успоставио везу између напонског и деформацијског стања у виду следећих једначина ∂v y ⎞ ∂v 1 ⎛ ∂v G σ xx = 2η x + λ div v ; τ xy = τ yx = 2η ⎜ x + ⎟ 2 ⎝ ∂y ∂x ∂x ⎠

σ yy = 2η

∂v y ∂y

1 ⎛ ∂v

G + λ div v ;

∂v ⎞

τ xz = τ yx = 2η ⎜ x + z ⎟ ∂x ⎠ 2 ⎝ ∂z

∂vz ∂v ⎞ 1 ⎛ ∂v G τ yz = τ zy = 2η ⎜ y + z ⎟ + λ div v ; 2 ⎝ ∂z ∂z ∂y ⎠ Постављене релације важе само за ламинарно струјање Њутновских флуида. Нормални вискозни напони доведени су у везу са брзинама релативног издужења (брзине линеарне деформације) и запреминске G промене делића (div v је мера за промену запремине флуидних делића). Тангенцијални напони изазивају промену облика делића па су повезани са одговарајућим брзинама угаоних деформација. Фактор пропорционалности 2η (η је динамичка вискозност) утврђен је мерењима, а λ се одређује из претпоставке да је збир три нормална вискозна напона у једној тачки струјног простора једнак нули (такође потврђено мерењима): σ xx + σ yy + σ zz = 0

σ zz = 2η

Одатле следи да је: 2 3 Изрази за везу напона са брзинама деформисања сада добијају облик ∂v ⎞ ⎛ ∂v ∂v 2 G σ xx = 2η x - η div v ; τ xy = τ yx = η ⎜ x + y ⎟ ∂x 3 ∂x ⎠ ⎝ ∂y

λ =− η

σ yy = 2η

∂v y 2 G - η div v ; ∂y 3

τ xz = τ yx = η ⎜ x + z ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂z

σ zz = 2η

∂vz 2 G - η div v ; ∂z 3

τ yz = τ zy = η ⎜

⎛ ∂v

∂v ⎞

⎛ ∂v y ∂vz ⎞ + ⎟ ∂y ⎠ ⎝ ∂z

92

G За једнолико струјање константним протоком div v = 0 , v=f(y) нормални вискозни напони не постоје, а тангенцијални напон, супротан од смера струјања, је: dv τ =η dy што представља уобичајен поједностављен облик Њутнових законитости, а важи за ламинарно струјање преко равне плоче.

Веза између напона и брзина деформисања користи се за извођење Навије-Стоксове једначине.

Притисак Притисак у једној тачки струјног простора има константну вредност, без обзира на оријентацију површине на коју дејствује. Он је последица дејства спољашњих поремећаја (клип који притискује флуид) или запреминских спољашњих сила (привлачна сила Земљине теже – тежина флуида). Притисак дејствује у истом правцу као и нормални – вискозни напон, али је супротно оријентисан – усмерен ка омотачу издвојене флуидне запремине. Разлика интензитета притиска и нормалног – вискозног напона одређује општи нормални напон, који је усмерен ка површини на којој се мери (не важи правило са индексима). Три нормална (општа) напона дата су са: pxx = p − σ xx ; p yy = p − σ yy ; pzz = p − σ zz Сабирање ова три нормална напона, водећи рачуна да је σ xx + σ yy + σ zz = 0 добија се 1 pxx + p yy + pzz 3 Ова једначина служи за одређивање вредности притиска у једној тачки струјног простора. p=

(

)

Притисак је непроменљив у једној тачки и одређује се преко нормалних напона pxx, pyy, pzz који се мере појединачно. За флуид, у стању мировања, важи σ xx = σ yy = σ zz = 0 , односно p = pxx = p yy = pzz . У динамици флуида статички притисак одговара горњој релацији.

93

Динамика идеалног флуида Идеалан флуид је невискозан. Д. Бернули 1738. (Daniel Bernoulli) први је поставио и доказао све законитости али је Ојлер 1755. (Leonard Euler) математички моделирао мировање и кретање идеалног флуида па основна једначина за анализу оваквог кретања носи његово име.

Oјлерова једначина У статици успостављена равнотежа запреминских сила (гравитација) и површинских (притисак) на издвојену запремину V G ρ f − grad p dV = 0 ;

∫(

)

V

сада се проширује деловањем инерцијских сила које су представљене са G dv ρ dV ; dt V

∫

па се Ојлерова једначина за кретање идеалног флуида представља са G G ⎛ dv ⎞ ρ ⎜ dt − ρ f + grad p ⎟ dV = 0. ⎠ V⎝ Због произвољно изабране запремине dV важи G G dv ρ − ρ f + grad p = 0 ; dt односно G dv G 1 = f − grad p ; ρ dt што представља полазан облик Ојлерове једначине. У њој су: G dv - инерцијске силе по јединици флуидне масе [ N kg ] ; dt G f - запреминске силе по јединици флуидне масе [ N kg ] ;

∫

1

ρ

grad p - силе притиска по јединици флуидне масе

[N

kg ] .

94

За решавање проблема кретања идеалног флуида, поред основне векторске једначине, потребне су и једначина континуитета (без извора и понора) са карактеристичном једначином (топлотне промене) која повезује основна физичка својства флуида, пошто су непознате: три пројекције вектора брзине (vx, vy, vz), притисак (p) и густина (ρ). Дакле, систем

G dv G 1 = f − grad p ; ρ dt dρ G + ρ div v = 0 ; dt ρ = f ( p) ; је затворен: набројане једначине су независне па, према томе, и довољне за одређивање vx, vy, vz, p и ρ са којима је кретање у потпуности одређено. Како карактеристична једначина (изотерма, адијабата) одређује и све термодинамичке релације, горњи систем је довољан за решавање струјно-термодинамичких проблема у идеалном флуиду. Најчешће су адијабатске промене p/ρκ=const.

Коришћењем развијеног израза за вектор убрзања скаларни облик система једначина у Декартовим координатама гласи: ∂vx ∂vx ∂v ∂v 1 ∂p ; + v x + x v y + x vz = f x − ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂v y

∂v y

∂v y

∂v y

1 ∂p ; ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂y ∂vz ∂vz ∂v ∂v 1 ∂p ; + vx + z v y + z vz = f z − ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z +

vx +

vy +

vz = f y −

⎛ ∂ v ∂ v y ∂ vz ⎞ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ + + vx + vy + vz + ρ ⎜ x + ⎟ = 0; ∂t ∂ x ∂y ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ и нпр. p

ρκ

= const.

За стационарно струјање од инерцијских сила остају силе конвективног убрзања па се систем једначина редукује на G G G 1 ( v , ∇ ) v = f − grad p;

ρ

95

G div ( ρ v ) = 0;

и нпр. p

ρκ

= const.

За стационарно струјање некомпресибилног (нестишљивог) флуида систем једначина још се више упрошћава G G G 1 ( v , ∇ ) v = f − grad p ρ G div v = 0 . Једначина континуитета и карактеристична једначина прате основну Ојлерову једначину. Једначина континуитета се при струјању течности своди на Q=const., где је Q [m3/s] запремински проток течности кроз улазни или излазни проточни пресек, а при струјању гасова на m = const , где је m = ρ Q [ kg/s ] проток масе течности на улазу или излазу неке ограничене струјне запремине. Због тога се у наставку разматра само Ојлерова једначина. За конзервативне запреминске силе (нпр. гравитациона сила U=-gz) и баротропан флуид (ρ=f(p)) важе релације G 1 dp gradp = grad f = grad U и ,

∫ρ

ρ

јер се градијент сложене функције

∫ dp

ρ развија према правилу

извода: dp

∫ρ

grad φ ( p ) = φ ′( p) grad p = 1

ρ

1

= φ ( p ) ⇒ φ ′( p ) =

grad p = grad ∫

1

ρ

dp

ρ

ρ grad p

.

Следи да убрзање поседује потенцијал G ⎛ dv dp ⎞ = grad ⎜ U − ⎟; ρ ⎠ dt ⎝ што представља важно својство јер се и поље убрзања дефинише једном скаларном функцијом, тј.

∫

96

G G G ⎛ dp ⎞ ax i + a y j + az k = grad ⎜ U − ⎟. ρ ⎠ ⎝ Подразумева се да важе и остале две алтернативе нпр. за струјање чије убрзање има потенцијал у пољу конзервативних сила флуид је баротропан.

∫

Трансформисана Ојлерова једначина која се користи за решавање проблема потенцијалног (стационарног и нестационарног) и вртложног струјања добија се развијањем леве стране G ⎛ dv dp ⎞ = grad ⎜ U − ⎟; ρ ⎠ dt ⎝ и гласи G ⎛ ∂v 1 dp ⎞ G G + grad v 2 − [ v , rot v ] = grad ⎜ U − ⎟, ρ ⎠ ∂t 2 ⎝ пошто је конвективни извод према правилима диференцијалног и векторског рачуна G G 1 G G ( v , ∇ ) v = gradv 2 − [v , rotv ] . 2

∫

∫

Бернулијев интеграл Ојлерове једначине Ако се из целокупног, стационарног ( ∂ ∂t = 0 ) , струјног поља баротропног флуида у пољу Земљине теже одабере једна струјница, што се постиже скаларним множењем трансформисане Ојлерове G једначине са елементом те струјнице dl добија се G G G 1 1 G G G grad v 2 ,dl − [ v , rot v ] ,dl = grad U ,dl − grad p,dl . 2 ρ G G G G Мешовити производ [ v , rot v ] ,dl = 0 због колинеарности вектора v и G dl , а преостали чланови могу се написати као ⎛ ⎛ v2 dp ⎞ G ⎞ ⎜⎜ grad ⎜ − U + ⎟ , dl ⎟ = 0 ; ρ ⎠ ⎟⎠ ⎝ 2 ⎝ што према правилу да је скаларни производ градијента неке функције и елемента струјнице једнак тоталном диференцијалу те функције: G grad φ ,dl = dφ

(

) ( (

) (

)

(

)

)

∫

(

)

97

следи ⎛ v2 dp ⎞ d⎜ −U + ⎟=0 ρ ⎠ ⎝ 2

∫

односно v2 dp −U + = const. ρ 2 У баротропном пољу Земљине теже, када је U=-gz (z oса оријентисана вертикално навише) и ρ=f(p) или ρ=const., добија се v2 dp + gz + = const. ρ 2 Овако написана једначина назива се Бернулијев интеграл Ојлерове једначине.

