MEHANIKA FLUIDA Skripta za studente Tehničkog fakulteta u Rijeci
Lado Kranjčević
Rijeka, 2008.
Verzija 29.11.2010.
2
SADRŽAJ: 1. FLUID I NJEGOVA SVOJSTVA 2. STATIKA FLUIDA 3. KINEMATIKA FLUIDA 4. OSNOVNI ZAKONI MEHANIKE FLUIDA 5. STRUJANJE IDEALNOG FLUIDA 6. STRUJANJE REALNOG FLUIDA U CIJEVI 7. OPTJECANJE TIJELA
3
Konverzija jedinica u SI sustav Duljina 1 in 1 ft [=12 in] 1 yd [=3 ft] 1 mi (milja) 1 nm (nau (naut. t. milj milja) a) 2 Površina 1 ft Volumen 1 ft3 1 gal [US] 1 fl oz Volumni protok 1 cfs [=ft3s-1] 1 gpm [=gal/min] Masa 1 lbm 1 slug 1 oz Energija 1 Btu 1 ft lb Snaga 1 ft lb s-1 Sila 1 lbf 1 kp Tlak 1 psi [=lbf in in-2] 1 psf [=lb f ft ft-2] 1 torr 1 in. Hg (600 F) 1 atm Brzina 1 ft s-1 1 mph [=mi/hr] 1 knot[=nm/hr] knot[=nm/hr] Ubrzanje Ubrzanje 1 ft s-2 Gustoća 1 lbm ft-3 1 slug ft-3 Temperatura 1 0F Viskoznost (kinematska) 1 ft2s-1 Viskoznost (dinami čka) lbf s s ft-2 o o o o o
lb ft in gal oz
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
0.0254 0.3048 0.9144 1 609.344 1852 1852 0.0929 0.02832 0.003 785 412 2.9574*10-5 0.02832 6.309 *10-5 0.45359 14.5939 0.0283495 1 0 55 1.356 1.356 4.448 9.81 6 894.757 28 47.88 133.322 3377 101325 0.3048 0.447 0.514 0.3048 16.02 515.4 TC=5/9(TF-32) 0.0929 47.88
m m m m m m2 m3 m3 m3 m3s-1 m3s-1 kg kg kg J J W N N Pa Pa Pa Pa Pa m s-1 m s-1 m s-1 m s-2 kg m-3 kg m-3 0 C m2s-1 Pa s
libra, funta, eng.: pound ; lbm masena libra; lbf libra libra u smislu sile stopa, eng.: foot palac, eng.: inch galon, eng.: gallon unca, eng.: ounce; fl oz – fluidna (volumna) unca; oz - masena unca
4
1. FLUID NJEG VA SVOJSTVA aterija se d jeli na čvrstu i tekuću. U čvrstom stanju materije moleku e se nalaze u kristalnoj rešetki s mali stupnjem lobode gibanja. Tekući e odn. fluidi jesu kapljevine ili plin vi. U stanju k pljevine mo lekule imaj ve ću slobodu gibanja i mogu zauz ti proizvolj n oblik zad žavajući isti v lumen, a u linovitom s anju molek le mogu za zeti proizv ljan prostor. Najveći dio vemira je u fluidnom stanju. Galaksije, zvijezde i plan ete u veće dijelu se p omatraju kao fluid. At osfera, oce ni, mora, j zera i rijek su fluidi. nutrašnjost zemlje je u fl idnom sta ju. Za got vo sve in ustrijske g ane važna e mehanik fluida: automobilska, a ionska, brodograđevna, kemijska i dustrija, e ergetika… Čovjekovo tijelo je ve im dijelom fl id. Za medi cinu je od v like važnos i poznavanje strujanja k vi i drugih luida u tijel . Definicija fluida: fluid je ( l.1.1, Sl.4.1.1). Fluid je
aterija koja se deformira za proizvoljno malo angencijaln naprezanje oguće pod jeliti na kapljevine (voda, ulje ...) i p linove (1.1. ). τ
Fluid
τ > 0,
( x , t ) > 0 r
Sl.1.1 Defi icija fluida
1.1 Fluid ao konti uum ustoća U mehanici fl ida stvarna molekularna struktura aterije zam enjuje se hi potetskim k ntinuumo k ji zadržava neprekidno t fizikalnih svojstava pr elazeći i u i finitezimal e volumen , odnosno u g aničnom pri jelazu i u n lti volumen, tj. u to čku. Na osnovu oga gustoć je moguće definirati na n čin
Δm . Δv →0 ΔV
ρ = lim
a.
b. Sl.1.2 De inicija gus oć e u toč ki 5
Na slici 1.2 a označen je volumen V . Potrebno je odrediti gusto ću u točki C(x0 ,y0 ,z 0 ). Srednja gustoća u volumenu V je ρ = m / V . Kako bi se odredila gusto ća u točki C definiran je maleni volumen δ V . Na slici 1.2b vidljivo je da smanjivanjem volumena δ V ispod granice δ V ' on sadržava samo mali broj molekula te je nemogu će fiksirati konačnu vrijednost δ m / δ V jer će vrijednost jako varirati kako molekule ulaze i izlaze iz volumena. Stoga, smanjivanje volumena δ V ne može i ći ispod minimalne vrijednosti δ V ' jer volumen mora sadržavati barem toliko mnogo molekula da statistički proračun daje pouzdanu i stabilnu srednju vrijednost fizikalnih svojstava i dinamičkih vrijednosti, a u tom slu čaju srednja gusto ća se približava asimptotskoj vrijednosti Sl.1.2b. Definirajući gustoću na takav način u beskona čno mnogo to čaka u fluidu, postavlja se gustoća fluida u obliku skalarnog polja ρ = ρ ( x, y, z , t ) .
U gornjem izrazu t je vrijeme pošto gusto ća može varirati u vremenu zbog rada u činjenog na fluidu ili sa fluidom i/ili zbog dovo đenja ili odvo đenja topline fluidu Sl.1.3. Elementarna čestica fluida, definirana je u tom skalarnom polju elementom mase δ m δ m = ρ ⋅ δ V .
Tako definirana čestica fluida ne smije se zamijeniti s pojmom molekule tvari. Kapljevine je prakti čki nemoguće toliko razrijediti da se ne bi mogla primijeniti hipoteza kontinuuma. Za razliku od kapljevina plinovi mogu do ći u tako razrijeđeno stanje da hipoteza kontinuuma više nije održiva. Kao kriterij primjenjivosti hipoteze kontinuuma najprikladniji je omjer slobodne putanje molekula l i karakteristične duljine L koja se zove Knudsenov broj K =
l L
.
< 0,01 plin se ponaša kao kontinuum. Na primjer, na visini od 200 km iznad Zemlje zrak je Za K ~ toliko razrijeđen da molekule u prosjeku pre đu udaljenost od približno 300m prije sudara. Kod računanja leta rakete duljine L=30 m nemoguće je stoga primijeniti hipotezu zraka kao kontinuuma.
Sl.1.3 Gustoć a vode
6
1.2 Tlak, stlačivost i brzina zvuka Tlak je intenzitet sile po jedinici površine. U mehanici fluida tlak nastaje bombardiranjem površine molekulama fluida, gdje površinu može predstavljati zamišljena površine unutar fluida ili površina strukture koja je u dodiru s fluidom. U SI sustavu jedinica za tlak je Pascal (Pa). Nestlačiv fluid definiran je izrazom ρ = const .
dok je gustoću nestlačivog fluida mogu će napisati u obliku ρ = m / V .
Praktično, kapljevine su nestlačive te se gornji izraz može primijeniti na njih. Efekt stla čivosti kod vode se javlja tek kod ekstremnog tlaka od p ~ > 1 GPa . Plinovi su stlačivi i u problemima mehanike fluida mogu se javiti kao kontinuum s prostorno i vremenski promjenjivom gusto ćom. Određena masa plina ne zauzima fiksni volumen i kontinuirano će se širiti ako nije ograni čena spremnikom. Realni plinovi se ponašaju približno prema zakonu idealnog plina. Idealni plin je potrebno razlikovati od pojma idealnog fluida pošto se pod pojmom idealnog fluida smatra fluid bez trenja, dok je idealan plin viskozan i u njemu se razvija smično naprezanje. Plin je stoga stla čiv prema zakonu idealnog plina pV = mRT
ili
p = ρ RT
gdje je R (Nm/kg K) plinska konstanta. Za zrak pri normalnim uvjetima R=287 (Nm/kg K). Efekt stlačivosti plinova prisutan je i kod transsoni čnog strujanja. Kod male izmjene topline i uz Machov broj M =
v c
< 0,3 plinovi pokazuju varijaciju gusto će do 5% i mogu se aproksimirati kao
nestlačivi.
