TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN ESTUDIO DE CASOS. PRIMERA PARTE RESUMEN Las técnicas técnicas de optimizació optimización, n, conjuntamente conjuntamente con los sistemas informáticos informáticos,, se han convertido convertido en una poderosa herramienta para el diagnóstico y solución de múltiples problemas complejos, presentes en las ciencias de la administración, convirtiéndose en elemento decisivo, que aporta elementos importantes en la toma de decisiones. l !entro !entro de studio studio de "nvesti "nvestigac gacion iones es #zucar #zucareras eras y el $epart $epartamen amento to de %étodo %étodoss %atemát %atemático icoss y !omputación, ambos de la &acultad de !iencias conómicas y mpresariales de la 'niversidad de (riente en )antiago de !uba con más de *+ aos de e-periencia en la aplicación de estas técnicas ha considerado conveniente dar a conocer, en una monografa especial, algunas de las aplicaciones prácticas realizadas en las últimas tres décadas, .en diferentes sectores productivos y de servicios del territorio oriental, l objetivo fundamental de esta publicación es brindar a los estudiantes de pregrado de las carreras de conoma y de !ontabilidad y a los cursistas de $iplomados y %aestras de la &acultad de !iencias conómicas y mpresariales un material práctico que incida en la creación de habilidades para identificar los diferentes enfoques potenciales donde encuentran campo de aplicación las /écnicas de (ptimización y la utilización de la metodologa cientfica hasta la introducción de los resultados obtenidos en la práctica social. INTRODUCCIÓN Las /écnicas /écnicas de (ptimizaci (ptimización, ón, conjuntamente conjuntamente con los sistemas informáticos informáticos,, se han convertido en una poderosa herramienta para el diagnóstico y solución de múltiples problemas complejos, presentes en las !iencias de la #dministración, convirtiéndose en elemento decisivo para la toma de decisiones. 0ara la utilización de esta herramienta es necesario conocer su metodologa cientfica, as como poseer conocimientos mnimos de %atemáticas, stadstica %atemática y en especial de 1lgebra Lineal. l !entro !entro de studio studio de "nvesti "nvestigac gacion iones es #zucar #zucareras eras y el $epart $epartamen amento to de %étodo %étodoss %atemát %atemático icoss y !omputación, ambos de la &acultad de !iencias conómicas y mpresariales de la 'niversidad de (riente en )antiago de !uba con más de *+ aos de e-periencia en la aplicación de estas técnicas ha considerado conveniente dar a conocer, en una publicación especial, algunas de las aplicaciones prácticas en diferentes sectores productivos y de servicios del territorio oriental, realizadas en las últimas tres décadas. décadas. l objetivo fundamental de esta publicación es brindar a los estudiantes de pregrado de las carreras de conoma y de !ontabilidad y a los cursistas de $iplomados y %aestras de la &acultad de !iencias conómicas y mpresariales un material práctico que incida en la creación de habilidades para identificar los diferentes enfoques potenciales donde encuentran campo de aplicación las /écnicas de (ptimización y la utilización de la metodologa cientfica hasta la introducción de los resultados obtenidos en la práctica social. l compendio de los estudios de casos, en su mayora son versiones simplificadas de la e-periencia de trabajo trabajo de los grupos antes mencionad mencionados. os. n total son son *2 casos que se e-ponen e-ponen de forma corrida corrida y a continuación se muestra, como solución, el planteamiento matemático de cada uno. )e distribuyen de la forma siguiente3 42 son de 0rogramación Lineal 5análisis de actividad, dietas, mezcla, transporte6, 7 son de 0rogramación en nteros y uno de 0rogramación por %etas. Metodología de las Técnicas de Oti!i"aci#n Las /écnicas de "nvestigación de (peraciones aparecen en los aos +8, a partir de entonces comienza a desarrollarse la metodologa para su utilización.. )us antecedentes se localizan localizan en las investigaciones de "saac 9e:ton, ;eorge $antzing, !harnes y !ooper, !ooper, #c
posibilidades de crear una base informática> posibilidades mnimas de poder aplicar los resultados. n este proceso e-iste una secuencia de pasos para llegar a la obtención de los objetivos propuestos3 observación e identificación del problema> formulación general> construcción del modelo> generación de una solución> prueba y evaluación de la solución>
implantación> perfeccionamiento y desarrollo. 9o es conveniente saltar ningún paso. O$se%&aci#n )e analiz analiza a el fenóme fenómeno no como como tal, tal, las interrela interrelacio ciones nes que tiene, tiene, las posibles posibles variab variables les,, el sistem sistema a organizativo bajo el cual se encuentra el fenómeno, se escuchan los criterios de e-pertos, se analiza el cumplimiento de las premisas fundamentales de las técnicas de optimización, que son3 #lternativa de decisión. !ondiciones de linealidad o no. %nimas condiciones organizativas. )e define conceptualmente cuál es el problema a resolver, se enuncian los objetivos y se establecen hipótesis, se consulta la bibliografa especializada. )e realizan contactos inter?especialistas y por último se elabora una ficha con un pequeo historial resumen de toda la observación realizada. 'o%!(laci#n s un problema problema secuencial, secuencial, se empieza empieza con una formulación formulación inicial basado en lo anterior y se perfecciona perfecciona en la medida en que se plantea el problema y se obtienen las primeras soluciones. %uchas veces el análisis del resultado incide en la formulación. @sta tiene dos aspectos3 general y concreto. La formulación general se utiliza en publicaciones publicaciones cientficas, en ponencias y eventos. 'n ejemplo de formulación concreta son los estudios de casos y los informes de tesis as como los informes ejecutivos que se entregan a los directivos de empresas una vez culminado el trabajo. La formulación del problema consta de los siguientes aspectos3 a6 &enómeno que se aborda. b6 Lugar y tiempo. c6 0equea descripción de lo que se quiere lograr. d6 0osibilidades de obtener la información y de solucionar el problema. e6 Los objetivos principales y secundarios Plantea!iento Mate!)tico s una respuesta a la formulación del problema "6 0lanteamiento %atemático ;eneral. l planteamiento matemático general consta de ndices, variables, parámetros, restricciones y función objetiva. ste planteamiento se utiliza en publicaciones, eventos, o cuando se tiene una idea de cómo se podrá modelar modelar un fenómeno fenómeno dado. l aspecto aspecto de las variables, variables, restricciones restricciones y función objetivo objetivo se trata bajo los mismos lineamientos del planteamiento concreto de trabajo. Los parámetros parámetros se definen con la misma rigurosidad rigurosidad que las variables 5cualitativ 5cualitativa a y cuantitativ cuantitativamente amente y tiempo6. Los ndices reflejan las diferentes combinaciones que se pueden dar con las variables. ""6 0lanteamiento %atemático. )e utiliza en el proceso de aplicación aplicación y al igual que la formulación formulación es secuencial. secuencial. 0uede ser corregido corregido o perfeccionado cuándo se tiene la solución del problema. !onsta de tres momentos3 a6 $efinición $efinición de la variable.? variable.? 0uede hacerse hacerse una a una o de forma general general 5si la cantidad de variables variables a definir es grande6, y a su vez incluye tres aspectos3 aspecto cualitativo3 Aqué es la variableB aspecto cuantitativo3 Aen qué unidad se mideB definición temporal3 Aqué perodo de tiempo abarcaB La variable representa el elemento elemento incógnito en el problema. ste momento es esencial en el planteamiento del problema, pues una mala definición de las variables repercute en la solución y proporciona un disparate. b6 0lanteamiento de las restricciones. C Lo fundamental de este paso es cuidar la homogeneidad que debe e-istir entre el término de la derecha y la e-presión de la izquierda, la cual está compuesta por varios elementos, los que deben ser homogéneos, para que al sumarse permita una lógica comparación. n este sentido el signo de la restricción es un aspecto clave. )i se desea que la suma de la e-presión de la izquierda sea como mnimo el valor de la derecha, el signo será mayor o igual, también se utiliza el menor o igual si se desea que la e-presión de la izquierda sea cuando más el valor de la derecha. )i se aspira a que sean e-actamente iguales se utilizará el smbolo de igualdad. c6 0lanteamiento de la función objetivo. C $ebe reflejar de una forma clara el objetivo del problema. )i es má-imo o si es mnimo en muchos casos su planteamiento es relativamente fácil, en otros se llega a través • • •
implantación> perfeccionamiento y desarrollo. 9o es conveniente saltar ningún paso. O$se%&aci#n )e analiz analiza a el fenóme fenómeno no como como tal, tal, las interrela interrelacio ciones nes que tiene, tiene, las posibles posibles variab variables les,, el sistem sistema a organizativo bajo el cual se encuentra el fenómeno, se escuchan los criterios de e-pertos, se analiza el cumplimiento de las premisas fundamentales de las técnicas de optimización, que son3 #lternativa de decisión. !ondiciones de linealidad o no. %nimas condiciones organizativas. )e define conceptualmente cuál es el problema a resolver, se enuncian los objetivos y se establecen hipótesis, se consulta la bibliografa especializada. )e realizan contactos inter?especialistas y por último se elabora una ficha con un pequeo historial resumen de toda la observación realizada. 'o%!(laci#n s un problema problema secuencial, secuencial, se empieza empieza con una formulación formulación inicial basado en lo anterior y se perfecciona perfecciona en la medida en que se plantea el problema y se obtienen las primeras soluciones. %uchas veces el análisis del resultado incide en la formulación. @sta tiene dos aspectos3 general y concreto. La formulación general se utiliza en publicaciones publicaciones cientficas, en ponencias y eventos. 'n ejemplo de formulación concreta son los estudios de casos y los informes de tesis as como los informes ejecutivos que se entregan a los directivos de empresas una vez culminado el trabajo. La formulación del problema consta de los siguientes aspectos3 a6 &enómeno que se aborda. b6 Lugar y tiempo. c6 0equea descripción de lo que se quiere lograr. d6 0osibilidades de obtener la información y de solucionar el problema. e6 Los objetivos principales y secundarios Plantea!iento Mate!)tico s una respuesta a la formulación del problema "6 0lanteamiento %atemático ;eneral. l planteamiento matemático general consta de ndices, variables, parámetros, restricciones y función objetiva. ste planteamiento se utiliza en publicaciones, eventos, o cuando se tiene una idea de cómo se podrá modelar modelar un fenómeno fenómeno dado. l aspecto aspecto de las variables, variables, restricciones restricciones y función objetivo objetivo se trata bajo los mismos lineamientos del planteamiento concreto de trabajo. Los parámetros parámetros se definen con la misma rigurosidad rigurosidad que las variables 5cualitativ 5cualitativa a y cuantitativ cuantitativamente amente y tiempo6. Los ndices reflejan las diferentes combinaciones que se pueden dar con las variables. ""6 0lanteamiento %atemático. )e utiliza en el proceso de aplicación aplicación y al igual que la formulación formulación es secuencial. secuencial. 0uede ser corregido corregido o perfeccionado cuándo se tiene la solución del problema. !onsta de tres momentos3 a6 $efinición $efinición de la variable.? variable.? 0uede hacerse hacerse una a una o de forma general general 5si la cantidad de variables variables a definir es grande6, y a su vez incluye tres aspectos3 aspecto cualitativo3 Aqué es la variableB aspecto cuantitativo3 Aen qué unidad se mideB definición temporal3 Aqué perodo de tiempo abarcaB La variable representa el elemento elemento incógnito en el problema. ste momento es esencial en el planteamiento del problema, pues una mala definición de las variables repercute en la solución y proporciona un disparate. b6 0lanteamiento de las restricciones. C Lo fundamental de este paso es cuidar la homogeneidad que debe e-istir entre el término de la derecha y la e-presión de la izquierda, la cual está compuesta por varios elementos, los que deben ser homogéneos, para que al sumarse permita una lógica comparación. n este sentido el signo de la restricción es un aspecto clave. )i se desea que la suma de la e-presión de la izquierda sea como mnimo el valor de la derecha, el signo será mayor o igual, también se utiliza el menor o igual si se desea que la e-presión de la izquierda sea cuando más el valor de la derecha. )i se aspira a que sean e-actamente iguales se utilizará el smbolo de igualdad. c6 0lanteamiento de la función objetivo. C $ebe reflejar de una forma clara el objetivo del problema. )i es má-imo o si es mnimo en muchos casos su planteamiento es relativamente fácil, en otros se llega a través • • •
de una secuencia de e-presiones algebraicas que finalmente deben hacerse corresponder con con el objetivo deseado. n ocasiones, la función objetiva se plantea en forma ponderada de una variable y haciendo caso omiso del valor numérico encontrado al final. Sol(ci#n* an)lisis + co%%ecci#n de %es(ltados /eniendo en cuenta el desarrollo de los sistemas informáticos, es posible acceder fácilmente a soft:ares profesionales para dar solución a los modelos matemáticos diseados. $e igual manera, disear sistemas informáticos especiales es otra práctica común en estos tiempos. n este sentido, este punto se ha ido por encima de la formulación y del planteamiento. 'na vez obtenida la solución se requiere hacer determinadas compro comprobaci bacione oness que confir confirmen men los resulta resultados. dos. stas stas compro comprobaci bacione oness reperc repercute uten n en la formul formulaci ación ón y planteamiento del problema y en la verificación de los parámetros utilizados, los cuales ya han sido determinados previamente mediante una base informática preestablecida, es decir> mediante la estadstica o los criterios de un e-perto incluso mediante las técnicas borrosas. La solución de un problema no debe ser comentada hasta tanto no se haya verificado la validez y adaptación adaptación al campo de aplicación, aplicación, en caso contrario contrario esto puede ser perjudicial perjudicial en la introducción introducción de los resultados. ,alidaci#n n la práctica se lleva a cabo mediante mediante los juegos de implementació implementación n definidos en la /eo /eora ra de Le:in ? D )hein . stos juegos se desarrollan simulando algunos de los componentes del sistema bajo estudio, y utiliz utilizando ando como como herrami herramienta enta de simula simulació ción n los result resultado adoss obteni obtenidos dos 5Euego 5Euego>> proceso proceso simula simulador dor de resultado6. Int%od(cci#n de %es(ltados La introducción implica la estrategia o acción en el sistema que ha sido modelado y que va a tener en cuenta los resultados resultados obtenidos. !laro que la dinámica dinámica productiva muchas veces en muy rápida pero para introducir los resultados en la práctica se hacen necesario su seguimiento de manera que se pueda corregir cualquier alteración que surja en el proceso.
Est(dios de Casos Caso ')$%ica de 'e%tili"antes de N(e&itas Eoaqun Fernández, sub.? director de producción de la &ábrica de &ertilizantes de 9uevitas, necesita plantear la combinación de fertilizantes para el siguiente mes y no tiene claro cómo va a proceder para elaborar el plan. La fábrica de fertilizantes de 9uevitas es una empresa pequea de productos qumicos que fabrica, entre otros artculos, dos tipos de fertilizantes que se elaboran combinando ingredientes que se compran con proveedores e-ternos. !ada mes, Fernández tiene que planear la cantidad de cada tipo de fertilizantes que debe producirse. )u plan debe tomar en consideración el costo de los ingredientes, el precio de venta de los fertilizantes y las restricciones impuestas al uso de los recursos de la empresa3 mano de obra, materias primas o tiempo de máquina. Conside%aciones de %od(cci#n Los dos fertilizantes que se fabrican son las mezclas denominadas +?+?D8 y +?D8?+. n cada caso, el primer valor se refiere al porcentaje que el producto final tiene de nitrato qumico, el segundo valor se refiere al porcentaje del fosfato que aparece en el producto final y el tercer valor da el porcentaje de potasio. l fertilizante se estabiliza con un material de relleno que podra ser barro. 0or ejemplo, el +?+?D8 está elaborado con un +G de nitrato, +G de fosfato y D8G de potasio y el H8G restante es barro. La empresa distribuidora comprará cualquier cantidad de ambos fertilizantes y está dispuesta a pagar I2D.+8 por tonelada tonelada de +?+?D8 y IJ8 por tonelada del +?D8?+. ste mes, la disponibili disponibilidad dad y costos de materias primas son D D88 toneladas de nitrato a I488 por tonelada, D H88 toneladas de fosfato a IH8 cada una y 4 888 toneladas toneladas de potasio potasio a IDJ8 cada una. l relleno está disponible disponible en cantidades cantidades ilimitadas ilimitadas al precio de ID8 por tonelada> pero para los otros tres ingredientes sólo se dispone de las cantidades mencionadas antes. 9o hay restricciones para el uso de la mano de obra ni tampoco para el empleo de la maquinaria durante el mes, pero se tiene un costo de ID+ por tonelada por concepto de mezclado de los fertilizantes. La pregunta que Fernández debe resolver es3 A!ómo utilizar los recursos escasos 5nitrato, fosfato y potasio6 de que dispone, de manera que se obtengan las mayores utilidades para la empresaB Caso E!%esa C($ana de Cal"ado 1 Teoría expuesta en el libro “Modelos Cuantitativos para la administración” de Roscoe, Davis; Mceo!n, "atric# $niversit% o& 'eor(ia# 'rupo )ditorial *beroamericano# 1++1
La mpresa !ubana de !alzado es una empresa que fabrica zapatos K-clusivos. La empresa empresa produce produce calzados calzados de e-portación e-portación para caballeros3 caballeros3 =apato tipo 0rimavera, 0rimavera, Motines y 0antuflas 0antuflas de estilo abierto. l gerente de producción tiene el problema de decidir cuál es el mejor programa de fabricación para el siguiente mes. 0ara lograr este objetivo debe evaluar que mezcla de fabricación de los tres estilos producirá la mayor contribución a las utilidades, al mismo mismo tiempo que satisfaga diversos requerimientos financieros y de producción. Los datos de la tabla 9N D describen la operación de manufactura para la empresa y se recopilaron en meses anteriores de operación. -iste una oferta ilimitada de piel para el fabricante> sin embargo se dispone de un má-imo de D 488 horas de producción durante el siguiente mes. l tiempo de producción cuesta ID8.88 por hora> en tanto, el costo por cada unidad de piel es de IO.88. La empresa hace todas sus ventas a mayoristas, que le pagan de inmediato en efectivo toda la mercanca, por lo cual no tiene cuentas por cobrar. Los precios de venta para cada par de zapatos a los mayoristas son de IJ8.88, IJO.88 y I+8.88, respectivamente, para los tres estilos. Los costos costos fijos para el siguiente mes de operación son de I* 888 y el saldo actual de efectivo es de IDJ +J8.88. l gerente de producción tiene comprometidos los siguientes pedidos para los diferentes estilos3 *8 zapatos tipo 0rimavera, ++ Motines y *4 0antuflas de estilo abierto. /abla /abla 9N D. $atos de producción para para la mpresa !ubana de !alzado. P%od(cto Tie!o de de o oe%aci#n o o% a a% de de Unidades de iel* o% a% de "aatos /0o%as1 "aatos. /ipo K0rimavera Motines 0antuflas
*.+8 4.+8 4.88
*.4+ O.+8 4.88
0ueden venderse todos los pares que se fabriquen durante el mes, que e-cedan esos pedidos ya comprometidos. s decir, el movimiento de la producción es tal que todos los zapatos que se fabriquen en un mes determinado se distribuyen durante el mismo y por ello no e-isten inventarios. Caso 2 E!%esa C($ana Taíno La mpresa !ubana /ano /ano perteneciente al )"% fabrica dos tipos de bombas hidráulicas3 normal y e-tra grande. l proceso de manufactura asociado con la fabricación de las bombas implica tres actividades3 ensamblado, pintura y pruebas 5control de calidad6. Los requerimientos de recursos para ensamble, pintura y prueba de las bombas se muestran en la tabla 9o.D. La contribución contribución a las utilidades utilidades por la venta de una bomba normal es I+8.88 I+8.88 en tanto que la utilidad utilidad por una bomba e-tra grande es I2+.88. -isten disponibles por semana O H88 horas de tiempo de ensamble, D 7H8 de tiempo de pintura y 788 horas de tiempo de prueba. 0or las necesidades mercado es necesario situar cuando menos *88 bombas normales y DH8 de las e-tra grandes por semana al %inisterio de la #gricultura. # los directivos de la empresa les gustara determinar la cantidad de cada tipo de bomba que debe fabricar semanalmente, con el objetivo de ma-imizar sus utilidades3
Tio 9ormal -tra grande
Tie!o de ensa!$le /03$1 *.J O.H
Tie!o de intado /03$1 D.J D.H
Tie!o de %(e$a /03$1 8.J 8.J
Caso 4 5a E!%esa C($ana de Aislado%es Eléct%icos La mpresa !ubana de #isladores léctricos, fabrica tres tipos de aisladores de uso industrial3 aisladores de aplicación general, de aplicación especial y de alto voltaje. !ada producto pasa a través de tres operaciones de producción en la planta3 horneado, lavado, laminado y pulimento. )ólo e-iste disponible una máquina en cada una de las respectivas operaciones. La tasa de producción 5en unidades por hora6 para cada tipo de aislador, y en cada operación se muestra en la siguiente tabla3 Los costos de las materias primas asociadas con la fabricación de los aisladores son de I+.88 5aplicación general6, IJ.88 5aplicación especial6 y I D8.88 5alto voltaje6. Los costos por hora de las respectivas operaciones de producción son3 I 4+8.88 5horneado6, I488.88 5lavado y laminado6, y I D88.88 5pulimento6. Los precios unitarios de venta son I4+.88, I*7.2+ y IJ2.+8 para los tres productos, respectivamente. # los directivos de la empresa les gustara asignar el tiempo utilizado en las diferentes operaciones, de manera que se ma-imicen las utilidades por hora.