∫

∫

Задржавајући се само на нестишљивом постаје v2 p + + gz = const. 2 ρ

флуиду ρ=const. једначина

⎡ Nm ⎤ ⎢ ⎥; ⎣ kg ⎦ што представља основни облик Бернулијеве једначине којој је посвећено идуће поглавље.

Основни примери и дефиниције компресибилног струјања решавају се помоћу Бернулијевог интеграла Ојлерове једначине, о чему ће бити речи касније.

98

Бернулијева једначина За инжењерску анализу струјних проблема најважнија је Бернулијева једначина. Строго узевши, Бернулијева једначина важи за једну струјницу. Међутим, скоро сви практични задаци решавају се директно - применом Бернулијеве једначине (Б.ј.) са њеним пратећим условом – једначином континуитета (ЈК). Значај једначине огледа се у њеном садржају који представља биланс појединих врста флуидне енергије. Строго говорећи, Бернулијева једначина важи за једну струјницу. Њен општепознат облик без губитака (z оса оријентисана навише) v2 p + + gz = const. [ J kg ] 2 ρ је основни облик. Сваки члан на левој страни представља енергију коју у себи садржи јединична маса флуидне струје. Први члан представља кинетичку енергију, други енергију притиска, а трећи положајну енергију. Константа на десној страни означава да је збир наведене три врсте енергије константан за било коју тачку струјнице. Делимичним ограничењем за кинетичку енергију, могуће је прећи са струјнице на струјно влакно, струјну цев и на произвољне, замишљене или стварне, проточне пресеке, између којих постоји флуидни континуитет. Други, врло често употребљаван облик Бренулијеве једначине је: v2 p + + z = const. [ J N ] [ mST ] 2g ρ g где су [mST] метри стуба течности, најчешће воде [mVS]. Овде су поједине врсте енергије дате у метрима стуба течности која струји кроз посматране пресеке. Погодна је за квантитативно и дијаграмско поређење свих врста енергије преко одговарајућих висина стубова проточне течности. Чланови су редом: брзинска висина, притисна (пијезометарска) висина и геодезијска висина. Снага флуидне струје добија се множењем сваког члана Бернулијеве једначине са масеним протоком (ρQ), па је 1 P = ρ Qv 2 + pQ + z ρ gQ = const. [ W ] . 2 Први члан одређује снагу флуидне струје при атмосферском притиску. Друга два члана одређују снагу када постоји разлика притисака у

99

флуидној струји и околини у односу на коју се мери снага (најчешће атмосферски притисак). Ова снага може да буде позитивна и негативна, а уобичајено је да се даје са P = ∆pQ . Основни облик Б.ј. (без губитака) описује струјање идеалног флуида, док проширени облик (са губицима) даје слику енергијских промена реалног, вискозног флуида. Губици при струјању стварног флуида приказани су уз помоћ експерименталних података у процентима кинетичке енергије основне флуидне струје. На овакав начин обрачунавање вискозних утицаја упутила је немогућност потпуног аналитичког познавања струјања реалног флуида (турбулентан режим).

Подела притисака према карактеру и основни начин за њихово одређивање При кретању, поред статичког притиска ps (сви ранији притисци имају карактер статичког), постоји и динамички притисак pd који је мера кинетичке енергије флуидне струје. Збир ова два притиска је тотални притисак pt, што проистиче из примене Б.ј. за тачке S и T (слика 1). pt = ps + pd . Динамички притисак дат је изразом 1 pd = ρ v 2 [ Pa ] 2 где су: ρ - густина, а v – брзина флуидне струје.

Слика 1. Статички и тотални притисак при опструјавњу око тела Тотални притисак мери се у тачкама где је брзине флуида једнака нули, тј. у зауставним тачкама, па се зато назива и зауставни притисак. Инструмент за одређивање тоталног притиска назива се Питова цев (слика 2).

100

Слика 2. Принцип мерења тоталног притиска Питовом цеви Статички притисак мери се на површинама преко којих флуид прелази непромењеним брзинама (нпр. рупе на зидовима цеви) (слика 3).

Слика 3. Мерење статичког притиска помоћу U цеви

Слика 4. Принцип мерења динамичког притиска и Прантловa сонда

101

Динамички притисак одређује се посредним путем, мерењем разлике тоталног и статичког притиска. Уређај за мерење динамичког притиска зове се Прантлова сонда и приказан је на слици 4.

Упутства за примену Бернулијеве једначине Ефикасна примена Б.ј. захтева поштовање одређених упутстава. 1. Б.ј. се увек пише само за два пресека и то тако да се са леве стране налази флуидна енергија у пресеку одакле тече струја (1), а са десне стране флуидна енергија у пресеку ка коме се струјање врши (2) (слика 5). Испред Б.ј. обавезно се ставља податак Б.ј. 1-2 којим је означено за које тачке је написана Бернулијева једначина. Увек треба имати на уму да су чланови Б.ј. енергије делића течности који се налази у уоченом положају. Тако нпр. ако су два флуидна делића на различитим висинама, онај у вишој тачки има вишу положајну енергију за њихову висинску разлику gh (слика 6).

Слика 5. Уочени струјни пресеци и њихове карактеристике 2. За било које две тачке које могу да се повежу замишљеном или стварном струјницом, Б.ј. је пуноважна (слика 7). 3. Уз Б.ј. која у основном облику садржи шест непознатих (v1, v2, p1, p2, h1, h2), увек се везује и једначина континуитета. У простим цевним проблемима ЈК гласи: πd2 πd2 v1 1 = v2 2 4 4 и у Бј елиминише једну непознату – брзину. Ако се геодезијске висине (енергије положаја) оцењују у односу на ниже означен пресек, у Б.ј. уместо висина h1 и h2 јавља се њихова разлика као једна непозната.

102

Иако су увођењем једначине континуитета и реперног нивоа од ниже тачке елиминисане две непознате, основни облик Б.Ј. садржи још 4 непознате и због тога се мора посветити посебна пажња избору карактеристичних тачака 1 и 2. Пресеке (нпр. тачке 1 и 2) треба узимати на местима за која постоји највећи број познатих података.

Слика 6. Висинска разлика флуидних делића

Слика 7. Повезивање две тачке замишљеном или стварном струјницом За случај претакања (без губитака) из једног резервоара у други (слика 7), код којих је површина течности много већа од површине пресека спојне цеви, карактеристичне тачке Б.ј. су слободни нивои течности у резервоарима. На њима су кинетичке енергије делића течности занемарљиве, тј. v1=v2=0, а притисак p1=pa. Тада Б.ј. 1-2 гласи: pa v12 p v2 + + hg = 2 + 2 ρ 2 ρ 2 односно p − pa p2 m hg = 2 = .

ρ

ρ

103

Слика 8. Слободно истицање у атмосферу За случај слободног истицања у атмосферу (без губитака) (слика 8), карактеристичне тачке 1 и 2 су ниво течности у резервоару и завршни пресек цевовода у коме влада атмосферски притисак pa, па је Б.ј.1-2: pa v12 p v2 + + hg = a + 2 ρ 2 ρ 2 односно v2 h= 2 2g 4. Ако се поред постојеће Б.ј. за неки струјни проблем могу написати и друге Б.ј., такве да се у њима јављају нове непознате величине, оне су такође пуноважне. То се редовно дешава при решавању проблема сложених цевовода. 5. У Б.ј. треба уносити интензитете средњих брзина (ознака v) и статичке притиска (ознака p) који су непроменљиви у целом попречном пресеку цевовода. Са апсолутних притисака врло је лако прећи на релативне – манометарске и вакуумметарске. За енергијски преглед проблема најјаснија представа добија се када се чланови Б.ј. изражавају у метрима стуба течности (mST). 6. Пре постављања Б.ј. требало би извршити анализу проблема: схватити и потврдити његов физички смисао, одредити карактеристичне тачке и редослед решавања једначина. Нумеричко решење даће квантитативне односе тражених и задатих величина и потврдиће оправданост постављеног задатка. Уколико је решење сумњиве вредности, разматрање енергијског биланса са графичком

104

представом дуж тока струјања лако ће открити рачунску и формалну грешку.

Корекциони фактор кинетичке енергије Када је Б.ј. написана за струјницу, кинетичка енергија проточне масе флуида (v2/2) представљена је брзином v у означеној тачки, а када је Б.ј. написана за неки проточни пресек, онда v представља средњу брзину флуида (vsr) кроз цео пресек. Међутим, у зависности од врсте струјања (ламинарно, прелазно, турбулентно) члан vsr2 2 не даје увек праву величину кинетичке енергије и потребно је увести корекциони фактор α, који ће помножен са vsr2 2 , дати стварну величину кинетичке енергије по јединици масе, тј. v2 Ek = α sr 2 (vsr се обично пише без индекса). Ова енергија треба да се уведе у Б.ј. За ламинарно струјање кроз цеви је α=2, а за турбулентно струјање је α=1,01-1,1, па се најчешће узима као 1.

Слика 9. Ламинаран и турбулентан профил брзине у цеви Б.ј. са корекционим фактором гласи: p1 v2 p v2 + α 1 + gz1 = 2 + α 2 + gz2 2 2 ρ ρ На корекциони фактор обраћа се пажња када ламинарно струјање прелази у турбулентно и када је ламинарно струјање кроз цео цевовод.

105

Због економичности, у цевоводима су углавном турбулентна струјања, па се корекциони фактор не пише. На слици 9 приказани су профили брзине при ламинарном и турбулентном струјању у цеви, при истој средњој брзини. Види се да кроз струјни пресек, при ламинарном струјању постоји веће одступање од средње брзине, него при турбулентном струјању. Због тога је корекциони фактор кинетичке енергије за ламинарно струјање скоро двоструко већи него за турбулентно струјање.

