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1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA OPTIMIZACIÓ O PTIMIZACIÓ DINÁMICA
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LA OPTIMIZACIÓN:
La optimización es un tema predominante en el análisis económico. Por es
razón, los métodos de cálculo clásicos de encontrar extremos libres y limitados las
técnicas
más
recientes
de
programación
matemática
ocupan
u
lugar importante en el kit de herramienta de uso diario de los economistas. Ú
como son, estas herramientas sólo son aplicables a los problemas de optimizació
estáticas. La solución buscada en este tipo de problemas por lo general consis
en " una sola magnitud óptima para cada variable de elección, tales como el niv
óptimo de producción por semana y el precio óptimo para cobrar por un product No llama a un calendario de acción secuencial óptimo.
LA DINÁMICA ECONÓMICA: Permite el estudio de los hechos que anteceden a un fenómeno económico,
fenómeno en sí, las repercusiones o consecuencias de dicho fenómeno, así com su interrelación.
La dinámica económica permite el estudio de hechos y fenómenos en form
cambiante, estudiando aspectos generales de los asíthiscomo Signmismos, up to vote on title analizand
Useful Not usefuleconómicos concretamente la forma en que se desarrollan losdiversos aspectos
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La optimización dinámica, como su nombre indica, estudia la optimizació
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dinámica de sistemas dinámicos, es decir, la optimización de sistemas qu
evolucionan en el tiempo, se trata de guiar o controlar el sistema de maner
óptima a lo largo de un horizonte temporal dado, de acuerdo aún objetiv
previamente fijado. Veamos algunos ejemplos que puede ayudar a una prime compresión.
Un problema de optimización dinámica plantea la cuestión de cuál es la magnitu
óptima de una variable de elección en cada período de tiempo dentro del períod
de planificación (caso de tiempo discreto) o en cada punto de tiempo en u
intervalo de tiempo dado, digamos [0, 21 (caso de tiempo continuo). Incluso e
posible considerar un horizonte de planificación infinito, de modo que el interva
de tiempo correspondiente es [0, co) - literalmente, "de aquí a la eternidad. " L solución de un problema dinámico de optimización sería por lo tanto tomar
forma de una trayectoria temporal óptima para cada variable de elecció
detallando el mejor valor de la variable actual, tomar fila, y así sucesivament
hasta el final del período de planificación. A lo largo de este libro, vamos a utiliza
el asterisco para denotar optimalidad. En particular, la trayectoria temporal óptim de un (- tiempo continuo) variable y se denota por Y *(t)
2. HISTORIA DE OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
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Se puede considerar que la optimización dinámica tiene raíces en el cálculo d
variaciones, la teoría clásica de control y la programación lineal y no line
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En 1755 Lagrange comunico a Euler el método general analítico, creado por él, e
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el que introduce la variación de una función y en donde extiende a las variacione las reglas del cálculo diferencial. Esta idea de variaciones daría el nombre a nueva disciplina.
Otras aportaciones importantes al cálculo de variaciones se deben a Legend
(1752-1833), Jacobi (1804-1851), Hamilton (1805-1865), Weierstrass (181 18979.Bolza (1857-1942) y Bliss (1876-1951).
El cálculo de variaciones se aplicó, tras su descubrimiento, sobre todo en físic especialmente en mecánica.
El desarrollo sistemático de la teoría de control se inició en Estados Unido
alrededor de 1930 en el campo de las ingenierías eléctrica y mecánica. Has
1940, aproximadamente, los sistemas de control construidos eran sistemas d
regulación: la velocidad de un motor o de una turbina hidráulica debían s
mantenidas en un entorno de un valor constante. Los diseños trataban de evit inestabilidad.