/ablaD. /asas de producción3 mpresa !ubana de #isladores léctricos. Tio de aislado% 6o%neado /U301 5a&ado + la!inado /U301 $e aplicación general. +8 O8 $e aplicación especial. O8 48 $e alto voltaje. 4+ D8
P(li!ento /U301 4+ 48 D8
Caso 7 5a E!%esa C($ana de M(e$les La mpresa !ubana de %uebles mediante una empresa mi-ta, produce dos tipos de escritorios3 ejecutivos y secretariales. La empresa tiene dos plantas en las que fabrica los escritorios. La planta 9N D, que es una planta antigua, opera con doble turno 5H8 horas por semana6. La planta 9N 4 es una planta más nueva y no opera en su capacidad total. )in embargo, dado que los administradores planean operar la segunda planta en un turno doble como el de la planta 9N D, se han encontrado operadores para que trabajen los dos turnos. n estos momentos, cada turno de la planta 9N 4 trabaja 4+ horas por semana. 9o se paga ninguna prima adicional a los trabajadores del segundo turno. La tabla siguiente muestra el tiempo de producción 5en horas por unidad6 y los costos estándar 5en dólares por unidad6 en cada planta. La empresa ha competido con é-ito en el pasado asignando un precio de I*+8.88 a los escritorios ejecutivos. )in embargo, parece que la empresa tendrá que reducir el precio de los escritorios secretariales a I42+.88 con el objetivo de estar en posición competitiva. La empresa ha estado e-perimentando e-cesos de costos en las últimas ocho a diez semanas> por tanto, los administradores han fijado una restricción presupuestaria semanal sobre los costos de producción. l presupuesto semanal para la producción total de escritorios ejecutivos es de I4 888, en tanto que el presupuesto para los escritorios secretariales es I4 488. # los administradores les gustara determinar cuál es el número de cada clase de escritorios que deben fabricarse en cada planta con el objeto de ma-imizar las utilidades. /abla 9N D. /iempo 5hora6 y costo 5dólares6 mpresa !ubana de %uebles. Tie!o de %od(cci#n /0o%as3(nidades1 Costo est)nda% /d#la%es3 (nidades1
scritorios jecutivos scritorios )ecretariales
Planta 2.8 O.8
Planta J.8 +.8
Planta4+8 488
Planta 4J8 DH8
Caso 8 6osital P%o&incial 9Sat(%nino 5o%a:* Santiago de C($a La $ra. Pafaela !arbonell, dietista del Fospital 0rovincial )aturnino Lora, es responsable de la planeación y administración de los requerimientos alimenticios de los pacientes. lla e-amina en estos momentos el caso de un paciente al que se le ha restringido a una dieta especial que consta de dos fuentes alimenticias. #l paciente no se le ha restringido la cantidad de los dos alimentos que puede consumir> sin embargo se deben satisfacer los siguientes requerimientos nutritivos mnimos por da> D 888 unidades del nutriente #, 4 888 del nutriente M y D +88 unidades del nutriente !. !ada onza de la fuente alimenticia 9N D contiene D88 unidades de nutriente #, O88 unidades de nutriente M y 488 unidades de nutriente !. !ada onza de la fuente alimenticia 9N 4 contiene 488 unidades de nutriente #, 4+8 unidades del nutriente M y 488 unidades del nutriente !. #mbas fuentes alimenticias son algo costosas 5la fuente 9o.D cuesta IJ.88 por libra y la fuente 9o.4 cuesta IH.88 por libra6, por tanto, la $ra. !arbonell desea determinar la combinación de fuentes alimenticias que arroje al menor costo y que satisfaga todos los requerimientos nutritivos. Caso ; E!%esa C($ana del Pet%#leo La mpresa !ubana de 0etróleo comercializa gasolina de dos grados3 la especial y regular. !ada gasolina debe satisfacer ciertas especificaciones, tales como la presión má-ima de vapor aceptable y el octanaje mnimo. Los requerimientos de manufactura para las gasolinas y el precio por barril se muestran en la tabla 9o.D. /abla 9N D. specificaciones de manufactura y precio por barril 1 P%esi#n !)?i!a de &ao% /@g.3c!21 Pegular H8 7
P%ecio &enta /$a%%il1 I4D.88
special
D88
J
I4O.88
)e utilizan tres tipos de gasolinas para fabricar las gasolinas regular y especial. Las caractersticas de las gasolinas base se muestran en la tabla 9o.4. La mpresa !ubana del petróleo se ha comprometido con un comprador a proporcionarle *8,88 barriles de gasolina regular por semana. 9o se tiene compromisos con respecto a la gasolina especial. # la empresa le gustara determinar el plan de manufactura para las dos clases de gasolina que ma-imice las utilidades. /abla4. !aractersticas de la gasolina base.
D8H 78 2*
Disoni$ilidad !)?i!a
O D8 +
*4 888 48 888 *H 888
Costo o% $a%%il
I44.88 I48.88 ID7.88
Caso 'ondo de In&e%si#n de la E!%esa del NíBel /MINAS1 l "ng. Pafael Fernández es un analista financiero para una empresa productora de 91 !ertificados de depósitos H.+ Monos de la tesorera #cciones comunes 7.8 con buen historial. #cciones H.+ especulativas Monos de empresas DO,* Mienes races J,2 D*,8
'acto% de %iesgo
Pla"o %o!edio de la in&e%si#n.
8.84
H
8.8D
4
8.*H
+
8,O+ 8.82 8.*+
J 4 O
Caso E!%esa A&ícola Nacional La mpresa #vcola 9acional ha decidido repartir una determinada cantidad de gallinas para el abastecimiento de carne al sector campesino y en un futuro de huevos. sta poltica se debe a que no se distribuirá a las zonas rurales carne y huevos en un futuro pró-imo.
)e le entregan a cada campesino D88 gallinas y D88 huevos. $e acuerdo a la raza entregada y para que se obtenga un apro-imado de un D88G de fertilidad cada gallina puede incubar cuatro huevos. 0or otra parte el campesino debe mandar también al centro cercano de incubación huevos para incubar. !ada gallina puede poner en el perodo D4 huevos. n una primera etapa todos los huevos deben ser utilizados para la reproducción, pues de la producción de pollos que se obtengan se le entregarán a otros campesinos. La relación de beneficio es de tres a uno de los pollos obtenidos por medios de gallinas con respecto a la incubación, debido a los gastos que ocasiona el traslado y energa del centro de incubación y que se le cobra al campesino. l campesino quiere saber qué poltica seguir en cuanto a la estructura óptima que debe tener, en gallinas poniendo y en incubación durante tres perodos y si debe o no utilizar el centro de incubación de la zona. #nalice el problema y dé su respuesta.
Caso - Planta Mec)nica 9Taino: La 0lanta mecánica /aino enfrenta el problema de determinar qué proyectos de Kcrecimiento debe emprender en los pró-imos O aos. La planta tiene una cantidad limitada de fondos para inversiones de capital, por tanto, no puede financiar todos los proyectos. # cada uno de estos se le a caracterizado determinando su valor presente y el requerimiento 5costo6 asociado de capital. !ada proyecto tiene diferentes requerimientos de capital para los pró-imos cuatro aos. n la siguiente tabla se muestran el valor presente estimado, los requerimientos de capital disponible proyectado para cada uno de ellos. /ablaD. Ralor actual, requerimientos de capital disponibles. Tio de %o+ecto ,alo% %esente ReF(e%i!iento de caital esti!ado AGo AGo AGo 2
AGo 4
-pansión de la planta I DH8 888 9ueva maquinaria 48 888 "nvestigación cobre nuevos productos 24 888 #mpliación del almacén H8 888
I *8 888 D4 888
I O8 888 H 888
I O8 888
I *8 888 O 888
*8 888 48 888
48 888 *8 888
48 888 O8 888
48 888 D8 888
&ondos disponibles de capital
I J+ 888
I H8 888
I H8 888
I +8 888
# los administradores de la 0lanta %ecánica /aino les gustara desarrollar un plan de asignación de capital que muestre las erogaciones que debe hacer para cada uno de los cuatro aos y qué proyectos se deben financiar bajo el plan general.
Caso -CUANACAN S.A. /Est(dio de Me%cadotecnia1 !onsidérese el caso de !'M#9#!#9 ).#., organización que ha decidido invertir hasta I*H 888 en publicidad para opciones tursticas en !uba. #lgunos estudios de investigación realizados por la empresa han mostrado que el mercado que desea para las opciones tursticas está compuesto en su mayor parte por hombres entre 48 y O+ aos de edad, los que tienen ingresos de ID+ 888 o más, el grupo de investigación de mercado ha decidido que las caractersticas de los clientes tiene una importancia relativa de acuerdo con los siguientes pesos3 !aractersticas del cliente 0eso dad 548?O+6 8.O+ "ngresos 5ID+ 888 ó más6 8.*+ ducación 54 aos de universidad6 8.4+ Los gerentes del departamento de mercadotecnia de !'M#9#!#9 ).#. han decidido utilizar los servicios de una agencia de publicidad para que les ayude a desarrollar un plan que les permita alcanzar al cliente potencial en forma más efectiva. $espués de estudiar las caractersticas de los clientes, la agencia de publicidad ha sugerido que la empresa considere colocar publicidad en tres revistas de consumo popular en el e-terior.
0or brevedad simplemente denominaremos a las revistas #, M y !. La tabla a continuación seala cuáles son las caractersticas de los consumidores de las tres revistas. /abla 9N D. !aractersticas de los lectores de revistas3 !'M#9#!#9 ).#. Ca%acte%ística del cliente Po%centa=e de cons(!ido%es
Re&ista A O8 J8 *8 2H7 888 I+88 *J 7
dad 548? O+6 "ngreso 5I D+ 888 ó más6 ducación 54 aos de universidad6 0úblico lector !osto por anuncio 9úmero má-imo de anuncios 9úmero mnimo de anuncios
Re&ista 28 +8 48 7O8 888 I2+8 O8
Re&ista C J8 O8 J8 D 4+8 888 IH88 O+ +
l objetivo no sera ma-imizar el número de e-posiciones para todos los lectores de la publicidad, sino más bien, ma-imizar el número de clientes potenciales que se e-ponen a la publicidad. $e acuerdo a lo anterior es necesario determinar el número de dólares de publicidad que debe invertirse en cada revista para ma-imizar la e-posición efectiva, y determinar también el número de anuncios que debe colocarse en cada revista. Caso - 6osital Clínico H(i%%gico de Santiago de C($a n el Fospital !lnico Quirúrgico de )antiago de !uba un grupo de investigadores de la &acultad de !iencias conómicas y mpresariales ha detectado una situación referente a la mejor utilización del grupo de enfermeras que posee el hospital, ya que este personal especializado escasea en estos momentos. $espués de la aplicación de la técnica conocida como K/ormenta de "deas se detecta la siguiente situación3 0erodo del da 8H?D4 D4?DJ DJ?48 48?4O 4O?8O 8O?8H
9ecesidad de enfermeras %nima D+8 D48 DJ8 78 *8 J8
%á-ima D28 D*+ DJ+ D48 O8 2+
l problema sera minimizar el número total que cumpla con la necesidad del hospital a partir de no violar las H horas de trabajo continuo como má-imo. Caso -2 5ag(na lanca !on motivo de la nueva división organizativa de las empresas estatales, al administrador de unas de las fincas de la ;ranja K0aquito Posales de la mpresa de !ultivos Rarios de Laguna Mlanca se le piden criterios sobre la confección de su plan para el ao D77O. # tales efectos y para simplificar el problema se hace énfasis sólo en que se confeccione el plan tomando como base plátanos y yuca con riego y teniendo en cuenta el suelo tipo #. l administrador solicita la ayuda de un grupo multidisciplinario, e-perto en técnicas de optimización para que dé sus criterios al respecto. $espués de un análisis basado en las técnicas de dirección se llega a determinar que en la finca se cuenta con las siguientes posibilidades.
Pl)tano Pendimiento 5tSha6 Pequerimiento de fuerza de trabajo por ha. 5hombre S perodo6 Piego en octubre 5m*6S ha. Piego en noviembre 5m*6Sha.