Promjena faze tj. prijelaz iz plinovitog u stanje kapljevine i obrnuto u ovisnosti o tlaku i temperaturi mogu će je prikazati p-T dijagramom gdje je p tlak, a T temperatura. Na slici (Sl. 1.4) prikazan je p-T dijagram s izmjenama faza za vodu.
7
Sl.1.4 p-T dijagram izmjene faza za vodu
Koeficijent stlačivosti Stlačivost fluida izražava se koeficijentom stla čivosti. Ako se u jedinici volumena tlak pove ća za dp to će uzrokovati smanjenje volumena za –dV . Kvocijent dV κ = − V dp
se naziva koeficijentom stlačivosti ( Pa −1 ) (stišljivosti, kompresibilnosti).
Modul elastičnosti (Pa)
1/
Modul elastičnosti recipročna je vrijednost koeficijenta stla čivosti te se njime tako đer definira kako odre đeni fluid mijenja volumen (gusto ću) pri promjeni tlaka. Modul elasti čnosti je moguće je izraziti i izrazom
.
Velike vrijednosti modula elasti čnosti za odre đeni fluid indiciraju da je on relativno nestla čiv. TVAR VODA ZRAK (adijabatski) ZRAK (za konstantnu temperaturu) ČELIK STAKLO DIJAMANT
MODUL ELASTIČ NOSTI E[Pa] 2.2×109 1.42×105 1.01×10 5 1.6×1011 3.5×1010 4.42×1011
Tablica.1.1 Modul elasti čn osti za neke tvari
Koliko je puta zrak stla čiviji od vode ? 8
Izotermna i izentropska kompresija i ekspanzija Kod stlačivanja plinova odnos izme đu tlaka i gustoće ovisi o prirodi procesa. Ako se kompresija ili ekspanzija događa uz konstantnu temperaturu tada je taj proces izoterman te na osnovu jednadžbe idealnog plina slijedi p ρ
= const .
U slučaju da je proces kompresije ili ekspanzije izentropan tj. proces je bez trenja i ne dolazi do izmjene topline s okolinom vrijedi p ρ κ
= const . ,
gdje je koeficijent kvocijent specifič ne topline c p pri konstantnom tlaku i specifič ne topline cv pri konstantnom volumenu:
.
Specifične topline se odnose prema plinskoj konstanti na način: . Uvrstivši prethodno dane izraze odnosa tlaka i gusto će za izotermnu ili izentropsku kompresiju u izraz , za izoterman proces proizlazi modula elastičnosti , dok za izentropan proces vrijedi .
/
Stlačivo strujanje se često javlja u inženjerskoj praksi kod kompresora i raznih sustava s komprimiranim zrakom, zubarskih bušilica, ventilatora, pri prijenosu plinova u plinovodima pod visokim tlakom, transsoni čnih strujanja oko aviona i projektila itd.
Brzina zvuka Tlačni poremećaj u fluidu prenosi se odre đenom konačnom brzinom, a taj je fenomen posljedica stlačivosti fluida. Vibriraju ća zvučnička membrana stvara lokalni tla čni poremećaj – zvuk. Ta mala promjena tlaka širi se zrakom odre đenom brzinom koju nazivamo brzina zvuka c. Brzina zvuka ovisi o promjeni tlaka i gusto ći medija kroz koji putuje , a što je mogu će izraziti i korištenjem modula elasti čnosti
/
/. Obzirom da su ti poreme ćaji mali, izmjena topline je zanemariva pa se pretpostavlja da se proces događa izentropski. U prethodnom poglavlju definirano je da za izentropski proces vrijedi . Sada je moguće brzinu zvuka izraziti:
.
Upotrebom jednadžbe idealnog plina, brzina zvuka u plinovima može se definirati izrazom
√ , 9
kojim se pokazuje da je brzina zvuka proporcionalna kvadratnom korijenu apsolutne temperature T. Za zrak temperature 15 oC, plinsku konstantu i koeficijent specifičnih toplina . κ=1.4, proizlazi brzina zvuka
340.2
286.9 /
Brzina zvuka u vodi biti će mnogo ve ća zbog njene slabe stla čivosti (u praksi se pretpostavlja nestlačivost vode). Za vodu temperature 20 oC uz modul elastičnosti i gustoću moguće je izračunati .
998.2
/ 1481.2
2.19
Kada bi pretpostavili apsolutno nestla čiv fluid ( E = ∞ ) tlačni puls ponašao bi se na isti na čin kao i u krutom tijelu, gdje pomaknuta čestica trenutno pomiče sve čestice u mediju pa se efekt promjene tlaka osjeti trenutno.
Tlak zasićenja pare Isparavanje (ishlapljivanje) – izbacivanje molekula kapljevine u plin doga đa se kada neke molekule kapljevine imaju dovoljnu koli činu gibanja da svladaju me đumolekularne kohezivne sile. Ako se kapljevina zatvori u spremniku s malo zrakopraznog prostora (vakuuma) iznad površine fluida, prostoru iznad površine fluida rasti će tlak kako odbjegle molekule kapljevine ishlapljuju. Kada se stvori ravnoteža u smislu da je broj molekula koje napuštaju kapljevinu jednak broju molekula koje se vra ća u fluid smatra se da je para zasićena te se tlak pare tada naziva tlak zasićenja pare.
Vrenje – formiranje mjehuri ća pare unutar kapljevine po činje kada se apsolutan tlak u fluidu pri zadanoj temperaturi izjedna či s tlakom zasićenja pare (Sl. 1.4). Voda vrije u normalnim uvjetima (apsolutni tlak od 1 bar) pri temperaturi od 100 OC, dok na nadmorskoj visini od npr. 2000m pri atmosferskom tlaku od približno 80000 Pa voda vrije pri temperaturi od 93 OC, a u tla čnom loncu u kojem je apsolutni tlak od 3 bar voda vrije pri 134 OC. Vrenje je stoga mogu će inducirati pri zadanom tlaku pove ćanjem temperature ili na zadanoj temperaturi smanjenjem tlaka. Kavitacija. Fenomen vrenja te pojam tlaka zasi ćenja pare važni su pogotovo kod analize strujanja fluida u zatvorenim sustavima i turbostrojevima. Strujanjem u takvim sustavima fluid često dolazi u zone niskoga tlaka te ako je taj tlak niži od tlaka zasi ćenja pare dolazi do stvaranja mjehura pare u fluidu. Kada mjehuri pare budu strujom fluida „odnešeni“ dalje u podru č ja višega tlaka od tlaka zasićenja pare dolazi do imploziju mjehura pare koja se naziva kavitacija. U slučaju kada se implozija mjehura pare doga đa u blizini stijenke dolazi do ošte ćenja strukture zbog lokalno izrazito velikog tlaka koji nastaje pri mikroimplozijama.
1.3 Površinska napetost σ Granica između kapljevine i plina ili dviju kapljevina koje se ne miješaju naziva se površina. Na površini kapljevine razvijaju se sile koje uzrokuju da se površina ponaša kao neka vrsta membrane koja okružuje fluid. Iz tog razloga čelična igla može plutati na površini vode ili se javlja fenomen žive koja se formira u kuglice kada se stavi na glatku površinu pošto kohezivne sile površine nastoje držati sve molekule žive zajedno u kompaktnoj formi. Tlak u kapljici vode koja leti zrakom je veći nego tlak zraka koji ju okružuje. Površinska napetost se javlja radi neuravnoteženih kohezivnih sila izme đu molekula fluida na površini. Površinska napetost σ jest intenzitet privla čnih molekularnih sila po jedinici duljine bilo koje linije na površini. Dimenzija σ jest Nm-1.
10
Fenomen koji se javlja radi površinske napetosti je i povišenje (ili sniženje) stupca fluida u kapilari. U kapilarnoj cjev čici umetnutoj u vodu javit će se povišenje razine vode zbog me đudjelovanja kapljevine, plina i krute stjenke. U primjeru na slici 1.5 a između molekula krute stjenke i molekula kapljevine javlja se privla čna molekularna sila koja je ja ča od interne kohezivne molekularne sile među molekulama u kapljevini i koja zato uzdiže stupac kapljevine. Takva kapljevina se naziva vlažeća kapljevina.