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Durante la segunda guerra mundial de control en los que Unlock fullaparecieron access with a freesistemas trial.
transición era más importante que la quietud: Es la clase de los servomecanismo Download With Free Trial
sistemas de persecución por ejemplo: el sistema de control para un arma de fueg
requerida para alcanzar un objetivo móvil, con la ayuda de un radar. Se descubr
que gran parte de la teoría necesaria para el diseño de tales sistemas ya hab sido desarrollado en el campo de la ingeniería de la comunicación. Aparecer Sign up to vote on this title
llamada teórica clásica de control, basada fundamentalmente en el domin Useful Not useful
frecuencia.se comprobó que las ecuaciones diferenciales o en diferencias qu
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Los conceptos de controlabilidad y observabilidad introducidos por Kalma (196
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así como los métodos de optimización de Belma (1957) y Pontryagin (1962
fueron el origen de lo que se conoce como teoría moderna de control o teoría d
control óptimo, basada en la descripción de un sistema según el enfoque d
espacio de los estados. Los nuevos avances y sus aplicaciones no sólo caían e
el campo de la ingeniería, sino también en el de la economía, biología, medicin
ciencias sociales. En esos años tuvieron lugar las aplicaciones más importante del control óptimo al programa espacial americano.
En economía, aparecen en los años cincuenta y sesenta del siglo xx alguna
aportaciones que utilizan la teoría de control, aunque se trata de contribucione
aisladas. En los años sesenta se utilizan ya sistemáticamente técnica de contr óptimo en la investigación de la teoría de crecimiento.
A partir de 1970 hay ya gran interés por la teoría de control en distintos campos d
la economía, tanto en trabajos teóricos como empíricos, y desde entonce
Reading Preview proliferan los trabajos sobre You're el tema, quea ha sido el instrumento básico pa
describir el comportamientoUnlock de full individuos y empresas cuando la activida access with a free trial. económica se desarrolla a través del tiempo.
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En economía de la empresa se utilizan estas técnicas, con muy bueno
resultados, para el estudio de problema como, por ejemplo, control de inventario
selección de inversiones, mantenimiento y reemplazando de máquina planificación de la producción, política de publicidad, etc. Todo ellos desde Sign up to vote on this title segunda mitad de los años sesenta.
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En macroeconomía hubo en los años setentas gran interés por la utilización de
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3. CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LOS PROBLEMAS D OPTIMIZACIÓN DINÁMICA Aunque optimización dinámica se expresa sobre todo en términos de
secuencia de tiempo, también es posible contemplar el horizonte de planificació como una secuencia de etapas en un proceso económico. En ese caso,
optimización dinámica puede ser vista como un problema de toma de decisione de múltiples etapas. La característica que distingue, sin embargo, permanece
hecho de que la solución óptima implicaría más de un valor único para la variab de elección.
DECISIÓN MULTIETAPAS
El carácter de múltiples etapas de optimización dinámica se puede ilustrar con u ejemplo simple discreta. Supongamos que una empresa se dedica a You're Reading a Preview transformación de una determinada sustancia a partir de un estado inicial
full access with a Z free terminal trial. (estado de materia prima) Unlock en un estado (estado de producto
acabados) a través de un proceso de producción de cinco etapas. En cada etap Download With Free Trial
la empresa se enfrenta el problema de elegir entre varios subprocesos alternativ
posibles, cada uno que implica un coste específico. La pregunta es: ¿Cómo deb
la empresa de seleccionar la secuencia de subprocesos a través de las cin etapas con el fin de minimizar el costo total.