*8
J(ca 4+
*8 788 D 488
O8 J+8 H+8
Disoni$ilidad 28 has 4 +88 5hombreSperodo6 +2 7885m*6 DD+ 4885m*6
0recio del producto por t en la finca I J,8J A!uál sera el planteamiento matemático del problema
I O,+8
Caso -4 E!%esa Mine%a de C($a La empresa minera de !uba desea llevar a cabo una aplicación en la búsqueda del petróleo en el centro y oriente del pas. 0ara eso tiene tres proyectos diferentes. #hora, la empresa tiene el problema de determinar qué contratista del e-terior llevará a cabo los proyectos. )e recibieron tres cotizaciones de &rancia, "nglaterra y Folanda. Las cotizaciones presentadas por los distintos contratistas se muestran en la siguiente tabla. Las cantidades en las cotizaciones se e-presan en decenas de millares de dólares. /abla D. !otizaciones de mejoramiento de caminos 5decenas de millares de dólares6. Cont%atista P%o+ecto PP !D 4H *4 !4 *J 4H !* *H *O
P2 *J *8 O8
l problema consiste en determinar cómo asignar los proyectos para minimizar los costos totales de todos ellos. )e asume que a cada contratista se le asignará un solo proyecto. Caso -7 CITMA l !"/%# de )antiago de !uba ha recibido un millón de !'! 50esos !onvertibles6 para la ejecución de un proyecto de reducción de emanaciones contaminantes. l proyecto implica la instalación de filtros y plantas de reciclaje de desechos en cuatro fuentes de contaminación de la provincia> y e-isten seis industrias interesadas en él3 &ábrica de !erveza, &ábrica de !emento, &ábrica de 0astas y !aramelos, Pefinera, %olinera y Pecapadora. Los datos disponibles aparecen en la tabla siguiente3
Ind(st%ias ')$%ica de Ce%&e"a ')$%ica de Ce!ento ')$%ica de Pastas + Ca%a!elos ReLine%ía Moline%a Recaado%a
Tie!o de Instalaci#n /días1 78 D48 H8 D+8 J8 J8
Red(cci#n de Conta!inantes />1 4H *+ *8 O8 48 4+
Costo de Instalaci#n /K1 488 888 *88 888 4+8 888 *+8 888 D88 888 D+8 888
Los requisitos a cumplir son3 %a-imizar la reducción de contaminantes l tiempo de instalación promedio no debe superar los cinco meses. )i se escoge la &ábrica de !erveza debe escogerse 0astas y !aramelos. ntre Pefinera y %olinera debe escogerse al menos uno de ellos. !onstruya el planteamiento matemático de trabajo. Caso -8 Ag%ic(lt(%a U%$ana l (rganopónico K4J de Eulio dispone de D+8 hectáreas de tierra que puede dedicar a la siembra de tomate, lechuga, rábano, calabaza y pepino. La fuerza de trabajo disponible asciende a 4 O88 horas? hombres y se conoce que es necesario cinco, ocho, siete, seis y cuatro horas?hombres para sembrar una hectárea de cada cultivo. n el caso de la calabaza se necesita una fuerza de trabajo adicional de D.+ horas, si es que se decide sembrar este cultivo. n caso de que se decida su inclusión en el plan de siembra, se deben garantizar al menos ++8 quintales de tomate y a lo sumo 788 quintales de calabaza. $e acuerdo a las normas técnicas, pueden obtenerse 48 quintales de tomate y *+ quintales de calabaza por cada hectárea sembrada. l órgano de gobierno local e-ige como restricción que de los tres primeros cultivos sólo pueden incluirse a lo sumo dos de ellos. • • • •
)e desea ma-imizar la ganancia conociendo que las utilidades por hectárea son I 428.88, I488.88, I*O8.88, I4+8.88 y I*88.88 para cada cultivo, respectivamente. !onstruya el planteamiento matemático de trabajo. Caso -; MINAZ l %"9#= fabrica un producto derivado de la caa que se e-porta y tiene una demanda que aumenta y disminuye3 La demanda que se ha pronosticado para los pró-imos cuatro meses es D H88, 4 488, * O88 y 4 H88, respectivamente. $ebido a las variaciones en la demanda, los administradores del %"9#= han encontrado que en algunos meses e-iste producción en e-ceso, lo cual ocasiona grandes costos de manejo y almacenamiento> en tanto que en otros meses la empresa no está en posibilidades de cubrir la demanda. La empresa puede fabricar 4 O88 artculos por mes, en sus turnos normales. 'tilizando tiempo e-tra es posible fabricar H88 artculos mensuales adicionales. $ebido a los mayores costos de mano de obra en tiempo e-tra, se produce un aumento de I2.88 por cualquier artculo que no se fabrique durante el turno normal. Los administradores han estimado que se incurre en un costo de almacenamiento de I*.88 por cualquier artculo que se fabrique en un mes determinado y que no se venda durante el mismo. )e desea determinar un programa óptimo de producción que minimice el incremento de los costos e-tra y el almacenamiento. l programa debe satisfacer las demandas. Caso - Política de In&e%siones de CUANACAN !'M#9#!#9 ).#. desea invertir I J88 888 5!'!6 de acuerdo a un análisis de alternativas para colocar ese capital. La inversión /ipo 'no está disponible en cada uno de los pró-imos seis aos y se espera que produzca un rendimiento de 4HG, por cada peso invertido, al momento de su vencimiento, al final de tres aos. La inversión /ipo $os también está disponible en cada uno de los pró-imos seis aos3 esta inversión rendirá ID.DJ por cada peso convertible invertido y vence al final de dos aos. La inversión /ipo /res está disponible sólo al principio del segundo ao y rinde ID.+8 al final del cuarto ao por cada peso convertible invertido. La inversión /ipo !uatro está disponible en cualquier momento después del tercer ao y produce un rendimiento del O8G al final de dos aos. La oportunidad final de inversión, la /ipo !inco, está disponible sólo una vez, al principio del ao 'no. sta inversión rendirá I D.O+ por cada peso convertible invertido, pero no vence sino hasta principios del ao !inco. !uando las inversiones vencen están disponibles para reinversión. # la organización le gustara determinar el programa de inversiones que ma-imice el rendimiento de la inversión total para un perodo de seis aos 5es decir, al final del se-to ao6. Caso - SEDER Uni&e%sita%io La entrenadora del equipo de Maloncesto de la 'niversidad de (riente desea completar el equipo representativo del centro, escogiendo a cuatro jugadores entre seis candidatos. Los datos de cada aspirante son3
Pequerimientos del problema ;arantizar que los seleccionados tengan un promedio de edad no superior a los D7 aos )eleccionar al menos D y a lo sumo 4 defensas )i se selecciona a duardo debe incluirse también a )antiago y viceversa %a-imizar la estatura total Caso ')$%ica del Ministe%io de la Ind(st%ia )sica /MINAS1 'na planta produce + tipos de rotores para motores eléctricos. l almacén de la planta puede guardar hasta *88 rotores de tipo ", ó hasta *+8 del tipo "" ó hasta O88 del tipo """ ó hasta *2+ del tipo "R ó hasta 4+8 del tipo R. #l iniciar la producción de cada tipo de rotor, ocurre un gasto de fijo I D88 para los de tipo ", """ y R y un gasto fijo de I D48 para los de tipo "" y "R.
l costo de un rotor es de IO.88, I+.+8, IJ.48, IH.88 y I DD.+8 para los tipos ", "", """, "R y R respectivamente. labore el modelo matemático que minimice el costo. Caso 'AR l comando estratégico de bombardero de occidente recibe instrucciones de interrumpir la producción de tanques del enemigo. l enemigo tiene cuatro plantas claves situadas en diferentes ciudades y la destrucción de una de ellas produce efectivamente la paralización de la producción de tanques. -iste una aguda escasez de combustibles que limita la cantidad a OH 888 galones para una misión3 cualquier bombardero debe tener, en caso de ser mandado a una ciudad, una cantidad de combustible suficiente para ir y volver, más D88 galones de reserva.
Tio D 4
Desc%ici#n 0esado %ediano
Miles de galones 4 *
Cantidad disoni$le OH *4
La ubicación de las plantas y su vulnerabilidad al ataque para bombardeos del tipoD y 4 es3 Planta Dist%i$(ido% a la $ase !ilita% P%o$a$ilidad de dest%(cci#n /co!$(sti$le1 $o!$a%de%o D 4 * O
Pesado O+8 OH8 +O8 J88
5i&iano *88 *48 *J8 O88
Pesado 8.D8 8.48 8.D+ 8.4+
del
5i&iano 8.8H 8.DJ 8.D4 8.48
A!uántos bombarderos de cada tipo deben despacharse y cómo deben ser distribuidos en cada planta para ma-imizar la posibilidad de é-itoB
Caso E!%esa de e$idas + 5ico%es La mpresa de Mebidas y Licores recibe determinadas especificaciones para fabricar tres tipos de ron para e-portar a "nglaterra. 0ara ello cuenta con tres rones bases de diferentes aejamientos3 #, M y !. stos rones base se mezclan de acuerdo con especificaciones que limitan al má-imo y el mnimo de # y ! en cada mezcla, tal como se muestra en la siguiente tabla3 Me"cla Mlue $o/ Figland &ling (ld &reny
EseciLicaciones 9o más del J8G de # 9o menos del 48G de ! 9o más del J8G de ! 9o menos del D+G de # 9o más del +8G de !
Las cantidades disponibles de cada uno y sus precios son3 Clase Cantidad M)?i!a en (nidades3 días # 4 888 M 4 +88 ! D 488
P%ecio Unita%io /CUC1 I J.H8 I +.28 I O.+8
Costo (nita%io /CUC1 I 2.88 I +.88 I O.88
stablezca el programa de producción que ma-imiza las utilidades.
Caso 2 MINTUR l equipo de psicólogos del %"9/'P realiza una investigación de mercado en el e-terior sobre la posibilidad de viajar a !uba. # tales efectos, el equipo de /uroperadores contratados le asigna cuotas de visitas, las
cuales se detallan a continuación> as como la posible probabilidad de respuesta en diferentes horas del da y la noche, y su duración en minutos.
Tio de (nidad La!ilia%
C(ota
'nipersonal %atrimonio sShijos %atrimonio cShijos $uración entrevista 5min6 /iempo dedicado
P%o$a$ilidad de %es(esta en las &isitas MaGana 8.D 8.+ 8.2+ 4 min. + horas
+8 D88 D+8
Ta%de 8.D 8.O 8.J * min. + horas
Noc0e 8.+ 8.2 8.7 * min. O horas
A!ómo se deben distribuir las visitas entre los tres tipos de unidad familiar y las distintas partes del da, a fin de que se cumplan las cuotas sealadas y se ma-imice la posibilidad de respuestaB Caso 4 MINAS l problema es elaborar un plan óptimo de electricidad que minimice cierta función económica cuyos componentes son el costo total de las inversiones más los gastos de administración actualizados con la tasa de interés del mercado, y que satisfaga en cualquier momento el consumo, es decir, que proporcione cuando menos las tres magnitudes que a continuación se sealan3 a6 La potencia garantizada, medida por hora, de los consumos durante las horas hábiles de los das de trabajo en invierno, que es D.J74 megavatios. b6 La potencia má-ima, medida por hora, de los consumos durante las cuatro horas de má-imo consumo diario de los mismos das hábiles en invierno, que es de 4.*82 megavatios. c6 )atisfacer como má-imo la energa anual consumida, que es de 2.488 miles de megavatios por hora. 0ara satisfacer el consumo, se emplean diferentes tipos de instalaciones con las siguientes caractersticas3
Tio de instalaciones
0lanta 0lanta derivación 0lanta compresa almacenaje 0lanta con esclusas 0lanta macro motriz
Potencia ga%anti"ada !ega&atios
Potencia !)?i!a !ega&atios
D D
D.D+ D.D8
Ene%gía an(al In&e%si#n !ega&atios necesa%ia /!iles30o%as.1 /Millones de esos1 2.88 72 D4.J8 O48
D D D
D.48 *.88 4.D*
Costo de !anteni!iento an(al. /Millones de esos1. *.D4 H.J8
de D.*8 2.*+ +.O2
D*8 *D8 4D*
D.+H +.42 +.J7
0or otra parte, se cuenta con los datos siguientes3 a6 /asa de interés3 HG anual b6 Ralor del combustible para un
•
-.D.Mienes agropecuarios 4. Mienes industriales *. )ervicios •
8.D8. 8.4+ 8.48
-.
8.D+ 8.*8 8.48
.
8.D* 8.4+ 8 .D+
Los precios en divisas de las e-portaciones e importaciones son3 ienes ag%oec(a%ios
. 8.D2 8.4* 8.48
8.8+ 8.4+ 8.48
ienes ind(st%iales
-portaciones "mportaciones 5por origen6 •
8.78 D.D8
D.4+ D.+8
!apital y mano de obra especializada necesarios por unidad de producción3 Ind(st%ia /-1 Tecnología Ind(st%ia /1 Se%&icios Tecnología /21
-.D.48
-. D.8+
. D.D8
. 4.88
!apital 5pesos por una 8.78 5pesos convertibles6 unidad de producción6 %ano de obra especializada 5horas? hombre por unidad de 8.H8 D.+8 8.78 8.*8 8.O8 5horas?hombre6 producción6 $emanda final interna que se debe satisfacer3 Pesos Con&e%ti$les /CUC1 D. Mienes agropecuarios H88 4. Mienes industriales O88 *. )ervicios 488 •
Las deudas que pueden contraerse en divisas internacionales ascienden a +8 unidades monetarias como má-imo. )e ha determinado una disponibilidad de D 488 horas?hombre para mano de obra especializada. 0lantear y resolver el modelo de programación lineal para minimizar el requerimiento de capital. •
•
Caso 8 CEATEM l director de una empresa de abastecimiento a vehculos automotores, en )antiago de !uba recibe piezas para después distribuirlas a diferentes unidades de venta en la provincia. !ada mes puede vender cualquier cantidad que quiera siempre que no sobrepase la e-istencia al principio del mes y también puede comprar todo lo que necesita para entregar al final del mes, con la condición de que su e-istencia total no e-ceda de +88 artculos, 0ara los siguientes seis meses, tiene el pronóstico de costo y precios de venta, libres de error, que se detallan a continuación3 %es
i
D
4
*
O
+
J
!osto
!i
42
4O
4J
4H
44
4D
0recio de venta
0i
4H
4+
4+
42
4*
4*
)i actualmente tiene una e-istencia de 488 unidades, A!uál debera ser su polticaB
Caso ; INDER l "nstituto 9acional de $eportes y Pecreación 5"9$P6 decide crear una empresa mi-ta para fabricar tres tipos de abrigos para la e-portación3 deportivo, formal y ejecutivo. $ebido a la naturaleza competitiva de esta actividad y a la gran demanda de mano de obra de la industria, es de gran importancia mantener satisfechos a los empleados. Los gerentes de la empresa consideran que una medida importante para satisfacer las necesidades de sus empleados es ofrecerles trabajo de tiempo completo, aún cuando esto e-ija producir en e-ceso e incurrir en algunas pérdidas. Los gerentes esperan que la demanda de sus productos siga siendo bastante elevada. $e hecho, para satisfacer parte de la demanda, podra ser necesario operar en tiempo e-tra. Las tres lneas de abrigos se fabrican en dos departamentos. La siguiente tabla es un programa semanal de requerimientos de mano de obra y materiales para el proceso de fabricación. Los precios unitarios para las tres lneas son ID88.88 ID+8.88 y I4+8.88, respectivamente. Los gerentes han determinado que a un nivel normal de producción los costos variables son de I28.88, IH8.88 y ID88.88, por abrigo, respectivamente. Los costos de tiempo e-tra son I4.88 por hora, por encima del salario normal, para el departamento 9N 'no
y I*.88 para el 9N $os. Los materiales e-tra pueden adquirirse a un costo de I4.88 por yarda, por encima del costo normal. Pequerimientos de recursos, mano de obra y materiales.
ReF(e%i!ientos de %od(ctos /o% (nidad1 Deo%ti&o $pto. 9N D $pto. 9N 4 %aterial
O horas J horas H 5yardas64
'o%!al D4 horas J horas J 5yardas64
Rec(%sos /!ano de o$%a + !ate%iales1
E=ec(ti&o D8 horas DJ horas D4 5yardas64
H 888 hrs. O 888 hrs. H 888 5yardas64
La gerencia de la empresa ha pronosticado que la demanda del mercado para el abrigo deportivo es de D 888 unidades por semana, y la demanda de las otras dos lneas es de +88 y 488 unidades, respectivamente. l nivel de equilibrio de producción es de D88 unidades del producto uno 5deportivo6 y +8 unidades de cada uno de los otros dos productos. 0ara analizar el problema, se han identificado, en orden de prioridad, las siguientes metas3 D. 'tilizar toda la capacidad de producción disponible, es decir. 9o debe e-istir tiempo muerto en ningún departamento. 4. #lcanzar los niveles de producción de punto de equilibrio en cada unas de las lneas de productos. *. $ado que es probable que e-ista escasez de mano de obra en el departamento $os, y dado que puede enviarse personal en tiempo e-tra a ese departamento, el tiempo e-tra aqu puede ser mayor que en el departamento 'no. )in embargo, el tiempo e-tra del departamento $os debe estar limitado a J88 horas. O. #lcanzar una meta de utilidades semanales de I48 888. 88 +. )atisfacer todas las demandas del mercado. $entro de esta meta deben utilizarse ponderaciones distintas para reflejar la contribución unitaria normal a las utilidades. Caso INDER /II1 l "9$P ha creado una empresa que fabrica y vende tres lneas de raquetas de tenis3 #, M, y ! para la e-portación. l proceso de manufactura de las raquetas pasa a través de ambas operaciones. !ada raqueta requiere tres horas de tiempo de producción en la operación 9N 'no. n la operación 9N $os la raqueta # requiere $os horas de tiempo de producción> la raqueta M requiere cuatro horas y la !, cinco. La operación 9N 'no tiene +8 horas de tiempo semanal de producción y la operación 9N $os tiene suficiente mano de obra para operar H8 horas a la semana. l grupo de mercadotecnia del "9$P ha proyectado que la demanda de la raqueta tipo # no será de más de 4+ por semana. $ebido a que las raquetas M y ! son de calidad similar, se ha pronosticado que la demanda combinada para ésta será, en total de diez o más, pero no más de *8 por semana. La venta de la raqueta # da como resultado I2.88 de utilidades, en tanto que las raquetas M y ! proporcionan utilidades de IH.88 y IH.+8, respectivamente. A!uántas raquetas del tipo #, M y ! deben fabricarse por semana, si la empresa busca ma-imizar sus utilidadesB 0lantee el problema como un modelo estándar de programación lineal. Caso SIME l %inisterio para la "ndustria )ideromecánica 5)"%6 fabrica piezas de metal para motores tipo /ainos. Las piezas se fabrican en procesos de forjado y refinación y son necesarias cantidades mnimas de diversos metales. !ada pieza requiere O8 onzas de plomo, OH de cobre y J8 de hierro colado. -isten cuatro tipos de mineral disponible para el proceso de forjado y refinación. l mineral de tipo 'no contiene cuatro onzas de plomo, dos de cobre y dos de hierro colado por libra. 'na libra de mineral de tipo dos contiene dos onzas de plomo, seis de cobre y seis de hierro colado. 0or último el mineral de tipo cuatro contiene dos onzas de plomo, tres de cobre y ocho onzas de hierro colado por libra. l costo por libra para los cuatro minerales es I48.88, I*8.88, IJ8.88 y I+8.88 respectivamente. # los directivos del )"% le gustara mezclar los minerales de manera que satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricación. $efina las variables de decisión y plantee el modelo apropiado de 0rogramación Lineal 50L6. l mineral tipo * tiene *, O, 2. Caso 2 Ministe%io de la Ag%ic(lt(%a /MINA
La empresa de semillas produce tres tipos de turrones que se venden a mayoristas, los cuales a su vez los venden a e-pendios al menudeo. Los tres tipos son 9ormal, special y -tra y se venden en ID.+8, I4.48 y I*.+8 por libra, respectivamente. !ada mezcla requiere los mismos ingredientes3 man, pasas y algarrobo. Los costos de estos ingredientes son3 %an3 I8.78 por libra. 0asas3 ID.J8 por libra. #lgarrobo3 ID.+8 por libra. Los requerimientos de las mezclas son3 9ormal3 "gual al 48G del total de todas las mezclas special3 cuando menos 48 G de cada ingrediente y no más de +8G de cualquiera de ellos. -tra3 cuando menos 4+G de pasas y no más de 4+G de man. Las instalaciones de producción hacen que haya disponibles por semana como má-imo D 888 libras de man, 4 888 de pasas y * 888 de algarrobo. -iste un costo fijo de I4 888.88 para la fabricación de las mezclas. -iste también la condición de que la mezcla normal debe limitarse al 48G de la producción total. 0lantee un problema de 0L para ma-imizar las utilidades. Caso 2E!%esa del et%#leo + s(s de%i&ados Los supervisores de la producción de la refinera de petróleo de !ienfuegos deben programar dos procesos de mezclado. !uando se realiza el proceso 'no, durante una hora se consumen D88 barriles de petróleo nacional y *88 barriles de petróleo importado. $e manera similar, cuando se efectúa el proceso $os, durante una hora, se consumen D88 barriles de petróleo nacional y 488 barriles de petróleo importado. !on respecto a la producción, el proceso 'no genera O 888 galones de gasolina y D 2+8 galones de petróleo para uso doméstico por hora de operación. l proceso $os genera * +88 galones de gasolina y 4 +88 galones de petróleo para uso doméstico, por hora. 0ara la siguiente corrida de producción, e-isten disponibles D 488 barriles de petróleo nacional y D H88 barriles de petróleo importado. Los contratos de venta e-igen que se fabriquen 4H 888 galones de petróleo para consumo doméstico. La contribución a las utilidades por hora de operación para los procesos 'no y $os son ID 888 y ID D88, respectivamente. # usted se le plantean las siguientes interrogantes3 a6 0lantee un modelo de 0rogramación Lineal para determinar el programa de producción que ma-imice la contribución total. #segúrese de indicar las unidades de medición para sus variables de decisión y las unidades en las que se mide cada restricción. b6 La !omisión 9acional de nerga puede emitir un dictamen que limite la producción total de gasolina a no más de la mitad del petróleo que se fabrique para uso doméstico. AQué restricción debe aadirse al modelo para plantear esta condiciónB Caso 2 E!%esa de Ae%on)(tica Ci&il La empresa de #eronáutica !ivil opera un avión que combina pasajeros y carga entre los aeropuertos de la Fabana, )antiago, Mayamo y /unas. $ebido a los elevados costos de operación, el avión no sale hasta que todas sus bodegas hayan sido cargadas. l avión tiene tres bodegas3 inferior, media y superior. $ebido a las limitaciones en el espacio de las bodegas, no puede llevar más de D88 toneladas de carga en cada viaje. 9o deben llevarse más de O8 toneladas de carga en la bodega inferior. !on fines de equilibrio la bodega intermedia debe llevar un tercio de la carga de la bodega inferior. )in embargo, no deben llevarse más de J8 toneladas de carga en las bodegas media y superior combinadas. Las utilidades por el transporte son de IH por tonelada de carga en la bodega inferior ID8 por tonelada de carga en la bodega intermedia y ID4 por tonelada de carga en la bodega superior, después de deducir todos los gastos necesarios. 0lantee un problema de 0rogramación Lineal para determinar la forma de cargar el avión que proporcione las mayores utilidades. Caso 22 MINA
que permita a la empresa determinar el número de hectáreas que deben asignarse a cada producto para que se ma-imicen las utilidades.