Sl.1.5 Površinska napetost
Visina elevacije kapljevine u kapilari odre đuje se izrazom h=
2σ cos θ ρ gR
gdje je σ površinska napetost, R radijus kapilare, θ kut kontakta fluida i stijenke. Kut kontakta je funkcija i svojstava kapljevine i vrste stjenke. Za vodu u kontaktu sa staklom θ ≈ 0 o , dok živa u kontaktu sa staklom ima θ ≈ 130 o te je primjer nevlažećeg fluida u kontaktu sa staklom pošto je u adhezivna sila molekula krute stjenke slaba u usporedbi s kohezivnom molekularnom silom fluida. Površinska napetost ima važnu ulogu u strujanju kapljevina kroz tlo i poroznu sredinu, kod formiranja kapljica i mjehuri ća, disperziji mlaza kapljevine, penjanju vode kroz korijenje biljaka itd.
11
Sl.1.6 Veliko stablo sekvoje crpi i do 500 kg vode dnevno na visine i do 100m Efekt kapilarnosti omoguć uje da stablo kroz korijenje crpi vodu iz tla do iznad površine zemlje. Sun č eva energija preko procesa isparavanja i osmoze koja se doga đ a u stanicama listova diže vodu od površine zemlje do listova.
1.4 Viskoznost Fluid je tvar koja se kontinuirano deformira pod utjecajem smi čnog naprezanja ma kako malo to naprezanje bilo. Viskoznost – svojstvo otpornosti fluida prema smi čnoj deformaciji. Svojstvo suprotno viskoznosti jest fluidnost. Viskoznost je također i mjera unutarnjeg trenja u fluidu. Povezanost viskoznosti i trenja ukazuje na viskoznost kao svojstvo fluida zbog kojeg nastaju gubici pri strujanju. Viskoznost je svojstvo fluida koje se očituje tek pri gibanju fluida.
y U
F
u H
y
x Sl.4.1.1
Eksperiment – analiza viskoznosti fluida Između dvije paralelne plo če nalazi se neka tvar ( Sl.4.1.1). Donja plo ča je fiksna, dok na gornju djeluje sila F, koja proizvodi smi čno naprezanje τ = F/A na tvar među pločama. A je površina gornje ploče. Ako sila F prouzrokuje gibanje plo če stalnom brzinom, tada je mogu će zaključiti da je tvar me đu pločama fluid. Fluid u neposrednom kontaktu s čvrstom granicom ima istu brzinu kao 12
č rsta granica (tzv. ''no lip conditi n''). Pokus pokazuje d je sila F direktno pr porcionalna p vršini i brzini A i U i obrnuto propo cionalna de ljini sloja fluida H
AU , F = μ H g je je μ fakt r proporcio alnosti vez n za svojstva fluida. Kv ocijent U/H predstavlja rzinu kutne d formacije i općenitije a se može apisati
du dy
. Ako se nadalje u pre hodnu jedn džbu uvede
izraz za smi čno naprezanj τ = F/A. Slijedi Newto ov zakon vi skoznosti : τ = μ
u y
,
g je je τ smi no napreza je, du/dy br ina kutne d formacije p i 1D strujan ju fluida, a
[ Pa s]
dinamički koeficijent visk oznosti. Osnovna podjela fluida je na newton ke i nenew onske (njut nske, nenjutonske) flui e ( Sl.4.1.2). K od newtons ih fluida plinovi, ve ina kapljevina) postoji linearna re lacija (kao na Sl.4.1.1) između intenziteta smičnog naprezanj i odgovara uće brzine eformacije. Nenewtons i fluidi jesu n r. dugolan č ni hidrokar onati, krv, ubna pasta, neke boje, lato... ( Sl.4.1.2), a kod jih je odnos između intenziteta smičnog naprezanja i odgovarajuće brzine d eformacije elinearan.
Sl.4.1.2 Newtonski i nenewtons i fluid
Viskoznost se gotovo ne mijenja pro jenom tla a, a mijenj se s promjenom temp rature. Kod k pljevina, p većanjem emperature smanjuje s viskoznos , dok se k od plinova povećanje temperature v skoznost povećava ( Sl.4 .1.3.a,b).
13
a viskoznost u ovisnosti o temperaturi, za neke fluide Sl.4.1.3a,b Dinami č ka i kinemati čk
Dijeljenjem koeficijenta dinami čke viskoznosti s gusto ćom fluida dobiva se koeficijent kinematič ke μ ⎡ m 2 ⎤ viskoznosti fluida ν = ⎢ ⎥ . Kinematička viskoznost se često koristi u mehanici fluida i ρ ⎣⎢ s ⎦⎥ inženjerstvu i predstavlja mjeru otpora fluida smi čnoj deformaciji odn. te čenju pod djelovanjem sile gravitacije. Na slikama Sl.4.1.3a,b uočljivi su različiti međusobni odnosi dinami čkog odn. kinematičkog viskoziteta za neke fluide (npr. voda i živa Sl.4.1.3a,b). Za vodu pri normalnim 2 −6 ⎡ m ⎤ uvjetima vrijedi ν ≈ 1⋅10 ⎢ ⎥ = 1 cSt (centi Stokes), odn. μ ≈ 1⋅10 −3 [ Pa s] = 1 cP (centi Poise). ⎣⎢ s ⎦⎥ Spomenute su starije jedinice za kinemati čku viskoznost Stokes i dinamičku viskoznost Poise koje su još ponegdje u upotrebi.
14
e viskoznosti rotacijskim viskozimetrom PRIMJER 1.1: Mjerenje dinami čk
Uz zadanu brzinu kutne deformacije du/dy te mjerenjem smi č nog naprezanja τ , moguć e je pomoć u Newtonovog zakona viskoznosti τ = μ
du dy
, izrač unati koeficijent dinami čk e
viskoznosti μ . Rotacijski viskozimetar se u osnovi sastoji od vanjskog rotiraju ć eg cilindra i unutarnjeg, koncentri čn og, stacionarnog cilindra Sl.4.1.P1. Mjerenjem torzijskog momenta T na unutarnjem stacionarnom cilindru mogu ć e je izrač unati smi čn o naprezanje.
Sl.4.1.P1 Shematski prikaz rotacijskog viskozimetra
Unutarnji je cilindar u dodiru s fluidom preko "plašta" i dna. Ukupni torzijski moment izmjeren na unutarnjem cilindru je stoga
T = T C + T D gdje je T C torzija zbog smi č nog naprezanja na plaštu i T D torzija zbog naprezanja na dnu. Za plašt:
du
=
ω r 2
, dy b gdje je ω brzina rotacije vanjskog cilindra , a b zra č nost međ u cilindrima. Torzijski moment zbog trenja na plaštu je
T C
= τ ⋅ 2 r 1π ⋅ h ⋅ r 1 .
Uzevši u obzir prethodna dva izraza i Newtonov zakon viskoznosti slijedi
T C
=
2π r 12 r 2 hμ ω b
.
Za dno cilindra:
dA = r d θ ⋅ dr
15
dT D
= τ r dA = μ
r r ⋅ r d θ dr a
Integriranjem po dnu unutarnjeg cilindra slijedi:
T D
= T D
μ ω a
=
2π
r 1
∫ d θ ∫ r dr 0
μ ω
0 4 r 1 π
a
2
3
gdje je a zra č nost na dnu cilindra prema slici. Slijedi jednadžba za ukupni torzijski moment
T =
μ πω r 12
⎛ 2r 2 h r 12 ⎞ ⎜⎜ + ⎟⎟ . 2a ⎠ ⎝ b
Pošto je T ukupni torzijski moment izmjeren na unutarnjem cilindru iz gornjeg izraza direktno proizlazi dinami č ki koeficijent viskoznosti μ .
16
PRIMJER 1.2: Mjerenje kinemati č ke viskoznosti Sayboltovim viskozimetrom Princip mjerenja viskoznosti Sayboltovim viskozimetrom (Sl.4.1.P2 ) sastoji se u mjerenju vremena 3 potrebnog za istjecanje V L=60 cm fluida kroz kapilarnu cijev pod utjecajem gravitacije. Pri mjerenju se održava konstantna temperatura mjerenog fluida. Pošto fluid istje če pod utjecajem sile gravitacije važnost pri ovom mjerenju ima i gusto ća fluida te je mjerena viskoznost kinemati čka viskoznost ν.
Sl.4.1.P2 Shematski prikaz Sayboltovog viskozimetra Pri analizi strujanja kre će se od Hagen Poisseuilleove formule za strujanje viskoznog fluida kroz cijev ( Hagen Poisseuilleova formula će biti analizirana kasnije u poglavlju 6.1.2):
Δ p π D 4 . Q= 128μ L Dalje, definira se prosje čna piezometri čna visina za vrijeme istjecanja hL, poznat je volumen mjerenog fluida V L, protok Q se aproksimira Q
V L t ν =
=
= V L / t te se uzima Δ p = ρ g h L . Slijedi:
ρ g h L π D 4
128 μ L
π gD 4 h L
128V L L
⋅ t = C 1 ⋅ t .