Цевни проблеми – облик са губицима Струјање реалног флуида прате губици. Теоријска анализа струјања реалног флуида заснива се на Навије-Стоксовој једначини која због комплексности не може да се користи у пракси. Вискозне силе које се јављају при струјању кроз цевоводе у практичним задацима представљају се члановима који у себи садрже губитке енергије. Грубици се дела на локалне губитке и губитке услед трења. И ови чланови са губицима енергије представљају се у процентима кинетичке енергије. За локалне губитке члан губитка представљен је производом коефицијента локалног губитака ζ и динамичког притиска ρ v 2 2 за цевни пресек непосредно испред локалног отпора. За губитке услед трења, члан губитака представља се као l ρ v2 λ d 2 где су λ коефицијент трења, l дужина цевне деонице и d унутрашњи пресек цеви. Локални губици јављају се при промени вектора брзине. Карактеристична места где се јављају локални губици су: колена, вентили, засуни, бленде, нагла проширења и сужења, усисне корпе, рачве и др. Део укупне флуидне енергије у пресеку 1 (слика 10) троши се на савладавање губитака који се јављају при струјању на путу до пресека 2. Због тога је укупна енергија у пресеку 2 мања од енергије у пресеку 1, за вредност губитака. Изгубљена енергија (губици) hig у Б.ј. на уносе се са десне стране:

106

Слика 10. Примена Бернулијеве једначине са губицима на цевовод са променљивим цевним пресеком p1 v2 p v2 + α1 1 + gz1 = 2 + α 2 2 + gz2 + hi g 2 2 ρ ρ

Коефицијенти локалних губитака Локални губици могу да се распореде у неколико група: проширења, сужења, кривине, рачве и цевне арматуре. Проширења Нагло проширење (Карноов дифузор) приказано је на слици 11.

Слика 11. Нагло проширење Пад притиска кроз нагло проширење износи 1 2 ∆p = ρ ( v1 − v2 ) . 2 Коефицијент локалног губитка добија се када се пад притиска кроз дифузор ∆p подели са динамичким притиском у уструјном пресеку 1:

107

2

⎛ A ⎞ ζ = = ⎜1 − 1 ⎟ . 1 2 ⎝ A2 ⎠ ρ v1 2 ∆p

Испитивања су показала да притисак у вртложној зони p1′ није једнак притиску у улазној деоници p1, па се због тога уводи корекциони фактор С, те је кориговани коефицијент губитка:

⎛ A ⎞ ∆p ζ = 2 = C ⎜1 − 1 ⎟ ρ v1 2 A2 ⎠ ⎝

2

где је С незнатно веће од 1. Изгу бљена снага услед наглог проширења дата је са P = ∆pQ . Дифузор Употребом дифузора (слика 12) смањује се губитак у односу на нагло проширење. Експерименти су показали да је коефицијент губитка ∆p ∆p ζ = = , 2 1 ρ ( v12 − v22 ) 1 ρ v 2 ⎜⎛1 − ⎛ A1 ⎞ ⎟⎞ 1 2 ⎜ ⎜⎝ A2 ⎟⎠ ⎟ 2 ⎝ ⎠ функција угла θ и односа површина А2/А1. Његова вредност и вредност степена корисности дифузора ( η = 1 − ζ ) дате су на слици 13. Cтепен корисности показује колико се енергије сачувало после дифузора. Испитивања су показала да је: o угао проширења, који даје најбољи коефицијент корисности око 6°-8° за цеви кружног пресека, 6° за цеви квадратног пресека и 11° за правоугаоне цеви; o за задани однос А2/А1, дифузор са кружним пресеком и квадратним наставком даје најбоље η; o дужина цеви пре дифузора треба да буде што је могуће краћа. У извесној граници η је функција производа θ и l/D1, где је l/D1 ″ефективна улазна дужина″; o дужина цеви иза дифузора побољшава η; дужина излазне цеви треба да буде 4-6 пута већа од већег пречника D. У пракси се дифузор најчешће користи за трансформацију кинетичке енергије у енергију притиска. Када је дифузор постављен на крају

108

цевовода, а на улазу у резервоар, треба очекивати повећање протока, због смањења излазног губитка.

Слика 12. Дифузор

Слика 13. Коефицијент губитка ζ и степен корисности η дифузора Сужења

Нагло сужење При струјању флуида кроз нагло сужење проточна површина смањује се како је приказано на слици 14. Постигнувши низводно од сужења најмањи пресек ("vena contracta") струја се постепено шири да би најзад потпуно попунила пресек. Вртлози који се стварају између зидова цеви и граничних струјница, користе струјну енергију која их држи у ротацији.

109

Слика 14. Нагло сужење Занемарујући губитке кроз сужени део "venе contracta" губитак у проширеној деоници, који је много већи (због неповољног grad p) је ⎛A ⎞ 1 1 2 ∆p = ρ (vmax − v2 ) = ρ v22 ⎜ 2 − 1⎟ 2 2 ⎝ A0 ⎠

2

односно 2

⎛A ⎞ ζ = = 2 − 1⎟ . 1 2 ⎜⎝ A0 ⎠ ρ v2 2 Количник А2/А0 зависи од А2/А1, па је коефицијент губитка ζ у функцији од А2/А1. Неке вредности за ζ дате су у табели 1. ∆p

Табела 1. Вредности ζ за нагла сужења А2/А1

ζ

0,2 0,34

0,4 0,27

0,6 0,16

0,8 0,05

1,0 0

Млазник Постепено сужење (слика 15), у нормално изведеним конструкцијама, одликује се малим коефицијентом губитка ζ. Губитак се везује за брзину v2, тј. v2 ∆p = ζρ 2 . 2

110

Слика 15. Млазник У табели 2 дати су експериментални подаци за ζ у функцији угла θ и односа улазног и излазног пречника. Табела 2. Вредности ζ за млазнике 10 за D1/D2=1,2 θ [°] 0,04 ζ 10 за D1/D2=2 θ [°] 0,07 ζ 10 за D1/D2=3 θ [°] 0,08 ζ

20 0,05 20 0,08 20 0,10

30 0,07 30 0,12 30 0,14

40 0,08 40 0,14 40 0,17

Улазни губитак

ζ = 0,505 + 0,308sin α + 0, 26sin 2 α

Слика 16. Различите врсте цевних улаза

111

Улазни губици мањи су уколико је улаз подешен тако да је блажа промена струјнице. На слици 16 дате су вредности коефицијента губитака ζ за неке врсте цевних улаза. Треба избегавати усвајање наглог сужења за улаз у цевоводе, а уместо тога практиковати заобљене прелазе. Постепено сужавајућим, добро обрађеним пресеком могуће је највише смањити улазни губитак. Пад притиска дат је једначином ∆p = ζρ

v2 2

где је v брзина у ниструјној деоници. Кривине

Колено Губици у коленима већи су од губитака у правим цевима исте дужине. Ти додатни губици проузроковани су повећаном турбуленцијом која је последица промене смера струјања. Промена струјања изазива повећање притиска на спољашњој страни кривине и смањење притиска на унутрашњој. Због тога се нарушава профил брзине и центрифугалне силе изазивају секундарно струјање као што је приказано на слици 17. Струја флуида напушта колено крећући се у дуплој спирали која нестаје тек у доста удаљеном низводном пресеку. Међутим, подразумева се да је пун ефекат губитка концентрисан на колено.

Слика 17. Струјна слика и распоред притиска у колену

112

Слика 18. Коефицијент губитка ζ за колено до 90° и оштро колено до 90° у зависности од односа r/D Коефицијент губитка дефинише се као ∆p , ζ = 1 2 ρv 2 и зависи од односа r/D, а не зависи од Re. На следећим дијаграмима дате су вредности коефицијента губитка ζ за колено до 90° и оштро колено до 90° (слика 17), као и за колено од 90° (слика 18).

Цевне кривине мање од 90° имају мањи коефицијент губитка ζ (слика 18). Међутим, да би се коефицијент губитка ζ знатније смањио, угао α мора бити мањи од 45°. За веће односе r/D занамарљив је губитак проузрокован одлепљивањем струје, али је испољен губитак услед појаве секундарне спиралне струје, тако да се са порастом угла α постепено повећава губитак. Нпр. коефицијент губитка за колено од 180° само је за око 50 % већи од истог коефицијента за колено од 90°.

113

Слика 19. Коефицијент губитка ζ за колено од 90° у зависности од односа r/D и релативне храпавости е/D

Слика 20. Коефицијент губитка ζ за оштро колено од 90° са скретним лопатицама у зависности од облика скретних лопатица – крива 1 лопатице облика аеропрофила а); криве 2, 3 и 4 кружни лук различитог облика б) и односа s/c Уградњом скретних лопатица у оштро колено губици се знатно смањују. На дијаграму (слика 20) дати су коефицијенти губитака ζ за разне врсте скретних лопатица. Да би се флуидна струја скренула тачно за 90°, потребно је лопатице савити за додатни угао δ, због ранијег одлепљивања струје (слика 21).

114

Слика 21. Додатно савијање лопатица у циљу постизања скретања струје за 90° Рачве

Рачве и тројници У табели 3 дати су коефицијенти губитака ζ за неке случајеве рачвања и сучељавања флуидне струје (слика 22). Притисци у појединим гранама једне рачве (θ<90°), или тројника (θ=90°), међусобно се разликују само за величину губитка који се одређује преко одговарајућег коефицијента губитка и брзине основног тока струје. Губитак у рачви може се смањити заобљивањем улазних ивица. Табела 3. Коефицијент ζ за рачвање и сучељавање (слика 21) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 v2/v1 Рачвање а) 0,88 0,89 0,96 1,10 ζ1-2 0,96 -0,08 -0,04 0,07 0,21 θ=90° ζ1-3 0,05 Рачвање б) 0,66 0,47 0,33 0,29 ζ1-2 0,90 0,04 -0,06 -0,04 0,07 0,20 θ=45° ζ1-3 Сучељавање ц) ζ2-1 -1,04 -0,40 0,20 0,47 0,73 0,18 0,30 0,40 0,50 θ=90° ζ3-1 0,06 Сучељавање д) ζ2-1 -0,90 -0,37 0 0,22 0,37 0,17 0,18 0,05 -0,20 θ=45° ζ3-1 0,05

1,0 1,0 0,35 0,35 0,33 0,92 0,60 0,38 -0,57

Слика 22. Неки случајеви рачвања и сучељавања

115

Пад притиска правцем струјања одређен је коефицијентом губитка ζ и брзином флуидне струје v1. Нпр. за случај сучељавања (ц) за v2/v1=0,2, пад притиска од рачве до хоризонталне цеви је негативан 2 2 v v ∆ p 2 −1 = ζ 2 −1 1 ρ = −0, 4 1 ρ = −0, 2 ρ v12 , 2 2 што значи да је притисак од рачве до хоризонталне цеви порастао. Цевне арматуре

Усисна корпа У зависности од конструкције, вредност коефицијента губитка је ζ=1÷5. На слици 23 приказана је једноставна корпа. За усисну корпу са једносмерним вентилом, конструкције према слици 24, коефицијент губитка дат је у функцији пречника усисног цевовода и износи 2, 2 ζ = , D где је D [m].