C(lti&o &rijol %az %an
Rendi!iento /FF o% 0ect)%ea1 O48 488 28
De!anda de De!anda del los !ie!$%os !e%cado /FF1 4 888 D8 888 + 888 H 888 D 888 * 888
Utilidad o% FF1 D.+8 D.H8 4.+8
/K3
Caso 24 CUATAIS !'M#/#T") es una empresa cubana dedicada al servicio de transportación de turistas. La misma acaba de adquirir una licencia de operación para el servicio de vehculos entre el aeropuerto de la Fabana y el centro de la ciudad. #ntes del servicio de estos automóviles operaba una flota de *8 vagonetas> sin embargo, el volumen del servicio hace que sea fácil justificar la adición de otros vehculos. #demás, la mayora de los vehculos son muy viejos y requieren un mantenimiento muy costoso. $ebido a la baja inversión que se requiere para reemplazar todos los vehculos e-istentes, se están considerando tres tipos de vehculos3 vagonetas, autobuses pequeos y autobuses grandes. La empresa ha e-aminado cada tipo de vehculo y ha recopilado los datos que se muestran en la siguiente tabla. l consejo de administración de la empresa ha autorizado I+88 888 para la adquisición de vehculos. )e ha proyectado que puede utilizar en forma adecuada cuantos vehculos pueda financiar> sin embargo, las instalaciones de servicio y mantenimiento son limitadas. n estos momentos, el departamento de mantenimiento puede manejar *8 vagonetas. n la actualidad, la empresa no desea ampliar las instalaciones de mantenimiento, puesto que la nueva flota puede incluir autobuses pequeos y grandes, el departamento de mantenimiento debe estar en posibilidades de trabajar con ellos. 'n autobús pequeo es equivalente a 'na y DS4 vagoneta y cada autobús grande equivale a /res vagonetas. 0lantee un modelo lineal que permita determinar el número óptimo de cada uno de los tipos de vehculos que debe adquirir con el objeto de ma-imizar las utilidades anuales esperadas. Tio de &e0íc(lo Ragoneta #utobús pequeo #utobús grande
P%ecio de co!%a I J +88 D8 +88 47 888
Utilidad An(al ese%ada I 4 888 4 888 J +88
Neta
Caso 27 MINA
Disoni$ilidad de ag(a /en Disoni$ilidad ies c$icos1 /0ect)%eas1 OH8 888 O+8 *48 888 J+8
de
tie%%a
* O /abla 9N $os C(lti&o # M !
*28 888 H78 888
<%an=a 488 D+8 488
*+8 +88
<%an=a *88 488 *+8
<%an=a 2 D88 D+8 488
<%an=a 4 4+8 D88 *88
Caso 28 Ministe%io del T(%is!o /MINTUR1 La empresa del %"9/'P de )antiago de !uba debe asignar personal a cinco operadores disponibles. l administrador de lnea tiene a su disposición datos de prueba que reflejan una calificación numérica de productividad para cada uno de los cinco trabajadores en cada uno de los trabajos. stos datos se obtuvieron a través de un e-amen de operación y prueba administrado por el departamento de "ngeniera "ndustrial 5véase la siguiente tabla6. )uponiendo que un operador puede ejecutar un solo trabajo, plantee un modelo que conduzca a la asignación óptima. N!e%o oe%ado% D 4 * O +
de N!e%o de t%a$a=o D4 J D8 4 2
DJ H J O D8
2 4O 48 DJ 4 J
4 H DO DH 4O J
7 4 J D4 8 DH
Caso 2; CUAPAPE5 La empresa cubana de papel trabaja para las diferentes empresas productoras de caja de cartón. La empresa fabrica rollo de papel Kestándar de D48 pulgadas de ancho. )in embargo, no necesariamente todos los pedidos son para este ancho. s frecuente que la empresa reciba pedidos de rollos más angostos. 0ara satisfacer esos pedidos, los rollos más angostos se cortan de los rollos estándar. 0ara el mes siguiente, la empresa ha comprometido pedidos para el siguiente número de rollos3 Anc0o de %ollos H8 plgs. 28 plgs. J8 plgs. +8 plgs.
Pedidos D H88 +88 D 488 D O88
La gerencia de la empresa deseara determinar el número mnimo de rollos estándar que se requieran para satisfacer esta demanda. 0lantee un modelo de 0L apropiado para el problema.
ESTUDIO DE CASOS PARA SER RESUE5TOS POR E5 5ECTOR Caso 2 Cadenas de tiendas 9CARACO5: 'na tienda perteneciente a la !adena K!aracol tiene una sola caja de salida, atendida por un cajero que también hace las veces de empacador cuando no hay demasiados clientes. Los clientes llegan a la caja según un proceso poissoniano, a una tasa media de *8Shora. l tiempo que el cajero necesita para obtener el monto de las compras de un cliente, empacar la mercanca y cobrar se distribuye e-ponencialmente, con una media de dos minutos. )iempre que hay tres clientes o más en la caja 5incluido aquél a quien se está atendiendo6, un segundo empleado de la tienda tiene órdenes de ayudar al cajero a empacar las ventas. !uando los dos empleados trabajan juntos, el tiempo de servicio para un cliente sigue distribuyéndose e-ponencialmente, pero con una media de un minuto. $etermnense3 a6 el número de clientes que se encuentra simultáneamente en la caja de salida>
b6 tiempo que un cliente debera permanecer en la caja de salida, y c6 tiempo que un cliente debera esperar permanecer en la fila, antes de que se calcule el monto de sus compras. Caso 2 Cadena indeendiente S.A. 'na tienda que e-pende tabacos y diarios y que pertenece a una cadena independiente de tiendas atiende a los clientes a razón de un promedio de uno cada *8 segundos, con distribución e-ponencial. Los clientes llegan de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de tres por minuto, y pueden esperar por el servicio si el dueo está ocupado con otro cliente. $eterminado número de clientes deciden no esperar y hacen sus compras en otro lugar. La probabilidad de que un cliente que llega rechace es nS*, donde n es el número de clientes que ya se encuentra en la tienda. )i la ganancia promedioS cliente es 8.*8. AQué ganancias espera perder el representante de la tienda por concepto de clientes que parten y hacen sus compras en otro lugarB CASO 4 MITRANS 'na oficina estatal de transporte tiene tres equipos de investigación de seguridad, a los que se llama continuamente y cuyo trabajo consiste en analizar las condiciones de la carretera en las cercanas de cada accidente fatal ocurrido en caminos estatales. Los equipos son igualmente eficientes> cada uno destina un promedio de dos das a investigar y realizar el informe de un accidente con el tiempo real aparentemente distribuido en forma e-ponencial. )egún parece, el número de accidentes fatales en caminos estatales, sigue un proceso poissoniano, con una tasa promedio de *88Sao. $etermine para este proceso L, L q, U? y Uq? . MITRANS Caso 4'na estación de servicio en un camino real tiene sólo una bomba para despachar gasolina. Los automóviles llegan a comprar gasolina siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa promedio de D8Shora. #parentemente el tiempo necesario para dar servicio a un automóvil se distribuye e-ponencialmente, con una media de 4 min. n la estación cabe un má-imo de cuatro automóviles y las leyes locales de tránsito prohben que los autos esperen en la va pública. $etermine3 a6 l número promedio de automóviles que se encuentran simultáneamente en la estación> b6 el tiempo promedio que un cliente debe esperar para obtener servicios una vez que logra entrar en la estación> c6 la tasa promedio de pérdida de ingresos por aquellos clientes que se van a realizar su compra a otro lugar cuando la estación está llena, si la venta promedio es de ID+.88. Caso 4 Ministe%io de Co!e%cio Inte%io% /MINCIN1 Los clientes llegan a una peluquera con una tasa promedio de +Sh, con los tiempos reales de llegada con distribución de poisson. Fay un peluquero disponible en todo momento y hay cuatro sillas para los clientes que llegan cuando el peluquero está ocupado. l reglamento local de prevención de incendios limita el número total simultáneo de clientes dentro de la tienda, en todo momento, a un má-imo de cinco. # los clientes que llegan cuando la peluquera está llena, se les niega la entrada y se les da por perdido. l tiempo de servicio del peluquero se distribuye e-ponencialmente, pero la media cambia de acuerdo al número de clientes en la peluquera. !onforme se llena la peluquera, el peluquero trata de acelerar el servicio, pero en realidad se vuelve menos eficiente, según se muestra en la siguiente tabla3 9úmero de clientes en la tienda
D
4
*
O
+
/iempo medio de servicio, min. 7 D8 D4 D+ 48 $etermine3 a6 el número promedio de personas que se encuentran simultáneamente en la tienda> b6 el tiempo estimado que un cliente deberá esperar para el servicio y c6 el porcentaje de tiempo que el peluquero permanece ocioso Caso 42 MINAS 'na empresa del %"9M#) que utiliza la formula clásica !0 ha determinado que se deben colocar seis pedidos por ao para sus materias primas y utilizar un inventario de seguridad de una unidad, basado en la siguiente distribución de demanda durante el perodo de tiempo de anticipación del pedido3
l cargo de llevar el inventario por unidadS ao es de ID4. a6 A!uál es el punto de partidaB b6 A!uál es el número esperado de faltantesB c6 A!uál es la probabilidad de un faltanteB d6 A!uál es el costo implcitoSunidad de los faltantes que la gerencia ha supuesto al escoger este inventario de seguridadB Caso 44 ReLine%ía 6NOS. DAZ )ea Dt la demanda mensual de una de las piezas más importantes de la torre de craqueo de la KPefinera Fermanos $az de )antiago de !uba. $e datos históricos se ha obtenido la siguiente distribución de probabilidad Dt3 $%#9$# %9)'#L 9úmero demandado 0robabilidad $t D88 8.4+ 488 8.+8 *88 8.4+ D.88
Dt para cualquier mes t es una variable no controlable. La variable controlable es el suministro Ot* para cualquier mes t. )ea St el número de piezas utilizadas en el mes t. ntonces St Dt Ot 0uesto que es poltica de la refinera vender a otra refinera del pas al costo cualquier e-ceso de piezas, la utilidad total obtenida en la operación de un mes es3 0recio de venta 9úmero de piezas V I 48 )t 0ara resumir debemos simular3 St Dt si Dt Ot St Ot si Dt Q Ot 'tilidad total V 48 St La refinera está considerando las dos polticas siguientes de pedido. Política Sea O t Dt Política Sea O t Dt - Dt AQué poltica proporcionará la mayor utilidadB SO5UCIÓN DE 5OS ESTUDIOS DE CASOS Caso ')$%ica de 'e%tili"antes de N(e&itas "dentificación3 #nálisis de actividad. !onsideraciones3 D. )e trata de un problema de análisis de actividad. 4. !ómo utilizar recursos escasos para lograr la combinación de dos tipos de fertilizantes, de manera que la empresa obtenga el má-imo de utilidades. *. 9o está claro cuál es la utilidad por cada tipo de fertilizante, hay que deducirla. )e confecciona el siguiente estado3 Fay dos tipos de fertilizante3 &ertilizante +?+?D8 &ertilizante +?D8?+
0ara el +?+?D8 !osto del nitrato por ton. 58.8+654886 V ID8.88 !osto del fosfato por ton. 58.8+65H86 V O.88 !osto del potasio por ton. 58.D865DJ86 V DJ.88 !osto de los ingredientes inertes 58.H865D86 V H.88 !osto total, menos mezclado I*H.88 %ás3 !osto de mezclado D+.88 !osto total I+*.88 'tilidad3 I2D.+8 ? I+*.88 V IDH.+ 0ara el +?D8?+ !osto del nitrato por ton. 58.8+654886 V ID8.88 !osto del fosfato por ton. 58.D865H86 V H.88 !osto del potasio por ton. 58.8+65DJ86 V H.88 !osto de los ingredientes inertes. 58.H865D86 V H.88 !osto total, menos mezclado I*O.88 %ás3 !osto de mezclado D+.88 !osto total IO7.88 'tilidad3 IJ8.88 ? IO7.88 V IDD.88 $efinición de las variables3 TD V /oneladas métricas de fertilizantes +?+?D8 a producir para el siguiente mes. T4 V /oneladas métricas de fertilizantes +?D8?+ a producir para el siguiente mes. 0lanteamiento de las restricciones3 $isponibilidad de nitrato3 8.8+TD W 8.8+T4 X DD88 $isponibilidad de fosfato3 8.8+TD W 8.D T4 X DH88 $isponibilidad de potasio3 8.D8 TD W 8.8+ T4 X 4888 &unción objetivo3 %#T = V DH.+ TD W DDT4 Caso E!%esa C($ana de Cal"ado • • •
"dentificación3 #nálisis de actividad. !onsideraciones3 D. ncontrar la mejor combinación de la producción. 4. %a-imizar la utilidad. *. Pecursos3 Y Foras disponibles D488 Y fectivo I DJ.+J8 O. Las utilidades hay que calcularlas. $efinición de las variables3 TD V /otal de pares de zapatos tipo 0rimavera a producir el pró-imo mes. T4 V /otal de pares de zapatos tipo Motines a producir el pró-imo mes. T* V /otal de pares de zapatos tipo 0antuflas a producir el pró-imo mes. 0lanteamiento de las restricciones $isponibilidad en horas3 *.+ TD W 4.+ T4 W 4 T* X D488 $isponibilidad en dinero3 O5*.4+ TD W O.+ T4 W 4 T*6 W D85*.+ TD W 4.+ T4 W 4 T*6 W *888 X DJ,+J8 $emanda3 TD Z *8> T4 Z ++> T* Z *4 9o negatividad3 TD, T4, T* Z 8 &unción objetivo3 %#T = V J8 TD W JO T4 W +8 T* ? [D85*.+ TD W 4.+ T4 W 4 T*6 W O.+ T4 W 4 T*6 W W *888\ •
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Caso 2 E!%esa C($ana Taino "dentificación3 #nálisis de actividad !onsideraciones3 D. )e producen dos tipos de bombas3 normal y e-tra grande.