Pošto je duljina kapilarne cjev čice L relativno malena dodaje se gornjem izrazu još i korekcijski faktor oblika C/t pa kona čno slijedi izraz za kinemati čki viskozitet oblika
ν = C 1t +
C 2 t
tj. približni odnos Sayboltovih sekundi i kinematičke viskoznosti jest
⎛ ⎝
ν = ⎜ 0.0022 t −
1.8 ⎞ −4 2 −1 ⎟ ⋅ 10 m s . t ⎠
17
PRIMJER 1.3: SAE gradacija viskoznosti motornih ulja S inženjerskog motrišta viskoznost je najvažnije svojstvo industrijskih maziva. Premalo viskozno mazivo pod silom strojnih nasjednih površina bude istisnuto te dolazi do kontakta strojnih elemenata i oštećenja. Previše viskozno mazivo npr. ne te če preko cijele ležajne površine te dolazi do oštećenja ili zbog svoje prevelike viskoznosti apsorbira previše energije koja se potom pretvara u toplinu te dovodi do pregrijavanja. Stoga je pravilan izbor odre đenog maziva, ulja za određenu industrijsku namjenu od izuzetne važnosti. Za pravilan izbor maziva odn. motornih ulja važna je njihova što preciznija klasifikacija. SAE (Society of Automotive Engineers) klasifikacija motornih ulja prema viskoznosti je najrašireniji i općenito prihvaćen sustav klasifikacije na svijetu. Prema SAE oznakama definiraju se dvije grupe viskoznosti: - sa oznakom W - kojom se klasificiraju ulja za zimske uvjete rada; - bez oznake - ulja za op ćenite uvjete rada. Viskoznost se kod ulja s oznakom W mjeri na sljede će načine: - simulatorima hladnog starta i testom pumpanja koji definira kriti čnu temperaturu pumpanja O - testom kod kojeg mora zadovoljiti minimalnu viskoznost kod 100 C. U simulatorima hladnog starta dobiva se dinami čka viskoznost u (Pa s), dok ta ulja moraju o također zadovoljiti i test minimalne kinematičke viskoznosti pri 100 C. Kod ulja bez oznake mjeri se samo kinemati čka viskoznost pri višoj temperaturi. U modernim motorima koriste se tzv. multigrade ulja koja se dobiju miješanjem prethodno navedenih dviju grupa ulja te ona zadovoljavaju kriterije viskoznosti pri niskim temperaturama i o zadovoljavaju također uvjete minimalne i maksimalne viskoznosti pri 100 C. Npr. ulje koje zadovoljava 10W uvjete i 30 uvjet označava se SAE 10W30 . SAE Viskoznost
0W 5W 10W 15W 20W 25W 20 30 40 50
ASTM D2602 Viskoznost (Pa s) o Max temp. ( C)
6200 6600 7000 7000 9500 13000
pri -35 pri -30 pri -25 pri -20 pri -15 pri -10
ASTM D3829 Granična temp. o pumpanja ( C)
ASTM D445 Minimalna viskoznost 2 o (mm /s) pri 100 C
ASTM D445 Maksimalna viskoznost 2 (mm /s) pri o 100 C
-35 -30 -25 -20 -15 -10
3,8 3.8 4,1 5,6 5,6 9,3 5,6 9,3 12,5 16,3
9,3 12,5 16,3 21,9
Tablica 4.1.P3 SAE klasifikacija viskoznosti motornih ulja U inženjerstvu se često koristi veličina indeksa viskoznosti "VI" . Unutarnje trenje u kapljevinama pa tako i mazivu je ve će pri nižoj temperaturi i manje pri višoj temperaturi. Npr. med pri niskoj temperaturi jedva da te če, a nakon zagrijavanja te če sasvim lako. Med i njemu slični fluidi imanju nizak indeks viskoznosti dok fluid koji podjednako te če i pri niskim i visokim temperaturama ima visok indeks viskoznosti. Raspon indeksa VI ide od VI=0 za ulja sa visokom osjetljivošću na viskoznost obzirom na temperaturu do cca. VI=200 za ulja kod kojih se viskoznost puno manje mijenja s promjenom temperature. U motorna ulja stoga se dodaju kemijski aditivi (obi čno dugolan čani polimeri) za poboljšanje indeksa viskoznosti, a što se posebno odnosi na miješana (multigrade) ulja.
18
2. STATIKA FLUIDA Statika fluida se bavi fluidom u stanju mirovanja. Fluid je u stanju mirovanja ako postoji koordinatni sustav u kojem je brzina čestica fluida u svakoj to čki jednaka nuli.
2.1 Sile, naprezanja i tlak u fluidu Sile u mehanici fluida dijele se na [Cauchy]: - masene ili tjelesne sile, u oznaci F m , (gravitacija, inercijska sila, centrifugalna sila, Coriolisova sila, elektromagnetska sila) - kontaktne ili površinske sile , u oznaci F s . r
r
a.
b. Sl.1.2
Masene i kontaktne sile u fluidu
r
Gustoća masene sile, u oznaci f , se definira u svakoj to čki promatranog tijela fluida kao
Δ F m Δ F m , = lim Δm → 0 Δm ΔV → 0 ρ ΔV r
r
f ( x 0 , y 0 , z 0 ) = lim r
gdje je Δm masa tijela ΔV koje sadrži to čku (xo, yo, zo) i Δ F m masena sila na to tijelo ( Sl.1.2). r
Gustoća kontaktne sile, u oznaci t , se definira u svakoj to čki tijela fluida kao r
Δ F S , t ( x, y , z ) = lim Δ A→ 0 ΔS r
r
gdje je ΔS površina diferencijalnog dijela ravnine definirane to čkom (x, y, z) i normalom n , te Δ F S kontaktna sila na ΔS ( Sl.1.3). Uz osnovna dva zakona statike fluida, koji su ujedno osnovni zakoni statike bilo kojeg kontinuuma, potrebno je definirati konstitutivnu relaciju za fluid koja se o čituje u definiranju tenzora naprezanja r
r
19
ontaktne sile K ontaktne ili površinske ile djeluju a plohu – g anicu tijela. Naprezanja proizlaze o kontaktnih sila koje djelu ju na granicu tijela. Ko ceptom nap ezanja objašnjava se način na koji se djelovanje sila koje djel ju na gran cu tijela pr enosi kroz ijelo. Obzir om da su i sila i ploha (definirana n rmalom) vektorske veli ine očigled o je da je p lje napreza ja skalarno polje. P etpostavim neku plo u u fluidu koji struji te kontakt u silu koj a djeluje na tu plohu. P etpostavim dalje dio t plohe – m lenu plohu δ A u sredi i koje se n lazi točka , kao što je p ikazano na lici. Kontak tnu silu δ F čiju gustoć označujemo sa t ) koja djeluje na alenu plohu δ moguće je rastaviti na dvije omponente, jednu u smjeru nor ale na pl hu i jednu tangencijalnu na plohu. N osnovu toga definiraju se normalno σ i tangencijalno napr zanje τ :
Sl. .5 Kontaktne sile u flui u
σ = lim
δ A→0
δ F δ A
i
τ = lim
δ A→0
δ F t δ A
.
(1.1.4.1)
S gment plohe – malena ploha δ A , slobodno j orijentirana u trodime nzijskom pr ostoru te se k mponente sile koja na n ju djeluje, d lje u kartezijevom koor inatnom sustavu rastavl jaju na x, y i A k roz njene p ojekcije pr ma koordinatnim osima z komponente. Isto tako naliziramo plohu δ
δ x , δ A y , δ z . Ako se prvo a alizira pr jekcija plo e - δ A x čija je normala smjeru osi x te se defi iraju limesi slično (1.1.4.1 ) dobivaju se komponen e naprezanja:
Sl.1.6
A x omponent sile i napr zanja na m lenu plohu δ
20
σ xx = im
δ x →0
δ F n, x δ A x
τ x = lim
,
δ A x →0
δ F t , y δ A x
τ xz = li
,
δ A x →0
δ F t , z δ A x
.