Слика 23. Једноставна усисна корпа

Слика 24. Усисна корпа са једносмерним вентилом Затварач (лептир) Табела 4. Коефицијент ζ за лептир затварач (слика 25) 5 10 15 20 25 30 θ [°] 0,24 0,52 0,90 1,54 2,51 3,91 ζ 50 60 65 70 90 θ [°] 40 10,8 32,6 118 256 751 ζ ∞

116

Слика 25. Лептир затварач Коефицијент губитка у функцији угла θ приказан је у табели 4. Славина Коефицијент губитка у функцији угла θ и односа површина А1/А0, дат је табелом 5. На слици

Слика 26. Славина Табела 5. Коефицијент ζ за славину (слика 26) 5 10 15 20 25 30 θ [°] А1/А0 0,93 0,85 0,77 0,69 0,60 0,52 0,05 0,31 0,88 1,84 3,45 6,15 ζ 40 45 50 55 67 θ [°] 35 А1/А0 0,44 0,35 0,27 0,19 0,11 0 11,2 20,7 41,0 95,3 275 ζ ∞ Засун Коефицијент губитка за засун са симетричним језгром (слика 27) у зависности од геометријских карактеристика дат је у табели 6. Табела 6. Коефицијент ζ за симетричан засун Dc/D L/D D [mm] ζ 300 0,67 1,50 1,45 300 0,67 2,68 2,80 250 0,80 1,50 0,39 200 0,75 1,33 0,60

117

Слика 27. Засун са симетричним језгром Вентил Коефицијент губитка за различито изведене конструкције вентила, дат је дијаграмски на слици 28. Табела 7. Коефицијент губитка за вентиле са подеоним зидом у зависности од називног пречника (слике 29) D [mm] ζ - са подеоним ζ - са подеоним зидом од 45° зидом од 90° 13 10,8 15,9 20 8,0 10,5 25 9,3 30 8,6 40 4,9 7,6 50 6,9 80 4,0 100 4,1 150 4,4 200 4,7 250 5,1 300 5,4 350 5,5 -

118

Слика 28. Коефицијенти губитака вентила различитих конструкција

Слика 29. Вентил са подеоним зидом од 45° и 90° Излазни губитак

При истицању флуида из цеви у резервоар (слика 30) кинетичка енергија, коју је флуид поседовао у цеви, губи се у резервоару и остаје неискоришћена. Овај губитак одређен је са ρ v2 ∆p = ζ , 2 а коефицијент губитка ζ=1 - за турбулентно струјање, ζ=2 - за ламинарно струјање.

119

Слика 30. Истицање флуида из цеви у резервоар

Коефицијент трења Губици који се јављају због трења последица су вискозности и изражавају се са Дарси-Вајсбаховом (Darcy-Weisbach) формулом l v2 ht g = λ , d 2 где су: l, d - дужина и пречник цевовода за који се одређује губитак, v - средња брзина струјања флуида кроз цевовод, λ - коефицијент трења. Коефицијент трења зависи од режима струјања (Рејнолдсовог броја Rе) и од релативне храпавости цевовода δ=е/d (е-апсолутна храпавост табела 8). За практично решавање цевних проблема зависност између λ, Rе и δ дата је Мудијевим (Moody) дијаграмом (слика 31). У Мудијевом дијаграму разликују се три области: ламинарна, критична и турбулентна. У ламинарном подручју коефицијент трења λ дат је Стоксовом формулом 64 λ= . Re Између ламинарне и турбулентне области налази се критична зона, 2000
120

Табела 8. Вредности апсолутне храпавости употребљаване цеви ВРСТА ЦЕВИ СТАЊЕ ЦЕВИ МАТЕРИЈАЛ вучене цеви из бакра, технички глатке месинга или стакла и сл. вучене челичне цеви нове ( маннесманн ) чишћене после дуже употребе зарђале са јаком корозијом и рђом заварене челичне цеви нове, битумиране (за хидро централе и употребљаване друге велике цевоводе) једнолико лако зарђане после дугогодишње употребе јаче зарђане јако зарђане и кородиране поцинковане гасне и нове водоводне цеви од 1/2″4″ ливене цеви нове нове, битумиране употребљавне местимично зарђане за кородираним гнездима очишћене после дуге употребе дрвене цеви разне бетонске цеви глачане необрађене цеви од азбестног нове цемента

за

најчешће

е [mm] 0,0015 0,03 0,15 - 0,2 0,4 до 3 0,05 0,15 0,5 1 - 1,5 2-4 0,05 - 0,1

0,25 - 1 0,1 - 0,15 1 - 1,5 1,5 - 4 0,3 - 1,5 0,2 - 1 0,3 - 0,8 0,05 - 1

121

Слика 31. Мудијев дијаграм У прелазној зони коефицијент трења зависи од вискозности (Rе) и од релативне храпавости. За вредности релативне храпавости δ=0,001 и

122

мање, при смањењу Rе, λ се приближава вредности за глатке цеви, што је условљено стварањем ламинарног слоја на зидовима цеви који делимично прекрива све неравнине. За извесне вредности Rе у прелазној зони филм потпуно прекрива мале неравнине и вредност коефицијента трења λ иста је као и за потпуно глатку цев. За веће Rе, неравнине се пробијају кроз ламинарни слој што проузрокује додатну турбуленцију и повећани губитак енергије. За област потпуне турбуленције (храпаве цеви) дебљина филма је занемарљива у односу на храпавост, што изазива потпуно турбулентно струјање у целом пресеку цеви. Вискозност нема утицаја на изгубљену енергију која је сразмерна v2 и коефицијент трења не зависи од Rе.

Губитак услед трења у цевима различитих попречних пресека Инжењерска пракса захтева познавање струјања и кроз цеви различитих попречних пресека (вентилација, хлађење, струјање у отвореним каналима и др.). За одређивање падова притисака при струјању кроз различите попречне пресеке користи се уобичајени израз l v2 g = λ hi Dh 2 са ниже представљеним појмом хидрауличког пречника Dh. Укупна сила трења на граници струјне површине (зидови цеви) је FT = Olτ 0 где су: О - унутрашњи обим цеви; l - дужина цеви; τ0 - тангенцијални напон на зиду цеви. За дати попречни пресек и проток (према томе и средњу брзину v) сила трења пропорционална је обиму попречног пресека (или обиму оквашеног попречног пресека, када флуид делимично попуњава пресек). Кружни попречни пресек има најмањи обим за дату површину пресека, па је због тога, с гледишта изгубљене енергије, најповољнији за употребу. Ако се основни критеријум за струјање, Рејнолдсов број, изрази преко хидрауличког пречника Dh; за одређивање коефицијента трења, при турбулентном протицању кроз разне пресеке, може се користити Мудијев дијаграм. Хидраулички полупречник Rh дефинисан је као A Rh = , O

123

где су А и О површина и обим оквашеног проточног пресека. Хидраулички пречник који се уврсти у Rе број (Rе=vDh/ν) и губитак енергије услед трења ∆p l v2 =λ , Dh 2 ρ везан је са Re релацијом Dh = 4 Rh , те је 4A Dh = . O За цев кружног попречног пресека (слика 32 горе) је D Dh = D ; Rh = . 4 За правоугаони попречни пресек (2а×2б) (слика 32 средина) 4ab ab Dh = Rh = . a+b a+b За квадратни попречни пресек (2а×2а) (слика 32 доле) a Dh = 2a ; Rh = . 2

Слика 32. Кружни, правоугаони и квадратни попречни пресек Ламинарно струјање кроз квадратни и елиптични пресек једини су случајеви када се за одређивање коефицијента трења, са довољном

124

тачношћу може искористити коефицијент трења λ за одговарајући (исте површине) кружни попречни пресек. За одређивање коефицијента трења, односно падова притисака, устаљеног ламинарног струјања кроз прстенасте, елиптичне и правоугаоне пресеке употребљавају се ниже наведени изрази, добијени теоријским разматрањем одговарајућег ламинарног струјања. За струјање између два саосна цилиндра (слика 33 а) 8η lv ∆p = r2 − r2 r22 − r12 − 2 1 r ln 2 r1 (v је средња брзина). За врло уске прстенасте пресеке је ∆p =

12η lv

δ2

где је δ = r2 − r1 - ширина прстенастог процепа. Хидраулички пречник је Dh=2δ, а коефицијент трења је 48 λ= , Re где је vD 2vδ Re = h = .

ν

ν

За струјање кроз процеп који образују ексцентрични цилиндри (слика 33 б), приближна формула за пад притиска је 12η lv 1 ∆p = 2 δ ⎛ 3 e2 ⎞ ⎜1 + 2⎟ ⎝ 2δ ⎠ где су: е - ексцентрицитет δ = r2 − r1 - ширина процепа саосно постављених цилиндара.

125

а)

б) Слика 33. Струјање између два: а) саосна цилиндра б) ексцентрична цилиндра

Слика 34. Струјање кроз елиптичан пресек За струјање кроз цеви елиптичног пресека (слика 34), коефицијент трења се одређује према коефицијенту трења за струјање кроз цев одговарајућег кружног пресека, 64 64ν λ= = Re vDh где се Dh одређује из 1 1⎡ 1 1 ⎤ 1 a2 + b2 = + , ⎢ ⎥= Dh2 2 ⎣ (2a) 2 (2b) 2 ⎦ 8 a 2b 2 односно 8a 2 b 2 Dh2 = 2 2 . a +b За струјање кроз цев правоугаоног пресека важи 3η lv 4ab ∆p = 2 и Dh = . a+b b f (b / a )

Вредности рачунске функције f (b / a ) дате су у табели 9.

126

Табела 9. Вредности функције f (b / a ) за струјање кроз правоугаоне пресеке 1 1,25 1,5 2 3 4 5 10 а/b f (b / a ) 0,422 0,515 0,585 0,686 0,789 0,824 0,874 0,938

∞ 1

Веза између коефицијената трења и датих падова притисака добија се из раније наведеног израза l v2 λ ρ = ∆p . Dh 2 За одређивање коефицијента трења за струјање у потпуно турбулентној зони, поред Мудијевог дијаграма, може се употребљавати и формула ⎛ e ⎞ λ = 0,11⎜ ⎟ ⎝ Dh ⎠ где је е - апсолутна храпавост.