4. l proceso de manufactura implica * actividades3 ensamblado, pintura y pruebas. *. )e conocen las utilidades de ventas para cada una de las bombas. O. )e conoce el tiempo requerido y el disponible para cada actividad. (bjetivo3 %a-imizar las utilidades por la venta de las bombas normal y e-tra grande. $efinición de las variables3 TD V!antidad de bombas tipo normal a fabricar semanalmente. T4 V !antidad de bombas tipo e-tra grande a fabricar semanalmente. 0lanteamiento de las Pestricciones3 Y$e ensamble3 *.J TD WO.H T4 X OH88 Y $e pintado3 D.J TD W D.H T4 X D7H8 Y $e prueba3 8.J TD W 8.J T4 X 788 Y $e producción3 TD Z *88 T4 Z DH8 9o negatividad3 TD , T4 Z 8 &unción objetivo3 %#T = V +8 TD W 2+ T4 •
Caso 4 5a E!%esa C($ana de Aislado%es Eléct%icos "dentificación3 #nálisis de la actividad. !onsideraciones3 D. )e fabrican tres tipos de aisladores. 4. )e presentan los parámetros de producción, costos por hora y los precios de cada uno. (bjetivo3 ma-imizar las utilidades por hora. $efinición de las variables3 TD 9úmero de aisladores de aplicación general a producir por hora. T4 9úmero de aisladores de aplicación especial a producir por hora. T* 9úmero de aisladores de alto voltaje a producir por hora. 0lanteamiento de las restricciones3 Y $e Forneado3 8.84 TD W 8.84+ T4 W 8.8O T* X D Y $e lavado y laminado3 8.84+ TD W 8.8+ T4 W 8.D8 T* X D Y $e pulimento3 8.8O TD W 8.8+ T4 W 8.D8 T* X D Y 9o negatividad3 TD, T4, T* Z 8. &unción objetivo3 %#T = V J TD W D4.+ T4 W D2.+ T* Caso 7 5a E!%esa C($ana de M(e$les "dentificación3 #nálisis de la actividad. !onsideraciones3 D. 0roducción de dos tipos de escritorios3 jecutivo y )ecretarial. 4. $os plantas diferentes. *. )e conoce el precio de venta. O. )e conocen el tiempo y costo de producción. +. Fay disponibilidad de tiempo y financiera. (bjetivo3 ma-imizar la utilidad. $efinición de las variables3 Tij V /ipo de escritorio i a producir en la planta j por semana. $onde i V D,4 j V D,4 0lanteamiento de las Pestricciones3 $isponibilidad de tiempo3 2 TDD W O T4D X H8 J TD4 W + T44 X +8 $isponibilidad de recursos3 4+8 TDD W 4J8 TD4 X 4 888 488 T4D W DH8 T44 X 4 488 9o 9egatividad3 Tij Z 8> ] i, j &unción objetivo3 %#T = V *+8 5TDD W TD46 W 42+ 5T4D W T446 C 54+8 TDD W 4J8 TD46 C 5488 T4D W DH8 T446 •
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Caso 8 6osital P%o&incial 9Sat(%nino 5o%a:* Santiago de C($a
"dentificación3 0roblema de dieta. !onsideraciones3 D. )e trata de obtener una dieta óptima utilizando dos fuentes de alimentos que contienen tres tipos nutrientes. 4. )e conocen los costos unitarios de los alimentos. *. )e conocen los requerimientos nutritivos mnimos por da. (bjetivo3 %inimizar el costo de la dieta que satisfaga los requerimientos nutritivos establecidos. $efinición de la variables3 T j V !antidad de onzas de la fuente alimenticia i que se requiere por da. 0lanteamiento de las Pestricciones3 Y 9utriente #3 D88 TD W 488 T4 Z D888 Y 9utriente M3 O88 TD W 4+8 T4 Z 4888 Y 9utriente !3 488 TD W 488 T4 Z D+88 Y 9o negatividad3 TD, T4 Z 8 &unción (bjetivo3 %#T = V 8.*2+ TD W 8.+ T4
Caso ; E!%esa C($ana del Pet%#leo "dentificación3 0roblema de mezclas. !onsideraciones3 D. )e utilizan tres tipos de gasolina base de las cuales se conoce3 el octanaje, presión de vapor, disponibilidad y costo por barril. 4. 0ara fabricar dos tipos de gasolina a comercializar y que deben cumplir ciertas especificaciones. (bjetivo3 %a-imizar las utilidades. $efinición de las variables3 Tij V Marriles de gasolina base tipo i para producir gasolina comercial tipo j en una semana. 0lanteamiento de loas Pestricciones3 $e octanaje3 Pegular3 D8H TDD W 78 T4D W2* T*D Z H8 special3 D8H TD4 W 78 T44 W 2* T*4 Z D88 0resión de vapor3 Pegular3 O TDD W D8 T4D W + T*D X 7 special3 O TD4 W D8 T44 W + T*4 X J $isponibilidad de gasolina base3 /ipoD3 TDD W TD4 X *4 888 /ipo43 T4D W T44 X 48 888 /ipo*3 T*D W T*4 X *H 888 $e demanda de gasolina regular3 TDD W T4D W T*D V *8 888 9o negatividad3 Tij Z 8> ] i,j &unción objetivo3 %#T = V 4D5TDD W T4D W T*D6 W 4O5TD4 W T44 W T4*6 ? [445TDD W TD46W 485T4D W T446WD75T*D W T*46\ •
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Caso 'ondo de In&e%si#n de la E!%esa del NíBel /MINAS1 "dentificación3 )elección de !artera de "nversión. !onsideraciones3 D. )e deben invertir los I4 888 888 4. l riesgo no debe ser superior a 8.48 *. l perodo promedio debe ser cuando menos cinco aos y cuando más puede invertirse el 4+G de la cartera de bienes races y acciones especulativas. $efinición de las variables3 T j V 0roporción de la cartera que se invierte en el tipo de inversión j, en el perodo que se designe. T j toma variable entre 8 y D. !omo no se especifica el monto para algún tipo de inversión, da un monto total. 0lanteamiento de las Pestricciones3 $e inversión total3 T D W T4 W T* W TO W T+ W TJ V D •
$el factor riesgo3 8.84 TD W 8.8D T4 W 8.*H T* W 8.O+ TO W 8.82 T+ W 8.*+ TJ X 8.48 0erodo de inversión3 H TD W4 T4 W + T* W J TO W 4 T+ W O TJ Z+ Legal3 TO W TJ X 8.4+ 9o negatividad3 T j Z 8, j V D,4,*,O,+,J &unción objetivo3 %#T =V 8.8H+ TD W 8.87 T4 W 8.8H+ T* W 8.DO* TO W 8.8J2 T+ W 8.D* TJ • • • •
Caso EMPRESA A,CO5A NACIONA5 "dentificación3 #nálisis de actividad. !onsideraciones3 D. Fay gallinas y huevos. 4. Las gallinas tienen dos objetivos3 poner huevos y utilizarlos para reproducir. *. l huevo tiene un solo objetivo3 para incubar. $efinición de las variables3 Tt V !antidad de gallinas incubando en el perodo t. ^t V 9úmero de gallinas que ponen huevos en el perodo t. =t V 9úmero de huevos que se incuban en el perodo t. t V D, t V 4, t V * 0lanteamiento de las Pestricciones3 0ara t V D3 OTD W =D V D88 TD W ^D V D88 0ara t V 43 O T4 W =4 V D4^D 0ara t V *3 O T* W =* V D4^4 9o negatividad3 Tt , ^t , =t , Z 8, t V D,4 &unción (bjetivo3 %#T =V* 5O TD W O T4 W O T*6 W =D W =4 W =* Caso - Planta Mec)nica 9Taíno: "dentificación3 0ortafolio de inversión. !onsideraciones3 D. )e busca asignar capital para los proyectos de crecimiento durante los pró-imos O aos. 4. Fay limitación de recursos. *. )e conoce el valor presente estimado y lo que requiere cada proyecto en los siguientes aos. O. )e conoce la disponibilidad de fondos. (bjetivo3 %a-imizar el valor presente. $efinición de las variables3 T j V Ralor proporcional que indica la medida en que financia el proyecto j. T j V D "ndica que el proyecto se financia completamente. T j _ D )eala que se somete a análisis su solución. 0lanteamiento de las restricciones3 Pequerimiento de capital por ao3 #o D3 *8,888 TD W D4,888 T4 W *8,888 T* W 48,888 TO X J+,888 #o 43 O8,888 TD W H,888 T4 W 48,888 T* W *8,888 TO X H8,888 #o *3 O8,888 TD W 48,888 T* W O8,888 TO X H8.888 #o O3 *8,888 TD W O,888 T4 W 48,888 T* W D8,888 TO X +8,888 ` 9o 9egatividad3 T j Z 8 &inanciamiento fraccionario de un proyecto3 8 X T j X D j V D, 4, *, O &unción (bjetivo3 %#T = V DH8,888 TD W 48,888 T4 W 24,888 T* W H8,888 TO •
Caso -CUANACAN* S. A /Est(dio de Me%cadotecnia1 "dentificación3 0roblema de %ercadotecnia. !onsideraciones3 D. La variable consiste en determinar el número de dólares de publicidad que debe invertirse en cada revista. 4. $eterminar el número de anuncios que debe colocar en cada revista.
*. )e cuenta hasta con I*H 888.88 dólares para invertir en publicidad y una determinada estructura de los clientes por edad, ingreso, educación. O. ^ también se cuenta con una información complementaria de la cantidad de lectores por revista y restricciones en cuanto al número má-imo y mnimo de anuncios y el costo por anuncio. +. l eje del problema es determinar cómo distribuir los I *H 888 entre las tres revistas de tal manera de lograr la mayor efectividad de los anuncios. $efinición de la variables3 TD V !antidad de dólares que se deben invertir en la re vista #, en el perodo que se analiza. T4 V !antidad de dólares que se deben invertir en la revista M, en el perodo que se analiza. T* V !antidad de dólares que se deben invertir en la revista !, en el perodo que se analiza. 0lanteamiento de las Pestricciones3 $isponibilidad en efectivo3 TDW T4 W T* X *H,888 )obre el má-imo de anuncios3 5TD S+886 X *J 5T 4 S2+86 X O8 5T * SH886 X O+ )obre el mnimo de anuncios que se deben hacer3 5TD S+886 Z 7 5T * SH886 Z + 9o 9egatividad3 T D , T4 , T* Z 8 • •
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&unción (bjetivo3 0ara ma-imizar la e-posición efectiva 5la efectividad que tenga la revista6. Fallar primero el ndice de lectura3 ndice de la lectura de la revista #3 58.O86 5O86 W 58.*+6 5J86 W 58.4+6 5*86 V8.OO+ ndice de lectura de la revista M3 58.O86 5286 W 58.*+6 5+86 W 58.4+6 5486 V 8.+8+ ndice de la revista de la lectura !3 58.O86 5J86 W 58.*+6 5O86 W 58.4+6 5J86 V 8.+*8 Lectores por revistas3 Pevista #3 58.OO+6 52H7 8886 V *+D D8+ Pevista M3 58.+8+6 57O8 8886 V O2O 288 Pevista !3 58.+*86 5D 4+8 8886 V JJ4 +88 %a-imizar la e-posición efectiva 5un dólar que invierta produzca la mayor cantidad de lectores6. sto se calcula dividiendo la cantidad de lectores entre el costo de un anuncio. -posición efectiva3 !antidad de lectores por anuncio y por peso. Pevista #3 5*+D D8+6S +88 V 284 Lectores por dólar. Pevista M3 5O2O 2886S 2+8 V J** Pevista !3 5JJ4 +886S H88 V H4H •
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%#T = V 284 TD W J** T4 W H4H T*
Caso - 6osital Clínico H(i%%gico de Santiago de C($a "dentificación3 0lanificación de !alendarios. !onsideraciones3 Los horarios 5turnos6 de O horas. D. Fay una necesidad de enfermeras, un má-imo y un mnimo en cada horario. (bjetivo3 %inimizar el número total de enfermeras que cumpla con la necesidad del hospital, a partir de no violar las H horas de trabajo continuo como má-imo. $efinición de las variables3 Tt V 9úmero de enfermeras comenzando a trabajar en el turno t. tV D, 4, *, O, +, J. Tt Rariable ntera 0lanteamiento de las Pestricciones3 )obre el má-imo y el mnimo de enfermeras en cada turno. D+8 X TJ W TD X D28 D48 X TD W T4 X D*+ DJ8X T4 W T* X DJ+ 78 X T* W TO X D48 •
*8 X TO W T+ X O8 J8 X T+ W TJ X 2+ 9o 9egatividad Tt Z 8 &unción (bjetivo3 min. = V TD W T4 W T* W TO W T+ W TJ •
Caso -2 5ag(na lanca "dentificación3 #nálisis de actividad. !onsideraciones3 D. !onfeccionar el plan D77O de una empresa agrcola, el plan tiene que ma-imizar el valor de la producción. 4. )e ofrecen indicadores3 rendimiento, fuerza de trabajo y riego. *. )e conocen las disponibilidades. O. La empresa produce dos tipos de vianda3 plátano y yuca. $efinición de las variables3 TD V 0roducción de plátano en t para el ao D77O. T4 V 0roducción de yuca en t para el ao D77O. Pestricciones3 $isponibilidad de tierra3 8.8** TD W 8.8O T4 X 28 $isponibilidad de fuerza de trabajo3 TD W D.J T4 X 4 +88 Piego en octubre3 *8 TD W 4J T4 X +2 788 Piego en noviembre3 O8 TD W *O T4 X DD+ 488 9o 9egatividad3 TD , T4 Z 8 &unción (bjetivo3 %#T = V J.8J TD W O.+T4 • • • • •
Caso -4 E!%esa Mine%a de C($a "dentificación3 )elección del personal. !onsideraciones3 D. )erie de proyectos 5*6. 4. !ontratistas. *. )e conocen los costos que cada contratista pide por el proyecto. (bjetivo3 l problema consiste en seleccionar a los contratistas que minimicen los costos para la realización del proyecto. $efinición de las variables3 Tij V )elección del contratista i al proyecto j. i V D,4,* j V D,4,* 0lanteamiento de las Pestricciones3 !ada contratista debe elegir un proyecto. TDD W TD4 W TD* V D T4D W T44 W T4* V D T*D W T*4 W T** V D !ada proyecto solo puede ser ejecutado por un solo contratista3 TDD W T4D WT*D V D TD4 W T44 W T*4 V D TD* W T4* W T4O V D 9o 9egatividad3 T ij Z 8 > ij &unción (bjetivo3 %in. = V 4H TDD W *4 TD4 W *J TD* W *J T4D W 4H T44 W*8 T4* W*H T*D W*O T*4 WO8 T** •
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Caso -7 CITMA "dentificación3 valuación de proyectos. !onsideraciones3 D. )e deben seleccionar cuatro fábricas de un universo de seis para concretar el proyecto 4. Rariable binaria *. )e conocen las disponibilidades de tiempo y de recursos financieros
O. -clusión entre variables (bjetivo3 l problema consiste en seleccionar las cuatro fábricas, entre las seis que se proponen, de tal manera que se ma-imice la reducción de contaminantes, considerando las restricciones de tiempo, de presupuesto y de e-clusión entre las variables. $efinición de variables3 8 X TE X D TE V ntera V V )elección de la fábrica = = D, 4, *, O, +, J TD V )eleccionar la &ábrica de !erveza T4 V K K K !emento T* V K K K 0astas y !aramelos TO V K K Pefinera T+ V K K %olinera TJ V K K Pecapadora 0lanteamiento de las restricciones. Pestricción para la disponibilidad de presupuesto3 488TD W *88T4 W 4+8T* W *+8 TO W D88T+ W D+8TJ X D 888 888 Pestricción de disponibilidad de tiempo3 78TD W D48T4 W H8T* W D+8TO W J8T+ W J8TJ X DH8 )i se escoge la &ábrica de !erveza debe escogerse la &ábrica de 0astas y !aramelos TD C T* X 8 ntre Pefinera y %olinera debe escogerse al menos uno TO W T+ Z D &unción (bjetivo %#T = V 4HTD W *+T4 W *8T* W O8TO W 48T+ W 4+TJ
Caso -8 Ag%ic(lt(%a U%$ana "dentificación3 0rogramación en nteros. !argo &ijo. #lternativa de producción. !onsideraciones3 D. Fay restricciones con los recursos 5disponibilidad de tierra y de tiempo6. 4. Fay gastos fijos de tiempo para la producción de determinados productos. *. Fay alternativas de producción O. )e deben considerar variables au-iliares de carácter entero 5binarias6. (bjetivo3 l problema consiste en designar qué cantidad de tierra 5en hectáreas6 se debe asignar a la producción de cada tipo de cultivo, para que, considerando los elementos restrictivos, se ma-imicen las ganancias. $efinición de variables3 TD V Fectáreas de tierra dedicadas a la producción de tomate T4 V K K K K K lechuga T* V K K K K K rábano TO V K K K K K calabaza T+ V K K K K K pepino D V Rariable au-iliar binaria, asociada a la variable esencial TD 4 V Rariable au-iliar binaria asociada a la variable esencial T4 * V Rariable au-iliar binaria asociada a la variable esencial T* O V Rariable au-iliar binaria asociada a la variable esencial TO T j Z 8 8 X j X D y ntera 0lanteamiento de las restricciones $isponibilidad total de horas?hombre3 +TD W HT4 W 2T* W JTO W OT+ W D,+ O X 4 O88 $isponibilidad total de tierra3 TD W T4 W T* W TO W T+ X D+8 Pestricciones de ligadura 5!ota superior6 entre las variables esenciales y au-iliares3 TD X D+8 D T4 X D+8 4 T* X D+8 * TO X D+8 O Pestricciones para el cumplimiento de los planes de producción condicionales3
TD Z 5++8S486 D TO Z 5788S*+6 O Pestricciones de carácter e-cluyente entre tipos de producciones3 D W 4 W * X 4 &unción objetivo3 %#T = V 428.88TD W 488.88 T4 W *O8.88 T* W 4+8.88 TO W *88.88 T+
Caso -; MINAZ "dentificación3 0roducción e "nventario. !onsideraciones3 D. $emanda conocida en un horizonte de planificación a O meses. 4. !osto de tiempo e-tra conocido. *. !osto de almacenamiento conocido. O. 0roducción desconocida. 50uede hacerse en tiempo normal o tiempo e-tra6. (bjetivo3 $eterminar la cantidad de unidades que deben fabricarse durante el tiempo normal y el tiempo e-tra para minimizar los costos totales. $efinición de variables3 T j V cantidad de artculos a producir en tiempo normal en el mes j. ^ j V !antidad de artculos a producir en el tiempo e-tra en el mes j. = j V !antidad de artculos a almacenar en el mes j. 0lanteamiento de las restricciones3 l número total de unidades que se fabriquen en los turnos normales o e-tras, menos el inventario en el mes j debe satisfacer la demanda. %es D3 TD W ^D C =D V D H88 %es 43 T4 W ^4 W=D ?=4 V 4 488 %es *3 T* W ^* W =4 ? =* V * O88 %es O3 TO W ^O W =* V 4 H88 $e la capacidad de producción en tiempo normal3 TDX 4 O88 T4 X 4 O88 T* X 4 O88 TOX 4 O88 $e la capacidad de producción en tiempo e-tra3 ^D X H88 ^4 X H88 ^*X H88 ^O X H88 9o 9egatividad3 T j , ^ j , = j Z 8 jVD,4,*,O &unción (bjetivo3 min. =V 2 5^D W ^4 W ^* W ^O6 W *5=D W =4 W =* W =O6 =O V 8 ^a que no debe quedar nada en el tiempo normal. •
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Caso - Política de In&e%siones de CUANACAN "dentificación3 !artera de inversión. !onsideraciones3 D. Fay una restricción por cada perodo. 4. La clave del problema es saber que los fondos disponibles para la inversión en cualquier ao depende de las acciones que se hayan emprendido en aos anteriores. (bjetivo3 (btener el rendimiento má-imo de J88 888 dólares al final del perodo. "nversión $isponible /ipo D #o D K 4 K + K J /ipo D #o 4 K 4 K * K J /ipo D
#oD
#o 4
#o *
#o O
4HG DJG O+G 8G 4HG DJG +8G 8G 4HG
#o +
#o J
#o * #o O
K 4 K J /ipo D K 4 K O K J
DJG 8G 4HG DJG O8G 8G
/ipo O #o +
O8G K J K 4
#o J /ipo J
8G DJG 8G