(1.1.4.2)
Naprezanja su označena d ostrukim indeksima, gd je prvi inde s označuje rojekciju male plohe δ , a drugi i deks označ je smjer u k ojem naprezanje djeluje. Sukladno p ojekciji δ A x računaju se i označuju aprezanja i za druge pr jekcije. U y smjeru, na p rojekciji pl he - δ A y definiraju se
A z slično prethodnome, vri ede naprezanja σ zz , n prezanja σ y , τ yx , τ yz . Za projekcij plohe δ τ x , τ zy . Naprezanje u točki C po puno je de inirano def nicijom naprezanja na tri međusobno okomite, p ethodno opi sane plohe oje prolaze roz tu to čk . Skup pret odno defin ranih (devet) naprezanja za pisuje se u bliku tenzo a naprezanj
⎡σ xx τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ T σ = ⎢τ yx σ yy τ yz ⎥ . ⎢τ zx τ zy σ zz ⎥ ⎣ ⎦
(1.1.4.3)
oguće je do azati da je rethodno d finirani ten or simetrič n, tj. da vrijedi
τ yz = τ zy ,
τ zx = τ x ,
xy
= τ yx ,
(1.1.4.4)
te na osnovu oga proizla i da je za d finiranje st nja napreza ja unutar fluida potreb o poznavati šest skalarnih funkcija, m đusobno ra ličitih komponenti tenz ra naprezan a.
Sl.1.7
ač in označ vanja napr zanja
Na slici 1.7 p ikazan je i finitezimalni volumen graničen sa šest ploha, a dvije x plohe, dvije y plohe i dvije plohe. Nor ala svake lohe usmje ena je prema van u od osu na cent r elementa. 21
Na slici su radi zornosti prikazana naprezanja samo na x i y plohama. Npr. gornja ploha ( y ploha ) je pozitivna, a donja ( y ploha) negativna, što proizlazi iz usmjerenosti njihovih vektora normala obzirnom na odgovaraju ću koordinatnu os ( y os). Komponenta naprezanja je pozitivna ako su smjerovi komponente naprezanja i normale plohe na kojoj naprezanje djeluje oboje pozitivni ili negativni. Na slici 1.7 sva naprezanja prikazana su kao pozitivna. Komponente gustoće kontaktnih sila definiranih na po četku poglavlja mogu će je zapisati pomo ću komponenti naprezanja:
t x = σ xx i + τ xy j + τ xz k ,
t y = τ yx i + σ yy j + τ yz k ,
t z = τ zx i + τ zy j + σ zz k (1.1.4.5)
Prema definiciji, u fluidu u stanju mirovanja nema smi čnih naprezanja. Isto tako u idealnom fluidu (koji se giba ili miruje) koji predstavlja idealizirani model u kojem ne postoje viskozne sile tj. ne postoje smična naprezanja, ukupna kontaktna sila na bilo koju plohu unutar fluida kolinearna je s vektorom normale plohe. Za miruju ći realni fluid i gibaju ći ili mirujući idealni fluid vrijedi da jedina preostala komponenta naprezanja – normalna naprezanja σ ne ovise o orijentaciji plohe. Tu zakonitost definirao je Blaise Pascal (1623.-1662.). Pascalov zakon definira: „tlak u nekoj toč ki fluida koji miruje ili se giba, neovisan je o orijentaciji plohe na kojoj je to č ka, ako nema smi čn ih naprezanja “. Kod realnog gibaju ćeg fluida (kod kojeg stoga postoje smi čna naprezanja) normalno naprezanje u nekoj točki nije nužno isto u svim smjerovima tako da se u tom slu čaju tlak računa kao srednja vrijednost normalnih naprezanja u tri me đusobno okomita pravca (smjera). Za bilo koju točku unutar miruju ćeg ili idealnog fluida osim činjenice da ne postoje tangencijalna naprezanja τ = 0 vrijedi i σ xx
= σ yy = σ zz = − p
(1.1.4.6)
gdje je p tlak. Tenzor naprezanja (1.1.4.3) se stoga pojednostavljuje u
0 ⎤ ⎡− p 0 ⎢ ⎥. − T p = 0 p 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 − p ⎥⎦
(1.1.4.7)
odnosno, raspored unutarnjih kontaktnih sila dan je jednom skalarnom funkcijom – tlakom. Vektor gustoće kontaktne sile t ( x 0 , y 0 , z 0 ) = r
− t ⋅ n . r
r
moguće je stoga u miruju ćem ili idealnom fluidu jednostavnije izraziti pomo ću tlaka p. Vrijedi: t ( x 0 , y 0 , z 0 ) = − p ⋅ n r
r
Kad fluid miruje, sila fluida na plohu je okomita i tlak je uvijek isti, kako god orijentirali plohu Δs . Tlak je temeljna varijabla u mehanici fluida. Tlak u točki (x, y, z), p(x,y,z) , definiran je omjerom intenziteta kontaktne sile i površine plohe. Osnovna jedinica za tlak je paskal (Pa) i jednaka je kvocijentu sile od jednog njutna i površine od jednog metra kvadratnog, Pa (paskal) =N/m2. Često se koristi i jedinica bar = 105 Pa. 22
U tablici 1.1.4.1 dane su osim normalnog (normnog) tlaka na površini mora i druge normalne veličine. Svojstvo Temperatura Tlak Gustoća Viskoznost
Simbol T p ρ
Vrijednost 150C 101.3 kPa 1.225 kg/m3 1.781 10-5 Pa s
Tablica 1.1.4.1 Normalni uvjeti na površini mora PRIMJER 1.4: Primjena Pascalovog zakona u hidrauli čnim uređajima Pascalov zakon definira da pove ćanje tlaka u bilo kojoj to čki fluida zatvorenog u spremniku uzrokuje jednako pove ćanje tlaka u svim to čkama fluida u spremniku. Primijenjeno na slu čaj hidrauličke dizalice prikazane na slici vrijedi da je tlak na površini lijevog i desnog klipa isti
p1
= p2 .
Sila na klip manje površine A1 jest F 1 = p1 A1 pa slijedi da se sila na klipu ve će površine za idealan slučaj bez gubitaka trenja, multiplicira prema izrazu F 2
=
A2 A1
F 1 .
Multipliciranje sile istodobno pretpostavlja da će hod manjeg klipa biti znatno duži d 1 od hoda većeg klipa d 2 pošto volumen kojega prebriše manji klip mora biti jednak volumenu kojega prebriše veći klip (tamno siva podru č ja na slici). Pokazani princip koristi se kod raznih hidrauli čnih sustava: teških građevinskih strojeva – raznih kopa ča i buldožera, automehani čarskih dizalica, kočionih sustava u automobilu, hidrauli čnih preša itd.
23
2.2 Osnovni zakoni statike fluida U statici fluida vrijede dva osnovna zakona: 1. Suma sila na svako tijelo fluida jednaka je nuli. 2. Suma momenata na svako tijelo fluida jednaka je nuli.
2.3 Osnovna jednadžba statike fluida U poglavlju 1.1.4 pokazano je kako se tlak u to čki ne mijenja s promjenom smjera plohe. Važno je definirati i na koji na čin se tlak u fluidu bez smi čnih naprezanja (miruju ćem ili idealnom) mijenja od točke do točke. Maleni dio tijela fluida oblika kocke prikazan je na slici 2.2.1. Na taj element djeluju: kontaktne sile zbog djelovanja tlaka te masena koja je jednaka težini elementa fluida. Ako se tlak u središtu elementa ozna či sa p, tada se srednje vrijednosti tlaka na plohama koje ome đuju element mogu izraziti pomo ću tlaka u središtu elementa p i njegovih derivacija (slika 2.2.1). Koristi se razvoj u Taylorov red kako bi se na osnovu tlaka u centru elementa aproksimirale srednje vrijednosti tlaka na stranicama uz istovremeno zanemarivanje članova višega reda kako se vrijednosti δ x , δ y , δ z približavaju nuli. Radi zornosti na slici nisu prikazane kontaktne sile u x smjeru. Rezultirajuća sila
Sl.2.2.1 Kontaktne i masene sile na segment fluida
u y smjeru je
24
⎛ ∂ p δ y ⎞ ⎛ ∂ p δ y ⎞ ⎟⎟δ xδ z − ⎜⎜ p + ⎟⎟δ xδ z = ⎜⎜ p − y y ∂ ∂ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
δ F y
odnosno slijedi
δ F y
=−
∂ p δ xδ yδ z . ∂ y
Sličnim postupkom dobivaju se kontaktne površinske sile za x i z smjer:
δ F x
=−
∂ p δ xδ yδ z ∂ x
δ F z = −
∂ p δ xδ yδ z . ∂ z
Vektorski zbroj definiranih komponenti δ F x , δ F y , δ F z daje rezultantnu kontaktnu površinsku silu δ F s
= δ F x i + δ F y j + δ F z k
odnosno δ F s
⎛ ∂ p ∂ p ∂ p ⎞ = −⎜⎜ i + j + k ⎟⎟δ xδ yδ z . ⎝ ∂ x ∂ y ∂ z ⎠
Jedinični vektori po koordinatnim osima x, y, z označeni su i, j, k , dok su u prethodnom izrazu u zagradi članovi koji čine gradijent tlaka i mogu se kraće zapisati pomoću operatora ∇ (nabla) ili grad na sljedeći način:
∂ p ∂ p ∂ p i + j + k = ∇ p = grad p . ∂ x ∂ y ∂ z Osim kontaktnih površinskih sila u analizu je potrebno uklju čiti djelovanje gravitacijske (masene) sile na element fluida pa slijedi izraz za težinu elementa fluida
− δ W = − ρ g δ xδ yδ z k gdje negativan predznak zna či da je z os usmjerena prema gore tj. suprotno djelovanju gravitacijske sile. Ako se sve sile (i kontaktne površinske i masene) sumiraju i uklju če u drugi δ F = δ m a koji djeluje na element fluida, slijedi Newtonov zakon
∑
δ F s
− δ W = δ m a
odnosno
− grad p δ xδ yδ z − ρ g δ xδ yδ z k = ρδ xδ yδ z a − grad p − ρ g k = ρ a .