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Not useful En la figura. 1.1, se expone un problema porUseful el trazado de las etapa
horizontalmente y verticalmente los estados. El estado A inicial se muestra por
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Que la sustancia también se puede transformar en estado C en lugar de estado B
You're Reading a- Preview Cada arco se le asigna un valor específico en el presente ejemplo, un costo s
Unlock full access a free trial. muestra en un círculo en la figura. 1.1. Lawith decisión de la primera etapa es si par
transformar la materia prima en el estado B (a un costo $ 2) o en estado C (a u Download With Free Trial costo de $ 4), es decir, si elegir arco AB o de arco de CA. Una vez que se toma
decisión, surgirá otro problema de la elección en la etapa 2, y así sucesivament
hasta que se alcanza el estado de Z. Nuestro problema es elegir una secuenc
conectada de arcos que van de izquierda a derecha, Sign up tocomenzando vote on this title en A y qu
usefullos arcos d Useful Not de termina en Z, de tal manera que la suma de los valores
componentes se reduce al mínimo. Tal secuencia de arcos constituirá un
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costo mínimo de producción. Esta solución sirve para señalar un hecho mu
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importante: Un procedimiento miope de una etapa - en -un-tiempo optimizaci
no lo hará en el rendimiento general de la trayectoria óptima. Por ejemplo, u fabricante de decisión miope habría elegido arco AB sobre el arco de CA en
primera etapa, debido a que el primero implica sólo la mitad del costo de es último, sin embargo, en el lapso de cinco etapas, la más costosa de arco de
primera etapa de CA debe ser seleccionado en su lugar. Es precisamente por es
razón, por supuesto, que un método que puede tener en cuenta todo el período d planificación debe ser desarrollado.
LA VERSIÓN VARIABLE CONTINUA
El ejemplo en la figura. 1.1 se caracteriza por una variable etapa discreta, qu
toma sólo valores enteros. Además, se supone que la variable de estado pa
tomar valores que pertenece a un pequeño conjunto finito, {A, B,..., Z). Si esta variables son continuas
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ruta, siendo cada estado el resultado de una elección particular hecho en un
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etapa específica.
Para ser concretos, visualicemos la fig. 1.2 para ser un mapa de un terren
abierto, con la variable de fase que representa la longitud, y la variable de estad
que representa la latitud. Nuestro trabajo asignado es la de transportar una car
desde el punto A a Z ubicando un costo mínimo al seleccionar una ruta de via
apropiado. El coste asociado con cada posible camino depende, en general, n
sólo de la distancia recorrida, sino también de la topografía en ese camino. S
embargo, en el caso especial donde el terreno es completamente homogéneo, d
manera que el coste de transporte por milla es una constante, el problema d
menor costo simplemente se reducirá a un problema de más corta distancia. L solución en este caso es un camino recto, bien, porque este camino implica
menor costo total (tiene el valor de ruta más baja). La solución de la línea recta e
por supuesto, bien conocido, hasta el punto de que uno por lo general lo acep Reading a Preview sin exigir para ver una prueba You're de ello.
Para la mayoría de los problemas lo que sigue, la variable etap Unlock fulldescritos access with a en free trial. representar el tiempo; luego las curvas de la fig. 1.2 representará trayectoria en Download With Free Trial
tiempo. Como ejemplo concreto, consideremos una empresa con un capital soc inicial igual a A en el tiempo 0, y un capitel stock objetivo predeterminado igual a
momento T. Muchos planes alternativos de inversión durante el intervalo d tiempo [0, TI son capaces de alcanzar el objetivoSign deupcapital en el momento T. to vote on this title
Useful específico cada plan de inversiones implica un camino capital Not usefule implica u
potencial de beneficio específico para la empresa. En este caso, podemo
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De la discusión anterior, debe quedar claro que, independientemente de si la
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variables son discretas o continuas, un tipo simple de problema de optimizació dinámica contendría los siguientes ingredientes básicos: a. Un determinado punto inicial y un punto final determinado;
b. Una serie de trayectorias admisibles desde el punto inicial hasta el pun terminal;
c. Un conjunto de valores de ruta de acceso que sirven como índices d rendimiento (costo, beneficio, etc.) asociados a los diversos caminos; y d. Un objetivo que se ha especificado para maximizar o minimizar el valor de ruta o el índice de rendimiento mediante la elección de la ruta óptima.
4. ENFOQUES ALTERNATIVOS PARA LA OPTIMIZACIÓ DINÁMICA
You're Reading a Preview Para abordar el problema anteriormente indicado de optimización dinámica, ha
full access with hemos a free trial. mencionado el cálculo d tres enfoques principales. Unlock Anteriormente
variaciones y programación dinámica. El restante, la generalización moderna d Download With Free Trial cálculo de variación, va bajo el nombre de teoría de control óptimo. Vamos a d una breve reseña de cada uno.