$efinición de las variables3 Tij V /ipo de inversión i a realizar en el periodo j. 0lanteamiento de las Pestricciones3 #o D3 l dinero total que se invierte en las inversiones D, 4, +, J sea igual al total del dinero disponible. TDD W T4D W T+D W TJD V J88 888 #o 43 l dinero total que se invierte en las inversiones D, 4, *, J al principio del ao 4 es igual a lo que no se invierte en el ao D. TD4 WT44 W T*4 WTJ4 V TJD #o *3 l total de dinero que se invierte en los tipos D, 4, J a principio del ao * debe ser igual al dinero no ocupado en el ao 4 más la inversión producida en el tipo 4 que se realizó en el ao D. TD* WT4* WTJ* V TJ4 W D.DJT4D #o O3 l total de dinero que se invierte en los tipos D, 4, O, J a principio del ao O debe ser igual al dinero no ocupado en el ao * más las inversiones que vencieron al ao *. TDO W T4O WTOO WTJO V TJ* WD.4H TDD WD.DJ T4* #o +3 l total de dinero que se invierte en los tipos 4, O, J al principio d el ao + más las inversiones que terminan en el ao O e-cepto la inversión del tipo * en el ao 4. T4+ W TO+ W TJ+ V TJO WD.O+ T+D WD.4H TD4 WD.DJ T4O #o J3 TJJ V TDO W TO+ W T4+ W TJ+ 9o 9egatividad3 T ij Z 8 ⊬ i,j &unción (bjetivo3 %#T = V D.4H TDO WD.O TO+ WD.DJ T4+ W TJJ •
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Caso - SEDER Uni&e%sita%io "dentificación3 )elección de personal. !onsideraciones3 )e deben seleccionar cuatro jugadores de baloncesto de un universo de seis Rariable binaria )e desea ma-imizar la altura de los jugadores -clusión entre variables (bjetivo3 l problema consiste en seleccionar cuatro jugadores de una disponibilidad de seis, de tal manera que se ma-imice la estatura de los seleccionados, considerando la e-clusión entre las variables. $efinición de variables3 TE V )elección del jugador V E V D ,,,,,,,,,, J 8 X TE X D TE V ntera Pestricciones TD W T4 W T* W TO WT+ W TJ V O 5DHTD W48 T4 WDJ T*W44 TO WD2T+ W 4DTJ6 S O X D7 TD W T* WT+ Z D TD W T* WT+ X 4 TO ? T+ V 8 &unción (bjetivo3 %á-. = V D78TD W 488T4 W D2+T* W D7+TO WDH8T+ W48DTJ • • • •
Caso ')$%ica del MINAS "dentificación3 0rogramación en nteros. !argo &ijo. #lternativa de producción. !onsideraciones3 Fay restricciones con los recursos 5disponibilidad de almacenamiento y alternativas para su uso6. Fay gastos fijos de dinero para la producción de todos los productos. Fay alternativas de producción )e deben considerar variables au-iliares de carácter entero 5binarias6. (bjetivo3 l problema consiste en designar qué número de rotores producir de cada tipo, para que, considerando los elementos restrictivos, se minimicen los costos. $efinición de variables3 Rariables esenciales 5de decisión6 TE V 9úmero de rotores del tipo E E V D ,,,,,,,,,,,, + TE Z 8 E V Rariable au-iliar asociada a TE 8 X XD V ntera 5R. Minaria6 Pestricciones de cota superior 5ligadura63 TD X / D > T4 X / 4 > T* X / * > TO X / O T+ X / +> / V !ota superior 50arámetro6 Pestricción de almacenamiento3 TD S*88 W T4 S*+8 W T* SO88 W TO S*2+ WT+ S4+8 X D &'9!"9 (ME/"R(3 %in = V O.88TDW+.+8T4WJ.48T*WH.88TOWDD.+8T+WD88 D W D88 4 WD88 * WD48 O W D48 + • • • •
Caso 'AR "dentificación3 0roblema de las fuerzas armadas. !aractersticas3 D. )e plantea cuántos bombarderos deben disponerse y cómo deben ser distribuidos par asegurar el é-ito. 4. !omo mnimo distribuir una planta. *. Fay una cantidad de bombarderos de cada tipo. O. Fay lmite de combustible. +. )e conoce la probabilidad de destrucción de bombardeo. (bjetivo3 )e desea ma-imizar la probabilidad de destruir por lo menos una planta. !omo se trabaja con una probabilidad, = no puede ser mayor que D. %a-imizar la probabilidad de destruir al menos una planta es equivalente a la probabilidad de minimizar, o sea de no destruir ninguna. $efinición de las variables3 Tij V 9úmero de bombarderos tipo i enviados a la ciudad j. 0lanteamiento de las Pestricciones3 $isponibilidad de combustible. ++8 TDD W+H8 TD4 WJO8 TD* W288 TDO WO88 T4D WO48 T44 WOJ8 T4* W+88 T4O X OH 888 $isponibilidad de aviones. TDD W TD4 W TD* W TDO X OH T4D W T44 W T4* W TDO X *4 9o 9egatividad. Tij Z 8, i,j VD,4,*,O 0lanteamiento de la &unción (bjetivo3 %in = V 5D?8.D6TDD W 5D?8.46TD4 W5D?8.D+6TD* W5D?8.4+6TDO W5D?8.8H6T4D W 5D?8.DJ6T44 W 5D?8.D46T4* W5D?8.46T4O %in = V 8.7TDDW 8.HTD4 W8.H+TD* W 8.2+TDO W8.74T4D W 8.HOT44 W8.HHT4* .HT4O #plicando logaritmos3 Log = VTDD log8.7WTD4 log8.H W TD* log8.H+ W TDO log 8.2+ W T4D log 8.74 W T44 log 8.HO W T4* log 8.HH W T4O log 8.H !omo = no es la suma de todos estos términos, luego para cada término T ij su coeficiente será el logaritmo de la cantidad indicada, por ejemplo log 8.7 TDD •
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#l minimizar la no destrucción se presenta el problema que es el de X en todas las restricciones, de tal manera que debemos pasar al mnimo al má-imo, o sea, !in Z Z La nueva función objetivo sera3 %#T Clog = V %#T log 5DSz6 V 8.8O+2 T DD W 8.87JD TD4 W8.828J TD* W8.D4O7 TDO W8.8*J4O T4D W8.8J++H T44 W8.8+++ T4* W8.87J7 T4O (bservaciones3 La suma de los logaritmos por término no tiene ninguna relación con las propiedades de los logaritmos, sólo juega un papel de coeficiente en la función objetivo.
Caso E!%esa de e$idas + 5ico%es "dentificación3 %ezclas. !onsideraciones3 D. Fay tres tipos de ron a producir. 4. )e conocen las especificaciones de las mezclas, precios unitarios y costos de las materias primas. (bjetivo3 $eterminar la mezcla que ma-imice la utilidad. $efinición de las variables3 Tij Pepresenta la unidades del ingrediente i en la mezcla j por da. 0lanteamiento de las Pestricciones3 $e especificaciones. TDD X 8.J 5TDD W T4D W T*D6 T*D X 8.4 5TDD W T4D W T*D6 T*4 X 8.J 5TD4 W T44 W T*46 TD4 X 8.D+5TD4 W T44 W T*46 T** X 8.+ 5TD* W T4* W T**6 $isponibilidad de materia prima TDD W TD4 W TD* X 4 888 T4D W T44 W T4* X 4 +88 T*D W T*4 W T** X D 488 9o 9egatividad3 T ij Z 8, para todo i, j V D,4,* 0lanteamiento de la función objetivo3 %#T = V J.H5TDD W T 4D W T *D6 W +.25TD4 W T 44 W T4*6 W O.+5TD* W T 4* W T**6 ? [25TDD W T D4 W TD*6 W +5T4D W T 44 W T4*6 W O5T*D W T*4 W T**6\ •
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Caso 2 MINTUR "dentificación3 0roblema de mercadotecnia. !onsideraciones3 D. !uota y las horas disponibles de la maana, tarde y noche. (bjetivo3 )e busca ma-imizar la probabilidad de respuesta. $efinición de las variables3 Tij V 9úmero de vistas de tipo i realizadas durante el periodo del da j. 0lanteamiento de las Pestricciones3 )obre disponibilidad de cuota. TDD W TD4 W TD* X +8 T4D W T44 W T4* X D88 T*D W T*4 W T** X D+8 )obre disponibilidad de tiempo en cada parte del da. 0ara j V D 4 TDD W 4 T4D W 4 T*D X *88 0ara j V 4 * TD4 W * T44 W * T*4 X *88 0ara j V * * TD* W * T4* W * T** X 4O8 9o 9egatividad3 T ij Z 8, para toda i, j V D,4,* !omo hay probabilidad de respuesta habrá que minimizar la probabilidad de no respuesta en la &'9!"9 (ME/"R(. %in = V 8.7TDD W 8.+T4DW 8.4+T*D W 8.7TD4 W 8.JT44 W 8.OT*4 W 8.+TD* W8.*T4* W 8.DT** #plicando logaritmos, se tiene3 log = V TDD log 8.7 WT4D log 8.+ W T*D log 8.4+ W TD4 log 8.7 W T44 log 8.J WT*4 log 8.O WTD* log 8.+ WT4* log 8.* WT** log 8.D •
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%in = V ma- 5C =6 > min = V ma- 5C log =6 V ma- log 5DS=6 V 8.8O+2T DD W 8.*8D8T4D W 8.J84T*D W 8.O+2TD4 W8.44DHT44 W 8.*727T*4 W 8.*8D8TD* W8.+44HT4* W T**
Caso 4 MINAS "dentificación3 #nálisis de actividad. !onsideraciones3 D. 0arámetros mnimos que hay que completar. 4. !aractersticas de cada planta. *. $atos económicos. (bjetivo3 %inimizar los costos totales. $efinición de las variables3 T j ? "nstalación del tipo j que se va a utilizar en el periodo. 0lanteamiento de las Pestricciones3 ;arantizar la potencia de los consumos durante las horas hábiles. TD WT4 WT* WTO WT+ Z D.J74 ;arantizar la potencia má-ima. D.D+TD W D.DT4 W D.4T* W *TO W4.D*T+ Z 4.*82 nerga anual consumida. 2TD W D4.JT4 WD.*T* W 2.*+TO W+.O2T+ 2.488 9o 9egatividad3 T j Z 8> j V D,4,*,O,+ 0lanteamiento de la &unción (bjetivo3 •
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∑ %in = V J =1 5inversión W costo de mantenimiento Wgasto de combustible6 T j V 58.D*-D888 para llevarlo a megavatioShora - consumo W !osto de mantenimiento *.D4 V O.8* entre D.8H para la actualización V 4.H7 W inversión V 77 H78 888TD WO47 O27 J*8T4 WD*D JD7 888T* W*D+ 2JO *+4TO W 4DH 74J H+4T+
Caso 7 alance Secto%ial $efinición de las variables3 Tij< %ontante en dólares que se dedican al sector i en la industria j y tecnologa <. T j )ector i en dólares. ^i -portación del sector i 5en dólares6. = j "mportación del sector i 5en dólares6. 0lanteamiento de las Pestricciones3 Mienes agropecuarios3 TD C 5D8TDDD W8.D+TDD4 W8.D*TD4D W8.D+TD446 C 8.8+T* V 8 TD C 8.78^D W DD8=D Z H88 Mienes industriales3 T4 C 58.4+T4DD W 8.*8T4D4 W 8.4+T44D W8.4*T4446 C 8.4+T* V 8 T4 C D.4+^4 W D.+8=4 Z O88 )ervicios 58.48T*DD W 8.48T*D4 W8.D+T*4D W 8.48T*446 W 8.48T* Z 8 Pequerimientos de capital3 D.48 5TDDD WT4DD6 W D.8+ 5TDD4 W T 4D46 W D.D5TD4D W T 44D6 W 45TD44 W T 4446 W8.7T* X +8 W 8.78 ^ D C D.D*D W D.4+ ^4 Pequerimientos de fuerza de trabajo3 ?D.+=4 W 8.H5TDDD W T 4DD W T *DD6 W D.+5TDD4 WT4D4 WT*D46 W 8.75TD4D WT44D W T *4D6 W 8.*5TD44 WT444 WT*446 W 8.OT* X D488 Ti Z 8> ^i Z 8> =i Z 8> Tij< Z8> i,j,< &unción (bjetivo3 %in = V D.485TDDD WT4DD6 WD.8+5TDD4 WT4D46 W D.D5TD4D WT44D6 W 4 5TD44 WT4446 W 8.7T* C 58.78^D W D.4+^46 W 5D.D=D W D.+ =46 •
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Caso 8 CEATEM
"dentificación3 0roducción e "nventario !aractersticas3 D. )e tiene una e-istencia inicial de 488 unidades. 4. 9o se puede pasar de +88 artculos en el almacén. *. )e conocen los costos y los precios de venta. (bjetivo3 %a-imizar las utilidades. $efinición de las variables3 Ti V 'nidades compradas en el mes i. ^i V 'nidades vendidas en el mes i. 0lanteamiento de las Pestricciones3 l comerciante no puede vender lo que no tiene. )i se designa por n el número de meses, cuando n V D la restricción será ^D X 488 0ara n V 4, tendra ^D que es lo que le queda en el primero, más ^4 , menos lo que compra TD> ^D W ^4 C TD X 488 0ara n V* ^D W ^4 W ^* ? TD C T4 X 488 0ara n V O ^D W ^4 W ^* W ^O ? TD C T4 C T* X 488 0ara n V + ^D W ^4 W ^* W ^O W ^+ ? TD C T4 C T* C TO X 488 0ara n V J ^D W ^4 W ^* W ^O W ^+ W ^J ? TD C T4 C T* C TO C T+ X 488 9o se puede sobrepasar la capacidad del almacén, por lo tanto en sentido general, las restricciones tendrán las formas siguientes3 488 W Ti C ^ j X +88 además Ti C ^i X *88> tendramos3 )i n V D, TD C ^D X *88 )i n V 4, TD W T4 ? ^D C ^4 X *88 )i n V *, TD W T4 W T* ? ^D C ^4 X *88 )i n V O, TD W T4 W T* ? ^D C ^4 C ^* C ^O X *88 )i n V +, TD W T4 W T* W TO W T+ ? ^D C ^4 C ^* C ^O ? ^O X *88 )i n V J, TD W T4 W T* W TO W T+ W TJ ? ^D C ^4 C ^* C ^O C ^+ C ^J X *88 9o 9egatividad3 Ti, ^i Z 8, para todo i. &unción (bjetivo3 %#T = V 4H^D W 4+ ^4 W4+ ^* W42 ^O W4* ^J ? [42 TD W4O T4 W 4J T* W 4H TO W44 T+ W4D TJ\ •
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Caso ; INDER "dentificación3 0rogramación por metas con prioridades y ponderaciones y análisis de actividad. !aractersticas3 D. )e cuenta con dos departamentos que producen tres tipos de abrigo. 4. )e conoce el requerimiento de mano de obra y de materiales. *. )e conoce el precio unitario de cada uno. O. )e conoce la demanda del mercado. $efinición de las variables3 T j "ndica el número de abrigos del tipo j que deben ser fabricados a la semana. diW "ndica el sobrelogro de la restricción i. di? "ndica el sublogro de la restricción i. 0lanteamiento de las Pestricciones3 !umplimiento de tiempo en el departamento D. O TD W D4 T4 WD8 T* W di? ? dDW V H 888 J TD W J T4 WDJ T* W d4? ? d4W V O 888 $e demanda del producto D, nivel de equilibrio, indica el mnimo a producir. TD W d*? ? d*W V D88 T4W dO? ? dOWV +8 T* W d+? C d+W V +8 Limitar el tiempo e-tra en el departamento D y 4. W dD W dJ? ? dJW V 488 d4WW d2? ? d2WV J88 !onsumo material. H TD WJ T4 WD4 T* WdH? ? dHW V H 888 #nalizar las utilidades de 48 888. •
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*8 TD W28 T4 WD+8 T* ? [4 dDW W* d4W W 4 dHW\ W d7? ? d7W V 48 888 )atisfacer las demandas del mercado. TD W dD8? V D 888> T4W dDD? V +88> T* WdD4? V 488 9o 9egatividad3 T j Z 8, j V D, 4,*> di? Z 8, i V D,4,, D4> d iW Z 8, i V D, &unción (bjetivo3 %in = V 0D 5dD? W d4?6 W 04 5d*? W dO? W d+?6 W 0* 5dJW W d2W6 W 0O 5d7?6 W 0+ 5*8 dD8? W 28 dDD? W D+8dD4?6 •
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Caso INDER /II1 "dentificación3 #nálisis de actividad. !aractersticas3 D. )e producen tres tipos de raquetas. 4. )e conoce el tipo de raqueta en la operación. *. )e conoce el tiempo disponible para los procesos. O. )e conoce la demanda y la utilidad unitaria. (bjetivo3 %a-imizar la utilidad. $efinición de las variables3 T j $etermina la cantidad de raquetas j a producir semanalmente. 0lanteamiento de las Pestricciones3 $e operación. D3 * TD W * T4 W * T* X +8 43 4 TD W O T4 W+ T* X H8 $e demanda. TD X 4+ D8 X T4 W T* X *8 9o 9egatividad3 T j Z 8> j V D,4,* &unción (bjetivo3 %#T = V 2 TD W H T4 W H.+ T* •
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Caso SIME "dentificación3 %ezclas. !aractersticas3 D. )e conocen los requerimientos. 4. l costo. *. Los tipos de mineral. O. Las especificaciones de las piezas a fabricar. (bjetivo3 %inimizar los costo de fabricación. $efinición de las variables3 T j Pepresenta la cantidad de libras del mineral j para fabricar piezas con las especificaciones indicadas. 0lanteamiento de la Pestricciones3 0lomo O TD W4 T4 W* T* W4 TO Z O8 !obre 4 TD W J T4 WO T* W* TO Z OH Fierro colado 4 TD WJ T4 W2 T* W H TO Z J8 9o 9egatividad TE Z 8> E V D,4,*,O &unción (bjetivo3 %#T = V 48 TD W *8 T4 W J8 T* W +8 TO • • • •
Caso 2 Ministe%io de la Ag%ic(lt(%a /MINA
$e disponibilidad3 %an TDD W TD4 W TD* X D 888 0asas T4D W T44 W T4* X 4 888 #lgarroba T*D W T*4 W T** X * 888 $e requerimiento3 9ormal3 TDD W T4D W T*D V 8.45TDD W T4D W T*D W TD4 W T44 W T*4 W TD* W T4* W T** 6 special3 8.45TD4 W T44 W T*4 6 X TD4 X 8.+ 5TD4 W T44 W T*4 6 8.45TD4 W T44 W T*4 6 X T44X 8.+ 5TD4 W T44 W T*4 6 8.45TD4 W T44 W T*4 6 X T*4X8.+ 5TD4 W T44 W T*4 6 -tra3 T4* Z 58.4+65 TD* W T4* W T** 6 TD* X 58.4+65 TD* W T4* W T** 6 9o 9egatividad3 T ij Z 8> para toda i V D,4,* &unción (bjetivo3 %#T = VD.+5TDD W T4D W T*D 6 W4.45TD4 W T44 W T*4 6 W *.+65 TD* W T4* W T** 6 ? [8.7 5 TDDW TD4 W TD* 6 W D.J5T4D W T44 W T4* 6 W D.+5T*D W T*4 W T** 6 W 4888\ • • • • • • •
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Caso 2E!%esa del Pet%#leo + s(s De%i&ados "dentificación3 #nálisis de actividad. !aractersticas3 D. )e tienen dos tipos de petróleo. 4. 0ara producir gasolina y
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Caso 2 E!%esa de Ae%on)(tica Ci&il "dentificación3 #nálisis de actividad en el transporte. !aractersticas3 D. l avión no parte hasta que todas sus bodegas hayan sido cargadas. 4. )e cuenta con tres bodegas. *. 9o se debe transportar más de D88 toneladas de carga. O. )e conoce la relación de carga entre las bodegas. (bjetivo3 %a-imizar las utilidades del transporte. $efinición de las variables3 TD V !arga en la bodega inferior. T4 V !arga en la bodega intermedia. T* V !arga en la bodega superior. 0lanteamiento de las Pestricciones3 !apacidad3 TD W T4 W T* X D88 TD X O8 * T 4 V TD T4 W T* X J8 9o 9egatividad3 TD, T4, T* Z 8 &unción (bjetivo3 %#T = V H TD W D8 T4 W D4 T* •
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Caso 22 MINA
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Caso 27 MINA
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;ranja *3 J TD* W + T4* W O T** X *28 888 ;ranja O3 J TDO W + T4O W O T*O X H78 888 9úmero de hectáreas de cada granja disponibles para cada cultivo. TDD X 488 TD4 X *88 TD* X D88 TDO X 4+8 T4D X D+8 T44 X 488 T4* X D+8 T4O X D88 T*D X 48 T*4 X *+8 T** X 488 T*O X *88 (tras Pestricciones3 $e porcentaje igual de tierra disponible. 50roporcional6. 5TDD W T4D W T*D6 V 5TD4 W T44 W T*4 6V 5TD* W T4* W T**6 V 5TDO W T4O W T*O6 O+8 J+8 *+8 +88 9o 9egatividad3 T ij Z 8> i V D,4,* j V D,4,*,O &unción (bjetivo3 %#T = V +885TDD W TD4 W TD* W TDO6W *+85T4D W T44 W T4* W T4O6 W 4885T*D W T*4 W T** W T*O6 •
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Caso 28 Ministe%io del T(%is!o /MINTUR1 "dentificación3 )elección del personal. !onsideraciones3 D. #signar personal a cinco tareas. 4. 'n operador sólo puede ejecutar un solo trabajo. (bjetivo3 %a-imizar la productividad. $efinición de las variables3 Tij )elección del personal i para el trabajo j. 0lanteamiento de las Pestricciones3 !ada trabajo debe ejecutarse por un solo operador. TDD W T4D W T*D W TOD W T+D V D TD4 W T44 W T*4 W TO4 W T+4 V D TD* W T4* W T** W TO* W T+* V D TDO W T4O W T*O W TOO W T+O V D TD+ W T4+ W T*+ W TO+ W T++ V D !ada operador debe ejecutar un solo trabajo3 TDD W TD4 W TD*W TDOW TD+ V D T4D W T44 W T4* W T4OW T4+ V D T*D W T*4 W T** W T*O W T*+V D TOD W TO4 W TO*W TOO W TO+ V D T+D W T+4W T+*W T+O W T++ V D 9o 9egatividad3 8 X T ij XD> i,j V D,4,*,O,+> Tij ntero &unción (bjetivo3 %#T = V D4 TDD W DJ TD4 W 4O TD* W H T DO W 4TD+ W J T 4D W H T44 W 48 T4* WDO T4O W J T4+ W D8 T*D W J T*4 W DJ T** W DH T*O W D4 T*+ W 4 TOD W O TO4 W 4 TO* W 4O TOO W 48 TO+ W 2 T+D W D8 T+4 W J T+* W J T+O W DH T++ •
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Caso 2; CUAPAPE5 "dentificación3 #nálisis de actividad. (bjetivo3 %inimizar el desperdicio de papel en los cortes. $efinición de las variables3 Tij V 9úmero de rollos de D48 pulgadas a cortar para la variante j.