25
Dobiveni izraz jest Eulerova jednadžba gibanja, za fluid bez smi čnih naprezanja. Za slu čaj mirujućeg fluida a = 0 pod djelovanjem gravitacijske sile prethodni izraz se reducira u
− grad p = ρ g k . Ako se prethodni izraz poop ći tako da vrijedi za slu čaj mirujućeg fluida pod utjecajem masene sile u općenitom smislu, proizlazi osnovna jednadžba statike fluida
grad p = ρ f gdje f označava gustoću ( sila / masa) masene sile jedinice ms -2. Osnovna jednadžba statike fluida predstavlja sustav diferencijalnih jednadžbi: ∂ p ∂ x
∂ p
= ρ f x
∂ y
= ρ f y
∂ p ∂ z
= ρ f z
Zadatak statike fluida sastoji se u tome da se iz osnovne jednadžbe statike fluida uz poznatu f gustoću volumne sile i ρ - gustoću (mase), izračuna raspodjela tlaka p(x,y,z). Osnovna jednadžba statike izražava zakonitost da je najve ća promjena tlaka ( grad p ) u mirujućem fluidu u smjeru masene sile f . Gradijent tlaka je vektor okomit na izobaru (plohu jednakog tlaka).
2.4 Fluid konstantne gustoće u polju sile teže Za mirujući fluid konstantne gustoće (homogeni fluid) u polju sile teže potrebno je definirati jednadžbu tlaka i izobare - plohe jednakog tlaka. Koordinatni sustav definiran je tako da je r
r
f = g k ,
gdje je g = 9,81 m/s2 ubrzanje sile teže ( Sl.1.4), odnosno gusto ća masene sile gravitacije. zrak
x
p0 y
voda
Izobare
z f = g . k
Sl.1.4 Mirujuć i fluid u polju sile teže
Osnovna jednadžba statike fluida napisana po komponentama glasi: ∂ p ∂ x
= 0,
∂ p ∂ y
= 0,
∂ p ∂ z
= ρ g .
Iz prve dvije jednadžbe izlazi da je p funkcija samo varijable z , tj. p = p ( z ). Treća diferencijalna jednadžba je: 26
dp dz
= ρ g .
Opće rješenje ove jednadžbe je p ( z )
= ρ gz + C .
Konstanta integracije C se odre đuje iz poznavanja tlaka u jednoj to čki fluida. Za z = 0, prema slici Sl.1.4 tlak je p = p0 pa slijedi vrijednost konstante integracije C: p (0 )
= p 0 = C .
Iz prethodnog izraza vidljivo je: Izobare, plohe jednakog tlaka, su ravnine z = C , gdje je C proizvoljan broj, odnosno izobare su ravnine okomite na smjer sile teže. Na odre đenoj dubini fluida z = h tlak je: p ( z ) = p 0
+ ρ gh .
2.5 Mjerenje tlaka Barometar Barometar je instrument za mjerenje atmosferskog tlaka. Princip barometra [Torricelli, 1643] je prikazan na Sl.1.5. Cijev dužine 1m napunjena je živom i uronjena u posudu sa živom . Živa u cijevi ostane na visini H, približno 760 mm , iznad površine žive u posudi. p
0
C
h
B
A
patm
živa Hg
Sl.1.5 Barometar
Prema Sl.1.5: p A = p atm p B p atm
= p A ,
(atmosferski tlak) pC ≈ 0
(vakuum) ,
p B
= pC + ρ Hg ⋅ g ⋅ h
= p B = ρ Hg g h = 13600 kg / m 3 ⋅ 9.81 N / kg ⋅ 0.76 m = 1.01396 ⋅ 10 5 Pa = 1.01396 bar
27
Manometar Manometar je instrument koji mjeri tlak pomo ću stupca fluida. Princip rada manometra je prikazan na Sl.1.6 . Sa slike mogu će je zaključiti: zrak
p
atm
A
H h C
B
voda
Sl.1.6 Manometar
p B
= p C
p C
= ρ fluida g h + p atm
p B
≅
p A
Diferencijalni manometar Diferencijalni manometar prikazan na Sl.1.7 mjeri pad tlaka u dijelu cijevi. Vrijedi: p C
= p A + ρ g ( x + Δh ) ,
p D
= p B + ρ g x + ρ m g Δh
Sl.1.7 Diferencijalni manometar
Izobara povučena kroz točke C i D daje p C = p D . Slijedi: p A
− p B = ( ρ m − ρ ) g Δh
U slučaju da u cijevi Sl.1.7 struji zrak, a mjerni fluid je voda, gornji izraz za razliku tlakova moguće je aproksimirati p A − p B ≈ ρ m g Δh , 28
pošto je mjerni fluid ( voda ρ m = ρ voda ) u ovom slu čaju približno tisuću puta gušći od fluida čiju razliku tlakova mjerimo ( zrak ρ = ρ zrak ).
2.6. Relativno mirovanje fluida Relativno mirovanje, inercijski i neinercijski koordinatni sustav Newtonovi zakoni vrijede uz pretpostavku da se sva opažanja ili mjerenja čine u odnosu na koordinatni sustav koji miruje u prostoru. Tako đer, moguće je pokazati da ako Newtonovi zakoni vrijede za odre đeni koordinatni sustav oni tako đer vrijede i za neki drugi koordinatni sustav koji se u odnosu na prvi giba konstantnom brzinom. Svi takvi koordinatni sustavi nazivaju se inercijski koordinatni sustavi ili Newtonski koordinatni sustavi . Sustav koji se prema inercijskom sustavu giba vremenski ili po smjeru promjenljivom brzinom, neinercijski je sustav. Prema d'Alembertovu principu inercijskih sila, moguće je transformirati ubrzano kruto tijelo u ekvivalentno stati čno tijelo dodajući inercijske sile i inercijski moment. Tako za fluid koji relativno miruje u neinercijskom sustavu, osnovna jednadžba statike fluida i dalje vrijedi, ako se u vanjske masene sile dodaju i inercijske sile. Da bi se mogao primijeniti taj princip potrebno je da fluid relativno miruje, tj. da nema relativnog pomicanja čestica fluida jednih prema drugima, već da se čitav fluid giba poput krutog tijela. Pretpostavimo tijelo koje se u odnosu na fiksni koordinatni sustav giba translacijski jednoliko ubrzano akceleracijom a . Ako se to tijelo promatra iz neinercijskog koordinatnog sustava koji se također giba jednolikim ubrzanjem a , ubrzanje nestaje, ali je potrebno dodati inercijsku silu gustoće a . Pod pojmom gusto će sile podrazumijevamo kvocijent sila/masa [m2s-1]. Slično, u sustavu koji rotira konstantnom kutnom brzinom pojavljuje se nehomogena masena centrifugalna sila a c (vidjeti u poglavlju Fluid u rotirajućem spremniku). r
r
r
r
Zemlja (tj. koordinatni sustav vezan za Zemlju) nije inercijski sustav, ali se prakti čno za mnoge realne primjene može smatrati inercijskim sustavom pod ograni čenjem da brzina promatranog gibanja nije prevelika. Ipak, utjecaji neinercijalnosti tog istog sustavu ponekad se ne mogu zanemariti, npr. djelovanje Coriolisove inercijske sile na velike mase geofluida, atmosfere i oceana pa se u tom slučaju koordinatni sustav vezan za Zemlju smatra neinercijskim.