CÁLCULO DE VARIACIONES
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Estos problemas pueden ser representados por la siguiente formulación general
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Maximizar o minimizar
Sujeto a:
Y
y (0)=A
(dado)
y (T)=Z
(T, Z dado)
Tal problema, con un funcional integral en una sola variable de estado, con punto
inicial y terminal completamente especificados, y sin limitaciones, se conoce com
el problema fundamental (o problema más simple) de cálculo de variaciones. Co You're Reading a Preview
el fin de hacer este tipo de problemas significativos, que, es necesario que
full access with a free trial. funcional integrable (es decir,Unlock la integral debe ser convergente). Supondremos s
cumple esta condición cuando escribimos unaTrial integral de la forma gener Download With Free
Además, supondremos que todas las funciones que aparecen en el problema so continuas y continuamente diferenciables. Se necesita esta hipótesis porque metodología básica que subyace a la de las variaciones se asemeja mucho a
Sign es up to vote en on this titlede tratar co del cálculo diferencial clásico. La principal diferencia que, lugar
a hacer frente a la el dx diferencial que cambia el valor de y = f (x), ahora vamos Useful
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variación " de toda una curva y (t) que afecta el valor de la funcional V [y].
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a. Conceptos Previos de Formulación del Problema de Cálculo d Variaciones: En el caso que nos ocupa, consideramos funcionales J cuyo dominio es conjunto Ω
Veamos algunos ejemplos sencillos de funcionales: 1) A cada función, le hacemos corresponder.
Como,
x es una función continua por lo que es integrable, y por tanto,
un número real. Se trata por tanto de un funcional. 2) Para
Reading a Preview , sea You're . En este caso no se trata de un funcional pues
Unlock full access with a free trial. derivada de una función derivable es en general otra función, y no es un núme
real. 3) Para
sea
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En este caso es un funcional pues, al ser
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derivable, la derivada de Useful Not useful
medio del intervalo en el que está definida, existe y es un número real.
en el p
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̇
En donde es la función derivada de aquella función verificando que
con respecto a Se trata de encontr
con derivadas primera y segunda continuas , siendo dados, para la que
funcional alcance el valor máximo (o el valor mínimo). El problema, por tanto, en el caso de maximización es
̇ En donde recordamos que
You're Reading a Preview
Por tanto, para este problema,Unlock el conjunto factible (llamado conjunto de funcione full access with a free trial. admisibles) es Trial Free {Download With }
Como es habitual en optimización, el considerar solo el máximo (o el mínimo) de
pérdid función objetivo, en este caso del funcional objetivo, no supone ninguna Sign up to vote on this title
de generalidad, ya que
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fácilmente comprensible, pues se apoya en la programación matemática d
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funciones diferenciales. Si
es un máximo local, entonces en se verifica la siguiente condición: ̇ ̇ ̇
es la derivada parcial de con respecto su primera variable y ̇ es la derivada parcial de con respecto a su segund variable ̇. Que es la ecuación de Euler, donde
EJERCICIO:
Obtener las funciones que verifiquen las condiciones necesarias de máximo loc del siguiente problema:
̇
You're Reading a Preview En este caso, ̇ ̇ Calculemos sus derivadas con respecto a y a ̇: ̇ Download With Free Trial ̇ De donde: ̇ Como la ecuación de Euler es ̇ En este caso queda así: ̈ , es decir ̈ Unlock full access with a free trial.