0lanteamiento de las Pestricciones3 $e desperdicio3 TD V D H88 T4 V +88 4T* W T+ V D 488 T4 W 4TO W T+ V D O88 9o 9egatividad3 T j Z 8 &unción (bjetivo3 %in = V O8TD W 48TO W D8T+ •
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METÓDICA DE INTRODUCCIÓN DE RESU5TADOS INTRODUCCIÓN l proceso de introducción de un resultado forma parte de la metodologa de aplicación de las técnicas de optimización y se supone que los pasos anteriores han sido complementados eficientemente. l problema general de la implementación es determinar qué actividades del cientfico y del administrador son más apropiadas para producir una relación efectiva. La introducción de resultados debe analizarse bajo el marco de las tres últimas etapas de la metodologa de la investigación de operaciones. Y Ralidación del modelo y la solución> Y "mplante> Y !ontrol. # continuación se comenzará por el primer aspecto. Ralidación del modelo y la solución3 'n modelo debe aprobarse continuamente mientras se está construyendo. )i no se hace as, durante el desarrollo, el modelo tiene que adquirir una formalidad que hace muy difcil la evaluación objetiva del mismo después de su terminación. n este sentido debemos observar lo siguiente3 0uede incluir variables irrelevantes> 0uede e-cluir variables relevantes> 'na ó más variables relevantes pueden evaluarse sin precisión> La estructura seguida puede ser errónea. n cada caso deben hacerse las correcciones pertinentes en función de los objetivos propuestos. 0or lo general sólo unas cuantas variables son importantes. @stas son las de interés principal para el investigador debido a que se debe tratar de construir un modelo adecuado con el menor número de variables que sea posible. 0or otro lado, la administración generalmente desea incluir un gran número de variables para hacer un modelo tan realista como sea posible. n cierto sentido se puede decir que el objetivo del investigador es construir el modelo más simple que pueda reproducir la realidad con una precisión y e-actitud aceptable. "magnese una situación en la que cinco variables afectan el desempeo, si ^ D se considera como el +8 G del desempeo, ^4 el 48 G, ^* el D+G, ^* el D8G y ^+ el + G, un modelo con sólo ^ D puede ser tan bueno como uno que contenga que los cuatro. Los métodos usuales de análisis dan una idea de cuan bueno puede aparecer un modelo particular, pero virtualmente no e-isten métodos que decidan cuál modelo se debe probar después que falló el primero. )eleccionar un modelo a menudo es algo as como un arte, donde, como en todas partes el mejor maestro es la e-periencia. !on respecto a los modelos de estimación se aconseja lo siguiente3 %ientras más amplio sea el conjunto de formas funcionales que tenga disponible el investigador, más probable será que su solución sea mejor> no obstante es esencial algún conocimiento a priori de las clases de funciones que se van a e-aminar. $entro de cada clase e-isten muchas formas funcionales y debido a que no se tiene disponible ninguna técnica para lograr una solución óptima, lo mejor que se puede hacer es e-aminar diferentes formas funcionales comparando la distribución de los errores de estimación que se producen. $icha comparación implica probar la preferencia y variabilidad de las estimaciones producidas por la función. La bondad del ajuste de una función no se debe probar utilizando los mismos datos que se emplearon para obtener el ajuste. 0or lo tanto, parte de los datos disponibles deben reservarse para la prueba de la función. n cuanto a otros modelos de optimización los resultados que se producen deben ser comparados con la posibilidad de que la solución que se brinda puede ser lograda en el marco donde ha sido elaborado el modelo. "ncluso éste no tiene solución, la misma debe analizarse con vistas a detectar donde se presenta la incompatibilidad y como puede ser superada. La no solución puede denotar cumplimiento de objetivos para los cuales no hay respuesta de recursos u otras limitaciones. La solución de un modelo matemático produce un mejor desempeo que cualquier procedimiento alternativo, la aceptación de la solución por el que toma • • • •
sus decisiones depende más de la demostración de tal superioridad que de la sensibilidad de los procedimientos de investigación. l mejor desempeo se refiere a proyección y no a operación del sistema, esto es muy importante tenerlo en cuenta. La solución se busca para transformar o comparar los resultados actuales del sistema. La transformación se debe lograr mediante pruebas prospectivas en una escala tan modesta como sea posible, cuando se pueda, es decir, sobre una parte tan pequea del sistema como lo que se pueda utilizar efectivamente para este propósito. La prueba retrospectiva puede utilizarse para probar la superioridad de la solución hallada mediante las técnicas de optimización. (tro aspecto importante de la validación es no aferrarse a la solución obtenida mediante la computadora. sta solución siempre representará una apro-imación a la realidad y con la ayuda de e-pertos pueden realizarse modificaciones que ayuden a una mejor implementación. IMP5ANTE -iste una tendencia general a considerar que implementar la solución de un problema es una actividad que se inicia después de terminar la investigación y que los investigadores ya no tienen ninguna responsabilidad sobre ello. )in embargo en técnicas de optimización, donde el objetivo es mejorar el desempeo del sistema implicado, la investigación no termina hasta que esta mejora sea palpable y logre mantenerse, es decir, se controle. %ientras tanto, las discusiones sobre la implementación se basan principalmente en la e-periencia y, por ello, es probable que contenga más opciones que hechos. n la actualidad no se sabe lo suficiente sobre el proceso de implante, de manera que se cuente con una metodologa confiable para asegurar la aceptación de resultados de investigación en condiciones aparentes y favorables, sobre las que el e-perimentador ejerce gran control. )in embargo, y esto se debe tener en cuenta, la tarea de aceptación para soluciones que se obtienen en la práctica es mejor que para aquellas que se obtienen en condiciones e-perimentales. /omando esto en cuenta, se pasará a estudiar este arte de la mejor forma posible.
'ACTORES RE5ACIONADOS CON E5 ÉITO O 'RACASO DE 5AS IMP5EMENTACIONES PREMISAS 'UNDAMENTA5ES PRE,IAS A 5A IMP5EMENTACIÓNW 0resentación del informe a la dirección. ;rado de terminación del resultado en función de los objetivos del proyecto. !aractersticas de los administradores 9ivel esperado de apoyo de los administradores. 0articipación de técnicos y trabajadores de la empresa, en cuanto a opiniones y asesoramiento. #ctitudes e intereses de los especialistas en /écnicas de (ptimización. !apacidades y conocimientos del grupo de /écnicas de (ptimización. 'rgencia de los resultados. !omunicación. !osto y tiempo de las implementaciones. "mpacto del cambio. Pelaciones humanas. 9o obstante lo anterior, el gran número de factores que influyen en un proceso de implementación no e-iste un proceso universal o un conjunto garantizado de procedimientos que aseguren el empleo de las técnicas de optimización, por tanto se ofrecerán a continuación varios enfoques que se han utilizado de forma ilimitada para la implementación de resultados. -1 P%esentaci#n de inLo%!e a la Di%ecci#n. ste aspecto es decisivo para comenzar la introducción. l informe no debe modelarse como los cuentos de ( Fenry, es decir no debe tener desenlaces sorprendentes. $ifcilmente se pueden hacer algo mejor que seguir el consejo de #ristóteles al preparar un informe escrito u oral3 debe tener tres partes ? una introducción, una parte intermedia y un final, la "ntroducción debe establecer lo que se va a hacer C 0lanteamiento del problema C La parte intermedia cómo debe hacerlo C %etodologa C y el final debe resumir lo que se hizo C #plicación y !onclusiones. 0or lo general deben prepararse medios visuales. !ada transparencia no debe presentar más de un tema. Las copias de los diagramas deben hacerse en papel de tamao carta y distribuirse entre los asistentes. 'n informe escrito que comunique resultados a la gerencia debe ser diferente de uno que se prepare como un registro técnico que permita la reproducción de estudio. 1 <%ado de te%!inaci#n del Res(ltado en '(nci#n de los O$=eti&os P%o(estos. • • • • • • • • • • • •
ste aspecto se e-plica por s solo, si los resultados no satisfacen los objetivos, la introducción se convierte en un proceso de terminación del resultado. 21 Ca%acte%ísticas de los Ad!inist%ado%es. # favor y en contra de la implementación de las /écnicas de (ptimización. ste es un aspecto que debe tenerse en cuenta desde el inicio de trabajo, ya que muchos é-itos o fracasos de la implementación están relacionados con estos aspectos. Fabilidad de los administradores3 tener en cuenta las compensaciones en la implementación, confianza que inspira el uso de /écnicas de (ptimización a los administradores. n muchos casos e-itosos e-iste una correlación entre la disposición que tienen estos para implementar un proyecto o actividad y su confianza en el personal cientfico. !aractersticas negativas de los administradores. #l e-plotar algunas de las caractersticas negativas de la administración los estudios realizados han concluido que la falta de disposición y la incapacidad de muchos administradores para de desarrollar y comunicar un objetivo e-plcito para el negocio es un obstáculo importante para la implementación de sistemas cuantitativos. # menudo los administradores no reconocen que sin un objetivo claro y conciso, se limita la habilidad del personal cientfico. 41 Ni&el ese%ado de ao+o de los ad!inist%ado%es. l apoyo de los administradores es una variable fundamental que afecta el é-ito de la actividad de los cientficos de la administración. Fa sido probado que e-iste una fuerte relación entre el apoyo de los administradores de primer nivel y el é-ito del grupo de técnicas de optimización. 71 Pa%ticiaci#n de técnicos + t%a$a=ado%es en c(anto a oiniones + aseso%a!iento. ste aspecto es de suma importancia para ganar tiempo. !ada observación de los trabajadores y de los técnicos en el proceso de implante debe ser analizado minuciosamente, con vista a tomarla en cuenta. #nalizar con los técnicos los posibles fallos, cuándo se debe al desconocimiento del sistema y cuándo a un mal manejo de las técnicas de optimización. 81 Actit(des e inte%eses del g%(o de técnicas de oti!i"aci#n. #demás de los factores de administración y organización, la implementación también está afectada por las actitudes y los intereses del grupo de técnicas de optimización. $e acuerdo a los resultados obtenidos e-iste una relación entre la media en que se logra la implementación y la inclinación del grupo a aceptar responsabilidades por la implementación. ;1 Caacidades + conoci!ientos del g%(o de técnicas de oti!i"aci#n. $ebe tener amplios conocimientos de estas técnicas y además adentrarse en el conocimiento e-haustivo del objeto de estudio donde se están aplicando, conocer adecuadamente cuándo se utilizan los conceptos de caja negra y cuándo hay que adentrarse dentro de la caja. 9o utilizar terminologas complejas que hagan incomprensibles los resultados. )e debe identificar en forma e-plcita los resultados o el impacto de un proyecto determinado. 1 U%gencia de los %es(ltados. La mayora de los resultados requieren más tiempo para su desarrollo de implementación que otras técnicas menos elaboradas y eficientes. )i los administradores hacen énfasis en e-ceso en los resultados, los investigadores pueden verse obligados a intentar ajustar el problema a una técnica ya estructurada. $e manera similar, si los administradores tienen una solución preconcebida para el problema, un énfasis fuerte en obtener resultados rápidos pueden obligar a los cientficos a aceptar la solución que se recomienda. sta acción sólo puede dar como resultados un paliativo para los sntomas, en vez de ser una solución para el problema real. !on frecuencia los investigadores no disponen del tiempo que quisieran, por tanto, cuando se les presiona, es importante que indiquen el trabajo que significa realizar los procedimientos de investigación normales, de manera que la administración se de perfecta cuenta de los riesgos que implica aceptar resultados obtenidos a la ligera. 'na va para trabajar rápido y seguro es la siguiente3 $efinir el universo total. $efinir el universo de trabajo de éste. $efinir el universo e-perimental dentro del universo de trabajo. Los universos de trabajo y e-perimental son subsistemas del universo y deben ser representativos con respecto a los objetivos generales y especficos de la investigación que quiere levarse a cabo. l universo e-perimental permitirá, en un plazo breve de tiempo, obtener lo siguiente3 $efinición de los modelos matemáticos. $efinir la información a utilizar, su captura y tratamiento> 0uesta a punto de los programas de computación. • • •
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)i se siguen estas indicaciones los resultados obtenidos en los universos e-perimentales permitirán automatizar el procedimiento para los restantes universos, incluyendo la implementación y desde luego ahorrar tiempo. 9o obstante para aplicar esta técnica se necesita que el grupo posea e-periencias y de la dirección eficiente del jefe. 1 Co!(nicaci#n. La mala comunicación puede conducir también a malos entendidos en las operaciones y uso de un proyecto determinado. La comunicación incluye la e-posición al grupo dirigente de los objetivos del proyecto, técnicas que se utilizarán, resultados previstos, etc. sto debe plantearse bien y el e-positor debe ser un verdadero profesional en la materia. 9ingún acuerdo formal entre los investigadores y los administradores puede ser tan importante como las relaciones personales, amistosas y afectuosas que se basan en el respecto mutuo y la comprensión de los problemas comunes. 'na onza de amistad vale tanto como muchas libras de precauciones. l mantenimiento de las buenas relaciones personales con los administradores depende, en gran parte, de la habilidad del grupo investigador para distinguir entre sus descubrimientos y sus opciones cuando se comunican con los gerentes. Los investigadores deben tomar en cuenta que su destreza estriba en la habilidad para buscar soluciones y no tenerlas. n este sentido, se cumple la siguiente ley. ) V 0 C , donde3 ) V ;rado de satisfacción de los gerentes. 0 V 0ercepciones de e-pectativas que tiene el grupo investigador para resolver el problema planteado. V ;rado de e-pectativas que tienen el ;rupo de /écnicas de (ptimización. 0ara el manejo, incluso de aquellos que no están familiarizados con la computación, mientras mayor sea ) mayor satisfacción se tendrá y por tanto, apoyo, credibilidad, confianza etc. Lo cual fortalecerá el é-ito del proyecto. n este aspecto es importante tener en cuenta los medios computacionales y su grado de simplicidad para el manejo, incluso de aquellos que no están familiarizados con la computación. La responsabilidad para informar, debe dársela al que pueda comunicarse mejor, sin considerar su jerarqua. n este sentido, la mayora de los que participan en los grupos de técnicas de optimización son bastantes insensibles a las deficiencias en comunicación. s esencial aprender a afrontar la realidad acerca de las formas de hablar y escribir, para que se pueda intentar mejorarlos. )iempre que sea posible los informes deben se orales en vez de escritos. sto permite la retroalimentación, es decir preguntas y respuestas. Las presentaciones orales no se deben leer, ya que la lectura tiende a cansar, y el lector que debe estar atento al manuscrito, tiene menos oportunidades de responder las preguntas del auditorio. La afinidad con el auditorio es el atributo más importante de un buen conferencista, las e-plicaciones se deben hacer en el lenguaje usual del auditorio y no en la jerga de las técnicas de optimización. Costo y tiempo de las implementaciones.