Translatorno gibanje fluida uz konstantno ubrzanje Promatra se fluid u spremniku koji se giba konstantnim ubrzanjem a , ( Sl.1.8). r
Sl.1.8 Spremnik s fluidom giba se translacijski uz konstantno ubrzanje
29
U neinercijskom koordinatnom sustavu čvrsto vezanom na spremnik os z usmjerena je vertikalno uvis, os x je horizontalna i u smjeru gibanja. Prema izloženom principu, osnovna jednadžba statike fluida u spremniku koji se translacijski giba konstantnim ubrzanjem a u gravitacijskom polju r
r
Zemlje i dalje zadržava svoj oblik, ali je sada ukupna gusto ća masene sile f zbroj gustoće masene sile gravitacije i inercijske sile:
f = −a + g Osnovna jednadžba statike fluida uz navedene pretpostavke vrijedi te glasi: grad p = ρ ⋅ f = ρ (− a + g ) ,
odnosno po komponentama: ∂ p ∂ x
∂ p
= − ρ a
∂ y
∂ p
=0
∂ z
= ρ g .
Iz prethodnih izraza proizlazi p = p( x, z ) .
Sustav od dvije parcijalne diferencijalne jednadžbe rješavamo metodom varijacije konstante. Integracijom prve jednadžbe slijedi p
= − ρ ax + ( z )
Uvrštavanjem u tre ću jednadžbu dobije se:
∂ p d ϕ = = ρ g ,. ϕ ( z ) = ρ gz + C ∂ z dz Konačno se može napisati p
= − ρ a x + ρ g z + C .
Konstanta C se određuje iz poznavanja tlaka u proizvoljnoj to čki fluida. Izobare su ravnine (u XZ ravnini pravci): C 1
= − ρ a x + ρ g z + C a z = x + C 2 g
Prethodni izraz je jednadžba kosog pravca čiji je koeficijent smjera
a g
. Kut θ izobara u odnosu na
horizontalnu ravninu može se izra čunati iz koeficijenta smjera pravca izobare:
tan θ =
a g
.
30
Fluid u rotirajućem spremniku Fluid u spremniku koji rotira konstantnom kutnom brzinom ω, rotira kao kruto tijelo tj. nema relativnog pomicanja čestica fluida jednih prema drugima. Prema izloženom principu na po četku ovog poglavlja, čestice fluida miruju u neinercijskom koordinatnom sustavu koji je čvrsto vezan za spremnik.
Sl.1.9 Fluid u rotirajuć em spremniku – površina spremnika u obliku rotacijskog paraboloida
Gustoća masene sile sada je zbroj gusto će masene sile gravitacije i inercijske centrifugalne sile: r
f = g + ac r
r
gdje je a c gustoća centrifugalne sile (koja odgovara centrifugalnom ubrzanju spremnika obzirom r
r
na apsolutno miruju ći koordinatni sustav). Treba uo čiti da se f = g + ac mijenja po smjeru i intenzitetu počevši od osi rotacije do ruba posude. U cilindričnom koordinatnom sustavu (gdje je ishodište sustava na dnu posude, a osi z i r usmjerene kako je prikazano na slici Sl.1.9) je r
2
r
r
r
f = ω r e r + 0 ⋅ eϕ + (− g )k . r
r
i gradijent tlaka grad p
=
∂ p ∂ r
1 ∂ p
e r + r
r ∂ϕ
eϕ r
+
∂ p
r
∂ z
k .
Osnovna jednadžba statike fluida po komponentama jest: ∂ p ∂ r
= ρ ω 2 r
1 ∂ p r ∂ϕ
∂ p
=0
∂ z
= − ρ g
te slijedi p = p(r,z). Integracijom prve jednadžbe dobiva se 2
p (r , z ) = ρ ω
r 2
2
+ ψ ( z ) .
31
gdje je ψ(z) proizvoljna funkcija varijable z. Ako se navedeni izraz uvrsti u tre ću jednadžbu, nalazimo: dp dz
=
d ψ dz
= − ρ g , odnosno
ψ = − ρ g z + C
Konačno, polje tlaka je definirano relacijom: p ( r , z )
= − ρ g z + ρ ω
2
r 2
2
+ C
Konstanta integracije C se dobije iz poznavanja tlaka u proizvoljnoj to čki fluida (npr. na površini fluida p=p0): p ( r , z )
= ρ ω
r 2
2
2
+
ρ g ( Z 0
− z ) +
p0
Izobare, plohe konstantnog tlaka, su rotacijski paraboloidi: z =
ω 2 r 2
2 g
+ Z 0 .
Ako fluid ima slobodnu površinu, onda je ona izobara – rotacijski paraboloid. Volumen rotacijskog paraboloida jest pola volumena valjka visine Z R V R
1 = R 2π Z R , 2
gdje je ( Sl.1.9): Z R
=
ω 2 R 2
2 g
.
32
2.7. Sile fluida na ravnu plohu Potrebno je izra čunati silu fluida na ravnu plohu A prikazanu na slici. Pretpostavimo op ćeniti slučaj gdje je zatvoreni spremnik djelomi čno napunjeno fluidom. U spremniku iznad površine vode vlada predtlak p 0 , tj. tlak iznad površine fluida je za p 0 veći od tlaka s vanjske strane plohe A. Na r
F u smjeru normale n ( Sl.2.7.1): infinitezimalni dio plohe dA djeluje sila d r
Sl.2.7.1 Sila fluida na ravnu plohu
d F = p ⋅dA ⋅n . r
r
Ukupna sila je (vektor normale u ovom slu čaju je konstanta):
∫
F = n p dA , r
r
A
a intenzitet sile jednak je:
∫
F = F = p dA . r
A
Za slučaj fluida konstantne gusto će u konstantnom gravitacijskom polju tlak je definiran relacijom: p = ρ g h + p 0
h = y sinα , p = ρ g y sin α + p 0 33
gdje je p 0 predtlak iznad površine fluida. Sada za silu vrijedi: F
= ∫ ( p0 + ρ g ⋅ y sin α )dA = ρ g sin α ∫ ydA + p0 ∫ dA = p0 A + ρ g sin α ∫ ydA , A
A
A
A
Prvi moment plohe A oko osi x definiran je izrazom
∫ ydA = y A , T
A
gdje je yT ordinata težišta T(xT , , yT ) površine A. Slijedi izraz za intenzitet sile fluida na plohu A: F = p 0 A + ρ g sin α yT A
Centar tlaka Centar tlaka je točka P(xP, yP) za koju vrijedi: M x = y P F ,
M y = x P F
gdje su M x i M y momenti sile fluida oko osi-x i osi-y uzrokovani djelovanjem tlaka fluida po površini A. Kako se ukupni moment oko x-osi zbog tlaka po površini A može zapisati izrazom M x
= ∫ dM x = ∫ ydF = ∫ ypdA = ∫ y( p 0 dA + ρ g ⋅ y ⋅ sin α ⋅ dA) = p 0 ∫ y dA + ρ g ⋅sin α ∫ y 2 dA A
A
A
A
A
A
slijedi da je: y P F = ρ g ⋅sin α I xx
y P =
+ p 0 y T A ,
+ p0 yT A ρ g sin α ⋅ yT A + p0 A
ρ g sin α I xx
gdje je I xx (drugi moment inercije plohe A prema osi x ): I xx
= ∫ y 2 dA . A
Prema teoremu paralelnih osi I xx je moguće izraziti i pomoću izraza 2
I xx = I ξξ + yT A
gdje je I ξξ (Sl.2.7.3) drugi moment inercije plohe prema osi ξ koja prolazi kroz težište plohe T i paralelna je s osi x, kao što je prikazano na Sl.2.7.1. Izrazi za druge moment inercije I ξξ i produkt inercija I ξη za različite geometrijske likove dani su na Sl.2.7.3 Na analogan način moguće je dobiti i x-koordinatu centra tlaka:
34
x P F =
∫∫ x pdA = ρ g sin α ∫∫ x ydxdy + p ∫∫ xdxdy = ρ g sin α I 0
A
A
x P =
xy
+ p 0 xT A
A
+ p 0 xT A , ρ g sin α y T A + p 0 A
ρ g sin α I xy
pri čemu je: I xy
= ∫ xydxdy A
produkt inercija plohe A (ili centrifugalni moment plohe A) obzirom na prethodnom slučaju prema teoremu paralelnih osi I xy je moguće izraziti i kao
osi x i y. Kao i u
I xy = I ξη + xT yT A
gdje je I ξη (Sl.2.7.3) produkt inercija prema pravokutnom koordinatnom sustavu ξ − η koji ima ishodište u težištu T i dobiven je translacijom koordinatnog sustava x-y. U slučaju da je ploha A simetrična tj. njena os simetrije paralelna je s osi y (Sl.2.7.1) centar tlaka P nalazi se upravo na osi simetrije ispod točke težišta T te je tada x P = xT odnosno I xy = 0 , I ξη = 0 (Sl.2.7.3).