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Integrando ambos miembros de la igualdad, se obtiene:
̈
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TEORÍA DEL CONTROL ÓPTIMO
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El estudio continuado de problemas de variaciones ha llevado al desarrollo d
método más moderno de teoría de control óptimo. En la teoría de control óptim
el problema de optimización dinámica es visto como que consta de tres (en lug
de dos) tipos de variables. Aparte de la variable tiempo t y la variable de estado
(t), se tiene en cuenta una variable de control u (t). De hecho, es el último tipo d
variable. Que da la teoría de control óptimo de su nombre y ocupa el lugar centr en este nuevo enfoque de la optimización dinámica. Para centrar la atención en
variable de control implica que la variable de estado es relegado a una posició
secundaria. Esto sólo sería aceptable si la decisión sobre una vía de control u (
una vez dada una condición inicial de y, determinar de forma inequívoca u
camino y- variable de estado (t) como un subproducto. Por esta razón, u
problema de control óptimo debe contener una ecuación que relaciona Y para U: You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial
Tal ecuación, llamada ecuación de movimiento (o la ecuación de transición ecuación de estado), muestra cómo, en cualquier momento del tiempo, dado valor de la variable de estado, la elección del planificador de que impulsará
variable de estado y en el tiempo. Una vez que Sign hemos up toencontrado vote on this titleel camino d Not useful variables de control óptimo u * (t), la ecuacióndeUseful movimiento haría posible
construcción de la relacionadas a la ruta variable de estado óptima 30 (t).
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Tenga en cuenta que, en (1.9), no sólo el objetivo funcional contienen es como u argumento, sino que también ha cambiado de V [y] para V [ u). Esto refleja
hecho de que ahora es el instrumento fundamental de optimización. Sin embarg
este problema de control está íntimamente relacionado con el cálculo de la
variaciones - problema (1.8). De hecho, mediante la sustitución de y (t) con u (t) ,
la adopción de la ecuación diferencial y (t) U (t) como la ecuación de movimiento
se obtiene inmediatamente (1.9) . El avance más significativo en la teoría d
control óptimo se conoce como el principio del máximo. Este principio se asoc
comúnmente con el matemático ruso LS Pontryagin, aunque un matemátic
estadounidense, Magnus R. Tlestenes, producido de forma independiente u
trabajo comparable en un informe de la Rand Corporation en 1949.2 L
omnipotencia de este principio radica en su capacidad para tratar directamen
con ciertas restricciones en la variable de control. En concreto, permite el estud
de los problemas en los que You're los valores Readingadmisibles a Preview de la variable de control s están confinados a otras cerradas, delimitadas convexas fijar bien. Por ejemplo, Unlock full access with a free trial.
conjunto de t puede ser el intervalo cerrado (0, 13, 0 requiriendo su (t) 5 1 duran
Download With Free Trial todo el período de planificación. Si la propensión marginal a ahorrar es la variab
de control, por ejemplo, a continuación, con una restricción
, pu
muy bien ser apropiado. En suma, el problema abordado por la teoría de contr
óptimo es (en su forma simple) el mismo que en (1.9), excepto que una restricció Sign up to vote on this title
adicional, u (t) ɛ U. para
puede ser añadido a Useful la misma. Enuseful este sentido, Not
problema de control (1.9) constituye un caso especial (sin restricciones) cuando
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primer orden al problema del control óptimo, la cual se denomina princip
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máximo. Diferencia del cálculo de variaciones, en el problema de control optimo s
incorpora tanto la variable de control (u) como la variable de estado (y).Además, l dos variables se encuentran relacionadas mediante la ecuación de movimiento g (
objetivo del control óptimo es determinar las trayectorias de las variables de control estado que optimicen un funcional objetivo:
∫ ( ) Sujeto a: () Maximizar:
Este problema es muy similar al del cálculo de variaciones. El control óptimo se h
venido aplicando en la formulación de problemas económicos desde mediados d
los años sesenta. Los trabajos pioneros fueron los de Koopmans y Cass, en lo You're Reading a Preview
cuales se modela el crecimiento óptimo dewith una economía a lo largo del tiempo . Unlock full access a free trial. planteamiento de este modelo macroeconómico es simple. Por una parte, Download With Free Trial
funcional objetivo es la suma de las utilidades futuras de la sociedad:
Sign upsujeta to vote on Por otro lado, en cada periodo, la economía está a this unatitlerestricción:
Useful bruta Not producción debe destinarse a consumo o a inversión enuseful capital .De es
manera:
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En este tipo de problema de optimización dinámica se asume que existe u
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“dictador benevolente” (denominado planificador social), a quien le intere
maximizar el bienestar de la sociedad y decide las asignaciones de consumo capital en la economía. De este modo, el problema que enfrenta el planificador social es el siguiente: Maximizar:
sujeto a:
Dado) You're Reading a Preview
A partir del problema (22) se obtiene la senda optima de tres variables: Unlock full access with a free trial.
consumo, EL CAPITAL (K) y la producción agregada (
.