0,25

Утврђено је да се хидраулички пречник може користити за турбулентна струјања кроз правоугаоне попречне пресеке код којих је однос ширине и висине у границама 0,3<а/b<3. Коришћењем хидрауличког радијуса у Мудијевом дијаграму не могу се очекивати довољно тачни резултати при турбулентном струјању између две паралелне плоче и између два саосна цилиндра.

Метод приближавања Величине v, d и λ су у међусобној зависности преко Бернулијеве једначине и Мудијевог дијаграма. Врло чест случај је да су две величине, од неведене три, непознате (скоро увек λ), а за њихово одређивање располаже се само једним аналитичким изразом Бернулијевом једначином. Тада се приступа методу приближавања, нпр. за непознате λ и v. Редослед операција је следећи: прво се претпостави вредност λ (најчешће 0,02) и из Бернулијеве једначине одређује се друга непозната v; затим се са познатим производом vd ν улази у дијаграм и одређује ново λ, које се поново уводи у Бернулијеву једначину и процес се понавља. Када се поклопи претпостављена са добијеном вредношћу, непознате λ и v су одређене. Претпоставља се она вредност која се најмање мења (λ), а тачно решења редовно се

127

добија после два до три понављања, јер непознате врло брзо конвергирају ка тачном решењу. Наведеном методом добија се тачно решење јер Мудијев дијаграм и Бернулијева једначина представљају две међусобно независне хидродинамичке релације.

Цевовод са турбомашином; критични притисак; затворен цевни систем

Слика 35. Цевовод са туромашином Ако се између тачака 1 и 2 цевног система (слика 35), који је обухваћен Бернулијевом једначином, налази пумпа, њен напор YP (gHP) треба убележити са леве стране једначине. Напор пумпе YP је енергија коју радно коло пумпе преда свакој јединици проточне масе флуида. Пумпа придодаје енергију основној струји флуида и тако повећава укупну расположиву енергију. Укупна расположива енергија, која се налази са леве стране Бернулијеве једначине, користи се за постизање крајњих хидродинамичких параметара флуида у тачки 2 (p2, v2, z2) и савлађивање свих успутних губитака. Са гледишта Бернулијеве једначине свеједно је где се налази пумпа између тачака 1 и 2. У положају I пумпа свој допринос флуиду остварује повећањем притиска на потисној страни, а у положају II снижавањем притиска на усисној страни (када су једнаки пресеци усисног и потисног цевовода пумпе). У положају II, притисак на усисној страни пумпе мора да буде већи од критичног притиска pk. Бернулијева једначина за тачке 1 и 2 између којих се налази пумпа дата је са

128

p1

ρ

+ gz1 + H1 g =

p2

ρ

+ gz2 + ∑ gh i .

Напор турбине YP треба убележити са десне стране Бернулијеве једначине, са стране губитака, јер турбина одузима од флуида енергију да би се прерадила у други облик, нпр. електричну енергију. Снага пумпе на спојници електромотора и пумпе, и снага турбине на спојници турбине и генератора дата је следећим релацијама: - за пумпу ρ QYP P= [W] ;

ηP

- за турбину

P = ρYPηT [ W ] ;

где су:

ρ [kg/m3] и Q [m3/s] - густина и проток флуида,

YP, YT [J/kg] - напор пумпе, турбине, ηP, ηT - укупни степен корисности пумпе, турбине. Места у цевоводу на којима се јављају најнижи притисци карактеристична су и на њих треба обратити пажњу. То су: улаз у пумпу, највише тачке цевовода, нагла сужења, улази у резервоаре у којима влада потпритисак и сл. У тим тачкама мора се обезбедити већи притисак од критичног p>pk, како би се онемогућило испаравање флуида, развој кавитацијских појава и образовање парног мехура са прекидом флуидне струје. Основна шема пумпног постројења, приказана на слици 36 састоји се од пумпе 4, усисне цеви 2 и потисног цевовда 6. На улазу у усисну цев налази се усисна корпа 1 са једносмерним вентилом који при пуњењу усисне цеви пумпе (пре почетка или после завршетка рада) не дозвољава води да истече из цеви. Са 3 и 5 означени су вакуумметар и манометар који се уграђују на усисној, односно на потисној страни пумпе и служе за контролу правилног рада. Укупан напор пумпе за дату шему изражен је са p − p1 + ghi YP = gH + 2

ρ

или

129

v22 − v12 + gz ρ 2 где су са ghi = ghu + ghp означени сви губици у усисном и потисном YP =

pm + pv

+

делу цевовода. Висинска разлика z је за случај класичних манометара и вакуумметара, растојање између оса инструмената, а не њихових прикључних места.

Слика 36. Основна шема пумпног постројења У свим индустријским гранама центрифугална пумпа је најприсутнија машина. Њени основни делови: ротор и кућиште као и карактеристични дијаграм, приказани су на сликама 37 и 38. Поред неопходне Q-H криве (Q [m3/s], gHP [J/kg] или HP [mST]) која је на скици представљена кривом (1); за одређивање карактеристика радне тачке потребни су: карактеристика цевовода (2), крива снаге (3) и крива степена корисности пумпе (4). Радна тачка налази се у пресеку карактеристике цевовода и Q-H (Q-∆p за вентилаторе) криве.

130

Сагласно теорији сличности за пумпе се могу дефинисати следећи бездимензијски критеријуми: Q1 Q = 2 3 = φ = const. − значица протока 3 n1 D1 n2 D2 YP1 Y = 2P 2 2 = ψ = const. − значица брзоходости 2 2 n1 D1 n2 D2 P1 3 n1 1 D15

ρ

=

P2 n23

ρ 2 D25

= µ = const. − значица снаге

n1Q11 2 n2Q21 2 = = φ 1 2ψ 3 4 = const. − специфичан број обртаја 34 34 ( gh1 ) ( gh2 )

Слика 37. Основни делови центрифугалне пумпе

Слика 38. Карактеристике пумпе За једну пумпу при промени броја обртаја следи 2

Q1 n1 H1 ⎛ n1 ⎞ P1 ⎛ n1 ⎞ = ; =⎜ ⎟ ; =⎜ ⎟ Q2 n2 H 2 ⎝ n2 ⎠ P2 ⎝ n2 ⎠

3

131

што је довољно за конструисање кривих H=f(Q); P=F(Q) за различито n. Поред наведених карактеристика редовно се прилаже крива NPSH која одређује максимално дозвољену усисну висину да би улазни елементи пумпе били заштићени од кавитације. Препоручљива регулација Q-H кривих је континуалном променом броја обртаја. У недостатку такве опреме обично се спроводи пригушење вентилом на потисном цевоводу пумпе. Ефекти таквог пригушења приказани су на слици 39. Шрафирана површина представља изгубљену енергију – енергију утрошену на пригушење. За случај смањења протока са Q на Q1 користан напор се са вредности Н (када је потпуно отвoрен вентил) смањио на вредност Н1. Изгубљена снага је ρ Q1 g ∆H ∆P = 1000η1 где је ∆H = H10 − H1 .

Слика 39. Ефекти пригушења вентила на потисној грани цевовода Затворен цевни систем (нпр. хладњак или радијатор) карактерише цевна петља кроз коју циркулише флуид. Енергија пумпе троши се само на савладавање локалних отпора и трења без обзира колике су висинске разлике у појединим тачкама система. У највишим тачкама цевовода проверава се да ли је притисак већи од критичног.

132

Енергијски дијаграм Дијаграмско представљање стања појединих врста енергије дуж струјања омогућава континуалан увид у промене енергије притиска, кинетичке енергије, енергије утрошене на савладавање отпора и расположиве положајне енергије. Овакав графички преглед упозорава на карактеристична места која заслужују детаљнију анализу. Уобичајено је да се у дијаграмима енергија флуидне струје представља по јединици тежинског протока, тако да се димензије појединих врста енергије изражавају у метрима стуба флуида. Енергија натпритиска pm/ρg назива се пијезометарском висином. Она је позитивна, за разлику од негативне пијезометарске висине pv/ρg. На слици 40 приказан је пример енергијског дијаграма за цевни систем променљивог пресека са уграђеним вентилом који спаја два резервоара.

Слика 40. Енергијски дијаграм

Никурадзеове једначине Никурадзе је, на бази израчунавања линеарног распореда тангенцијалног напона у цеви кружног пресека и тангенцијалних

133

напона изазваних турбуленцијом, представљених Прантл-Кармановом једначином 4

⎛ dv ⎞ ⎜ ⎟ dy y⎞ ⎛ τ = τ 0 ⎜1 − ⎟ = ρ k 2 ⎝ ⎠ 2 ⎝ R⎠ ⎛ d2v ⎞ ⎜ 2⎟ ⎝ dy ⎠ одредио изразе за распоред брзине, средњу брзину, тангенцијални напон на зиду цеви, коефицијент трења и дебљину ламинарног слоја при турбулентном струјању у глатким и храпавим цевима. У овим изразима делимично су кориговане константе према многобројним огледима које је извео Никурадзе. Релације су следеће: - За турбулентно струјање кроз глатке цеви а) Распоред брзина одређује се према општем изразу vmax − v y = −2,5ln * R v или према огледима за глатке цеви v v* y = 5,5 + 5,75log ν v* * где је v привидна брзина одређена са v* =

τ0 ρ

б) Однос средње и максималне брзине дат је општим изразом vsr 1 = vmax λ 1 + 4,07 8

в) Коефицијент трења λ за Re бројеве веће од 5000 са довољном тачношћу може да се одреди из 1 = −0,8 + 2,0log Re λ

λ

г) Тангенцијални напон на зиду цеви одређен је општим изразом

134

τ0 = λ

vsr2 ρ . 8

д) Дебљина ламинарног слоја одређује се према δ 32,8 = . D Re λ - За турбулентно струјање кроз храпаве цеви (слика 41)

Слика 41. Распоред брзине при турбулентном струјање кроз цеви а) Распоред брзина одређује се према наведеном општем изразу; или према v y = 8, 48 + 5,75log * e v б) Однос средње и максималне брзине једнак је наведеном општем изразу. в) Коефицијент трења λ одређује се према 1 D = 1,14 + 2log e λ г) Тангенцијални напон на зиду одређује се према наведеном општем изразу. Никарадзеове једначине дају податке о унутрашњој структури струјања кроз цеви. Појмови који се овде срећу биће објашњени у поглављу Динамика вискозног флуида.