Sl.2.7.3 Drugi moment inercije plohe za osi ξ − η koje prolaze kroz težište plohe
35
Vanjski tlak isti s obje strane plohe Za slučaj da je vanjski tlak s vanjske strane plohe A isti onome iznad površine fluida ( Sl.2.7.2), tj. ako je predtlak p 0 = 0 , poništava se djelovanje vanjskog tlaka te iz prethodno izvedenih izraza za intenzitet sile fluida na plohu i položaj centra tlaka nestaje p 0 : F 1
= p 0 A + ρ g ⋅ y T A ⋅ sin α
= p 0 A F 1 − F 2 = ρ g ⋅ y T A ⋅ sin α F = ρ g y T sin α A I ⋅ ρ g sin α I = xx . y P = xx yT A ⋅ ρ g sin α yT A F 2
Sl.2.7.2 Atmosferski tlak pa iznad površine fluida i s vanjske strane plohe
Translacijom koordinatnog sustava x-y u težište plohe A dobije se novi koordinatni sustav Ako se moment inercije I xx izrazi pomoću I xx ξ koja prolazi kroz težište plohe, slijedi:
ξ − η .
= yT 2 A + I ξξ , gdje je I ξξ moment inercije prema osi 2
y P =
I ξξ + yT A yT A
y P = yT
+
, tj.
I ξξ y T A
Slično, dobije se i x P = xT +
I ξη yT A
,
gdje je I ξη produkt inercija (Sl.2.7.3).
36
2.8. Sile fluida na plohu Na dio plohe S, dS, djeluje sila dF u smjeru vektora normale ( Sl.1.12): fluid
S
Δ FS n
ΔS Sl.2.8.1 Vektor sile fluida i vektor normale plohe istog su smjera i suprotne orijentacije
d F = − p ⋅dS ⋅n . r
r
Ukupna sila je:
∫
∫
F = − d F = − pndS . r
r
S
r
S
Vektor normale može se napisati kao n = n x i
r
r
r
+ n y j + n z k r
pri čemu je nx=cos α, ny=cos β, nz=cos γ, a α, β, γ kutovi koje vektor normale zatvara sa koordinatnim osima. Sila fluida na plohu po komponentama jest: F x
= ∫ pn x dS = ∫ pdA x , F y = ∫ pn y dS = ∫ pdA y , F z = ∫ pn z dS = ∫ pdA z S
A x
S
A y
S
Az
pri čemu su A x, A y, i A z odgovarajuće projekcije plohe S na ravnine yz, xz i xy.
37
Sl .2.8.2 Zakri ljena ploh
Z zakrivljen plohu S u irujućem fl idu s otvor nom površi om moguć je izraziti k omponente sile fluida na lohu. F x i F komponen e jesu
F x = −
T x
A x = − ρ ghT x A x ,
F y = − pT y A y = − ρ g T y A y .
Vertikalna ko ponenta sile fluida jest
∫
F z = pdA z A z
∫
ρ g hdA z . A z
O bzirom da j volumen fl uida izmeđ zakrivljene plohe S i slobodne pov ršine V =
∫ hdA
z
slijedi
A z
k načni izraz a intenzitet vertikalne k omponente ile fluida
F z = gV što predstavlja težinu flui a između zakrivljene pl he S i slobodne površin .
38
2.9. Uzgon Ukupna ontaktna sila mirujuće fluida na t ijelo djelomično ili potp uno potoplj no u fluidu z ve se uzgo . Intenzitet sile uzgona jednak je t žini istisnu og fluida. va zakonit st naziva se Arhimedov zakon prem gr čkom isliocu Ar imedu (287-212 pr.n. .). Uzgon na tijelo u mirujućem fl idu (pod dj elovanjem ravitacije) jeluje verti alno prem gore, supr otno smjeru djelovanja gr vitacijske ile jer je zrokovan porastom tlaka u fluidu s povećan em dubine. Horizontalne se komponente sile tlak a na površi u tijela međusobno po ništavaju. S la fluida na tijelo uronjen u njemu je t r
r
= ρ fluida ⋅ g ⋅V tijela ⋅ k U = F z = ρ gV tijela
o nosno, sila fluida na ti elo, uzgon (U ), ne ovi si o gusto i (materijal ) tijela, ne o o gustoći fl ida, gravitacijskom ubr anju i volu enu tijela. Z državši se na izrečenim pretpost vkama da se horizontalne sile fl ida na ur njeno tijelo p ništavaju te da je sila u gona na tij lo u miruju em fluidu zrokovana orastom tla a u fluidu s p većanjem d bine i usmjerena vertik lno prema ore, za sluč j prikazan a sljedećoj slici vrijedi:
Sl.2.9.1 Uzgon
dF z = ( p 0 + ρ gh 2 )dA − ( p 0 O bzirom da je volumen el ementa dV = (h2
U =
z
ρ gh1 )dA = ρ g (h2 − h1 )dA .
− h1 ) A slijedi iz
az za uzgon
= ∫ dF z = ∫ ρ gdV = gV . V
Hvatište sile uzgona jest u težištu istis utog volumena fluida.
39
PRIMJER 2.1: Definiranje uzgona za tijelo koje je isplivalo na površinu Ako je težina tijela veća od uzgona, G > U , tijelo tone, ako je težina tijela jednaka uzgonu, G = U , tijelo lebdi u fluidu, a ako je težina tijela manja od uzgona, G < U , tijelo izranja. Nakon što je tijelo izronilo njegova težina je jednaka uzgonu, i vrijedi, npr. za tijelo na granici kapljevine i plina (vode i zraka), sljede će (Sl.2.9.2 ):
U = ρ 2 gV 2
zrak
ρ
voda
ρ
+ ρ 1 gV 1 = G
V1 1
Ω
2
V2
Sl.2.9.2 U ovom slučaju gustoća vode ρ 2 = 1000 kg / m 3 , znatno je veća od gustoće zraka ρ 1 = 1,29 kg / m 3 te je moguće zanemariti uzgon zraka. Tijelo je izronilo upravo toliko da se uspostavi ravnoteža između težine tijela G i uzgona na dio koji je ostao potopljen u fluidu:
U ≅ ρ 2 ⋅ g ⋅ V 2
≅ G.
PRIMJER 2.2: Uzgon na tijelo djelomi čn o potopljeno u fluidu fiktivna površina fluida
Gornja ploha G
D
E
D F
G
C
TIJELO
A
E
F
C
TIJELO
A
B
B
Donja ploha
Sl.2.9.3 Primjer rač unanja uzgona za tijelo djelomi č no uronjeno u fluid
Ako na slici Sl.2.9.3 označimo plohu CDA kao gornju plohu tijela i plohu ABC kao donju plohu tijela, uzgon na tijelo, potpuno ili djelomi čno potopljeno u fluidu, jednak je razlici vertikalne komponente sile fluida na donju plohu tijela i vertikalne komponente sile fluida na gornju plohu tijela. Sila na gore koja djeluje na donju plohu tijela jest, F G = ρ fluida ⋅ g ⋅ V ABCFGA , gdje je V ABCFGA volumen između donje plohe tijela i površine fluida (realne ili fiktivne.). Sila na dolje, koja djeluje da gornju plohu je F D = ρ fluida ⋅ g ⋅ V AEGA , gdje je V AEGA volumen izme đu gornje plohe tijela i površine fluida (realne ili fiktivne). Uzgon je jednak razlici: U = F G
− F D tj. za dani primjer na slici Sl.2.9.3
U = ρ fluida ⋅ g ⋅ V ABCFEA .
40
2.10. Stabilnost Tijelo potpuno uronjeno u fluid ili plutaju će tijelo, smatra se stabilnim, ako se nakon pomaka iz ravnotežnog položaja ono vra ća u prvobitni položaj.
Potpuno uronjeno tijelo Za slučaj potpuno potopljenog tijela koje ima težište T ispod centra uzgona C vrijedi da će pomak iz ravnotežnog položaja kreirati moment težine G i uzgona U koji će vratiti tijelo u po četni položaj te je takvo tijelo stabilno. Vrijedi da će potpuno uronjeno tijelo biti stabilno uvijek ako se težište nalazi ispod hvatišta uzgona.
Sl.2.10.1 Stabilno, uronjeno tijelo. Stabilizirajuć i moment vrać a u poč etno stanje
U slučaju da se težište T nalazi iznad hvatišta uzgona C pomak iz ravnotežnog položaja uzrokovat će prevrtanje tijela odnosno vrijedi da je potpuno uronjeno tijelo sa težištem iznad hvatišta uzgona u nestabilnom stanju.
Sl.2.10.2 Nestabilno, uronjeno tijelo. Destabilizirajuć i moment preokreć e tijelo
41