Una revisión detallada de la teoría de control optimo Download With Free Trialse encuentra en el capítulo
.En el desarrollo de la teoría y las aplicaciones se considerara el caso de un variable de control (u) y estado (y). b. Desarrollo del tema control óptimo:
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La teoría del control óptimo, mediante la cual pueden desarrollarse problemas d
optimización intertemporal más complejos. El problema básico de optimizació
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control optimo
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Tal como se mencionó en el primer capítulo, en el problema de control optim
intervienen básicamente tres tipos de variables: el tiempo (t), la variable de estad
(y) y la variable de control (u) .Algunos ejemplos económicos de variables d
control y estado podrían ser la emisión monetaria y la inflación, o el gasto e
publicidad y las ventas de una empresa. En estos casos, la primera variable, la d
control, está sujeta a la decisión del agente que enfrenta el problema d
optimización intertemporal, mientras que la segunda variable, la de estado, refle el resultado de las decisiones tomadas sobre la variable de control. La trayectoria de la variable de estado se encuentra determinada a través de
ecuación de movimiento o ecuación de estado, en la cual se relaciona la variació de la variable de estado con respecto al tiempo ( través de la función g ( .).
́ ) con las variables “t”, “y” y “u”
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full access withvariable a free trial. de control en un instante d Una vez seleccionado el valorUnlock óptimo de la
tiempo, la función g ( .) determinar la dirección de crecimiento de la variable d Download With Free Trial
estado y, de este modo, su trayectoria en el tiempo. De esta manera, cuando
agente optimizador selecciona la senda optima de la variable de control, afec
tanto de manera directa el funcional objetivo mediante la variable “u”, como d por manera indirecta a través de la variable “y”, que definida Sign se up toencuentra vote on this title
ecuación de movimiento.
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control optimo
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valor terminal de la variable de estado .De este modo, un valor terminal lib
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permite derivar la condición de primer orden del problema de control óptimo. Con respecto a la variable de control, esta se encuentra restringida al conjunto
que por lo general es un conjunto compacto y convexo .Esta restricción abre posibilidad de que existan soluciones de esquina en el problema de optimizació a diferencia de los problemas de cálculo de variaciones, en los cuales solo s admiten soluciones interiores. En algunos problemas no se establece restricciones a la senda de control (Ω=] [), por lo que se omite la condición (t) .
Una de las ventajas que presenta la técnica de control optimo , es que no requie necesariamente la continuidad y diferenciabilidad de las sendas de las variable de control y de estado en todo el horizonte de tiempo(0 , T).Para el caso de senda optima de control , basta con que se sea continua por tramos piecewisecontinuous .Este requisito implica que la trayectoria de la variable d control puede presentar un número determinado de puntos con discontinuidades siempre y cuando en dichos puntos no tome un valor infinito. You're Reading a Preview
Unlock full access with a free trial.
c. CONDICION DE PRIMER ORDEN: principio del máximo: Download With Free Trial
Así como el cálculo de variaciones presenta una similitud con la optimizació estática sin restricciones, el control óptimo vendría a ser equivalente a u problema de optimización estática sujeta a restricciones. En dicho caso, problema puede resolverse mediante el método de los multiplicadores d Sign up to y vote on this title una variable auxiliar Lagrange .A partir de la función objetivo, la restricción Useful Not conocida como multiplicador de Lagrange, se conforma unauseful nueva funció denominada Lagrangiana .Los valores que resuelven el problema una nuev función, denominada Lagrangiana .Los valores que resuelven el problema s
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orden , denominada principio de máximo .A continuación , se derivaran la
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condiciones del principio del máximo y se desarrollaran algunas aplicaciones. d. Principio del máximo: Las sendas u (t) y (t) y
resuelven el problema (1) si satisfacen la
condiciones del principio del máximo establecidas para la funció Hamiltoniana (2)
b) ́ c) d) a)
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La primera condición establece que el Hamiltoniana debe ser maximizado co Unlock full access with a free trial.