"gnorar los costos de implementación sólo puede dar como resultado, problemas. sto pone en peligro con facilidad la relación entre los administradores y los cientficos de la administración cuando se vuelve obvio que los costos de implementación y de operación e-ceden en gran medida las estimaciones originales. La confianza de los administradores en el grupo investigador disminuye cuando costos no previstos de implementación consumen utilidades o ahorros previstos. Impacto del cambio.
La implementación debe ocurrir en un medio ambiente dinámico creado por las demandas de cambio de la organización. l tiempo es un elemento crtico en cualquier actividad de sistemas, y en particular en el diseo, desarrollo e implementación de un sistema cuantitativo. ste papel crtico se produce por los cambios que puede sufrir la organización durante el proceso investigativo. sto queda ejemplificado en el siguiente comentario3 en el desarrollo de mantenimiento para el equipo de una estación de servicios, el lapso que transcurrió entre la venta del sistema y la obtención de un sistema completamente operativo resultó ser un factor crtico. l entusiasmo que e-istió durante las primeras etapas del estudio se desvaneció después que se presentaron diversos problemas en el desarrollo, y esto e-tendió la duración del proceso de desarrollo. 'na vez que se terminó el sistema final se descubrió que haban cambiado muchos de los factores básicos del sistema y que una gran parte del personal operativo inicial que haba apoyado el sistema ya no estaba asociado al área. Los cambios organizativos afectan el desarrollo de la implementación.
-1 Relaciones 0(!anas. Lo anterior se refiere a la falta de dirección, motivación y capacidad administrativa de las personas que están asociadas con un sistema cuantitativo y en particular durante las últimas etapas del ciclo de vida del proyecto personal encargado de introducir el sistema. /eniendo en cuenta lo anterior es necesario entonces obtener un enfoque integrado para la aplicación de las /écnicas de (ptimización y el proceso de desarrollo. (bservando las reglas anteriores y partiendo de la obtención de la solución óptima y su validación en un universo e-perimental, procederemos de la siguiente forma3 "mplementación piloto. %edición de los resultados con los criterios establecidos. $esarrollo de un programa para la implementación a gran escala. Pevisión y actualización del sistema conforme requiera. #unque las observaciones hechas anteriormente proporcionan una estructura para la implementación, ninguno de ellos arroja suficientes detalles para integrar todos los elementos de la implementación. sto puede superarse superponiendo un simulador de juegos sobre el proceso de desarrollo y /écnicas de (ptimización. Lo anterior consiste en desarrollar un grupo para el proceso de implementación, considerando todos los factores anteriormente sealados simular los diferentes cursos de acción. sta gráfica puede llevarse a la computadora y obtener resultados de pronósticos, lo cual permita trazar una estrategia a seguir. 'n componente importante de la estructura de los juegos de implementación es la hipótesis de que la implementación es un caso especial de cambio en la organización. 0or otra parte el nivel de é-ito de la implementación dependerá en gran media de que los miembros de la organización se adapten a los que son necesarios. 0ara esto utilizaremos la teora de Le:in C )chein complementadas por pruebas prácticas de )onerce y =and. sta última define el proceso de cambio en el implante como un procedimiento en tres etapas3 D6 $escongelar el sistema actual> 46 !ambiar y *6 !ongelar el nuevo sistema, tal y como se presenta en la siguiente figura3 • • • •
n el proceso de Le:in )chein debe incorporarse una persona, un grupo de personas o alguna actividad basados en acciones para descongelar cambiar y congelar los patrones de conducta en la organización. sta estructura de juegos de implementación utiliza un juego de simulación como agente de cambio. ste simulador conduce en forma sistemática a través del proceso de implementación al gerente, cliente, o cualquier otra persona implicada en un proyecto o sistemas determinados. n este caso el juego se computariza, lo cual permite a los participantes tomar decisiones y observar la conducta del sistema como el resultado de esas decisiones. 'n modelo de juego consiste en un medio ambiente simulado que contiene algunas de las caractersticas del sistema que se analiza. l juego consta de las siguientes etapas3 D6 !apacitación a los administradores, que implica demostrar al administrador lo que puede lograrse. 46 Pealización del juego. n esta etapa se ofrece al administrador los patrones de conducta a seguir, según la alternativa deseada. *6 #prendizaje de la técnica por parte del administrador. La metodologa para considerar un juego simulado debe contemplar los siguientes elementos3 D6 $escongelamiento 0atrón estable de organización. 46 !ambio 0atrón abierto de organización. *6 !ongelamiento )istema aprendido )imulación de un sistema y del juego. n ésta estructura de juego se desarrolla un modelo de simulación del sistema real. C valuación del desempeo. n cualquier sistema donde se obligue al juego e-isten las siguientes etapas3 ase operativa
Necesidades de una evaluación de tiempo y costos.
)e ha determinado que la metodologa de juego de implementación aumenta en gran medida la probabilidad de una implementación e-itosa. )in embargo esa metodologa consume recursos 5tiempo y bienes6. l proceso de desarrollo del juego, su ejecución y su conversión en algo operativo puede abarcar un tiempo amplio que en retrospectiva, puede ser indeseable o injustificado para la empresa. $ebido a la probabilidad de e-ceso en costos y tiempo, debe emprenderse alguna forma de planeación de la implementación con el objetivo de determinar si se justifica la implementación del sistema. 'na forma de planear esto es estimar los recursos 5tiempo y dinero6 asociados con la parte práctica y la simulación del proceso de implementación. n forma especfica si es posible proyectar una serie de factores de tiempo y costos para cada una de las etapas del proceso y si pueden asignarse probabilidades a cada una de las diferentes estimaciones, entonces puede utilizarse simulación para plantear el modelo de las actividades de la implementación. l modelo simulado producirá datos estadsticos acerca de tiempo y costos esperados para el desarrollo y la implementación del sistema.
ESTUDIO DE CASO Modelo de si!(laci#n a%a la e&al(aci#n de tie!o + costos. l grupo de optimización de la &acultad de !iencias conómicas de la 'niversidad de (riente, comenzó la implementación del sistema de determinación de los estimados de la mpresa azucarera K!hile de la provincia )antiago. )e habra encontrado problemas al tratar de aplicar inicialmente el sistema. Los responsables de 0rogramación y stimados de las 'nidades Másicas de 0roducción !ooperativa 5'M0!6, subordinadas a la empresa, argumentaban que la aplicación del sistema en las estimaciones de campo estaban por debajo del nivel real, con el correspondiente problema en el cumplimiento de la norma de tiro. 0or otra parte las responsables del alza y tiro de la caa argumentaban que tenan que utilizar menos equipos de corte, alza y tiro que lo programado, trayendo esto, serios problemas en la organización de la actividad. Los dirigentes de primer nivel planteaban que el sistema era sólido en teora pero cuando menos, e-istan dos problemas3 D6 ra probable que los responsables de programación no comprenderan totalmente como se operaba el sistema, dándole valores a las funciones de respuesta no bien calculados, produciéndose una estimación por encima del real, no obstante se habran desarrollado clases y seminarios formales sobre su implante> 46 l sistema podra ser dirigido y obligaba a los responsables de programación o tomar datos teóricos en los G de población por la falta de tiempo para calcular según lo establecido. #l analizar el programa el grupo de /écnicas de (ptimización aseguró a los dirigentes de primer nivel que podran hacer el siguiente cambio en el sistema para que los responsables de programación y estimación pudieran tener tiempo para obtener la información primaria de las funciones de respuestas y, de esta manera asegurarnos que esta información era correcta y posteriormente analizar los resultados, lo cual daba como resultado una mejor planeación del alza y tiro de la caa. Los dirigentes de primer nivel sealaron que no asimilaran el sistema si no se resolvan los problemas u si no pudieran justificar los costos adicionales para que el sistema fuera operable. # tales efectos se propuso el proceso del juego de implementación para pasar en práctica de nuevo el sistema con las modificaciones realizadas, dando que esto poda eliminar los dos problemas planteados por los dirigentes de primer nivel, al mismo tiempo que se podra modificar algunos campos que quedaron suelto. Las principales preguntas que se presentaron fueron3 A!uál sera el costo de utilización del procesoB A!uál probabilidad de que los resultados superan las dificultades planteadas anteriormenteB y, por último, A!uál será el lapso esperado para alcanzar la implementación completaB Alicaci#n del !étodo Monte Ca%lo
$ado que el método de %onte !arlo podra proporcionar datos estadsticos relacionados con las preguntas que se haban planteado, se adaptó como vehculo apropiado para estudiar la propuesta puesta en práctica. 0ara simular el proceso se utilizó el método 0P/, se relacionaron las actividades de implementación identificando los tiempos y costos asociados, as como la probabilidad de ocurrencia de cada actividad. l tiempo asociado con cada actividad se hizo en base a estimaciones subjetivas para cada caso3 5pesimista, más probable y optimista6. /ambién se determinaron de forma subjetiva los costos fijos y variables de cada actividad y en donde se incurrida en los costos fijos al emprender la actividad y los costos variables estaban determinados por la duración de la misma. Las actividades asociadas al proceso de implementación fueron los siguientes3
CT. DESCRIPCIÓN
?D D?4
P%o$. de
P%o$. de Esti!aci#n de Costo /K1 Oc(%%encia Esti!aci#n %in. %oda %a-. &ijo variable $)!(9;L#%"9/(
"niciar el proceso. stablecer objetivo del sistema.
?* "dentificar el sistema actual ?O $esarrollo del juego abstracto ?+ Pealización de los juegos #%M"( ?J liminación del sistema. ?D Rolver a establecer objetivos. ?* #lterar el juego abstracto. ?O Rolver a jugar. ?2 $esarrollar el simulador de juegos. ?H Pealizar los juegos. (9;L#%"9/( ?7 0oner en operación nuevos sistema. ?D8 Pealización de juegos adicionales. ?DD #rtificial D8?DD 0oner en operación. DD?D4 valuar el desempeo. D4?D* "mplementación final. D4?+ D4?* D4?D
8.8+ 8.8D
D.8 D.8 D.8 D.8 D.8
D8
8 48
+ D+ 48
D8 *8 *O
*8
+88 8
8 D88
48 J8 J+
8 4+88 8
2+ D88 D+8
8 8
8 8
8.*D 8.J8
8 D+
*8
J8
*888
8 D88
D.88
48
O8
28
8
D4+
D.88
D8
4+
+8
D888
D88
8.48
+
D+
*8
8
D4+
H 2 H
8 D+ D+ D+
*8 *8 *8 *8
8 8 8 8
8 D88 2+ D88
8.8D
8.H8 D.8 D.8 8.78
Rolver a desarrollar el 8.82 8 simulador de juego. Rolver a desarrollar el 8.84 8 simulador abstracto. Rolver a establecer 8.8D 8 8 objetivos para el sistema. La red de actividades se ofrece a continuación y se e-plica por s sola3 5 .-6 58,8+6
8 8 8
Pesultados3 mediante la distribución Meta se estimaron los tiempos esperados de cada actividad. )e repitió D88 veces la red de vinculación para obtener estadsticas de operación de tiempo y costos. Los datos se presentan a continuación3 vento 0rob. 5t6 /5t6 tmin tma/erminación 8,7DO 42+ 2* DHO J27 del proceso. liminación del proceso. !osto del proceso !osto de eliminación
8,8HJ
D*D
+J
2H
*D7
5c6 *2
/c D8
!min 4J
!ma74
D2
H
D8
O+
CONTRO5 !uando la solución ha sido aceptada y se ha demostrado su superioridad con el sistema vigente pueden seguir otros problemas los cuales pueden acarrear serios trastornos en el manejo de la misma . Lo anterior aparece cuando el proceso de implante se hace muy largo o en la repetición de dicho proceso cambian condiciones en la que se obtiene la solución. 0or ejemplo puede haber un avance inesperado en la investigación o desarrollo d tipo de planes, o un cambio en la economa y la demanda de un artculo o servicio, o un cambio en la tecnologa de producción, la estrategia de los competidores la tasa de interés de capital, o la disponibilidad de personal calificado. $ichos cambios pueden alterar significativamente la naturaleza del problema por la eficacia de la solución. 0or tal motivo el sistema debe permanecer controlado en todas sus partes y mediante las técnicas conocidas corregir de inmediato la situación. 'na solución puede resultar incontrolable, aún cuando el sistema permanece controlado, debido a sus planes de implementación, por ejemplo un programa de computación con errores. 0or tanto en el control debemos separar las dos posibilidades3 ,ERI'ICACIÓN DE5 SISTEMA. ,ERI'ICACIÓN DE 5A IMP5EMENTACIÓN. 0or tanto deben crearse sistemas de verificación interna periódicas que comprenden otras cosas, lo cual permitirá la corrección a tiempos de ambos errores y el mantenimiento del sistema propuesto. -isten dos enfoques de control3 D6 )e pueden establecer un procedimiento para determinar el momento en que la solución produce resultados que difieran considerablemente de los predichos y luego buscar la causa de esta deficiencia. 46 0or otro lado se puede instalar controles de cada fase del sistema, as como para su proceso de implementación. $ebido a que el segundo procedimiento puede evitar una aplicación defectuosa de la solución, su mayor costo se debe comprar con el costo de los errores que esta puede impedir. n cualquiera de los costos es necesario establecer un procedimiento por medio del cual, quienes controlan la solución, pueden advertir automáticamente los cambios de los valores de los parámetros. s importante que quienes controlan la solución no se vuelvan negligentes y supongan que nada bueno, s cometen este error, es probable que para los que proporcionan la información defectuosa, ellos consideran !uando parece que ocurrió un cambio significativo en el valor de un parámetro, se debe hacer un esfuerzo para determinar lo que causó. l descubrimiento de la causa permite determinar si el cambio es permanente o temporal y, con frecuencia, puede revelar otras variables que debe incluirse en el modelo. )i no se puede encontrar la causa de un cambio aparentemente significativo en el valor de un parámetro se debe mantener una observación continua del mismo, durante perodos sucesivos, para determinar si el cambio se debió a variaciones al azar. # continuación se e-ponen algunas opiniones sobre el uso de las técnicas de optimización en la solución de problemas3 5IMITACIONES DE 5A TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN /@OONTZ1 Las técnicas de optimización solo sirven para solucionar un número bastante limitado de problemas administrativos. 9o se deben pasar por alto sus limitaciones. n primer lugar impresiona la magnitud de los aspectos matemáticos y de computación. l número de variables y de interrelaciones de muchos problemas administrativos además de las complejidades de las relaciones y reacciones humanas, requiere manejar un nivel de matemáticas más elevado del que utiliza la fsica nuclear. l genio matemático Eohn Ran 9euman descubrió, durante el desarrollo de la teora de los juegos, que estas capacidades matemáticas pronto llegaron a su lmite en un problema estratégico relativamente sencillo. )in embargo los administradores se encuentran muy lejos de utilizar por completo las matemáticas de que se disponen en la actualidad. n segundo lugar, aunque las probabilidades y apro-imaciones está siendo sustituidas por cantidades desconocidas y aunque los métodos cientficos pueden asignar valores a factores que nunca antes se pudieron medir, una gran parte de las decisiones administrativas importantes aún incluyen factores cualitativos que no se pueden medir, las técnicas de optimización tendrá utilidad limitada en esta área y las decisiones se seguirán basando en criterios no cuantitativos. !on el hecho de que muchas decisiones administrativas incluyen factores no medibles, se relaciona la carencia de la información para hacer que en la práctica, las técnicas de optimización sea útil. #l conceptualizar un área problemática y elaborar un modelo matemático que la represente, se descubren variables sobre las que necesita información de la que no se dispone en la actualidad. 0ara mejorar esta situación, las personas interesadas en la s aplicaciones prácticas de las /. de (. con mejor frecuencia.
'na última desventaja de las /. de (. al menos en su aplicación a problemas complejos es que los análisis y la programación son costosas y muchos problemas no son lo suficientemente para justificar este costo. )in embargo, en la práctica, esta no ha sido en realidad una limitación importante.
APRECIACIÓN CRTICA DE 5A TEORA MATEMXTICA DE 5A ADMINISTRACIÓN /C6IA,ENATO1. D. La teora matemática, se presenta para aplicaciones individuales de proyectos o trabajos involucrando órganos o grupos de personas. )in embargo, no presentan todava condiciones de aplicaciones globales que involucren a todas las organizaciones en su conjunto, en todos los aspectos múltiples y complejos. n este sentido, la teora matemática es mucho más un conglomerado de técnicas de optimización individualizada que propiamente una estructura teórica y que abarque toda la organización. 4. )e basa en la total manifestación de los problemas administrativos, abordándolos e-clusivamente, desde el punto de vista estadstico o matemático. /odas las situaciones deben reducirse a números o e-periencias matemáticas para poder ser resueltas adecuadamente. $esde el punto de vista organizacional, la mayor parte de los conceptos, situaciones o problemas no siempre presentan condiciones de reductibilidad a e-presiones numéricas o simplemente cuantitativas, por lo que e s posible la aplicación de las /. de (. *. (frece e-celentes técnicas de aplicación o niveles organizacionales situados en la esfera de la ejecución pero pocas técnicas en niveles más llevados en la jerarqua empresarial. !(%0#P#!"9 9/P L#) /@!9"!#) $ (0/"%"=#!"9 ^ L#) !"9!"#) $ L# #$%"9")/P#!"9. #lgunos autores destacan que las técnicas de (ptimización están orientadas operativamente, mientras que la administración se dirige hacia la elaboración de una teora amplia y genérica. Los campos se confunden, hasta el punto de que )imon afirma que no se pueden fijar los lmites entre las técnicas de optimización y la administración cientfica o entre la administración cientfica y la ciencia de la administración. Leavict opina que las técnicas de optimización y la ciencia de la administración descienden de la administración cientfica3 #mbas crearon métodos técnicos para la solución de los problemas de tra bajo. Las técnicas de optimización están creciendo con rapidez, en su forma operacional, una nueva clase de activos especialistas de )taff, en muchos puntos, reproducciones perfectas del antiguo nombre de )taff eficiente. )e sustituye a /aylor por !harnes y !ooper, y entre lugar de cronómetro se coloca el computador de un modo o de otro, en la misma vieja historia del conflicto entre la tecnologa y la humanidad.
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