135

Сложени цевоводи При рачвању и сучељавању струје укупни проток једнак је збиру или разлици протока у гранама, а падови притисака од тачке рачвања до тачке сучељавања, исти су у свакој грани. Основне релације за решавање проблема добијају се из Бернулијевих једначина које треба написати за струјнице кроз грану цевовода 1-А-I-Б-2 и 1-А-II-Б-2 (слика 42). Анализа стационарног стања притиска и протока у цевним системима је од великог значаја за инжињерску праксу. Потребне једначине које описују хидраулички феномен представљају систем нелинеарних алгебарских једначина које се могу решити директно. Уобичајено је да се те једначине изражавају на два основна начина: у функцији непознатих протока у цевима, или непознатих притисака (пијезометара) у чворним тачкама мреже.

Слика 42. Сложен цевовод Једначине дате у функцији непознатих протока у литератури називају се “једначинама петљи”, док се други начин изражавања везује за “једначине чворних тачака”. Данас постоји развијен већи број алгоритама за решавашње овог система једначина и они се са мање или више успеха користе у инжињерској пракси. Већина тих техника примењује се са ограничењима која су везана или за конфигурацију цевног система или за хидрауличке компоненте које су практично увек присутне. Као коначан циљ у овој области хидраулике могло би да се да у задатак постављање алгоритма за решење система једначина које описују потпуно општу конфигурацију мреже са неограниченим бројем свих врста хидрауличких компоненти. Општи принципи које треба да задовољи сваки програм којим се анализира стање у мрежи, могу се свести на следеће: o програм треба да је довољно брз, o ефикасан при коришћењу меморије рачунара и

136

o

једносатаван за примену.

Мреже које се таквим програмом решавају морају задовољити следеће захтеве: o Физички опис мреже мора бити познат. Он се састоји од дефинисаних пречника цеви, дужина, храпавости, потрошње у чворовима тачака и свих потребних информација које се односе на: резервоаре, пумпе, арматуру итд; o Графички приказ мреже може бити сасвим шематски. Цеви се могу сећи у равни без рачвања; o Мрежа се може састојати од цеви које чине петље и цеви које су ван петљи, са потрошњом у било којој чворној тачки; o Пумпе и арматура могу се налазити без ограничења у било којој цевној деоници. “Једначине петљи” (једначине у функцији непознатих протока) добијају се на следећи начин. За сваки чвор (слика 43) за ρ = const. важи

(∑Q ) i

izlaz

−

(∑Q ) i

ulaz

=C

где је С “потрошач” који се флуидом снабдева из тог чвора. За дату илустрацију С=-5 l/s због Q6 − Q1 − Q2 − Q5 = −5 .

Слика 43. Чвор у сложеном цевоводу

137

Уколико цевна мрежа садржи Ј чворова, а сви потрошачи су познати, онда се може написати Ј-1 независних једначина континуитета које су нелинеарне. Енергијска једначина (Б.j.) је задовољена уколико је пад притиска око сваке цевне петље (I, II, …) једнак нули (слика 44). Ове нелинеарне једначине пишу се у облику 4

∑K Q

=0

∑K Q

=0

l

nl l

lr =1

l

nl l

lII

где су: K lI ,II -коефицијенти пада притиска,

nlI ,II -експоненти протока, брзине (најчешће 2).

Слика 44. Петља у сложеном цевоводу L посебних петљи и N цеви који сачињавају укупну мрежу задовољавају једначину N = ( J − 1) + L . Једначине “чворних тачака” (када су непознати притисци у чворовима), добијају се тако што се протоци прво изразе зависно од падова притиска дуж сваке гране петље. 1

1

⎛ hij ⎞ nij ⎛ H i − H j ⎞ nij Qij = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ K ij ⎟ ⎜ K ij ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ па се, затим, замене у једначину континуитета чвора

138

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ Овде индекси

∑

1 1 ⎤ ⎡ ⎤ ⎞ nij ⎥ ⎢ ⎛ H i − H j ⎞ nij ⎥ −⎢ ⎜ =C ⎟ ⎥ ⎟ ⎟ ⎜ K ij ⎟ ⎥ ⎠ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎦ izlaz ⎣ ⎦ ulaz i и ј означавају чворове, а H i − H j представља пад

⎛ Hi − H j ⎜ ⎜ K ij ⎝

∑

притиска у цеви између чворова i и ј са смером струјања флуида од i према ј.Наведени системи једначина континуитета и енергијских једначина решавају се, како је напоменуто, итерацијским методама помоћу рачунара. Рачунарски програми мрежних система укључују утицаје: пумпних станица, резервоара и цевне арматуре.

Истицање кроз отворе и наглавке Својства млаза који истиче изражена су преко четири кофицијента: φ - коефицијент брзине, µ - коефицијент протока, ψ - коефицијент контракције и ζ - коефицијент губитка при истицању. Смисао ових коефицијената дат је у примеру слободног истицања у атмосфери.

Отвори Истицање течности у атмосферу кроз отвор са оштрим ивицама

Слика 45. Истицање течности у атмосферу кроз отвор са оштрим ивицама Струја течности при истицању сужава се и на блиском растојању од отвора ( ≈ D/2) пресек струје је најмањи (слика 45). Однос површина

139

Amin =ψ A зове се коефицијент контракције. Тек у најужем пресеку, због паралелних струјница, притисак је атмосферски и Б.j. за ниво течности у суду и тај пресек одређује брзину v у најужем пресеку (највећа брзина) v2 Hg = (1 + ζ ) , 2 одакле је 1 2 gH v= 1+ ζ

Вредност

1 1+ ζ

= φ назива се коефицијент брзине, тако да је v = φ 2 gH .

Коефицијент протока µ одређује се из израза за проток Q = vAmin = φ 2 gH ψ A = φψ A 2 gH где је µ = φψ . У случају идеалног флуида (ζ=0, односно φ = 1 ) теоријска или идеална брзина истицања је vt = 2 gH , тако да се коефицијент брзине φ може представити и као однос стварне и идеалне брзине v φ = <1 vt јер је због трења, стварна брзина увек мања од теоријске. У пресеку отвора, само у централној зони млаза, брзина је иста и практично једнака теоријској брзини. У спољним слојевима брзина услед трења опада. Истицање кроз отвор у танком зиду идентично је истицању кроз отвор са оштрим ивицама, јер мала дебљина зида не проузрокује појаву ефекта “лепљења” млаза уз граничне површине отвора (слика 46).

140

Слика 46. Истицање кроз отовор у танком зиду и кроз отовр са оштром ивицом Истицање течности кроз потопљен отвор

Слика 47. Истицање течности кроз потопљен отвор

Б.ј. за нивое течности у судовима А и Б (слика 47), гласи v2 Hg = (1 + ζ ) , 2 тако да су сви коефицијенти дефинисани на потпуно исти начин као и у претходном случају, тј. 1 φ= ; v = φ 2 gH 1+ ζ и µ = ψφ ; Q = µA 2 gH .

141

Експерименти су показали да је коефицијент протока кроз потопљен отвор приближно једнак коефицијенту отпора при слободном истицању у атмосферу. Коефицијенти: контракције ψ, губитака ζ, брзине φ и протока µ зависе од облика отвора, затим, као и сви други хидраулички коефицијенти, од Rе. На дијаграму (слика 48) приказане су вредности ψ, φ и µ у функцији од Ret за кружни отвор. Овде је 2 gH D vD Ret = t = . ν ν

Слика 48. Коефицијенти истицања млаза у функцији Рејнолдсовог броја

За врло мале вредности Ret (Ret<25) ефекат вискозности је најважнији и смањeње брзине према ивицама отвора толико је велико да практично нема контракције ψ=1 и φ=µ. За ову област важе следеће теоријске формуле, потврђене експериментима Re D 3π gH ; µ= t . Q= 50ν 25 Повећањем Ret (вискозност губи значај) због смањивања ψ, расте φ. Смањена контракција ψ резултат је малог смањења брзине према ивицама отвора и пoстизања већег полупречника кривине код “vena

142

contracta”. Када Ret → ∞, φ и ψ добијају вредности као при истицању идеалног флуида, φ→1, а ψ→0,6. Максималан коефицијент протока µmax=0,69 добија се за Ret≈350. При истицању мање вискозних течности (вода, бензин, керозин) кроз кружне отворе у танким зидовима, за инжињерске проблеме, најчешће се усвајају вредности: ψ=0,63; φ=0,97; µ=0,61 и ζ=0,065. Делимична контракција

Делимична контракција појављује се када се излазни отвор налази у близини зидова резервоара. Ако је отвор симетричан у односу на резервоар (слика 49), зидови резервоара усмеравају струју кроз отвор, чиме се спречава пуна контракција. Коефицијент контракције повећава се па, према томе, и проток.

Слика 49. Истицање из отвора симетрично постављеног у односу на резервоар

За истицање мање вискозне течности кроз кружне отворе распоређене у оси цилиндричних резервоара, коефицијент контракције ψ1 може се одредити према експерименталној формули ψ1 0,37 2 =1+ n

ψ

ψ

где је n = A0 / A1 , а ψ коефицијент контракције отвора за пуну контракцију. Ако је n ≈ 1 , вредности за ζ и φ су ζ=0,065 и φ=0,97. Проток и коефицијент протока могу се одредити уз помоћ Б.ј. за пресеке 1 и 2 p1 v12 p2 v22 v2 + = + + ζ 2 , v1 A1 = v2 A2 = v2ψ 1 A . 2 2 ρ 2 ρ

143

Одатле је v2 =

1 1 + ζ −ψ

2 2 1n

2g

p1 − p2 , ρg

и Q = µ1 A 2 g

где је

µ1 =

∆p

ρg

ψ1 1 + ζ − ψ 1n 2

.