respecto a la variable de control, sujeto a la restricción dada por el conjunto Ω. Download Withbrindar Free Trialbásicamente dos tipos d maximización del Hamiltoniana puede
soluciones: una solución al interior de conjunto Ω o una solución en el contorn
) y H es una funció
Asumiendo que el conjunto de control es igual a Ω= (
que depende de manera no lineal de “u”, entonces nos encontraríamos en un Sign up to vote on this title
situación como la presentada .En este caso, para maximizar H, en el punto A s Useful Not useful
debe cumplir que la primera derivada con respecto a la variable de control se
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control optimo
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de costado. Estas dos ecuaciones, simultáneamente, se denominan sistema d
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canónico o sistema Hamiltoniano. Finalmente, la cuarta condición consiste en
condición de transversal dad para el problema de control optimo, cuando el val terminal de la variable de estado es libre.
Ejemplo: Para ilustrar el principio de máximo, consideremos primero un ejemplo fuera de
economía: el de encontrar la trayectoria más corta desde un punto dado A has
una línea recta dada. En la figura hemos graficado el punto A sobre el eje vertic
en el plano ty , y hemos dibujado la línea recta como una vertical para t=T. s
muestran tres trayectorias admisibles (del número infinito de ellas), cada una co
una longitud diferente. La longitud de cualquier trayectoria es el agregado d
pequeño segmentos de trayectoria, cada una de los cuales puede considerar
como la hipotenusa (que no se dibuja) de un triángulo formado por pequeño
movimientos dt y dy . Si denotamos la hipotenusa como dh, por el teorema d Pitágoras tenemos:
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La división de ambos lados entre
y la extraccion de la raiz cuadrada arrojan
[]
…….. (a)
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La longitud total de la trayectoria puede encontrarse entonces por integración d
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optimizacion dinamica
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control optimo
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El Hamiltoniano para el problema es:
PROGRAMACIÓN DINÁMICA
Por primera vez por el matemático estadounidense Richard Bellman, d
programación dinámica presenta otro enfoque del problema de control se indica e
(1.9). Las más importantes características distintivas de este enfoque son dos: E
primer lugar, incorpora el problema de control dado en una familia de problema
de control, con la consecuencia deReading que ena la resolución del problema dado, e You're Preview
realidad estamos resolviendo Unlock toda full la familia de problemas. En segundo lugar, pa access with a free trial. cada miembro de esta familia de problemas, la atención principal se centra en
With Free Trial valor óptimo de la funcional, VDownload *, en lugar de en las propiedades de los YS óptima
estado de ruta de acceso (t) (como en el cálculo de variaciones) o la vía de contr
óptimo u * (t) (como en la teoría de control óptimo). De hecho, un valor óptim
función - la asignación de un valor óptimo para cada miembro de esta familia d Sign up to vote on this title
problemas - se utiliza como una caracterización de la solución. Useful Not usefulTodo esto s
explica mejor con un ejemplo específico discreta. Haciendo referencia a la figur
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control optimo
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punto inicial. Aquí, vamos a considerar todos los puntos posibles como pun
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inicial legítimo por derecho propio. Es decir, aparte del punto genuino A inicia
hemos adoptado muchos puntos seudo iniciales (B, C, etc.) El problem
relacionado con el punto de seudo Z inicial es obviamente trivial, ya que n permite ninguna elección real o de control, sino que se está incluyendo en problema general en aras de la exhaustividad y la simetría. Pero el componente
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Problemas a los otros puntos seudo iniciales no son triviales. Nuestro problem
original ha sido así " incrustado " en una familia de problemas significativos. Dad
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control optimo
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de entender, pero uno todavía puede preguntarse por qué tenemos que ir a
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dificultad de encajar el problema, multiplicando así la tarea de solución. L
respuesta es que el proceso de incorporación es lo que conduce al desarrollo d
un procedimiento iterativo sistemático para la solución del problema origina
Volviendo a la figura. 1.6, imaginemos que nuestro problema inmediato no es má
que el de determinar los valores óptimos para la etapa 5, asociado con los tre puntos iniciales I, J y K. La respuesta se ve fácilmente que V*(J)=1
V*(I)=
V*(K)=2
Tras haber constatado los valores óptimos de I, J y K, la tarea de encontrar l
valores de costo mínimo V * (G) y V * (H) se hace más fácil. Volviendo a la etapa
y la utilización de la información óptima - valor obtenido anteriormente en (1.10
podemos determinar V * (G), así como la GZ camino óptimo (de G a la Z) com
sigue. Si tomamos el camino de GIZ, el valor de ruta resultante será el valor de G
arco más V * (I). Del mismo modo, si tomamos el GJZ camino, el valor de ru You're a Preview resultante será el valor del arco GJ Reading más V *(J). Así, el costo mínimo de la letra
para señalar Z es: (1.11)
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* V (G) = min (valor de GI de arco + V * (I), valor de GJ arco + V * (J)) Download With Free Trial
= min (2 + 3,8 + 1) = 5 [La trayectoria óptima. GZ es GIZ]
Para indicar que el camino óptimo de G a la Z debe pasar por I, hemos dibujad
una flecha que apunta hacia la I de G, el número 5Sign enuplatoflecha muestra elvalor d vote on this title Not useful la ruta óptima V (G). De la misma manera, nos encontramos Useful con
(1.12) * V (H) =min ( valor del arco HJ+ V * (J), valor de arco de HK + V *}
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control optimo
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etapa 1, en el que podemos determinar V * (A) y la ruta óptima AZ, es dec
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resolver el problema original dado.
La esencia del procedimiento de solución iterativa es capturado en principio d
Bellman de optimalidad , que establece , más o menos , que si cortar el prim
arco de una secuencia óptima de arcos , la secuencia abreviada restante todav
debe ser óptima en su propio derecho - como un ruta óptima desde su punto inici
hasta el punto terminal. Si EHJZ es el camino óptimo de E a Z, por ejempl
entonces HJZ debe ser la ruta óptima de H a la Z. Por el contrario, si HJZ ya e
conocido por ser el camino óptimo de H a Z, entonces un camino más largo qu
pasa óptima a H debe utilizar la secuencia HJZ al final de la cola. Es
razonamiento está detrás de los cálculos en (1.11) y (1.12). Pero tenga en cuen
que con el fin de aplicar el principio de optimalidad y el procedimiento iterativ
para delinear la trayectoria óptima de la A a 2, tenemos que encontrar el val
óptimo asociado con todos los puntos posibles en la figura. 1.6. Esto explica p Reading a Preview qué tenemos que integrar el You're problema original. A pesar de que la esencia de
programación dinámica es suficientemente clarificado Unlock full access with a free trial. por el ejemplo discreto en
figura -. 1.6, la versión completa de dinámica programación incluye el caso d Download With Free Trial
tiempo continuo. Por desgracia, la solución de los problemas de tiempo continu
de programación dinámica implica el más tópico matemático - avanzado de la
ecuaciones diferenciales parciales. Además, las ecuaciones diferenciales parcial no suelen dan soluciones analíticas.
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5. EJEMPLOS DE OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
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b. Tiempo Discreto
Para entender el teorema del máximo, vamos a pensar en el problema pero e
tiempo discreto y con horizonte finito. Queremos elegir x(t+1) = [x1(t+ 1),... ,xn( 1)] y u(t)=[u1(t),... ,um(t)] para maximizar
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