Слика 50. Коефицијент контракције млаза за делимичну контракцију

Ако је делимична контракција остварена на начин приказан на слици 50 (за осносиметрично или раванско струјање), коефицијент контракције ψ за отвор, и крај цеви, одређен је према дијаграму исте слике. У случају када се излазни отвор налази сасвим при дну резервоара, коефицијент протока може да се одреди према експерименталној формули ∆O µ 2 = µ (1 + k ) O

144

где су: k - коефицијент облика, за кружни отвор k=0,128, за квадратни k=0,152 и за правоугаони k=0,134, О - обим отвора, ∆О - део обима који додирује дно суда (на коме нема скретања струјница). Коефицијент протока зависи и од облика отвора. Ова зависност дата је у табели 10, а вредност одређене су за отворе површине А=1,286 cm2. Табела 10. Коефицијент протока µ за различите отворе и напоре Вредност коефицујента протока µ H [cm] Круг Квадрат Правоугаоник шир/вис=4 шир/вис=16 30,4 0,620 0,628 0,643 0,664 60,8 0,613 0,623 0,636 0,651 121,6 0,608 0,618 0,629 0,642 182,4 0,607 0,616 0,627 0,637 243,2 0,606 0,614 0,625 0,636 304,0 0,605 0,613 0,624 0,633 608,0 0,603 0,611 0,621 0,629

Наглавци

Слика 51. Различите врсте наглавака (отвор у танком зиду, спољашњи и унутрашњи цилиндрични наглавак, коничан конвергентан и дивергентан наглавак)

Наглавци су кратки цевни елементи чија је дужина l, само неколико пута већа од пречника отвора D (l=(2÷6)D). Основна намена наглавка је повећање протока при одређеном пречнику отвора D и висини нивоа течности H. Формуле изведене за отворе важе и за наглавке, само су вредности коефицијената другачије. У табели 11 дате су ове вредности за једноставне карактеристичне случајеве наглавака.

145

Табела 11. Коефицијенти истицања за раyличите наглавке (слика 52) Врста наглавка ψ ζ φ µ отвор у танком зиду 0,63 0,065 0,97 0,61 цилиндрични наглавак: 1 0,49 0,82 0,82 спољашњи унутрашњи 1 1 0,71 0,71 конични наглавак 0,98 0,06 0,97 0,95 конвергентан β=12,6° 1 3,94 0,45 0,45 дивергентан β=7,2°

За мале вредноси Rе (Rе <40.000) вредности коефицијената зависе од Rе. D 2π 1 v = φ 2 gH ; Q= µ 2 gH ; µ = φψ ; ζ = 2 − 1 4 φ Истицање кроз отворе у зиду велике дебљине је идентично истицању круз спољашњи цилиндрични наглавак. Ако је угао β коничног дивергентног наглавка већи од 7,2° струја флуида неће испуњавати цео пресек. Истицање кроз наглавак са елиптично (звонасто) заобљеним изводницама (два полупречника кривине) је са најмањим губицима и практично без контракције (слика 53). ζ = 0,03 ÷ 0,1 ; ψ=1; µ=φ=0,99÷0,96. Општи назив за овакве и сличне врсте наглавака је млазник. Ако се звонасто заобљеном наглавку дода дифузор, добија се конвергентнодивергентни наглавак (слика 54) који омогућује повећање протока и до 2,5 пута у односу на претходни за исти пречник грла D и висину нивоа течности H.

Слика 53. Наглавак са елиптично заобљеним ивицама

Слика 54. Конвергентно дивергентан наглавак

146

D 2π µ1 2 gH , 4 где је µ1 (слика 55) дата у функцији од висине нивоа течности Н, а за угао β=5°30' којим се постиже највећи коефицијент протока. Овакав наглавак користи се када проток за задату висину Н кроз мали отвор D мора да буде што је могуће већи. Међутим, практично је применљив само за висине H=1÷4 m, јер се при већим висинама јавља кавитација у грлу наглавка, а њена појава проузрокује повећање отпора и смањење протока. Q=

Слика 55. Коефицијент протока за оптималан конвергентнодивергентан наглавак

При истицању кроз цилиндричне наглавке треба обратити пажњу на притисак у најужем пресеку млаза. Он не сме да опадне испод критичног притиска pk.

Истицање са променљивим нивоом Бернулијева једначина изведена је за стационарно струјање. Међутим, ако промене брзине и протока нису нагле, Б.ј. може да се примени и у тражењу решења таквих проблема; проблема где је, значи, нестационарност слабо изражена. Највећи број ових задатака односи се на истицање из резервоара. Не постоји потреба да се шаблонизује принцип рада јер су потребне операције математичке и хидромеханичке природе познате и

147

једноставне. Променљив ниво означава ограничено огледало слободне површине што повлачи незанемаривање кинетичке енергије у таквим површинама.

Нестационарно струјање Б.ј. за нестационарно струјање нестишљиве течности у пољу Земљине теже је 2 p1 v12 p2 v22 ∂v + + gz1 = + + gz2 + ghi (1− 2) + dl . ρ 2 ρ ∂t 2 1

∑

∫

Последњи израз са десне стране добијен је задржавањем члана локалног извода брзине по времену ∂v ∂t у трансформисаној Ојлеровој једначини и његовим интеграљењем дуж струјнице (струјне цеви) dl . Део v22 − v12 2 представља промену кинетичке енергије по јединици масе која је уследила због преласка флуидних делића из положаја 1 у положај 2 у истом временском тренутку t. Члан 2 ∂v dl ∂t 1

∫

представља промену, у јединици времена, кинетичке енергије по јединици масе у целокупној запремини струјне цеви од пресека 1 до пресека 2, и узима се у обзир кадгод брзина зависи и од времена; v = v(l , t ) . Израз 2

1 ∂v dl g 1 ∂t

∫

назива се инерцијским напором јер нестационарну промену брзине уноси међу остале чланове Б.ј. са неким коначним временом. Најједноставнији случај нестационарног струјања приказан је на слици 54. Б.ј. за истицање без губитака кроз цев константног попречног пресека има облик pa p v 2 dv + gh = + + l ρ ρ 2 dt где је

148

2

2

dv dv ∂v dl = dl = l , dt 1 dt ∂t 1

∫

∫

пошто је брзина v зависна само од времена, а не и од координата; v=v(t). Ако се пресек 2 пренесе на крај цеви, добија се pa p v 2 dv + gh = a + + l0 2 dt ρ ρ односно dv 1 ⎛ v2 ⎞ = ⎜ gh − ⎟ . dt l0 ⎝ 2⎠ Види се да је најјаче изражена нестационарност везана за почетни тренутак када је v=0, јер је dv gh = . dt l0 При стационарном струјању, када је dv dt = 0 , v = 2 gh . Значи, у почетним тренуцима истицања брзина расте од 0 до v = 2 gh , а убрзање од максималне вредности пада до нуле. Убрзање dv dt је обрнуто сразмерно дужини цеви l0 , тј. уколико је већа дужина цеви, утолико је максимално убрзање мање. За приближну процену времена трајања нестационарног струјања Т у почетку истицања, може се сматрати да убрзање dv dt остаје константно, односно 2 gh vl dv gh v 2 l0 ; = = = , тј. T = 0 = dt l0 T T gh g h време успостављања стационарног стања расте са дужином цеви, а опада са квадратним кореном висине стуба течности.

Mерење протока Постоје многобројни и врло разноврсни принципи, методе и инструменти за одређивање брзине и протока флуидне струје. Овде ће се представити неколико “класичних” начина за одређивање протока у цевима.

149

Прантлова цев Овом сондом, као што је већ познато, може се одредити брзина флуидне струје у свакој тачки пресечне површине тока, на тај начин наћи профил брзине, а из њега одредити и проток. На слици 55 дата су одступања у мереним притисцима када се правац цеви не поклапа са правцем струјања. Отвори за статички притисак су равномерно распоређени по обиму цеви на месту на коме су изједначени утицаји смањеног притиска услед струјања флуида око врха цеви и повећаног притиска услед држача цеви. За мерење брзине струјања ваздуха при нормалним атмосферским условима ( p0 = 101325 Pa и t0 = 15 °C ) количник ρ g = 1 8 , те се формула за брзину са довољном тачношћу може упростити ако се динамички притисак pd мери у [ mmVS] . 1 2 ρ v0 = pd 2 2 pd ⎡m⎤ v0 = = 4 pd ⎢ ⎥ . ρ ⎣s⎦ Динамички притисак практично се не мења при скретању Прантлове цеви из правца брзине до α = ±16° . Тачно показивање динамичког притиска последица је приближно подједнаког одступања статичког и тоталног притиска у том, прилично широком, појасу скретања цеви.

Слика 55. Одступања у мереним притисцима Прантловом сондом за α≠0

150

Бленда Проток може да се одреди изазивањем вештачког поремећаја и његовим мерењем. Мери се разлика притисака испред и иза локалног отпора којим је проузрокован поремећај. У овом случају уношењем бленде у флуидну струју јавлља се разлика притисака испред и иза ње. изглед струјнице показан је на слици 56. Б.ј. за пресеке 1 и 2 гласи p1

v12 p2 v22 = + + gh1− 2 . ρ 2 ρ 2 Ако се сада привремено занемари губитак gh1− 2 , а брзина v1 изрази преко максималне брзине v2 као A ψA v1 = 2 v2 = v2 A1 A1 добија се 2 p1 − p2 v22 ⎡ ⎛ ψ A ⎞ ⎤ = ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥, ρ 2 ⎢ ⎝ A1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ односно 2( p1 − p2 ) 1 v2 = , 2 ρ ⎛ψ A ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝ A1 ⎠ +

а проток

Q = A2 v2 = ψ

d 2π 4

2( p1 − p2 )

1

. ρ ⎛ψ A ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝ A1 ⎠ Погодније је израз за проток Q представити у експерименталном облику 2( p1 − p2 ) d 2π Q=µ E ρ 4 где су: 1 1 1 E= ; = = 2 4 1 − ( A A1 ) 1 − ( d D1 ) 1 − m2 2

151

µ - коефицијент протока добијен експериментално, који обухвата грешку услед испуштања коефицијента контракције ψ из израза испод квадратног корена, и губитак gh1− 2 који је у горњем извођењу био занемарен.

Слика 56. Мерна бленда Коефицијент протока µ може да се представи као производ три фактора. Фактори Z1 и Z2 су поправни коефицијенти µ = C ⋅ Z1 ⋅ Z 2 . За два начина извођења прикључака за притисак, вредности за факторе C, Z1 и Z2 дате су у дијаграмима на сликама 57 и 58. Одређивање протока врши се следећим редоследом: прво се за усвојену вредност m из првог дијаграма одреди вредност C. Са том вредношћу приближно се одреди проток по формули 2( p1 − p2 ) d 2π Q=C E 4 ρ За тако одређен проток нађе се брзина v у отвору бленде d и одговарајући Re vd . Re = ν Најзад се из другог и трећег дијаграма налазе поправни коефицијенти Z1 и Z2 и коначан проток

152

Q=µ где је

2( p1 − p2 ) d 2π E 4 ρ

µ = C ⋅ Z1 ⋅ Z 2

Слика 57. Фактори коефицијената протока бленде са непосредним прикључцима за притисак

153

На сликама 57 и 58 за вредности Z1 унешене су вредности грешке која се може очекивати за измерени проток.

Слика 58. Фактори коефицијената протока бленде са размакнутим прикључцима за притисак

154

Бленда изазива смањење протока кроз цев. Ако је пречник бленде већи, мањи је пад притиска али је тачност измереног протока мања, док мањи пречник изазива веће пригушење струје. Ако за то постоји могућност, пречник бленде треба одређивати према најпогоднијем паду притиска који се унапред усваја. За приближно познат проток Q према формули 4Q C ⋅m⋅E = 2( p1 − p2 ) π D2

ρ

одређује се производ C ⋅ m ⋅ E који је унешен у први дијаграм. Из тог дијаграма налази се m и најпогоднији пречник бленде d=D m. Да би се избегли поремећаји који нису везани за бленду, препоручује се да права деоница цеви узводно буде дужине 10D, а низводно 5D. Изгубљени притисак може да се представи аналитичким изразом ∆p = (1 − m)( p1 − p2 ) . Места на којима се налазе најмањи статички притисци испред и иза бленде одређени су експериментално. Њихов положај означен је на слици 59.

Слика 59. Положај прикључака за притисак Тачне карактеристичне димензије нормалне бленде (два начина извођења), са прикључцима за притисак непосредно испред и иза, дате су на слици 60.

155

Слика 60. Димензије нормалне бленде (DIN) Млазник

Слика 61. Коефицијент протока µ за млазник Са млазником у цеви довољне дужине испред и иза њега и прикључцима за притисак изведеним непосредно испред и иза њега, проток се одређује према формули 2( p1 − p2 ) d 2π , Q=µ E ρ 4 где је коефицијент протока µ дат у дијаграму на слици 61. Дијаграм важи за нлазнике са великим полупречником кривине и високим вредностима d D = m .

156

Енглески стандарди (БСЦ) препоручују извођење млазника са четвртином елипсе, амерички (АСМЕ) са великим полупречником кривине, док немачки (ДИН) стандарди захтевају извођење млазника са два полупречника кривине. Тачне геометријске релације за ДИН-ов нормалан млазник (два начина извођења прикључака за притисак) дате су на слици 62.

Слика 62. Димензије нормалног млазника (ДИН) Вентури-метар Састоји се конвергентног паралелног и дивергентног дела. Прикључци за притисак налазе се непосредно испред конвергентне секције и у грлу – најужој деоници. Уобичајени углови конвергентне и дивергентне секције означени су на слици 63. У грлу Вентури-метра пречник се креће од D/4 до D/2 (D је пречник цеви).

Слика 63. Вентури-метар

157

Проток се одређује према обрасцу 2( p1 − p2 ) 2( p1 − p2 ) d 2π d 2π Q=µ E E = C ⋅ Z1 4 4 ρ ρ где су: 2 1 ⎛d⎞ E= , m = ⎜ ⎟ , а коефицијент протока µ = C ⋅ Z1 одређује се ⎝D⎠ 1 − m2 из дијаграма на слици 64.

Слика 64. Коефицијенти протока за Вентури-метар (БСЦ) Уз дијаграм на слици 64 прилаже се и дијаграм на слици 65 за одређивање коефицијента протока µ према AСME ПТЦ за једну вредност d/D=0,5, али за различите пречнике цевовода, у функцији Рејнолдсовог броја. Re број одређује се према пречнику и брзини струје у грлу Вентури-метра. Прикључци за притисак изводе се како је приказано на слици 63 да се турбулентни утицаји не би одразили на величину мереног притиска. Напомена. Разлика вредности µ према БСЦ и AСME ПТЦ указује да за врло тачна мерења протока, или мерења у специјалним условима (изражена стишљивост, високе температуре, различите врсте и влажности гасне средине) треба увести додатне поправне коефицијенте. Ове коефицијенте и метод рада прописују стандарди (ДИН, ГОСТ, БСЦ). Правац (и брзина) струјања мери се прецизно сондама са више прикључака за притисак. На слици 66 приказана је сонда са струјањем преко цилиндричног тела.

158

Слика 65. Коефицијент протока за Вентури-метар (AСME ПТЦ) Правац струјања одређен је и очитан преко угла закретања сонде када су притисци на прикључцима 1 и 3 једнаки. Тада је притисак на прикључку 2 pt. Уколико се прикључци притиска 1 и 3 поставе у положај где влада статички притисак, разлика p2-p1 или p2-p3 даје динамички притисак, односно брзину v∞. Положај прикључака 1 и 3 одређује се из познатог распореда брзине на цилиндру и Б.ј. Распоред брзине за невискозан флуид константне густине дат је са vθ = 2v∞ sin θ , а Б.ј. за тачке ∞ и 1 или ∞ и 3 даје p − p∞ p∞ v∞2 p1 v12 + = + тј. 1 =0 ρ 2 ρ 2 ρ односно p1 − p∞ ρ 2 =0= v∞ − v12 . 2 ρ Замена v1 = 2v∞ sin θ доводи до

(

(

0 = v∞2 1 − 4sin 2 θ

)

)

и коначног резултата θ=30°.

159

Слика 66. Цилиндрична сонда за одређивање правца (и брзине) струјања Мерила протекле запремине флуида која се поред наведених најчешће срећу у примени, тачности су ±0,5 % ÷ ±3 % у опсегу протока и вискозности 1:10, а према принципу рада подељена су на: запреминска, индуктивна, турбинска, вртложна, моментна и др.

160

САДРЖАЈ УВОД У МЕХАНИКУ ФЛУИДА......................................................................... 1 Историја механике флуида ................................................................................. 1 Древне цивилизације ....................................................................................... 1 Античка времена.............................................................................................. 2 Ренесанса .......................................................................................................... 2 18. век (Хидраулика) ....................................................................................... 3 19. век (невискозно струјање)......................................................................... 4 Савремена механика флуида........................................................................... 5 Експериментална механика флуида............................................................... 6 Рачунарска динамика флуида (ЦФД)............................................................. 8 Будућност ......................................................................................................... 8 Примена механике флуида................................................................................... 9 ОПШТИ ПОЈМОВИ............................................................................................ 11 Модели флуида .............................................................................................. 11 Струјни режими ............................................................................................. 12 Врсте струјања ............................................................................................... 12 Реолошка класификација .............................................................................. 12 Временска зависност ..................................................................................... 14 Састав флуида ................................................................................................ 14 ФИЗИЧКА СВОЈСТВА ФЛУИДА .................................................................... 17 Молекуларна грађа - микроструктура............................................................. 17 Подела физичких својстава .............................................................................. 17 Притисак......................................................................................................... 18 Густина ........................................................................................................... 22 Стишљивост ................................................................................................... 24 Брзина звука ................................................................................................... 28 Вискозност...................................................................................................... 30 Површински напон, капиларност и напон паре .......................................... 35 Кавитација..................................................................................................... 42 Основне термодинамичек законитости које се користе у механици флуида .............................................................................................................................. 45 Једначина стања реалних гасова................................................................... 48 Статика флуида .................................................................................................... 52 Хидростатички притисак................................................................................. 52 Ојлерова једначина за миран флуид ................................................................. 53 Распоред притиска у течностима и гасовима у пољу Земљине теже......... 57

161

Распоред притиска у течностима.................................................................. 57 Промена притиска у гасовима ...................................................................... 57 Притисак течности на равне површине ......................................................... 59 Одређивање нападне тачке силе притиска .................................................. 60 Хидростатички парадокс............................................................................... 62 Притисак течности на криве површине.......................................................... 62 Пливање............................................................................................................... 66 Хидростатички потисак................................................................................. 66 Стабилност при пливању .............................................................................. 68 Релативно мировање течности ....................................................................... 70 Релативно мировање при транслацији ......................................................... 70 Релативно мировање при ротацији............................................................... 72 Кинематика флуида и напонско стање ............................................................ 75 Лагранжов метод............................................................................................ 76 Ојлеров метод................................................................................................. 77 Скаларно поље .................................................................................................... 78 Градијент скаларне функције ....................................................................... 78 Векторско поље брзине ..................................................................................... 79 Струјница........................................................................................................ 79 Струјна цев ..................................................................................................... 80 Дивергенција вектора брзине ....................................................................... 80 Проток............................................................................................................. 81 Једначина континуитета................................................................................ 82 Ротор брзине................................................................................................... 83 Вртлог ............................................................................................................. 84 Циркулација ................................................................................................... 84 Класификација струјних поља...................................................................... 86 Векторско поље убрзања................................................................................... 88 Тензорско поље ................................................................................................... 88 Тензор брзина деформисања делића ............................................................ 89 Тензор напона – напонско стање.................................................................. 90 Веза напона са брзинама деформисања ....................................................... 92 Притисак......................................................................................................... 93 Динамика идеалног флуида................................................................................ 94 Oјлерова једначина............................................................................................. 94 Бернулијев интеграл Ојлерове једначине ......................................................... 97 Бернулијева једначина ........................................................................................ 99

162

Подела притисака према карактеру и основни начин за њихово одређивање ................................................................................................... 100 Упутства за примену Бернулијеве једначине ............................................ 102 Корекциони фактор кинетичке енергије ....................................................... 105 Цевни проблеми – облик са губицима ............................................................. 106 Коефицијенти локалних губитака .............................................................. 107 Коефицијент трења ........................................................................................ 120 Губитак услед трења у цевима различитих попречних пресека .............. 123 Метод приближавања..................................................................................... 127 Цевовод са турбомашином; критични притисак; затворен цевни систем ............................................................................................................................ 128 Енергијски дијаграм ......................................................................................... 133 Никурадзеове једначине................................................................................... 133 Сложени цевоводи............................................................................................ 136 Истицање кроз отворе и наглавке ................................................................. 139 Отвори........................................................................................................... 139 Наглавци ....................................................................................................... 145 Истицање са променљивим нивоом ............................................................... 147 Нестационарно струјање ............................................................................... 148 Mерење протока .............................................................................................. 149

163